Γρίφος: Η εντεκάδα, ο προπονητής και η... αναμνηστική φωτογραφία!

Η αρχική εντεκάδα μιας ομάδας ποδοσφαίρου πρόκειται να φωτογραφηθεί πριν τον αγώνα μαζί με τον προπονητή της ομάδας. Ο φωτογράφος θέλει και τα 12 άτομα να είναι τοποθετημένα σε σειρά, σε μια γραμμή.

👉Πόσες είναι οι δυνατές αναμνηστικές φωτογραφίες, αν ο προπονητής πρέπει να βρίσκεται στην άκρη (πρώτος ή τελευταίος στη σειρά);

👉Πόσες είναι οι δυνατές αναμνηστικές φωτογραφίες, αν πρέπει στη μια άκρη να βρίσκεται ο προπονητής και στην άλλη άκρη ο τερματοφύλακας της ομάδας;

Γρίφος: Ο χειρουργός που έκανε... οικονομία!

Όταν ένας χειρουργός κάνει εγχείρηση, πρέπει να προστατεύει τον ασθενή του, καθώς και τον εαυτό του, από μολύνσεις. Τα αποστειρωμένα γάντια έχουν ακριβώς τους δύο αυτούς στόχους.

Πρόβλημα:

Μπορεί ένας χειρουργός με μόνο 2 ζεύγη χειρουργικών γαντιών να εγχειρήσει 3 διαφορετικούς ασθενείς με πλήρη ασφάλεια;

(Πηγή: Paul Halmos (2012). Προβλήματα για μαθηματικούς, μικρούς & μεγάλους. Εκδόσεις: Ευρύαλος Απόλλων, Τρίκαλα)

Ο Gowers χρωματίζει αριθμούς...

Ο Timothy Gowers είναι ένας από τους σπουδαιότερους εν ζωή μαθηματικούς, ο οποίος για την έρευνά του που συνέδεσε τη Συναρτησιακή Ανάλυση με τη Συνδυαστική, κέρδισε το 1998 το μετάλιο Fields. Στο βίντεο που ανέβηκε σήμερα στο YouTube από το κανάλι Numberphile, o Gowers εξηγεί το Θεώρημα Van der Waerden από τη Θεωρία Ramsey της Συνδυαστικής, χρωματίζοντας αριθμούς... Αξίζει να το δείτε!

Το Θεώρημα Van der Waerden

Για οποιουσδήποτε θετικούς ακεραίους r και k υπάρχει θετικός ακέραιος Ν τέτοιος, ώστε αν οι ακέραιοι {1, 2, ... , Ν} χρωματιστούν, ο καθένας με r διαφορετικά χρώματα, τότε θα υπάρχουν τουλάχιστον k ακέραιοι, όροι αριθμητικής προόδου, της οποίας οι όροι είναι του ίδιου χρώματος.
Ο ελάχιστος τέτοιος Ν ονομάζεται αριθμός Van der Waerden.

Ο Paul Halmos και οι χειραψίες της... γυναίκας του

Το 1991, ο Paul Halmos στο βιβλίο του "Problems for Mathematicians, Young and Old", που όπως χαρακτηριστικά ανέφερε "έγραψε για το κέφι του", θέτει -μεταξύ πολλών άλλων- το παρακάτω πρόβλημα συνδυαστικής:

Η γυναίκα μου κι εγώ ήμασταν προσκεκλημένοι σε ένα πάρτι με άλλα τέσσερα ζευγάρια, συνολικά δέκα άτομα. Σε κάθε άφιξη είχαμε χειραψίες απρόβλεπτες σε αριθμό, με τις εξής δύο προφανείς προϋποθέσεις: κανένα πρόσωπο δεν ανταλλάσσει χειραψίες με τον εαυτό του ή με το ταίρι του. Στο τέλος, μου κινήθηκε η περιέργεια και ρώτησα το ίδιο πράγμα σε όλους τους παρόντες. "Πόσα χέρια έσφιξες; ... Κι εσύ; ... Κι εσύ"; Ρώτησα εννέα άτομα (όλους, συμπεριλαμβανομένης της γυναίκας μου) και δηλώνω υπευθύνως ότι έλαβα εννέα διαφορετικές απαντήσεις.

Πόσες χειραψίες αντάλλαξε η γυναίκα μου;

Ο Paul Halmos γύρω στο 1980

Για τους φίλους που αγαπάνε να λύνουν γρίφους και προβλήματα, περιμένω τις απαντήσεις στα σχόλια!

"Ο Θεός κρατάει μυστικά από εμάς
και έχει πλάκα να προσπαθούμε να μάθουμε μερικά από αυτά".
Paul Halmos (1916 - 2006)