Γρίφος: Το τελευταίο ψηφίο

Καλά Χριστούγεννα!

Το "εις το άπειρον" εύχεται στους αναγνώστες του Καλά Χριστούγεννα, μελωδικά, γεμάτα χαρά και φως! 

Το... τζίνι των γιορτών να πραγματοποιήσει όλες σας τις ευχές! 

"Αχμές, ο γιος του φεγγαριού"

Ένας πάπυρος θαμμένος σ' έναν τάφο στο Λούξορ, στις αρχαίες Θήβες. Ογδόντα τέσσερα λυμένα προβλήματα, ένα όνομα, μία ημερομηνία: το πρώτο ενυπόγραφο μαθηματικό κείμενο στην ιστορία της ανθρωπότητας. Ένας πάπυρος που συνοψίζει τις μαθηματικές γνώσεις των ανθρώπων που έχτισαν τις Πυραμίδες και, κατά τον Ηρόδοτο, επινόησαν τη Γεωμετρία. Συγγραφέας του ο Αχμές, που θα γίνει οδηγός μας σε μια περιήγηση στη χώρα των Φαραώ. Θα μας οδηγήσει στην Άβαρι, το κοσμοπολίτικο σταυροδρόμι ανάμεσα σε Ασία και Αφρική. Θα μας σεργιανίσει στη Μέμφιδα, ονομαστή για τους ναούς της, αλλά και για τα κακόφημα καπηλειά της. Θα μας ξεναγήσει στο κατάφυτο από παπύρους Δέλτα του Νείλου, θα μας κεράσει μαύρη μπίρα από τη χώρα του Κους και γλυκόπιοτο σεντέχ, κρασί από ρόδι. Παρέα του, μασουλώντας μελωμένα σύκα και χουρμάδες, θ' ακούσουμε τους μύθους και τα παραμύθια της Αιγύπτου, όπως τα αφηγούνταν οι κατασκευαστές των Πυραμίδων τις ώρες της ανάπαυσης. Μέσα απ' τη ζωή του θα βιώσουμε κι εμείς την πολυτάραχη Δεύτερη Ενδιάμεση Περίοδο, τις διαμάχες, τις ίντριγκες και τους πολέμους ανάμεσα στους ηγεμόνες των δύο βασιλείων, της Άνω και της Κάτω Αιγύπτου. Μα πάνω απ' όλα θα συμμεριστούμε την απορία του, θα νιώσουμε τον παλμό της αγωνίας του να γνωρίσει το άπιαστο, το απρόσιτο, αυτό που οι μετέπειτα γενιές αποκάλεσαν άπειρο... 

Γρίφος: Πόσο κέρδος;

 

Το ενδιαφέρον στο γρίφο που ακολουθεί είναι ότι όλοι φαίνεται να τσακώνονται για την απάντηση! Πραγματικά, ο καθένας τον προσεγγίζει με διαφορετικό τρόπο και επιμένει ότι η δική του λύση είναι η σωστή. Εμείς είχαμε... οικογενειακές διαφωνίες! Τι λέτε να προσπαθήσετε κι εσείς; 

Ένας έμπορος αγόρασε ένα αντικείμενο προς 7€ και το πούλησε 8€. Έπειτα το αγόρασε ξανά προς 9€ και, τέλος, το πούλησε για 10€. Πόσα χρήματα κέρδισε;

📜Πηγή γρίφου: Raymond Smullyan. "The lady or the tiger? - and other logic puzzles". Πρώτη έκδοση 1982.  

Η οδός "Ευκλείδειας Γεωμετρίας" στο ιστορικό κέντρο της Καλαμάτας!

Σε δημιουργικό οίστρο βρίσκεται για μια ακόμα φορά τους τελευταίους μήνες ο εμπνευστής και δημιουργός της “οδού Ευκλείδειας Γεωμετρίας” στο Ιστορικό Κέντρο Καλαμάτας, Γιάννης Τσιμόγιαννης.

Εχοντας μεταφέρει την αγάπη του για τη Γεωμετρία εκτός των τεσσάρων τοίχων από το 2021, όταν και ξεκίνησε η μετατροπή της οδού Ηφαίστου σε «δρόμο θεωρημάτων» ώστε να αξιοποιηθεί, όπως είχε πει, ο ελεύθερος χρόνος του λόγω του εγκλεισμού της πανδημίας, ο νομικός στο επάγγελμα και κάτοικος της περιοχής κ. Τσιμόγιαννης δεν έχει επαναπαυθεί στην αρχική του πρωτοβουλία πριν 2,5 χρόνια, κρίνοντας κανείς από την εξαίρετη δουλειά του στο 5ο ΓΕΛ Καλαμάτας, μέσω του προγράμματος «Ο τοίχος διδάσκει» αλλά και από τα νέα θεωρήματα και σχήματα που σχεδίασε πρόσφατα κατά μήκος του πεζόδρομου της Γερμανού, ανανεώνοντας παράλληλα τις αρχικές του δημιουργίες μιας και αλλοιώθηκαν λόγω έκθεσης τους στις καιρικές συνθήκες.

Μέσα, έτσι, από το ταλέντο ενός ανθρώπου και από την εθελοντική του προσφορά, έχει δημιουργηθεί μια άτυπη τουριστική ατραξιόν στην Καλαμάτα, που όμοια της δεν υπάρχει, όχι μόνο στην Ελλάδα, αλλά ευρύτερα στον κόσμο, κάτι που έχει σχολιαστεί πολλάκις από ανθρώπους που αγαπούν τον συγκεκριμένο κλάδο αλλά και από επισκέπτες της πόλης οι οποίοι δείχνουν εντυπωσιασμένοι διασχίζοντας το Ιστορικό Κέντρο, αναρτώντας τις αντίστοιχες λήψεις στα social media.

Από το αισθητικό στο... μαθηματικό σκέλος

«Ως επέκταση της Ηφαίστου και δεδομένου πως το οδόστρωμα σε αυτή δεν ήταν ιδανικό για να βάψει κανείς, ξεκίνησα να δημιουργώ και στη Γερμανού όπου το έδαφος είναι σαφώς πιο ιδανικό για να καθίσει καλά το χρώμα πάνω και να σχεδιαστούν τα σχήματα» ανέφερε στην “Ε” ο Γιάννης Τσιμόγιαννης, λέγοντας πως μετά την ολοκλήρωση των δημιουργιών στο 5ο ΓΕΛ, μπήκε στη διαδικασία να ανανεώσει τα πρώτα του θεωρήματα, αλλά και να φτιάξει νέα κατά μήκος των δύο προαναφερόμενων δρόμων. Σχετικά με τα εγκωμιαστικά σχόλια χρηστών που συνοδεύουν τις αναρτήσεις τους σε facebook και instagram για τις καλλιτεχνικές του παρεμβάσεις, δήλωσε πως, εφόσον δείχνουν τον θαυμασμό τους ντόπιοι και επισκέπτες, προφανώς τους προσελκύουν αισθητικά σε πρώτη φάση, κάτι που δείχνει πως το εγχείρημα είναι επιτυχημένο. «Σε δεύτερη φάση, δεν ξέρω αν το μαθηματικό σκέλος τους ενδιαφέρει, για να αφιερώσουν περαιτέρω χρόνο ως προς το τι αποτυπώνουν, παρότι προσωπικά είμαι λεπτομερής ως προς την απόδειξη, διαγράφοντας γωνίες και καθετότητες, ώστε να διευκολύνω τους περαστικούς να σκεφτούν επαγωγικά, με κεντρικό στόχο φυσικά τα παιδιά» σημείωσε, τονίζοντας πως κάποιες από τις νέες δημιουργίες επί της Γερμανού περιστρέφονται γύρω από τη χρυσή τομή της γεωμετρίας, τις οποίες για να αποτυπώσει σωστά, χρησιμοποιεί ακόμα και σκάλα ώστε να πετύχει με ακρίβεια της ευθείες.   

Έρχονται 17 νέες δημιουργίες

Αν χαρακτηρίζει κάτι την προσωπικότητα του κ. Γιάννη Τσιμόγιαννη, αυτό είναι πως δεν επαναπαύεται ποτέ παρά τις δεκάδες δημιουργίες του, θέτοντας στόχους για νέες… γεωμετρικές πινελιές. «Με τον καιρό να συμβαδίζει σιγά – σιγά με την εποχή, δεν μπορώ να συνεχίσω με τους ίδιους ρυθμούς. Στην Ηφαίστου δε, αναγκάζομαι να φτιάχνω τα θεωρήματα νύχτα, καθώς τη μέρα η διέλευση οχημάτων δεν αφήνει περιθώρια ώστε να στεγνώσει η μπογιά. Πλέον, έχοντας περισσότερο ελεύθερο χώρο σκέφτομαι να κινηθώ ευρύτερα στη Γερμανού, με ανοιχτό το ενδεχόμενο η γεωμετρία να επεκταθεί και σε άλλα στενά, καθώς δεν είναι λίγοι οι επιχειρηματίες της περιοχής που μου ζητούν να δημιουργήσω μπροστά από τα μαγαζιά τους. Για να γίνει δε αυτή η επέκταση, απαιτούνται χονδρικά 17 νέα “κομμάτια”, μέσα από μια εναλλαγή εύκολων και δύσκολων θεωρημάτων ώστε να αυξάνεται το ενδιαφέρον» συμπλήρωσε, πληροφορώντας πως κάποιες φορές μπορεί να χρειαστεί να δουλέψει ακόμα και εφτά ώρες κατά τη διάρκεια της μέρας αλλά και πολλές φορές της νύχτας, μέσα από μια επίπονη διαδικασία, απ’ τη στιγμή που τα σχέδια αφορούν το έδαφος.

Με το... βλέμμα στο Ρεκόρ Γκίνες

Ένα αξιοσημείωτο γεγονός, εν αντιθέσει με τα όσα παρατηρούνται με τις ακαλαίσθητες φιγούρες και τα σύμβολα στους δρόμους της πόλης, είναι πως ο κόσμος έχει σεβαστεί τις δημιουργίες του κ. Τσιμόγιαννη στο Ιστορικό Κέντρο, κάτι που ισχύει όπως ενημέρωσε και στο 5ο ΓΕΛ από πλευράς μαθητών. Μάλιστα, μια μαθήτρια του σχολείου όταν τον είδε να σχεδιάζει ένα βράδυ στο Ιστορικό Κέντρο, αντιλήφθηκε πως ήταν ο δημιουργός των δεκάδων σχημάτων στο σχολείο της, εκφράζοντας τον θαυμασμό της, μιας και τα περισσότερα παιδιά δεν γνωρίζουν τον άνθρωπο πίσω από τη “μεταφόρτωση” του σχολείου τους. «Γενικότερα έχω λάβει κολακευτικά σχόλια από πολλές μεριές, ξεχωρίζοντας το σχόλιο ενός φίλου πως πέρα από την πρωτοτυπία που διακρίνει τα σχέδια είναι πάνω απ’ όλα επιμορφωτικά» συνέχισε, λέγοντας πως βάση έρευνας που έχει κάνει σχετικά με τα Ρεκόρ Γκίνες, έχει ψάξει αν υπάρχει άλλο μεγάλο γεωμετρικό σχήμα σαν αυτό του προαυλίου στο 5ο ΓΕΛ Καλαμάτας που έχει αποτυπώσει, δίχως να προκύπτει κάποιο παρόμοιο, με αποτέλεσμα να είναι υπό σκέψεις για το αν θα καταθέσει υποψηφιότητα για τέτοιου τύπου ρεκόρ. Στο ίδιο πεδίο, εκτίμησε πως ο Δήμος Καλαμάτας θα εκμεταλλευτεί την “οδό Ευκλείδειας Γεωμετρίας” μέσω κάποιων δρώμενων, επικαλούμενος σχετικά μηνύματα που έχει λάβει.

Σειρά για το 1ο Λύκειο

Για το αν έχει δεχτεί κάποια κρούση από άλλο σχολείο της Καλαμάτας, έπειτα από την ολοκλήρωση της άρτιας δουλειάς του στο 5ο Γενικό Λύκειο, ο κ. Τσιμόγιαννης γνωστοποίησε πως τού έχει μεταφερθεί η επιθυμία ώστε να δημιουργήσει στο 1ο ΓΕΛ, κάτι που είναι και δική του φιλοδοξία όπως είπε, καθώς είχε θητεύσει ως μαθητής στο τότε 1ο Γυμνάσιο, στον ίδιο σχολικό χώρο. «Για την ώρα θα ολοκληρώσω τις δημιουργίες μου στο Ιστορικό Κέντρο και από το καλοκαίρι του 2024 εφόσον πάρω το “πράσινο φως” από το σχολείο θα ήταν χαρά μου να φτιάξω αντίστοιχα σχέδια και στο 1ο Λύκειο» ανέφερε, επισημαίνοντας πως αν δεν ανανεώνονται χρωματικά τα σχέδια που βρίσκονται σε εξωτερικούς χώρους είναι λογικό και επόμενο με το πέρας του χρόνου να χαθούν, ωστόσο τον ικανοποιεί το γεγονός πως όλα έχουν αποτυπωθεί σε ηλεκτρονική μορφή, ώστε να μην ξεχαστούν. «Για το σκοπό αυτό πέρα των φωτογραφιών, προσπαθώ σε κάθε ανάρτηση που κάνω στο Facebook να τοποθετώ και την ανάλογη επιγραφή μέσα από έρευνα σε εγκυκλοπαίδειες και διαδίκτυο, ούτως ώστε να αρχειοθετηθούν και να μπορεί ο κόσμος να αντιλαμβάνεται περί τίνος πρόκειται, προσθέτοντας τα ανάλογα ρητά και αποφθέγματα» συμπλήρωσε, κλείνοντας ως εξής με βάση τη φράση του Ανδρέα Εμπειρίκου, “Πάρε την λέξη μου. Δώσε μου το χέρι σου”: «Η επιδίωξή μου είναι από τη σκόνη των σπουδαστηρίων, να εμφανίσω τη γεωμετρία στο δημόσιο χώρο. Από την πλευρά μου δίνω το σύνθημα μετάβασης στο δημόσιο χώρο με σκοπό να επωφεληθεί η πλειοψηφία από την πρωτοβουλία αυτή».

Πηγές: eleftheria online, facebook

Διαστήματα πραγματικών αριθμών...

Ανοιχτό ή κλειστό;

 

Από το σχολικό βιβλίο της Άλγεβρας Α΄ Λυκείου

"Ποιος σκότωσε το σκύλο τα μεσάνυχτα"

 

Το βιβλίο από τις εκδόσεις Ψυχογιός

Ο Κρίστοφερ Μπουν είναι ένας παράξενος νέος και το μυαλό του δουλεύει με τρόπο ιδιαίτερο. Ξέρει πάρα πολλά για τα μαθηματικά και πολύ λίγα για τους ανθρώπους. Του αρέσει να φτιάχνει χάρτες και σχεδιαγράμματα, λατρεύει τα αστυνομικά μυθιστορήματα και το κόκκινο χρώμα. Δεν του αρέσει το κίτρινο και το καφέ, δεν αντέχει να τον αγγίζουν και δεν μπορεί να πει ψέματα.
Ένα βράδυ βρίσκει νεκρό το σκύλο της γειτόνισσάς του κι αποφασίζει να ξεδιαλύνει το μυστήριο. Η αναζήτησή του όμως θα τον παρασύρει σε μονοπάτια δύσβατα, που οδηγούν στη χαμένη από καιρό μητέρα του. Καλείται τώρα να ξεδιαλύνει άλλα μυστήρια, αυτά του κόσμου των μεγάλων, πολύ πιο περίπλοκα από το απλό «Ποιος σκότωσε το σκύλο»...

Ένα εκπληκτικό σε σύλληψη μυθιστόρημα, που ρίχνει φως και στις πιο λεπτές εκφάνσεις του κόσμου γύρω μας.

Σελίδα από το βιβλίο, όπου γίνεται αναφορά στους πρώτους αριθμούς...

Μέτρηση απόστασης πλοίου από την ακτή!

🚢Έχετε ποτέ αναρωτηθεί, όταν είστε στην παραλία και βλέπετε ένα καράβι στα ανοιχτά, πόσο μακριά από την ακτή βρίσκεται;

👨‍🏫Ο Θαλής ο Μιλήσιος τον 6ο αιώνα π.Χ. χρησιμοποίησε μια μέθοδο υπολογισμού της απόστασης ενός πλοίου από την ακτή. Αυτή η μέθοδος βασίζεται στην ισότητα ορθογωνίων τριγώνων της Ευκλείδειας Γεωμετρίας.  

🎞️Ο μαθηματικός Φώτης Καραμπουτάκης από το κανάλι του YouTube, Math Me Up, εξηγεί τη μέθοδο αυτή με τη βοήθεια κινουμένων σχεδίων!

 

"Μαθηματικά στο στοιχειωμένο σπίτι"

Κάθε πόρτα στο στοιχειωμένο σπίτι κρύβει κι από ένα μυστήριο, έναν μαθηματικό γρίφο που μπορεί να λυθεί εύκολα με τις απλές εξισώσεις της άλγεβρας.

Τα "Μαθηματικά στο στοιχειωμένο σπίτι" θα βοηθήσουν τους μαθητές να χτίσουν μια βάση στα μαθηματικά, αλλά και να ξεδιαλύνουν τις βασικές έννοιες της άλγεβρας, όπως είναι η ισότητα, η εξίσωση, η μεταβλητή και ο άγνωστος.

Ένα βιβλίο γεμάτο... ανατριχιαστικές εκπλήξεις και διασκεδαστικά παιχνίδια άλγεβρας από τον καταξιωμένο εκπαιδευτικό David A. Adler και τις εκδόσεις Κλειδάριθμος. Είναι κατάλληλο για παιδιά ηλικιών 8 ετών και άνω, ανάλογα πάντα με τη γνωστική ανάπτυξη και τα ενδιαφέροντα του κάθε παιδιού. 

Ο David A. Adler έχει συγγράψει περισσότερα από 300 παιδικά βιβλία, ενώ πριν γίνει συγγραφέας παιδικών βιβλίων, υπήρξε δάσκαλος μαθηματικών στις Ηνωμένες Πολιτείες Αμερικής.

Γρίφος: Οι δύο δάσκαλοι

Δύο δάσκαλοι, ένας ηλικιωμένος κι ένας νεαρός, μένουν στο ίδιο σπίτι και δουλεύουν στο ίδιο σχολείο. Ο νέος χρειάζεται 20 λεπτά για να πάει περπατώντας από το σπίτι στο σχολείο. Ο ηλικιωμένος διανύει την ίδια απόσταση σε 30 λεπτά. Αν ο ηλικιωμένος δάσκαλος ξεκινήσει 5 λεπτά νωρίτερα από τον νέο, πότε θα προφτάσει ο νέος τον ηλικιωμένο;

📚Διασκευή ενός παλιού γρίφου του Ρώσου Yakov Perelman (1882-1942) 

"LOGICOMIX"

Δανείζοντας το ρόλο του παραμυθά στο φιλόσοφο Μπέρτραντ Ράσελ, μια παρέα φίλων στη σύγχρονη Αθήνα προσπαθεί να αφηγηθεί και να καταλάβει τη μεγάλη περιπέτεια της Λογικής στις αρχές του 20ού αιώνα, περιπέτεια που σημάδεψε ανεξίτηλα την εποχή μας. Είναι άραγε, όπως λέει ένας από αυτούς, μια ιστορία τραγική, μεγέθους μάλιστα αρχαίας τραγωδίας; Ή, όπως πιστεύει ένας άλλος, μια εντελώς αισιόδοξη περίπτωση; Στο Logicomix οι αποστάσεις καταργούνται: από τα μυστικά που κρύβει η σοφίτα ενός παλιού εγγλέζικου αρχοντικού μέχρι τη σκοτεινή όψη της πιο βαθιάς φιλοσοφικής αλήθειας, κι από εκεί ως την καρδιά ενός σύγχρονου κομπιούτερ, ίσως να μην είναι παρά μερικά, ελάχιστα βήματα...

Ένα ιδιοφυές graphic novel για το οποίο συνεργάστηκαν ο Απόστολος Δοξιάδης (ιδέα, ιστορία & σενάριο), ο Χρίστος Χ. Παπαδημητρίου (ιδέα & ιστορία), ο Αλέκος Παπαδάτος (σχεδιασμός χαρακτήρων & σχέδιο) και η Annie Di Donna (χρώμα).

Στρογγυλοποίηση... κατά το δοκούν!

Στην ελληνική ταινία "Της κακομοίρας" (γνωστή και ως "Ο μπακαλόγατος", 1963), ο Κώστας Χατζηχρήστος πρωταγωνιστεί στο ρόλο του Ζήκου και αφήνει εποχή...

Προσπαθώντας να παρουσιάσει λιγότερες εισπράξεις στο αφεντικό, επιστρατεύει τα δικά του Μαθηματικά. Στρογγυλοποιεί, λοιπόν, όπως τον βολεύει και, μόλις το αφεντικό δυσανασχετήσει, προσθέτει την ατάκα:

"Θα πάμε κόντρα στους δεκαδικούς αριθμούς τώρα";  

Γρίφος: Ο ναυαγός και το νησί των τιμιαπατεώνων

Ένας ταξιδιώτης ναυάγησε σε κάποιο νησί, οι κάτοικοι του οποίου είναι δύο ειδών: οι τίμιοι, που λένε πάντα αλήθεια και οι απατεώνες, που λένε πάντα ψέματα. Συναντά λοιπόν 3 κατοίκους, τον Α, τον Β και τον Γ και ρωτάει τον κάτοικο Α αν είναι τίμιος ή απατεώνας. Η απάντηση του Α, όμως, είναι τόσο δυσνόητη που αναγκάζεται να ρωτήσει τον Β: "Τι είπε ο Α"; Ο Β τού απαντάει: "Ο Α είπε ότι είναι απατεώνας"! Εκείνη τη στιγμή, επεμβαίνει ο Γ και λέει στον ναυαγό: "Μην πιστεύεις τον Β, λέει ψέματα"!

Με βάση αυτές τις πληροφορίες, μπορεί ο ναυαγός να αναγνωρίσει τις ιδιότητες των κατοίκων Α, Β και Γ, ή τουλάχιστον κάποιων απ' αυτούς; Ποιοι είναι τίμιοι και ποιοι απατεώνες;

Καλή σχολική χρονιά!

 

Το blog "εις το άπειρον" από φέτος θα βρίσκεται στην Κάλυμνο... Ευχόμαστε σε μαθητές, γονείς και εκπαιδευτικούς καλή σχολική χρονιά, με υγεία, δύναμη και όρεξη για μάθηση!

Έργο μαθητών που απεικονίζει τη χρυσή έλικα στο 1ο Νικηφόρειο Γενικό Λύκειο Καλύμνου

"Μηδέν"

 

Ο Ουμπαΐντ απομάκρυνε το στρώμα του αργίλου. Φάνηκε το πρόσωπο -ένα πρόσωπο εκπληκτικά ήρεμο. Χαρακτηριστικά λεπτά, μύτη ίσια και καλογραμμένη... Η Αεμέρ διέκρινε μόνο μια σκοτεινή μάζα, πλαισιωμένη από μια φωτεινή άλω, που της έκρυβε τον ήλιο. Ένας άντρας  με αόρατο πρόσωπο της πασπάτευε το μέτωπο.

Ο εκκωφαντικός ήχος του αεροπλάνου, το τρέξιμο, το κάψιμο στο στήθος, η ανάσα με το πρόσωπο στο χώμα, η αίσθηση ότι είχε εκσφενδονιστεί. Πέρα απ' αυτά, τίποτε. Δε θυμόταν ούτε από πού ερχόταν, ούτε πού πήγαινε. Γύρισε το κεφάλι, είδε τον μικρό κώνο από άργιλο στη χούφτα της. Το χαμόγελο, που είχε μείνει μετέωρο στα  χείλη της, ξέσπασε πλατύ. Χρωστούσε τη ζωή της σε έναν σουμεριακό λίθο, ένα αρχαίο πήλινο νόμισμα ηλικίας πενήντα αιώνων.

Μεσοποταμία-Ιράκ: η ίδια γη που φιλοξένησε το παρελθόν μας κλονίζει το παρόν μας. Εκεί, και για πέντε χιλιάδες χρόνια, ξετυλίγονται οι πέντε ζωές της Αεμέρ, η οποία προσπαθεί να καλύψει το κενό μιας απουσίας που τη σημάδεψε.

Το βιβλίο του Ντενί Γκετζ αφηγείται την Ιστορία των αριθμών μέσα στον περσικό - ιρακικό πολιτισμό και την ανακάλυψη/εφεύρεση του μηδενός, μέσω πέντε γυναικών, ή, καλύτερα μέσω πέντε μετενσαρκώσεων της ίδιας γυναίκας, για περισσότερο από 5000 χρόνια: από το Ουρούκ και τη Βαβυλώνα μέχρι την αμερικανική εισβολή το 2003.

Γιατί δεν μπορούμε να διαιρέσουμε με το 0;

Στον κόσμο των Μαθηματικών, πολλά παράξενα συμπεράσματα είναι δυνατά όταν αλλάζουμε τους κανόνες. Υπάρχει όμως ένας κανόνας που είναι απαράβατος: μην διαιρέσεις με το μηδέν!

Γιατί, όμως, απαγορεύεται να διαιρούμε με το 0; Πού είναι το πρόβλημα; Κι αν ορίζαμε το πηλίκο ενός αριθμού με το μηδέν να ισούται με το άπειρο; Είναι σαν να ακούω τους μαθητές μου...

 Στο παρακάτω βίντεο που δημοσιεύτηκε από το TED-Ed υπάρχουν όλες οι απαντήσεις!

Μπορείτε να γράψετε, όπως πάντα, την άποψη ή την απορία σας στα σχόλια!

*~*~*~*~*

"Οι μαύρες τρύπες υπάρχουν εκεί όπου ο Θεός διαίρεσε με το μηδέν".

Steven Wright

Γρίφος: Ο τοξότης με τα βέλη

 

"Εικασία 3ν+1"

Τον φώναζαν Κριστιάνο. Πίστευαν ότι μια μέρα θα γινόταν μεγάλος ποδοσφαιριστής. Προπονητές, παράγοντες, αθλητικογράφοι ήταν όλοι σύμφωνοι. Τους διέψευσε. Αντί για το Μπερναμπέου και το Μαρακανά έμπλεξε στα κυκλώματα της νύχτας. Κι ένα βράδυ, έξω από ένα φτωχικό διαμέρισμα της Κυψέλης, βρέθηκε να κολυμπά μέσα στο ίδιο του το αίμα. Η υπόθεση έδειχνε απλή, σχεδόν προφανής. Όμως η Όλγα Πετροπούλου, του τμήματος εγκλημάτων κατά ζωής, δεν εμπιστευόταν τα προφανή. Στα μάτια της οι εμπλεκόμενοι, μια στρίπερ-μαθηματικός, ένας ναρκομανής, πρώην Γκόλντεν Μπόι, κι ένας γραφικός άστεγος με πλατιά μόρφωση, συνέθεταν έναν γρίφο πολύ πιο περίπλοκο απ' όσο φαίνονταν να πιστεύουν όλοι οι άλλοι· έναν γρίφο που από την πρώτη στιγμή φάνταζε να διαπερνά τα ευάλωτα, διαβρωμένα στεγανά της λαμπερής καθωσπρέπει κοινωνίας και του σκοτεινού υποκόσμου· έναν γρίφο που άκουγε στο κωδικό όνομα "εικασία 3ν + 1". Ή μήπως σήμαινε απλώς τρεις νεκροί κι ύστερα άλλος ένας... 

Αναλογιστικά μαθηματικά από τον Θανάση Βέγγο!

Ο "καλός μας άνθρωπος", Θανάσης Βέγγος, δίνει... ρέστα με τους  αριθμητικούς του υπολογισμούς στην ταινία "Θα σε κάνω βασίλισσα"...

Γρίφος: Θα ισορροπήσει η ζυγαριά;

Οι δύο πρώτες ζυγαριές ισορροπούν. Αν τοποθετηθεί ένα τετράγωνο στην τρίτη ζυγαριά, αυτή θα ισορροπήσει, θα γείρει προς τη δεξιά, ή προς την αριστερή μεριά; 

(Πηγή)

"Χωρίς απόδειξη"

Φανταστείτε το παράξενο ταξίδι ενός τρένου με μυστηριώδη προορισμό, όπου το πέρασμα των επιβατών από το ένα βαγόνι στο άλλο αλλάζει δραματικά τη ζωή τους, ή μια απρόβλεπτη συνάντηση με τον Γάλλο μαθηματικό του 17ου αιώνα Πιερ ντε Φερμά. Αλλά και μια συμφωνία με έναν λευκοντυμένο διάβολο, που προσπαθεί να βρει λύση σε ένα από τα δυσκολότερα μαθηματικά προβλήματα της εποχής. Αυτά είναι ορισμένα μόνο από τα θέματα της συλλογής διηγημάτων, «Χωρίς Απόδειξη» του συγγραφέα και μαθηματικού Στάμου Τσιτσώνη που κυκλοφορεί από τις εκδόσεις Κριτική.

Πρόκειται για δώδεκα συναρπαστικές ιστορίες στις οποίες ισορροπεί ευφυώς το φανταστικό με το πραγματικό στοιχείο, η επιστημονική πληροφόρηση με τη μυθοπλασία, το χιούμορ με την τέχνη της αφήγησης. Η μικρή φόρμα του διηγήματος αποκαλύπτει, επίσης, την ικανότητα του συγγραφέα να δημιουργεί ευρηματικές, πυκνές νοημάτων, ιστορίες, που αν και βασικό τους θέμα είναι ένα μαθηματικό ή ένα επιστημονικό ζήτημα δεν στερούν από τον αναγνώστη την απόλαυση της ανάγνωσης.

Συνεπώς, δεν απαιτούνται εξειδικευμένες μαθηματικές γνώσεις από τους αναγνώστες για να παρακολουθήσουν το περιεχόμενο κάθε ιστορίας. Ούτε χρειάζεται να γνωρίζει κάποιος αν όσα περιγράφονται στα διηγήματα έχουν συμβεί για να τα κατανοήσει την ουσία τους. Ωστόσο, οι μυημένοι στην επιστήμη μπορούν να διακρίνουν τη βαθιά γνώση του συγγραφέα σε κάθε επιστημονικό ζήτημα που εμπλέκει στις ιστορίες του.

 

Ας δούμε, όμως, συνοπτικά ορισμένα από τα θέματα των διηγημάτων. Στην «Επιβράβευση», το πρώτο διήγημα της έκδοσης, η προσωπική ικανοποίηση του μαθηματικού Αρίσταρχου Σαμιωτάκη για τη συμβολή του στην απόδειξη της Εικασίας του Πουανκαρέ, συγκρούεται με τη βαρετή οικογενειακή ζωή και την αδιαφορία της συντρόφου του.

Στο διήγημα «Το τρένο», ο συγγραφέας ενορχηστρώνει με οίστρο και κινηματογραφική οπτική το συναρπαστικό ταξίδι ενός αλλόκοτου τρένου με μυστηριώδη προορισμό και άπειρα βαγόνια, για να προσεγγίσει πολλαπλώς την έννοια του χρόνου, συνδυάζοντας το φανταστικό στοιχείο με τη θεωρία των αριθμών, αλλά και την υπαρξιακή διάσταση της αντίληψής μας για το χρόνο. Πρόκειται για μια ευφυή παραλλαγή του παραδόξου του «Ξενοδοχείου Hilbert», ενός ξενοδοχείου με άπειρο πλήθος δωματίων που, παρόλο που είναι όλα κατειλημμένα, κάθε νέος επισκέπτης που έρχεται βρίσκει πάντοτε θέση.

Στις «Διαμεσολαβήσεις», η αναζήτηση της λύσης ενός δύσκολου μαθηματικού προβλήματος ανακινεί, εκτός των άλλων, ερωτήματα για τα όρια της ανθρώπινης φύσης, ενώ στον «Τιμόθεο» μια επίσκεψη στο Άγιο Όρος δίνει το έναυσμα στον συγγραφέα να θέσει εμμέσως κάποια ερωτήματα για τη σχέση της θρησκείας με την επιστήμη και να εμπλέξει στη φιλοσοφική διάσταση των ερωτημάτων του το περίφημο Θεώρημα της μη πληρότητας του Γκέντελ.

Με ανάλογο τρόπο, το ταξίδι στη χώρα των μαθηματικών συνεχίζεται με αναφορές σε θέματα που αφορούν την Τοπολογία, το Διαγώνιο Θεώρημα, τη Θεωρία Πιθανοτήτων, το Νόμο των Μεγάλων Αριθμών, την ακολουθία Φιμπονάτσι, τα επιτεύγματα του Alan Turing και αρκετών ακόμα επιφανών μαθηματικών. Αν και, όπως τονίσαμε, αυτό το ταξίδι δεν περιορίζεται μόνο στο πεδίο της επιστήμης. Επιβεβαιώνει την πεποίθηση ότι ο κόσμος των μαθηματικών και της επιστήμης δεν είναι λιγότερο συναρπαστικός από τους υπόλοιπους, αρκεί να μπορούμε, βέβαια, να διακρίνουμε την ομορφιά του και τις ιστορίες που έχει να μας αφηγηθεί.

"Αλγεβρικές επιφάνειες"... ψηφιακά έργα μαθηματικής τέχνης!

 

Ο Γερμανός Torolf Sauermann, χρησιμοποιώντας μαθηματικά και το λογισμικό Surfer, δημιουργεί μοναδικά ψηφιακά έργα μαθηματικής τέχνης. Aποκαλεί τη συλλογή "Αλγεβρικές Επιφάνειες", αφού οι επιφάνειες που απεικονίζονται, παριστάνονται από αλγεβρικές εξισώσεις στον τρισδιάστατο χώρο. 

"Sauermann Surface 2013"

"Kubismus Sauermann 2011"

"2x Sphere"

"3x Sphere"

"4x Sphere"

"6x Sphere"

"Sauermann Nonic Surface 2013"

"Sunflower Sauermann 2008"

"Cube Surface"

"d=10 Demo Sauermann 2013"

"Fresnel Wave Surface"

Πηγή εικόνων: Imaginary.org

Γρίφος: Σε πόσα δευτερόλεπτα;

Η τελευταία διάλεξη του Gilbert Strang

Στις προπτυχιακές τους σπουδές, όχι μόνο στο Μαθηματικό, αλλά και σε πάρα πολλά τμήματα θετικών επιστημών ή μηχανικών, οι φοιτητές διδάσκονται το μάθημα της Γραμμικής Άλγεβρας.

Ο Gilbert Strang (γεν. 1934) δίδαξε Γραμμική Άλγεβρα για 61 χρόνια και εκατομμύρια άνθρωποι στον κόσμο έμαθαν από αυτόν τον σπουδαίο καθηγητή, είτε μέσω των όμορφων διαλέξεών του, ή μελετώντας τα βιβλία του. Οι βιντεοσκοπημένες διαλέξεις του είναι πολύ δημοφιλείς στο YouTube και το κανάλι MIT OpenCourseWare. Αυτή είναι η τελευταία διάλεξη που δίνει (Μάιος 2023), στο MIT της Μασαχουσέτης, σε ηλικία 88(!) ετών.

Το βιβλίο του Gilbert Strang "Γραμμική Άλγεβρα και εφαρμογές", σε μετάφραση Π. Πάμφιλου από τις Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης

Μπορείτε να παρακολουθήσετε μια πλήρη playlist διαλέξεων του Gilbert Strang πάνω σε όλη σχεδόν τη Γραμμική Άλγεβρα εδώ... 

 

Παιδικά βιβλία για τις καλοκαιρινές διακοπές!

 

Ταξίδι στον κόσμο των Μαθηματικών με τα παιδικά βιβλία του Δημήτρη Παναγάκου

Το καλοκαίρι έχει φτάσει και τα σχολεία σύντομα κλείνουν για τους μικρούς μαθητές. Για τις καλοκαιρινές διακοπές, το "εις το άπειρον", που αγαπά την ψυχαγωγική προσέγγιση των Μαθηματικών, προτείνει τρία παιδικά βιβλία από τον μαθηματικό και συγγραφέα Δημήτρη Παναγάκο. Τρία μικρά βιβλία, που υπόσχονται ένα συναρπαστικό ταξίδι στον κόσμο των Μαθηματικών αλλά και του διαστήματος... Με ευφάνταστο και διασκεδαστικό τρόπο, ο συγγραφέας βοηθά τα παιδιά να εξοικειωθούν με μαθηματικές έννοιες, ιδέες και θεωρίες. Στα βιβλία αυτά, που είναι ιδανικά για μαθητές Δημοτικού και Γυμνασίου, κρύβεται πολλή από τη μαγεία των Μαθηματικών. Μέσα στις σελίδες τους παρελαύνουν σπουδαίοι επιστήμονες, ενώ τα παιδιά καταλήγουν να μαθαίνουν Μαθηματικά χωρίς να συνειδητοποιήσουν ότι διαβάζουν Μαθηματικά! 

Τα Μαθηματικά Αινίγματα του Θείου Αριστοτέλη

 

Υπάρχουν στ' αλήθεια αδελφοί αριθμοί; Μήπως υπάρχουν και δίδυμοι; Τι είναι οι αριθμητικές ακολουθίες και τι σχέση έχουν με τα κουνέλια; Γιατί το 15 είναι τρίγωνος αριθμός και το 16 τετράγωνος; Τι σχέση έχουν οι μέλισσες με τα εξάγωνα; Από πότε μας είναι γνωστά τα μαγικά τετράγωνα;
Αυτά και πολλά ακόμη μαθηματικά αινίγματα θα ανακαλύψει ο μικρός Αλέξανδρος κατά τη διάρκεια ενός ξεχωριστού ταξιδιού παρέα με τον αγαπημένο του θείο. Ο "αινιγματικός" θείος Αριστοτέλης θα κάνει ευχάριστη τη διαδρομή με μαθηματικά παιχνίδια και θα δώσει στον Αλέξανδρο, εύκολα και με διασκεδαστικό τρόπο, όλα τα κίνητρα που χρειάζεται για να ξεκινήσει το υπέροχο ταξίδι του στον μαγικό κόσμο των Μαθηματικών!

Τα Έξυπνα Παιχνίδια του Κυρίου Πλάτωνα

 

Είναι τα Μαθηματικά διασκεδαστικά;
Για τον Χρίστο η απάντηση ήταν "σίγουρα όχι", ώσπου ξεκίνησαν οι καλοκαιρινές του διακοπές και συνάντησε έναν παλιό του γνώριμο. Ο κύριος Πλάτωνας, ο παράξενος και καλοσυνάτος γείτονας, ήταν έτοιμος να αλλάξει για πάντα τη γνώμη του Χρίστου.
"Όταν μαθαίνεις παίζοντας, το πράγμα αποκτά ενδιαφέρον", συνηθίζει να λέει ο κύριος Πλάτωνας και μας παρουσιάζει έναν υπέροχο κόσμο που κρύβεται πίσω από έξυπνα παιχνίδια σκέψης, όπως ο Μοναχικός, το Τάνγκραμ, ο Κύβος του Ρούμπικ, το Ντόμινο, το σκάκι κ.ά.
Τα έξυπνα παιχνίδια του κυρίου Πλάτωνα κάνουν την αριθμητική και τη γεωμετρία να μοιάζουν με παιχνίδι και ο συνδυασμός στρατηγικής και μαθηματικής σκέψης μάς επιτρέπει να ανακαλύψουμε τη διασκεδαστική πλευρά των μαθηματικών... παίζοντας!

Τα Διαστημικά Ταξίδια του Σωκράτη

 

"Τι ζώδιο είσαι;" ήταν η ερώτηση που την έκανε να γελάσει. Έπρεπε να το είχε φανταστεί πως ένα μαθηματικό μυαλό σαν το δικό της δεν θα έδειχνε κανένα ενδιαφέρον για τα ζώδια...
Ο μικρός Σωκράτης προσπάθησε να παραμείνει ψύχραιμος όταν ανακάλυψε πως το αγαπημένο χόμπι της Νεφέλης ήταν η Αστρονομία. Οι γνώσεις που είχε μέχρι εκείνη τη στιγμή για το διάστημα ήταν ελάχιστες και έπρεπε γρήγορα να τις εμπλουτίσει. Η αναπάντεχη επίσκεψη του παππού του για τις γιορτές των Χριστουγέννων έμοιαζε με σανίδα σωτηρίας. Σίγουρα ο παππούς Σωκράτης ήταν ο κατάλληλος άνθρωπος για να τον βοηθήσει, και μάλιστα με εύκολο και διασκεδαστικό τρόπο.
Με οδηγό τον αγαπημένο του παππού, ο μικρός Σωκράτης θα ξεκινήσει τα διαστημικά του ταξίδια ανακαλύπτοντας τους πλανήτες του ηλιακού μας συστήματος, ενώ παράλληλα θα παίζει παιχνίδια με γεωμετρικά σχήματα και θα συζητάει για τους σπουδαίους εξερευνητές του διαστήματος, όπως ο Κέπλερ, ο Νεύτωνας και ο Γαλιλαίος...

Καλή επιτυχία στους μαθητές μας!

 

Έτος 2013. Ερώτηση της 8χρονης, τότε, κόρης μου, που είχε τύχει να μείνει μαζί μου εν ώρα μαθήματος: "Μαμά, τι είναι παράγωγος"; 

"Θα σου το μάθω όταν μεγαλώσεις", της υποσχέθηκα, λες και ήταν δεδομένο ότι θα είχε Μαθηματικά Προσανατολισμού στη Γ' Λυκείου ή ότι θα κάναμε μαζί την προετοιμασία των Μαθηματικών για τις Πανελλήνιες... 

10 χρόνια μετά και... εδώ είμαστε! Τώρα που το σκέφτομαι, θα μπορούσα να είχα χρησιμοποιήσει ένα απλό παράδειγμα από την καθημερινή ζωή για να εξηγήσω με πολύ-πολύ απλά λόγια την έννοια του ρυθμού μεταβολής. Πάντως, μπορώ να πω ότι την υπόσχεσή μου την τήρησα! 

Θέλω να ευχηθώ καλή επιτυχία σε όλα τα παιδιά που ολοκληρώνουν το ετήσιο ταξίδι των Πανελλαδικών Εξετάσεων! Καλή επιτυχία και στους μαθητές/μαθήτριές μου, που με κάνουν να αγαπώ το επάγγελμα που έχω επιλέξει! Να θυμάστε ότι ευτυχισμένος είναι αυτός που πάει με χαρά στη δουλειά του, όποια κι αν είναι αυτή! 

Εικαστική... παρέμβαση μαθήτριας σε διαγώνισμα

✨

Σελίδα από το βιβλίο του Charlie Mackesy, "Το αγόρι, ο τυφλοποντικας, η αλεπού και το άλογο", 2019.

✨

"Βάλε ως στόχο το φεγγάρι... ακόμη κι αν αποτύχεις, θα έχεις βρεθεί κάπου ανάμεσα στ' αστέρια!"

Εκπαιδευτική δραστηριότητα στη Στατιστική Β΄ Γυμνασίου

Το εκπαιδευτικό πρότζεκτ που θα παρουσιάσω σήμερα δεν είναι νέο, αλλά υλοποιήθηκε τον Μάιο του 2021, πριν δύο χρόνια τέτοια εποχή. Ήταν μια ιδιαίτερη περίοδος, αφενός λόγω της πανδημίας του κορωνοϊού και αφετέρου εξαιτίας των σεισμών στην περιοχή. Έτσι, κάναμε με τους μαθητές της Β΄ τάξης (Β5) του 3ου Γυμνασίου Λάρισας κάτι πιο διασκεδαστικό και δημιουργικό, αξιοποιώντας την βιωματική μάθηση. 

Στο πλαίσιο του μαθήματος των Μαθηματικών και το Κεφάλαιο της Στατιστικής, αποφασίσαμε να διερευνήσουμε τη σχέση των μαθητών του σχολείου τους με τον αθλητισμό και να μάθουμε ποιο ήταν το πιο δημοφιλές άθλημα. Αφού προσδιορίσαμε τον πληθυσμό, το δείγμα και τις μεταβλητές, ετοιμάσαμε ένα ερωτηματολόγιο με ερωτήσεις κλειστού αλλά και ανοικτού τύπου, το οποίο  μοιράστηκε σε 200 μαθητές του σχολείου (επέλεξα το μέγεθος του δείγματος ν=200 για να διευκολυνθούμε στους υπολογισμούς). Τα παιδιά, χωρισμένα σε ομάδες στη βάση της ομαδοσυνεργατικής μάθησης, συνέλεξαν τα δεδομένα από κάθε τμήμα του σχολείου και έκαναν την καταμέτρηση. Έπειτα, όλοι μαζί "ένωσαν" τις παρατηρήσεις τους, υπολογίσαμε τις συχνότητες και σχετικές συχνότητες % (τα ποσοστά των μαθητών που ασχολούνται ή όχι με τον αθλητισμό και τα ποσοστά των προτιμήσεων για κάθε άθλημα) και κάναμε τις γραφικές παραστάσεις (με το χέρι αλλά και με υπολογιστή). 

Το μάθημά μας δεν έμεινε στη θεωρία ή τις ασκήσεις της Στατιστικής. Οι μαθητές έμαθαν εμπειρικά για τους πίνακες συχνοτήτων, εξασκήθηκαν στον υπολογισμό ποσοστών, σχεδίασαν ραβδογράμματα και κυκλικά διαγράμματα, κατανόησαν τη σημασία της δειγματοληψίας, αφού δεν ρωτήθηκαν όλοι οι μαθητές του σχολείου και πήραν μία μικρή "γεύση" από τη δουλειά που κάνει ένας ερευνητής όσον αφορά το στατιστικό κομμάτι. 

Ρίχνοντας μια ματιά στα νέα Προγράμματα Σπουδών, βλέπουμε ότι η Στατιστική θα διδάσκεται σε όλες τις τάξεις της Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης, οπότε μια δραστηριότητα σαν αυτή ίσως συνηθίζεται μελλοντικά. Επιπλέον, η αξιοποίηση εύχρηστων λογισμικών όπως το πρόγραμμα λογιστικών φύλλων Microsoft Excel, θεωρώ ότι θα είναι από χρήσιμη έως και αναγκαία για τη διδασκαλία της Στατιστικής. 

ℹ️ Το ερωτηματολόγιο που χρησιμοποιήθηκε ήταν το παρακάτω. 

Εκτυπώστε το από εδώ

 

Μερικά από τα απαντημένα ερωτηματολόγιά μας

~*~*~

"Πες μου και θα το ξεχάσω. Δείξε μου και θα το θυμάμαι. Κάνε με να το βιώσω και θα το καταλάβω". (Κομφούκιος)