Στη Χώρα των
Γρίφων υπάρχει ένας πύργος με 100 σκαλοπάτια. Κάθε σκαλοπάτι έχει έναν αριθμό,
ξεκινώντας από το 1 στο πρώτο σκαλοπάτι και φτάνοντας μέχρι το 100 στο
τελευταίο. Ένας ιππότης ξεκινά από το σκαλοπάτι 0, δηλαδή ακριβώς
μπροστά από τη σκάλα και θέλει να φτάσει στο τελευταίο σκαλοπάτι, όπου βρίσκεται η πριγκίπισσα.
Ο φύλακας του
πύργου τού δίνει την εξής πρόκληση:
-Ξεκινάς από το σκαλοπάτι 0.
-Σε κάθε βήμα, μπορείς να κινηθείς είτε 2 ή 3 σκαλοπάτια μπροστά.
-Πρέπει να φτάσεις ακριβώς στο σκαλοπάτι 100.
Πόσοι
διαφορετικοί τρόποι υπάρχουν για να το καταφέρει ο ιππότης;
Υπόδειξη:
Μπορείτε να ξεκινήσετε με μια απλούστερη παραλλαγή του γρίφου με 10 σκαλοπάτια.
Έπειτα, προχωρήστε γενικεύοντας με 100 σκαλοπάτια!
Με 50 διπλά 1 τρόπος .
ΑπάντησηΔιαγραφήΜε 2 τριπλά και 47 διπλά οι τρόποι είναι 48+47+46+...+2+1=1176 , ανάλογα με το πού θα γίνουν τα τριπλά.
Με 4 τριπλά και 44 διπλά ... Κάτι θα βρίσκουμε με συνδυαστική, δεν θυμάμαι...
Με 6 τριπλά και 41 διπλά ... Κάτι θα βρίσκουμε με συνδυαστική, δεν θυμάμαι...
Με 8 τριπλά και 38 διπλά ... Κάτι θα βρίσκουμε με συνδυαστική, δεν θυμάμαι...
.
.
.
Με 30 τριπλά και 5 διπλά ... Κάτι θα βρίσκουμε με συνδυαστική, δεν θυμάμαι...
Με 32 τριπλά και 2 διπλά οι τρόποι είναι 31+30+29+...+2+1=512 , ανάλογα με το πού θα γίνουν τα διπλά.
Το τελευταίο το έγραψα λάθος, το σωστό είναι :
ΔιαγραφήΜε 32 τριπλά και 2 διπλά οι τρόποι είναι 33+32+31+...+2+1=561 , ανάλογα με το πού θα γίνουν τα διπλά.
Δεν γίνεται διόρθωση του σχολίου, γι αυτό γράφω εδώ...
ΑπάντησηΔιαγραφήΤο τελευταίο το έγραψα λάθος, το σωστό είναι :
Με 32 τριπλά και 2 διπλά οι τρόποι είναι 33+32+31+...+2+1=561 , ανάλογα με το πού θα γίνουν τα διπλά.
Ναι Κώστα, ακριβώς έτσι πάει! Χρησιμοποιούμε τον τύπο για το πλήθος των δυνατών συνδυασμών \( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)
ΔιαγραφήΣυνδυασμοί ή διατάξεις;
ΔιαγραφήΔύσκολα μας βάζεις, Φωτεινή μου. Καλησπέρα και καλή βδομάδα, κορίτσι μου.
ΑπάντησηΔιαγραφήΚαλησπέρα, Γιάννη! Με τα 10 σκαλοπάτια είναι πολύ οκ!!!
ΔιαγραφήΠώς μπορείς να φτάσεις απ' το 0 ως το 10, κάνοντας κάθε φορά είτε 2 ή 3 βήματα;
Έστω:
ΑπάντησηΔιαγραφή• α = αριθμός βημάτων των 2 σκαλοπατιών
• β = αριθμός βημάτων των 3 σκαλοπατιών
Τα συνολικα σκαλοπάτια που ανεβαίνει είναι:
2α+3β=100 (1)
Ο αριθμός 2α είναι άρτιος.
Άρα και το 3β πρέπει να είναι άρτιος.
Επειδή το 3 είναι περιττός αριθμός, το β πρέπει να είναι άρτιος.
Θέτουμε λοιπόν
β=2κ (2)
όπου κ ≥ 0
Αντικαθιστούμε τη τιμή του β στην εξίσωση (1) κι’ έχουμε:
2α+3β=100 === 2α+ 3*2κ=100 === 2α+6κ=100
Διαιρούμε και τα δύο μέλη με το 2 κι’ έχουμε:
2α+6κ=100 === 2α/2+6κ/2=100/2 === α+3κ=50 === α=50-3κ (3)
Για να υπάρχει λύση πρέπει:
• α ≥ 0
• 50−3κ ≥ 0
• κ ≤ 16
Άρα:
κ=0,1,2,…,16
δηλαδή, 17 περιπτώσεις.
Ο συνολικός αριθμός κινήσεων είναι:
n=α+β (4)
Επειδή:
α=50−3κ, β=2κ
έχουμε:
n=α+β === n=50—3κ +2κ === n = 50 – κ (5)
Υπολογισμός τρόπων
Σε κάθε περίπτωση πρέπει να διατάξουμε:
• α= βήματα των 2
• β= βήματα των 3
Βάσει του τύπου c(n,β)=(n!)/κ!*(n-κ)!, για το πλήθος των δυνατών συνδυασμών έχουμε:
Για τον αναλυτικό πίνακα των περιπτώσεων όρα εδώ: https://imgur.com/a/ykx7bfU
Όπου κ=Περιπτώσεις.
Όπου α=βήματα των 2.
Όπου β=βήματα των 3.
Όπου n=α+β, ο συνολικός αριθμός βημάτων.
Σωστά, πολύ ωραία και αναλυτική η επεξήγηση που έγραψες!
ΔιαγραφήΦωτεινή καλησπέρα.
ΑπάντησηΔιαγραφήΤην επεξήγηση την έκανα για να είναι ολοκληρωμένη η λύση. Η λύση που έδωσε ο Κώστας ήταν πολύ συνοπτική. Εάν θέλεις ανάρτησε τον πίνακα των περιπτώσεων για να είναι πλήρως ολοκληρωμένη η παρουσίαση.