Καλοκαιρινό κουίζ

Αφού μπήκε και αστρονομικά πλέον το καλοκαίρι (θερινό ηλιοστάσιο, σήμερα)

είπα να ετοιμάσω ένα... άκρως καλοκαιρινό κουίζ για όλους εσάς που ασχολείστε!

Ποιος αριθμός πρέπει να αντικαταστήσει το ερωτηματικό?

Γρίφος: Απ' το 8 στο 1.000!

Ο Τολστόι και τα κλάσματα

Ο Λέων Τολστόι (1828 - 1910) ήταν Ρώσος συγγραφέας και θεωρείται ένας από τους μεγαλύτερους συγγραφείς όλων των εποχών. Αν και καταγόταν από πολύ πλούσια οικογένεια, προσπάθησε να απελευθερώσει τον άνθρωπο και να αποκαταστήσει την ανθρώπινη αξιοπρέπεια. 

Μια γνωστή αγαπημένη ρήση του για τον εγωισμό έχει χαρακτηριστικά μαθηματικού τύπου:

"Ο άνθρωπος μοιάζει με κλάσμα όπου ο αριθμητής είναι ο πραγματικός του εαυτός και ο παρονομαστής είναι η ιδέα που έχει για τον εαυτό του. Όσο μεγαλύτερος είναι ο παρονομαστής, τόσο μικρότερη η αξία του κλάσματος. Και όσο ο παρονομαστής διογκώνεται προς το άπειρο, τόσο το κλάσμα τείνει στο μηδέν".

Μια ρήση η οποία "στέκει" μαθηματικά...

Το παράδοξο του Monty Hall, το "DEAL", η ταινία "21" και οι πιθανότητες της σωστής επιλογής

Ο Monty Hall (1921 - 2017) ήταν παρουσιαστής του περίφημου τηλεπαιχνιδιού "Let's Make a Deal" στο ABC από το 1963 έως το 1977 και σε μερικές ακόμη σεζόν μέχρι και το 1991. Το τηλεπαιχνίδι αυτό είναι από τα πλέον ιστορικά που έχουν περάσει από την τηλεόραση και έχει επηρεάσει πολλά τηλεπαιχνίδια μέχρι και σήμερα, όπως και το ελληνικό "DEAL"...

Όμως, όταν κάποιος ακούει "Monty Hall", το μυαλό του δεν πάει στον παρουσιαστή, αλλά στο "παράδοξο του Monty Hall", ένα από τα μεγαλύτερα παράδοξα της επιστήμης των μαθηματικών και συγκεκριμένα των πιθανοτήτων. Όλα ξεκίνησαν το 1975, όταν ο στατιστικολόγος Steve Selvin δημοσίευσε ένα πρόβλημα βασισμένο στο συγκεκριμένο τηλεπαιχνίδι, το οποίο ονόμασε "Monty Hall Problem". Το παράδοξο (ή πρόβλημα) του Monty Hall έχει ως εξής:

Ας υποθέσουμε ότι βρίσκεσαι σε ένα τηλεπαιχνίδι. Εκεί υπάρχουν 3 πόρτες, η μία εκ των οποίων κρύβει ένα πολυτελές αυτοκίνητο, ενώ πίσω από τις δύο άλλες κρύβονται δύο κατσίκες.

Ο παρουσιαστής σου ζητά να επιλέξεις μία πόρτα. Το αυτοκίνητο μπορεί εξίσου να βρίσκεται πίσω από οποιαδήποτε πόρτα, έτσι κάθε πόρτα έχει πιθανότητα 1 στις 3 να κρύβει το αυτοκίνητο, δηλαδή 1/3.

Η πιθανότητα να επιλέξεις την πόρτα με το αυτοκίνητο (σωστή επιλογή) είναι 1/3, ενώ η πιθανότητα να κάνεις λανθασμένη επιλογή είναι 2/3.

Έστω ότι επιλέγεις την 1η πόρτα. Η πιθανότητα να βρίσκεται το αυτοκίνητο πίσω από την 1η πόρτα είναι 1/3. Η πιθανότητα να βρίσκεται το αυτοκίνητο πίσω από τη 2η ή την 3η πόρτα είναι 2/3. Ο παρουσιαστής, που γνωρίζει πού βρίσκεται το αυτοκίνητο, δεν θα ανοίξει αμέσως την πόρτα που διάλεξες, αλλά θα καθυστερήσει λίγο, ανοίγοντας μια από τις άλλες δύο πόρτες,  π.χ. την 3η, η οποία, φυσικά, θα κρύβει μια κατσίκα.

Εκείνη τη στιγμή σε ρωτάει αν θέλεις να παραμείνεις στην αρχική σου επιλογή ή να την αλλάξεις. Εσύ τι θα έκανες; Νομίζεις ότι τώρα οι πιθανότητές σου είναι 50-50; Πάντως η θεωρία των πιθανοτήτων αποδεικνύει ότι αν αλλάξεις την επιλογή σου έχεις διπλάσιες πιθανότητες να κερδίσεις!


Για να κατανοήσουμε το γιατί, πρέπει να σκεφτούμε ποιες είναι οι δυνατές στρατηγικές που μπορεί να ακολουθηθούν. Υπάρχουν 2 επιλογές:

1. Εμμένεις στην αρχική σου επιλογή, ό,τι κι αν σου πει ο παρουσιαστής (στο παράδειγμά μας, επιλέγεις ξανά την 1η πόρτα). Η πιθανότητα της σωστής επιλογής παραμένει η ίδια, που είναι 1/3.
2. Αλλάζεις και επιλέγεις την πόρτα που έχει απομείνει (στο παράδειγμα, την 2η πόρτα). Τώρα, αφού η 3η πόρτα είναι σίγουρο ότι ΔΕΝ κρύβει το αυτοκίνητο, η πιθανότητα να βρίσκεται το αυτοκίνητο πίσω από τη 2η πόρτα ταυτίζεται με την πιθανότητα να βρίσκεται πίσω από τη 2η ή την 3η πόρτα, επομένως 2/3.

Το αποτέλεσμα αυτό φυσικά εξαρτάται από το γεγονός ότι ο Monty πάντα γνωρίζει πού βρίσκεται το αυτοκίνητο και ανοίγει μια πόρτα με κατσίκα, ανεξάρτητα από τη δική σου αρχική επιλογή.


Ένας άλλος τρόπος για να κατανοήσουμε τη λύση του προβλήματος είναι μέσα από το ακόλουθο διάγραμμα:

Αναφορά του εν λόγω προβλήματος γίνεται και στην κινηματογραφική ταινία "21". Ο καθηγητής του M.I.T. Micky Rosa (Kevin Spacey) θέτει το πρόβλημα του Monty Hall στον ευφυή φοιτητή του Ben Campbell (Jim Sturgess), ο οποίος το λύνει σωστά εντυπωσιάζοντας τον καθηγητή του:

Για να διαβάσεις την αυστηρή μαθηματική απόδειξη του παραδόξου του Monty Hall, η οποία βασίζεται στο Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας του Bayes, κάνε κλικ εδώ.

Ο Ron Clarke εξηγεί το "Monty Hall Problem" και την απάντηση στο πρόβλημα σε ένα πολύ ενδιαφέρον βίντεο, που είναι στα αγγλικά:

Αν θέλεις να δοκιμάσεις την τύχη σου και να παίξεις, κάνε κλικ εδώ...

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Τα Πλατωνικά Στερεά

 

ΤΑ ΠΛΑΤΩΝΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ

Sylvie Donmoyer (σύγχρονη ζωγράφος, που ασχολείται κυρίως με την καλλιτεχνική αναπαράσταση γεωμετρικών εννοιών) - "Les Solides de Platon"

Τα βιβλία γράφουν...

Πλατωνικό στερεό λέγεται ένα κανονικό κυρτό πολύεδρο, του οποίου όλες οι έδρες είναι ίσα κανονικά πολύγωνα και όλες οι πολυεδρικές γωνίες του είναι ίσες. Επομένως όλες οι ακμές του είναι ίσα ευθύγραμμα τμήματα, καθώς επίσης και όλες οι επίπεδες γωνίες των εδρών του είναι ίσες.

Miriam Escofet (γεν. 1967) - "The Five Platonic Solids"

Υπάρχουν μόνο πέντε πλατωνικά στερεά. Μελετήθηκαν στην Ακαδημία του Πλάτωνα, στη Σχολή του Πυθαγόρα και ο Ευκλείδης ασχολείται με αυτά στο 13º βιβλίο των Στοιχείων, όπου αποδεικνύει ότι αυτά είναι ακριβώς πέντε:

ΤΕΤΡΑΕΔΡΟ

Το τετράεδρο ανήκει στις τριγωνικές πυραμίδες. Οι έδρες του είναι 4 ισόπλευρα τρίγωνα.

Leonardo da Vinci (1452 - 1519) - "Tetracedron Planus Vacuus" (1509)

Jason Lincoln Jeffers (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Tetrahedron 2"

Jason Lincoln Jeffers (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Tetrahedron 6"

Jason Lincoln Jeffers (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Tetrahedron 8"

Jason Lincoln Jeffers (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Tetrahedron 10"

Alan Parker (1916 - 1993) - "Tetrahedron" (1967)
Ο καλλιτέχνης εδώ θέλει να αναδείξει την κάτοψη ενός τετραέδρου, που δεν είναι παρά τέσσερα τρίγωνα. 

Florin Birjoveanu (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Over Pyramids"

Sabrina Barrios (Σύγχρονη καλλιτέχνιδα) - "Tetrahedron" (2019)

ΚΥΒΟΣ (Ή ΚΑΝΟΝΙΚΟ ΕΞΑΕΔΡΟ)

Οι έδρες του κύβου είναι 6 τετράγωνα. Για τον κύβο είχαμε μιλήσει εκτεταμένα και εδώ...

Leonardo da Vinci (1452 - 1519) - "Exacedron Planus Vacuus" (1509)

Όπυ Ζούνη (1941-2008) - "Κόκκινος κύβος στο χώρο" (2007)

ΟΚΤΑΕΔΡΟ

Οι έδρες του οκτάεδρου είναι 8 ισόπλευρα τρίγωνα.

Leonardo da Vinci (1452 - 1519) - "Octocedron Planus Vacuus" (1509)

Archan Nair (Σύγχρονος graphic designer) - "Taqueira" art print

Patrick Kelly - "Octahedron"

Vincent Fink (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "New Geometry Sunset"

Vincent Fink (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Inspiration"

Jason Lincoln Jeffers (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Octahedron 2"

Katy Lynton (γεν. 1968) - "My Inner Landscape"

Walter Tandy Murch (1907 - 1967) - "Study for Octahedron" (1949)

Karen Caruana (Σύγχρονη ζωγράφος) - "Okta" (2014)

Sabrina Barrios (Σύγχρονη καλλιτέχνιδα) - "Octahedron" (2019)

ΔΩΔΕΚΑΕΔΡΟ

Το δωδεκάεδρο αποτελείται από 12 κανονικά πεντάγωνα.

Leonardo da Vinci (1452 - 1519) - "Duodecedron Planus Solidus" (1509)

Leonardo da Vinci (1452 - 1519) - "Duodecedron Planus Vacuus" (1509)
Εδώ ο da Vinci έχει "αφαιρέσει" τις έδρες, ώστε να φανεί η πλήρης δομή του πολυέδρου.

Kristin Reed  (Σύγχρονη ζωγράφος)  - "The Elements of Astrology Series: Ether"

Jason Lincoln Jeffers (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Dodecahedron 3"

Jason Lincoln Jeffers (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Dodecahedron 4"

Jason Lincoln Jeffers (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Dodecahedron 9"

Annie Kyla Bennet (Σύγχρονη ζωγράφος) - "The painter" (2014)

Jeremy J. Quinn (Σύγχρονος αρχιτέκτονας και graphic designer)

Iona Miller - "Pythagoras & Plato" (2017)

Heather Marshall Bruglia (Σύγχρονη ζωγράφος) - "Ether (Dodecahedron)" (2018)

Mark Ryden (Σύγχρονος γλύπτης) - "Dodecahedron" (2015)

ΕΙΚΟΣΑΕΔΡΟ 

Οι έδρες του εικοσαέδρου είναι 20 ισόπλευρα τρίγωνα.

Leonardo da Vinci (1452 - 1519) - "Ycocedron Planus Solidus" (1509)

Leonardo da Vinci (1452 - 1519) - "Ycocedron Planus Vacuus" (1509)
Εδώ ο da Vinci έχει "αφαιρέσει" τις έδρες, ώστε να φανεί η πλήρης δομή του πολυέδρου.

Vincent Fink (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Icosahedron"

Kristin Reed  (Σύγχρονη ζωγράφος)  - "The Elements of Astrology Series: Water"

John A. Hiigli (γεν. 1943) - "Icosahedron" (1997)

John A. Hiigli (γεν. 1943) - "Three Icosahedra" (1997)

Jason Lincoln Jeffers (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Icosahedron 2"

Jason Lincoln Jeffers (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Icosahedron 3"

Travis Crisp (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Icosahedron Face" (2016)

Nyssa Juneau (Σύγχρονη ζωγράφος) - "Icosahedron: Built From Congruent Rectangles"

Lucasz Chwalek  (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Icosahedra" (2018)

Anthony James (Σύγχρονος γλύπτης) - "Portal Icosahedron"
(Γλυπτό από τιτάνιο, γυαλί και φώτα LED, 2017)

Τα πλατωνικά στερεά ονομάστηκαν έτσι, επειδή μελετήθηκαν στην Ακαδημία του Πλάτωνα. Στη φιλοσοφία του Πλάτωνα, τα στερεά αυτά συμβόλιζαν τα δομικά στοιχεία του σύμπαντος. Τέσσερα από αυτά συμβόλιζαν τα τέσσερα στοιχεία της φύσης: Το τετράεδρο συμβόλιζε τη φωτιά, ο κύβος τη γη, το εικοσάεδρο το νερό, ενώ το οκτάεδρο τον αέρα. Το πέμπτο από αυτά, το δωδεκάεδρο, συμβόλιζε τον αιθέρα, ή αλλιώς την "πεμπτουσία". Οι συνηθισμένοι άνθρωποι δεν έπρεπε να γνωρίζουν για το δωδεκάεδρο και η γνώση για αυτό θεωρούνταν πολύ επικίνδυνη.

Kat Caric (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "The Platonic Solids" (2016)
Εδώ, ο ζωγράφος επικαλείται τη συσχέτιση κάθε πλατωνικού στερεού με κάποιο από τα δομικά στοιχεία του σύμπαντος, αλλά και του ανθρώπινου σώματος.

Salvador Dali - "Ο Μυστικός Δείπνος" (1955)
Στον πίνακα αυτό, οι μορφές βρίσκονται μέσα σε ένα τεράστιο διαφανές δωδεκάεδρο, ενώ μια μορφή ανυψώνεται προς τον ουρανό. Ο Dali εδώ συνδέει το θρησκευτικό περιεχόμενο του πίνακά του με τη "θεϊκή υπόσταση" του δωδεκαέδρου.

Ο αστρονόμος Johannes Kepler (1571 - 1630) στο βιβλίο του "Το Κοσμογραφικό Μυστήριο" (Mysterium Cosmographicum, 1597) συσχετίζει τα πλατωνικά στερεά με τις τροχιές των πλανητών του ηλιακού μας συστήματος.

Το μοντέλο του ηλιακού μας συστήματος από τον Kepler, βασισμένο στα πλατωνικά στερεά (1597)

Τα πλατωνικά στερεά και οι τροχιές των πλανητών

Τα πλατωνικά στερεά και τα δομικά στοιχεία του σύμπαντος. Από το βιβλίο του Kepler, "Harmonices Mundi" (1619). 

Τα πλατωνικά στερεά παρουσιάζουν πολλές συμμετρίες και ομάδες συμμετρίας, οι οποίες μελετώνται από τη σύγχρονη Θεωρία Ομάδων. Εικάζεται ότι οι συμμετρίες αυτές είναι ο κύριος λόγος που ενέπνευσαν τόσο τους καλλιτέχνες, ειδικά κατά την Αναγέννηση.


.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.

"Η Γεωμετρία προϋπήρχε της Δημιουργίας. Είναι εξίσου αιώνια με το μυαλό του Θεού...
Η Γεωμετρία παρείχε στο Θεό ένα μοντέλο για τη Δημιουργία".
Johannes Kepler

.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.

Πηγές:

• Ευκλείδεια Γεωμετρία Α' και Β' Γενικού Λυκείου, Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών και Εκδόσεων "Διόφαντος", 2015
• Πανεπιστημιακές σημειώσεις "Ιστορίας των Μαθηματικών" καθηγητή Α.Θωμά, 2010
• E.H. Gombrich, Το Χρονικό της Τέχνης, Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, 1995
• H.L.C Jaffe, Η ζωγραφική στον 20ό αιώνα, Εκδόσεις Νεφέλη, 1984
• Universal Leonardo: Rule of Mathematics
• Elemental Attributes of Platonic Solids
• Kat Caric: The Platonic Solids
• Vincent Fink
• wikipedia.org