"Αξιώματα, Παράδοξα, Υποθέσεις και Εικασίες"

4 κείμενα φιλοσοφίας μαθηματικών

Μια συλλογή κειμένων που προέκυψε ως ανάγκη για την ανάδειξη θεμελιωδών εννοιολογικών συνιστωσών της φιλοσοφίας των μαθηματικών. Οι συγγραφείς θεώρησαν ότι για κάτι τέτοιο θα έπρεπε να καλυφθούν οι περιοχές των αξιωμάτων, των παραδόξων, των υποθέσεων και των εικασιών. 

Από τον Απολλώνιο στα... αραβικά χειρόγραφα και τελικά στην... Ολλανδία!

Μια εμπεριστατωμένη έρευνα «κόντρα» στις ανακριβείς και παραπλανητικές αντιγραφές του διαδικτύου

Κρυμμένοι… θησαυροί

Ο Απολλώνιος ο Περγεύς  (262 π.Χ.–190 π.Χ.) είναι γνωστός για το πρωτοποριακό του έργο στην Γεωμετρία. Υπήρξε ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς και γεωμέτρες της αρχαιότητας. Γεννήθηκε στην αρχαία ελληνική πόλη Πέργη της Μικράς Ασίας. Σπούδασε και δίδαξε στην Αλεξάνδρεια και, μεταξύ των άλλων, συνέγραψε το έργο «Κωνικά». Σε αυτό, ανέπτυξε συστηματικά τις έννοιες της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής (ο κύκλος μελετάται στα Κωνικά ως ειδική περίπτωση της έλλειψης), επηρεάζοντας βαθιά τα μαθηματικά και την αστρονομία τόσο της ελληνιστικής περιόδου όσο και των μεταγενέστερων πολιτισμών.

Ο Απολλώνιος ο Περγεύς, γνωστός κυρίως για το έργο του "Κωνικά" που μελετά τις κωνικές τομές. Πηγή εικόνας: Wikipedia

Από τα οκτώ βιβλία που αποτελούσαν τα «Κωνικά», τα πρώτα τέσσερα διασώζονται στα ελληνικά, ενώ τα πέμπτο έως έβδομο είναι γνωστά μόνο από μεσαιωνικές αραβικές μεταφράσεις, που αποδίδονται πιθανώς στον Θαμπίτ Ιμπν Κούρρα και μεταγενέστερους λογίους της ισλαμικής Χρυσής Εποχής. Το όγδοο βιβλίο θεωρείται χαμένο.

Τα αραβικά χειρόγραφα με τα βιβλία 5–7 είχαν αποκτηθεί τον 17^ο αιώνα από τον Ολλανδό ανατολιστή και μαθηματικό Jacob Golius, ο οποίος, κατά τη διάρκεια των ταξιδιών του στη Μέση Ανατολή, τα μετέφερε στο Πανεπιστήμιο του Leiden στην Ολλανδία, σε μια τεράστια συλλογή σχεδόν 200 χειρογράφων. Τα χειρόγραφα αυτά είχαν ταξινομηθεί και μελετηθεί από τους επιστήμονες της εποχής και δεν παρέμεναν ξεχασμένα (όπως λανθασμένα αναφέρεται σε πολλά άρθρα στο διαδίκτυο). Η αξία τους όμως αναδεικνύεται ξανά μέσα από σύγχρονες μελέτες, οι οποίες προβάλλουν όχι μόνο το έργο του Απολλώνιου, αλλά και τον ρόλο του ισλαμικού πολιτισμού στη διάσωση και μετάδοση της αρχαίας ελληνικής γνώσης.

Η πρόσφατη επανεξέταση των αραβικών χειρογράφων συνοδεύεται από μελέτη της καλλιγραφίας και των γεωμετρικών διαγραμμάτων που περιέχουν, προσφέροντας μια μοναδική εικόνα για τη μαθηματική παράδοση της ισλαμικής περιόδου. Ο Ολλανδός μαθηματικός και ιστορικός της επιστήμης Jan Pieter Hogendijk τόνισε τη σημασία αυτών των τεκμηρίων ως απόδειξη της πνευματικής ακμής και επιστημονικής πειθαρχίας των μουσουλμάνων λογίων του Μεσαίωνα.

Τμήμα από την αραβική μετάφραση των "Κωνικών" του Απολλώνιου. Πηγή εικόνας και πνευματικά δικαιώματα: Leiden University Libraries

Η επιρροή της επιστημονικής παράδοσης του Ισλάμ και η σημασία της σήμερα

Η επιστημονική γνώση της αρχαιότητας, και ιδιαίτερα των Ελλήνων, δεν χάθηκε, αλλά διασώθηκε και μεταδόθηκε μέσω της ισλαμικής επιστημονικής παράδοσης από τον 8^ο έως τον 13^ο αιώνα. Πλήθος ελληνικών έργων μεταφράστηκαν στα αραβικά, επεκτάθηκαν και εν τέλει διοχετεύτηκαν στην Ευρώπη, συμβάλλοντας καθοριστικά στην ευρωπαϊκή Αναγέννηση.

Σε αυτό το πλαίσιο, ο καθηγητής Mostafa Zahri του Πανεπιστημίου Sharjah υπογράμμισε τη σημασία της συντήρησης και μελέτης των αραβικών χειρογράφων, τα οποία συχνά παραμένουν αναξιοποίητα σε βιβλιοθήκες της Δύσης. Τον Ιανουάριο του 2025, στο Πανεπιστήμιο Sharjah διοργανώθηκε υπό την αιγίδα του SIFHAMS (Sharjah International Foundation for the History of Arab and Muslim Sciences), διεπιστημονικό εργαστήριο (workshop), όπου συνεργάστηκαν ερευνητές από τον αραβικό και δυτικό κόσμο, με σκοπό την εμβάθυνση στη μελέτη αυτών των πηγών.

Λεπτομέρεια από την αραβική μετάφραση των "Κωνικών" του Απολλώνιου, όπου διακρίνονται οι κωνικές τομές. Πηγή εικόνας και πνευματικά δικαιώματα: Leiden University Libraries 

Στο πλαίσιο της εκδήλωσης μελετήθηκε και το αριθμητικό σύστημα Abjad, στο οποίο τα γράμματα του αραβικού αλφαβήτου αντιστοιχούν σε αριθμούς (π.χ. alif = 1, baa = 2,…) και εμφανίζεται αλφαβητική-αλγεβρική χρήση αριθμών. Αν και δεν φέρεται να χρησιμοποιήθηκε ως κύριο αριθμητικό σύστημα σε επιστημονικά όργανα όπως ο αστρολάβος, όπως λανθασμένα διαβάζουμε σε αρκετά άρθρα, το Abjad παρουσιάζει ενδιαφέρον για την κατανόηση της συμβολικής και μαθηματικής σκέψης της εποχής.

Εκτός από τα βιβλία 5-7 των «Κωνικών» του Απολλώνιου, στο παραπάνω εργαστήριο επαναξιολογήθηκαν και άλλες γνώσεις των Αρχαίων Ελλήνων που διασώθηκαν χάρη στις αραβικές μεταφράσεις, όπως το «Περί Ύλης Ιατρικής» του Διοσκουρίδη, τρόποι κατασκευής ενός αστρολάβου σε χειρόγραφο του Al-Biruni, καθώς και χάρτες της εποχής εκείνης και δόθηκε ώθηση στην ανάδειξη αυτών των τεκμηρίων. Μάλιστα, από την Amsterdam University Press εκδόθηκε το Σεπτέμβριο του 2024 το βιβλίο “Prophets, Poets and Scholars:  The Collections of the Middle Eastern Library of Leiden University”, το οποίο καλύπτει την ιστορία, τη συλλογή και την εικονογράφηση των αραβικών χειρογράφων — ανάμεσά τους και όσα περιέχουν μέρος του έργου του Απολλώνιου.

Παρά την τεράστια σημασία τους, πολλά χειρόγραφα παραμένουν ανεξερεύνητα. Η συνεχιζόμενη προσπάθεια ψηφιοποίησης και η διαπολιτισμική συνεργασία, όπως αυτή στο Πανεπιστήμιο Sharjah, αποτελούν πολύτιμα εργαλεία για τη μελέτη της ιστορίας της επιστήμης και για την ανάδειξη της παγκόσμιας συνεισφοράς του ισλαμικού και αρχαιοελληνικού πνεύματος στην εξέλιξη των μαθηματικών και των φυσικών επιστημών.

 

Πηγές:

Amsterdam University Press|“Prophets, Poets and Scholars:  The Collections of the Middle Eastern Library of Leiden University”

EurekAlert.org

Ksnt.com

Leiden University Libraries

Wikipedia.org|Απολλώνιος ο Περγεύς

Μαθηματικά στην τηλεόραση: "The Big Bang Theory"

📺Στην προσπάθεια να συγκεντρώσουμε τις καλύτερες τηλεοπτικές σειρές με μαθηματικό περιεχόμενο, η σειρά που έχει σήμερα την τιμητική της είναι η πολυαγαπημένη “The Big Bang Theory”…

 

🎞️Πρώτη κυκλοφορία: 2007

🎥Σεζόν: 12

📜Υπόθεση:

Ο Leonard και ο Sheldon, δύο λαμπροί, εκκεντρικοί φυσικοί που εργάζονται στο Cal Τech της Καλιφόρνια, είναι, εκτός από συνάδελφοι, συγκάτοικοι και κολλητοί φίλοι. Οι δύο άλλοι φίλοι τους και συνάδελφοι από το Cal Τech, Howard και Raj, συμπληρώνουν την εκκεντρική, nerdy τετράδα. Καθώς όλοι τους είναι «βυθισμένοι» στην επιστημονική τους έρευνα, αλλά και σε βιντεοπαιχνίδια, κόμικς και ταινίες επιστημονικής φαντασίας, δεν φαίνεται να έχουν μεγάλη τύχη όσον αφορά το αντίθετο φύλο. Όλα αλλάζουν όταν απέναντι από το διαμέρισμα των Leonard και Sheldon μετακομίζει η πανέμορφη σερβιτόρα και επίδοξη ηθοποιός Penny…

Σε μια σειρά με πρωταγωνιστές τέσσερις φυσικούς, τα μαθηματικά αναπόφευκτα κάνουν την εμφάνισή τους. Η σειρά έχει εμπνεύσει ακόμη και μια μαθηματική απόδειξη! Σε ένα επεισόδιο, ο Sheldon είπε ότι ο αγαπημένος του αριθμός ήταν το 73. Γιατί; Το 73 είναι ο 21^ος πρώτος αριθμός. Τώρα, αναστρέφοντας το 21 παίρνουμε τον αριθμό 12. Ποιος είναι ο 12^ος πρώτος αριθμός; Το 37, που είναι, φυσικά, το 73 ανεστραμμένο. Ενώ το 21 από την άλλη ισούται με 3 επί 7. Ανάλογες ιδιότητες έχει και στο δυαδικό σύστημα! 

 

Ο καθηγητής του Κολλεγίου Dartmouth και φαν της εκπομπής, Carl Pomerance, ήταν περίεργος για το αν αυτή ήταν η μόνη περίπτωση στην οποία αυτό ήταν δυνατό ή όχι και έγραψε μια απόδειξη για το θέμα, που έχει ονομαστεί ανεπίσημα «Η εικασία του Sheldon». Ένα τμήμα της απόδειξης εμφανίστηκε ακόμη και στο παρασκήνιο του επεισοδίου με τίτλο “The Inspiration Deprivation”. Την απόδειξη μπορείτε να διαβάσετε εδώ. 

Ο Sheldon χρησιμοποιεί το Θεώρημα του Bayes

💡Ιδέα που πρεσβεύει: “Smart is the new sexy”.

💬Γράψτε στα σχόλια, όσοι έχετε δει τη σειρά, τη γνώμη σας. Ποιες άλλες σειρές με μαθηματικό περιεχόμενο έχετε να προτείνετε;

🎬Τσεκάρετε εδώ τη λίστα με τις μαθηματικές ταινίες που έχουμε συγκεντρώσει.

Γρίφος: Τα νούφαρα στη λίμνη

Claude Monét - "Νούφαρα" (1905)

Ένα μέρος της επιφάνειας μιας λίμνης είναι καλυμμένο με νούφαρα. Κάθε μέρα αυτή η κάλυψη με νούφαρα διπλασιάζεται σε έκταση.

Αν χρειάστηκαν 40 ημέρες για να καλύψουν τα νούφαρα όλη την λίμνη, πόσος χρόνος χρειάστηκε για να καλύψουν τη μισή;

22/7... Ημέρα προσέγγισης του π!

🗓️Η σημερινή ημερομηνία -22 Ιουλίου- γράφεται όπως και το κλάσμα 22/7, το οποίο ισούται με 3,14285714, μία προσέγγιση του π, σωστή στα δύο πρώτα δεκαδικά ψηφία και έχει καθιερωθεί ως «Ημέρα Προσέγγισης του π (Pi Approximation Day)».

🧮Η ρητή προσέγγιση \(\frac{22}{7}\) του αριθμού π είναι γνωστή από την αρχαιότητα και αποτέλεσε για αιώνες μια από τις πιο διαδεδομένες απλοποιήσεις του. Ο πρώτος που την τεκμηρίωσε μαθηματικά ήταν ο Αρχιμήδης (3ος αιώνας π.Χ.), ο οποίος χρησιμοποίησε γεωμετρικές μεθόδους με εγγεγραμμένα και περιγεγραμμένα πολύγωνα σε κύκλο για να δείξει ότι το π βρίσκεται μεταξύ των κλασμάτων \(\frac{223}{71}\) και \(\frac{22}{7}\). Αν και το \(\frac{22}{7}\) δεν είναι ακριβώς ίσο με το π (έχει σφάλμα περίπου 0,04%), η απλότητά του το καθιστούσε πρακτικό για υπολογισμούς σε εποχές χωρίς αριθμομηχανές. Μάλιστα, το κλάσμα \(\frac{22}{7}\) είναι καλύτερη προσέγγιση του π από ό,τι ο δεκαδικός αριθμός 3,14. Πράγματι:

• ∣ 22/7 − 𝜋 ∣ ≈ 0.00126
• ∣ 3,14 − 𝜋 ∣ ≈ 0.00159

📚Άλλες αρκετά καλές ρητές προσεγγίσεις του π είναι τα κλάσματα \(\frac{333}{106}\) και \(\frac{355}{113}\).

Γρίφοι: Αγώνες δρόμου

Τέσσερις αθλητές, οι Α, Β, Γ και Δ έτρεξαν σε έναν αγώνα δρόμου. Μετά από κάποιο μπέρδεμα στη γραμμή τερματισμού, δεν ήταν ξεκάθαρο ποιος ήταν ο νικητής.

Γρίφος #1

Γνωρίζουμε μόνο ότι ο Δ τερμάτισε πριν τον Α, με διαφορά περισσότερες θέσεις από όσες τερμάτισε ο Β πριν τον Γ. Βρείτε τη σειρά με την οποία τερμάτισαν οι τέσσερις αθλητές.

Γρίφος #2

Γνωρίζουμε τα εξής:

• Ο Δ τερμάτισε πριν από τον Α
• Ο Β δεν ήταν τρίτος.
• Υπήρχαν δύο αθλητές μεταξύ του Α και του Γ.

Βρείτε τη σειρά με την οποία τερμάτισαν οι τέσσερις αθλητές.

"Ο άνθρωπος που μετρούσε"

 Μια συλλογή από μαθηματικές περιπέτειες για νεαρούς αναγνώστες

Καλοκαίρι και δεν θα μπορούσαμε να παραλείψουμε την καθιερωμένη πρόταση βιβλίου για αυτόν τον μήνα… Ο «Άνθρωπος που μετρούσε» αποτελεί μια απολαυστική συλλογή μαθηματικών γρίφων, παρουσιασμένων μέσα από μια εξιστόρηση που θυμίζει «Χίλιες και μία νύχτες». Ο «Άνθρωπος που μετρούσε», ο ήρωας του βιβλίου, ταξιδεύει τον αναγνώστη στον εξωτικό αραβικό κόσμο του 1300, όπου με τις εξαιρετικές μαθηματικές ικανότητές του επιλύει διαφωνίες, παρέχει σοφές συμβουλές, αντιμετωπίζει και νικάει επικίνδυνους εχθρούς, κερδίζει φήμη και πλούτη και τέλος αμείβεται συναισθηματικά, αφού καταφέρνει να παντρευτεί την εκλεκτή της καρδιάς του. Καθώς ακολουθούμε τον ήρωά μας, μαθαίνουμε τις ιστορίες προγενέστερών του μαθηματικών, παρακολουθούμε τις νοητικές δοκιμασίες στις οποίες τον υποβάλλουν οι σύγχρονοί του σοφοί μέσω μαθηματικών γρίφων και θαυμάζουμε τις γνώσεις και την κρίση του, με τις οποίες κερδίζει τον σεβασμό και την αγάπη όλων.

Γρίφος: Συμπτώσεις...

 

Το πλοίο "Αίολος" κάνει το δρομολόγιο Πειραιάς-Ικαρία. Στο πλοίο επιβαίνουν και τρία άτομα που έχουν τα επώνυμα Αντωνίου, Βασιλείου και Γεωργίου. Κατά σύμπτωση, ο καπετάνιος, ο μηχανικός και ο σερβιτόρος στο μπαρ του πλοίου έχουν και αυτοί τα επώνυμα Αντωνίου, Βασιλείου και Γεωργίου, όχι απαραίτητα με αυτή τη σειρά. Είναι γνωστό ότι:

1. Ο επιβάτης Αντωνίου διαμένει στον Πειραιά.

2. Ο καπετάνιος διαμένει σε νησί μεταξύ Πειραιά και Ικαρίας.

3. Ο επιβάτης με το ίδιο επώνυμο με τον καπετάνιο διαμένει στην Ικαρία.

4. Ο επιβάτης που είναι γείτονας με τον καπετάνιο κερδίζει ακριβώς τριπλάσια χρήματα το μήνα από τον καπετάνιο. 

5. Ο επιβάτης Βασιλείου κερδίζει 2.800€ το μήνα. 

6. Ο υπάλληλος του πλοίου με το επώνυμο Γεωργίου πρόσφατα κέρδισε τον σερβιτόρο στο τάβλι. 

Ποιο είναι το επώνυμο του μηχανικού;

Πηγή γρίφου: ΜΑΘΗ Μαγικά

Απόλυτη τιμή!

 

"Ρολόγια εν πλω"

Η αληθινή ιστορία ενός ιδιοφυούς ανθρώπου που έλυσε το μεγαλύτερο επιστημονικό πρόβλημα του καιρού του...

Κατά τον 18ο αιώνα, ενόσω η επιστημονική επανάσταση βρισκόταν σε πλήρη εξέλιξη και η εποχή των μεγάλων ανακαλύψεων στο απόγειό της, το πλέον ακανθώδες επιστημονικό πρόβλημα που κυριαρχούσε στους επιστημονικούς και πολιτικούς κύκλους της Βρετανίας, και όχι μόνο, είχε καθαρά πρακτική σημασία: ήταν ο υπολογισμός του γεωγραφικού μήκους. Η αδυναμία μέτρησής του είχε κοστίσει εδώ και αιώνες χιλιάδες ανθρώπινες ζωές χαμένες στη θάλασσα, ενώ έθετε σοβαρά εμπόδια στην εμπορική επέκταση και την αμυντική θωράκιση της νησιωτικής χώρας.

Με το συγκεκριμένο πρόβλημα καταπιάστηκαν οι κορυφαίοι αστρονόμοι της εποχής, όμως ένας επίμονος τεχνίτης, ο Τζων Χάρρισον, συνέλαβε μια μηχανική λύση. Αφιερώνοντας 40 χρόνια από τη ζωή του, μπόρεσε να κατασκευάσει ένα ρολόι που μετρούσε με ακρίβεια την πάροδο του χρόνου στη θάλασσα, κάτι που τα ρολόγια της εποχής δεν κατάφερναν ούτε στη στεριά. Τούτο το τέλειο ρολόι, που σήμερα ονομάζεται χρονόμετρο, υπήρξε το επιστέγασμα μιας ηρωικής προσπάθειας η οποία αντιμετώπισε ατέλειωτες δυσκολίες, αμφισβητήσεις και τρικλοποδιές, για να γνωρίσει τέλος την επίσημη αναγνώριση και την καθολική αποδοχή. (Από την παρουσίαση στο οπισθόφυλλο του βιβλίου)

«Όσοι αγνοούσαν τούτο το μοναδικό επεισόδιο της ανθρώπινης Ιστορίας, θα απολαύσουν μια συναρπαστική αφήγηση γύρω από ένα εκπληκτικό επίτευγμα στους τομείς της μέτρησης του χρόνου και της ναυσιπλοΐας.» (Νηλ Άρμστρονγκ, ο πρώτος άνθρωπος που πάτησε στη Σελήνη, 2005)

Γρίφος: Το βάζο με το μέλι

 

Πηγή: Brilliant.org

Ένα γεμάτο βάζο μέλι ζυγίσει 600 γρ. Με το μισό μέλι, το βάζο ζυγίζει 350 γρ. Πόσο ζυγίζει το βάζο άδειο;

"Ματωμένο χειρόγραφο"

Πώς ένα μεσαιωνικό χειρόγραφο που δημοπρατήθηκε στη Νέα Υόρκη στη δύση του εικοστού αιώνα και ένα παζλ δεκατεσσάρων κομματιών που φέρει την υπογραφή του Αρχιμήδη θα γίνουν η αιτία για τις εγκληματικές ενέργειες εναντίον πολιτικών προσώπων στην Αθήνα του 2004;
Ο Καθηγητής Αριστοτέλης Γαλάνης και ο Αστυνόμος Γιάννης Λόντσας γνωρίζουν ότι θα πρέπει να κοιτάξουν βαθιά μέσα στην ιστορία του χειρογράφου, να ακολουθήσουν τα «γεωμετρικά ίχνη» του δολοφόνου, να απορρίψουν τις προφανείς απαντήσεις και να αναζητήσουν τη λύση στις ιδέες του αρχαίου Έλληνα μαθηματικού.
Ένα διανοητικό παιχνίδι, ένα παζλ ιδεών και κομματιών βγαλμένο μέσα από τον περίφημο Κώδικα C του Αρχιμήδη θα τους οδηγήσει στην εξιχνίαση του μυστηρίου και θα αναδείξει, μεταξύ άλλων, τις παθογένειες του ελληνικού πολιτικού συστήματος.

Καλή επιτυχία σε όλους τους μαθητές!

Ευχόμαστε ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ στους μαθητές μας που ξεκινούν τις Ενδοσχολικές, τις Απολυτήριες και τις Πανελλαδικές Εξετάσεις! Τα "θετικά μυαλά" σκέφτονται... θετικά!!!

Από τα φετινά μας διαγωνίσματα...

"Τα Μαθηματικά φαίνονται στους περισσότερους πολύπλοκα, όμως αυτό που είναι πολύπλοκο είναι ο κόσμος".

(Απόστολος Γιαννόπουλος - Διαβάστε τη συνέντευξη του Καθηγητή Μαθηματικής Ανάλυσης της ΣΕΜΦΕ, Απ. Γιαννόπουλου εδώ).

Ο δεκάλογος του δασκάλου από τον Bertrand Russell

 

Οι δέκα εντολές για έναν καλό δάσκαλο από τον, γεννημένο σαν σήμερα, Bertrand Russell (1872–1970). 

Ο Μπέρτραντ Ράσελ ήταν Βρετανός φιλόσοφος, μαθηματικός και ιστορικός. Ο "δεκάλογος" του δασκάλου δημοσιεύτηκε το Δεκέμβριο του 1951 στο The New York Times Magazine στο τέλος του άρθρου  “The best answer to fanaticism: Liberalism.”

1. Μην αισθάνεσαι απόλυτα σίγουρος για τίποτα .

2. Μην σκέπτεσαι ότι αξίζει να προχωράς κρύβοντας τις αποδείξεις, διότι είναι βέβαιο ότι οι αποδείξεις θα έρθουν στο φως .

3. Μην προσπαθείς  πότε να αποθαρρύνεις την σκέψη, αν το κάνεις  είναι σίγουρο ότι θα το πετύχεις .

4. Όταν συναντάς αντίδραση, ακόμη και αν αυτή προέρχεται  από τον σύζυγο ή από τα παιδιά σου, να πασχίζεις  να την ξεπεράσεις με επιχειρήματα και όχι μέσω της εξουσίας, διότι η νίκη η όποια εξαρτάται από την εξουσία είναι απατηλή.

5. Να μην δείχνεις σεβασμό στην αυθεντία των άλλων, διότι είναι δυνατόν να βρει κάνεις αντίθετες  αυθεντίες.

6. Να μην χρησιμοποιείς ισχύ για να φιμώσεις  απόψεις τις οποίες θεωρείς επιβλαβείς, διότι αν το κάνεις οι απόψεις θα καταπνίξουν τελικά εσένα.

7. Να μην φοβάσαι να είσαι εκκεντρικός στις απόψεις σου, διότι κάθε άποψη η οποία είναι αποδεκτή σήμερα κάποτε υπήρξε εκκεντρική.

8. Να βρίσκεις περισσότερη απόλαυση όταν ευφυείς συνομιλητές διαφωνούν μαζί σου από ότι αν παθητικοί συνομιλητές  συμφωνούν μαζί σου, διότι αν αξιολογείς την νόηση όπως θα όφειλες, η πρώτη περίπτωση υποδηλώνει μια βαθύτερη συμφωνία από την δεύτερη

9. Να είσαι ενσυνείδητα ειλικρινής, ακόμη και αν η αλήθεια είναι άβολη, διότι είναι περισσότερο άβολη όταν προσπαθείς να την αποκρύψεις .

10. Να μην ζηλεύεις την ευτυχία  εκείνων οι οποίοι βλακωδώς θεωρούν ότι ζουν στον παράδεισο, διότι μόνο ένας βλάκας θα πιστέψει ότι αυτή είναι η ευτυχία.

Μαζί με τη γυναίκα του, Ντόρα Μπλακ, ο Ράσελ ίδρυσε το 1927 στην Αγγλία ένα πειραματικό σχολείο (Beacon Hill School).