Από τον Απολλώνιο στα... αραβικά χειρόγραφα και τελικά στην... Ολλανδία!

Μια εμπεριστατωμένη έρευνα «κόντρα» στις ανακριβείς και παραπλανητικές αντιγραφές του διαδικτύου

Κρυμμένοι… θησαυροί

Ο Απολλώνιος ο Περγεύς  (262 π.Χ.–190 π.Χ.) είναι γνωστός για το πρωτοποριακό του έργο στην Γεωμετρία. Υπήρξε ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς και γεωμέτρες της αρχαιότητας. Γεννήθηκε στην αρχαία ελληνική πόλη Πέργη της Μικράς Ασίας. Σπούδασε και δίδαξε στην Αλεξάνδρεια και, μεταξύ των άλλων, συνέγραψε το έργο «Κωνικά». Σε αυτό, ανέπτυξε συστηματικά τις έννοιες της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής (ο κύκλος μελετάται στα Κωνικά ως ειδική περίπτωση της έλλειψης), επηρεάζοντας βαθιά τα μαθηματικά και την αστρονομία τόσο της ελληνιστικής περιόδου όσο και των μεταγενέστερων πολιτισμών.

Ο Απολλώνιος ο Περγεύς, γνωστός κυρίως για το έργο του "Κωνικά" που μελετά τις κωνικές τομές. Πηγή εικόνας: Wikipedia

Από τα οκτώ βιβλία που αποτελούσαν τα «Κωνικά», τα πρώτα τέσσερα διασώζονται στα ελληνικά, ενώ τα πέμπτο έως έβδομο είναι γνωστά μόνο από μεσαιωνικές αραβικές μεταφράσεις, που αποδίδονται πιθανώς στον Θαμπίτ Ιμπν Κούρρα και μεταγενέστερους λογίους της ισλαμικής Χρυσής Εποχής. Το όγδοο βιβλίο θεωρείται χαμένο.

Τα αραβικά χειρόγραφα με τα βιβλία 5–7 είχαν αποκτηθεί τον 17^ο αιώνα από τον Ολλανδό ανατολιστή και μαθηματικό Jacob Golius, ο οποίος, κατά τη διάρκεια των ταξιδιών του στη Μέση Ανατολή, τα μετέφερε στο Πανεπιστήμιο του Leiden στην Ολλανδία, σε μια τεράστια συλλογή σχεδόν 200 χειρογράφων. Τα χειρόγραφα αυτά είχαν ταξινομηθεί και μελετηθεί από τους επιστήμονες της εποχής και δεν παρέμεναν ξεχασμένα (όπως λανθασμένα αναφέρεται σε πολλά άρθρα στο διαδίκτυο). Η αξία τους όμως αναδεικνύεται ξανά μέσα από σύγχρονες μελέτες, οι οποίες προβάλλουν όχι μόνο το έργο του Απολλώνιου, αλλά και τον ρόλο του ισλαμικού πολιτισμού στη διάσωση και μετάδοση της αρχαίας ελληνικής γνώσης.

Η πρόσφατη επανεξέταση των αραβικών χειρογράφων συνοδεύεται από μελέτη της καλλιγραφίας και των γεωμετρικών διαγραμμάτων που περιέχουν, προσφέροντας μια μοναδική εικόνα για τη μαθηματική παράδοση της ισλαμικής περιόδου. Ο Ολλανδός μαθηματικός και ιστορικός της επιστήμης Jan Pieter Hogendijk τόνισε τη σημασία αυτών των τεκμηρίων ως απόδειξη της πνευματικής ακμής και επιστημονικής πειθαρχίας των μουσουλμάνων λογίων του Μεσαίωνα.

Τμήμα από την αραβική μετάφραση των "Κωνικών" του Απολλώνιου. Πηγή εικόνας και πνευματικά δικαιώματα: Leiden University Libraries

Η επιρροή της επιστημονικής παράδοσης του Ισλάμ και η σημασία της σήμερα

Η επιστημονική γνώση της αρχαιότητας, και ιδιαίτερα των Ελλήνων, δεν χάθηκε, αλλά διασώθηκε και μεταδόθηκε μέσω της ισλαμικής επιστημονικής παράδοσης από τον 8^ο έως τον 13^ο αιώνα. Πλήθος ελληνικών έργων μεταφράστηκαν στα αραβικά, επεκτάθηκαν και εν τέλει διοχετεύτηκαν στην Ευρώπη, συμβάλλοντας καθοριστικά στην ευρωπαϊκή Αναγέννηση.

Σε αυτό το πλαίσιο, ο καθηγητής Mostafa Zahri του Πανεπιστημίου Sharjah υπογράμμισε τη σημασία της συντήρησης και μελέτης των αραβικών χειρογράφων, τα οποία συχνά παραμένουν αναξιοποίητα σε βιβλιοθήκες της Δύσης. Τον Ιανουάριο του 2025, στο Πανεπιστήμιο Sharjah διοργανώθηκε υπό την αιγίδα του SIFHAMS (Sharjah International Foundation for the History of Arab and Muslim Sciences), διεπιστημονικό εργαστήριο (workshop), όπου συνεργάστηκαν ερευνητές από τον αραβικό και δυτικό κόσμο, με σκοπό την εμβάθυνση στη μελέτη αυτών των πηγών.

Λεπτομέρεια από την αραβική μετάφραση των "Κωνικών" του Απολλώνιου, όπου διακρίνονται οι κωνικές τομές. Πηγή εικόνας και πνευματικά δικαιώματα: Leiden University Libraries 

Στο πλαίσιο της εκδήλωσης μελετήθηκε και το αριθμητικό σύστημα Abjad, στο οποίο τα γράμματα του αραβικού αλφαβήτου αντιστοιχούν σε αριθμούς (π.χ. alif = 1, baa = 2,…) και εμφανίζεται αλφαβητική-αλγεβρική χρήση αριθμών. Αν και δεν φέρεται να χρησιμοποιήθηκε ως κύριο αριθμητικό σύστημα σε επιστημονικά όργανα όπως ο αστρολάβος, όπως λανθασμένα διαβάζουμε σε αρκετά άρθρα, το Abjad παρουσιάζει ενδιαφέρον για την κατανόηση της συμβολικής και μαθηματικής σκέψης της εποχής.

Εκτός από τα βιβλία 5-7 των «Κωνικών» του Απολλώνιου, στο παραπάνω εργαστήριο επαναξιολογήθηκαν και άλλες γνώσεις των Αρχαίων Ελλήνων που διασώθηκαν χάρη στις αραβικές μεταφράσεις, όπως το «Περί Ύλης Ιατρικής» του Διοσκουρίδη, τρόποι κατασκευής ενός αστρολάβου σε χειρόγραφο του Al-Biruni, καθώς και χάρτες της εποχής εκείνης και δόθηκε ώθηση στην ανάδειξη αυτών των τεκμηρίων. Μάλιστα, από την Amsterdam University Press εκδόθηκε το Σεπτέμβριο του 2024 το βιβλίο “Prophets, Poets and Scholars:  The Collections of the Middle Eastern Library of Leiden University”, το οποίο καλύπτει την ιστορία, τη συλλογή και την εικονογράφηση των αραβικών χειρογράφων — ανάμεσά τους και όσα περιέχουν μέρος του έργου του Απολλώνιου.

Παρά την τεράστια σημασία τους, πολλά χειρόγραφα παραμένουν ανεξερεύνητα. Η συνεχιζόμενη προσπάθεια ψηφιοποίησης και η διαπολιτισμική συνεργασία, όπως αυτή στο Πανεπιστήμιο Sharjah, αποτελούν πολύτιμα εργαλεία για τη μελέτη της ιστορίας της επιστήμης και για την ανάδειξη της παγκόσμιας συνεισφοράς του ισλαμικού και αρχαιοελληνικού πνεύματος στην εξέλιξη των μαθηματικών και των φυσικών επιστημών.

 

Πηγές:

Amsterdam University Press|“Prophets, Poets and Scholars:  The Collections of the Middle Eastern Library of Leiden University”

EurekAlert.org

Ksnt.com

Leiden University Libraries

Wikipedia.org|Απολλώνιος ο Περγεύς

Γεωμετρικός γρίφος: Κομμάτια του κύκλου

Ποιο μέρος του κύκλου είναι χρωματισμένο; 

Facebook | Math is visual

Ο χαρταετός!

 

Γράφει ο Αθ. Δ. Γκίκας, Μαθηματικός

Δημήτρης Μυταράς (1934-2017) - "Χαρταετοί"

 

Κάποιες ατέλειωτες νύχτες φέρνω πίσω από τα πέλαγα του χρόνου τα βιώματά μου τα παλιά και ακούραστα. Τα βιώματά μου είναι η μαγιά για το κείμενο που ακολουθεί. Λες πάντα καλύτερα την ιστορία που έχεις κατακτήσει. Αν δεν έχεις τα βιώματα δεν έχεις τίποτα. Τα αληθινότερα κείμενα είναι εκείνα που έχουν αφετηρία τον εαυτό μας. Θα επιχειρήσω να εξισορροπήσω την αλήθεια με την αναγνωσιμότητα.
Έθιμο της Καθαράς Δευτέρας είναι το πέταγμα του χαρταετού. Η οικογένεια αφού επιβιβαστεί στο αυτοκίνητό της, πάρει και τα απαραίτητα φαγώσιμα, θα σταματήσει στο κοντινό περίπτερο ν’ αγοράσει το χαρταετό, έτσι για να διατηρηθεί το έθιμο. Ποιο χαρταετό θα μου πείτε; Αυτόν με τις φιγούρες από σύγχρονα κόμικς στην επιφάνειά του ή με σήμα κάποιας ποδοσφαιρικής ομάδας. Και αφού πάνε στην εξοχή θ’ αρχίσει η διαδικασία το πετάγματος πλην ματαίως, τις περισσότερες φορές.

Η σκηνή σαν και τούτη:

-  Ο μικρός θα γκρινιάζει γιατί ο δικός του δεν «σηκώθηκε».
- Ο πατέρας μπλεγμένος μες στους σπάγγους και το ξερόχορτο θα ρίχνει τις ευθύνες στη μητέρα γιατί δεν του έκανε καλό «κεφάλι».
-     Όταν ξεμπλέξει με το λιγοστό σπάγγο που θα του έχει απομείνει θα τρέχει σαν τρελλός στα χωράφια για να πάρει λίγο ύψος ο αετός. Ύστερα περήφανος θα εξομολογείται:  Τον «σήκωσα» και φέτος !

Σπύρος Βασιλείου (1903-1985) - "Τα σαρακοστιανά" (1950)

Η ημέρα θα κυλίσει με άριστες επιδόσεις στην κατανάλωση λαγάνας, ταραμοσαλάτας, καλαμαριών καβουριών και άλλων «σαρακοστιανών» και περιχαρείς θα επιστρέψουν στο σπίτι. Περιχαρείς; Όλο και κάποιοι θα νοιώθουν εκείνο το κενό μέσα τους, το ονομαζόμενο «μεθεόρτιο σύνδρομο» από τους ψυχολόγους, που προέρχεται από τις πολλές ελπίδες που είχαν στηρίξει στην Καθαροδευτεριάτικη έξοδο και δεν επαληθεύτηκαν.
Και πώς να μην γίνει έτσι. Πόσο κοπίασαν για τον αετό; Τί ξέρουν για το σκελετό του με τα «ψυχοκάλαμα» ; Πόσο κοπίασαν για τα ζύγια του; Ας είναι καλά οι πήχες από το ξυλουργείο κι η βιοτεχνία που φτιάχνει αετούς χωρίς «ψυχή»; Πώς ν’ ασχοληθείς με το πέταγμα, αφού δεν καταπιάστηκες ποτέ με την κατασκευή του και μέσα από αυτή, διδάσκοντας την στα παιδιά σου, να δίνεις και να παίρνεις και συ χαρά; Χωρίς περιστροφές θα πω ότι τα πράγματα στις ημέρες μου ήταν καλύτερα. Τούτο όχι από συνήθεια που έχουμε οι παλιότεροι να ωραιοποιούμε καταστάσεις που ζήσαμε… και τότε δεν ήταν όλα ωραία. Άλλα πράγματα ήταν χειρότερα από σήμερα.
Όμως επειδή ο λόγος πρέπει να είναι «ορθός αποδεικτικός», όπως στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, θα επιχειρήσω τη σύγκριση κι ας βγάλει ο αναγνώστης τα συμπεράσματά του.

Πρώτα πρώτα για μας το πέταγμα του αετού δεν ήταν σαν το «στιγμιαίο αδίκημα» δηλ. αγοράζω την Κ. Δευτέρα το πρωί, κάνω προσπάθεια για πέταγμα και τελείωσα. Ήταν ολόκληρη ιεροτελεστία που άρχιζε μια δυο εβδομάδες πριν. Όταν είσαι νέος έχεις το χρόνο στο πλευρό σου ανεξάντλητο κα όλα είναι συναρπαστικά.

- Πρώτα τα καλάμια για το σκελετό. Ας ήταν καλά τα μαντριά προβάτων. Και σήμερα αν θέλει κάποιος μπορεί να βρει δίπλα σε  αυλάκια.
- Μετά τη φροντίδα για τις κόλλες, το ζυμάρι που θα τις κολλούσε.
- Ο σπάγγος ο κερωμένος για να κρατάει καλύτερα.
- Κουρέλια ή φύλλα από το κιντρινόχρωμο πρόχειρο σχολικό τετράδιο, για την ουρά. Βλέπεις δεν έφτανε η «δραχμή» ν’ αγοράσεις και δεύτερη κόλλα για τις φούντες της ουράς.

Τα δύσκολα άρχιζαν στην συναρμολόγηση. Πώς θα κατορθώσεις να φτιάξεις το κανονικό εξάγωνο. Το μυστικό πήγαινε από τα μεγαλύτερα παιδιά της παρέας στα μικρότερα έτσι εμπειρικά. Εγώ το διδάχτηκα από τον ξαδελφό μου Κ. Γκίκα γεωπόνο, που με τα μακριά και επιδέξια δάκτυλά του έκανε τους καλύτερους χαρταετούς. Θαύμαζα τους αετούς του. Σήμερα δε θαυμάζουμε αλλά θαμπωνόμαστε από ένα συμβάν επιτυχίας. Παλαιά υπήρχαν πρότυπα σε γειτονιές, στο σχολείο, στα αθλήματα, σε εργασιακούς χώρους, όπου μια δεξιότητα μας κέντριζε σε άμιλλα. Θαυμασμός εσωτερικός . ήταν αναμέτρηση με τους εαυτούς μας. Γιατί ο Κώστας φτιάχνει αετό και να μη μπορώ και γω! Έτσι όχι μόνο μαθαίναμε, αλλά συγχρόνως γινόμασταν καράβι που μετέφερε τη γνώση στο επόμενο λιμάνι της αρχέγονης αλυσίδας ζωής. Αν το φορτίο το παραδώσαμε σωστά, τότε η ζωή μας έχει νόημα.

Στην παρουσίαση της κατασκευής θα ακολουθήσω την αρχή της εποπτικότητας, με σκοπό διδακτικό, αισθητικό και κύρια τεκμηριωτικό. Αφού και τα τρία καλάμια ΑΔ, ΓΖ, ΒΕ κεντραριζόντουσαν στο μέσο Ο με καρφίτσα αρχικά για να μπορεί να περιστρέφονται, με την αρχή του σπάγγου στο σημείο Α μετρούσαμε μέχρι το Ο και δέναμε στο Β. Πάλι από το Β μετρούσαμε μέχρι το Ο και δέναμε στο Γ κ.λ.π. Έτσι το εξάγωνο ήταν έτοιμο. Έπρεπε να γίνω Μαθηματικός για να δώσω τη θεωρητική εξήγηση στην κατασκευή του κανονικού εξαγώνου μ’ αυτόν τον τρόπο που περιέγραψα.

 

 

Σχήμα του Αθ.Δ. Γκίκα με τα μαθηματικά του χαρταετού

 

Η εμπειρική κατασκευή στηρίζεται στην Μαθηματική αλήθεια ότι:
Η πλευρά του κανονικού εξαγώνου ΑΒ = ΑΟ = R = ακτίνα περιγεγραμμένου κύκλου.

Από την κατασκευή του αετού ξεκινούσα στη Β΄ Λυκείου την διδασκαλία του κανονικού εξαγώνου, έτσι όπως απαιτεί η διδακτική των Μαθηματικών από την εμπειρία στο θεωρητικό μοντέλο και αντίστροφα.

 

Στα πρώτα χρόνια υπήρχαν μαθητές, που βοηθούσαν στο πέρασμα από την εμπειρία στη θεωρία. Σιγά σιγά, όλο και λιγόστευαν, αφού κανένας γονιός δεν δίδαξε το παιδί του πώς να φτιάχνει αετό. Αν το είχε κάμει θα του είχε μάθει χωρίς καλά καλά να το καταλαβαίνει ο ίδιος και τις ιδιότητες του κανονικού εξαγώνου – θα φανεί παρακάτω του λόγου το ασφαλές. Ας έλθουμε στα ζύγια που πετάγματος ΚΑ, ΚΒ, ΚΟ και της ουράς ΛΕ, ΛΔ.

Σχεδόν πάντοτε όλα είχαν το ίδιο μήκος με την πλευρά (ακτίνα). Όμως, αν ήθελε κάποιος να παίρνει ύψος ο αετός του, κρατούσε το μεσιανό, το ΚΟ μικρότερο, όχι όσο αυτός ήθελε. Τα Μαθηματικά έχουν και πάλι το λόγο, όσο δηλ. το απόστημα ΟΘ του κανονικού εξαγώνου. Εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο ΟΓΘ θα βρείτε:

 \(ΟΘ=\frac{R \sqrt{3}}{2} \simeq 0,86R\)

 

Και επειδή η πλευρά του κανονικού εξαγώνου είναι όσο και η ακτίνα, το μεσαίο ζύγι είναι τα 0,86 πλευράς. Κατ’ αυτό τον τρόπο, ο αετός υψωνόταν σχεδόν κατακόρυφα, ο σπάγγος του δεν έκανε «κοιλιά», που δεν ήταν τίποτα άλλο από την αλυσοειδή καμπύλη της Θεωρητικής Μηχανικής.

Περιέγραψα την κατασκευή για να είναι η σύγκριση ευχερής. Εμάς μας γέμιζε πριν απ’ όλα η προετοιμασία. Το πέταγμα ήταν η κορύφωση. Νοιώθαμε έρωτα γι’ αυτόν. Τον μαθαίναμε και τον χορταίναμε κατασκευάζοντάς τον. Και όταν τον βλέπαμε να σηκώνεται στα ύψη νοιώθαμε περισσότερο ελεύθεροι. Νικούσαμε την βαρύτητα της Γής που μας κρατά καθηλωμένους χιλιάδες χρόνια πάνω της. Λίκνο του ανθρώπινου γένους και του πολιτισμού του η γη, αλλά και τα δεσμά του. Σαν τον υψώναμε ψηλά και η καλούμπα είχε φτάσει στο τέλος, του στέλναμε και ένα «μήνυμα» του αετού ! Τι ήταν το μήνυμα; Ένα στρογγυλό χαρτί με μια τρύπα στη μέση, συνήθως από το πακέτο τσιγάρων των θεριακλήδων της παρέας, που το περνούσαμε στο σπάγγο και ο αέρας το προχωρούσε μέχρι τον αετό! Έτσι με το πέταγμα το αετού περνούσαμε τις ελεύθερες ώρες σχεδόν όλο το σαρανταήμερο. Όσο κρατούσε το ανοιξιάτικο βοριαδάκι και μας το επέτρεπε. Μετά τον κρεμούσαμε στο υπόγειο, εφόσον δεν είχε καρφωθεί σε κανένα δένδρο. Σύρματα της Δ.Ε.Η. δεν υπήρχαν για εμπόδια και ηλεκτροπληξίες. Έφτιαξα αετούς για τα παιδιά μου, τα ανίψια μου και τον εγγονό μου.
Θα πει κάποιος: Αφού δίδαξες τα παιδιά σου, συ κατασκευάζεις και για το εγγόνι;
-  Ε! λοιπόν, ναι. Τα παιδιά δεν τα είδα αποφασισμένα να γονατίσουν στο πάτωμα και ν’ ανακατευτούν με κόλλες, ψαλίδια και σπάγγους. Τα είδα να κατευθύνονται στο γειτονικό περίπτερο!! Εγώ πάντως κάτι κερδίζω. Γίνομαι πάλι παιδί. Μόνο δυο φορές στη ζωή μας γινόμαστε παιδιά. Όταν είμαστε πραγματικά παιδιά και όντας μεγάλοι, να μπορούμε να κατακτήσουμε πάλι όσα μας έκαναν εντύπωση ως παιδιά. Η παιδική μνήμη είναι παντοδύναμη. Παραμένουμε ζωντανοί χάρη στην αυταξία ορισμένων στιγμών, που επιλέγουμε, δημιουργώντας μια δεύτερη ροή παράλληλη με τις ρυτίδες μας. 

 

Πηγή: Λαμιακός Τύπος

Αλέκος Φασιανός (1935-2022) - "Χαρταετός"

 

🌐Ένα αναλυτικό tutorial για την κατασκευή χαρταετού, καθώς και τη Φυσική που χρησιμεύει για το πέταγμα του χαρταετού, θα βρείτε στο ιστολόγιο Πειράματα Φυσικής με Απλά Υλικά.

 

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Η ταινία του Möbius

 

Αν είχαμε μια κενή σφαίρα με ένα μυρμήγκι στο εσωτερικό της, εύκολα θα αντιλαμβανόμασταν ότι η σφαίρα διαθέτει δύο διακεκριμένες όψεις. Ένα μυρμήγκι που περπατά στο εσωτερικό της σφαίρας δεν θα φτάσει ποτέ στην εξωτερική επιφάνεια. Επίσης, ένα μυρμήγκι που περπατά στο εξωτερικό της δεν πρόκειται να περάσει στο εσωτερικό.

Μια επίπεδη επιφάνεια που εκτείνεται ως το άπειρο προς όλες τις κατευθύνσεις διαθέτει, επίσης, δύο όψεις. Ένα μυρμήγκι που περπατά στη μία όψη δεν πρόκειται να βρεθεί ποτέ στην άλλη. Ακόμη και μια πεπερασμένη επίπεδη επιφάνεια, όπως μια σελίδα χαρτιού, θεωρείται δύο όψεων αν το μυρμήγκι δεν καταφέρει να "καβαλήσει" τις αιχμηρές ακμές του συνόρου της. Ομοίως, ένα κοίλο αντικείμενο τοροειδούς σχήματος σαν τον λουκουμά έχει δύο όψεις. 

Η πρώτη επιφάνεια μίας όψης που ανακαλύφθηκε και μελετήθηκε είναι η ταινία του Möbius.

Seth Bareiss (γεν. 1964) - "Forever Fish" (2005)

Τα βιβλία γράφουν... 

Η ταινία του Möbius είναι μια επιφάνεια με μία μόνο όψη και μόνο ένα σύνορο (συνοριακή γραμμή), ενώ δεν έχει προσανατολισμό.

M.C Escher (1898-1972) - "Möbius Strip I" (1961)

M.C Escher (1898-1972) - "Möbius Strip II - Red Ants" (1963)

Για να κατασκευάσει κανείς μια ταινία Möbius, αρκεί απλώς να ενώσει τα δύο άκρα μιας μακριάς ανοιχτής λωρίδας, αφού πρώτα περιστρέψει το ένα από αυτά κατά 180º ως προς το άλλο. Σε μια τέτοια επιφάνεια, ένα μυρμήγκι μπορεί να περπατήσει από ένα σημείο σε ένα άλλο, χωρίς ποτέ να διασχίσει μια ακμή.

M.C Escher (1898-1972) - "Möbius Horsemen" (1946)

Joachim Eriksen (σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Möbius"

Joachim Eriksen (σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Intermediate Dimension"

Προσπαθήστε να χρωματίσετε μια ταινία Möbius. Είναι αδύνατο να βάψετε τη μια πλευρά κόκκινη και την άλλη πράσινη, καθώς διαθέτει μια μόνο όψη. Αυτό σημαίνει ότι αν πάρουμε δύο οποιαδήποτε σημεία πάνω στην ταινία του Möbius, μπορούμε να σχεδιάσουμε μια συνεχή γραμμή, χωρίς ποτέ να διασχίσουμε ένα σύνορο (ακμή).  

Joachim Eriksen (σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Über die Einfachheit der Dinge"

Η ταινία του Μέμπιους είναι μια μη προσανατολιζόμενη επιφάνεια. Παρατηρήστε ότι ο κάβουρας που κινείται πάνω σε αυτήν αντιστρέφεται (η μεγάλη του δαγκάνα από αριστερά πάει δεξιά) κάθε φορά που κάνει έναν πλήρη κύκλο. Αυτό δεν θα συνέβαινε αν ο κάβουρας κινούταν πάνω σε έναν τόρο.

Η ταινία του Möbius με τις ενδιαφέρουσες ιδιότητές της έχει αποτελέσει -και συνεχίζει να αποτελεί- έμπνευση για πολλούς καλλιτέχνες...

"Möbius" - Γλυπτό των Jennifer Macklem & Kip Jones 
που διακοσμεί το εξωτερικό της δημόσιας βιβλιοθήκης της Κελόουνα στον Καναδά.

"Möbius Ship" (2006) - Γλυπτό του Tim Hawkinson
που παριστάνει τον αέναο κύκλο της ταινίας του Möbius.
(Μουσείο Τέχνης της Ινδιανάπολης)

Joachim Eriksen (σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Simplicity (Möbius band)", γλυπτό από αλάβαστρο

Η ανακάλυψή της αποδίδεται στους Γερμανούς μαθηματικούς August Ferdinand Möbius και Johann Benedict Listing το 19ο αιώνα, αν και μια δομή παρόμοια με την ταινία του Möbius φαίνεται στα ρωμαϊκά μωσαϊκά που χρονολογούνται γύρω στο 200-250 μ.Χ.  

Αρχαίο ρωμαϊκό μωσαϊκό, όπου απεικονίζεται μια δομή παρόμοια με την ταινία του Möbius  

Πηγές:

• Clifford Pickover (2006). Η Λωρίδα του Μέμπιους. Εκδόσεις Τραυλός, Αθήνα.
• DiscoverNewFields
• The Moebius Strip: Dr August Moebius's marvellous band in Mathematics, games, literature, art, technology and cosmology
• Wikipedia | Λωρίδα του Μέμπιους
• Zeichnungen von Joachim Eriksen

Καλώς ήρθες, 2025...

Η αντίστροφη μέτρηση έγινε! Σας ευχαριστώ όλους όσοι ασχοληθήκατε με τον αριθμογρίφο του 2025 και σας στέλνω 2025 ευχές για μια όμορφη και δημιουργική χρονιά!!! 

Τι λέτε να δούμε κάτι ακόμα; 

Ισότητες μόνο με τα ψηφία 2, 0, 2, 5:

\(20+25 = ((2+0!)^2) \cdot 5 = 2 \cdot 20 +5 = \sqrt{2025}\)

\((20+25)·(20+25)=2025\)

Το 2025 γράφεται ως άθροισμα των κύβων των αριθμών 1, 2, 3, ... , 9:

\(1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+7^3+8^3+9^3=2025\)

...αλλά και ως το τετράγωνο του αθροίσματος των αριθμών αυτών:

\((1+2+3+4+5+6+7+8+9)^2=2025\) 

Εσείς ποιες άλλες ιδιότητες ξέρετε; Γράψτε μας στα σχόλια όσες γνωρίζετε ή ανακαλύψτε παρακάτω άλλες 2025 ιδιότητες!

 Numbers aplenty 2025

Numbers magic: Mathematics of 25 and 2025 in numbers and magic squares Part 1 - Part 2

Πώς χαίρονται το χιόνι οι μαθηματικοί!

Πηγή εικόνας 

Ο Μάγος του Οζ, το Σκιάχτρο και ένα μαθηματικό λάθος

🎬Στην ταινία του 1939, "Ο Μάγος του Οζ", ένα συμπαθέστατο σκιάχτρο πηγαίνει να συναντήσει τον πανίσχυρο μάγο του Οζ για να του ζητήσει να του δώσει εγκέφαλο. Μετά από ένα μακρινό και επικίνδυνο ταξίδι, ο μάγος, ο οποίος -μεταξύ μας- δεν ήταν αληθινός μάγος, αλλά βάσιζε τη δράση του στο φαινόμενο placebo, απονέμει στο Σκιάχτρο τον τιμητικό τίτλο Δ.Σ., δηλαδή Δόκτωρ της κριτικής Σκέψης. Μόλις πήρε το δίπλωμά του, το Σκιάχτρο, με ανανεωμένη εμπιστοσύνη στις ικανότητές του, εντυπωσίασε τους φίλους του διατυπώνοντας το εξής... "θεώρημα":

"Το άθροισμα των τετραγωνικών ριζών οποιωνδήποτε δύο πλευρών ισοσκελούς τριγώνου ισούται με την τετραγωνική ρίζα της τρίτης πλευράς".

❓Θα μπορούσε, άραγε, να ισχύει ποτέ αυτό; Ας το δούμε αναλυτικά.

Επειδή ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει δύο ίσες πλευρές, αυτό που είπε το Σκιάχτρο θα μπορούσε να περιγραφεί με τη μαθηματική σχέση

\(\sqrt{\alpha}+\sqrt{\alpha}=\sqrt{\gamma}\)

ή

\(2\sqrt{\alpha}=\sqrt{\gamma}\)

ή

\(\gamma=4\alpha\).

Όμως, με βάση την τριγωνική ανισότητα, είναι αδύνατο να υπάρχει τρίγωνο με μήκη πλευρών \\(\alpha, \alpha\\) και \\(4\alpha\\). Ελέγξτε το μόνοι σας, προσπαθώντας να σχεδιάσετε ένα τέτοιο τρίγωνο.

Από την άλλη, μπορεί το Σκιάχτρο να εννοούσε

\(\sqrt{\alpha}+\sqrt{\gamma}=\sqrt{\gamma}\),

το οποίο συνεπάγεται ότι \(\alpha=0\),

που δεν μπορεί να ισχύει για πλευρά τριγώνου.

🌐Προφανώς, ο συγγραφέας του κινηματογραφικού σεναρίου ηθελημένα έβαλε το Σκιάχτρο να διατυπώνει μια εντυπωσιακή σχέση που από μαθηματικής άποψης δεν ισχύει. Πάντως, σύμφωνα με τον Clifford A. Pickover, συγγραφέα του βιβλίου γρίφων "Τα Μαθηματικά του Οζ", η μαθηματική σχέση του Σκιάχτρου θα μπορούσε να είναι σωστή σε κάποιο είδος καμπυλωμένου χώρου, όπου η ευθεία γραμμή δεν είναι ο συντομότερος "δρόμος" ανάμεσα σε δύο σημεία και πιθανόν στη Χώρα του Οζ να ισχύει κάποια παράξενη, μη Ευκλείδεια γεωμετρία...

"Το παράθυρο του Ευκλείδη"

Μέσα από το Παράθυρο του Ευκλείδη, ο Leonard Mlodinow μάς ταξιδεύει με τρόπο απολαυστικό διαμέσου πέντε επαναστάσεων στη γεωμετρία —από την έννοια των παράλληλων ευθειών μέχρι τις τελευταίες ιδέες για τον υπερχώρο. Εδώ έχουμε μια εντελώς νέα, φρέσκια, εναλλακτική ιστορία των Μαθηματικών, της Φυσικής και της Κοσμολογίας, η οποία αποκαλύπτει πώς απλά ερωτήματα σχετικά με το χώρο, τα οποία θα μπορούσε να θέσει ο οποιοσδήποτε, υπήρξαν η κρυφή κινητήρια δύναμη για τα υψηλότερα επιτεύγματα της επιστήμης και της τεχνολογίας.

Βασισμένο στην εκτεταμένη ιστορική έρευνα τού Mlodinow, στις μελέτες του δίπλα σε συναδέλφους (όπως ο Richard Feynman και ο Kip Thorne) και σε συνεντεύξεις με εξέχοντες φυσικούς και μαθηματικούς (όπως ο Murray Gell-Mann, ο Edward Witten και ο Brian Greene), το Παράθυρο του Ευκλείδη είναι ένα εξαιρετικό μείγμα αυστηρής, έγκυρης έρευνας και προσιτής, ευχάριστης αφήγησης, το οποίο συνιστά ένα εκπληκτικά πρωτότυπο επιχείρημα υπέρ της προτεραιότητας της γεωμετρίας. Για όσους κοιτάξουν μέσα από το παράθυρο του Ευκλείδη, κανένας χώρος, κανένα πράγμα και κανένας χρόνος δεν θα είναι πλέον ο ίδιος.

«Η πορεία της επιστήμης είναι εκείνη που χάραξαν οι Έλληνες γεωμέτρες με εργαλείο τους τα μαθηματικά. Από τους αρχαίους Έλληνες και μετά, τα μαθηματικά βρίσκονται στην καρδιά της επιστήμης και η γεωμετρία στην καρδιά των μαθηματικών. Μέσα από το παράθυρο του Ευκλείδη έχουμε ανακαλύψει πολλά, εκείνος ωστόσο δεν μπορούσε να φανταστεί πού θα μας οδηγούσαν. Το να γνωρίσουμε τα άστρα, να φανταστούμε το άτομο και να αρχίσουμε να κατανοούμε πώς αυτά τα κομμάτια τού παζλ ταιριάζουν στο κοσμικό σχέδιο, αποτελεί για το είδος μας μια ιδιαίτερη ευχαρίστηση, ίσως την υπέρτατη. […] Η έρευνά μας για βαθύτερες αλήθειες συνεχίζεται. Οφείλουμε ευγνωμοσύνη στον Ευκλείδη και στις μεγαλοφυΐες που ακολούθησαν, στον Καρτέσιο, στον Gauss στον Αϊνστάιν και —ίσως, ο χρόνος θα δείξει— στον Witten, καθώς και σε όλους εκείνους επάνω στους ώμους των οποίων αυτοί στάθηκαν. Εκείνοι δοκίμασαν τη χαρά της ανακάλυψης. Σε εμάς τους υπόλοιπους πρόσφεραν μια εξίσου σημαντική χαρά, τη χαρά της κατανόησης.»

—Από τον Επίλογο του βιβλίου.

Γρίφος... τετράγωνης λογικής

Βρείτε το μήκος x της πλευράς του τετραγώνου.

Πηγή: mathematicsart.com 

Η οδός "Ευκλείδειας Γεωμετρίας" στο ιστορικό κέντρο της Καλαμάτας!

Σε δημιουργικό οίστρο βρίσκεται για μια ακόμα φορά τους τελευταίους μήνες ο εμπνευστής και δημιουργός της “οδού Ευκλείδειας Γεωμετρίας” στο Ιστορικό Κέντρο Καλαμάτας, Γιάννης Τσιμόγιαννης.

Εχοντας μεταφέρει την αγάπη του για τη Γεωμετρία εκτός των τεσσάρων τοίχων από το 2021, όταν και ξεκίνησε η μετατροπή της οδού Ηφαίστου σε «δρόμο θεωρημάτων» ώστε να αξιοποιηθεί, όπως είχε πει, ο ελεύθερος χρόνος του λόγω του εγκλεισμού της πανδημίας, ο νομικός στο επάγγελμα και κάτοικος της περιοχής κ. Τσιμόγιαννης δεν έχει επαναπαυθεί στην αρχική του πρωτοβουλία πριν 2,5 χρόνια, κρίνοντας κανείς από την εξαίρετη δουλειά του στο 5ο ΓΕΛ Καλαμάτας, μέσω του προγράμματος «Ο τοίχος διδάσκει» αλλά και από τα νέα θεωρήματα και σχήματα που σχεδίασε πρόσφατα κατά μήκος του πεζόδρομου της Γερμανού, ανανεώνοντας παράλληλα τις αρχικές του δημιουργίες μιας και αλλοιώθηκαν λόγω έκθεσης τους στις καιρικές συνθήκες.

Μέσα, έτσι, από το ταλέντο ενός ανθρώπου και από την εθελοντική του προσφορά, έχει δημιουργηθεί μια άτυπη τουριστική ατραξιόν στην Καλαμάτα, που όμοια της δεν υπάρχει, όχι μόνο στην Ελλάδα, αλλά ευρύτερα στον κόσμο, κάτι που έχει σχολιαστεί πολλάκις από ανθρώπους που αγαπούν τον συγκεκριμένο κλάδο αλλά και από επισκέπτες της πόλης οι οποίοι δείχνουν εντυπωσιασμένοι διασχίζοντας το Ιστορικό Κέντρο, αναρτώντας τις αντίστοιχες λήψεις στα social media.

Από το αισθητικό στο... μαθηματικό σκέλος

«Ως επέκταση της Ηφαίστου και δεδομένου πως το οδόστρωμα σε αυτή δεν ήταν ιδανικό για να βάψει κανείς, ξεκίνησα να δημιουργώ και στη Γερμανού όπου το έδαφος είναι σαφώς πιο ιδανικό για να καθίσει καλά το χρώμα πάνω και να σχεδιαστούν τα σχήματα» ανέφερε στην “Ε” ο Γιάννης Τσιμόγιαννης, λέγοντας πως μετά την ολοκλήρωση των δημιουργιών στο 5ο ΓΕΛ, μπήκε στη διαδικασία να ανανεώσει τα πρώτα του θεωρήματα, αλλά και να φτιάξει νέα κατά μήκος των δύο προαναφερόμενων δρόμων. Σχετικά με τα εγκωμιαστικά σχόλια χρηστών που συνοδεύουν τις αναρτήσεις τους σε facebook και instagram για τις καλλιτεχνικές του παρεμβάσεις, δήλωσε πως, εφόσον δείχνουν τον θαυμασμό τους ντόπιοι και επισκέπτες, προφανώς τους προσελκύουν αισθητικά σε πρώτη φάση, κάτι που δείχνει πως το εγχείρημα είναι επιτυχημένο. «Σε δεύτερη φάση, δεν ξέρω αν το μαθηματικό σκέλος τους ενδιαφέρει, για να αφιερώσουν περαιτέρω χρόνο ως προς το τι αποτυπώνουν, παρότι προσωπικά είμαι λεπτομερής ως προς την απόδειξη, διαγράφοντας γωνίες και καθετότητες, ώστε να διευκολύνω τους περαστικούς να σκεφτούν επαγωγικά, με κεντρικό στόχο φυσικά τα παιδιά» σημείωσε, τονίζοντας πως κάποιες από τις νέες δημιουργίες επί της Γερμανού περιστρέφονται γύρω από τη χρυσή τομή της γεωμετρίας, τις οποίες για να αποτυπώσει σωστά, χρησιμοποιεί ακόμα και σκάλα ώστε να πετύχει με ακρίβεια της ευθείες.   

Έρχονται 17 νέες δημιουργίες

Αν χαρακτηρίζει κάτι την προσωπικότητα του κ. Γιάννη Τσιμόγιαννη, αυτό είναι πως δεν επαναπαύεται ποτέ παρά τις δεκάδες δημιουργίες του, θέτοντας στόχους για νέες… γεωμετρικές πινελιές. «Με τον καιρό να συμβαδίζει σιγά – σιγά με την εποχή, δεν μπορώ να συνεχίσω με τους ίδιους ρυθμούς. Στην Ηφαίστου δε, αναγκάζομαι να φτιάχνω τα θεωρήματα νύχτα, καθώς τη μέρα η διέλευση οχημάτων δεν αφήνει περιθώρια ώστε να στεγνώσει η μπογιά. Πλέον, έχοντας περισσότερο ελεύθερο χώρο σκέφτομαι να κινηθώ ευρύτερα στη Γερμανού, με ανοιχτό το ενδεχόμενο η γεωμετρία να επεκταθεί και σε άλλα στενά, καθώς δεν είναι λίγοι οι επιχειρηματίες της περιοχής που μου ζητούν να δημιουργήσω μπροστά από τα μαγαζιά τους. Για να γίνει δε αυτή η επέκταση, απαιτούνται χονδρικά 17 νέα “κομμάτια”, μέσα από μια εναλλαγή εύκολων και δύσκολων θεωρημάτων ώστε να αυξάνεται το ενδιαφέρον» συμπλήρωσε, πληροφορώντας πως κάποιες φορές μπορεί να χρειαστεί να δουλέψει ακόμα και εφτά ώρες κατά τη διάρκεια της μέρας αλλά και πολλές φορές της νύχτας, μέσα από μια επίπονη διαδικασία, απ’ τη στιγμή που τα σχέδια αφορούν το έδαφος.

Με το... βλέμμα στο Ρεκόρ Γκίνες

Ένα αξιοσημείωτο γεγονός, εν αντιθέσει με τα όσα παρατηρούνται με τις ακαλαίσθητες φιγούρες και τα σύμβολα στους δρόμους της πόλης, είναι πως ο κόσμος έχει σεβαστεί τις δημιουργίες του κ. Τσιμόγιαννη στο Ιστορικό Κέντρο, κάτι που ισχύει όπως ενημέρωσε και στο 5ο ΓΕΛ από πλευράς μαθητών. Μάλιστα, μια μαθήτρια του σχολείου όταν τον είδε να σχεδιάζει ένα βράδυ στο Ιστορικό Κέντρο, αντιλήφθηκε πως ήταν ο δημιουργός των δεκάδων σχημάτων στο σχολείο της, εκφράζοντας τον θαυμασμό της, μιας και τα περισσότερα παιδιά δεν γνωρίζουν τον άνθρωπο πίσω από τη “μεταφόρτωση” του σχολείου τους. «Γενικότερα έχω λάβει κολακευτικά σχόλια από πολλές μεριές, ξεχωρίζοντας το σχόλιο ενός φίλου πως πέρα από την πρωτοτυπία που διακρίνει τα σχέδια είναι πάνω απ’ όλα επιμορφωτικά» συνέχισε, λέγοντας πως βάση έρευνας που έχει κάνει σχετικά με τα Ρεκόρ Γκίνες, έχει ψάξει αν υπάρχει άλλο μεγάλο γεωμετρικό σχήμα σαν αυτό του προαυλίου στο 5ο ΓΕΛ Καλαμάτας που έχει αποτυπώσει, δίχως να προκύπτει κάποιο παρόμοιο, με αποτέλεσμα να είναι υπό σκέψεις για το αν θα καταθέσει υποψηφιότητα για τέτοιου τύπου ρεκόρ. Στο ίδιο πεδίο, εκτίμησε πως ο Δήμος Καλαμάτας θα εκμεταλλευτεί την “οδό Ευκλείδειας Γεωμετρίας” μέσω κάποιων δρώμενων, επικαλούμενος σχετικά μηνύματα που έχει λάβει.

Σειρά για το 1ο Λύκειο

Για το αν έχει δεχτεί κάποια κρούση από άλλο σχολείο της Καλαμάτας, έπειτα από την ολοκλήρωση της άρτιας δουλειάς του στο 5ο Γενικό Λύκειο, ο κ. Τσιμόγιαννης γνωστοποίησε πως τού έχει μεταφερθεί η επιθυμία ώστε να δημιουργήσει στο 1ο ΓΕΛ, κάτι που είναι και δική του φιλοδοξία όπως είπε, καθώς είχε θητεύσει ως μαθητής στο τότε 1ο Γυμνάσιο, στον ίδιο σχολικό χώρο. «Για την ώρα θα ολοκληρώσω τις δημιουργίες μου στο Ιστορικό Κέντρο και από το καλοκαίρι του 2024 εφόσον πάρω το “πράσινο φως” από το σχολείο θα ήταν χαρά μου να φτιάξω αντίστοιχα σχέδια και στο 1ο Λύκειο» ανέφερε, επισημαίνοντας πως αν δεν ανανεώνονται χρωματικά τα σχέδια που βρίσκονται σε εξωτερικούς χώρους είναι λογικό και επόμενο με το πέρας του χρόνου να χαθούν, ωστόσο τον ικανοποιεί το γεγονός πως όλα έχουν αποτυπωθεί σε ηλεκτρονική μορφή, ώστε να μην ξεχαστούν. «Για το σκοπό αυτό πέρα των φωτογραφιών, προσπαθώ σε κάθε ανάρτηση που κάνω στο Facebook να τοποθετώ και την ανάλογη επιγραφή μέσα από έρευνα σε εγκυκλοπαίδειες και διαδίκτυο, ούτως ώστε να αρχειοθετηθούν και να μπορεί ο κόσμος να αντιλαμβάνεται περί τίνος πρόκειται, προσθέτοντας τα ανάλογα ρητά και αποφθέγματα» συμπλήρωσε, κλείνοντας ως εξής με βάση τη φράση του Ανδρέα Εμπειρίκου, “Πάρε την λέξη μου. Δώσε μου το χέρι σου”: «Η επιδίωξή μου είναι από τη σκόνη των σπουδαστηρίων, να εμφανίσω τη γεωμετρία στο δημόσιο χώρο. Από την πλευρά μου δίνω το σύνθημα μετάβασης στο δημόσιο χώρο με σκοπό να επωφεληθεί η πλειοψηφία από την πρωτοβουλία αυτή».

Πηγές: eleftheria online, facebook