Όταν τα Μαθηματικά γίνονται... τρομακτικά!👻

Πηγή εικόνας: Facebook|Math Facts Group 

 

Πηγή εικόνας: Instagram|The grapher

Γρίφος: Ειλικρινής, αλλά πονηρός!

Μια μάγισσα κατείχε μια έκταση με πολλά κοιτάσματα χρυσού και προσλάμβανε έναν άντρα κάθε φορά για να της εξορύσσει το χρυσάφι. Ο κανονισμός ήταν, ο άντρας να μεταφέρει το χρυσάφι κάθε βράδυ, από το ορυχείο στο σπίτι της, αποκλειστικά μέσα στα τρία μαγικά τσουβάλια που του είχε δώσει και εκείνος, ως αντάλλαγμα, θα κρατούσε το 10% του χρυσού που θα έβγαζε ημερησίως. Η μάγισσα ήταν τυφλή, αλλά τα μαγικά τσουβάλια τής έδιναν αναφορά κάθε βράδυ, πόσες ουγγιές χρυσό κουβάλησε το καθένα μέσα του εκείνη τη μέρα. Έτσι, η μάγισσα γνώριζε ακριβώς πόσο χρυσάφι είχε εξορυχθεί κάθε μέρα.

Όσοι προσπάθησαν να την εξαπατήσουν (να κρατήσουν πάνω από το 10% ή να βάλουν το χρυσάφι σε κάποιο δικό τους τσουβάλι ή και στην τσέπη τους) μεταμορφώθηκαν σε πέτρα. Γι' αυτό γύρω από το ορυχείο υπήρχαν πολλά πέτρινα αγάλματα!

Μια μέρα ήρθε ένας ειλικρινής άντρας, ο Αγαθοκλής, και με χαρά δέχτηκε τη δουλειά. Επειδή ήταν ειλικρινής, πρότεινε την εξής συμφωνία στη μάγισσα: "Αν με κατηγορήσεις άδικα ότι σε έκλεψα, θα μεταμορφωθείς εσύ σε πέτρα"! Η μάγισσα, που δεν τον εμπιστευόταν, συμφώνησε.

Το πρώτο βράδυ, ο Αγαθοκλής έφερε σε πέρας τη δουλειά του με εντιμότητα. Μετέφερε το χρυσάφι μέσα στα τρία μαγικά τσουβάλια και κράτησε το 10%.  Τα μαγικά τσουβάλια έδωσαν την αναφορά τους στη μάγισσα, αλλά ο Αγαθοκλής κρυφάκουσε και τότε κατέστρωσε ένα σχέδιο...

Το επόμενο βράδυ, μετέφερε το χρυσάφι μέσα στα τρία μαγικά τσουβάλια, κράτησε το ποσοστό του και παρέδωσε 144 ουγγιές στη μάγισσα. Έπειτα εκείνη μίλησε με τα τσουβάλια της, που της έδωσαν αναφορά. Το πρώτο τσουβάλι της είπε ότι μετέφερε 160 ουγγιές χρυσό μέσα του εκείνη τη μέρα. Το δεύτερο τσουβάλι είπε ότι μετέφερε 50 ουγγιές χρυσό. Το τρίτο τσουβάλι είπε ότι μετέφερε 20 ουγγιές χρυσό. Τότε, η μάγισσα εξαγριωμένη, κατηγόρησε τον Αγαθοκλή: "Τρισάθλιο πλάσμα, νόμιζες ότι μπορούσες να με κλέψεις! Τώρα θα γίνεις μια κρύα πέτρα και θα μείνεις έτσι για πάντα"!

Ένα δευτερόλεπτο αργότερα, η μάγισσα είχε μετατραπεί εκείνη σε πέτρα! Πώς κατάφερε ο Αγαθοκλής να ξεγελάσει τη μάγισσα;

Η έλλειψη μαθηματικής εκπαίδευσης επηρεάζει αρνητικά τον εφηβικό εγκέφαλο και τη γνωστική ανάπτυξη...

 

Η έλλειψη μαθηματικής εκπαίδευσης και σχετικών δεξιοτήτων στην εφηβική ηλικία μπορεί να αποβεί επιζήμια για τον εγκέφαλο και τη γνωστική ανάπτυξη των εφήβων, σύμφωνα με βρετανική έρευνα.

Οι έφηβοι που έχουν σταματήσει να μελετούν μαθηματικά εμφανίζουν μειονέκτημα σε σχέση με τους συνομηλίκους τους που συνεχίζουν και μετά τα 16 να ασχολούνται με τα μαθηματικά, σύμφωνα με μία νέα βρετανική επιστημονική έρευνα. Η μελέτη δείχνει ότι η έλλειψη μαθηματικής εκπαίδευσης και σχετικών δεξιοτήτων στην εφηβική ηλικία μπορεί να αποβεί επιζήμια για τον εγκέφαλο και τη γνωστική ανάπτυξη των εφήβων.

Ο εγκέφαλος όσων δεν ασχολούνται πια με τα μαθηματικά εμφανίζει έλλειψη σε μία ζωτική χημική ουσία (το γ-αμινοβουτυρικό οξύ ή GABA), που παίζει ρόλο-κλειδί για την πλαστικότητα και την ανάπτυξη του εγκεφάλου, με αποτέλεσμα να επηρεάζεται αρνητικά η ικανότητα για μνήμη, μάθηση, λογικούς συλλογισμούς και επίλυση προβλημάτων.

Οι ερευνητές του Τμήματος Πειραματικής Ψυχολογίας του Πανεπιστημίου της Οξφόρδης, με επικεφαλής τον καθηγητή Γνωστικής Νευροεπιστήμης Ρόι Κοέν Καντός, οι οποίοι έκαναν τη σχετική δημοσίευση στο περιοδικό της Εθνικής Ακαδημίας Επιστημών των ΗΠΑ (PNAS), μελέτησαν 133 μαθητές ηλικίας 14 έως 18 ετών.

Σε αντίθεση με πολλές χώρες, η Βρετανία δίνει τη δυνατότητα στους 16χρονους μαθητές να αποφασίσουν να σταματήσουν τελείως τη μαθηματική εκπαίδευσή τους. Έτσι είναι εφικτό να διαπιστωθεί κατά πόσο αυτό επιδρά στον εγκέφαλο και στις γνωστικές λειτουργίες του. Όπως διαπιστώθηκε, όσοι δεν έκαναν πια μαθηματικά είχαν αισθητά λιγότερο GABA στον εγκέφαλό τους, κάτι που δεν ίσχυε πριν πάρουν την απόφαση να τα σταματήσουν.

Ο Κοέν Καντός δήλωσε ότι «οι μαθηματικές δεξιότητες σχετίζονται με μία ευρεία γκάμα από οφέλη, όπως η απασχόληση, η κοινωνικοοικονομική κατάσταση, καθώς επίσης η σωματική και ψυχική υγεία. Η εφηβεία είναι μία σημαντική περίοδος της ζωής που σχετίζεται με σημαντικές εγκεφαλικές και γνωστικές μεταβολές. Δυστυχώς, η διακοπή της μελέτης των μαθηματικών σε αυτήν την ηλικία φαίνεται να οδηγεί σε μία υστέρηση των εφήβων που τα σταματούν, σε σχέση με όσους συνεχίζουν τη μελέτη των μαθηματικών».

«Δεν είναι -ακόμη- γνωστό πώς αυτή η υστέρηση ή οι επιπτώσεις της σε βάθος χρόνου μπορούν να αποτραπούν. Τα μαθηματικά δεν αρέσουν σε όλους, γι' αυτό χρειαζόμαστε εναλλακτικές λύσεις, όπως η εξάσκηση στη λογική και στη συλλογιστική, που ενεργοποιούν την ίδια περιοχή του εγκεφάλου με τα μαθηματικά», πρόσθεσε.

Οι ερευνητές τόνισαν, επίσης, πως δεδομένου ότι αρκετοί μαθητές είχαν περιορισμένη ή καθόλου πρόσβαση στην εκπαιδευτική διαδικασία και ειδικότερα στα μαθηματικά στη διάρκεια της πανδημίας Covid-19, αυτό μπορεί να αποδειχθεί πρόβλημα στο μέλλον. Στη μελέτη συμμετείχε και ο μεταδιδακτορικός ερευνητής Γιώργος Ζαφειρόπουλος, απόφοιτος του Πανεπιστημίου της Κύπρου.

 

Πηγές:  Alfavita, Oxford University 

"Πώς να το λύσω"

Ο George Polya (1887-1985), γνωστός στους μαθηματικούς ως ο «δάσκαλος των δασκάλων», υπήρξε ταυτόχρονα μια μεγάλη φυσιογνωμία στα ζητήματα της Μαθηματικής Παιδείας και ένας σημαντικός ερευνητής στα Μαθηματικά, ένας από τους εκπροσώπους της Ουγγρικής Μαθηματικής Σχολής, που διακρίθηκε ιδιαίτερα τον 20^ο  αιώνα. Το έργο του Polya στη Μαθηματική Παιδεία αντανακλά τη διαδικασία συνειδητοποίησης, από τον ίδιο, της πορείας προς την ανακάλυψη που πραγματοποιούσε στις μαθηματικές του εργασίες.

Το βιβλίο του «Πώς να το λύσω» (1945) παραμένει και σήμερα, 80 χρόνια μετά την πρώτη γραφή του, ένα πολύ σημαντικό έργο, που επηρεάζει βαθιά όποιον το διαβάζει - και γράφτηκε ακριβώς γι' αυτό: για να αλλάξει στάσεις, συνήθειες και απόψεις, να συζητήσει σε νέα βάση παλιές ιδέες, να φέρει στο φως αγνοημένες αντιλήψεις, μοντέλα και στρατηγικές, που διαμορφώθηκαν «υπόγεια» μέσα σε χιλιάδες χρόνια εξέλιξης της ανθρώπινης κοινωνίας. Οι «μέθοδοι ανακάλυψης» που προτείνει στο «Πώς να το λύσω» έχουν μακρά ιστορία, από τον Πάππο μέχρι τον Descartes και τον Euler, που ο Polya αξιοποιεί διδακτικά.

Πρόκειται, λοιπόν, για μια Διδακτική προερχόμενη από τις ίδιες τις ρίζες των Μαθηματικών, από τη συνειδητοποίηση της πορείας προς την ανακάλυψη. Σαν κείμενο διατηρεί τη ζωντάνια και τη δροσιά ενός ιδιότυπου στυλ. Μοιάζει να απευθύνεται ταυτόχρονα στο δάσκαλο και στο μαθητή στην πραγματικότητα διαβάζεται από κάθε άνθρωπο με στοιχειώδεις γνώσεις λυκείου. Είναι ίσως το πιο γνωστό βιβλίο που γράφτηκε για να δώσει πνοή, να φυσήξει ζωή σ' αυτές τις, απελπιστικά μονότονες και πληκτικές, σχολικές γνώσεις, δείχνοντάς μας έναν τρόπο να τις «δούμε» διαφορετικά.

Διαβάστε ακόμη στο "εις το άπειρον":

Πώς να λύσουμε ένα πρόβλημα;

Γρίφος με σπίρτα #2

Μετακινήστε μόνο ένα σπίρτο, ώστε να είναι αληθής η ισότητα:

5 Οκτωβρίου: Παγκόσμια Ημέρα Εκπαιδευτικών!

Τοιχογραφία από τους μαθητές του ΕΠΑΛ Καλύμνου 

GIVEAWAY! Κερδίστε ένα σχολικό βοήθημα Άλγεβρας Β΄ Λυκείου! *ΕΛΗΞΕ*

Το blog "εις το άπειρον", σε συνεργασία με τις Εκδόσεις Ζήτη και τον μαθηματικό, συγγραφέα και YouTuber Φώτη Καραμπουτάκη, κληρώνει ένα σχολικό βοήθημα Άλγεβρας Β΄ Λυκείου!

📚Ένα σύγχρονο βιβλίο που ξεπερνά το κλασικό μοντέλο του βιβλίου και που απευθύνεται στον μαθητή του σήμερα –με περιεχόμενο, μέθοδο και τεχνολογική υποστήριξη! Με αυτό το βιβλίο, ο μαθητής έχει στη διάθεσή του όλα τα απαραίτητα εργαλεία για να κατανοήσει και να κατακτήσει την ύλη της χρονιάς, να θέσει τις βάσεις και να προετοιμαστεί κατάλληλα για την ύλη της Γ’ Λυκείου, καθώς το βοήθημα περιέχει:

• Aναλυτική παρουσίαση της θεωρίας του σχολικού βιβλίου
• Πλήρη μεθοδολογία για την αντιμετώπιση ενός μεγάλου φάσματος προβλημάτων
• Μια μεγάλη γκάμα άλυτων προβλημάτων (οι απαντήσεις τους παρέχονται σε ψηφιακό αρχείο)

Η καινοτομία του βιβλίου, όμως, βρίσκεται στους δεκάδες QR κωδικούς που ενσωματώνονται στις σελίδες του και περιέχουν:

❓Διαδραστικά quiz για άμεση αυτοαξιολόγηση.

📽️Επεξηγηματικά βίντεο με μεθοδική παρουσίαση βασικών τεχνικών επίλυσης.

🎬Βίντεο εκλαΐκευσης που απαντούν σε ερωτήματα όπως: Πώς προέκυψε ο αριθμός e;

Ένα σχολικό βοήθημα που κάνει τη μελέτη της Άλγεβρας μια πραγματικά ζωντανή εμπειρία! Μπορείτε να το προμηθευτείτε από εδώ...

🎁Ένας τυχερός/τυχερή μπορεί τώρα να κερδίσει ένα αντίτυπο του βιβλίου «Άλβεβρα Β΄ Λυκείου» του Φώτη Καραμπουτάκη, προσφορά των Εκδόσεων Ζήτη, μέσα από το 5^ο giveaway του blog μας.

Για να πάρετε μέρος στην κλήρωση, πρέπει και αρκεί:

1. Να είστε ακόλουθοι του blog "εις το άπειρον" (η εγγραφή γίνεται με χρήση gmail πατώντας πάνω στο μπλε κουμπάκι)

2. Μπορείτε να διπλασιάσετε την πιθανότητα επιτυχίας κάνοντας like στη σελίδα «Εκδόσεις Ζήτη» στο facebook.

3. Να αφήσετε ένα σχόλιο σ’ αυτή την ανάρτηση αναγράφοντας το e-mail σας ώστε να ειδοποιηθείτε σε περίπτωση που κερδίσετε.

4. Αν διεκδικείτε έξτρα συμμετοχή μέσω facebook, μην ξεχάσετε επίσης να γράψετε το όνομα που χρησιμοποιείτε στο facebook.

5. Προσοχή: Αν στο σχόλιο φαίνεστε ως ανώνυμοι, φροντίστε να γράψετε το όνομά σας (δυστυχώς ανώνυμα σχόλια δεν μπορούν να ληφθούν υπόψη).

🎲Ο διαγωνισμός λήγει το Σάββατο 11 Οκτωβρίου 2025 στις 23:59. Την Κυριακή 12 Οκτωβρίου 2025 θα ανακοινωθεί στην παρούσα ανάρτηση ο νικητής/νικήτρια που θα αναδείξει η κλήρωση μέσω του Online Random Picker από το Simpliers και θα ειδοποιηθεί και μέσω e-mail (στο e-mail που θα έχει δηλώσει)! Το δώρο θα αποσταλεί στο νικητή/νικήτρια από τις Εκδόσεις Ζήτη, μόλις έχουμε τη διεύθυνσή του/της.  Αν ο νικητής/νικήτρια δεν επικοινωνήσει εντός μιας εβδομάδας, θα ξαναγίνει κλήρωση για να αναδειχθεί ο τυχερός/τυχερή που θα τον αντικαταστήσει.

Καλή επιτυχία σε όλους!!!

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

EDIT 12/10/2025 - ΛΗΞΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΚΛΗΡΩΣΗ!

Σας ευχαριστούμε όλους και όλες όσοι/ες συμμετείχατε στο giveaway μας! Μέσω του Online Random Picker από το Simpliers, πραγματοποιήθηκε σήμερα η κλήρωση που ανέδειξε την τυχερή, Κατερίνα Καρακούση!

Το Παράδοξο του Επιμενίδη μέσα από τον «Δον Κιχώτη»

Ένα παλιότερο σχόλιο αναγνώστη του μπλογκ ήταν η αφορμή για τη σημερινή ανάρτηση…

Στο μνημειώδες έργο του Μιγκέλ ντε Θερβάντες  «Δον Κιχώτης», στο κεφάλαιο με τίτλο «Σχετικά με την πρόοδο της κυβέρνησης του Σάντσο Πάντσα καθώς και με άλλα παρόμοια γεγονότα» ο Θερβάντες παρουσιάζει ένα από τα πιο ενδιαφέροντα φιλοσοφικά και λογικά παράδοξα, ντυμένο με τη χιουμοριστική και δηκτική του πένα.

Στο εν λόγω κεφάλαιο, ο πιστός ακόλουθος του ηρωικού ιππότη από την Μάντσα,  Σάντσο Πάντσα, αφού έχει διοριστεί κυβερνήτης του νησιού Μπαρατάρια, καλείται να λύσει μια σειρά από δίκες και ηθικά διλήμματα. Προηγουμένως στο έργο, ο Δον Κιχώτης εξηγούσε ότι μια απαραίτητη ικανότητα/επιστήμη για έναν περιπλανώμενο ιππότη ήταν τα Μαθηματικά, γιατί  «…σε κάθε περίπτωση, θα τα χρειαζόταν»! 

Ο Σάντσο, λοιπόν, βρέθηκε αντιμέτωπος με το εξής πρόβλημα: Υπήρχε ένα κτήμα το οποίο διέσχιζε ένα ποτάμι. Ο ιδιοκτήτης του κτήματος είχε την κάπως περίεργη συνήθεια να αναγκάζει τους διερχόμενους που ήθελαν να περάσουν από το ποτάμι στο κτήμα του να του λένε, ορκιζόμενοι στην τιμή τους, πού ήθελαν να πάνε τελικά. Αν έλεγαν την αλήθεια, τούς άφηνε να περάσουν, αλλά αν έλεγαν ψέματα τούς κρεμούσε επιτόπου!

Εφαρμοζόταν για καιρό αυτός ο «νόμος» και οι δικαστές άφηναν σχεδόν όλο τον κόσμο να περνάει, ώσπου μια μέρα εμφανίστηκε ένας άνδρας που είπε πως θα τον κρεμούσαν ακριβώς εκεί!

Οι δικαστές τότε είπαν: «Αν αφήσουμε αυτόν τον άντρα να περάσει ελεύθερα, σημαίνει πως είπε ψέματα αθετώντας τον όρκο τιμής του και άρα πρέπει, σύμφωνα με τον νόμο, να πεθάνει. Αλλά, αν τον κρεμάσουμε, μιας και ορκίστηκε ότι θα πέθαινε στην αγχόνη και σύμφωνα με τον ίδιο νόμο, πρέπει να αφεθεί ελεύθερος!»

Μας τα ξανάπε πριν τον Θερβάντες ο Επιμενίδης! Το παράδοξο του Επιμενίδη εντάσσεται σε μια ευρύτερη κατηγορία λογικών προβλημάτων, γνωστών ως αυτοαναφορικά παράδοξα ή παράδοξα ψεύδους. Η χρήση του παραδόξου από τον Θερβάντες δεν είναι τυχαία. Ο συγγραφέας του Δον Κιχώτη, έργου που θεωρείται το πρώτο σύγχρονο μυθιστόρημα, διακρίνεται για τη μεταμυθοπλασία, τον σαρκασμό και το παιχνίδι με τα όρια της αλήθειας και της φαντασίας. Το δίλημμα για τον Σάντσο Πάντσα είναι προφανές, όμως τελικά ο Σάντσο συμβουλεύει να αφεθεί ο άντρας ελεύθερος, επειδή «είναι πάντα καλύτερο να κάνεις το καλό, παρά το κακό...»

 

👉Διαβάστε επίσης στο «εις το άπειρον»:

Το παράδοξο του ψεύτη... Από τον Επιμενίδη στο Star Trek και ο γρίφος του γελωτοποιού 

Το ChatGPT προσπάθησε να λύσει μαθηματικό πρόβλημα που είχε καταγράψει ο Πλάτωνας – Αυτά ήταν τα αποτελέσματα

 

Το πρόβλημα του διπλασιασμού του τετραγώνου παρουσιάζεται στον «Μένωνα» του Πλάτωνα γύρω στο 385 π.Χ., ως μέρος της φιλοσοφικής συζήτησης για την προέλευση της γνώσης. Εδώ και πάνω από 2.400 χρόνια, το πρόβλημα αυτό χρησιμοποιείται ως παράδειγμα στη διδασκαλία των μαθηματικών και συνεχίζει να πυροδοτεί φιλοσοφικές συζητήσεις για το αν η γνώση είναι έμφυτη ή αποκτάται με εμπειρία.

 

Στον διάλογο «Μένων», ο Πλάτωνας περιγράφει για το πώς ο Σωκράτης προσκαλεί έναν από τους δούλους που τον συνοδεύουν, ο οποίος γνωρίζει ελληνικά αλλά όχι μαθηματικά, να εξετάσει μαζί του το εξής γεωμετρικό πρόβλημα: Με ποιον τρόπο μπορεί να διπλασιαστεί ένα τετράγωνο; Δηλαδή να βρούμε την πλευρά τετραγώνου το οποίο να έχει διπλάσιο εμβαδόν από το αρχικό. Το αγόρι στην αρχή έκανε λάθος λέγοντας ότι διπλασιάζοντας το μήκος των πλευρών, διπλασιάζεται και το εμβαδόν του. Ωστόσο, μέσω μιας σειράς ερωτήσεων, ο Σωκράτης το καθοδήγησε ώστε να βρει τη σωστή λύση: οι πλευρές του νέου τετραγώνου πρέπει να έχουν ίδιο μήκος με τη διαγώνιο του αρχικού τετραγώνου.

Η αλγεβρική λύση και η... άποψη του ChatGPT

Οι ερευνητές Δρ. Nadav Marco και Καθηγητής Ανδρέας Στυλιανίδης έθεσαν το ίδιο πρόβλημα στο ChatGPT-4. Εξέτασαν την ικανότητα του chatbot να βρίσκει λύσεις, θέτοντας μια σειρά ερωτήσεων στην ίδια λογική με αυτή του Σωκράτη. Το κεντρικό ζητούμενο ήταν κατά πόσο το chatbot θα κατόρθωνε να λύσει το πρόβλημα, είτε αντλώντας πληροφορίες από την τεράστια βάση δεδομένων με την οποία εκπαιδεύεται, είτε αναπτύσσοντας λύσεις. «Όταν ερχόμαστε αντιμέτωποι με ένα νέο πρόβλημα, το ένστικτό μας συχνά είναι να δοκιμάζουμε πράγματα βασισμένα σε προηγούμενη εμπειρία μας. Στο πείραμά μας, το ChatGPT φάνηκε να κάνει κάτι παρόμοιο», δήλωσε ο Δρ. Marco. 

Συγκεκριμένα, οι ερευνητές ζήτησαν από το ChatGPT-4 να βρει την πλευρά του τετραγώνου που θα έχει διπλάσιο εμβαδόν από το τετράγωνο πλευράς 2. Το chatbot, έπειτα από αλγεβρικούς υπολογισμούς, έδωσε την απάντηση \(\sqrt{8}\). Όταν οι ερευνητές προσπάθησαν να το «παγιδεύσουν» να κάνει το ίδιο λάθος με το αγόρι από το «Μένωνα», ρωτώντας το μήπως πρέπει να διπλασιαστεί η πλευρά του αρχικού τετραγώνου, αυτό δεν έκανε λάθος. Εκεί, όμως, που φάνηκε να δυσκολεύεται ήταν η γεωμετρική λύση του προβλήματος. Καθώς ο άρρητος \(\sqrt{8}\) δεν είναι ακριβώς ίσος ούτε με 2,82 ούτε με 2,83, αν σχεδιάζαμε ένα τετράγωνο με πλευρά 2,82 ή 2,83, το νέο τετράγωνο δεν θα είχε ακριβώς το διπλάσιο εμβαδόν, αλλά λίγο μικρότερο ή λίγο μεγαλύτερο από 8. Το ChatGPT όμως επέμενε ότι πρακτικά θα ήταν αποδεκτή μια στρογγυλοποίηση  όπως το 2,8 ή εναλλακτικά πρότεινε τη μέτρηση με χρήση οργάνων ακριβείας! 

 

Η γεωμετρία δεν είναι το δυνατό σημείο των LLM

Το ChatGPT σε γενικές γραμμές δυσκολεύεται να αποδώσει καλά σε γεωμετρικούς συλλογισμούς, δεδομένου ότι πρόκειται για μεγάλο γλωσσικό μοντέλο (LLM) που εκπαιδεύεται σε κείμενα και η πρόσβαση σε γεωμετρικές αναπαραστάσεις χρειάζεται υποβοήθηση. Παρ’ όλα αυτά, οι ερευνητές ανέμεναν ότι θα κατόρθωνε να αναγνωρίσει ένα ευρέως γνωστό πρόβλημα και θα αναπαρήγαγε την κλασική γεωμετρική λύση του Σωκράτη.

«Αν απλώς ανακαλούσε από μνήμης, θα ήταν σχεδόν βέβαιο ότι θα ανέφερε κατευθείαν την κλασική λύση της δημιουργίας του νέου τετραγώνου από τη διαγώνιο του αρχικού», εξηγεί ο Καθηγητής Στυλιανίδης. «Αντιθέτως, φαίνεται ότι η συμπεριφορά του LLM εξαρτάται από τα συμφραζόμενα». 

Παραδόξως, το chatbot αρχικά επέλεξε την αλγεβρική μέθοδο επίλυσης εξίσωσης δευτέρου βαθμού, που ήταν άγνωστη στην εποχή του Πλάτωνα, και δεν προσέφερε αυθόρμητα τη γεωμετρική λύση. Μόνο όταν οι ερευνητές εξέφρασαν την «απογοήτευσή» τους, το chatbot έδωσε την γεωμετρική λύση της διαγωνίου.

Οι ερευνητές στη συνέχεια του έθεσαν δύο νέες προκλήσεις: τον διπλασιασμό του εμβαδού ενός ορθογώνιου παραλληλόγραμμου και ενός τριγώνου, διατηρώντας τις αρχικές αναλογίες. Και στις δύο περιπτώσεις, το ChatGPT επέλεξε ξανά την αλγεβρική λύση, αγνοώντας την προτίμηση των ερευνητών για τη γεωμετρική.

Όταν, δε, ρωτήθηκε για το πρόβλημα του ορθογώνιου, υποστήριξε λανθασμένα ότι η διαγώνιος προσφέρει άμεση γεωμετρική λύση. Οι ερευνητές πιστεύουν ότι το λάθος δεν προερχόταν από τη βάση δεδομένων του, αλλά ότι ήταν μία εικασία βασισμένη στην προηγούμενη συζήτησή τους για τη διαγώνιο του τετραγώνου. Δηλαδή το ChatGPT παρήγαγε ένα λάθος, όχι επειδή «θυμόταν» λάθος, αλλά επειδή κατασκεύασε μια νέα, λανθασμένη λύση (το λεγόμενο genetic error). Ωστόσο, ύστερα από περαιτέρω καθοδήγηση, βρήκε εντέλει τη σωστή γεωμετρική λύση.

Οι ερευνητές συμπέραναν ότι, από την οπτική του χρήστη, η συμπεριφορά του ChatGPT ανακατεύει ανάκληση δεδομένων με συλλογιστική… της στιγμής. Την συνέκριναν με τη «ζώνη επικείμενης ανάπτυξης», την απόσταση δηλαδή ανάμεσα σε αυτά που γνωρίζει ήδη κάποιος και σε αυτά που θα μπορούσε να μάθει με καθοδήγηση.

Όμως αυτοί οι περιορισμοί της ΤΝ, σύμφωνα με την ερευνητική ομάδα, θα μπορούσαν να αποδειχθούν ευκαιρία μάθησης για τους σπουδαστές, τους οποίους συμβουλεύουν να δίνουν στο chatbot εντολές που ενθαρρύνουν τη συνεργατική επίλυση προβλημάτων αντί απλώς να ζητούν την απάντηση. Με αυτόν τον τρόπο, θα εξασκήσουν τη δική τους κριτική σκέψη και συλλογιστική ικανότητα.

Η έρευνα δημοσιεύθηκε στο ακαδημαϊκό περιοδικό International Journal of Mathematical Education in Science and Technology.

"Σκέφτομαι, άρα υπάρχω"

Το blog "eis to apeiron" εύχεται σε μαθητές, γονείς και εκπαιδευτικούς Καλή σχολική χρονιά! 

Έχει πολύ ενδιαφέρον να διαβάσουμε τα λόγια του Καρτέσιου (Ρενέ Ντεκάρτ) για τη σχολική του εκπαίδευση και πώς αυτή τον οδήγησε να εισαγάγει διαδικασίες για την μάθηση, οι οποίες άλλαξαν την εκπαιδευτική προσέγγιση σε όλον τον κόσμο...

"Είχα τη διαβεβαίωση ότι στο σχολείο μπορούσα να αποκτήσω μια ξεκάθαρη γνώση για όλα όσα είναι χρήσιμα στη ζωή. Είχα μεγάλη επιθυμία να τα μάθω. Αλλά μόλις ολοκλήρωσα την σχολική μου εκπαίδευση, άλλαξα εντελώς γνώμη. Και αυτό γιατί βρέθηκα γεμάτος από τόσες αμφιβολίες, που νόμιζα ότι δεν είχα κερδίσει τίποτα άλλο από το να προσπαθώ να διδάξω τον εαυτό μου, παρά να ανακαλύπτω όλο και περισσότερο την άγνοιά μου. 

Είχα διαβάσει κάθε βιβλίο που μπορούσα να έχω στα χέρια μου, κάτι που με έκανε να σκεφτώ ότι δεν υπήρχε στον κόσμο τέτοια μάθηση στην οποία θα μπορούσα να ελπίζω. Πάνω απ' όλα χάρηκα τα Μαθηματικά, λόγω της βεβαιότητας και της απολυτότητας των λόγων τους, αλλά δεν είχα ανακαλύψει ακόμα την πραγματική τους χρήση, θεωρώντας ότι χρησίμευσαν μόνο για τις μηχανικές τέχνες. Έμεινα όμως έκπληκτος καθώς κανένα φιλοσοφικό ερώτημα δεν είχε χτιστεί πάνω τους, παρότι τα θεμέλια τους ήταν τόσο γερά και στέρεα. 

Σχετικά με τη φιλοσοφία δεν θα πω τίποτα, εκτός από το ότι είχε καλλιεργηθεί από τα πιο ισχυρά μυαλά που είχαν ζήσει για πολλούς αιώνες. Ωστόσο δεν υπήρχε ακόμη σε αυτήν απολύτως τίποτα που να μην αμφισβητείται και επομένως τα πάντα ήταν ανοιχτά".

Ο Καρτέσιος, λοιπόν, αναζήτησε την αλήθεια, η οποία δεν του προσφέρθηκε, ωθούμενος από την αμφιβολία και ακολουθώντας συγκεκριμένα βήματα στη σκέψη του. Αν και η βεβαιότητα ήταν η κεντρική του ιδέα, ο δρόμος προς τη βεβαιότητα ξεκίνησε από την αμφιβολία. Το σημαντικότερο όμως είναι πως δεν έμεινε στην αμφιβολία, αλλά την χρησιμοποίησε ως την ώθηση που θα τον οδηγούσε στη βεβαιότητα... 

Πορτρέτο του Καρτέσιου, που έδωσε το όνομά του στο "καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων" και γνωστού για τη ρήση "Cogito ergo sum" ("Σκέφτομαι, άρα υπάρχω").

Σκέφτομαι, άρα υπάρχω!

Το απόλυτο μήνυμα όλων των εποχών...