Κριτήρια Διαιρετότητας για τους αριθμούς από το 1 ως το 18!

Κάθε ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 1.

π.χ. Ο αριθμός 6.254 διαιρείται με το 1.

Ο αριθμός 1.234.567.890 διαιρείται με το 1.

Ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 2:

-Αν το τελευταίο του ψηφίο είναι 0 ή 2 ή 4 ή 6 ή 8
ή αλλιώς:

-Αν είναι άρτιος αριθμός.

π.χ. Ο αριθμός 5.358 διαιρείται με το 2, αφού τελειώνει σε 8, είναι, δηλαδή άρτιος.

Ο αριθμός 5.357 δεν διαιρείται με το 2, διότι τελειώνει σε 7, είναι, δηλαδή περιττός. 

Ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 3, αν το άθροισμα των ψηφίων του είναι πολλαπλάσιο του 3.

π.χ. Ο αριθμός 8.214 διαιρείται με το 3, αφού το άθροισμα των ψηφίων του είναι:

8 + 2 + 1 + 4 = 15

και το 15 είναι πολλαπλάσιο του 3.

Αλλά ο αριθμός 3.245 δεν διαιρείται με το 3, γιατί:

3 + 2 + 4 + 5 = 14

και το 14 δεν είναι πολλαπλάσιο του 3.

Η ιδιότητα αυτή είναι επαναληπτική, δηλαδή:

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 893.654.676. Το άθροισμα των ψηφίων του είναι:

8 + 9 + 3 + 6 + 5 + 4 + 6 + 7 + 6 = 54

5 + 4 = 9

και το 9 είναι πολλαπλάσιο του 3. Άρα ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 3.

Ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 4, αν τα  τελευταία δύο ψηφία του σχηματίζουν διψήφιο αριθμό που διαιρείται με το 4.

π.χ. Ο αριθμός 46.932 διαιρείται με το 4, 

αφού τα 2 τελευταία ψηφία του είναι το 32, που διαιρείται με το 4.

Αλλά ο αριθμός 9.521 δεν διαιρείται με το 4,

γιατί το 21, που είναι στα 2 τελευταία ψηφία του, δεν διαιρείται με το 4.

Ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 5, αν το τελευταίο του ψηφίο είναι 0 ή 5.

π.χ. Ο αριθμός 3.470 διαιρείται με το 5, αφού τελειώνει σε 0.
Ο αριθμός 12.965 επίσης διαιρείται με το 5, αφού τελειώνει σε 5.
Αλλά ο 85.457 δεν διαιρείται με το 5, γιατί δεν τελειώνει ούτε σε 0, ούτε σε 5.

Ένας ακέραιος αριθμός θα διαιρείται με το 6:

-Αν διαιρείται ταυτόχρονα και με το 2 και με το 3.

ή, συνδυάζοντας τα κριτήρια διαιρετότητας του 2 και του 3:

-Αν είναι άρτιος αριθμός και το άθροισμά των ψηφίων του είναι πολλαπλάσιο του 3.

π.χ. Ο αριθμός 5.472 διαιρείται με το 6, γιατί:

-τελειώνει σε 2, δηλαδή είναι άρτιος, άρα διαιρείται με το 2

και

-το άθροισμα των ψηφίων του είναι 5 + 4 + 7 + 2 = 18

και το 18 είναι πολλαπλάσιο του 3, επομένως διαιρείται και με το 3.

Αλλά ο αριθμός 65.385 δεν διαιρείται με το 6, αφού δεν διαιρείται με το 2.

Για να εξετάσουμε αν ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 7:

1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του. 

2. Αφαιρούμε από τον αριθμό που μένει το διπλάσιο του ψηφίου που έχουμε διαγράψει.

3. Αν ο αριθμός που προκύψει διαιρείται με το 7 (συμπεριλαμβανομένου και του 0), τότε και ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 7.
4. Αν δεν μπορούμε να αποφασίσουμε, επαναλαμβάνουμε τα τρία προηγούμενα βήματα μέχρι να καταλήξουμε σε διψήφιο αριθμό, όπου από την προπαίδεια θα ξέρουμε αν είναι ή όχι πολλαπλάσιο του 7.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 5.964.

1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του αριθμού, που είναι το 4 και μένει ο αριθμός 596.

2. Αφαιρούμε από το 596 το διπλάσιο του ψηφίου που διαγράψαμε, δηλαδή το 2 x 4 = 8.

596 - 2*4 = 596 - 8 = 588

Δεν μπορούμε εύκολα να αποφασίσουμε αν το 588 διαιρείται με το 7, οπότε επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία:

1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του 588 και μένει ο αριθμός 58.

2. Αφαιρούμε από το 58 το διπλάσιο του ψηφίου που διαγράψαμε.

58 - 2*8 = 58 - 16 =42

3. To 42 διαιρείται με το 7. Άρα και ο αρχικός αριθμός, 5.964 διαιρείται με το 7.

Ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 8:

-Αν τα τρία τελευταία ψηφία του σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 8

ή

-Αν το ψηφίο των εκατοντάδων του είναι άρτιος αριθμός και τα τελευταία 2 ψηφία σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 8

ή
-Αν το ψηφίο των εκατοντάδων του είναι περιττός αριθμός και τα τελευταία 2 ψηφία συν 4
σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 8.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 34.808.
Τα τρία τελευταία ψηφία του δίνουν τον αριθμό 808, που προφανώς διαιρείται με το 8, γιατί 808 = 8*101. Άρα και ο 34.808 διαιρείται με το 8.

Συνήθως, όμως, δεν είναι εύκολο να κρίνουμε αν ένας τριψήφιος είναι πολλαπλάσιο του 8. Οπότε χρησιμοποιούμε τα δύο τελευταία κριτήρια: 

π.χ. Ο αριθμός 472 διαιρείται με το 8, γιατί το ψηφίο των εκατοντάδων (4) είναι άρτιος αριθμός και τα δύο τελευταία ψηφία του σχηματίζουν τον αριθμό 72, που διαιρείται με το 8.
Ο αριθμός 720 διαιρείται με το 8, διότι το ψηφίο των εκατοντάδων (7) είναι περιττός αριθμός και τα δύο τελευταία ψηφία του σχηματίζουν τον αριθμό 20, ο οποίος αν αυξηθεί κατά 4, έχουμε 20 + 4 = 24 και το 24 διαιρείται με το 8.
Ενώ για τον αριθμό 84.673 έχουμε: Τα τρία τελευταία ψηφία του σχηματίζουν τον αριθμό 673.
Ελέγχουμε αν ο 673 διαιρείται με το 8.
Το ψηφίο των εκατοντάδων (6) είναι άρτιος αριθμός. Τα δύο τελευταία ψηφία  δίνουν τον αριθμό 73, που δεν διαιρείται με το 8.
Άρα ο 84.673 δεν διαιρείται με το 8.

Ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 9, αν το άθροισμα των ψηφίων του είναι πολλαπλάσιο του 9.

π.χ. Ο αριθμός 2.907 διαιρείται με το 9, αφού το άθροισμα των ψηφίων του είναι:
2 + 9 + 0 + 7 = 18
και το 18 είναι πολλαπλάσιο του 9.
Ενώ ο αριθμός 5.109 δεν διαιρείται με το 9, διότι το άθροισμα των ψηφίων του είναι:
5 + 1 + 0 + 9 = 15, που δεν διαιρείται με το 9.

Η ιδιότητα αυτή, εντελώς όμοια με το κριτήριο διαιρετότητας του 3, είναι επαναληπτική.

Ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 10, αν το τελευταίο ψηφίο του είναι 0.

π.χ. Οι αριθμοί 50, 300, 2.580, 6.000, 3.545.710 κλπ διαιρούνται με το 10.

Οι αριθμοί 506, 4.237, 5.921 κλπ δεν διαιρούνται ακριβώς με το 10.

Για να εξετάσουμε αν ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 11:

1. Προσθέτουμε τα ψηφία του αριθμού που είναι στις περιττές θέσεις (1^ο  + 3^ο  + 5^ο  + ... ψηφίο).

2. Στη συνέχεια, προσθέτουμε τα ψηφία του αριθμού που είναι στις άρτιες θέσεις (2^ο  + 4^ο  + 6^ο  + ... ψηφίο).

3. Αφαιρούμε το ένα άθροισμα από το άλλο.

4. Αν η απόλυτη τιμή της διαφοράς των δυο αθροισμάτων είναι πολλαπλάσιο του 11 (συμπεριλαμβανομένου και του 0), τότε ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 11.

π.χ. Έστω ο αριθμός 357.346
1. Προσθέτουμε τα ψηφία που βρίσκονται στις περιττές θέσεις: 3 + 7 + 4 = 14
2. Προσθέτουμε τα ψηφία που βρίσκονται στις άρτιες θέσεις: 5 + 3 + 6 = 14
3. Αφαιρούμε το ένα άθροισμα από το άλλο: 14 - 14 = 0
4. Αφού η διαφορά είναι 0, ο αριθμός 357.346 διαιρείται με το 11.

Έστω ο αριθμός 7.503.617
1. Προσθέτουμε τα ψηφία που βρίσκονται στις περιττές θέσεις: 7 + 0 + 6 + 7 = 20
2. Προσθέτουμε τα ψηφία που βρίσκονται στις άρτιες θέσεις: 5 + 3 + 1 = 9
3. Αφαιρούμε το ένα άθροισμα από το άλλο: 20 - 9 = 11
4. Αφού η διαφορά είναι 11, ο αριθμός 7.503.617 διαιρείται με το 11.

Ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 12:

-Αν διαιρείται ταυτόχρονα με το 3 και με το 4.

ή αλλιώς:

-Αν το άθροισμα όλων των ψηφίων του είναι πολλαπλάσιο του 3 και τα δύο τελευταία του ψηφία σχηματίζουν πολλαπλάσιο του 4.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 660. 

Διαιρείται με το 3, αφού: 6 + 6 + 0 = 12, που είναι πολλαπλάσιο του 3.

Διαιρείται με το 4, αφού τα δύο τελευταία ψηφία του σχηματίζουν τον αριθμό 60, που διαιρείται με το 4.

Οπότε διαιρείται με το 12. 

Αλλά ο αριθμός 735 δεν διαιρείται με το 12, διότι δεν διαιρείται με το 4. 

Για να εξετάσουμε αν ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 13: 

1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του αριθμού.

2. Από τον αριθμό που προκύπτει αφαιρούμε 9 φορές το διαγραμμένο ψηφίο.

3. Αν το αποτέλεσμα (συμπεριλαμβανομένου του 0) διαιρείται με το 13, τότε και ο αρχικός αριθμός θα διαιρείται με το 13.

4. Αν δεν μπορούμε να αποφασίσουμε, επαναλαμβάνουμε τα τρία προηγούμενα βήματα μέχρι να προκύψει διψήφιος αριθμός. 

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 32.435.

1. Διαγράφουμε το τελευταίο του ψηφίο, οπότε μένει ο αριθμός 3.243. 
2. Αφαιρούμε από το 3.243 το 9*5 = 45. Είναι 3.243 - 9*5 = 3.243 - 45 = 3.198
3. Επειδή δεν μπορούμε να κρίνουμε αν ο 3.198 διαιρείται με το 13, επαναλαμβάνουμε τα προηγούμενα βήματα:

1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του 3.198 και προκύπτει ο αριθμός 319.
2. Αφαιρούμε: 319 - 9*8 = 319 - 72 = 247.
3. Επειδή δεν μπορούμε να κρίνουμε αν ο 247 διαιρείται με το 13, επαναλαμβάνουμε τα προηγούμενα βήματα:

1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του 247 και προκύπτει ο αριθμός 24.
2. Αφαιρούμε: 24 - 9*7 = 24 - 63 = -39.
3. Ο -39, όπως και ο 39, διαιρείται με το 13. Άρα και ο αρχικός αριθμός, 32.435 διαιρείται με το 13.

Ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 14:

-Αν διαιρείται ταυτόχρονα με το 2 και με το 7.

ή αλλιώς:

1. Αν είναι άρτιος αριθμός και 2. ικανοποιεί το κριτήριο διαιρετότητας του 7.

π.χ. Εξετάζουμε αν ο αριθμός 658 διαιρείται με το 14.

1. Διαιρείται με το 2, αφού τελειώνει σε 8.

2. Από το κριτήριο διαιρετότητας του 7, έχουμε: 

65 -2*8 = 65 - 16 = 49, που διαιρείται με το 7

Άρα ο 658 διαιρείται με το 14.

Ενώ για τον αριθμό 97.335 δεν χρειάζεται να ελέγξουμε αν διαιρείται με το 7.
Σίγουρα δεν διαιρείται με το 14, αφού δεν διαιρείται με το 2.

Ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 15:

-Αν διαιρείται ταυτόχρονα με το 3 και με το 5.

ή αλλιώς:

-Αν το τελευταίο του ψηφίο είναι 0 ή 5 και το άθροισμα των ψηφίων του είναι πολλαπλάσιο του 3.

π.χ. Ο αριθμός 9.360 διαιρείται με το 15 διότι:

-Τελειώνει σε 0, οπότε διαιρείται με το 5 και

-Το άθροισμα των ψηφίων του είναι 9 + 3 + 6 + 0 = 18, (=πολλαπλάσιο του 3), επομένως διαιρείται με το 3.

Αλλά: Ο αριθμός 312.672 δεν διαιρείται με το 15, αφού δεν διαιρείται με το 5.

Ο αριθμός 4.780 δεν διαιρείται με το 15, αφού δεν διαιρείται με το 3.

Για να εξετάσουμε αν ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 16:

-Αν ο αριθμός είναι τριψήφιος, τότε:

1. Πολλαπλασιάζουμε το ψηφίο των εκατοντάδων με 4.

2. Προσθέτουμε το αποτέλεσμα στα τελευταία δύο ψηφία.

3. Αν ο αριθμός που προκύπτει διαιρείται με το 16, τότε και ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 16.

-Αν ο αριθμός έχει τουλάχιστον 4 ψηφία, τότε: Ο αριθμός διαιρείται με το 16 αν τα τελευταία τέσσερα ψηφία του σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 16. 

Και πώς θα το ελέγξουμε αυτό;;;

• Αν το ψηφίο των χιλιάδων είναι άρτιος αριθμός, αρκεί να ελέγξουμε αν τα τελευταία 3 ψηφία σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 16.
• Αν το ψηφίο των χιλιάδων είναι περιττός αριθμός, αρκεί να ελέγξουμε αν τα τελευταία 3 ψηφία του συν 8, σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 16.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 4.672. Επειδή είναι τετραψήφιος και το ψηφίο των χιλιάδων είναι άρτιος αριθμός, αρκεί να ελέγξουμε αν τα τρία τελευταία ψηφία του σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 16.

Για να ελέγξουμε, τώρα, αν ο αριθμός 672 διαιρείται με το 16, πάμε στο πρώτο κριτήριο:

1. Πολλαπλασιάζουμε  το ψηφίο των εκατοντάδων με 4, άρα 6 * 4 =24.

2. Προσθέτουμε το αποτέλεσμα στα δύο τελευταία ψηφία: 72 + 24 = 96.

3. Διαπιστώνεται εύκολα ότι ο 96 διαιρείται με το 16, άρα και ο 4.672 διαιρείται με το 16.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 53.488. Επειδή είναι πενταψήφιος και το ψηφίο των χιλιάδων είναι περιττός αριθμός, κρατάμε τα τρία τελευταία του ψηφία και προσθέτουμε το 8:

488 + 8 = 496.

Για να ελέγξουμε, τώρα, αν ο 496 διαιρείται με το 16, πάμε στο πρώτο κριτήριο:

1. Πολλαπλασιάζουμε το ψηφίο των εκατοντάδων με 4, άρα 4 * 4 = 16.

2. Προσθέτουμε το αποτέλεσμα στα δύο τελευταία ψηφία: 96 + 16 = 112, που είναι πάλι τριψήφιος, άρα επαναλαμβάνουμε:

1. 4 x 1 = 4

2. 12 + 4 = 16

3. Προκύπτει το 16 που -προφανώς- διαιρείται με το 16. Άρα και ο 53.488 διαιρείται με το 16.

Για να εξετάσουμε αν ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 17:

1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του αριθμού.

2. Από τον αριθμό που προκύπτει αφαιρούμε 5 φορές το διαγραμμένο ψηφίο.

3. Αν το αποτέλεσμα (συμπεριλαμβανομένου του 0) διαιρείται με το 17, τότε και ο αρχικός αριθμός θα διαιρείται με το 17.

4. Αν δεν μπορούμε να αποφασίσουμε, επαναλαμβάνουμε τα τρία προηγούμενα βήματα μέχρι να προκύψει διψήφιος αριθμός. 

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 357. 
1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο, δηλαδή το 7 και μένει ο αριθμός 35.
2. Από το 35 αφαιρούμε το πενταπλάσιο του 7:
35 - 5*7 = 35 - 35 = 0
3. To 0 διαιρείται με το 17, άρα και ο 357 διαιρείται με το 17.

Ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 18:

-Αν διαιρείται ταυτόχρονα και με το 2 και με το 9.

ή, συνδυάζοντας τα κριτήρια διαιρετότητας του 2 και του 9:

-Αν είναι άρτιος αριθμός και το άθροισμά των ψηφίων του είναι πολλαπλάσιο του 9.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 450.
-Ο 450 τελειώνει σε 0, οπότε διαιρείται με το 2 και
-Το άθροισμα των ψηφίων του είναι 4 + 5 + 0 = 9, που είναι πολλαπλάσιο του 9, οπότε διαιρείται και με το 9.
Άρα ο 450 διαιρείται με το 18.

Αλλά ο αριθμός 4.329 δεν διαιρείται με το 18, γιατί δεν διαιρείται με το 2.
Ο αριθμός 3.562, αν και άρτιος, δεν μπορεί να διαιρείται με το 18, διότι δεν διαιρείται με το 9.
(Είναι 3 + 5 + 6 + 2 = 16, που δεν είναι πολλαπλάσιο του 9).

Στο επόμενο βίντεο μπορείτε να δείτε τις απλουστευμένες αποδείξεις ορισμένων από τα παραπάνω κριτήρια: