Λογικές πλάνες... και πώς να τις αποφεύγετε

Αυτό που με είχε ενθουσιάσει περισσότερο στα Μαθηματικά ως μαθήτρια και αποφάσισα, τελικά, να γίνω μαθηματικός, δεν ήταν οι υπολογισμοί, αλλά η λογική σκέψη. Όταν γνωρίζω ότι κάτι ισχύει, τι μπορώ να συμπεράνω με ασφάλεια; Μεγάλη πρόκληση αποτελούσε -και αποτελεί- για τους μαθητές η Ευκλείδεια Γεωμετρία, όπου καλείσαι να αποδείξεις μια πρόταση χρησιμοποιώντας λογικά επιχειρήματα και ουαί κι αλίμονό σου αν πεις ότι "φαίνεται από το σχήμα"... Μεγαλώνοντας, καταλαβαίνεις καλύτερα ότι, πολλές φορές, "τα φαινόμενα απατούν". 

Με την κατάλληλη εκπαίδευση -συμπεριλαμβανομένης και της διδασκαλίας των Μαθηματικών- μπορούμε να μάθουμε πώς να σκεφτόμαστε λογικά, πώς να εξάγουμε σωστά συμπεράσματα και να μην πέφτουμε σε λογικές πλάνες, εφόδιο χρήσιμο για τη ζωή μας αφού τελειώσουμε το σχολείο. 

Τι είναι, όμως, οι λογικές πλάνες;

Είναι, στην ουσία, λανθασμένοι συλλογισμοί που φέρνουν και άκυρα συμπεράσματα, ή συμπεράσματα για τα οποία δεν μπορούμε να είμαστε βέβαιοι. Ένα παράδειγμα λογικής πλάνης είναι το εξής: "Τα δίδυμα αδέρφια έχουν γενέθλια την ίδια μέρα. Ο Βασίλης και ο Κώστας έχουν γενέθλια την ίδια μέρα, άρα είναι δίδυμοι". Καταλαβαίνουμε ότι αν δύο άτομα έχουν γενέθλια την ίδια μέρα, δεν είναι αναγκαστικά δίδυμα αδέρφια! Είναι έγκυρος όμως ο εξής συλλογισμός: "Τα δίδυμα αδέρφια έχουν γενέθλια την ίδια μέρα. Ο Κώστας και ο Βασίλης είναι δίδυμοι, άρα έχουν γενέθλια την ίδια μέρα". Σύμφωνα, επίσης, με τον κανόνα της αντιθετοαντιστροφής, είναι έγκυρο και το εξής: "Ο Κώστας και ο Βασίλης δεν έχουν γενέθλια την ίδια μέρα, άρα δεν είναι δίδυμοι".

Προσωπικά, προσπαθώ να μεταδώσω τον ορθολογικό τρόπο σκέψης στους μαθητές μου μέσα από το μάθημα που διδάσκω και να τους μάθω, όχι μόνο πώς να σκέφτονται, αλλά και πώς να επιχειρηματολογούν σωστά (μέσα στην τάξη ή έξω από αυτήν). Ο Άκης από το κανάλι του YouTube The Skeptic Theory εξηγεί σε πέντε βίντεο όλα όσα θέλω να πω εδώ για τις λογικές πλάνες, με τον πιο ευχάριστο τρόπο (προτείνω να τα δείτε με αυτή τη σειρά). 

Logical Fallacies (Λογικά άλματα)

Πολιτικές πλάνες

Κλασικά σφάλματα στην επιχειρηματολογία μας

Λογικές πλάνες: Η επιστροφή

Λογικές πλάνες: The skeptic theory rises

Γρίφος: Τον θησαυρό ή την τίγρη;

 

Ένας βασιλιάς οδηγεί έναν κρατούμενο μπροστά από δύο πόρτες. Η πόρτα Νο1 γράφει: "ΜΕΣΑ Σ' ΑΥΤΟ ΤΟ ΔΩΜΑΤΙΟ ΥΠΑΡΧΕΙ ΕΝΑΣ ΘΗΣΑΥΡΟΣ ΚΑΙ ΣΤΟ ΔΙΠΛΑΝΟ ΔΩΜΑΤΙΟ ΜΙΑ ΤΙΓΡΗ". Η πόρτα Νο2 γράφει: "ΣΤΟ ΕΝΑ ΑΠΟ ΤΑ ΔΥΟ ΔΩΜΑΤΙΑ ΥΠΑΡΧΕΙ ΕΝΑΣ ΘΗΣΑΥΡΟΣ ΚΑΙ ΣΤΟ ΑΛΛΟ ΜΙΑ ΤΙΓΡΗ". Ο βασιλιάς λέει στον κρατούμενο ότι η μία από τις δύο επιγραφές γράφει την αλήθεια, ενώ η άλλη ψέματα. Αν ο κρατούμενος ανοίξει την πόρτα με το θησαυρό, θα ελευθερωθεί και θα φύγει με το θησαυρό δικό του, ενώ αν ανοίξει την πόρτα με την τίγρη, θα φαγωθεί. 

Ποια πόρτα πρέπει να ανοίξει ο κρατούμενος αν θέλει να ζήσει;

Ο γρίφος του Einstein

Ο γρίφος του Einstein αποτελεί έναν από τους διασημότερους γρίφους μαθηματικής λογικής. Πήρε το όνομά του από τον θεμελιωτή της Θεωρίας της Σχετικότητας Albert Einstein, είτε επειδή ήταν εκείνος που τον εμπνεύστηκε, ή - το πιθανότερο- απλώς επειδή είναι ένας τόσο έξυπνος γρίφος, ώστε θυμίζει κατά κάποιον τρόπο το μυαλό του Einstein... Για να τον λύσει κανείς, δεν απαιτείται κάποιο μαθηματικό υπόβαθρο, παρά μόνο μαθηματική λογική!

Υπάρχουν πέντε σπίτια, με πέντε διαφορετικά χρώματα στη σειρά. Σε κάθε σπίτι κατοικεί ένας άνθρωπος με διαφορετική εθνικότητα. Ο κάθε ένας από τους πέντε ιδιοκτήτες των σπιτιών πίνει διαφορετικό ποτό, καπνίζει διαφορετική μάρκα τσιγάρων και έχει στην κατοχή του ένα διαφορετικό κατοικίδιο. Κανένας από τους ιδιοκτήτες δεν έχει το ίδιο κατοικίδιο με τον άλλον, δεν καπνίζει την ίδια μάρκα τσιγάρων με τον άλλο ή πίνει το ίδιο ποτό με τον άλλον.

Τα στοιχεία:

1. Ο Βρετανός κατοικεί στο κόκκινο σπίτι.
2. Ο Σουηδός έχει στην κατοχή του ένα σκύλο.
3. Ο Δανός πίνει τσάι.
4. Το πράσινο σπίτι βρίσκεται ακριβώς στα αριστερά του λευκού σπιτιού.
5. Ο ιδιοκτήτης του πράσινου σπιτιού πίνει καφέ.
6. Ο ιδιοκτήτης που έχει στην κατοχή του πουλιά, καπνίζει Pall Mall.
7. Ο ιδιοκτήτης του κίτρινου σπιτιού καπνίζει Dunhill.
8. Ο ιδιοκτήτης που κατοικεί στο μεσαίο σπίτι πίνει γάλα.
9. Ο Νορβηγός κατοικεί στο πρώτο σπίτι.
10. Ο ιδιοκτήτης που καπνίζει Blends κατοικεί δίπλα σε αυτόν που έχει για κατοικίδιο γάτα.
11. Ο ιδιοκτήτης που έχει στην κατοχή του άλογο, κατοικεί δίπλα σε αυτόν που καπνίζει Dunhill.
12. Ο ιδιοκτήτης που καπνίζει Bluemasters πίνει μπύρα.
13. Ο Γερμανός καπνίζει Prince.
14. Ο Νορβηγός κατοικεί δίπλα στο μπλε σπίτι.
15. Αυτός που καπνίζει Blends κατοικεί δίπλα σε αυτόν που πίνει νερό.

Η ερώτηση είναι: Ποιος έχει το ψάρι;

Μπορείτε να δείτε την απάντηση εδώ...

Γρίφος: Αλήθειες και ψέματα...

Ο Πέτρος λέει την αλήθεια μόνο κάθε Κυριακή, ενώ όλες τις άλλες ημέρες λέει μόνο ψέματα. Η γυναίκα του, Μαρία, λέει ψέματα την Παρασκευή και την Κυριακή, ενώ όλες τις υπόλοιπες ημέρες λέει αλήθεια.

1. Μια μέρα, τηλεφωνήσαμε στη Μαρία και τη ρωτήσαμε "τι μέρα είναι σήμερα;" και εκείνη μας απάντησε: "Σήμερα είναι Παρασκευή".

Τι μέρα την τηλεφωνήσαμε;

2. Μετά από λίγες μέρες, συναντήσαμε τη Μαρία μαζί με τον Πέτρο έξω και τους ρωτήσαμε: "Τι μέρα είναι σήμερα"; Η Μαρία απάντησε: "Σήμερα είναι Σάββατο" και ο Πέτρος συμφώνησε μαζί της, απαντώντας "ναι, σήμερα είναι Σάββατο". 

Τι μέρα τους συναντήσαμε;

Γρίφος: Ο βαρόνος Μινχάουζεν και το κυνήγι της πάπιας

Επί πολλά χρόνια, ο βαρόνος Μινχάουζεν πήγαινε καθημερινά στη λίμνη για να κυνηγήσει πάπιες. Την 1η Αυγούστου του 1896, είπε στον μάγειρά του: "Σήμερα πέτυχα περισσότερες πάπιες απ' ό,τι προχθές, αλλά λιγότερες από όσες την ίδια ημέρα την προηγούμενη εβδομάδα". Επί πόσες μέρες μπορεί να ισχυρίζεται ο βαρόνος αυτό το πράγμα; 

(Σημειώστε ότι εδώ ο βαρόνος Μινχάουζεν δε λέει ψέματα!!!)

Γρίφος: Το βαρύτερο μήλο

Έχουμε 6 μήλα, 5 από τα οποία έχουν ακριβώς το ίδιο βάρος, ενώ το 1 είναι ελαφρώς βαρύτερο από τα υπόλοιπα. Θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε έναν πολύ ευαίσθητο ζυγό, για να βρούμε ποιο μήλο έχει διαφορετικό βάρος από τα υπόλοιπα. 

Ποιο είναι το ελάχιστο πλήθος ζυγίσεων που πρέπει να γίνουν, ώστε να εντοπίσουμε το βαρύτερο μήλο;

(Πηγή)

Πώς οι αρχαίοι Έλληνες διαμόρφωσαν τα σύγχρονα μαθηματικά

Πριν από περίπου 2.500 χρόνια, μια ομάδα Ελλήνων με επαναστατικό τρόπο σκέψης διαμόρφωσε την αντίληψη που έχουμε σήμερα για τα μαθηματικά, μέσα από την ιδέα της μαθηματικής απόδειξης. Στο σύντομο animated βίντεο που δημοσίευσε το Royal Institution, παρουσιάζεται πώς οι αρχαίοι Έλληνες χρησιμοποίησαν τα μαθηματικά, όχι απλώς για να κάνουν υπολογισμούς, αλλά με σκοπό να ερμηνεύσουν τον κόσμο.

"Ο Αρχιμήδης θα μνημονεύεται όταν ο Αισχύλος θα έχει ξεχαστεί, γιατί οι γλώσσες πεθαίνουν, ενώ οι μαθηματικές ιδέες είναι αθάνατες. Ίσως η αθανασία είναι μια ανόητη λέξη, αλλά μάλλον ο μαθηματικός έχει την καλύτερη τύχη, ό,τι κι αν αυτό σημαίνει".

(G. H. Hardy)

Στη διάθεσή σας όλο το εικοσιτετράωρο (γρίφος!)

Η βάρδια των υπαλλήλων της ρεσεψιόν ενός ξενοδοχείου διαρκεί από τις 8 π.μ. έως τις 8 μ.μ., ή από τις 8 μ.μ. έως τις 8 π.μ., ή από τις 8 π.μ. έως τις 8 π.μ. την άλλη μέρα. Στην πρώτη περίπτωση, το διάστημα μέχρι την επόμενη βάρδια πρέπει να είναι τουλάχιστον 24 ώρες, στη δεύτερη περίπτωση τουλάχιστον 36 ώρες και στην τρίτη περίπτωση τουλάχιστον 60 ώρες. Ποιο είναι το ελάχιστο πλήθος υπαλλήλων που χρειάζονται για να λειτουργεί η ρεσεψιόν του ξενοδοχείου σε 24ωρη βάση; 

Πηγη:
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΓΡΙΦΟΙ 2 - 150 προβλήματα από τη στήλη "Σπαζοκεφαλιές" του περιοδικού Quantum, εκδόσεις "Κάτοπτρο", 2001

Γρίφος: Αληθής ή ψευδής? Η... στιγμή της αλήθειας!

Μόνο μία από τις παρακάτω πέντε προτάσεις είναι αληθής. Ποια είναι;;;

1. Μόνο μία από τις προτάσεις είναι ψευδής.
2. Μόνο δύο από τις προτάσεις είναι ψευδείς.
3. Τρεις από αυτές τις προτάσεις είναι ψευδείς.
4. Τέσσερις από αυτές τις προτάσεις είναι ψευδείς.
5. Και οι πέντε προτάσεις είναι ψευδείς.

Πηγή: "Το φ": Περιοδική έκδοση επικοινωνίας και διαλόγου στα Μαθηματικά. Τεύχος 3, Νοέμ. 2006. Υπεύθυνος έκδοσης Β. Ε. Βισκαδουράκης