Μετρώντας αντίστροφα για το 2021! (Γρίφος)

 

Είθισται κάθε χρόνο να σβήνουμε τα φώτα και να μετράμε αντίστροφα από το 10 κατά την αλλαγή του χρόνου...

Τοποθετήστε ανάμεσα στους αριθμούς όποια σύμβολα πράξεων θέλετε, καθώς και παρενθέσεις, ώστε η τιμή της παράστασης να είναι 2021.

Η απάντηση φυσικά δεν είναι μοναδική... Περιμένω τις απαντήσεις σας πριν κάνουμε την αντίστροφη μέτρηση για το 2021!!! 

Πώς να γράψουμε μαθηματικά με LaTeX στην e-class

Η \(\LaTeX\) (προφέρεται "Λατέχ" και όχι "Λάτεξ"!) είναι ένας κώδικας, για την ακρίβεια μια markup γλώσσα, που λειτουργεί όπως μια γλώσσα προγραμματισμού και χρησιμοποιείται ευρέως για τη συγγραφή μαθηματικών κειμένων (από τη συγγραφή μίας-δύο σελίδων για θέματα εξετάσεων, έως εργασιών και διδακτορικών διατριβών). Για να δημιουργήσουμε ένα έγγραφο γράφοντας σε \(\LaTeX\) χρειαζόμαστε ειδικά λογισμικά (compilers) όπως το MikTex. Το περιβάλλον του e-class του Πανελλήνιου Σχολικού Δικτύου έχει ενσωματώσει στον κώδικά του τα περισσότερα πακέτα και τους compilers που χρειάζονται για να γράψει κανείς σε \(\LaTeX\), ιδανικά στο εργαλείο "Ασκήσεις", για ερωτήσεις κλειστού τύπου. 

Οπότε το μόνο που χρειάζεται εμείς να κάνουμε είναι να χρησιμοποιήσουμε τις εντολές της \(\LaTeX\), με τους αντίστοιχους συντακτικούς κανόνες:

1. Κάθε ειδικός χαρακτήρας ή μαθηματικό σύμβολο ή εντολή εντός μιας πρότασης μπαίνει ανάμεσα στα σύμβολα \ (   και   \ )  
2. Αν θέλουμε να γράψουμε μια εξίσωση ή παράσταση σε μια ολόκληρη σειρά, δίνοντάς της έμφαση, τη γράφουμε ανάμεσα στα σύμβολα \(\text{\[}\) και \(\text{\]}\)
3. Κάθε εντολή πρέπει να αρχίζει με το σύμβολο \
4. Κάθε αρχή πρέπει να έχει και το τέλος της (π.χ. κάθε άγκιστρο που ανοίγει ({) πρέπει και να κλείνει (}), κάθε \begin έχει \end)
5. Η εισαγωγή περισσότερων κενών στο μαθηματικό κείμενο της \(\LaTeX\) δεν έχει καμία σημασία, καθώς τα απαραίτητα κενά εισάγονται αυτόματα από τη \(\LaTeX\) και τα επιπλέον κενά μπορούν να οριστούν μέσω της ειδικής εντολής \,
6. Η \(\LaTeX\) αναγνωρίζει ως μεταβλητές μόνο τους αγγλικούς χαρακτήρες. Για να χρησιμοποιήσουμε ελληνικούς χαρακτήρες για μεταβλητές, χρησιμοποιούμε ειδικές εντολές οι οποίες αναφέρονται παρακάτω. Αν θέλουμε να εισαγάγουμε απλό κείμενο εντός μιας μαθηματικής έκφρασης, χρησιμοποιούμε την εντολή \text{το κείμενό μας} 
7. Για να αλλάξουμε γραμμή εντός των συμβόλων \ (   και   \ ), δε χρησιμοποιούμε το enter, αλλά την εντολή \\

Παράδειγμα:

Διαμόρφωση μαθηματικών εκφράσεων

• Ο εκθέτης εισάγεται με το σύμβολο ^ (Π.χ. για το \( x^2 \) θα γράψουμε  x^2)
• Ο δείκτης εισάγεται με το σύμβολο _ (Π.χ. για το \( A_f \) θα γράψουμε  A_f)
• Για την εισαγωγή κλασμάτων χρησιμοποιούμε την εντολή \frac{αριθμητής}{παρονομαστής}. Για παράδειγμα, για το κλάσμα \( \frac{\pi}{2} \) θα γράψουμε \frac{\pi}{2}
• Για την εισαγωγή τετραγωνικής ρίζας χρησιμοποιούμε την εντολή \sqrt, ενώ για τη νιοστή ρίζα χρησιμοποιούμε την εντολή \sqrt[n]. Για παράδειγμα, για την \( \sqrt{x+y} \) θα γράψουμε  \sqrt{x+y}. Για την \( \sqrt[3]{2} \) θα γράψουμε \sqrt[3]{2}.

Παράδειγμα:

• Για οριζόντια άγκιστρα κάτω από μια μαθηματική έκφραση, χρησιμοποιούμε την εντολή \underbrace ακολουθούμενη από {...}. Π.χ. για τη γραφή \(\underbrace{ \alpha \cdot \alpha \cdot \ldots \cdot \alpha}_{\text{ν παράγοντες}} \) γράφουμε τις εντολές: \underbrace{ \alpha \cdot \alpha \cdot \ldots \cdot \alpha}_{\text{ν παράγοντες}}    
• Για την εισαγωγή διανύσματος με μία μεταβλητή, γράφουμε την εντολή \vec ακολουθούμενη από τη μεταβλητή μέσα σε άγκιστρα. Π.χ. για το διάνυσμα \( \vec{\alpha} \), γράφουμε \vec{\alpha}
• Για την εισαγωγή διανύσματος με αρχή το Α και πέρας το Β, δηλαδή του \( \overrightarrow{AB} \) χρησιμοποιούμε την εντολή \overrightarrow ακολουθούμενη από {ΑΒ} (με λατινικούς χαρακτήρες).
• Για το σύμβολο της γωνίας με κορυφή το Α, δηλαδή το \( \hat{A}\), γράφουμε την εντολή \hat{A}
• Για τις μοίρες, μπορούμε να γράψουμε π.χ. 90^{\circ} 
• Για να εισαγάγουμε μια ορίζουσα 2x2, χρησιμοποιούμε την εντολή vmatrix, όπως φαίνεται παρακάτω:

• Για να εισαγάγουμε μια συνάρτηση διπλού ή πολλαπλού τύπου, ή σύστημα εξισώσεων, χρησιμοποιούμε την εντολή cases, όπως φαίνεται στα ακόλουθα παραδείγματα: 

• Άθροισμα και ολοκλήρωμα ορίζονται με τις εντολές \sum και \int αντίστοιχα. Για το κάτω όριο χρησιμοποιούμε το _ και για το άνω όριο το ^. Π.χ.  \sum_{i=1}^{n}  και  \int_{0}^{1} 

Παράδειγμα:

• Για τo όριο καθώς το \(x\) τείνει στο \( x_0 \) (ή στο άπειρο κλπ) χρησιμοποιούμε την εντολή \lim_{x \to x_0} (ή \lim_{x \to \infty} αντίστοιχα)
• Για το λογάριθμο με βάση α, θα χρειαστούμε την εντολή  \log_a\theta 
• Παρενθέσεις, αγκύλες και άγκιστρα εισάγονται με τα γνωστά σύμβολα του πληκτρολογίου. Αν όμως τα θέλουμε μεγαλύτερα, π.χ. όταν περιέχουν ένα κλάσμα, τότε υπάρχουν οι εντολές  \big( \Big( \bigg( \Bigg( \big) \Big) \bigg) \Bigg), \big[ \Big[ \bigg[ \Bigg[ \big] \Big] \bigg] \Bigg], \big{ \Big{ \bigg{ \Bigg{ \big} \Big} \bigg} \Bigg}

Ομαδοποίηση μαθηματικών συμβόλων

Όταν έχουμε μια μαθηματική έκφραση που επιδρά σε περισσότερες από μία μεταβλητές, π.χ. όταν ο εκθέτης αποτελείται από περισσότερους από έναν χαρακτήρες, ομαδοποιούμε τις μεταβλητές μας με τη χρήση αγκίστρων {...}

Παράδειγμα:

Ειδικά σύμβολα της \(\LaTeX\)

\( \cdot \) \cdot

\( \pm \) \pm

\( \ldots \) \ldots

\( \leq \) \leq

\( \geq \) \geq

\( \neq \) \neq

\( \approx \) \approx

\( \simeq \) \simeq

\( \in \) \in

\( \notin \) \notin

\( \cap \) \cap

\( \cup \) \cup

\( \subseteq \) \subseteq

\( \varnothing \) \varnothing 

\( \Leftrightarrow \) \Leftrightarrow

\( \Rightarrow \) \Rightarrow

\( \Leftarrow \) \Leftarrow

\( \rightarrow \) \rightarrow 

\( \infty \) \infty

\( \circ \) \circ

\( \forall \) \forall

\( \exists \) \exists

\( \perp \) \perp 

\( \parallel \) \parallel

\( \nparallel \) \nparallel

\( \upuparrows \) \upuparrows

Γράμματα στη \(\LaTeX\)

\( \alpha \) \alpha

\( \beta \) \beta

\( \gamma \) \gamma

\( \delta \) delta

\( \epsilon \) \epsilon

\( \varepsilon \) \varepsilon

\( \zeta \) \zeta

\( \eta \) \eta 

\( \theta \) \theta

\( \vartheta \) \vartheta

\( \iota \) \iota

\( \imath \) \imath

\( \kappa \) \kappa

\( \lambda \) \lambda

\( \ell \) \ell

\( \mu \) \mu

\( \nu \) \nu

\( \xi \) \xi

\( \pi \) \pi

\( \rho \) \rho

\( \sigma \) \sigma

\( \tau \) \tau

\( \upsilon \) \upsilon

\( \phi \) \phi 

\( \varphi \) \varphi

\( \chi \) \chi

\( \psi \) \psi

\( \omega \) \omega

\( \Gamma \) \Gamma

\( \Delta \) \Delta

\( \Theta \) \Theta 

\( \Lambda \) \Lambda

\( \Xi \) \Xi

\( \Pi \) \Pi 

\( \Sigma \) \Sigma

\( \Upsilon \) \Upsilon

\( \Phi \) \Phi

\( \Psi \) \Psi

\( \Omega \) \Omega

Σύνολα αριθμών

C \mathbb{C}

N \mathbb{N}

Q \mathbb{Q}

R \mathbb{R}

Z \mathbb{Z}

Bonus:

Για τους συναδέλφους bloggers, μπορείτε να γράφετε κι εσείς με \(\LaTeX\) στο blog σας, αρκεί να ενσωματώσετε στον κώδικα html του blog σας τον απαιτούμενο κώδικα!

Επίλογος

Η \(\LaTeX\) απαιτεί χρόνο και πειραματισμό, αλλά μόλις κανείς εξοικειωθεί, εθίζεται στη χρήση της και τη χρησιμοποιεί και εκεί όπου δεν είναι τόσο απαραίτητη. Έτσι, για παράδειγμα φράσεις όπως "f=g" εμφανίζονται πολύ πιο "όμορφα" και είναι πιο ευανάγνωστες όταν έχουν γραφεί σε \(\LaTeX\),δηλαδή κάπως έτσι: \( f=g \). Δε συμφωνείτε;

Γράψτε μου στα σχόλια τις σκέψεις σας! Αν η σημερινή ανάρτηση σας φάνηκε χρήσιμη, μοιραστείτε την με τους συναδέλφους σας! 

Oh Geome-tree! Καλά Χριστούγεννα!

Καλά Χριστούγεννα και Καλές Γιορτές σε όλο τον κόσμο!

Μείνετε ασφαλείς και υγιείς💝🎄🎅

Γεωμετρικές... οροφές στη Μέση Ανατολή

 

Την ομορφιά της γεωμετρικής διακόσμησης και εντυπωσιακά σχέδια οροφής σε μουσουλμανικά παλάτια, μαυσωλεία και τζαμιά απαθανατίζει ο Christofer Wilton-Steer και μας ταξιδεύει στη Μέση Ανατολή...

Η πρώτη συλλογή φωτογραφιών, με τίτλο "Ceilings of Uzbekistan" αναδεικνύει με μοναδικό τρόπο την πολύχρωμη γεωμετρία σε ιερά μέρη και παλάτια του Ουζμπεκιστάν.

Δείτε την πλήρη συλλογή φωτογραφιών εδώ.

Η δεύτερη συλλογή του ίδιου φωτογράφου, με τίτλο "Ceilings of Iran", προσφέρει μια virtual ξενάγηση στους ιερούς χώρους του Ιράν.

Δείτε την πλήρη συλλογή φωτογραφιών εδώ.

Η ισλαμική τέχνη αποτελεί κεφάλαιο τεράστιας αξίας για την παγκόσμια πολιτιστική κληρονομιά. Χαρακτηριστικό της είναι τα γεωμετρικά μοτίβα και η φανταστική αναπαράσταση, στυλ γνωστό ως arabesque. Η απόλυτη συμμετρία των έργων, νοητά τα διχοτομεί, ώστε οι πλευρές να καθρεφτίζονται η μία μέσα στην άλλη. Το arabesque στην ισλαμική τέχνη χρησιμοποιείται συχνά για τον συμβολισμό της υπερβατικής, αόρατης και αιώνιας φύσης του Θεού.

Πηγές:

Christofer Wilton-Steer Photography

The Guardian: Iran's Beautiful Palaces and Holy Sites  - in Pictures

Wikipedia: Arabesque

Γρίφος: Το χωράφι με το μεγαλύτερο εμβαδόν

Διαθέτουμε συρματόπλεγμα μήκους 240 μ. και θέλουμε να περιφράξουμε με αυτό ένα χωράφι σε σχήμα ορθογωνίου. Ποιες πρέπει να είναι οι διαστάσεις του χωραφιού, ώστε να περιφράξουμε τη μεγαλύτερη δυνατή έκταση;

"Στον κόσμο δεν συμβαίνει τίποτε, του οποίου η σημασία να μη συμπίπτει με εκείνη κάποιου μεγίστου ή ελαχίστου".

Leonard Euler (1707 - 1783) 

Trigodance: Ο χορός της... τριγωνομετρίας

Το Movemathics είναι μια νέα, καινοτόμα προσέγγιση της διδασκαλίας των Μαθηματικών. Βασίζεται στην κιναισθητική μάθηση, σύμφωνα με την οποία ο άνθρωπος μαθαίνει και απομνημονεύει τις πληροφορίες μέσα από την κίνηση, τις χειρονομίες και την αφή. 

Συγκεκριμένα, το Movemathics χρησιμοποιεί τον χορό ως κιναισθητική μέθοδο διδασκαλίας της Τριγωνομετρίας του Γυμνασίου και παροτρύνει τους μαθητές να χορέψουν Trigodance: τον τριγωνομετρικό χορό!    

Θα ήθελα πολύ να μάθω τη γνώμη των μαθητών της χώρας μας. Εσείς, ως καθηγητές, θα διδάσκατε αυτόν τον χορό στους μαθητές σας;

Μια νέα σταθερά: 2,920050977316...

 

Ο δρ. James Grime μας εξηγεί τη νέα... αγαπημένη του σταθερά, με τη βοήθεια της οποίας παράγονται οι πρώτοι αριθμοί. Η σταθερά αυτή είναι ο άρρητος αριθμός 

2,920050977316...

και ο τύπος που παράγει τους πρώτους αριθμούς δίνεται από την παρακάτω ακολουθία αρρήτων:

Το ακέραιο μέρος κάθε αριθμού αυτής της ακολουθίας δίνει και έναν πρώτο αριθμό!

Δείτε το βίντεο του Numberphile για περισσότερες λεπτομέρειες:

Γρίφος: Το σιντριβάνι της Επιπεδούπολης

 

Στην πλατεία της Επιπεδούπολης, υπάρχει αυτό το σιντριβάνι, σε σχήμα κυκλικού δακτυλίου, ο οποίος αποτελείται από δύο ομόκεντρους κύκλους. Αν το μήκος του ΑΒ = 12 μ., να βρείτε το εμβαδόν της επιφάνειας του νερού (σημειώνεται στο σχήμα με γαλάζιο).

Βαμπιρικοί... αριθμοί!

Τι σχέση έχουν τα βαμπίρ με τα μαθηματικά;

Το 1994, ο C. A. Pickover της IBM όρισε τους βαμπιρικούς αριθμούς ως εξής:
Έστω n ένας φυσικός αριθμός με 2κ ψηφία (δηλαδή με άρτιο πλήθος ψηφίων). Ο n λέγεται "βαμπιρικός αριθμός" αν και μόνο αν υπάρχουν δύο φυσικοί αριθμοί a και b, ο καθένας με κ ψηφία, τέτοιοι ώστε:
n = a ⋅ b,
τα τελευταία ψηφία του a και του b να μην είναι και τα δύο 0
και τα ψηφία του n να είναι ακριβώς τα ψηφία των a και b μαζί, με μια οποιαδήποτε μετάθεση (δηλαδή αναδιάταξη).
Οι δύο αριθμοί a και b λέγονται "κυνόδοντες" (!) του n.

Για παράδειγμα:
1260 = 21 ⋅ 60

      ↑            ↑          ↑
βαμπιρικός      κυνόδοντες

 αριθμός                         

Βλέπουμε ότι τα ψηφία των αριθμών 21 και 60, με μια αναδιάταξη δίνουν τα ψηφία του 1260.

Υπάρχουν άπειρα τέτοια παραδείγματα βαμπιρικών αριθμών, όπως:
1395 = 15 ⋅ 93
1435 = 35 ⋅ 41
1530 = 30 ⋅ 51
1827 = 21 ⋅ 87

2187 = 21 ⋅ 87
6880 = 80 ⋅ 86

Οι βαμπιρικοί αριθμοί είναι:

1260, 1395, 1435, 1530, 1827, 2187, 6880, 102510, 104260, 105210, 105264, 105750, 108135, 110758, 115672, 116725, 117067, 118440, 120600, 123354, 124483, 125248, 125433, 125460, 125500, ...

Κάντε κλικ εδώ για να δείτε τη λίστα των 10.000 πρώτων βαμπιρικών αριθμών

Επιπλέον, υπάρχουν βαμπιρικοί αριθμοί με διπλά (ή και πολλαπλά) ζεύγη "κυνόδοντων":
125460 = 204 ⋅ 615
             = 246 ⋅ 510

Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι βαμπιρικοί αριθμοί που είναι πρώτοι αριθμοί, με τους "κυνόδοντες" να είναι επίσης πρώτοι αριθμοί:
117067 = 167 ⋅ 701

Οι πρώτοι βαμπιρικοί αριθμοί ορίστηκαν από τον C. Rivera το 2002.

Είναι γνωστό ότι οι αριθμοί που γράφονται ως γινόμενο δύο πρώτων αριθμών εφαρμόζονται κατά κόρον στην Κρυπτογραφία. Αν επιπλέον αυτοί είναι και βαμπιρικοί αριθμοί, τότε ανοίγει ένας νέος τομέας για έρευνα στη Θεωρία Αριθμών!

Πηγές και αναφορές:

C. A. Pickover, "Vampire Numbers." Ch. 30 in Keys to Infinity. New York: Wiley, pp. 227-231, 1995.

Πανεπιστημιακές σημειώσεις "Εφαρμογές της Θεωρίας Αριθμών στην Κρυπτογραφία" καθηγητή Α. Φυραρίδη, 2009.
The On-Line encyclopedia of Integer Sequences

Wikipedia.org/Vampire_number
Wolfram Mathworld: Vampire Number

YouTube: Numberphile - Vampire Numbers

Καλή σχολική χρονιά!

Το ιστολόγιο "eis to apeiron" εύχεται σε εκπαιδευτικούς, γονείς, μαθητές και φοιτητές...

"Τα Μαθηματικά διαποτίζουν την κοινωνία μας. Οι περισσότεροι από εμάς δεν το προσέχουμε, διότι κατά το πλείστον αυτά λειτουργούν πίσω από το προσκήνιο".
I. Stewart

Πώς να αποφύγετε τις... αρνητικές σκέψεις!

Καλημέρα και καλή εβδομάδα σε όλους, μακριά από αρνητικές σκέψεις, αρνητικούς ανθρώπους... και αρνητικές τιμές! Το κόλπο είναι απλό... και λέγεται "απόλυτη τιμή"!!!

Γρίφος: Η λογική πίσω από τις συμπτώσεις

Πηγή γρίφου:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΓΡΙΦΟΙ 2 - 150 προβλήματα από τη στήλη "Σπαζοκεφαλιές" του περιοδικού Quantum, εκδόσεις "Κάτοπτρο", 2001

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Ελλειπτικό παραβολοειδές

Τα βιβλία γράφουν...

Ελλειπτικό παραβολοειδές είναι μια τετραγωνική επιφάνεια, δηλαδή επιφάνεια 2^ου βαθμού.

Η επιφάνεια του ελλειπτικού παραβολοειδούς είναι απεριόριστη και έχει δύο κάθετα μεταξύ τους επίπεδα συμμετρίας. Η τομή των επιπέδων συμμετρίας είναι ο άξονας συμμετρίας της επιφάνειας, ο οποίος την τέμνει σε ένα σημείο που ονομάζεται κορυφή της επιφάνειας.

Κάθε τομή της επιφάνειας με επίπεδο κάθετο στον άξονά της είναι μια έλλειψη. Κάθε τομή της επιφάνειας με επίπεδο παράλληλο στα επίπεδα συμμετρίας είναι μια παραβολή. Αυτό δικαιολογεί και την ονομασία της επιφάνειας αυτής.

Αν η τομή της επιφάνειας με επίπεδο κάθετο στον άξονά της είναι κύκλος, τότε η επιφάνεια είναι εκ περιστροφής, γιατί μπορεί να προκύψει δια περιστροφής μιας παραβολής περί τον άξονα αυτόν.

Σύγχρονοι ζωγράφοι, γραφίστες, αλλά και γλύπτες έχουν χρησιμοποιήσει το ελλειπτικό παραβολοειδές στα έργα τέχνης τους.

Don Barrett (Σύγχρονος γραφίστας) - "3D Parabola" 

Mia McLean (Σύγχρονη ζωγράφος) - "Jellyfish Ice Cream Cone" (2020)

Maureen Bell (Σύγχρονη γλύπτρια) - "Parabola" 

Το ελλειπτικό παραβολοειδές έχει χρησιμοποιηθεί και στη σύγχρονη αρχιτεκτονική, δημιουργώντας ενδιαφέρουσες δομές, όπως είναι οι τρούλοι.

Reichstag Dome, ο τρούλος στο κτίριο της γερμανικής Βουλής, Βερολίνο, Γερμανία. Σχεδιασμένο από τον αρχιτέκτονα Norman Foster.

Το Πλανητάριο Carl Zeiss στο Bochum της Γερμανίας. Ο τρούλος του, σε σχήμα ελλειπτικού παραβολοειδούς, έχει διάμετρο 20 μέτρα 

Το κτίριο του Κογκρέσου, Μπραζίλια, Βραζιλία. Σχεδιάστηκε από τον αρχιτέκτονα Oscar Niemeyer.

"The Congress IV", λεπτομέρεια από το κτίριο του Κογκρέσου στη Μπραζίλια. Φωτογραφία: Todd Eberle 

.*.~.*.~.*.~.*.~.*.~.*

"Είναι κάτι που οι μη μαθηματικοί δεν μπορούν να αντιληφθούν πλήρως. Τα μαθηματικά στην πραγματικότητα είναι σχεδόν εξ ολοκλήρου ζήτημα αισθητικής".
J.H. Conway

.*.~.*.~.*.~.*.~.*.~.*

Πηγές:

• Θ. Κουφογιώργος, Μαθήματα Αναλυτικής Γεωμετρίας, Τυπογραφείο Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, 2004
• E.H. Gombrich, Το Χρονικό της Τέχνης, Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, 1995
• Wassily Kandinsky, Σημείο-Γραμμή-Επίπεδο, Εκδόσεις Δωδώνη, 2013
• Wassily Kandinsky, Για το πνευματικό στην Τέχνη, Εκδόσεις Νεφέλη, 1981
• H.L.C Jaffe, Η ζωγραφική στον 20ό αιώνα, Εκδόσεις Νεφέλη, 1984
• Bahai Art Gallery: Maureen Bell
• BlueThumb: Mia McLean
• Flickr: Daniel Mennerich
• Pixels: Don Barrett art
• Robert Harding: Oscar Niemeyer
• Sankaart: Berlin Norman Foster Reichstag
• Todd Eberle: Brazilia
• Wolfram Mathworld: Elliptic Paraboloid

Απλά... μαθηματικά!

Ο Θανάσης Βέγγος δείχνει πώς μπορείς να βγάλεις χρήματα εύκολα, με απλά... μαθηματικά!!!

Προσεταιριστική ιδιότητα: Πόσο προφανής είναι;

Είναι προφανές ότι ισχύει

63 + 48 = 27 + 84 ;

Πρόκειται για μια ορθή μαθηματική πρόταση, χωρίς ενδιαφέρον, που επαληθεύεται σε δευτερόλεπτα. Είναι όμως προφανής; Αν "προφανής" σημαίνει ότι ο λόγος για τον οποίο ισχύει είναι σαφώς κατανοητός, χωρίς ανάγκη επαλήθευσης, τότε οι περισσότεροι θα απαντούσαν αρνητικά.

Είναι, τώρα, προφανές ότι

(27 + 36) + 48 = 27 + (36 + 48) ;

Ασφαλώς, για την πλειοψηφία: η ενστικτώδης (και ορθή) αντίδραση είναι ότι ο τρόπος με τον οποίο "συμμαζεύουμε" τους όρους ενός αθροίσματος δεν μπορεί να επηρεάσει το αποτέλεσμα. Ο έγκυρος μαθηματικός όρος για το συμμάζεμα αυτό και την τοποθέτηση των αριθμών σε "παρέες" είναι "προσεταιρίζουμε" και η ενστικτώδης αντίδραση είναι η αποδοχή της προσεταιριστικής ιδιότητας της πρόσθεσης για πραγματικούς αριθμούς:

Την προσεταιριστική ιδιότητα διαθέτει και η πράξη του πολλαπλασιασμού στους πραγματικούς αριθμούς:

Εκτός, όμως, από το σύνολο των πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με τις πράξεις τις πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού, οι μαθηματικοί ενδιαφέρθηκαν να ορίσουν και άλλα σύνολα, πιο αφηρημένα, για πολλούς και διάφορους σκοπούς. Η Γραμμική Άλγεβρα ασχολείται με διάφορα είδη πράξεων (όπως η πρόσθεση ή ο πολλαπλασιασμός) για διάφορα είδη αντικειμένων (όχι αναγκαστικά πραγματικούς αριθμούς). Μας ενδιαφέρει αν η πράξη με την οποία έχει εφοδιαστεί ένα σύνολο είναι, μεταξύ άλλων, προσεταιριστική. 

Προσεταιριστική πράξη

Μια διμελής πράξη ✱ σ' ένα σύνολο S λέγεται προσεταιριστική, αν (α ✱ β) ✱ γ = α ✱ (β ✱ γ), για κάθε α, β, γ ∈ S.

Είναι άδικο να παραβλέψουμε την προσεταιριστική ιδιότητα ως κάτι τετριμμένο. Η προσεταιριστικότητα της πράξης μπορεί να μην ισχύει πάντα, αλλά, ακόμη κι αν ισχύει, δεν είναι και τόσο προφανής. Στον κόσμο της Γραμμικής Άλγεβρας, αν και οι μη προσεταιριστικές πράξεις είναι σπάνιες, πράξεις για τις οποίες η προσεταιριστικότητα δεν είναι αυτονόητη, συναντώνται συχνότερα.

Κουίζ:

1. Ορίζουμε μια νέα πρόσθεση στους πραγματικούς αριθμούς, συμβολιζόμενη ως ⊕, όπου:

α⊕β = 2α + 2β

Είναι η ⊕ προσεταιριστική;

Σχόλιο: Το + στο δεύτερο μέλος σημαίνει τη συνήθη πρόσθεση.

2. Στο σύνολο {0, 1, 2} που αποτελείται από τρία στοιχεία, ορίζουμε έναν νέο πολλαπλασιασμό, που τον συμβολίζουμε με ⊗. Στον παρακάτω πίνακα πολλαπλασιασμού βλέπουμε πώς ορίζεται ο πολλαπλασιασμός ⊗:

⊗	0	1	2
0	0	0	0
1	0	1	2
2	0	2	1

Είναι η ⊗ προσεταιριστική;

Σχόλιο: Η πράξη αυτή καλείται στη Γραμμική Άλγεβρα "πολλαπλασιασμός modulo 3" (mod3, μοδίω 3), ενώ το σύνολο {0, 1, 2} καλείται "οι ακέραιοι modulo 3" και συμβολίζεται ως  ℤ3 .

Πηγές:

John B. Fraleigh (2003, 4η έκδοση). Εισαγωγή στην Άλγεβρα (μετ. Γιαννόπουλος). Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο (Το πρωτότυπο έργο δημοσιεύθηκε το 1967).

Paul Halmos (2012). Προβλήματα Γραμμικής Άλγεβρας (μετ. Τουμάσης & Γραμματίκας). Ευρύαλος Απόλλων, Τρίκαλα (Το πρωτότυπο έργο δημοσιεύθηκε το 1995).

Αν οι βαθμολογητές των Πανελλαδικών 2020 βαθμολογούσαν τα γραπτά των Μαθηματικών με αντιδράσεις του facebook

Αν φέτος οι βαθμολογητές των Πανελλαδικών Εξετάσεων αποφάσιζαν να μη βάλουν βαθμούς, αλλά να αξιολογήσουν τα γραπτά στα Μαθηματικά με αντιδράσεις του facebook... τα αποτελέσματα θα ήταν κάπως έτσι: 

• Σωστή απάντηση / Παράθεση σωστού αντιπαραδείγματος στη Θεωρία:

Μου αρέσει!

• Ευφυής απόδειξη του ζητούμενου:

Τέλειο!

• Υπολογισμός ορίου με Κριτήριο Παρεμβολής:

Νοιάζομαι

• Λανθασμένη παραγώγιση:

Χαχα

• Απόδειξη ανισότητας με χρήση Θεωρήματος Μέσης Τιμής και μονοτονίας:

Ουάου!

• Λάθος στην εύρεση προσήμων, με αποτέλεσμα να μην μπορεί ο μαθητής να εφαρμόσει Θεώρημα Bolzano:

Λυπάμαι...

• Ανεπίτρεπτα / Θανάσιμα λάθη:

Έλεος!