Εμφάνιση αναρτήσεων με ετικέτα μαθηματικά και τέχνη. Εμφάνιση όλων των αναρτήσεων
Εμφάνιση αναρτήσεων με ετικέτα μαθηματικά και τέχνη. Εμφάνιση όλων των αναρτήσεων

Δευτέρα 11 Σεπτεμβρίου 2023

Καλή σχολική χρονιά!

 

Το blog "εις το άπειρον" από φέτος θα βρίσκεται στην Κάλυμνο... Ευχόμαστε σε μαθητές, γονείς και εκπαιδευτικούς καλή σχολική χρονιά, με υγεία, δύναμη και όρεξη για μάθηση!


Χρυσή τομή Νικηφόρειο Λύκειο
Έργο μαθητών που απεικονίζει τη χρυσή έλικα στο 1ο Νικηφόρειο Γενικό Λύκειο Καλύμνου

Πέμπτη 29 Ιουνίου 2023

"Αλγεβρικές επιφάνειες"... ψηφιακά έργα μαθηματικής τέχνης!

 

Ο Γερμανός Torolf Sauermann, χρησιμοποιώντας μαθηματικά και το λογισμικό Surfer, δημιουργεί μοναδικά ψηφιακά έργα μαθηματικής τέχνης. Aποκαλεί τη συλλογή "Αλγεβρικές Επιφάνειες", αφού οι επιφάνειες που απεικονίζονται, παριστάνονται από αλγεβρικές εξισώσεις στον τρισδιάστατο χώρο. 


Sauermann Surface 2013
"Sauermann Surface 2013"

Kubismus Sauermann 2011
"Kubismus Sauermann 2011"

2x Sphere
"2x Sphere"

3x Sphere
"3x Sphere"

4x Sphere
"4x Sphere"

6x Sphere
"6x Sphere"

Sauermann Nonic Surface 2013
"Sauermann Nonic Surface 2013"

Sunflower Sauermann 2008
"Sunflower Sauermann 2008"

Cube Surface
"Cube Surface"

d=10 Demo Sauermann 2013
"d=10 Demo Sauermann 2013"

Fresnel Wave Surface
"Fresnel Wave Surface"



Πηγή εικόνων: Imaginary.org


Τρίτη 21 Μαρτίου 2023

"Τ' ανώτερα μαθηματικά μου..." (για την Παγκόσμια Ημέρα Ποίησης)


Harsh Malik - "Ornate Nautilus Shell". Τ' ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΥ τα έκανα στο Σχολείο της θάλασσας.
Harsh Malik - "Ornate Nautilus Shell"

 


Τ' ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΥ τα έκανα στο Σχολείο της θάλασσας. Ιδού και μερικές πράξεις για παράδειγμα:


(1) Εάν αποσυνθέσεις την Ελλάδα, στο τέλος θα δεις να σου απομένουν μια ελιά, ένα αμπέλι κι ένα καράβι. Που σημαίνει: με άλλα τόσα την ξαναφτιάχνεις.


(2) Το γινόμενο των μυριστικών χόρτων επί την αθωότητα δίνει πάντοτε το σχήμα κάποιου Ιησού Χριστού.


(3) Η ευτυχία είναι η ορθή σχέση ανάμεσα στις πράξεις (σχήματα) και στα αισθήματα (χρώματα). Η ζωή μας κόβεται, και οφείλει να κόβεται, στα μέτρα που έκοψε τα χρωματιστά χαρτιά του ο Matisse.


(4) Όπου υπάρχουν συκιές υπάρχει Ελλάδα. Όπου προεξέχει το βουνό απ' τη λέξη του υπάρχει ποιητής. Η ηδονή δεν είναι αφαιρετέα.


(5) Ένα δειλινό στο Αιγαίο περιλαμβάνει τη χαρά και τη λύπη σε τόσο ίσες δόσεις που δεν μένει στο τέλος παρά η αλήθεια.


(6) Κάθε πρόοδος στο ηθικό επίπεδο δεν μπορεί παρά να είναι αντιστρόφως ανάλογη προς την ικανότητα που έχουν η δύναμη κι ο αριθμός να καθορίζουν τα πεπρωμένα μας.


(7) Ένας "Αναχωρητής" για τους μισούς είναι, αναγκαστικά, για τους άλλους μισούς, ένας "Επερχόμενος".




Οδυσσέας Ελύτης, Ο Μικρός Ναυτίλος, εκδ. ΙΚΑΡΟΣ, Αθήνα 1985 (Από την ενότητα ΜΥΡΙΣΑΙ ΤΟ ΑΡΙΣΤΟΝ).


Κυριακή 22 Ιανουαρίου 2023

Μαθηματικά σε γλώσσα προγραμματισμού BASIC-256 παράγουν έργα τέχνης


O Joel Kahn χρησιμοποιεί τη γλώσσα προγραμματισμού BASIC-256 ως εργαλείο, σε συνδυασμό με τα Μαθηματικά (κυρίως Γεωμετρία, Αναλυτική Γεωμετρία, Άλγεβρα, αλλά και Τριγωνομετρία) και παράγει ψηφιακά έργα τέχνης.


"Deceptive Crescents"

"Overloop"

"Garden of Sierpinski"

"Embedded Gold"

"Galactic Mountain"

"Glow and Converge"

"Hourglass"

"Pyramid Silhouette"

"Metallic Core"

"Red Green Blue Sharpness"

"Seashore"

"Complex Diagonal Symmetry"

"Diagonal Eggs"

"Knots in Hyperspace"

"Rainbow Mountains"

"Sharp Crystals"



Πηγή εικόνων: Imaginary.org


Δευτέρα 26 Ιουλίου 2021

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Η Σάλπιγγα του Γαβριήλ & ένα παράδοξο!

 

Η σάλπιγγα του Γαβριήλ
Γλυπτό όπου απεικονίζεται ο Αρχάγγελος Γαβριήλ φυσώντας τη σάλπιγγά του για να αναγγείλει την Ημέρα της Κρίσης


Η Σάλπιγγα (ή κέρας) του Γαβριήλ που απεικονίζεται στο παραπάνω γλυπτό έδωσε (δικαιολογημένα) το όνομά της σε μια επιφάνεια, με την οποία ασχολήθηκε διεξοδικά ο Evangelista Torricelli (1608-1647), μαθητής του Γαλιλαίου, προσπαθώντας να λύσει ένα παράδοξο. Η λέξη "παράδοξο" σημαίνει ότι αν επιχειρήσουμε να χρησιμοποιήσουμε τη διαίσθησή μας για να το ερμηνεύσουμε, αυτό φαίνεται παράλογο. Στον φυσικό κόσμο ίσως και να είναι όντως αδύνατο να συμβεί. Όμως, μαθηματικά, όλα είναι σωστά! Και δεν μπορείς να φέρεις αντίρρηση στα μαθηματικά...


Angel Playing A Flageolet
Lady Lindsay Blanche (1844-1912) - "Angel Playing a Flageolet"


Τα βιβλία γράφουν...

Η Σάλπιγγα του Γαβριήλ (Gabriel's horn, ή Torricelli's trumpet) είναι μια επιφάνεια εκ περιστροφής που προκύπτει αν πάρουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης  \(y=\frac{1}{x} \), με \( x \geq 1\) και την περιστρέψουμε στις τρεις διαστάσεις γύρω από τον άξονα των \(x\).

Περισσότερα γύρω από τις επιφάνειες εκ περιστροφής, μπορείτε να διαβάσετε εδώ...


russell kightley
Russell Kightley (σύγχρονος επιστημονικός γραφίστας) - "Gabriel's Horn"

Για τη συγκεκριμένη επιφάνεια, ο Torricelli παρατήρησε το 1641 το εξής παράδοξο, γνωστό πλέον και ως το παράδοξο του ελαιοχρωματιστή:


  • Αρχικά υπολόγισε τον όγκο που περιέχεται από την επιφάνεια της σάλπιγγας του Γαβριήλ. Ουσιαστικά, για να βρούμε τον όγκο που περιέχεται από την επιφάνεια εκ περιστροφής, αρκεί να προσθέσουμε τα εμβαδά όλων των κύκλων της επιφάνειας. Δεδομένου ότι το εμβαδόν ενός κύκλου με ακτίνα \(r\) είναι \(A=\pi r^2\) και η ακτίνα \(r\) στη θέση \(x\) ισούται με \( r=y=\frac{1}{x} \), προκύπτει ότι 


Επομένως ο όγκος της σάλπιγγας του Γαβριήλ βρίσκεται αν υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα


Δηλαδή ο όγκος που περικλείεται από τη σάλπιγγα του Γαβριήλ είναι \( \pi\) κυβικές μονάδες.

  • Μετά τον υπολογισμό του όγκου, ο Torricelli θέλησε να βρει και το εμβαδόν της επιφάνειας εκ περιστροφής. Δεδομένου ότι η περίμετρος ενός κύκλου με ακτίνα \(r\) είναι \(L=2 \pi r\) και η ακτίνα \(r\) στη θέση \(x\) ισούται με \( r=y=\frac{1}{x} \), προκύπτει τελικά το επιφανειακό ολοκλήρωμα 


Δηλαδή το εμβαδόν της επιφάνειας είναι άπειρο! Με άλλα λόγια, έχουμε περιστρέψει μια άπειρη περιοχή γύρω από μια ευθεία και πήραμε έναν πεπερασμένο όγκο! Το παράδοξο του ελαιοχρωματιστή, λοιπόν, μας λέει ότι μπορούμε να γεμίσουμε τη σάλπιγγα του Γαβριήλ με \( \pi \simeq 3,14\) κυβικές μονάδες χρώματος, αλλά δεν υπάρχει αρκετή μπογιά στον κόσμο για να χρωματίσουμε το εξωτερικό της!

Να σημειώσουμε ότι ο Evangelista Torricelli δεν έκανε τους υπολογισμούς του με τη χρήση ολοκληρωμάτων, αφού ο ολοκληρωτικός λογισμός δεν είχε ακόμη επινοηθεί. Στην πραγματικότητα, χρησιμοποίησε μια τεχνική που ονομάζεται μέθοδος του Cavalieri. Αλλά δεν μπορούσε να βγάλει άκρη! Πώς είναι δυνατόν μια επιφάνεια με άπειρο εμβαδόν να περικλείει έναν πεπερασμένο όγκο;


"Gabriel's Horn"
"Gabriel's Horn"


Πού οφείλεται λοιπόν το παράδοξο αυτό; Έχετε στο νου σας ότι εδώ κάνουμε Μαθηματικά, όχι Φυσική ή άλλες επιστήμες που επιχειρούν να εξηγήσουν το σύμπαν... Η απάντηση είναι πως δεν είναι έγκυρο να υποθέσουμε ότι μπορούμε να εκτελέσουμε διαδικασίες μόνο και μόνο επειδή αυτές συσχετίζονται με πεπερασμένα μεγέθη. H σάλπιγγα του Γαβριήλ είναι μια άπειρη επιφάνεια. Έτσι, είναι δεκτό ότι δεν μπορούμε να βάψουμε την επιφάνεια αυτή, επειδή δεν έχουμε άπειρη μπογιά. Όμως είναι λάθος να συμπεράνουμε ότι μπορούμε να γεμίσουμε το εσωτερικό της, απλώς επειδή υπάρχει η συνολική ποσότητα χρώματος που απαιτείται. Η διαδικασία γεμίσματος δεν θα μπορούσε να γίνει σε πεπερασμένο χρόνο, αφού πρόκειται για μια άπειρη επιφάνεια, δηλαδή δεν έχει τέλος...



Πηγές:

Mathemania: Gabriel's Horn

Russell Kightley

Sarah Colegrave Fine Art

That's Maths: Torricelli's Trumpet & The Painter's Paradox

Wikipedia | Gabriel's Horn

YouTube | Gabriel's Horn Paradox - Numberphile

YouTube | Gabriel's Horn (extra) - Numberphile

Κυριακή 30 Μαΐου 2021

Πορτρέτα μαθηματικών βασισμένα στο έργο τους

 

Η Ισραηλινή καλλιτέχνιδα και επιστήμων πληροφορικής, Ayelet Sapirstein, δημιουργεί πορτρέτα μαθηματικών με υλικά και τεχνικές που βασίζονται στη μαθηματική εργασία τους και στα θεωρήματά τους, μετατρέποντας την ομορφιά της επίλυσης μαθηματικών προβλημάτων σε τέχνη.


Το παρακάτω πορτρέτο ανήκει στον μαθηματικό Boris Delaunay και δημιουργήθηκε με χρήση του αλγορίθμου τριγωνισμού Delaunay. Αφού επέλεξε σημεία στο επίπεδο, τα οποία εμφανίζονται ως καρφιά στο έργο τέχνης, ο αλγόριθμος χωρίζει το επίπεδο σε τρίγωνα των οποίων οι κορυφές είναι τα αρχικά σημεία. Έτσι παίρνουμε έναν διάλογο μεταξύ της καλλιτέχνιδας που επιλέγει τα σημεία και του αλγορίθμου που επιλέγει πώς να ενώσει αυτά τα σημεία με το υπόλοιπο έργο.


Triangulated Delaunay
Triangulated Delaunay
Καρφιά και σύρμα σε ξύλινη επιφάνεια
2019


Παρακάτω, η Ayelet Sapirstein σε συνεργασία με τoν Eyal Cohen δημιουργούν το πορτρέτο του λογικολόγου και φιλοσόφου John Venn, γνωστού για τη σύλληψη του διαγράμματος Venn που χρησιμοποιείται σε πολλά επιστημονικά πεδία, συμπεριλαμβανομένης της Θεωρίας Συνόλων, της Θεωρίας Πιθανοτήτων, της Μαθηματικής Λογικής, της Στατιστικής και της Πληροφορικής. Οι καλλιτέχνες χρησιμοποίησαν 3 διαφανή φύλλα στα βασικά χρώματα -κόκκινο, κίτρινο, μπλε- τοποθετημένα το ένα πάνω στο άλλο. Τα χαρακτηριστικά του προσώπου δημιουργήθηκαν συνδυάζοντας 2 ή 3 χρώματα, όπως ακριβώς συμβαίνει με την αναπαράσταση της τομής συνόλων σε ένα διάγραμμα Venn.


Venn Diagram
Venn Diagram
Χρωματιστό διαφανές ακρυλικό φύλλο, γυαλί
2019


Δευτέρα 1 Φεβρουαρίου 2021

"Θέλω τον ζωγράφο να γνωρίζει γεωμετρία..."

 

Ο Λέον Μπαττίστα Αλμπερτι (1404-1472) ήταν Ιταλός καλλιτέχνης, αρχιτέκτονας, ποιητής και φιλόσοφος. Διακρίθηκε στα μαθηματικά, τη μηχανική, την αρχιτεκτονική, τη ζωγραφική, τη γλυπτική και σε άλλους τομείς. Στο σύγγραμμά του "Περί Ζωγραφικής" (De Pictura, 1435) γράφει χαρακτηριστικά:


Λέον Μπαττίστα Αλμπέρτι


«Θέλω τον ζωγράφο να έχει σπουδάσει τις ελεύθερες τέχνες, μα πάνω απ’ όλα, τον θέλω να γνωρίζει γεωμετρία. Συμφωνώ με τον αρχαίο ζωγράφο Πάμφιλο που δίδασκε ζωγραφική στους νέους και συνήθιζε να λέει πως κανένας δεν μπορούσε να γίνει καλός ζωγράφος χωρίς να ξέρει γεωμετρία. Οι αρχές που αναπτύξαμε και αποτελούν τα θεμέλια μιας ολοκληρωμένης ζωγραφικής μπορούν κατανοηθούν εύκολα από ένα γεωμέτρη. Αντίθετα, όσοι είναι ανίδεοι στην γεωμετρία δεν μπορούν να καταλάβουν ούτε τις στοιχειώδεις γνώσεις, ούτε οποιεσδήποτε άλλες αρχές της ζωγραφικής».

Δευτέρα 4 Ιανουαρίου 2021

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Υπερβολικό παραβολοειδές


Τα βιβλία γράφουν...

Το υπερβολικό παραβολοειδές είναι μια τετραγωνική επιφάνεια, δηλαδή επιφάνεια 2ου βαθμού. 
Η επιφάνεια του υπερβολικού παραβολοειδούς είναι απεριόριστη και παράγεται από την κίνηση ευθείας, είναι επομένως ευθειογενής επιφάνεια.
Το υπερβολικό παραβολοειδές έχει δύο επίπεδα συμμετρίας, τα οποία είναι κάθετα μεταξύ τους. Η τομή των δύο αυτών επιπέδων είναι ο άξονας συμμετρίας της επιφάνειας, ο οποίος τέμνει την επιφάνεια σε ένα μοναδικό σημείο, που λέγεται κορυφή του υπερβολικού παραβολοειδούς.
Τα επίπεδα συμμετρίας τέμνουν την επιφάνεια σε δύο παραβολές, που έχουν κοινό σημείο την κορυφή της επιφάνειας.
Κάθε επίπεδο παράλληλο σε ένα από τα επίπεδα συμμετρίας επίσης τέμνει την επιφάνεια κατά παραβολή.
Κάθε επίπεδο κάθετο και στα δύο επίπεδα συμμετρίας τέμνει την επιφάνεια σε υπερβολή, εκτός από το επίπεδο που διέρχεται από την κορυφή της επιφάνειας, το οποίο την τέμνει σε δύο ευθείες.
Τα παραπάνω δικαιολογούν και το όνομα της επιφάνειας, καθώς και το ότι το υπερβολικό παραβολοειδές δεν είναι φραγμένο.

Σύγχρονοι ζωγράφοι, γραφίστες, αλλά και γλύπτες έχουν χρησιμοποιήσει το υπερβολικό παραβολοειδές στα έργα τέχνης τους.

Don Barrett (Σύγχρονος γραφίστας) - "Back In The Saddle Again" 

Don Barrett (Σύγχρονος γραφίστας) - "Gravity Well"

Aaron Lee (Σύγχρονος ζωγράφος) - "Hyperbolic Paraboloid" 

Joe Orlando (γεν. 1949) - "Υπερβολική Παραβολοειδής Στήλη" (γλυπτό που ολοκληρώθηκε το 1985)


Η γεωμετρία του υπερβολικού παραβολοειδούς έχει χρησιμοποιηθεί πολύ συχνά στη σύγχρονη αρχιτεκτονική, αποτελώντας έμπνευση για τη δημιουργία ξεχωριστών κτηρίων. Μετά τη σφαίρα και τον κύλινδρο, είναι η πλέον εφαρμοσμένη επιφάνεια 2ου βαθμού στην αρχιτεκτονική, δημιουργώντας εντυπωσιακές καμπυλωτές φόρμες.

Arseniusz Romanowicz & Piotr Szymaniak - Σιδηροδρομικός Σταθμός Warszawa Ochota, Βαρσοβία
(ολοκληρώθηκε το 1962)

Le Corbusier - Ι. Ξενάκης, Philips Pavilion, Διεθνής Έκθεση Βρυξελλών, 1958

Le Corbusier - Ι. Ξενάκης, Philips Pavilion, Διεθνής Έκθεση Βρυξελλών

Santiago Calatrava (γεν. 1951) - Ολυμπιακό Στάδιο Αθηνών, στέγαστρο του ΟΑΚΑ (2004)

Santiago Calatrava (γεν. 1951) - Ολυμπιακό Στάδιο Αθηνών, στέγαστρο του ΟΑΚΑ (2004)

Félix Candela - Restaurante "Los Manantiales", Xochimilco, México
(σχεδιάστηκε το 1958)

Félix Candela - L'Oceanographic, Valencia
(σχεδιάστηκε το 1997)


.*.~.*.~.*.~.*.~.*.~.*

"Άρχισα να ενδιαφέρομαι για τη γεωμετρία του υπερβολικού παραβολοειδούς. Η ιδέα μιας απεριόριστης καμπύλης, η οποία δεν έχει στοιχεία καμπύλης, ήταν η έμπνευση που προκάλεσε 11 χρόνια δουλειάς. Ο πειραματισμός πάνω στην κατασκευή αυτών των επιφανειών οδήγησε τελικά στη δημιουργία της υπερβολικής παραβολοειδούς στήλης το 1985".
Joe Orlando

.*.~.*.~.*.~.*.~.*.~.*



Πηγές:

Κυριακή 20 Δεκεμβρίου 2020

Γεωμετρικές... οροφές στη Μέση Ανατολή

 

Την ομορφιά της γεωμετρικής διακόσμησης και εντυπωσιακά σχέδια οροφής σε μουσουλμανικά παλάτια, μαυσωλεία και τζαμιά απαθανατίζει ο Christofer Wilton-Steer και μας ταξιδεύει στη Μέση Ανατολή...


Η πρώτη συλλογή φωτογραφιών, με τίτλο "Ceilings of Uzbekistan" αναδεικνύει με μοναδικό τρόπο την πολύχρωμη γεωμετρία σε ιερά μέρη και παλάτια του Ουζμπεκιστάν.


"Ceilings of Uzbekistan" 1

"Ceilings of Uzbekistan" 2

"Ceilings of Uzbekistan" 3

"Ceilings of Uzbekistan" 4

"Ceilings of Uzbekistan" 5

Δείτε την πλήρη συλλογή φωτογραφιών εδώ.


Η δεύτερη συλλογή του ίδιου φωτογράφου, με τίτλο "Ceilings of Iran", προσφέρει μια virtual ξενάγηση στους ιερούς χώρους του Ιράν.


Ceilings of Iran

Ceilings of Iran

Ceilings of Iran

Ceilings of Iran

Ceilings of Iran

Ceilings of Iran


Δείτε την πλήρη συλλογή φωτογραφιών εδώ.


Η ισλαμική τέχνη αποτελεί κεφάλαιο τεράστιας αξίας για την παγκόσμια πολιτιστική κληρονομιά. Χαρακτηριστικό της είναι τα γεωμετρικά μοτίβα και η φανταστική αναπαράσταση, στυλ γνωστό ως arabesque. Η απόλυτη συμμετρία των έργων, νοητά τα διχοτομεί, ώστε οι πλευρές να καθρεφτίζονται η μία μέσα στην άλλη. Το arabesque στην ισλαμική τέχνη χρησιμοποιείται συχνά για τον συμβολισμό της υπερβατικής, αόρατης και αιώνιας φύσης του Θεού.



Πηγές:

Christofer Wilton-Steer Photography

The Guardian: Iran's Beautiful Palaces and Holy Sites  - in Pictures

Wikipedia: Arabesque