Παγκόσμια ημέρα του αριθμού π: 31,4 τρισεκατομμύρια ψηφία του π στα... "σύννεφα"!

Η 14η Μαρτίου, η οποία στην Αμερική αναγράφεται ως 3-14, έχει καθιερωθεί Παγκόσμια Ημέρα της σταθεράς π. Η μαθηματική σταθερά π ορίζεται ως ο λόγος της περιφέρειας ενός κύκλου προς την διάμετρό του. Συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα π (από τη λέξη "περιφέρεια"). Είναι μια ποσότητα που προσπαθούσαν οι άνθρωποι να υπολογίσουν από τα αρχαία χρόνια. Αυτό που καθιστά το π τόσο δύσκολο να υπολογιστεί, είναι ότι είναι ένας αριθμός άρρητος και υπερβατικός. Με απλά λόγια, τα δεκαδικά του ψηφία δεν σταματούν σε κάποιο σημείο, είναι άπειρα και δεν επαναλαμβάνονται με κάποιο μοτίβο.

Στον περισσότερο κόσμο είναι γνωστά μόνο τα αρχικά του ψηφία: 3,14. Από την αρχαιότητα μέχρι σήμερα, ο υπολογισμός της τιμής του π απασχολεί χιλιάδες χρόνια την ανθρωπότητα. Για την απομνημόνευση των πρώτων ψηφίων του π έχουν επινοηθεί διάφοροι μνημονικοί κανόνες. Ανάμεσά τους και αυτή η φράση, όπου κάθε ψηφίο της σταθεράς π αντιστοιχεί στον αριθμό των γραμμάτων κάθε λέξης.

  

Βέβαια, το 3,14 αλλά και το 3,141592653589793238462 δεν είναι παρά ρητές προσεγγίσεις του π. Πριν από τον 15ο αιώνα, μαθηματικοί όπως ο Πυθαγόρας, ο Αρχιμήδης και ο κινέζος Liu Hui, χρησιμοποίησαν γεωμετρικές τεχνικές βασισμένες σε πολύγωνα, για υπολογίσουν την τιμή του π. Η πιο συνηθισμένη ρητή προσέγγιση του π ήταν το \(\frac{22}{7}\). Από τον 15ο αιώνα κι έπειτα, μαθηματικοί όπως ο Madhava της Sangamagrama, ο Isaac Newton, o Leonhard Euler, o Carl Friedrich Gauss και ο Σρινιβάσα Ραμανουτζάν χρησιμοποίησαν νέους αλγόριθμους βασισμένους στις άπειρες σειρές και υπολόγιζαν ακριβέστερες προσεγγίσεις του π. 

Ένας από τους τύπους που χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό του π
(Αδελφοί Chudnovsky, 1988)

Μερικοί επιστήμονες προσπαθούν να επιστρατεύσουν άλλες υπολογιστικές μεθόδους, που θα τους δώσουν κάποια ικανοποιητική προσέγγιση, π.χ. \(\pi = 4 \cdot \arctan(1)\). Τον 20ο και 21ο αιώνα, μαθηματικοί και πληροφορικοί συνδυάζουν τους αλγορίθμους με την αυξημένη υπολογιστική ισχύ και διαρκώς επεκτείνουν την δεκαδική απεικόνιση του π. Καθώς οι επιστημονικές εφαρμογές δεν απαιτούν κατά κανόνα περισσότερα από 40 δεκαδικά ψηφία του π, θα λέγαμε ότι βασικό κίνητρο για αυτούς τους υπολογισμούς είναι η επιθυμία του ανθρώπου να σπάει ρεκόρ... 

 

Στη "μάχη" της ακριβέστερης προσέγγισης του π, ήρθε αρχικά να καταρρίψει τα -μέχρι το 2019 δεδομένα- η Emma Haruka Iwao της Google. Με τη βοήθεια του Google Compute Engine, που ανήκει στο Google Cloud, κατάφερε να μας δώσει την ακριβέστερη μέχρι τότε ρητή προσέγγιση του π, υπολογίζοντας 31.415.926.535.897  (ή \( \pi\cdot 10^{13} \) ) ψηφία του αριθμού αυτού! Η Emma ήταν η πρώτη που χρησιμοποίησε τις δυνατότητες του Cloud για τον υπολογισμό του αριθμού αυτού σε τέτοια τεράστια κλίμακα.

Tον Αύγουστο του 2021, το βιβλίο καταγραφής παγκόσμιων ρεκόρ Guinness ανακοίνωσε πως μια ομάδα μαθηματικών από το Πανεπιστήμιο Εφαρμοσμένης Επιστήμης του Grisnos στην Ελβετία κατάφερε να υπολογίσει την τιμή του π με τη μεγαλύτερη μέχρι στιγμής ακρίβεια. Η νέα τιμή-ρεκόρ απαρτίζεται από 62.831.853.071.796 ψηφία, όπως επιβεβαίωσε ο επικεφαλής της εργασίας, Thomas Keller. Για να ολοκληρωθεί ο υπολογισμός, χρειάστηκαν 108 ημέρες και 9 ώρες , ενώ χρησιμοποιήθηκε ένα σύστημα με δύο AMD EPYC επεξεργαστές των 32 πυρήνων ο καθένας, οι οποίοι ήταν εξοπλισμένοι με 1 TB μνήμης RAM και 510 TB αποθηκευτικού χώρου!  

Οι προσπάθειες των σύγχρονων επιστημόνων είναι κάτι παραπάνω από εντυπωσιακές. Αλλά, όπως υπενθυμίζει και το παραπάνω αρχαιοελληνικό ποίημα, "ουδέποτε όλον θνητοί θα εύρωσι"...

 

Σας αφήνω με ένα ολοκαίνουργιο... μουσικομαθηματικό βίντεο αφιερωμένο στο π, από την αγαπημένη Vihart.