Χριστουγεννιάτικο κουίζ!

Ποια είναι η αξία των δύο δώρων από τον Άι-Βασίλη;;; 

ΚΑΛΑ ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΑ!!!

Ο γρίφος της Κυριακής

Sunday = ?

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Ορθογώνιο Παραλληλεπίπεδο

ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΠΙΠΕΔΟ 

Sol LeWitt (1928 - 2007) - "Παραλληλεπίπεδα" (Τοιχογραφία)

Όπυ Ζούνη (1941-2008) 

Όπυ Ζούνη (1941-2008) 

Wanda Koop (γεν. 1951) - "Nature Preserve" (2011) 

Salvador Dali (1904 - 1989) - "The Disintegration of the Persistence of Memory" (1954)

Carl Andre (γεν. 1935) - "Still Blue Range"
(Μινιμαλιστικό γλυπτό του 1989)

Τα βιβλία γράφουν...

Ορθογώνιο Παραλληλεπίπεδο ονομάζεται το στερεό εξάεδρο σχήμα που έχει τρία ζεύγη παράλληλων εδρών, οι οποίες είναι ορθογώνια παραλληλόγραμμα.

.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.

"Η επιστήμη σημαίνει την έρευνα της πραγματικότητας,

ενώ η τέχνη την έκφραση της ομορφιάς".

Όπυ Ζούνη (1941-2008)

.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.

Πηγές:

• Ευκλείδεια Γεωμετρία Α' και Β' Γενικού Λυκείου, Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών και Εκδόσεων "Διόφαντος", 2015
• E.H. Gombrich, Το Χρονικό της Τέχνης, Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, 1995
• H.L.C Jaffe, Η ζωγραφική στον 20ό αιώνα, Εκδόσεις Νεφέλη, 1984
• Όπυ Ζούνη: Γεωμετρική λογική και εικαστική ευαισθησία
• wikipedia.org

Γρίφος: Αληθής ή ψευδής? Η... στιγμή της αλήθειας!

Μόνο μία από τις παρακάτω πέντε προτάσεις είναι αληθής. Ποια είναι;;;

1. Μόνο μία από τις προτάσεις είναι ψευδής.
2. Μόνο δύο από τις προτάσεις είναι ψευδείς.
3. Τρεις από αυτές τις προτάσεις είναι ψευδείς.
4. Τέσσερις από αυτές τις προτάσεις είναι ψευδείς.
5. Και οι πέντε προτάσεις είναι ψευδείς.

Πηγή: "Το φ": Περιοδική έκδοση επικοινωνίας και διαλόγου στα Μαθηματικά. Τεύχος 3, Νοέμ. 2006. Υπεύθυνος έκδοσης Β. Ε. Βισκαδουράκης

Μαθηματικά και παιχνίδι: Παίζοντας με την προπαίδεια - Μέρος 1º

Επανέρχομαι σήμερα με ένα θέμα που μου ζητήσατε και που νομίζω πως απασχολεί πολλούς γονείς με παιδί στις πρώτες τάξεις του Δημοτικού…

«Πώς θα τη μάθει αυτή την προπαίδεια???»

Θυμάμαι, όταν ήμουν στο Δημοτικό, έπρεπε να αποστηθίσω ολόκληρη την προπαίδεια και να τη λέω «κατεβατό»… Αγγαρεία σκέτη σας λέω! Αλλά μπορούσα να κάνω κι αλλιώς? Από τότε ακόμη αντιπαθούσα την παπαγαλία. Ευτυχώς, για το παιδί μου έχω βρει πιο διασκεδαστικούς τρόπους εκμάθησης… και πιστεύω πως δεν διαψεύστηκα! Όλοι οι τρόποι που αναλύονται παρακάτω δουλεύουν και για παιδιά με μαθησιακές δυσκολίες, όπως είναι η δυσαριθμησία.

Για να ξεκινήσουμε την προπαίδεια, που πλέον διδάσκεται από τη Β’ Δημοτικού, θα μας βοηθήσει πολύ να έχουμε ήδη μάθει να μετράμε δύο-δύο και τρία-τρία. Κι αυτό γιατί ο πολλαπλασιασμός δεν είναι παρά πολλές προσθέσεις με τον ίδιο αριθμό. Παροτρύνετε το παιδί σας να μετρήσει ως το 100 δύο-δύο και μια άλλη φορά, τρία-τρία. Αυτό θα το βοηθήσει να μάθει την προπαίδεια του 2 και του 3 αντίστοιχα. Θα ήταν όμως προτιμότερο να το κάνετε αυτό περισσότερο σαν παιχνίδι και όχι ως «διάβασμα»!

Ένας απλός τρόπος για την κατανόηση του πολλαπλασιασμού είναι να παραστήσετε τα γινόμενα με ομάδες από παιδάκια (ή ζωάκια κλπ). Για παράδειγμα, το γινόμενο 2x5 μπορεί να παρασταθεί με 2 σειρές από 5 παιδάκια…

Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού είναι όσα και όλα τα παιδάκια, δηλαδή 10.

Επειδή όμως η διδασκαλία του πολλαπλασιασμού γίνεται έτσι κι αλλιώς στο σχολείο, για τους γονείς προτείνω… να παίξουν με τα παιδιά τους!

Θυμάστε το κρυφτό που παίζατε εσείς παιδιά??? Για την προπαίδεια του 5, προτείνετέ του να τα «φυλάξει» όπως όταν παίζει κρυφτό: 5, 10, 15, 20, 25...

και θα τη θυμάται πάντα! Άλλωστε, είναι γνωστό πως όταν λέμε κάτι με ρυθμό, το απομνημονεύουμε πολύ πιο εύκολα!

Μέσα από το παιχνίδι μπορεί το παιδί να «ανακαλύψει» και την προπαίδεια του 4, μετρώντας τις ρόδες από τα αυτοκινητάκια του ή τα πόδια από τα ζωάκια του: 1 αυτοκίνητο έχει 4 ρόδες, 2 αυτοκίνητα έχουν 8 ρόδες κ.ο.κ. 

Αν πάτε για καφέ έχοντας μαζί και το παιδί σας, μπορείτε να μετρήσετε αντίστοιχα τα πόδια από τις καρέκλες… 1 καρέκλα έχει 4 πόδια, 2 καρέκλες έχουν 8 πόδια κ.ο.κ. Έτσι αρχίζει να νιώθει το παιδί πως τα Μαθηματικά βρίσκονται παντού στην καθημερινή μας ζωή και όχι απλώς στο βιβλίο, δεν είναι ένα μάθημα που θα το φοβούνται όταν δεν το καταλαβαίνουν…

Για τον πολλαπλασιασμό ενός αριθμού με 10, αρκεί να συμπληρώσουμε ένα μηδενικό στο τέλος του αριθμού. Πείτε του αυτό το «μυστικό» και θα ξέρει πλέον τον κανόνα του πολλαπλασιασμού οποιουδήποτε αριθμού με 10. Εναλλακτικά, μπορείτε απλά να μετρήσετε δέκα-δέκα μέχρι το 100!

Παρακάτω βλέπετε μια παραλλαγή που έκανα στο κλασικό παιχνίδι domino…

Έκοψα ορθογώνια κομμάτια χαρτόνι, χώρισα το καθένα στη μέση και έγραψα στα κουτάκια τα πολλαπλάσια του 8, όπως φαίνεται στη φωτογραφία:

Από κει και πέρα, παίζεται με τον ίδιο τρόπο όπως και το κλασικό domino. Μπορείτε να φτιάξετε κι εσείς τα δικά σας domino, με την προπαίδεια όποιου αριθμού θελήσετε!

Μπορείτε ακόμη να φτιάξετε τη δική σας… τράπουλα. Γράψτε τα γινόμενα π.χ. 5x6 και τα αποτελέσματα π.χ. 30, θέστε τους κανόνες και παίξτε χαρτιά. Ακόμη, μπορείτε να «εμπλουτίσετε» την τράπουλά σας και με προσθέσεις ή αφαιρέσεις!

Στην ιστοσελίδα «Πράσινη Πρίζα» βρήκα ένα ενδιαφέρον βίντεο με ένα κολπάκι για την προπαίδεια, που «δουλεύει» για τα γινόμενα αριθμών από  το 6 ως το 10…

… αλλά και αυτό για την προπαίδεια του 9:

Στο επόμενο βίντεο βλέπουμε μια ενδιαφέρουσα ιδέα που μπορεί να υλοποιήσει ένας δάσκαλος... Φτιάχνουμε βεντάλια με τους πίνακες της προπαίδειας από το 1 ως το 12!

Κι εδώ είναι μια διασκεδαστική άσκηση που βρήκα στην ίδια ιστοσελίδα κι ετοίμασα για την κόρη μου… Ενώνουμε τις τελείες με τη σειρά, σύμφωνα με την προπαίδεια του 7:

Αντίστοιχη άσκηση μπορείτε να φτιάξετε και με την προπαίδεια οποιουδήποτε αριθμού.

Για να εμπεδώσει την προπαίδεια το πιτσιρίκι, δεν είμαι υπέρ του να τη λέει «κατεβατό», αλλά να ξέρει να απαντάει σε μια τυχαία ερώτηση. Ρωτήστε το κάποια τυχαία στιγμή, όπως την ώρα που οδηγείτε, ή την ώρα που κάνετε τις δουλειές του σπιτιού… Πόσο κάνει 5x7? 6x9? Ακόμη και πριν φτάσετε στο στάδιο της προπαίδειας, ρωτήστε π.χ: 5+2? Τέτοιες ερωτήσεις κρατούν πάντα το μυαλουδάκι τους σε εγρήγορση, χωρίς να νιώθουν ότι μελετούν ή εξετάζονται!

Καλέστε τα να λύσουν ακόμη και «προβλήματα» της καθημερινότητας, όπως αυτό που ρώτησε η μεγάλη αδερφή μου, που είχε την κόρη μου μαζί με τις δικές της: «Είστε 3 κορίτσια. Αν καθεμιά πάρει 5 ψαροκροκέτες, πόσες θα φάτε όλες μαζί»? Ζητήστε τους ακόμη να σας βοηθήσουν με κάποιον πρόχειρο υπολογισμό όταν πάτε για ψώνια. Για παράδειγμα, ο ένας χυμός κοστίζει 2€, πόσα θα πληρώσουμε για 2 χυμούς? Έχουμε 5€, φτάνουν τα χρήματα για να πάρουμε 3 χυμούς?

Δεν ξέρω αν θα φανεί υπερβολικό, αλλά πιάνει το «κόλπο», πιστέψτε με! 

Για το τέλος άφησα τα online παιχνίδια εκμάθησης της προπαίδειας… Τα παιδιά μας μεγαλώνουν «μέσα» στη τεχνολογία, οπότε… ποιο θα έλεγε όχι σ’ ένα παιχνίδι στο ίντερνετ??? Οι παρακάτω σύνδεσμοι οδηγούν σε παιχνίδια με την προπαίδεια. Αν εξερευνήσετε όμως αυτές τις ιστοσελίδες, θα βρείτε περισσότερα παιχνίδια, γενικότερα με τα μαθηματικά…

• Number Balloons
• Dynamite Multiplication
• Pirates
• Flying High
• Snowy’s Friend
• Learn Your Tables

Ελπίζω να βοήθησα κι εσάς μ’ αυτές τις ιδέες… Γιατί δεν θέλει κόπο, θέλει τρόπο!!! 

Σημείωση: Η παραπάνω ανάρτηση αποτελεί μια βελτιωμένη αναδημοσίευση από το παλιό μου ιστολόγιο. Μπορείτε να διαβάσετε την πρωτότυπη ανάρτηση εδώ...

Η εξίσωση του... Batman

Σύμφωνα με το Wolfram MathWorld, η "εξίσωση του Batman" ή "καμπύλη του Batman", που αναπαριστά το λογότυπο του αγαπημένου από πολλούς σούπερ ήρωα, είναι μια καμπύλη αποτελούμενη από επιμέρους τμήματα, καθένα από τα οποία είναι γράφημα κάποιας συνάρτησης. Πρωτοδημοσιεύτηκε στο Reddit τον Ιούλιο του 2011.

Τσεκάρετε έναν άλλο τρόπο αναπαράστασης του λογότυπου του Batman, στο Wolfram Alpha, γράφοντας "batman logo"!

Ο γρίφος του Joker

 "Κούπες" με "καρό"... Πήρανε τα "σπαθιά" τους αλλά τα βρήκανε... "μπαστούνια"! Ο Joker προσπαθεί να λύσει το γρίφο... Μπορείτε να τον βοηθήσετε;

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Πολύεδρα - Κύβος

Στην παρούσα και στις επόμενες αναρτήσεις του project "Μαθηματικά και Τέχνη" θα γνωρίσουμε τη γεωμετρία του χώρου και τα θεμελιώδη γεωμετρικά στερεά σχήματα.

Ο γεωμετρικός χώρος έχει 3 διαστάσεις: μήκος, πλάτος και ύψος και εκτείνεται απεριόριστα σε κάθε κατεύθυνση. Μέσα στον γεωμετρικό χώρο "ζουν" όλα τα στερεά σχήματα. Υπάρχουν δύο "οικογένειες" στερεών σχημάτων: τα πολύεδρα και τα στερεά εκ περιστροφής.

ΠΟΛΥΕΔΡΑ

Τα βιβλία γράφουν...

Τα πολύεδρα αποτελούνται από επίπεδα πολυγωνικά σχήματα, κατάλληλα τοποθετημένα, ώστε να σχηματίζουν ένα κλειστό στερεό σχήμα. Τα πολυγωνικά σχήματα λέγονται έδρες του πολυγώνου. Οι έδρες ενώνονται σε ακμές και οι ακμές συνδέονται σε σημεία που ονομάζονται κορυφές του πολυγώνου.

Το πιο γνωστό πολύεδρο είναι ο κύβος, που αποτελείται από 6 τετράγωνα (έδρες του κύβου).


ΚΥΒΟΣ

Sol LeWitt (1928 - 2007) - "Cubic Rectangle" (Τοιχογραφία του 1989)

Sara Mondo (Σύγχρονη ζωγράφος) - "Invasion of floating cubes"

Όπυ Ζούνη (1941-2008) - "Κόκκινος κύβος στο χώρο" (2007)

Όπυ Ζούνη (1941-2008) - "Κύβοι"

Susie Callahan (Σύγχρονη ζωγράφος) - "Cool cubes"

Joseph Hawa (Σύγχρονος ζωγράφος) - "The Cube" (2012)

Chris Bancroft (Σύγχρονος ζωγράφος) - "Painting of things on my desk: Rubik's"

John Picking (γεν. 1939) - "Ambiguity I" (2011)

John Picking (γεν. 1939) - "Causeway" (2011)

John Picking (γεν. 1939) - "Triad I" (2011)

John Picking (γεν. 1939)  - "Triad II" (2011)

John Picking (γεν. 1939)  - "Cube Vertigo" (2008)

John Picking (γεν. 1939)  - "Four-Cube" (2011)

John Picking (γεν. 1939)  - "Five-Cube" (2011)

John Picking (γεν. 1939)  - "Six-Cube" (2011)

John Picking (γεν. 1939)  - "Study for Clouds in a Four-Dimensional Sky" (2011)

Για να δούμε καλύτερα το σχήμα του κύβου μέσα στο χώρο, ας γνωρίσουμε τον κύβο μέσα από όμορφα γλυπτά.

Anila Quayyum Agha (Σύγχρονη γλύπτρια) - "Intersections" (Γλυπτό με την τεχνική της 3D-εκτύπωσης, εγκατεστημένο στο Μουσείο Peabody Essex, Σάλεμ, Μασαχουσέτη)

Anila Quayyum Agha (Σύγχρονη γλύπτρια) - "All the flowers are for me: Red" (Γλυπτό με την τεχνική της 3D-εκτύπωσης. Φωτισμένο από το εσωτερικό του, δημιουργεί καταπληκτικές σκιές στους τοίχους. Είναι εγκατεστημένο στο Μουσείο Peabody Essex, Σάλεμ, Μασαχουσέτη)

Rasheed Araeen (γεν. 1935) - "One Summer Afternoon" (1968)

Rasheed Araeen (γεν. 1935) - "One Summer Afternoon" (1968)

Jake Weigel (Σύγχρονος γλύπτης) - Γλυπτό από γυαλί και ξύλο (2014)

Ο μεγαλύτερος κύβος του κόσμου είναι το Atomium, ένα οικοδόμημα που κατασκευάστηκε το 1958 από τους αρχιτέκτονες J. Polak και A. Polak, για την Παγκόσμια Έκθεση των Βρυξελλών. Έχει ύψος 103 μ. και αναπαριστά την κυψελίδα ενός κρυστάλλου σιδήρου, η οποία έχει κυβικό σχήμα.

 "Atomium Illustration" (Copyright 2006, Art Creation (ASBL); Artists Rights Society (ARS), New York; SABAM, Belgium)

Τα βιβλία γράφουν...

Ο χώρος μπορεί να καλυφθεί, δηλαδή να "γεμίσει" χωρίς κενά ή επικαλύψεις, μόνο με κύβους.

Maurits Cornelis Escher (1898 - 1972) - "Κυβική Διαίρεση Χώρου"

(Συνεχίζεται με περισσότερα γεωμετρικά στερεά...)

.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.

"Το ενδιαφέρον μου για τον κύβο, περισσότερο από τον Κυβισμό, αφορά αυτό το συγκεκριμένο γεωμετρικό στερεό. Προσφέρει τόσες πολλές δυνατότητες. Σε αντίθεση με τον Albers που είχε επιλέξει το τετράγωνο για την αδυναμία του, επέλεξα τον κύβο σαν ένα δυνατό στερεό που ξεπερνά τα όρια ενός επίπεδου καμβά".
John Picking (Homage to the Cube)

.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.

Πηγές:

• Ευκλείδεια Γεωμετρία Α' και Β' Γενικού Λυκείου, Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών και Εκδόσεων "Διόφαντος", 2015
• E.H. Gombrich, Το Χρονικό της Τέχνης, Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, 1995
• H.L.C Jaffe, Η ζωγραφική στον 20ό αιώνα, Εκδόσεις Νεφέλη, 1984
• John Picking, Homage to the Cube, 2011
• Wolfram Math World: Cube
• wikipedia.org

"Αριθμητική με το νου"

Ο Nikolay Bogdanov-Belsky (1868 - 1945) ήταν Ρώσος ζωγράφος που ακολουθούσε τα ρεύματα του Ρεαλισμού και του Ιμπρεσιονισμού. Πολλά από τα έργα του έχουν ηθογραφικό χαρακτήρα και αποτελούνται από πορτρέτα, ιμπρεσιονιστικά τοπία και απεικονίσεις της καθημερινής ζωής, με κύριο στοιχείο τα παιδιά και την εκπαίδευση τους.

To 1895, o Nikolay Bogdanov-Belsky ζωγράφισε τον πίνακα «Αριθμητική με το νου. Στο δημόσιο σχολείο του S. Rachinsky», ή κατ' άλλους, «Ένα δυσνόητο πρόβλημα». Ο δάσκαλος που απεικονίζεται είναι ο S. Rachinsky, καθηγητής φυσικής, ο οποίος εγκατέλειψε το πανεπιστήμιο για να υπηρετήσει ως απλός δάσκαλος σε κάποιο χωριό.

Οι περισσότεροι, όμως, όταν θαυμάζουν το έργο τέχνης, παραβλέπουν το πρόβλημα που είναι γραμμένο στον πίνακα της τάξης... Το πρόβλημα ζητάει τον υπολογισμό της αριθμητικής παράστασης:

(10²+11²+12²+13²+14²)/365

Μπορείτε να κάνετε τον υπολογισμό με το μυαλό σας;

Πηγές:

Yakov Perelman, Διασκεδαστικά Μαθηματικά, Εκδόσεις Κάτοπτρο, 2001

https://twitter.com/fermatslibrary

Περί του χρυσού αριθμού «φ»... (Μέρος 3º - Ο αγαπημένος αριθμός του σύμπαντος)

«Η Γεωμετρία έχει δύο μεγάλους θησαυρούς...

Ο ένας είναι το Πυθαγόρειο Θεώρημα,

ο άλλος η διαίρεση μιας γραμμής σε άκρο και μέσο λόγο.

Τον πρώτο μπορούμε να τον συγκρίνουμε με μια ποσότητα χρυσού.

Τον δεύτερο μπορούμε να τον θεωρήσουμε ως ένα πολύτιμο κόσμημα».

Johannes Kepler (1571 - 1630)

Όπως είχαμε δει στο 2º μέρος, ο χρυσός αριθμός φ = 1,618... δίνει το παρών σχεδόν παντού στη φύση, σε πολλούς ζωντανούς οργανισμούς, ακόμη και σε μοριακό επίπεδο. Συνεχίζοντας τώρα, ανακαλύπτουμε την παρουσία του φ όπου δεν μπορούσαμε να φανταστούμε... στο ίδιο μας το σώμα, στο DNA μας, ακόμη και στο Διάστημα!

Ο ΑΡΙΘΜΟΣ φ ΣΤΟ ΑΝΘΡΩΠΙΝΟ ΣΩΜΑ

Στοv «άνθρωπο του Βιτρούβιου», το διάσημο σχέδιο του Da Vinci, βλέπουμε, μετά από μια "σύγχρονη" παρέμβαση, τις χρυσές αναλογίες στο ανθρώπινο σώμα. Ήταν ο ίδιος ο Da Vinci που ονόμασε τον φ «χρυσό αριθμό», ενώ ο συνεργάτης του, μαθηματικός και μοναχός, Luca Pacioli, έγραψε το βιβλίο «Περί της Θείας Αναλογίας», αναφερόμενος στο λόγο της χρυσής τομής. Το θέμα του βιβλίου είναι η αναλογία στα μαθηματικά και την τέχνη, ιδίως η θεωρία της χρυσής τομής και η εφαρμογή της στην αρχιτεκτονική.

O αριθμός φ εμφανίζεται σε πολλές από τις αναλογίες του ανθρώπινου σώματος. Για παράδειγμα, ο αφαλός «τέμνει» το σώμα μας, από την κορυφή του κεφαλιού μέχρι τα δάκτυλα των ποδιών, σε λόγο χρυσής τομής. Αν μετρήσετε το ύψος σας (την απόσταση από την κορυφή του κεφαλιού σας μέχρι το πάτωμα) και τη διαιρέσετε με την απόσταση από τον αφαλό μέχρι το πάτωμα, προσεγγίζεται πάντα ο αριθμός φ. Αν μετρήσετε την απόσταση από τον αφαλό μέχρι το πάτωμα και τη διαιρέσετε με την απόσταση από την κορυφή του κεφαλιού σας μέχρι τον αφαλό, προσεγγίζεται πάντα ο αριθμός φ.  

Ακόμα, το χέρι μας, από τον ώμο μέχρι τις άκρες των δακτύλων μας, διαιρείται σε λόγο χρυσής τομής ακριβώς στον αγκώνα μας. Αν μετρήσετε την απόσταση από τον ώμο σας μέχρι τις άκρες των δακτύλων και τη διαιρέσετε με την απόσταση από τον αγκώνα μέχρι τις άκρες των δακτύλων, προσεγγίζεται  πάντα ο αριθμός φ. Αν μετρήσετε την απόσταση από τον αγκώνα μέχρι τις άκρες των δακτύλων και τη διαιρέσετε με την απόσταση από τον ώμο σας μέχρι τον αγκώνα, προσεγγίζεται  πάντα ο αριθμός φ.

Αντίστοιχα, ο καρπός «τέμνει» το χέρι μας, από τον αγκώνα μέχρι τις άκρες των δακτύλων, σε χρυσή τομή.

Όμοια, η χρυσή τομή και η ακολουθία Fibonacci μπορούν να βρεθούν και στα δάκτυλά μας. 

Η αναλογία μεταξύ του μήκους και του φάρδους του προσώπου και η αναλογία του μήκους του στόματος προς το φάρδος της μύτης είναι μερικά ακόμα παραδείγματα της εφαρμογής των αριθμών αυτών στο ανθρώπινο σώμα.

Ακόμα και σε πολλές άλλες λεπτομέρειες συναντάμε τον αριθμό φ, όπως στις αναλογίες των δοντιών μας ή του αυτιού μας. Φυσικά, δεν έχουμε όλοι ίδια δόντια, ίδια μύτη ή ίδια αυτιά. Απλώς, όσο περισσότερο πλησιάζουν οι αναλογίες κάποιου χαρακτηριστικού στον αριθμό φ, τόσο πιο «όμορφο» φαίνεται αυτό. 

Δεν είναι τυχαίο ότι πολλές «ανατολίτικες θρησκείες» και κινήματα στα πλαίσια της διδασκαλίας τους για διαλογισμό και την αυτοσυγκέντρωση και στο λεγόμενο «γιόγκα» η στάση του ανθρώπινου σώματος γίνεται κατά αυτό τον τρόπο έτσι, ώστε τα «κεντρικά - κομβικά» σημεία του σώματος να βρίσκονται σε αναλογίες φ.

Επιπλέον, έχει ανακαλυφθεί η ύπαρξη του φ στην δομή του DNA. Το DNA αποτελείται από δύο έλικες οι οποίες συστρέφονται μεταξύ τους. Οι αποστάσεις μεταξύ τους (grooves) «κρύβουν» τον αριθμό φ, όπως βλέπουμε παρακάτω:

Ο ΑΡΙΘΜΟΣ φ ΣΤΗΝ ΙΑΤΡΙΚΗ

Ένα καρδιογράφημα σε κατάσταση ηρεμίας μοιάζει με το παρακάτω. Θεωρείται υγιές όταν το διάστημα μεταξύ δύο οξέων επαρμάτων QRS διαιρείται σε λόγο χρυσής τομής από ένα έπαρμα Τ (το κόκκινο βέλος στο διάγραμμα).

Ο ΑΡΙΘΜΟΣ φ ΣΤΗ ΜΕΤΕΩΡΟΛΟΓΙΑ

Ο αριθμός φ και η χρυσή έλικα εμφανίζονται επίσης στο σχήμα των κυκλώνων, όπως αποτυπώνεται χαρακτηριστικά στις φωτογραφίες των μετεωρολογικών δορυφόρων.

Ο ΑΡΙΘΜΟΣ φ ΣΤΟ ΗΛΙΑΚΟ ΜΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑ

Οι διαστάσεις της Γης και της Σελήνης σχετίζονται με τον αριθμό φ, σχηματίζοντας ένα ορθογώνιο τρίγωνο βασισμένο στη χρυσή αναλογία.

H κίνηση ορισμένων πλανητών γίνεται βάσει του αριθμού φ, καθώς ο χρόνος περιφοράς τους γύρω από τον Ήλιο προσεγγίζεται από κάποια δύναμη του φ.

• Ερμής: φ^-3 = 0,24 έτη 
• Αφροδίτη: φ^-1 = 0,62 έτη
• Γη: φ⁰ = 1 έτος
• Δίας: φ⁵ = 11,9 έτη 
• Κρόνος: φ⁷ = 29 έτη

Ειδικότερα, ο Κρόνος έχει «αποκαλύψει» την αναλογία της χρυσής τομής στις διαστάσεις αυτού και των δακτυλίων του.

ΓΑΛΑΞΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΥΡΕΣ ΤΡΥΠΕΣ

Τα περισσότερα αντικείμενα θερμαίνονται καθώς προσλαμβάνουν ενέργεια. Αλλά ενίοτε οι μαύρες τρύπες ενδέχεται να χάνουν ενέργεια ενώ θερμαίνονται. Σ’ αυτή την περίπτωση, λέμε ότι έχουν αρνητική ειδική θερμοχωρητικότητα. 

Για μια περιστρεφόμενη μαύρη τρύπα, τα πράγματα περιπλέκονται περισσότερο. Όταν περιστρέφεται αρκετά γρήγορα, η ειδική θερμοχωρητικότητά της γίνεται θετική, όπως δηλαδή συμβαίνει με ένα συνηθισμένο αντικείμενο. Τη χρονική στιγμή που η ειδική θερμοχωρητικότητα της μαύρης τρύπας γίνεται από αρνητική θετική, η στροφορμή της J και η μάζα της M ικανοποιούν τη σχέση:

Συμμετέχει, δηλαδή, στην εξίσωση και ο αριθμός φ!

Τέλος, ο αριθμός φ και η χρυσή έλικα εμφανίζονται και στη μορφή των σπειροειδών γαλαξιών.

ΤΟ ΚΑΛΥΤΕΡΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ

Ποιος είναι άραγε ο βαθύτερος λόγος που κάνει έναν αριθμό, κατασκευασμένο με βάση μια αφηρημένη μαθηματική ιδιότητα, να έχει τόσο σημαντικές εφαρμογές στη φύση, και μάλιστα σε τόσο διαφορετικά συστήματα; Οι σπόροι, τα όστρακα, οι κυκλώνες και οι γαλαξίες δεν έχουν καμία κοινή ιδιότητα και διέπονται από εντελώς διαφορετικούς φυσικούς νόμους. (Βάρβογλης, 2003).  Όμως όλα τους εμπεριέχουν το χρυσό αριθμό.

Τα φύλλα, τα πέταλα και οι σπόροι οργανώνονται στα φυτά ακολουθώντας ένα συγκεκριμένο μοτίβο γιατί έτσι, καθώς αναπτύσσονται, αξιοποιούν με τον καλύτερο δυνατό τρόπο το διαθέσιμο χώρο. Αν κατανείμουμε τα φύλλα στο μίσχο σύμφωνα με το χρυσό αριθμό, όλα θα επωφελούνται στο μέγιστο βαθμό από το φως του ήλιου, χωρίς να κρύβει το ένα το άλλο. Τα λουλούδια, χάρη στο χρυσό αριθμό, προσελκύουν όσο το δυνατόν καλύτερα τα έντομα που μεταφέρουν τη γύρη.

Η ανάπτυξη των οστράκων επηρεάζεται από τον διαθέσιμο χώρο. Η δημιουργία των κυκλώνων οφείλεται στη ροή του υγρού αέρα από περιοχές υψηλής πίεσης σε περιοχές χαμηλής. 

Λόγω της περιστροφής της Γης, τα ρεύματα του αέρα αποκλίνουν από την ευθεία, έτσι ώστε στο βόρειο ημισφαίριο όλοι οι κυκλώνες να περιστρέφονται αντίθετα από τη φορά των δεικτών του ρολογιού, ενώ στο νότιο ημισφαίριο, αντίστροφα. 

Τέλος οι σπείρες είναι περιοχές ενός γαλαξία όπου υπάρχει συγκέντρωση αστέρων, σκόνης και αερίων, οι οποίες δημιουργούνται όταν κάποιος άλλος γαλαξίας περάσει σε κοντινή απόσταση. 

Φαίνεται, λοιπόν, ότι ο χρυσός αριθμός έχει «παγκόσμιες» ιδιότητες και είναι ο αγαπημένος αριθμός του Σύμπαντος. Κι αν έχει επιλέξει η Φύση να «δουλεύει» χρησιμοποιώντας τη χρυσή αναλογία, τότε γιατί όχι και ο άνθρωπος;

Στα επόμενα θα δούμε πώς οι άνθρωποι εφαρμόζουν τη Χρυσή Τομή από την αρχαιότητα μέχρι σήμερα…

Πηγές:

Περιοδικό Focus

goldennumber.net

wikipedia.org

https://johncarlosbaez.wordpress.com/2013/02/28/black-holes-and-the-golden-ratio/