Πώς να λύσουμε ένα πρόβλημα;

"Μια μεγάλη ανακάλυψη λύνει ίσως ένα μεγάλο πρόβλημα, μπορούμε να πούμε όμως ότι πίσω από τη λύση κάθε προβλήματος κρύβεται και μια μικρή ανακάλυψη. Το πρόβλημά σας μπορεί να είναι απλό. Αλλά αν προκαλεί την περιέργειά σας και ενεργοποιεί τις εφευρετικές σας ικανότητες και, αν το λύσετε μόνοι σας, τότε ίσως να δοκιμάσετε την ένταση και να απολαύσετε τον θρίαμβο της ανακάλυψης..."

Ο George Polya έφερε στο φως αγνοημένες αντιλήψεις, μοντέλα και στρατηγικές και, απευθυνόμενος ταυτόχρονα στο δάσκαλο και τον μαθητή, περιέγραψε τα στάδια επίλυσης ενός προβλήματος και έδωσε μεγάλο πλήθος μεθόδων επίλυσης προβλημάτων.

Τα 4 στάδια επίλυσης προβλήματος κατά τον Polya είναι:

1. Κατανόηση προβλήματος

Καθορίζονται τα δεδομένα, οι συνθήκες και ο άγνωστος του προβλήματος.

2. Κατάστρωση σχεδίου επίλυσης
Το στάδιο αυτό είναι ιδιαίτερα κρίσιμο, καθώς η κατάστρωση ενός σχεδίου ενδέχεται να είναι μια χρονοβόρα διαδικασία. Συχνά οι προσπάθειες μπορεί να αποτύχουν και θα χρειαστεί οι μαθητές να δοκιμάσουν αρκετά διαφορετικά σχέδια επίλυσης μέχρι να καταλήξουν σε μια αποτελεσματική μέθοδο.

3. Εφαρμογή του σχεδίου

Το στάδιο αυτό θεωρείται από τον Polya πιο εύκολο από τα προηγούμενα. Οι μαθητές χρειάζονται κυρίως υπομονή, ώστε να εφαρμόσουν σωστά το σχέδιό τους.

4. Κοιτάζοντας πίσω

Το τελευταίο στάδιο θεωρείται πολύ σημαντικό, καθώς συμβάλλει στην ικανότητα επίλυσης προβλημάτων και δεν πρέπει να παραλείπεται.

Αναστοχαστικές δράσεις των μαθητών ανά στάδιο επίλυσης προβλήματος

1.

• Ξέρω ποιος είναι ο άγνωστος του προβλήματος;
• Ξέρω ποια είναι τα δεδομένα και οι συνθήκες που εμπλέκονται στο πρόβλημα;

2.

• Μπορώ να κάνω ένα σχήμα ή κάποιο σχέδιο;
• Έχω ξαναδεί το ίδιο ή παρόμοιο ή σχετικό πρόβλημα προηγουμένως;
• Ξέρω ένα σχετικό θεώρημα/μαθηματικό τύπο που μπορώ να χρησιμοποιήσω;
• Θα μπορούσα να λύσω ένα ανάλογο απλούστερο πρόβλημα;

3.

• Είναι η σωστή η πορεία μου μέχρι τώρα;
• Πώς μπορώ να ελέγξω αν αυτό που έκανα είναι σωστό;

4.

• Τι έμαθα λύνοντας αυτό το πρόβλημα;

Αναστοχαστικές δράσεις του εκπαιδευτικού ανά στάδιο επίλυσης προβλήματος

1.

• Κατανόησε ο μαθητής τα δεδομένα και τα ζητούμενα του προβλήματος;
• Μπορεί ο μαθητής να επαναδιατυπώσει το πρόβλημα με δικά του λόγια;
• Υπάρχουν παρερμηνείες ή αδυναμίες σχετικά με το περιεχόμενο του προβλήματος;

2.

• Έχει αναπτύξει ο μαθητής κάποιο σχέδιο;
• Πώς μπορώ να τον συμβουλεύσω χωρίς να του δώσω την απάντηση;
• Υπάρχουν πληροφορίες που θα μπορούσα να του συστήσω να αναζητήσει;
• Πώς θα μπορούσα να τον βοηθήσω να κάνει συνδέσεις με ένα παρόμοιο ή σχετικό πρόβλημα;
• Πώς θα μπορούσα να τον βοηθήσω να λάβει υπόψη του όλα τα δεδομένα αλλά και τις βασικές έννοιες που εμπλέκονται;
• Μπορώ να τον βοηθήσω να κάνει εικασίες σχετικά με τη λύση;
• Μπορώ να του ζητήσω να σχεδιάσει μια πορεία λύσης;

3.

• Τι ερωτήσεις θα μπορούσα να του απευθύνω κατά την εκτέλεση του σχεδίου, ώστε να βεβαιωθώ ότι το σχέδιό του μπορεί να τον οδηγήσει στη λύση;
• Έχει ελέγξει ο μαθητής το αποτέλεσμα που βρήκε με έναν κατάλληλο και πειστικό τρόπο;

4.

• Πώς θα μπορούσε να χρησιμοποιήσει το αποτέλεσμα, την κεντρική ιδέα, τη μέθοδο ή τη στρατηγική για ένα μελλοντικό πρόβλημα;
• Πώς μπορώ να κάνω το πρόβλημα πιο γενικό;
• Πώς μπορώ να κάνω το πρόβλημα πιο ρεαλιστικό;
• Μπορεί ο μαθητής να βρει και άλλους τρόπους λύσης;
• Τι έμαθε ο μαθητής λύνοντας αυτό το πρόβλημα;

Μερικές από τις στρατηγικές επίλυσης προβλημάτων, σύμφωνα με τη διδασκαλία του Polya, είναι οι παρακάτω:

Στο βίντεο που ακολουθεί, που τραβήχτηκε γύρω στο 1975 με 1980, ο Polya εξηγεί στους φοιτητές τις παραπάνω στρατηγικές μέσα από την προσπάθεια επίλυσης ενός γεωμετρικού προβλήματος στον τρισδιάστατο χώρο. Μας παροτρύνει να προσπαθούμε να απλουστεύσουμε το πρόβλημα, να παρατηρούμε, να φτιάχνουμε σχήματα, να εντοπίζουμε αναλογίες, να βρίσκουμε μοτίβα και να κάνουμε αιτιολογημένες εικασίες, έπειτα να ελέγχουμε αν οι εικασίες μας είναι ορθές και αν δεν είναι να συνεχίζουμε με άλλο τρόπο... Αξίζει να το παρακολουθήσει κάθε εκπαιδευτικός που διδάσκει Μαθηματικά!

.~*~.~*~.~*~.~*~.~*~.~*~

"Διδασκαλία είναι το να δίνεις την ευκαιρία στους μαθητές να ανακαλύπτουν πράγματα μόνοι τους".
George Polya (1887-1985)

.~*~.~*~.~*~.~*~.~*~.~*~

Πηγές

Polya, G. (1998). Πώς να το λύσω; (3η έκδ.) Αθήνα: Καρδαμίτσα (Το πρωτότυπο έργο δημοσιεύθηκε το 1945).

Schoenfeld, H. (1992). Learning to think mathematically: Problem-solving, metacognition and sense making in mathematics. Handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 334-368). New York: MacMillan.

YouTube: scud1234: "Polya explains the problem solving technique"