Όταν τα μαθηματικά "κρύβονται" στα παιδικά παραμύθια του Ευγένιου Τριβιζά

Ένα βιβλίο είναι πάντα το καλύτερο δώρο, ένα δώρο που μπορείς να ανοίξεις ξανά και ξανά... Αν ψάχνετε δώρα για μικρά παιδιά ενόψει των γιορτών, σας έχω εδώ κάποιες προτάσεις: Τα "Παραμύθια με τους Αριθμούς", μία σειρά βιβλίων του ευφυούς παραμυθά Ευγένιου Τριβιζά. Τα παραμύθια αυτά, συνδυάζοντας την αφήγηση με προτεινόμενες δραστηριότητες, βοηθούν τα πιτσιρίκια να μάθουν τα πρώτα τους μαθηματικά με διασκεδαστικό τρόπο! (Χαρίστηκαν σε τέσσερα παιδιά που αγαπώ πολύ)! 

 

Φουφήχτρα, η μάγισσα με την ηλεκτρική σκούπα

(Αρίθμηση από το 1 έως το 10)

Η μάγισσα Φουφήχτρα ζει στο ζοφερό βουνό με τις χίλιες μαύρες παπαρούνες. Μια μέρα, πετάει με την ηλεκτρική της σκούπα πάνω από την παιδική χαρά και ρουφάει όλα τα παιδάκια εκτός από ένα. Μετά η μάγισσα ρουφάει όλες τις γατούλες από τα κεραμίδια των σπιτιών εκτός από δύο, όλες τις πεταλούδες από το ανθόσπαρτο λιβάδι εκτός από τρεις, όλα τα παπάκια από τη λίμνη με τα νούφαρα εκτός από τέσσερα και όλα τα ασημένια ψαράκια εκτός από πέντε. Οι μικροί αναγνώστες μαθαίνουν να μετράνε από το 1 ως το 10 με τρόπο σχεδόν μαγικό!

Ο Άρης ο τσαγκάρης

(Πρόσθεση - Αφαίρεση)

Πόσες παντόφλες φοράει ένας νυσταγμένος ιπποπόταμος; Ποιος χρειάζεται πιο πολλά παπούτσια, δύο δίδυμοι κόκορες ή ένα χταπόδι; Και γιατί τα ροζ κοράκια θέλουν πράσινα γοβάκια; Ενώ ο Άρης ο τσαγκάρης προσπαθεί να βρει την απάντηση σε όλα αυτά, οι μικροί αναγνώστες μαθαίνουν πρόσθεση, αφαίρεση και άλλα πολλά.

Η Φιφή και η Φωφώ, οι φαντασμένες φάλαινες

(Πολλαπλασιασμός - Διαίρεση)

Δύο λαίμαργες φάλαινες, η Φιφή και η Φωφώ, αποφασίζουν να αναμετρηθούν: να φάνε όσο περισσότερο μπορούν. Έτσι, οι δύο άσπονδες φιλενάδες επιδίδονται σε μία άνευ προηγουμένου ακατάσχετη θαλασσινή πανδαισία, καταπίνουν βάρκες με ψαράδες, τρώνε καΐκια με χαρωπά ναυτάκια και καταβροχθίζουν πειρατικές σκούνες με αιχμάλωτες πριγκιποπούλες. Ώσπου οι δύο φαντασμένες φάλαινες να λύσουν τις διαφορές τους, οι αναγνώστες μαθαίνουν πολλαπλασιασμό και διαίρεση και, τελειώνοντας το βιβλίο, είναι πλέον σε θέση να υπολογίσουν με θαυμαστή ακρίβεια πόσα πόδια έχουν οχτώ χταπόδια και με ποιον τρόπο τρεις φάλαινες μπορούν να μοιράσουν μεταξύ τους έξι ιππόκαμπους με παπιγιόν και δώδεκα ναυαγισμένους αρλεκίνους.

Η πριγκίπισσα Δυσκολούλα

(Σύνολα - Υποσύνολα)

Εκατό πρίγκιπες φτάνουν ένα πρωί σ' ένα μαρμάρινο παλάτι για να ζητήσουν σε γάμο την πριγκίπισσα Δυσκολούλα. Η Δυσκολούλα όμως, που είναι η πιο αναποφάσιστη πριγκίπισσα του κόσμου, δυσκολεύεται πολύ να αποφασίσει ποιον από τους εκατό πρίγκιπες προτιμάει. Όταν τελικά διαλέγει τον πρίγκιπα των ονείρων της, μια φοβερή έκπληξη την περιμένει. Εμείς όμως έχουμε μάθει στο μεταξύ τα σύνολα και τα υποσύνολα.

Εύχομαι καλές γιορτές σε όλους!!!

Οι καλύτερες... μαθηματικές ταινίες

 

Ο χειμώνας έρχεται... και μαζί του έρχονται οι βραδιές ταινίας που πολλοί από μας απολαμβάνουμε.

Γι' αυτό ετοίμασα μια λίστα με τις καλύτερες ταινίες γενικότερου μαθηματικού περιεχομένου και μαθηματικής σκέψης, που θα απολάμβανε κάθε κινηματογραφόφιλος και... μαθηματικόφιλος!

Πατώντας σε κάθε τίτλο, θα διαβάσετε την περιγραφή της εκάστοτε ταινίας.

21 (Black Jack) (2008)

23 (1998)

A Beautiful Mind (Ένας Υπέροχος Άνθρωπος) (2001)

A Brief History of Time (Μια Σύντομη Ιστορία του Χρόνου, Ντοκιμαντέρ) (1991)

A Hill On the Dark Side of the Moon (Ένας Λόφος στη Σκοτεινή Πλευρά της Σελήνης) (1983)

A Serious Man (Ένας Σοβαρός Άνθρωπος) (2009)

A Summer's Tales (Ιστορίες του Καλοκαιριού) (1996)

An Invisible Sign (Το Αόρατο Σημάδι) (2010)

Agora (2009)

Codebreaker (2011)

Contact (Επαφή) (1997)

Cube (Ο κύβος) (1997)

Cube 2: Η Τέταρτη Διάσταση (2002)

Dimensions (2011)

Donald in Mathmagic Land (Ταινία Κινουμένων Σχεδίων) (1959)

Enigma (Κωδικός: Enigma) (2001)

Έτερος Εγώ (2016)

Fermat's Room (Το Δωμάτιο του Φερμά) (2007)

Gifted (Χαρισματική) (2017)

Good Will Hunting (Ο ξεχωριστός Γουίλ Χάντινγκ) (1997)

Hawking (2004)

Hidden Figures (Αφανείς Ηρωίδες) (2016)

How I Came to Hate Math (Comment J'ai Détesté Les Maths) (Ντοκιμαντέρ) (2013)

Infinity (Απέραντη Αγάπη) (1996)

I.Q. (Ερωτικές Εξισώσεις) (1994)

It's my Turn (Και Τώρα... η Σειρά μου!) (1980)

Little Man Tate (Ο Μικρός κος Τέιτ) (1991)

Möbius (Ο Κύκλος του Möbius) (2013)

Money Ball (2011)

Mr. Nobody (Ο Κανένας) (2009)

N is a number: A portrait of Paul Erdös (Ντοκιμαντέρ) (1993)

Pi (π) (1998)

Polytechnique (Πολυτεχνείο) (2009)

Proof (2005)

Queen of Katwe (2016)

Raising Genius (2004)

Ramanujan (2014)

Secrets of the Surface: The Mathematical Vision of Maryam Mirzakhani (2020)

Sneakers (Οι Αθόρυβοι) (1992)

Stand and Deliver (Ανατολικό Λος Άντζελες) (1998)

Straw Dogs (Αδέσποτα Σκυλιά) (1971)

Tajté Siah (Ο μαυροπίνακας) (2000)

Tall Story (Θα σε Παντρευτώ) (1960)

The Bank (2001)

The Calculus of Love (2011)

The Code Conspiracy (2002)

The Da Vinci Code (Κώδικας Ντα Βίντσι) (2006)

The Fountain (Η Πηγή της Ζωής) (2006)

The Imitation Game (Το Παιχνίδι της Μίμησης) (2014)

The Man who Knew Infinity (Ο Άνθρωπος που Γνώριζε το Άπειρο) (2015)

The Martian (Η Διάσωση) (2015)

The Mirror Has Two Faces (Ο Καθρέφτης Έχει Δύο Πρόσωπα) (1996)

The Number 23 (2007)

The Oxford's Murders (Ακολουθία Φόνων στην Οξφόρδη) (2008)

The Professor and his Beloved Equation (2006)

The Solitude of Prime Numbers (2010)

The Story of Maths (Ντοκιμαντέρ) (2008)

The Theory of Everything (Η Θεωρία των Πάντων) (2014)

The Turing Enigma (2011)

Trancendent Man (Ντοκιμαντέρ) (2009)

Travelling Salesman (2012)

X+Y / A Brilliant Young Mind (2014)

Γράψτε μου στα σχόλια την άποψή σας για τις ταινίες αυτές! Αν έχω παραλείψει κάποια ταινία που θα θέλατε να υπάρχει στη λίστα, μπορείτε να το αναφέρετε, ώστε να την προσθέσω! 😀

Γρίφος: Η εντεκάδα, ο προπονητής και η... αναμνηστική φωτογραφία!

Η αρχική εντεκάδα μιας ομάδας ποδοσφαίρου πρόκειται να φωτογραφηθεί πριν τον αγώνα μαζί με τον προπονητή της ομάδας. Ο φωτογράφος θέλει και τα 12 άτομα να είναι τοποθετημένα σε σειρά, σε μια γραμμή.

👉Πόσες είναι οι δυνατές αναμνηστικές φωτογραφίες, αν ο προπονητής πρέπει να βρίσκεται στην άκρη (πρώτος ή τελευταίος στη σειρά);

👉Πόσες είναι οι δυνατές αναμνηστικές φωτογραφίες, αν πρέπει στη μια άκρη να βρίσκεται ο προπονητής και στην άλλη άκρη ο τερματοφύλακας της ομάδας;

"Ο θείος Πέτρος και η Εικασία του Γκόλντμπαχ"

Ο θείος Πέτρος είναι ένα αίνιγμα. Οι πρεσβύτεροι της οικογενείας Παπαχρήστου τον απορρίπτουν ως "αποτυχημένο της ζωής". Ώσπου ο αφηγητής-ανιψιός του ανακαλύπτει ότι ήταν κάποτε φημισμένος μαθηματικός, τόσο ιδιοφυής και παράτολμος ώστε να αφιερώσει τη ζωή του στην περιβόητη "Εικασία του Γκόλντμπαχ", ένα από τα παλιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών που προσπαθούσαν εις μάτην να επιλύσουν γενεές μαθηματικών και που, μέχρι και σήμερα, παραμένει άλυτο... 

Συγκεκριμένα, η Εικασία του Γκόλντμπαχ εκφράζει ότι κάθε άρτιος θετικός ακέραιος αριθμός, μεγαλύτερος του 2, μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα δύο πρώτων αριθμών. Για παράδειγμα:

4 = 2 + 2

6 = 3 + 3

8 = 3 + 5

10 = 3 + 7 ή 10 = 5 + 5

12 = 5 + 7

14 = 3 + 11 ή 14 = 7 + 7

... κλπ ...

Εικάζεται, λοιπόν ότι η παραπάνω πρόταση (μάλλον) ισχύει. Πατώντας εδώ, μπορείτε να επιβεβαιώσετε την Εικασία του Γκόλντμπαχ για οποιονδήποτε άρτιο θετικό ακέραιο σκεφτείτε. Ωστόσο, δεν είναι ένα θεώρημα, γιατί δεν έχει -ακόμη- αποδειχθεί ότι ισχύει ΓΙΑ ΚΑΘΕ άρτιο θετικό ακέραιο. Έτσι, παραμένει μια εικασία...

Το μυθιστόρημα του Απόστολου Δοξιάδη "Ο θείος Πέτρος και η Εικασία του Γκόλντμπαχ", που πρωτοεκδόθηκε το 1992, σε ταξιδεύει στον κόσμο των σύγχρονων Μαθηματικών και αποτελεί ένα από τα πλέον κλασικά έργα μαθηματικής λογοτεχνίας. Το προτείνω σε όσους τρέφουν έστω και μια μικρή συμπάθεια απέναντι στα Μαθηματικά!

Γρίφος: Δημογραφικά... ποσοστά!

 

Σε μια πόλη, τα \( \frac{2}{5} \) των ανδρών είναι παντρεμένα με τα \( \frac{2}{3} \) των γυναικών. 

Ποιο είναι το ποσοστό των παντρεμένων ατόμων της πόλης;

(Τα ανήλικα άτομα ΔΕΝ συνυπολογίζονται!)

Μαγικά μαθηματικά: Οι ακέραιοι

Σας προσκαλώ σε ένα παιχνίδι όπου ο νικητής κερδίζει ένα βραβείο. Διαλέξτε κάποιον τριψήφιο αριθμό και γράψτε τον δύο φορές διαδοχικά, σχηματίζοντας έναν καινούργιο, εξαψήφιο αριθμό. Αν έχετε επιλέξει π.χ. το 761, τότε σημειώστε στο χαρτί 761.761. Το παιχνίδι ξεκινάει: Διαιρέστε τον εξαψήφιο αριθμό με το 7. Το υπόλοιπο της διαίρεσης θα είναι ο τυχερός σας αριθμός και κερδίζετε χαρτονομίσματα των 100€, σε πλήθος όσο δείχνει ο τυχερός σας αριθμός! Το υπόλοιπο σίγουρα θα είναι κάποιος από τους αριθμούς 0, 1, 2, 3, 4, 5 ή 6. Μόνο αυτοί μπορούν να είναι υπόλοιπα μιας διαίρεσης δια του 7. Ο νικητής λοιπόν κερδίζει μέχρι και 600€!!!

Μήπως κατά τύχη ο τυχερός σας αριθμός βγήκε το 0; Τότε έχετε καλή παρέα... Το ίδιο έτυχε σε όλους τους συμπαίκτες σας!

Η εξήγηση αυτού του φαινομένου βρίσκεται σε μια καλά κρυμμένη ιδιότητα των ακεραίων. Συγκεκριμένα, ο σχηματισμός ενός εξαψήφιου αριθμού με τοποθέτηση ενός τριψήφιου δίπλα στον εαυτό του ισοδυναμεί με τον πολλαπλασιασμό του τριψήφιου επί 1.001. Και επειδή το 1.001 διαιρείται με το 7, ο εξαψήφιος αριθμός που φτιάχνουμε επίσης διαιρείται με το 7.

Αυτή η ιδέα μπορεί φυσικά να πάρει τη μορφή ενός μαγικού τεχνάσματος για επίδειξη σε κάποια φιλική παρέα: Τα χαρτονομίσματα των 100€ μπορούν να αντικατασταθούν από πρόβλεψη του υπολοίπου.

Εξάλλου, στον κόσμο των μαγικών τεχνασμάτων εμφανίζονται πολύ συχνά μαθηματικά δεδομένα. Αρκεί να βρει κανείς κάποια μαθηματικά αποτελέσματα που αντιβαίνουν προς την καθημερινή εμπειρία και των οποίων η εξήγηση είναι κρυμμένη στα βάθη κάποιας θεωρίας.

Ακόμη μια συμβουλή: Για τα μαγικά τεχνάσματα ισχύει ό,τι και για τα αρώματα - η συσκευασία είναι εξίσου σημαντική με το περιεχόμενο. Στην επίδειξή μας δεν πρέπει να αναφερθεί τίποτα για τον πολλαπλασιασμό του τριψήφιου αριθμού επί 1.001. Το γινόμενο ισούται, βέβαια, με τον αριθμό που προκύπτει αν βάλουμε τον τριψήφιο δίπλα στον εαυτό του. Αν, όμως, αυτό αποκαλυφθεί, πάει, χάθηκε η μαγεία...

Πηγή:

E. Behrends (2018). Μαθηματικά Πεντάλεπτα: 100 Μικρές Ιστορίες από τον Κόσμο των Μαθηματικών. Ηράκλειο: Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης

Κωνσταντίνος Καραθεοδωρή: Η ζωή του σπουδαίου μαθηματικού σε graphic novel

Ένα graphic novel με παγκόσμια απήχηση κυκλοφόρησε αυτές τις μέρες από τις εκδόσεις Παπαδόπουλος. Η ζωή του διάσημου Έλληνα μαθηματικού Κωνσταντίνου Καραθεοδωρή, στην ευφυΐα του οποίου υποκλίθηκε ο Αϊνστάιν, αναγεννιέται μέσα από τα κείμενα του Ελπιδοφόρου Ιντζέμπελη και τα σχέδια του Παναγιώτη Πανταζή, στο βιβλίο "Κωνσταντίνος Καραθεοδωρή: Ο σπουδαίος Έλληνας μαθηματικός". Πρόκειται για ένα δείγμα της καινούργιας περιόδου ωριμότητας για τα ελληνικά κόμικς.

«Αν θέλετε να μπείτε στον κόπο να μου εξηγήσετε ακόμα και τους κανονικούς μετασχηματισμούς, θα βρείτε έναν ευγνώμονα και ευσυνείδητο ακροατή. Αν όμως λύσετε και το πρόβλημα των κλειστών γραμμών του χρόνου, θα σταθώ μπροστά σας με σταυρωμένα χέρια. Πίσω από αυτό υπάρχει κρυμμένο κάτι που είναι αντάξιο του ιδρώτα των καλυτέρων», έγραφε ο Αϊνστάιν στον Καραθεοδωρή το 1916. Η αλληλογραφία και η συνεργασία των δύο ανδρών, που θαύμαζαν ο ένας τον άλλον, συνεχίστηκε. Μάλιστα, με τη συμβολή του στον Λογισμό των Μεταβολών ο Καραθεοδωρή βοήθησε στην ανάπτυξη της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας του Αϊνστάιν.

Αποσπάσματα των επιστολών αυτών περιλαμβάνονται στη βιογραφία του μεγάλου Έλληνα μαθηματικού που για πρώτη φορά αποτυπώνεται σε graphic novel. Όμως, δεν είναι η πρώτη φορά που ο Καραθεοδωρή «συναντιέται» με τον συγγραφέα Ελπιδοφόρο Ιντζέμπελη.

 

Ο συγγραφέας διηγείται στον πρόλογο του graphic novel…

“Πρέπει να ήταν 13 Νοέμβρη του 2003 όταν «πρωτοσυναντήθηκα» με τον Κωνσταντίνο Καραθεοδωρή. Η γνωριμία μας ξεκίνησε μέσα από το ένθετο «Ιστορικά» της κυριακάτικης εφημερίδας Ελευθεροτυπία. Η εφημερίδα τον σύστηνε ως τον «Έλληνα Αϊνστάιν». Δεν ξέρω για ποιον λόγο, αυτό το αφιερωματικό τεύχος με γοήτευσε. Ύστερα από έναν μήνα το ξαναδιάβασα. Άρχισα να ψάχνω για τον σπουδαίο μαθηματικό. Από αυτά που διάβαζα, καταλάβαινα ότι ο Κωνσταντίνος Καραθεοδωρή, καθηγητής σε Πανεπιστήμια της Γερμανίας, υπήρξε μεγάλη προσωπικότητα. Η φιλία του με τον Αϊνστάιν αλλά και η συνεισφορά του στην εκπαιδευτική πολιτική του Ελευθερίου Βενιζέλου, με την παραίτησή του από το Πανεπιστήμιο του Βερολίνου για να προσφέρει στην πατρίδα, μου φανέρωσαν έναν άνθρωπο που είχε ιδανικά και αγάπη για την Ελλάδα. Τότε μου κόλλησε η ιδέα να επισκεφτώ την κόρη του που ζούσε στο Ψυχικό. Με υποδέχτηκε με ευγένεια και ένιωσα ότι βρισκόμουν πιο κοντά στον μεγάλο μαθηματικό. Την παρότρυνα να μου διηγηθεί για τον πατέρα της και πάτησα το κουμπί του μαγνητοφώνου. Η Δέσποινα Καραθεοδωρή χάθηκε στις αναμνήσεις της.

 

«Ο πατέρας ήταν γλυκύτατος και σαν άνθρωπος τα κατάπινε όλα, όπως και τις πικρίες που του τύχαιναν. Ήταν πάντοτε κοντά στην οικογένειά μας. Θυμάμαι που κάναμε μαζί περίπατο στο πάρκο. Θα έλεγα ότι ήταν διδακτικοί αυτοί οι περίπατοι. Ξέρετε τι ευχάριστος άνθρωπος που ήταν;...»

 

Το κασετόφωνο κατέγραφε κι εγώ έψαχνα να βρω τη μορφή του Κωνσταντίνου Καραθεοδωρή στο αντικρινό σαλόνι. Και όμως, ναι, τον διέκρινα να γράφει και κάποια στιγμή να σηκώνεται και να παίρνει ένα βιβλίο από τη βιβλιοθήκη. Πρέπει να ήταν το αγαπημένο του. Το Όργανον του Αριστοτέλη. Το άνοιξε, το χάιδεψε και διάβασε στιγμιαία κάτι. Κάθισε πάλι στο γραφείο και διάβασε με προσήλωση το βιβλίο. Άναψε ένα πούρο και κάπνισε τόσο όσο για να καλύψει η καπνιά το σαλόνι και να θαμπώσει τη μορφή του. Και όταν η ατμόσφαιρα ύστερα από λίγα λεπτά καθάρισε, ο Καραθεοδωρή δεν ήταν εκεί. Μόνο η καρέκλα του και το γραφείο τον θύμιζε... Έκλεισα το μαγνητόφωνο όταν αισθάνθηκα ότι η συζήτηση είχε φτάσει στο τέλος. Κοίταξα αμήχανα γύρω μου και αναρωτήθηκα αν θα μπορούσα να παραμείνω περισσότερο σε αυτό τον χώρο. Το χαμόγελο και η διάθεση της οικοδέσποινας μου το επιβεβαίωσαν. Η φωνή όμως της κυρίας Πόπης, της οικονόμου, της υπενθύμισε το καθημερινό της πρόγραμμα. Κατάλαβα. Ήταν η κατάλληλη στιγμή για να αποχωρήσω. Σηκώθηκα και χαιρέτησα θερμά την κόρη του Καραθεοδωρή. Η Δέσποινα Καραθεοδωρή-Ροδοπούλου μού έσφιξε το χέρι και μου είπε ότι μπορώ όποτε θέλω να την επισκεφτώ και πάλι. Έφυγα νιώθοντας γεμάτος. Στην επιστροφή, η χαμηλή μουσική του ραδιοφώνου του αυτοκινήτου με έκανε να ταξιδέψω πάλι στις όμορφες στιγμές που πέρασα στο σπίτι της οικογένειας του Κωνσταντίνου Καραθεοδωρή.

Αυτή η γνωριμία μεγάλωσε μέσα μου τη διάθεση να ανακαλύψω περισσότερα για αυτό τον άνθρωπο. Με έστειλε σε αρχεία και βιβλιοθήκες να ψάξω ό,τι υπήρχε για αυτόν. Με έκανε να θέλω να μοιραστώ και με άλλους τα σπουδαία που ανακάλυπτα. Κάποια στιγμή ένιωσα ότι ήμουν έτοιμος να το κάνω. Να γράψω για τον Καραθεοδωρή, να σας γνωρίσω τον διάσημο μαθηματικό και να αναπαραστήσω εκείνη την εποχή που η Ευρώπη έζησε δύσκολες κοινωνικές και οικονομικές καταστάσεις. Κυρίως, όμως, θέλω να γνωρίσω στους Έλληνες τη σημαντική προσφορά του Κωνσταντίνου Καραθεοδωρή στα Γράμματα...”

Έκτοτε ξεκίνησε για τον συγγραφέα μια σχεδόν σχέση ζωής, που τον οδήγησε σε δύο βιβλία για τη ζωή του μεγάλου επιστήμονα: «Η τελευταία εξίσωση του Κωνσταντίνου Καραθεοδωρή» (εκδόσεις «Στοχαστής») και «Κωνσταντίνος Καραθεοδωρή – Μυθιστορηματική βιογραφία» (εκδόσεις «Μένανδρος») και τώρα πλέον και στο graphic novel.

Το «brain gain» της εποχής πέτυχε ένας άλλος μεγάλος Έλληνας, ο Ελευθέριος Βενιζέλος, ο οποίος τον κάλεσε δύο φορές να συνδράμει στο όραμά του για την ίδρυση ενός σύγχρονου ελληνικού Πανεπιστημίου. Η αναβίωση μιας τέτοιας προσωπικότητας σε εικονογραφημένες λέξεις δεν ήταν εύκολη. «Θα έλεγα ότι ήταν πιο δύσκολο από όλα τα προηγούμενα, γιατί ουσιαστικά καλείσαι να γράψεις ένα σενάριο. Όμως, είμαι πολύ τυχερός γιατί πραγματικά τα σχέδια του Παναγιώτη Πανταζή είναι εξαιρετικά», μας λέει.

Ο εικονογράφος Παναγιώτης Πανταζής, γνωστός ως Pan Pan, εργάζεται στον χώρο των κόμικς επί είκοσι χρόνια με μια ιδιαίτερη, αναγνωρίσιμη τεχνική που έχουμε δει στο «Μέρες λατρείας», στο «Lynch», στο «Τώρα πια ξυπνάω με τον ήλιο», στα εικονογραφημένα βιβλία του για την Αθήνα και στα έργα του σε πολλά τεύχη των Common Comics.

Ένα συναρπαστικό «ταξίδι»

Ο Κωνσταντίνος Καραθεοδωρή (Konstantin Carathéodory) γεννήθηκε στο Βερολίνο το 1873 και πέθανε στο Μόναχο το 1950. Θεωρείται ιδιοφυής μαθηματικός με επιστημονικό έργο που επεκτείνεται και σε όλους τομείς της γνώσης, όπως τη Φυσική και την Αρχαιολογία. Ασχολήθηκε με τη μαθηματική ανάλυση, τη συναρτησιακή ανάλυση και τη θεωρίας του μέτρου και της ολοκλήρωσης. Ο πατέρας του ήταν νομικός από την Κωνσταντινούπολη με καταγωγή από το Μποσνοχώρι  (νομός Έβρου) ο οποίος εργαζόταν ως διπλωμάτης για την Οθωμανική Αυτοκρατορία. Είχε ξεκινήσει ως γραμματέας και κατόπιν ως πρέσβης του Σουλτάνου στις Βρυξέλλες, στην Αγία Πετρούπολη και στο Βερολίνο. Η μητέρα του Καραθεοδωρή καταγόταν από τη Χίο.

Ο Κωνταντίνος Καραθεοδωρή μεγάλωσε σε ευρωπαϊκό περιβάλλον της ανώτερης τάξης. Πέρασε τα παιδικά του χρόνια στις Βρυξέλλες, όπου ο πατέρας του ήταν πρέσβης της Υψηλής Πύλης από το 1875, με αποτέλεσμα να μάθει ως μητρικές γλώσσες τα ελληνικά και τα φλαμανδικά και αργότερα τα τουρκικά και τα γερμανικά. Το 1883-1885 φοίτησε σε σχολεία της γαλλικής και ιταλικής Ριβιέρας και στη συνέχεια σε ένα γυμνάσιο των Βρυξελλών, όπου εκδήλωσε την αγάπη και την κλίση του στα Μαθηματικά, ιδιαίτερα στη γεωμετρία. Από το 1891 έως το 1895, σπούδασε πολιτικός μηχανικός στη Στρατιωτική Σχολή του Βελγίου και μετά την αποφοίτησή του, το 1895, αποδέχτηκε την πρόσκληση του θείου του, Αλέξανδρου Στεφάνου Καραθεοδωρή, ο οποίος ήταν τότε διοικητής της Κρήτης, και τον επισκέφθηκε στα Χανιά, όπου γνώρισε τον Ελευθέριο Βενιζέλο. Στη συνέχεια, πήγε στη Λέσβο, όπου συμμετείχε στην κατασκευή έργων οδοποιίας, ενώ το 1898 πήγε στην Αίγυπτο, για να εργαστεί ως μηχανικός στη βρετανική εταιρεία που κατασκεύαζε το φράγμα στο Ασουάν. Στην Αίγυπτο συνέχισε να μελετά μαθηματικά συγγράμματα και έκανε μετρήσεις στην κεντρική είσοδο της πυραμίδας του Χέοπα, τις οποίες δημοσίευσε. Από τότε εγκατέλειψε τα δημόσια έργα και πήγε στη Γερμανία για να σπουδάσει Μαθηματικά.

Στο Βερολίνο είχε την τύχη να παρακολουθήσει μαθήματα από μεγάλους μαθηματικούς όπως ο Herman Schwarz, ο Georg Frobenius, ο Erhard Schmidt και ο Lazarus Fuchs, ενώ το 1902 μεταγράφηκε στο Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν στην Κάτω Σαξονία ―που θεωρούνταν ήδη από την αρχή του 19ου αιώνα κέντρο των Μαθηματικών― για να κάνει διδακτορική διατριβή υπό την επίβλεψη του Hermann Minkowski. Στο Γκέτινγκεν, όπου κάποτε είχε διδάξει ο μέγας Κarl Friedrich Gauss― δίδασκαν εκείνη την εποχή ο David Hilbert και ο Felix Klein, δυο σπουδαίοι μαθηματικοί που επηρέασαν πολύ τη ζωή και τη σταδιοδρομία του Καραθοδωρή. Το 1904 αναγορεύτηκε διδάκτορας και παρότι επιθυμούσε να εργαστεί στην Ελλάδα, οι Έλληνες του απάντησαν ότι το μόνο που μπορούσε να κάνει στην Ελλάδα ήταν να διοριστεί δάσκαλος αριθμητικής σε σχολεία της επαρχίας. Τότε αποφάσισε να μείνει στη Γερμανία, όπου τον Μάρτιο του 1905 έγινε υφηγητής των Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν. Από το 1909 έως το 1920 δίδαξε Μαθηματικά σε διάφορα γερμανικά πανεπιστήμια: στο Αννόβερο, στο Μπρέσλαου (Βρότσλαβ της σημερινής Πολωνίας), στο Γκέτινγκεν και στο Βερολίνο. Η φήμη του ως μαθηματικού τον έφερε σε επαφή με άλλους μεγάλους σοφούς της εποχής του, μεταξύ των οποίων ήταν ο Αϊνστάιν.

Το 1911, μετά από πρόσκληση του Ελευθέριου Βενιζέλου, ο Καραθεοδωρή συμμετείχε στην επιτροπή επιλογής καθηγητών για το Πανεπιστήμιο Αθηνών και το 1920, πάλι με πρόσκληση του Βενιζέλου, ανέλαβε να οργανώσει το Ιωνικό Πανεπιστήμιο στη Σμύρνη. Στη Σμύρνη έμεινε μέχρι την κατάρρευση του μικρασιατικού μετώπου τον Αύγουστο του 1922. Όταν οι Τούρκοι εισέβαλαν στην πόλη, ο 49χρονος Καραθεοδωρή κατόρθωσε να διασώσει τη βιβλιοθήκη και πολλά από τα εργαστηριακά όργανα του Ιωνικού Πανεπιστημίου και να τα μεταφέρει στο Πανεπιστήμιο Αθηνών. Η δωρεά Καραθεοδωρή βρίσκεται μέχρι σήμερα στο Μουσείο Φυσικών Επιστημών του Καποδιστριακού Πανεπιστημίου. Το 1922 διορίστηκε καθηγητής στο Πανεπιστήμιο Αθηνών και το 1923 στο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, αλλά δεν άργησε να απογοητευτεί από τη μίζερη κατάσταση των ελληνικών πανεπιστημίων. Εγκατέλειψε ξανά την Ελλάδα το 1924, για να καταλάβει καθηγητική έδρα στο Πανεπιστήμιο του Μονάχου, που εκείνο τον καιρό ήταν το δεύτερο μεγαλύτερο πανεπιστήμιο της Γερμανίας. Τον Νοέμβριο του 1926, έγινε μέλος στη νεοϊδρυθείσα Ακαδημία Αθηνών και το 1928, μετά από πρόσκληση του Χάρβαρντ και της Αμερικανικής Μαθηματικής Εταιρείας, επισκέφθηκε τις ΗΠΑ όπου έμεινε, μαζί με τη γυναίκα του, επί έναν σχεδόν χρόνο, δίνοντας διαλέξεις σε διάφορα αμερικανικά πανεπιστήμια: ανάμεσά τους το Πρίνστον, το Πανεπιστήμιο της Πενσυλβάνια και το Πανεπιστήμιο του Τέξας στο Όστιν.

 

Το 1930, πάλι μετά από πρόσκληση του Ελευθέριου Βενιζέλου, ανέλαβε καθήκοντα κυβερνητικού επιτρόπου στο Πανεπιστήμιο Αθηνών και στο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης για να βοηθήσει στην αναδιοργάνωση του πρώτου και στην οργάνωση του (νεοσύστατου) δεύτερου. Το 1932, επέστρεψε στην έδρα του στο Μόναχο όπου πέρασε τα δύσκολα χρόνια του Β’ Παγκοσμίου Πολέμου σε κατάσταση αμφιθυμίας. Ενώ πολλοί Γερμανοί επιστήμονες και διανοούμενοι εγκατέλειπαν τη Γερμανία, η στάση του Καραθοδωρή απέναντι στο ναζιστικό καθεστώς παρέμεινε παθητική: διετέλεσε μάλιστα επίτροπος της Εκκλησίας του Σωτήρος στο Μόναχο, διορισμένος από το Γ’ Ράιχ. Το 1945, διάφορα αμερικανικά πανεπιστήμια τον προσκάλεσαν για να εγκατασταθεί και να διδάξει στις ΗΠΑ, αλλά προτίμησε να παραμείνει στη Γερμανία: ήταν ήδη ηλικιωμένος και είχε χάσει τη σύζυγό του Ευφροσύνη. Τον Δεκέμβριο του 1949 έδωσε την τελευταία του διάλεξη στο Μόναχο· δύο μήνες αργότερα έφυγε από τη ζωή.

Ο Καραθεοδωρή άρχισε να συγγράφει επιστημονικές μελέτες ήδη από τον καιρό που εργάζονταν ως μηχανικός στην Αίγυπτο. Οι έρευνες του, τις οποίες δημοσίευσε κυρίως στα γερμανικά, συνθέτουν ένα τεράστιο και πολύπλευρο έργο, με μαθηματικές του αποδείξεις «κομψές και απλές», με μια αυστηρότητα που ενέπνεε απόλυτη βεβαιότητα για τα συμπεράσματά του.

 

Το 1973, η Ελληνική Μαθηματική Εταιρία διοργάνωσε διεθνές συμπόσιο για τα 100 χρόνια από τη γέννηση του Καραθεοδωρή, ενώ το 2000 το Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης διοργάνωσε παγκόσμιο συνέδριο Μαθηματικών για τα 50 χρόνια από τον θάνατό του. Στην Κομοτηνή ιδρύθηκε ένα μουσείο όπου εκτίθενται βιβλία, χειρόγραφες επιστολές αυθεντικά έγγραφα και φωτογραφίες της οικογένειας.

Γρίφος: Εργασιακή ειρήνη

 

'Ένας εργάτης συμφώνησε να πληρώνεται 48 φράγκα για κάθε ημέρα εργασίας και να επιστρέφει 12 φράγκα για κάθε ημέρα αργίας. Μετά 30 ημέρες, το αφεντικό δεν χρωστάει χρήματα στον εργάτη, ούτε και ο εργάτης πρέπει να επιστρέψει τίποτε.

Πόσες από τις 30 ημέρες δούλεψε ο εργάτης;

Σημείωση: Ο γρίφος αυτός τέθηκε για πρώτη φορά από τον Γάλλο μαθηματικό Etienne Bezout (1730-1783).

"Αναπνέοντας κιμωλία"...Καλή σχολική χρονιά!

«Γαληνεύεις λίγο, όταν σκέφτεσαι κάποιες στιγμές που οι βαθμοί ελευθερίας αυξάνονται. Τυχαίνει κάποτε το τμήμα να έχει μια περίεργη σύσταση που να μοσχοβολάει διαφορετικότητα. Τυχαίνει να προτιμούν να σε ακούνε να φεύγεις από το βραχνά της εξεταστέας ύλης και να ανοίγεις τόσες δα χαραμάδες στον ορίζοντα της σκέψης τους, χωρίς τύψεις, γιατί έχουν την ικανότητα να καταφέρνουν γρήγορα-γρήγορα να ξαναγυρνούν στο αναγκαίο, δυναμωμένοι κι όχι μπερδεμένοι από το μικρό ταξίδι.

Είναι τότε που οι καμπύλες των γραφικών παραστάσεων ζωντανεύουν, είναι διαφορίσιμες γιατί είναι λείες κι όμορφες, έχουν ακρότατες τιμές γιατί αρνούνται τη μονοτονία, δεν έχουν όριο πραγματικό, αλλά μπορείς και τις φαντάζεσαι στο άπειρο και η ασύμπτωτη ευθεία είναι το καράβι που σε ταξιδεύει στα άφατα πέρατά τους.

Είναι τότε που αλήθεια κι ομορφιά συνυπάρχουν, που οι μαθηματικές έννοιες δεν είναι σύμβολα, μα πλατωνικές οντότητες αυθύπαρκτες κι αγέρωχες, ανέγγιχτες από ανάγκες και υλικές δεσμεύσεις...»  

Απόσπασμα από το βιβλίο "ΑΝΑΠΝΕΟΝΤΑΣ ΚΙΜΩΛΙΑ: Γραφές Εκπαιδευτικών" (Συλλογικό έργο, εκδόσεις Σαββάλα, 1996). Ένα βιβλίο που σε ταξιδεύει πίσω στο χρόνο, σε σχολικές αίθουσες με μαυροπίνακες... Άραγε, εκτός από τους πίνακες στον τοίχο έχουν αλλάξει πολλά πράγματα έκτοτε;

Μαθηματικές καμπύλες και αγελάδες...

 

...ή αλλιώς: το κέρατό μου μέσα, μ' αυτές τις εξισώσεις που έμπλεξα!😂

Πηγή εικόνων:

Facebook: Si y solo si math

"Φονικό στη Μεγάλη Εκκλησία" του Τεύκρου Μιχαηλίδη

 

Κωνσταντινούπολη, 27 Δεκεμβρίου 537, ημέρα των εγκαινίων της Μεγάλης Εκκλησίας. Ο Ιωάννης, στενός συνεργάτης των αρχιτεκτόνων της, βρίσκεται δολοφονημένος. Όλες οι ενδείξεις οδηγούν στη Θεανώ, πρώην σπουδάστρια στην Ακαδημία του Πλάτωνος και στενή φίλη του θύματος. Ο Ευτόκιος ο Ασκαλωνίτης, ένας άνθρωπος που έχει αφιερώσει τη ζωή του στη συγκέντρωση και διάσωση των έργων του Αρχιμήδη, αναλαμβάνει να εξιχνιάσει την υπόθεση: είναι πράγματι ένοχη η νεαρή μαθηματικός, ή μήπως έχει πέσει θύμα μιας καλοστημένης συνωμοσίας;

Το βιβλίο του Τεύκρου Μιχαηλίδη από τις εκδόσεις "Πόλις"

Ιστορικά πρόσωπα, όπως η Θεοδώρα και ο Ιουστινιανός, αλλά και μυθοπλαστικοί ήρωες συναντιούνται και αλληλεπιδρούν σε αυτό το μοναδικό μυθιστόρημα για να ζωντανέψουν το κλίμα της μετάβασης από την 'Υστερη Αρχαιότητα στον πρώτο βυζαντινό χρυσό αιώνα. Η αρχαία φιλοσοφία πεθαίνει, κληροδοτώντας όμως στον καινούργιο κόσμο την κατακτημένη σοφία της: τη γεωμετρία και τη μηχανική της. Χωρίς αυτές, θαύματα όπως ο Ναός της Αγίας του Θεού Σοφίας δεν θα έπαιρναν ποτέ σάρκα και οστά. Στο προσκήνιο αυτής της ιδιόμορφης σύγκρουσης, ο μύθος εκτυλίσσεται μέσα από σκάνδαλα, καταχρήσεις, μισαλλοδοξία και, κυρίως, μέσα από την αιώνια πάλη για εξουσία. 

Το προτείνω ανεπιφύλακτα για λάτρεις -και μη- των Μαθηματικών!

"Όλοι όσοι εξάγουν συμπεράσματα δια του αδυνάτου, οδηγούνται μέσω συλλογισμών σ' ένα λανθασμένο συμπέρασμα και έτσι αποδεικνύουν την αρχική υπόθεση, καταλήγοντας σε κάτι ψευδές έχοντας υποθέσει το αντίθετο".

(Αριστοτέλης - Απόσπασμα από το βιβλίο)

Η έλλειψη μαθηματικής εκπαίδευσης επηρεάζει αρνητικά τον εφηβικό εγκέφαλο

 

Η έλλειψη μαθηματικής εκπαίδευσης και σχετικών δεξιοτήτων στην εφηβική ηλικία μπορεί να αποβεί επιζήμια για τον εγκέφαλο και τη γνωστική ανάπτυξη των εφήβων, σύμφωνα με βρετανική έρευνα.

Οι έφηβοι που έχουν σταματήσει να μελετούν μαθηματικά εμφανίζουν μειονέκτημα σε σχέση με τους συνομηλίκους τους που συνεχίζουν και μετά τα 16 να ασχολούνται με τα μαθηματικά, σύμφωνα με μία νέα βρετανική επιστημονική έρευνα. Η μελέτη δείχνει ότι η έλλειψη μαθηματικής εκπαίδευσης και σχετικών δεξιοτήτων στην εφηβική ηλικία μπορεί να αποβεί επιζήμια για τον εγκέφαλο και τη γνωστική ανάπτυξη των εφήβων.

Ο εγκέφαλος όσων δεν ασχολούνται πια με τα μαθηματικά εμφανίζει έλλειψη σε μία ζωτική χημική ουσία (το γ-αμινοβουτυρικό οξύ ή GABA), που παίζει ρόλο-κλειδί για την πλαστικότητα και την ανάπτυξη του εγκεφάλου, με αποτέλεσμα να επηρεάζεται αρνητικά η ικανότητα για μνήμη, μάθηση, λογικούς συλλογισμούς και επίλυση προβλημάτων.

Οι ερευνητές του Τμήματος Πειραματικής Ψυχολογίας του Πανεπιστημίου της Οξφόρδης, με επικεφαλής τον καθηγητή Γνωστικής Νευροεπιστήμης Ρόι Κοέν Καντός, οι οποίοι έκαναν τη σχετική δημοσίευση στο περιοδικό της Εθνικής Ακαδημίας Επιστημών των ΗΠΑ (PNAS), μελέτησαν 133 μαθητές ηλικίας 14 έως 18 ετών.

Σε αντίθεση με πολλές χώρες, η Βρετανία δίνει τη δυνατότητα στους 16χρονους μαθητές να αποφασίσουν να σταματήσουν τελείως τη μαθηματική εκπαίδευσή τους. Έτσι είναι εφικτό να διαπιστωθεί κατά πόσο αυτό επιδρά στον εγκέφαλο και στις γνωστικές λειτουργίες του. Όπως διαπιστώθηκε, όσοι δεν έκαναν πια μαθηματικά είχαν αισθητά λιγότερο GABA στον εγκέφαλό τους, κάτι που δεν ίσχυε πριν πάρουν την απόφαση να τα σταματήσουν.

Ο Κοέν Καντός δήλωσε ότι «οι μαθηματικές δεξιότητες σχετίζονται με μία ευρεία γκάμα από οφέλη, όπως η απασχόληση, η κοινωνικοοικονομική κατάσταση, καθώς επίσης η σωματική και ψυχική υγεία. Η εφηβεία είναι μία σημαντική περίοδος της ζωής που σχετίζεται με σημαντικές εγκεφαλικές και γνωστικές μεταβολές. Δυστυχώς, η διακοπή της μελέτης των μαθηματικών σε αυτήν την ηλικία φαίνεται να οδηγεί σε μία υστέρηση των εφήβων που τα σταματούν, σε σχέση με όσους συνεχίζουν τη μελέτη των μαθηματικών».

«Δεν είναι -ακόμη- γνωστό πώς αυτή η υστέρηση ή οι επιπτώσεις της σε βάθος χρόνου μπορούν να αποτραπούν. Τα μαθηματικά δεν αρέσουν σε όλους, γι' αυτό χρειαζόμαστε εναλλακτικές λύσεις, όπως η εξάσκηση στη λογική και στη συλλογιστική, που ενεργοποιούν την ίδια περιοχή του εγκεφάλου με τα μαθηματικά», πρόσθεσε.

Οι ερευνητές τόνισαν, επίσης, πως δεδομένου ότι αρκετοί μαθητές είχαν περιορισμένη ή καθόλου πρόσβαση στην εκπαιδευτική διαδικασία και ειδικότερα στα μαθηματικά στη διάρκεια της πανδημίας Covid-19, αυτό μπορεί να αποδειχθεί πρόβλημα στο μέλλον. Στη μελέτη συμμετείχε και ο μεταδιδακτορικός ερευνητής Γιώργος Ζαφειρόπουλος, απόφοιτος του Πανεπιστημίου της Κύπρου.

Πηγή:
alfavita

Το αρχαιότερο δείγμα εφαρμοσμένης γεωμετρίας στον κόσμο!

 

Ο δρ Ντάνιελ Μάνσφιλντ από το Πανεπιστήμιο της Νέας Νότιας Ουαλίας στο Σίδνεϋ αποκάλυψε την προέλευση της εφαρμοσμένης γεωμετρίας σε μία πήλινη βαβυλωνιακή πλάκα ηλικίας περίπου 3.700 ετών. Η πλάκα, που χρονολογείται από την Παλαιο-Βαβυλωνιακή περίοδο (μεταξύ του 1900 και 1600 π.Χ.), είχε ανακαλυφθεί στο κεντρικό Ιράκ το 1894. Τα τελευταία χρόνια βρισκόταν στο Αρχαιολογικό Μουσείο της Κωνσταντινούπολης, χωρίς να έχει γίνει αντιληπτή η σημασία της για την ιστορία των μαθηματικών.

Credit: UNSW Sydney

Η πλάκα με την ονομασία Si.427, η οποία δημιουργήθηκε από Βαβυλώνιους «τοπογράφους», μελετήθηκε από τον Ντάνιελ Μάνσφιλντ, ο οποίος έκανε και τη σχετική δημοσίευση στο επιστημονικό περιοδικό «Foundations of Science». Σύμφωνα με τον ίδιο, «πρόκειται για το μοναδικό γνωστό παράδειγμα κτηματολογικού «εγγράφου» από την Παλαιο-Βαβυλωνιακή περίοδο του 1900-1600 π.Χ. και αφορά ένα σχέδιο που χρησιμοποιούσαν οι «τοπογράφοι» για να καθορίζουν τα χερσαία όρια. Στη συγκεκριμένη περίπτωση, περιέχει νομικές και γεωμετρικές λεπτομέρειες σχετικά με ένα κτήμα που χωρίστηκε μετά την πώληση ενός τμήματός του».

Θεωρείται σημαντικό ότι ο «τοπογράφος» χρησιμοποιεί τις πυθαγόρειες τριάδες για να δημιουργήσει ακριβείς ορθές γωνίες. «Η ανακάλυψη και η ανάλυση της πλάκας έχουν σημαντικές επιπτώσεις για την ιστορία των μαθηματικών. Για παράδειγμα, η πλάκα δημιουργήθηκε πάνω από 1000 χρόνια προτού γεννηθεί ο Πυθαγόρας», επισημαίνει ο Μάνσφιλντ.

 

Άλλη μία παγκόσμια πρωτιά

Το 2017, ο ίδιος μαθηματικός είχε εικάσει ότι μία άλλη πλάκα της ίδιας περιόδου, γνωστή ως «Πλίμπτον 322», αποτελεί μοναδικό δείγμα τριγωνομετρικού πίνακα. Όπως ανέφερε, «είναι γενικά αποδεκτό ότι η τριγωνομετρία -ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με τη μελέτη των τριγώνων- αναπτύχθηκε από τους αρχαίους Έλληνες που μελετούσαν τον νυχτερινό ουρανό κατά τον 2ο αιώνα π.Χ. Όμως οι Βαβυλώνιοι είχαν αναπτύξει τη δική τους εναλλακτική “πρωτο-τριγωνομετρία” για να λύνουν προβλήματα σχετικά με μετρήσεις επί του εδάφους και όχι στον ουρανό».

Credit: UNSW Sydney

 

Η αποκάλυψη του σκοπού της πλάκας: Τοπογραφία

Η πλάκα Si.427 θεωρείται ότι υπήρξε πριν και από την «Πλίμπτον 322». Το 2017, η ομάδα του Μάνσφιλντ είχε διατυπώσει την εικασία της σχετικά με το σκοπό της πλάκας «Πλίμπτον 322», υποθέτοντας ότι πιθανότατα είχε κάποια πρακτική χρήση όπως η κατασκευή παλατιών και ναών, δημιουργία καναλιών ή ο καθορισμός ορίων κτημάτων.

«Με τη νέα πλάκα μπορούμε, πράγματι, να δούμε για πρώτη φορά γιατί (οι Βαβυλώνιοι) ενδιαφέρονταν για τη γεωμετρία: Ήθελαν να χαράζουν ακριβή όρια στο έδαφος. Ήταν μία περίοδος που η γη άρχιζε να γίνεται ιδιωτική και οι άνθρωποι άρχισαν να σκέφτονται με όρους “η γη μου και η γη σου”. Ήθελαν, έτσι, να χαράζουν ξεκάθαρα όρια, προκειμένου να έχουν καλές σχέσεις με τους γείτονές τους. Ακριβώς αυτό αφορά και η εν λόγω πλάκα: Ένα χωράφι διαχωρίστηκε και νέα όρια χαράχτηκαν», σημείωσε ο Μάνσφιλντ.

Άλλες πλάκες, που έχουν ήδη βρεθεί από εκείνη την περίοδο στη Βαβυλώνα, αποκαλύπτουν όντως ότι υπήρχαν διαφωνίες σχετικά με τα σύνορα των κτημάτων και για το ποιος ήταν π.χ. ο ιδιοκτήτης πολύτιμων δέντρων όπως οι φοίνικες, που βρίσκονταν κοντά στο όριο των γειτνιαζόντων κτημάτων. Σε τέτοιες περιπτώσεις, επιθεωρητές-τοπογράφοι καλούνταν να διευθετήσουν τη διαφωνία και η εφαρμοσμένη γεωμετρία ήταν ένα πολύ χρήσιμο εργαλείο.

 

Κατασκευάζοντας ορθές γωνίες: Εύκολο να το πεις, δύσκολο να το κάνεις

Ένας απλός τρόπος να κατασκευάσεις μια ορθή γωνία με απόλυτη ακρίβεια, είναι να φτιάξεις ένα τρίγωνο με πλευρές 3, 4 και 5. Αυτοί οι ειδικοί αριθμοί αποτελούν την πυθαγόρεια τριάδα 3-4-5. Έχει χρησιμοποιηθεί από αρχαίους τοπογράφους και χτίστες και χρησιμοποιείται μέχρι σήμερα.

«Οι αρχαίοι τοπογράφοι που δημιούργησαν την πλάκα Si.427 έκαναν κάτι διαφορετικό: Χρησιμοποίησαν μια ποικιλία διαφορετικών πυθαγόρειων τριάδων και ως πλευρές ορθογωνίων τριγώνων και ως πλευρές και διαγώνιο ορθογωνίου, προκειμένου να κατασκευάζονται ορθές γωνίες με ακρίβεια», δηλώνει ο Μάνσφιλντ.

Ωστόσο, είναι δύσκολο να δουλέψεις με πρώτους αριθμούς μεγαλύτερους του 5 στο εξηκονταδικό σύστημα των Βαβυλωνίων.

 

Credit: UNSW Sydney

Τα άγνωστα –μέχρι τώρα- μυστικά του Si.427

Ο δρ Μάνσφιλντ ελπίζει να ανακαλύψει άλλες εφαρμογές της “πρωτο-τριγωνομετρίας” των Βαβυλωνίων. Στο πίσω μέρος της πλάκας, αναγράφεται ο εξηκονταδικός αριθμός 25:29, δηλαδή 25 εξηντάδες και 29 μονάδες (σκεφτείτε το σαν 25 λεπτά και 29 δευτερόλεπτα).

«Δεν μπορώ να βρω τι σημαίνουν αυτοί οι αριθμοί – είναι το απόλυτο αίνιγμα», αναφέρει ο δρ Μάνσφιλντ. «Είμαι πρόθυμος να το συζητήσω με ιστορικούς ή μαθηματικούς που μπορεί να έχουν μια ιδέα τι θέλουν να μας πουν οι αριθμοί αυτοί!»

Πηγή:

Phys.org

Διαβάστε επίσης σχετικά με την έρευνα του δρ Ντάνιελ Μάνσφιλντ:

• Foundations of Science | Plimpton 322: A study of rectangles 
• The conversation: How ancient Babylonian land surveyors developed a unique form of trigonometry - 1,000 years before the Greeks (Άρθρο του δρ Ντάνιελ Μάνσφιλντ)

Γρίφος: Τα... 1.023 πορτοκάλια

 

Henri Matisse (1869-1954) - "Basket with Oranges" (1913)

Ας υποθέσουμε ότι είσαι οπωροπώλης και έχεις 1.023 πορτοκάλια. Πρέπει να τα μοιράσεις σε 10 σακούλες με τέτοιο τρόπο, ώστε όσα πορτοκάλια και να σου ζητήσει ο πελάτης (από 1 μέχρι 1.023, φυσικά) να μπορείς να του δώσεις ορισμένες σακούλες από αυτές (μία, δύο κλπ. ή όλες) με συνολικά το πλήθος των πορτοκαλιών που ζητάει και χωρίς να χρειαστεί να μεταφέρεις κανένα πορτοκάλι από τη μια σακούλα στην άλλη. 

Πώς θα μοιράσεις τα 1.023 πορτοκάλια στις 10 σακούλες;

*Σημείωση*

Τον γρίφο αυτόν μου τον πρότεινε μια μαθήτρια της Α΄ Λυκείου.

Περί του αριθμού 1821

Καλό μήνα σε όλους!

1/8/21 σήμερα! Ή αλλιώς... 1821!

Το έτος της ελληνικής επανάστασης.

Δείτε όμως περισσότερες ιδιότητες του αριθμού της σημερινής ημερομηνίας, από τον εξαιρετικό συνάδελφο που μου έστειλε την παραπάνω εικόνα...

©Rushik Dharaiya Ka Pitaara 

Περί του αριθμού 31721 (η σημερινή ημερομηνία!)

 

31/7/21 σήμερα... 

Στην εικόνα μπορείτε να διαβάσετε τις ιδιότητες που "κρύβει" η σημερινή ημερομηνία, δηλαδή ο αριθμός 31721.

Πρόκειται για μια πραγματικά ενδιαφέρουσα και αξιόλογη δουλειά του συναδέλφου Rushik Dharaiya, τον οποίο ευχαριστώ θερμά! 

©Rushik Dharaiya Ka Pitaara

"Τα μαθηματικά είναι το αλφάβητο με το οποίο ο Θεός περιέγραψε το Σύμπαν".

Γαλιλαίος

Περί του αριθμού 30721 (η σημερινή ημερομηνία!)

30/7/21 σήμερα... 

Στην εικόνα μπορείτε να διαβάσετε τις αξιοσημείωτες ιδιότητες που "κρύβει" η σημερινή ημερομηνία, δηλαδή ο αριθμός 30721.

Πρόκειται για μια αξιόλογη δουλειά. 30721 ευχαριστώ στον εξαιρετικό συνάδελφο που δημιούργησε και μου έστειλε την εικόνα!

©Rushik Dharaiya Ka Pitaara 

Περί του αριθμού 29721 (η σημερινή ημερομηνία!)

29/7/21

Στην εικόνα μπορείτε να διαβάσετε τις ιδιότητες του αριθμού της σημερινής ημερομηνίας: 29721 

Πρόκειται για μια πραγματικά ενδιαφέρουσα και αξιόλογη δουλειά! 

©Rushik Dharaiya Ka Pitaara

"Πάντα κατ' αριθμόν γίνονται"

(Τα πάντα γίνονται κατά τους αριθμούς)

Πυθαγόρας

Περί του αριθμού 28721 (η σημερινή ημερομηνία!)

28/7/21

Στην εικόνα μπορείτε να διαβάσετε τις ιδιότητες του αριθμού της σημερινής ημερομηνίας: 28721

©Rushik Dharaiya Ka Pitaara 

Περί του αριθμού 27721 (η σημερινή ημερομηνία!)

 

27/7/21 σήμερα...

Στην εικόνα βλέπουμε τις ιδιότητες που "κρύβονται" στη σημερινή ημερομηνία, δηλαδή κάποιες ενδιαφέρουσες ιδιότητες του αριθμού: 29721 

Πρόκειται για μια πραγματικά αξιόλογη δουλειά του συναδέλφου Rushik Dharaiya, τον οποίο ευχαριστώ θερμά! 

©Rushik Dharaiya Ka Pitaara

"Η μαθηματική γλώσσα, εκτός του ότι είναι η μοναδική γλώσσα που μπορούμε να μιλήσουμε, είναι στην πραγματικότητα η σωστή γλώσσα".

E.P. Wigner

Περί του αριθμού 26721 (η σημερινή ημερομηνία!)

 

26/7/21 σήμερα!

Στην εικόνα μπορείτε να διαβάσετε τις αξιοσημείωτες ιδιότητες που "κρύβει" ο αριθμός της σημερινής ημερομηνίας: 26721... 

©Rushik Dharaiya Ka Pitaara

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Η Σάλπιγγα του Γαβριήλ & ένα παράδοξο!

 

Γλυπτό όπου απεικονίζεται ο Αρχάγγελος Γαβριήλ φυσώντας τη σάλπιγγά του για να αναγγείλει την Ημέρα της Κρίσης

Η Σάλπιγγα (ή κέρας) του Γαβριήλ που απεικονίζεται στο παραπάνω γλυπτό έδωσε (δικαιολογημένα) το όνομά της σε μια επιφάνεια, με την οποία ασχολήθηκε διεξοδικά ο Evangelista Torricelli (1608-1647), μαθητής του Γαλιλαίου, προσπαθώντας να λύσει ένα παράδοξο. Η λέξη "παράδοξο" σημαίνει ότι αν επιχειρήσουμε να χρησιμοποιήσουμε τη διαίσθησή μας για να το ερμηνεύσουμε, αυτό φαίνεται παράλογο. Στον φυσικό κόσμο ίσως και να είναι όντως αδύνατο να συμβεί. Όμως, μαθηματικά, όλα είναι σωστά! Και δεν μπορείς να φέρεις αντίρρηση στα μαθηματικά...

Lady Lindsay Blanche (1844-1912) - "Angel Playing a Flageolet"

Τα βιβλία γράφουν...

Η Σάλπιγγα του Γαβριήλ (Gabriel's horn, ή Torricelli's trumpet) είναι μια επιφάνεια εκ περιστροφής που προκύπτει αν πάρουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης  \(y=\frac{1}{x} \), με \( x \geq 1\) και την περιστρέψουμε στις τρεις διαστάσεις γύρω από τον άξονα των \(x\).

Περισσότερα γύρω από τις επιφάνειες εκ περιστροφής, μπορείτε να διαβάσετε εδώ...

Russell Kightley (σύγχρονος επιστημονικός γραφίστας) - "Gabriel's Horn"

Για τη συγκεκριμένη επιφάνεια, ο Torricelli παρατήρησε το 1641 το εξής παράδοξο, γνωστό πλέον και ως το παράδοξο του ελαιοχρωματιστή:

• Αρχικά υπολόγισε τον όγκο που περιέχεται από την επιφάνεια της σάλπιγγας του Γαβριήλ. Ουσιαστικά, για να βρούμε τον όγκο που περιέχεται από την επιφάνεια εκ περιστροφής, αρκεί να προσθέσουμε τα εμβαδά όλων των κύκλων της επιφάνειας. Δεδομένου ότι το εμβαδόν ενός κύκλου με ακτίνα \(r\) είναι \(A=\pi r^2\) και η ακτίνα \(r\) στη θέση \(x\) ισούται με \( r=y=\frac{1}{x} \), προκύπτει ότι 

Επομένως ο όγκος της σάλπιγγας του Γαβριήλ βρίσκεται αν υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα

Δηλαδή ο όγκος που περικλείεται από τη σάλπιγγα του Γαβριήλ είναι \( \pi\) κυβικές μονάδες.

• Μετά τον υπολογισμό του όγκου, ο Torricelli θέλησε να βρει και το εμβαδόν της επιφάνειας εκ περιστροφής. Δεδομένου ότι η περίμετρος ενός κύκλου με ακτίνα \(r\) είναι \(L=2 \pi r\) και η ακτίνα \(r\) στη θέση \(x\) ισούται με \( r=y=\frac{1}{x} \), προκύπτει τελικά το επιφανειακό ολοκλήρωμα 

Δηλαδή το εμβαδόν της επιφάνειας είναι άπειρο! Με άλλα λόγια, έχουμε περιστρέψει μια άπειρη περιοχή γύρω από μια ευθεία και πήραμε έναν πεπερασμένο όγκο! Το παράδοξο του ελαιοχρωματιστή, λοιπόν, μας λέει ότι μπορούμε να γεμίσουμε τη σάλπιγγα του Γαβριήλ με \( \pi \simeq 3,14\) κυβικές μονάδες χρώματος, αλλά δεν υπάρχει αρκετή μπογιά στον κόσμο για να χρωματίσουμε το εξωτερικό της!

Να σημειώσουμε ότι ο Evangelista Torricelli δεν έκανε τους υπολογισμούς του με τη χρήση ολοκληρωμάτων, αφού ο ολοκληρωτικός λογισμός δεν είχε ακόμη επινοηθεί. Στην πραγματικότητα, χρησιμοποίησε μια τεχνική που ονομάζεται μέθοδος του Cavalieri. Αλλά δεν μπορούσε να βγάλει άκρη! Πώς είναι δυνατόν μια επιφάνεια με άπειρο εμβαδόν να περικλείει έναν πεπερασμένο όγκο;

"Gabriel's Horn"

Πού οφείλεται λοιπόν το παράδοξο αυτό; Έχετε στο νου σας ότι εδώ κάνουμε Μαθηματικά, όχι Φυσική ή άλλες επιστήμες που επιχειρούν να εξηγήσουν το σύμπαν... Η απάντηση είναι πως δεν είναι έγκυρο να υποθέσουμε ότι μπορούμε να εκτελέσουμε διαδικασίες μόνο και μόνο επειδή αυτές συσχετίζονται με πεπερασμένα μεγέθη. H σάλπιγγα του Γαβριήλ είναι μια άπειρη επιφάνεια. Έτσι, είναι δεκτό ότι δεν μπορούμε να βάψουμε την επιφάνεια αυτή, επειδή δεν έχουμε άπειρη μπογιά. Όμως είναι λάθος να συμπεράνουμε ότι μπορούμε να γεμίσουμε το εσωτερικό της, απλώς επειδή υπάρχει η συνολική ποσότητα χρώματος που απαιτείται. Η διαδικασία γεμίσματος δεν θα μπορούσε να γίνει σε πεπερασμένο χρόνο, αφού πρόκειται για μια άπειρη επιφάνεια, δηλαδή δεν έχει τέλος...

Πηγές:

Mathemania: Gabriel's Horn

Russell Kightley

Sarah Colegrave Fine Art

That's Maths: Torricelli's Trumpet & The Painter's Paradox

Wikipedia | Gabriel's Horn

YouTube | Gabriel's Horn Paradox - Numberphile

YouTube | Gabriel's Horn (extra) - Numberphile