Σειρές και σύγκλιση... Μια... οπτική απόδειξη

Στα μαθηματικά, όταν λέμε πως μια σειρά συγκλίνει, αυτό με πολύ απλά λόγια σημαίνει ότι αν προσθέτουμε άπειρους αριθμούς (οι οποίοι λέγονται οι όροι της σειράς), το αποτέλεσμα "βγαίνει" πραγματικός αριθμός. Αν το αποτέλεσμα "βγαίνει" άπειρο, τότε λέμε ότι η σειρά αποκλίνει.

Για παράδειγμα, θέλουμε να υπολογίσουμε το "άπειρο άθροισμα" (δηλαδή τη σειρά) \( \frac{1}{2} \cdot \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n} = \frac{1}{4} + \frac{2}{8} + \frac{3}{16} + \frac{4}{32} + \frac{5}{64} + ...\).

 Εδώ δεν θα δούμε κανέναν υπολογισμό, αλλά μια όμορφη... οπτική "απόδειξη":

Πηγή εικόνας: Facebook | Math is visual 

2023... ευχές!

Καλή και δημιουργική χρονιά με υγεία, χαρά και επιτυχίες!

Το Θεμελιώδες Θεώρημα του Απειροστικού Λογισμού

Τα ολοκληρώματα έχουν κάνει αισθητή την απουσία τους στα χρόνια του covid-19. To 2020 βγήκαν από την εξεταστέα ύλη των Πανελλαδικών, αν και πολλοί τυχεροί μαθητές είχαν προλάβει να τα διδαχθούν. Φέτος όμως βγήκαν πολύ νωρίς εκτός της διδακτέας ύλης. Λίγο πριν αρχίσουν λοιπόν οι φετινές Πανελλαδικές εξετάσεις, θέλω να αποτίσω έναν μικρό φόρο τιμής σε αυτά τα όμορφα μαθηματικά αντικείμενα και να παρουσιάσω το Θεμελιώδες Θεώρημα του Απειροστικού Λογισμού, μέσα από ένα βιβλίο που, όσο και να το μελετήσεις, ποτέ δεν είναι αρκετό!

Πηγή: Απειροστικός Λογισμός II, Σ.Κ. Ντούγιας, Leader Books, 2005

Ο τύπος ⭑ είναι γνωστός ως τύπος των Newton-Leibniz και δείχνει τη σχέση που υπάρχει μεταξύ του ορισμένου και του αόριστου ολοκληρώματος. 

Με το παρακάτω πόρισμα, που είναι άμεση συνέπεια του Θεμελιώδους Θεωρήματος του Απειροστικού Λογισμού, παίρνουμε μια μέθοδο υπολογισμού του ορισμένου ολοκληρώματος.

Πηγή: Απειροστικός Λογισμός II, Σ.Κ. Ντούγιας, Leader Books, 2005

*~∞~*~∞~*~∞~*

Αφιερωμένο στους μαθητές μου.

Εύχομαι καλή επιτυχία σε όλα τα παιδιά!!!

*~∞~*~∞~*~∞~*

"Amat victoria curam" ("Η νίκη αγαπά την προετοιμασία").

Gaius Victorius Catullus (1ος αιώνας π.Χ.) 

Γρίφος: Χρωματίζοντας ένα τετράγωνο επ' άπειρον...

(Πηγή)

Διαιρούμε ένα τετράγωνο σε τέσσερα ίσα τετράγωνα και χρωματίζουμε το ένα από αυτά. Ένα από τα τρία που δεν χρωματίσαμε το ξαναδιαιρούμε σε τέσσερα ίσα τετράγωνα και χρωματίζουμε το ένα, σύμφωνα με το παραπάνω μοτίβο. 

Αν συνεχίσουμε αυτή τη διαδικασία επ' άπειρον, ποιο μέρος του αρχικού τετραγώνου θα έχει χρωματιστεί τελικά;

Τουλάχιστον μία λύση...

Το Θεώρημα του Bolzano

Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σ' ένα κλειστό διάστημα [α, β]. Αν ισχύουν τα εξής:

• η f είναι συνεχής στο [α, β] και
• f(α)⋅f(β) < 0,

τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον x₀ στο ανοιχτό διάστημα (α, β) τέτοιο, ώστε

f(x₀) = 0  

Δηλαδή το Θεώρημα Bolzano μας εξασφαλίζει ότι υπάρχει μία τουλάχιστον λύση της εξίσωσης f(x) = 0 στο ανοιχτό διάστημα (α, β).