Εμφάνιση αναρτήσεων με ετικέτα αριθμοί. Εμφάνιση όλων των αναρτήσεων
Εμφάνιση αναρτήσεων με ετικέτα αριθμοί. Εμφάνιση όλων των αναρτήσεων

Τρίτη 29 Ιουλίου 2025

Μαθηματικά στην τηλεόραση: "The Big Bang Theory"


📺Στην προσπάθεια να συγκεντρώσουμε τις καλύτερες τηλεοπτικές σειρές με μαθηματικό περιεχόμενο, η σειρά που έχει σήμερα την τιμητική της είναι η πολυαγαπημένη The Big Bang Theory”…

 


The Big Bang Theory


🎞️Πρώτη κυκλοφορία: 2007

🎥Σεζόν: 12

📜Υπόθεση:

Ο Leonard και ο Sheldon, δύο λαμπροί, εκκεντρικοί φυσικοί που εργάζονται στο Cal Τech της Καλιφόρνια, είναι, εκτός από συνάδελφοι, συγκάτοικοι και κολλητοί φίλοι. Οι δύο άλλοι φίλοι τους και συνάδελφοι από το Cal Τech, Howard και Raj, συμπληρώνουν την εκκεντρική, nerdy τετράδα. Καθώς όλοι τους είναι «βυθισμένοι» στην επιστημονική τους έρευνα, αλλά και σε βιντεοπαιχνίδια, κόμικς και ταινίες επιστημονικής φαντασίας, δεν φαίνεται να έχουν μεγάλη τύχη όσον αφορά το αντίθετο φύλο. Όλα αλλάζουν όταν απέναντι από το διαμέρισμα των Leonard και Sheldon μετακομίζει η πανέμορφη σερβιτόρα και επίδοξη ηθοποιός Penny

Σε μια σειρά με πρωταγωνιστές τέσσερις φυσικούς, τα μαθηματικά αναπόφευκτα κάνουν την εμφάνισή τους. Η σειρά έχει εμπνεύσει ακόμη και μια μαθηματική απόδειξη! Σε ένα επεισόδιο, ο Sheldon είπε ότι ο αγαπημένος του αριθμός ήταν το 73. Γιατί; Το 73 είναι ο 21ος πρώτος αριθμός. Τώρα, αναστρέφοντας το 21 παίρνουμε τον αριθμό 12. Ποιος είναι ο 12ος πρώτος αριθμός; Το 37, που είναι, φυσικά, το 73 ανεστραμμένο. Ενώ το 21 από την άλλη ισούται με 3 επί 7. Ανάλογες ιδιότητες έχει και στο δυαδικό σύστημα! 

 





Ο καθηγητής του Κολλεγίου Dartmouth και φαν της εκπομπής, Carl Pomerance, ήταν περίεργος για το αν αυτή ήταν η μόνη περίπτωση στην οποία αυτό ήταν δυνατό ή όχι και έγραψε μια απόδειξη για το θέμα, που έχει ονομαστεί ανεπίσημα «Η εικασία του Sheldon». Ένα τμήμα της απόδειξης εμφανίστηκε ακόμη και στο παρασκήνιο του επεισοδίου με τίτλο “The Inspiration Deprivation”. Την απόδειξη μπορείτε να διαβάσετε εδώ. 


O Sheldon Cooper στο τηλεοπτικό σίριαλ Big Bang Theory χρησιμοποιεί το θεώρημα του Bayes
Ο Sheldon χρησιμοποιεί το Θεώρημα του Bayes


💡Ιδέα που πρεσβεύει: “Smart is the new sexy”.





💬Γράψτε στα σχόλια, όσοι έχετε δει τη σειρά, τη γνώμη σας. Ποιες άλλες σειρές με μαθηματικό περιεχόμενο έχετε να προτείνετε;

🎬Τσεκάρετε εδώ τη λίστα με τις μαθηματικές ταινίες που έχουμε συγκεντρώσει.


Τρίτη 22 Ιουλίου 2025

22/7... Ημέρα προσέγγισης του π!


🗓️Η σημερινή ημερομηνία -22 Ιουλίου- γράφεται όπως και το κλάσμα 22/7, το οποίο ισούται με 3,14285714, μία προσέγγιση του π, σωστή στα δύο πρώτα δεκαδικά ψηφία και έχει καθιερωθεί ως «Ημέρα Προσέγγισης του π (Pi Approximation Day)».


22/7... Ημέρα προσέγγισης του π!



🧮Η ρητή προσέγγιση \(\frac{22}{7}\) του αριθμού π είναι γνωστή από την αρχαιότητα και αποτέλεσε για αιώνες μια από τις πιο διαδεδομένες απλοποιήσεις του. Ο πρώτος που την τεκμηρίωσε μαθηματικά ήταν ο Αρχιμήδης (3ος αιώνας π.Χ.), ο οποίος χρησιμοποίησε γεωμετρικές μεθόδους με εγγεγραμμένα και περιγεγραμμένα πολύγωνα σε κύκλο για να δείξει ότι το π βρίσκεται μεταξύ των κλασμάτων \(\frac{223}{71}\) και \(\frac{22}{7}\). Αν και το \(\frac{22}{7}\) δεν είναι ακριβώς ίσο με το π (έχει σφάλμα περίπου 0,04%), η απλότητά του το καθιστούσε πρακτικό για υπολογισμούς σε εποχές χωρίς αριθμομηχανές. Μάλιστα, το κλάσμα \(\frac{22}{7}\) είναι καλύτερη προσέγγιση του π από ό,τι ο δεκαδικός αριθμός 3,14. Πράγματι:

  • 22/7 𝜋 0.00126
  • 3,14 𝜋 0.00159

📚Άλλες αρκετά καλές ρητές προσεγγίσεις του π είναι τα κλάσματα \(\frac{333}{106}\) και \(\frac{355}{113}\).


Δευτέρα 5 Μαΐου 2025

Ημέρα τετραγωνικής ρίζας!


5/5/25

Σήμερα, 5/5/25 είναι η "Ημέρα Τετραγωνικής Ρίζας" (5×5=25). Ξεκίνησε από τον Ron Gordon, έναν καθηγητή Γυμνασίου στην Καλιφόρνια στις 9/9/81 και έκτοτε καθιερώθηκε. Μια τέτοια ημερομηνία εμφανίζεται μόνο 9 φορές ανά αιώνα!


Η επόμενη ημέρα τετραγωνικής ρίζας θα είναι στις 6/6/36 και η μεθεπόμενη στις 7/7/49.


Παρασκευή 14 Μαρτίου 2025

14/3...Ημέρα του π: Λίγη τέχνη, λίγη ιστορία και λίγα μαθηματικά!

 

Η Ημέρα του «π», που γιορτάζεται στις 14/3, είναι ένας ετήσιος εορτασμός της μαθηματικής σταθεράς π. Καθιερώθηκε το 1988 από τον Larry Shaw, υπάλληλο του επιστημονικού μουσείου του Σαν Φρανσίσκο της Καλιφόρνια, του Exploratorium.

 

Ο Jonathan J Fuller δημιουργεί έργα μαθηματικής τέχνης βασιζόμενος στα ψηφία του π. Δείτε εδώ πώς…


π και συμμετρία


Το σύμβολο για τον αριθμό «π» χρησιμοποιείται εδώ και πάνω από 250 χρόνια. Εισήχθη το 1706 από τον Ουαλό μαθηματικό William Jones, φίλο του Sir Isaac Newton, ενώ έγινε δημοφιλές από τον Ελβετό μαθηματικό Leonhard Euler. Επιλέχθηκε το ελληνικό γράμμα «π», που είναι το πρώτο γράμμα της λέξης «περιφέρεια» και «περίμετρος». (Θυμηθείτε ότι το π είναι ο λόγος της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του! Ο λόγος αυτός είναι σταθερός και ανεξάρτητος από το μέγεθος του κύκλου). Πριν από το 1700, οι μαθηματικοί αναφέρονταν στον αριθμό που γνωρίζουμε ως «π» ως «το μέγεθος που όταν η διάμετρος ενός κύκλου πολλαπλασιάζεται με αυτό, δίνει την περιφέρειά του». Δεν αποτελεί έκπληξη το γεγονός ότι οι άνθρωποι κουράστηκαν να λένε τόσο πολλά κάθε φορά που ήθελαν να αναφερθούν στο π…


Προσπαθώντας να προσεγγίσουμε το άπειρο…

Ποτέ δεν θα μπορέσουμε να βρούμε όλα τα ψηφία του π, επειδή είναι άρρητος αριθμός, δηλαδή έχει άπειρα δεκαδικά ψηφία τα οποία δεν επαναλαμβάνονται περιοδικά. Ο βαβυλωνιακός πολιτισμός χρησιμοποιούσε το κλάσμα 3⅛, ενώ οι αρχαίοι Κινέζοι χρησιμοποιούσαν τον ακέραιο αριθμό 3. Οι Αρχαίοι Αιγύπτιοι, όπως γνωρίζουμε από τον Πάπυρο του Ριντ (περίπου 1650 π.Χ.), προσέγγιζαν το π ως 3,1605 μέσω του τύπου για το εμβαδόν του κύκλου. Ο Αρχιμήδης (3ος αιώνας π.Χ.), στο έργο του «Κύκλου Μέτρησις», χρησιμοποιεί την αρκετά καλή προσέγγιση \( \frac{223}{71} < \pi <  \frac{22}{7} \). Ο Πτολεμαίος (2ος αιώνας μ.Χ.), στο έργο του «Αλμαγέστη», χρησιμοποίησε την προσέγγιση 3,1416.

 

Μέχρι το 1665, ο Ισαάκ Νεύτων υπολόγισε μια ρητή προσέγγιση του π με 16 δεκαδικά ψηφία. Οι υπολογιστές δεν είχαν εφευρεθεί ακόμα, οπότε αυτό ήταν μια πολύ μεγάλη υπόθεση. Στις αρχές της δεκαετίας του 1700 ο Τόμας Λάγκνεϊ υπολόγισε τα πρώτα 127 δεκαδικά ψηφία του π. Το 1767 ο Γιόχαν Χάινριχ Λάμπερτ απέδειξε ότι ο π είναι άρρητος αριθμός. Στο δεύτερο μισό του εικοστού αιώνα, ο αριθμός των γνωστών ψηφίων του π αυξήθηκε από περίπου 2000 σε 500.000 χάρη στον CDC 6600, έναν από τους πρώτους υπολογιστές που κατασκευάστηκαν ποτέ. Το ρεκόρ αυτό καταρρίφθηκε το 2017, όταν ένας Ελβετός επιστήμονας υπολόγισε περισσότερα από 22 τρισεκατομμύρια ψηφία του π. Στη «μάχη» της ακριβέστερης προσέγγισης του π, κατέρριψε το 2019 το ρεκόρ η Emma Haruka Iwao της Google. Χρησιμοποιώντας το Google Cloud, υπολόγισε 31,4 τρισεκατομμύρια ψηφία του π. Το 2021, μια ομάδα μαθηματικών από το Πανεπιστήμιο Εφαρμοσμένης Επιστήμης του Grisnos στην Ελβετία, υπολόγισε περισσότερα από 62 τρισεκατομμύρια ψηφία του π. Σήμερα είναι γνωστά 105 τρισεκατομμύρια ψηφία του π, καθώς το 2024 μια αμερικάνικη εταιρεία υπολογιστών κατέχει το νέο ρεκόρ!

 


Πηγές και παραπομπές:

Imaginary.org|Pi Sacred Geometry

LiveScience|Pi Calculated to 105 Trillion Digits,smashing world record

Piday.org 

Wikipedia|π (μαθηματική σταθερά)


Τρίτη 25 Φεβρουαρίου 2025

Τριγωνικοί, τετραγωνικοί και εξαγωνικοί αριθμοί!

 

Στην αρχαιότητα, οι Πυθαγόρειοι θεωρούσαν πως τα πάντα στο σύμπαν μπορούσαν να εξηγηθούν με τη βοήθεια των αριθμών. Γι’ αυτό έφτιαχναν διάφορες ακολουθίες αριθμών με βάση γεωμετρικά σχήματα. Οι βασικότεροι είναι οι τριγωνικοί, οι τετραγωνικοί και οι εξαγωνικοί αριθμοί.

  

Τριγωνικός λέγεται κάθε αριθμός, ο οποίος, αν συμβολιστεί με σημεία –τόσα σημεία όσα υποδηλώνει ο αριθμός– σχηματίζεται τρίγωνο. Για να βρούμε τους τριγωνικούς αριθμούς, αρχίζουμε από το 1. Κάθε φορά προσθέτουμε και τον επόμενο φυσικό αριθμό. Δηλαδή:

1

1+2=3

1+2+3=6

1+2+3+4=10

1+2+3+4+5=15

1+2+3+4+5+6=21


Το άθροισμα που προκύπτει κάθε φορά (σημειωμένο με έντονο) είναι και ένας τριγωνικός αριθμός.

 

Μπορούμε να αναπαραστήσουμε τους τριγωνικούς αριθμούς με ισόπλευρα τρίγωνα, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

 

τριγωνικοί αριθμοί


Ο n-οστός τριγωνικός αριθμός είναι το άθροισμα των n πρώτων θετικών ακεραίων. Συμβολίζεται με \(T_n\) και ισούται με

\(T_n=1+2+…+n=\frac{n(n+1)}{2}\)

π.χ. \(T_4=\frac{4 \cdot 5)}{2}=10\)

 

Για την ακολουθία των τριγωνικών αριθμών ισχύει και ο αναδρομικός τύπος:

\(T_1=1\)

\(T_n=T_{n-1}+n, n>1\)



Τετραγωνικός αριθμός, ή αλλιώς τέλειο τετράγωνο, λέγεται ένας θετικός ακέραιος αριθμός που είναι το τετράγωνο ενός άλλου ακέραιου αριθμού, δηλαδή ισούται με το γινόμενο του αριθμού εκείνου με τον εαυτό του.

Ένας τετραγωνικός αριθμός \(n\) αντιπροσωπεύεται από \(n\) σημεία (κουκκίδες), τα οποία σχηματίζουν τετράγωνο, με την κάθε πλευρά του να έχει \(\sqrt{n}\) σημεία.


τετραγωνικοί αριθμοί


Ο αριθμός \(n\) είναι τετραγωνικός, αν και μόνο αν μπορούμε να συνθέσουμε ένα τετράγωνο από \(n\) ίσα μεταξύ τους τετράγωνα.

π.χ. 

\(n=1=1^2\)


\(n=4=2^2\)


\(n=9=3^2\)


\(n=16=4^2\)


\(n=25=5^2\)



Οι πρώτοι τετραγωνικοί αριθμοί (τέλεια τετράγωνα) είναι:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ...

 

Για έναν θετικό ακέραιο \(n\), ο n-οστός τετραγωνικός αριθμός είναι ο \(n^2\).


Κάποιοι τύποι που χρησιμεύουν για τον υπολογισμό ενός τετραγωνικού αριθμού όταν είναι γνωστός ο προηγούμενός του (αναδρομικοί τύποι), είναι:

\(n^2=(n-1)^2+(n-1)+n=(n-1)^2+(2n-1)\)


Το άθροισμα δύο διαδοχικών τριγωνικών αριθμών είναι τετραγωνικός αριθμός.

π.χ. \(T_3+T_4=6+10=16\), που είναι τετραγωνικός αριθμός.



Εξαγωνικός αριθμός λέγεται ένας πολυγωνικός αριθμός που παριστάνεται με ένα εξάγωνο.


εξαγωνικοί αριθμοί

 

Ο n-οστός εξαγωνικός αριθμός \(h_n\) είναι το πλήθος των κουκκίδων που «δημιουργούν» το εξαγωνικό σχήμα του. Στο μοτίβο αυτό, τα εξάγωνα δεν περιέχονται το ένα στο εσωτερικό του άλλου, αλλά έχουν όλα μία κοινή «κορυφή».

 

Οι πρώτοι εξαγωνικοί αριθμοί είναι:

1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, …


Ο τύπος που δίνει τον n-οστό εξαγωνικό αριθμό είναι:

\(h_n=2n^2-n=n(2n-1)=\frac{2n(2n-1)}{2} \)

 

Κάθε εξαγωνικός αριθμός είναι και τριγωνικός αριθμός.

Κάθε τριγωνικός αριθμός με περιττό πλήθος «πλευρών» (δηλαδή ο \(T_n\) με n περιττό) είναι εξαγωνικός αριθμός.

Κάθε άρτιος τέλειος αριθμός είναι εξαγωνικός. Καθώς δεν είναι γνωστός κανένας τέλειος αριθμός που να είναι περιττός, όλοι οι γνωστοί τέλειοι αριθμοί είναι εξαγωνικοί.


Για να ελέγξουμε αν ένας θετικός ακέραιος \(x\) είναι εξαγωνικός, μπορούμε να υπολογίσουμε τον αριθμό

\(n=\frac{\sqrt{8x+1}+1}{4}\).

Αν ο \(n\) είναι ακέραιος, τότε ο \(x\) είναι ο n-οστός εξαγωνικός αριθμός. Αλλιώς ο \(x\) δεν είναι εξαγωνικός.



👉Ανακαλύψτε περισσότερα στην "Online Εγκυκλοπαίδεια Ακολουθιών Ακέραιων Αριθμών" (OEIS).


Κυριακή 2 Φεβρουαρίου 2025

Αριθμοί Friedman

 

Αριθμοί Friedman


📖Ένας αριθμός Friedman είναι ένας θετικός ακέραιος που μπορεί να προκύψει χρησιμοποιώντας τα δικά του ψηφία, μαζί με ένα τουλάχιστον από τα σύμβολα +, -, ·, /, ^, (, ). 

  • Τα ψηφία του χρησιμοποιούνται ακριβώς μία φορά το καθένα.
  • Επιτρέπεται να συγκολληθούν δύο ή περισσότερα ψηφία.

Οι αριθμοί Friedman στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης, ξεκινώντας από τον μικρότερο, είναι:

\(25=5^2\)

\(121=11^2\)

\(125=5^{1+2}\)

\(126=6 \cdot 21\)

\(127=2^7-1\)

\(128=2^{8-1}\)

\(153=3 \cdot 51\)

\(216=6^{2+1}\)

\(289=(8+9)^2\)

\(343=(3+4)^3\)

\(347=7^3+4\)

\(625=5^{6-2}\)

\(688=8 \cdot 86\)

\(736=7+3^6\)

\(1022=2^{10}-2\)

\(1024=(4-2)^{10}\)

\(1206=6 \cdot 201\)

\(1255=5 \cdot 251\)

\(1260=6 \cdot 210 = 21 \cdot 60\)

\(1258=(1+2^8) \cdot 5\)

\(1296=6^{(9-1)/2}\)

\(1395=15 \cdot 93\)

\(1435=35 \cdot 41\)

\(1503=3 \cdot 501\)

\(1530=3 \cdot 510\)

\(1792=7 \cdot 2^{9-1}\)

\(1827=21 \cdot 87\)

\(2048=\frac{8^4}{2}+0=\frac{8^4}{2+0}\)

\(2187=(2+1^8)^7\)

\(2349=29 \cdot 3^4\)

 ...


📖Ένας πρώτος αριθμός Friedman είναι ένας αριθμός Friedman που επιπλέον είναι πρώτος.

Οι πρώτοι αριθμοί Friedman στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης είναι:

127, 347, 2503, 12101, 12107, 12109, 15629, 15641, 15661, 15667, 15679, 16381, 16447, 16759, 16879, 19739, 21943, 27653, 28547, 28559, 29527, 29531, 32771, 32783, 35933, 36457, 39313, 39343, 43691, 45361, 46619, 46633, 46643, 46649, 46663, 46691, 48751, 48757, 49277, 58921, 59051, 59053, 59263, 59273, 64513, 74353, 74897, 78163, 83357, ... 

 

📖Ένας αριθμός Friedman λέγεται ωραίος, όταν η μαθηματική έκφραση που τον συνθέτει, μπορεί να γραφεί έτσι, ώστε να περιέχει τα ψηφία με την ίδια σειρά που περιέχονται στον αριθμό.

Για παράδειγμα:

\(127=2^7-1=-1+2^7\)

\(343=(3+4)^3\)

Αν, μάλιστα, τυχαίνει να είναι και πρώτος, τότε λέγεται ωραίος πρώτος αριθμός Friedman. To 127 είναι ένας ωραίος πρώτος αριθμός Friedman.

Από την άλλη, το 121 και το 343 είναι παλινδρομικοί αριθμοί Friedman, αφού διαβάζονται το ίδιο είτε ευθέως είτε ανάποδα.

 

🧛🏻‍♂️Μια ειδική περίπτωση των αριθμών Friedman είναι οι βαμπιρικοί αριθμοί, όπως ο 1260 και ο 1395, τους οποίους είχαμε γνωρίσει σε παλιότερη ανάρτηση.



🖥️Μερικοί αριθμοί Friedman στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης είναι: 11001, 11011111111, 1001111, 1010001, ...

(Αυτοί που σημειώνονται έντονα είναι ωραίοι αριθμοί Friedman, αλλά και παλινδρομικοί).


🌐Για περισσότερα, σας παραπέμπω:

Numbers Aplenty, Friedman Numbers 

Online Encyclopedia of Integer Sequences, Erich Friedman