Καλώς ήρθατε! Μην περιμένετε να βρείτε φυλλάδια με ασκήσεις μαθηματικών εδώ... Σκοπός του blog "εις το άπειρον" είναι να προσεγγίσει τη μαθηματική γνώση ελεύθερα και με διασκεδαστικό τρόπο, χωρίς τα όρια των σχολικών τάξεων.
Σας αρέσει ο τζόγος; Με τα "Πανταζάρια-6" θα τρελάνετε τον συμπαίκτη σας...
Τα "Πανταζάρια-6" από το Μουσείο Γρίφων Μεγίστης
Τα "Πανταζάρια-6" είναι ιδιαίτερα. Πρόκειται για μη μεταβατικά ζάρια, μια εφαρμογή της Θεωρίας Πιθανοτήτων. Τα μη μεταβατικά ζάρια είναι γνωστά στο χώρο των ψυχαγωγικών μαθηματικών για το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό τους, ότι δεν είναι "δίκαια"... Χρησιμοποιήθηκαν για πρώτη φορά από τον Μπράντλεϋ Έφρον (1970) με τέσσερα ζάρια, ενώ πρόσφατα ακολούθησαν άλλες εκδόσεις με διαφορετικό αριθμό ζαριών. Περιέργως, κάνεις δεν χρησιμοποίησε έξι ζάρια που είναι πιο αποτελεσματικά και τα οποία, σε μια ριξιά, δίνουν μέσο όρο πιθανότητας νίκης πάνω από 74%. Έτσι, τα δημιούργησε ο κ. Πανταζής Χούλης στο Μουσείο Γρίφων Μεγίστης...
Στο παρακάτω βίντεο εξηγείται η ιδέα των μη μεταβατικών ζαριών:
Ετοιμαστείτε να ανακαλύψετε τα μυστικά της μαθηματικής σκέψης και να
μάθετε την ιστορία των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών στο Κέντρο Πολιτισμού
«Ελληνικός Κόσμος»!
Διαδραστικές και ψηφιακές εφαρμογές, εκθέματα Εικονικής Πραγματικότητας,
κείμενα, εντυπωσιακές προβολές και κατασκευές συνθέτουν μία μοναδική έκθεση, με
την αξιοποίηση της σύγχρονης τεχνολογίας.
Πρόκειται για μια
εντυπωσιακή έκθεση στο Κέντρο
Πολιτισμού «Ελληνικός Κόσμος» που αφορά την ιστορία των μαθηματικών
και την ανάπτυξη της μαθηματικής σκέψης στον αρχαίο ελληνικό κόσμο, την επιρροή
τους σε άλλες επιστήμες και τέχνες, όπως την αστρονομία, τη μαθηματική
γεωγραφία και τη μουσική. Αναφέρεται στα πιο σημαντικά «επεισόδια» και πρόσωπα
της ιστορίας των ελληνικών μαθηματικών, όπως ο Θαλής, ο Ευκλείδης και ο
Πυθαγόρας.
Ο διπλασιασμός του τετραγώνου
Μέσα από μια σειρά
διαδραστικών δραστηριοτήτων, οι επισκέπτες έρχονται σε επαφή με τα αριθμητικά
συστήματα των Αιγυπτίων και των Βαβυλωνίων. Εξοικειώνονται με το θεώρημα του
Θαλή, τους τρίγωνους και τετράγωνους αριθμούς των Πυθαγορείων, το Πυθαγόρειο
θεώρημα και την έννοια της μαθηματικής απόδειξης. Χάρη στον εκπαιδευτικό και
ψυχαγωγικό χαρακτήρα της έκθεσης, οι επισκέπτες ανακαλύπτουν πώς τα μαθηματικά
μπορούν να γίνουν ενδιαφέροντα, ευχάριστα και κατανοητά.
…γράψουμε αριθμούς
με βάση τα ιερογλυφικά σύμβολα των αρχαίων Αιγυπτίων και τη σφηνοειδή γραφή των
Βαβυλώνιων.
…προσπαθήσουμε να
μοιράσουμε ακριβώς 6 καρβέλια ψωμί σε 10 άνδρες και θα γνωρίσουμε τον τρόπο με
τον οποίο οι αρχαίοι Αιγύπτιοι το κατάφεραν, όπως παρουσιάζεται στον πάπυρο
Rhind, το εκτενέστερο και ένα από τα πιο γνωστά κείμενα των αιγυπτιακών
μαθηματικών.
…αναζητήσουμε γύρω
μας σχήματα, όπως έκανε ο Θαλής και οι Ίωνες φιλόσοφοι και θα τα σχηματίσουμε
στην άμμο με ραβδί.
…μάθουμε πώς
υπολόγισε ο Θαλής το ύψος της πυραμίδας του Χέοπα, μόνο με ένα σχοινί και με
την παρατηρητικότητά του...
…γνωρίσουμε τον
Πυθαγόρα, τον άνθρωπο που έβλεπε παντού αριθμούς και θα πειραματιστούμε με τη
μουσική κλίμακα στο μονόχορδό του.
…αναρωτηθούμε για
το εάν υπάρχει τελικά σε όλα λύση, με κανόνα και διαβήτη και θα γνωρίσουμε τα
τρία άλυτα προβλήματα της αρχαιότητας.
…μάθουμε πώς το
λουτρό ενός πανεπιστήμονα μαθηματικού της αρχαιότητας έγινε αφορμή για έναν
θεμελιώδη νόμο της υδροστατικής και πώς έγινε διάσημη η λέξη «Εύρηκα».
…δούμε πώς ο
Ερατοσθένης κατάφερε με ελάχιστα μέσα να υπολογίσει με μεγάλη ακρίβεια την
περιφέρεια της Γης.
…πειραματιστούμε με
τον άβακα, το εργαλείο με το οποίο έκαναν υπολογισμούς και πράξεις οι αρχαίοι.
…αναρωτηθούμε από
πού αντλούμε τις γνώσεις μας για τα αρχαία ελληνικά μαθηματικά.
…λύσουμε ένα
πρόβλημα πρακτικής αριθμητικής του 15ου αιώνα, στο οποίο θα βοηθήσουμε μια
κυρία να βρει πόσα ήταν τα αυγά που κρατούσε πριν σπάσουν.
Επιλύοντας ένα πρόβλημα πρακτικής αριθμητικής του 15ου αιώνα
Ψηφιακές εφαρμογές συνυπάρχουν με φυσικά διαδραστικά εκθέματα, όπως
κατασκευές και προσφέρουν στον επισκέπτη μια μοναδική «ζωντανή» περιήγηση στον
κόσμο των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών. Τα παιδιά μαθαίνουν παίζοντας και οι
ενήλικοι μαγεύονται από τη γοητεία της μαθηματικής επιστήμης.
Για πρώτη φορά, στην έκθεση θα βιώσετε μοναδικές εμπειρίες Εικονικής
Πραγματικότητας χάρη στα προηγμένα προγράμματα του «Ελληνικού Κόσμου», της «Κιβωτού»,
το πρώτο σύστημα εικονικής πραγματικότητας στην Ελλάδα ή του «Εικονικού Κινηματογράφου».
Η έκθεση αρχικά είχε παρουσιαστεί στο Κέντρο Πολιτισμού "Ελληνικός Κόσμος" από το 2003 μέχρι το 2013. Έπειτα φιλοξενήθηκε στο χώρο της Δ.Ε.Θ. από το Σεπτέμβριο του 2022 μέχρι τον Μάρτιο του 2023 (την είχαμε παρουσιάσει τότε στο "εις το άπειρον" εδώ). Η νέα εμπλουτισμένη έκθεση, την οποία έχει επιμεληθεί η ομάδα του
Ιδρύματος Μείζονος Ελληνισμού, αποτελεί συνέχεια της έκθεσης που είχε
πραγματοποιηθεί με μεγάλη επιτυχία στο Κέντρο Πολιτισμού «Ελληνικός Κόσμος» και
είχε συγκροτηθεί με τη φροντίδα των επιστημόνων του ΙΜΕ, καθώς και με την
ευγενική συμβολή της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας, ενώ η επιστημονική
επιμέλεια της έκθεσης έφερε την υπογραφή του ειδικού της Ιστορίας των
Μαθηματικών, καθηγητή Γιάννη Χριστιανίδη. Τη μουσειολογική μελέτη είχαν εκπονήσει
η Αλεξάνδρα Νικηφορίδου, η Ανδρομάχη Γκαζή και η Θεανώ Μουσούρη, ενώ τη
μουσειογραφική μελέτη είχε επιμεληθεί ο Σταμάτης Ζάννος.
🗓Έναρξη έκθεσης: 16 Νοεμβρίου 2024
📍Τοποθεσία: Κέντρο Πολιτισμού "Ελληνικός Κόσμος", Πειραιώς 254, Ταύρος
Παλινδρομικοί
ή παλίνδρομοι αριθμοί είναι αυτοί που διαβάζονται το ίδιο είτε ευθέως είτε
αντίστροφα. Για παράδειγμα, οι αριθμοί 11, 363, 5225, 13931, 1234321, 20300302
είναι παλινδρομικοί. Τους παλινδρομικούς αριθμούς τους συναντάμε συχνά στα
ψυχαγωγικά μαθηματικά, με εφαρμογές στα μαγικά τετράγωνα, τους κύβους του
Ρούμπικ και σε σκακιστικά προβλήματα.
Κατασκευή παλινδρομικών αριθμών
Πώς
μπορούμε να κατασκευάσουμε τέτοιους αριθμούς; Ας επιλέξουμε έναν τυχαίο αριθμό,
για παράδειγμα το 83. Αντιστρέφουμε τη σειρά των ψηφίων, δηλαδή παίρνουμε το 38
και τον προσθέτουμε στον αρχικό μας αριθμό. Προκύπτει έτσι: 83+38=121, έχουμε δηλαδή
έναν παλινδρομικό αριθμό.
Επιλέγουμε
έναν άλλο τυχαίο αριθμό, για παράδειγμα το 67. Αντιστρέφουμε τη σειρά των
ψηφίων του, δηλαδή παίρνουμε το 76 και τον προσθέτουμε στον αρχικό μας αριθμό.
Έχουμε δηλαδή 67+76=143, που όμως δεν είναι παλινδρομικός. Τότε επαναλαμβάνουμε
την ίδια διαδικασία κι έχουμε 143+341=484. Προέκυψε, δηλαδή, ένας παλινδρομικός
αριθμός.
Η
ιδιότητα αυτή που έχουν οι αριθμοί, να καταλήγουν σε παλινδρομικούς μετά από
μερικές προσθέσεις με τον αντεστραμμένο εαυτό τους φαίνεται να ισχύει για
όλους... Υπάρχουν όμως μερικοί αριθμοί για τους οποίους ακόμα δεν έχουμε
καταλήξει σε παλίνδρομο παράγωγό τους. Ο μικρότερος από αυτούς, είναι το 196.
Κατόπιν πολλών πράξεων, φτάσαμε σε αριθμό με 263.000.000 ψηφία, ο οποίος όμως
συνέχιζε να μην είναι παλινδρομικός! Για αριθμούς μικρότερους του 10.000
απαιτούνται το πολύ 24 προσθέσεις και το ρεκόρ αυτό κατέχει ο αριθμός 89.
💥Μπορείτε να υπολογίσετε πόσοι είναι οι τετραψήφιοι παλινδρομικοί αριθμοί;
Ο πρώτος αριθμός της… κολάσεως
Ο Clifford A. Pickover,
διάσημος Αμερικανός συγγραφέας και αρθρογράφος, ερευνητής της IBM για πολλά χρόνια,
έχει ασχοληθεί ιδιαίτερα με τους αριθμούς και την γοητεία που ασκούν στους
ανθρώπους. Έχει συγγράψει δεκάδες βιβλία με ποικίλα θέματα, από τα
μαθηματικά, τη φυσική, τους υπολογιστές και την ιατρική, μέχρι τις τέχνες, τους γρίφους και το θάνατο. Στόχος των
βιβλίων του, που έχουν μεταφραστεί σε δεκάδες γλώσσες, είναι, όπως λέει ο
ίδιος, η έκθεση σε ένα ευρύ κοινό των θαυμάτων της επιστήμης και των
μαθηματικών, χρησιμοποιώντας όμως «παιχνιδιάρικες» έννοιες που θα τραβήξουν το
ενδιαφέρον του κόσμου.
Ο ίδιος «βάφτισε» και έναν παλινδρομικό πρώτο αριθμό, τον 1.000.000.000.000.066.600.000.000.000.001 (), ο
οποίος ανακαλύφθηκε από τον μαθηματικό Harvey Dubner, γνωστό για την συμβολή
του στην πολύ δύσκολη διαδικασία εύρεσης μεγάλων πρώτων αριθμών. Ο
συγκεκριμένος αυτός αριθμός έχει πολλές ιδιότητες και ως πρώτος, αλλά και ως
παλινδρομικός. Αυτό, όμως, που κέντρισε το ενδιαφέρον στον Pickover είναι ότι
έχει 13 μηδενικά αριστερά και 13 δεξιά του 666. Επιπλέον, το πλήθος των ψηφίων του είναι 31 (ο αριθμός 13 αντεστραμμένος).
Τον ονόμασε πρώτο αριθμό του Βηλφεγώρ(Belphegor's prime), ενός από τους επτά πρίγκιπες της κόλασης, ο οποίος δελεάζει τους
θνητούς με το δώρο της ανακάλυψης και των εφευρέσεων. Προειδοποίησε τον κόσμο ότι ο αριθμός αυτός
είναι απειλητικός και πως δεν πρέπει να τον κοιτάζουμε για πολλή ώρα, αλλά φυσικά
στο τέλος εξηγεί ότι αυτά που γράφει δεν πρέπει να λαμβάνονται και πολύ στα
σοβαρά!
Ο συμβολισμός του πρώτου αριθμού του Βηλφεγώρ με τον αριθμό π, ανάποδα!
Ο Pickover ήταν εκείνος που όρισε και τους βαμπιρικούς αριθμούς, για τους οποίους είχαμε μιλήσει (σε παλιότερο Halloween) εδώ…
"Κακοί" πρώτοι
αριθμοί
Ο πρώτος αριθμός του Βηλφεγώρ
ανήκει και στην κατηγορία των "κακών" πρώτων αριθμών, δηλαδή των πρώτων
αριθμών που περιέχουν το 666 στα ψηφία τους. Στο παρακάτω βίντεο από το κανάλι
Numberphile, παρουσιάζονται πολλοί από αυτούς τους... σατανικούς αριθμούς!
Σας έχουν απαγάγει, είστε δεμένοι σε μια καρέκλα και ο απαγωγέας σας αναγκάζει να παίξετε ρώσικη ρουλέτα. Παίρνει ένα περίστροφο, ανοίγει τον κύλινδρο και σας δείχνει τις έξι άδειες θαλάμες του κυλίνδρου του πιστολιού. Βάζει δύο σφαίρες σε δύο θαλάμες στο περίστροφο. Κλείνει το όπλο και περιστρέφει τον κύλινδρο. Σας βάζει το όπλο στο κεφάλι και πατάει τη σκανδάλη. Ακούτε μόνο το κλικ και καταλαβαίνετε ότι σταθήκατε πολύ τυχερός. "Θα πυροβολήσω ξανά", λέει, "θα ήθελες να τραβήξω τη σκανδάλη τώρα, ή προτιμάς να γυρίσω πρώτα τον κύλινδρο του περιστρόφου";
Ποια είναι η καλύτερη επιλογή επιβίωσης:
1. αν ξέρετε ότι οι σφαίρες βρίσκονταν σε διαδοχικές θαλάμες;
2. αν ξέρετε ότι οι σφαίρες δεν βρίσκονταν σε διαδοχικές θαλάμες;
📚Πηγή γρίφου: Θανάσης Δρούγας: "Πώς να επιβιώνετε σε ερημονήσια και... άλλοι μαθηματικοί γρίφοι". Bookstars, 2024.
Το origami είναι η τέχνη του διπλώματος χαρτιού, αλλά μέχρι πόσες φορές μπορείς να διπλώσεις ένα χαρτί στη μέση; (Image credit: Aliaksandr Barysenka / EyeEm via Getty Images)
Μια κόλλα χαρτί, σαν τις φωτοτυπίες που δίνω στους μαθητές μου, μπορεί να διπλωθεί στη μέση οριακά μέχρι και 7 φορές. Μπορείτε να το διαπιστώσετε εύκολα και μόνοι σας, διπλώνοντας μια κόλλα Α4. Είναι αδύνατο να διπλωθεί το χαρτί πάνω από 7 φορές! Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι με κάθε δίπλωση, το πάχος του χαρτιού διπλασιάζεται. Αυτού του είδους η αύξηση που γίνεται στο πάχος του χαρτιού λέγεται εκθετική αύξηση.
Πόσες φορές πιστεύετε ότι θα χρειαστεί να διπλώσετε ένα τέτοιο χαρτί (οσοδήποτε μεγάλο) ώστε το χαρτί αυτό διπλωμένο να έχει πάχος όσο η απόσταση της Γης από τη Σελήνη;
Η απάντηση είναι παράδοξη και αντιβαίνει στη λογική μας: είναι μόλις... 39 φορές! Αλλά οι αριθμοί λένε την αλήθεια.
Σκεφτείτε ότι αν μπορούσατε να διπλώσετε ένα χαρτί πάχους 0,8 χιλιοστών 17 φορές, το χαρτί αυτό διπλωμένο θα είχε πάχος μέτρα, δηλαδή θα έφτανε το ύψος ενός ουρανοξύστη.
Με 20 αναδιπλώσεις έχουμε πάχος 838,86 μέτρα.
Με 30 αναδιπλώσεις έχουμε πάχος σχεδόν 100 χιλιόμετρα και φτάνουμε στη θερμόσφαιρα.
Με 39 αναδιπλώσεις έχουμε πάχος περίπου 439.804, ξεπερνώντας τη Σελήνη.
Με 48 αναδιπλώσεις, θεωρητικά πάντα, φτάνουμε στον Ήλιο!
Αν είμαστε αρκετά εργατικοί και... μερακλήδες και διπλώσουμε το χαρτί 85 φορές, έχουμε φτάσει στο γαλαξία της Ανδρομέδας, που απέχει από τη Γη περίπου 2,5 εκατομμύρια έτη φωτός!
Δείτε στο παρακάτω βίντεο από το κανάλι TED-Ed, ότι διπλώνοντας ένα ιδιαίτερα λεπτό χαρτί, πάχους 0,01 χιλιοστών 40 φορές, φτάνουμε έναν δορυφόρο GPS. Αν το διπλώσουμε 45 φορές φτάνουμε στη Σελήνη, ενώ αν το διπλώσουμε άλλη μία φορά, επιστρέφουμε πίσω στη Γη...
Ας είμαστε, όμως, ρεαλιστές. Δεν έχουμε τόσο πολύ χαρτί για να διπλώσουμε. Το 2002, λοιπόν, μια μαθήτρια Λυκείου από την Καλιφόρνια, η Britney Gallivan, θέλησε να διπλώσει ένα χαρτί πάνω από 7 φορές, καταρρίπτοντας το "μύθο". Το κατάφερε, διπλώνοντας χαρτί υγείας μήκους 1.200 μέτρων 12 φορές, πάντα προς την ίδια κατεύθυνση, κατακτώντας έτσι το ρεκόρ Guinness. Μάλιστα υπολόγισε τις διαστάσεις που πρέπει να έχει αρχικά το χαρτί, ώστε να μπορεί να διπλωθεί φορές. Σύμφωνα με την Gallivan, είναι:
όπου t το πάχος του χαρτιού, n το πλήθος των διπλώσεων, L το μήκος του χαρτιού και W το πλάτος του.
Το 2005, με το συγκεκριμένο ζήτημα ασχολήθηκε και η γνωστή εκπομπή Mythbusters, διπλώνοντας χαρτί επιφάνειας όσο ένα γήπεδο ποδοσφαίρου 11 φορές!
Το 2011, μια ομάδα μαθητών στο Southborough της Μασαχουσέτης, υπό την επίβλεψη του καθηγητή τους, Mark Tanton, δίπλωσαν χαρτί υγείας σχεδόν 4 χιλιομέτρων 13 φορές, σε έναν τεράστιο διάδρομο 250 μέτρων στο MIT. Στο διάδρομο αυτό, αφού δεν είχαν προβλήματα με ανέμους, τα κατάφεραν μετά από 4 περίπου ώρες. Αν και κατέρριψαν το προηγούμενο ρεκόρ, δεν έχουν καταγραφεί στο βιβλίο Guinness. Φαίνεται πως δεν ενθαρρύνεται η προσπάθεια κατάρριψης ρεκόρ διπλώματος χαρτιού για οικολογικούς λόγους!
Φέτος το "εις το άπειρον" επισκέφτηκε το Μουσείο Γρίφων Μεγίστης, που βρίσκεται στο πανέμορφο και ακριτικό Καστελλόριζο. Πρόκειται για το πρώτο και μοναδικό μουσείο γρίφων στην Ελλάδα και το τέταρτο σε όλο τον κόσμο. Με τον ιδρυτή του, κ. Πανταζή Χούλη, μαθηματικό και γριφολόγο, ζήσαμε μια όμορφη διαδραστική εμπειρία και σας προσφέρουμε μια ξενάγηση στον κόσμο των γρίφων.
Στην είσοδο μας περιμένει ένας καθρέφτης με οφθαλμαπάτες, προϊόντα 3D εκτύπωσης...
Όταν ο κ. Πανταζής Χούλης επισκεπτόταν την ιδιαίτερη πατρίδα του, το Καστελλόριζο, είχε πάντα στο πίσω μέρος του μυαλού του ότι κάποτε θα επιστρέψει στο νησί του για να ζήσει μόνιμα. Το Καστελλόριζο, λοιπόν, επέλεξε για να ιδρύσει το Μουσείο Γρίφων Μεγίστης το 2020 και έκτοτε να διοργανώνει εργαστήρια, μέσω των οποίων δίνει την ευκαιρία στα παιδιά να λύνουν γρίφους και να κατασκευάζουν τους δικούς τους. Καθηγητής του Πανεπιστημίου της Δυτικής Αυστραλίας έως και το 2012 και γνωστός στην κοινότητα των γρίφων με πολλές τιμητικές διακρίσεις, κατέχει μια εκτενή συλλογή από 4.000 γρίφους, 700 από τους οποίους είναι δικές του επινοήσεις και πρωτότυπα.
Ένα μικρό μέρος της συλλογής...
Ο κ. Χούλης μας εξηγεί ότι υπάρχουν πολλά είδη γρίφων:
✅Οι αναδιπλούμενοι γρίφοι, στους οποίους πρέπει να γίνει αναδίπλωση του σχήματος. Τέτοιοι είναι ο "Θρόνος των θεών" και ο "Φατσούλας", που συνδέεται με τη διεδρική ομάδα, με 8 στοιχεία.
Ο "Θρόνος των θεών" πριν και μετά την αναδίπλωση
Ο "Φατσούλας" και τα μαθηματικά που κρύβονται πίσω από τον γρίφο
✅Οι διασυνδεδεμένοι γρίφοι, όπου στόχος είναι να τους ανοίξουμε.
✅Οι λαβύρινθοι. Λέγεται ότι ο λαβύρινθος του Δαίδαλου θεωρείται ως το πρώτο escape room στην ανθρωπότητα.
✅Οι ακολουθιακοί γρίφοι, οι οποίοι θέλουν συγκεκριμένη ακολουθία κινήσεων για να επιλυθούν. Τέτοιοι είναι οι κύβοι Rubik, που σχετίζονται με τη Θεωρία Ομάδων και οι "Πυραμίδες μέσα στη Σφαίρα".
Οι συγκεκριμένοι κύβοι Ρούμπικ, επινοημένοι από τον Πανταζή Χούλη, παραμένουν αναλλοίωτοι με τις περιστροφές-μεταθέσεις.
Οι "Πυραμίδες μέσα στη Σφαίρα"
✅Οι ανοιγόμενοι γρίφοι, όπως το "Σπιτάκι του Καστελλόριζου", ή ο γρίφος που χρησιμοποιεί τη φυγόκεντρο για να ανοιχτεί.
Το "Σπιτάκι του Καστελλόριζου"
✅Το ανεξήγητο αντικείμενο, όπως το "Καραβάκι μέσα σε μπουκαλάκι".
✅Οι εκλιπόμενοι ή εξαφανιζόμενοι γρίφοι, όπως ο γρίφος με το κομμάτι σοκολάτας που λείπει.
...και τόσοι άλλοι...
Τρισδιάστατο Τέτρις
Το "Γριφοπούλι"
Τα "Πανταζάρια", ζάρια σχεδιασμένα έτσι, ώστε να κερδίζεις πάντα τον αντίπαλό σου, με βάση τη Θεωρία Πιθανοτήτων.
Η "κούπα του Πυθαγόρα". Θεωρείται εφεύρεση του Πυθαγόρα, ο οποίος ήθελε να διδάξει στους μαθητές του την αναγκαιότητα τήρησης του μέτρου στις ζωές τους. Αν γεμίσουμε την κούπα με κρασί (ή κάποιο άλλο υγρό) πάνω από το επιτρεπόμενο όριο, η κούπα θα αδειάσει εντελώς και δεν θα χυθεί μόνο η περιττή ποσοτητα! Η λειτουργία της κούπας του Πυθαγόρα βασίζεται στην αρχή των συγκοινωνούντων δοχείων και στην εξίσωση Bernoulli.
Ένας αναγραμματισμός της λέξης "ΚΑΣΤΕΛΛΟΡΙΖΟ" είναι το "ΖΕΣΤΟ ΚΟΡΑΛΛΙ".
🧮Θεσμός έχει γίνει πλέον το Φεστιβάλ Γρίφων, που διοργανώνεται από το Μουσείο Γρίφων. Στις 11-13 Οκτωβρίου 2024 θα διεξαχθεί το 4ο Φεστιβάλ Γρίφων στο Καστελλόριζο, όπου μεταξύ των προσκεκλημένων θα είναι και ο εφευρέτης του πασίγνωστου "Κύβου του Ρούμπικ", Έρνο Ρούμπικ.
Το
πρόβλημα των τεσσάρων χρωμάτων (four-color problem), είναι ένα "πολύχρωμο" πρόβλημα, που είναι πολύ εύκολο να
εξηγηθεί και να κατανοηθεί, αλλά η πολύπλοκη απόδειξή του, που συνάρπαζε και
απογοήτευε γενιές μαθηματικών, εξακολουθεί να προκαλεί τη μαθηματική κοινότητα, καθώς είναι το πρώτο θεώρημα στην ιστορία που αποδείχτηκε με χρήση ηλεκτρονικού υπολογιστή.
Σε αυτή την ανάρτηση θα μάθουμε περί τίνος πρόκειται...
Παράδειγμα χάρτη χρωματισμένου με τέσσερα χρώματα
Ένα από τα μεγάλα επεισόδια
στην ιστορία των μαθηματικών ξεκίνησε στις 23 Οκτωβρίου 1852. Σε μια επιστολή
του προς τον Sir William Rowan Hamilton, ο Augustus De Morgan έγραψε: «Ένας μαθητής μου ζήτησε σήμερα να του εξηγήσω ένα γεγονός που δεν ήξερα
ότι ήταν γεγονός -και δεν το ξέρω ακόμα».
Μέχρι σήμερα, αυτό το
"γεγονός" συνεχίζει να συναρπάζει και να προκαλεί τους μελετητές. Ο
φοιτητής ήταν ο Frederick Guthrie και το εν λόγω "γεγονός" προερχόταν
αρχικά από τον αδελφό του, Francis. Αφού εξέτασε έναν χάρτη των βρετανικών
κομητειών, αναρωτήθηκε αν ήταν πάντα δυνατό να χρωματιστεί ένας χάρτης
χρησιμοποιώντας 4 ή λιγότερα χρώματα, διασφαλίζοντας ταυτόχρονα ότι οι περιοχές
που έχουν κοινά σύνορα (περισσότερα από ένα γωνιακό σημείο) έχουν διαφορετικά
χρώματα.
Φαινόταν ότι αυτό θα έπρεπε να
είναι πάντα εφικτό. «Όσο
περισσότερο το σκέφτομαι τόσο πιο προφανές φαίνεται», έγραψε ο De
Morgan. Παρόλα αυτά, το πρόβλημα δεν ενθουσίασε τον Hamilton και οι προσπάθειες του De
Morgan να προσελκύσει το ενδιαφέρον άλλων ερευνητών απέτυχαν επίσης.
Σύμφωνα με το Θεώρημα των τεσσάρων χρωμάτων, απαιτούνται τέσσερα χρώματα για να χρωματίσετε τη Δυτική Βιρτζίνια, την Πενσυλβάνια, το Οχάιο, το Κεντάκι, τη Βιρτζίνια και το Μέριλαντ -τρία για τους γείτονες της Δυτικής Βιρτζίνια και ένα τέταρτο για την ίδια τη Δυτική Βιρτζίνια.
Το πρόβλημα έμεινε σε αδράνεια
μέχρι το 1878, όταν ο Arthur
Cayley ρώτησε τα μέλη της Μαθηματικής Εταιρείας του Λονδίνου αν
κάποιος είχε βρει μια απόδειξη. Αμέσως μετά, άρχισαν να εμφανίζονται
αποδείξεις. Η πρώτη, του δικηγόρου Alfred
Kempe το 1879, ήταν αυτή που αποδείχθηκε η πιο σημαντική. Η
απόδειξη ήταν πειστική και έγινε αποδεκτή ως σωστή για πάνω από μια δεκαετία.
Δυστυχώς, η απόδειξη του Kempe -όπως και όλες οι άλλες που θα εμφανίζονταν τον
επόμενο αιώνα- ήταν λανθασμένη. Ωστόσο, ήταν έξυπνη και περιείχε βασικές ιδέες
που θα εμφανίζονταν στην τελική απόδειξη.
Για να επικεντρωθούμε στις
πληροφορίες που έχουν σημασία, μπορούμε να κωδικοποιήσουμε αυτές τις σχέσεις
χρησιμοποιώντας ένα γράφημα, γνωστό και ως δίκτυο, όπου οι κουκκίδες (κορυφές)
συνδέονται με γραμμές (άκρες). Αντικαταστήστε κάθε περιοχή του χάρτη με μια
κορυφή και συνδέστε τις κορυφές γειτονικών περιοχών με μια άκρη. Αν αυτό
βοηθάει, μπορούμε να φανταστούμε ότι οι κορυφές είναι οι πρωτεύουσες και οι
άκρες είναι οι δρόμοι που τις ενώνουν.
Για να κατανοήσουμε πώς ο Kempe
και οι περισσότεροι μαθηματικοί έχουν δει αυτό το πρόβλημα, βοηθά να
αναγνωρίσουμε ότι ένας χάρτης περιέχει πολλές πληροφορίες άσχετες με το
πρόβλημα του χρωματισμού, όπως το σχήμα, το μέγεθος και την ακριβή θέση κάθε
περιοχής. Το μόνο που έχει σημασία είναι ποιες περιοχές έχουν κοινά σύνορα, αν
και απαιτούμε όλες οι περιοχές να συνδέονται μεταξύ τους -το Μίσιγκαν, με την
ξεχωριστή άνω χερσόνησο, δεν εμποδίζει στην πραγματικότητα τον χάρτη των ΗΠΑ να
είναι τετράχρωμος, αλλά θα μπορούσε, μαθηματικά.
Με αυτόν τον τρόπο, το πρόβλημα
χρωματισμού χαρτών μετατρέπεται σε πρόβλημα χρωματισμού γραφημάτων: Χρωματίστε
τις κορυφές έτσι ώστε οι γείτονες να έχουν διαφορετικό χρώμα. Ο ελάχιστος
αριθμός χρωμάτων ονομάζεται χρωματικός αριθμός του γραφήματος. Μπορούμε να
ρωτήσουμε για τον χρωματικό αριθμό οποιουδήποτε γραφήματος, αλλά τα γραφήματα
που προέρχονται από χάρτες έχουν ειδικές ιδιότητες. Αυτά τα γραφήματα είναι
απλά, δηλαδή δεν υπάρχουν ακμές που αρχίζουν και τελειώνουν στην ίδια κορυφή
(που ονομάζονται βρόχοι) και δύο κορυφές μπορούν να ενωθούν μόνο με μία άκρη.
Το γράφημα είναι επίσης επίπεδο, δηλαδή μπορεί να σχεδιαστεί έτσι ώστε να μην
διασταυρώνονται ακμές.
Ένα πρόβλημα χρωματισμού χαρτών
μπορεί να μετατραπεί σε πρόβλημα χρωματισμού γραφημάτων.
Μπορούμε τώρα να
επαναδιατυπώσουμε το πρόβλημα του Francis Guthrie: Αποδείξτε ότι ο χρωματικός
αριθμός κάθε απλού επίπεδου γραφήματος είναι το πολύ 4. Ακολουθεί ένα
περίγραμμα του επιχειρήματος του Kempe, που περιγράφεται με σύγχρονους όρους
χρησιμοποιώντας γραφήματα αντί για χάρτες. Ξεκίνησε παρατηρώντας ότι ένα
γράφημα με μία κορυφή -ίσως ο χάρτης να είναι ένα μοναχικό νησί- απαιτεί μόνο
ένα χρώμα. Στη συνέχεια χρησιμοποίησε ένα έξυπνο επιχείρημα για να χτίσει από
εκεί και πέρα προς τα πάνω, υποστηρίζοντας ότι είναι δυνατόν να χρησιμοποιηθούν
το πολύ τέσσερα χρώματα για να χρωματιστεί ένα γράφημα με δύο κορυφές, μετά
τρεις κορυφές και ούτω καθεξής. Ορίστε πώς: Ας υποθέσουμε ότι μπορούμε να
χρωματίσουμε όλα τα απλά επίπεδα γραφήματα με n κορυφές με το πολύ τέσσερα
χρώματα —αυτό είναι ασήμαντο για n μικρότερο από 5— και τότε μας δίνεται ένα
γράφημα με n+1 κορυφές. Πώς μπορούμε να δείξουμε ότι και αυτό θα χρωματίζεται
το πολύ με τέσσερα χρώματα;
Αρχικά, ο Kempe έδειξε, χρησιμοποιώντας
ένα προσεκτικό επιχείρημα καταμέτρησης, ότι κάθε απλό επίπεδο γράφημα έχει κάτι
κοινό: πρέπει να περιέχει τουλάχιστον μία κορυφή με το πολύ 5 γείτονες.
Λαμβάνοντας υπόψη όλες τις επιλογές, αυτό σημαίνει ότι κάθε πιθανό γράφημα που
βασίζεται σε έναν χάρτη περιέχει μία από έξι ειδικές διαμορφώσεις κορυφών.
Αν και περιγράφηκε χρησιμοποιώντας χάρτες και όχι γραφήματα, ο Alfred Kempe έδειξε ότι κάθε απλό επίπεδο γράφημα πρέπει να έχει μια κορυφή ενός από αυτούς τους τύπους.
Εάν αφαιρέσουμε αυτήν την
κορυφή και όλες τις άκρες που συνδέονται με αυτήν, αφήνουμε πίσω μας ένα
γράφημα με n κορυφές —το οποίο ήδη γνωρίζουμε ότι μπορεί να χρωματιστεί
χρησιμοποιώντας 4 χρώματα. Στην πραγματικότητα το κάνουμε ως το επόμενο βήμα.
Τώρα, κοιτάξτε τις κορυφές δίπλα στην κορυφή που αφαιρέσατε. Εάν εμφανίζουν 3 ή
λιγότερα χρώματα, μπορούμε να χρωματίσουμε την κορυφή που αφαιρέθηκε με ένα από
τα υπόλοιπα χρώματα και τελειώσαμε: Μόλις δείξαμε ότι το γράφημα με n+1 κορυφές
μπορεί να χρωματιστεί με 4 χρώματα. Και αν οι γειτονικές κορυφές περιλαμβάνουν
και τα 4 χρώματα, ο Kempe επινόησε μια έξυπνη μέθοδο επαναχρωματισμού ορισμένων
κορυφών για να ελευθερώσει ένα χρώμα για την κορυφή που αφαιρέθηκε, δείχνοντας
πάλι ότι το γράφημα με n+1 κορυφές χρειάζεται μόνο 4 χρώματα.
Το 1890, ο μαθηματικός Percy Heawood εντόπισε το λάθος
του Kempe. Υπήρχε μια ειδική περίπτωση στην οποία η έξυπνη μέθοδος του Kempe
απέτυχε. Ο Heawood παρατήρησε ότι, αν και η δική του εργασία φαινόταν " μάλλον
καταστροφική παρά εποικοδομητική", έδειξε ότι η τεχνική του Kempe μπορούσε
να αποδείξει ότι κάθε χάρτης μπορεί να χρωματιστεί με 5 ή λιγότερα χρώματα -
όχι όπως ακριβώς ο αρχικός στόχος, αλλά και πάλι εντυπωσιακός.
Ο Heawood διερεύνησε επίσης
χάρτες που σχεδιάστηκαν σε πιο περίπλοκες επιφάνειες. Απέδειξε ότι ένας χάρτης
σε ένα ντόνατ με g τρύπες μπορεί να χρειαστεί \( \frac{1}{2} \big( 7+\sqrt{1+48g} \big) \)
χρώματα (όπου αυτή η τιμή στρογγυλοποιείται στον πλησιέστερο ακέραιο).
Όμως, σύμφωνα με αυτό που είχε αρχίσει να γίνεται συνήθεια, η απόδειξή του για
τις γενικές επιφάνειες ήταν ελλιπής, και δεν είχαμε μια πλήρη απόδειξη μέχρι το
1968.
Για αυτόν τον χάρτη σε ένα
ντόνατ, που φαίνεται και από τις δύο πλευρές, κάθε μία από τις επτά περιοχές
συνορεύει με τις άλλες έξι περιοχές, οπότε απαιτούνται επτά χρώματα.
Αλλά ακόμη και όταν αποδείχθηκε
το θεώρημα του Heawood για γενικές επιφάνειες, το πρόβλημα των τεσσάρων
χρωμάτων παρέμεινε άλυτο. Χάρη σε δεκαετίες σκληρής δουλειάς, όμως, η απόδειξη
ήταν ορατή. Σε ένα συνέδριο το 1976, 124 χρόνια αφότου ο Guthrie έθεσε το
πρόβλημα, ο Wolfgang Haken ανακοίνωσε μια απόδειξη σε συνεργασία με τον Kenneth
Appel και με τη βοήθεια του μεταπτυχιακού φοιτητή John Koch. Οι αντιδράσεις
ήταν ανάμεικτες. "Περίμενα ότι το ακροατήριο θα ξεσπούσε σε ένα μεγάλο
χειροκρότημα", έγραψε ο Don Albers, ο οποίος ήταν παρών στην ομιλία.
"Αντίθετα, απάντησαν με ευγενικό χειροκρότημα!" Αυτό συνέβη επειδή η
ομάδα, αντί να παράγει ένα επιχείρημα με μολύβι και χαρτί, βασίστηκε σε μεγάλο
βαθμό σε έναν υπολογιστή.
Δεν έβαλαν μια μηχανή να
απαντήσει άμεσα στο ερώτημα, καθώς είναι δυνατά άπειρα επίπεδα γραφήματα και
ένας υπολογιστής δεν μπορεί να τα ελέγξει όλα. Ωστόσο, όπως ο Kempe απέδειξε
ότι κάθε γράφημα περιέχει μία από έξι ειδικές διαμορφώσεις κορυφών, οι Appel
και Haken έδειξαν ότι κάθε γράφημα πρέπει να έχει μία από 1.936 ειδικές
διαμορφώσεις. Η απόδειξη του θεωρήματος ισοδυναμεί με το να δείξουμε ότι
χρειαζόμαστε μόνο τέσσερα χρώματα για να χρωματίσουμε οποιοδήποτε γράφημα που
περιέχει αυτούς τους υπογράφους. Η διάσπαση των έξι ειδικών περιπτώσεων του Kempe
σε 1.936 υποπεριπτώσεις τους έδωσε πιο λεπτομερή έλεγχο και έκανε κάθε περίπτωση
ευκολότερο να ελεγχθεί -αν και ο συνολικός αριθμός ήταν πλέον πολύ μεγάλος για
να μπορέσει ένας άνθρωπος να τον ελέγξει χωρίς βοήθεια. Στην πραγματικότητα, η
ολοκλήρωση των υπολογισμών απαιτούσε πάνω από 1.000 ώρες εργασίας στον
υπολογιστή.
Η μαθηματική κοινότητα δέχτηκε
τα αποτελέσματα απρόθυμα, πιστεύοντας ότι μια απόδειξη πρέπει να είναι
κατανοητή και επαληθεύσιμη αποκλειστικά από τον άνθρωπο. Ενώ ήταν αποδεκτό οι
υπολογιστές να εκτελούν αριθμητικές πράξεις ρουτίνας, οι μαθηματικοί δεν ήταν
διατεθειμένοι να παραχωρήσουν τη λογική σκέψη σε μια υπολογιστική συσκευή.
Αυτός ο συντηρητισμός και η απροθυμία να αγκαλιάσουν τις εξελίξεις που
εξοικονομούν χρόνο δεν ήταν κάτι καινούργιο. Τον 17ο αιώνα, υπήρξε παρόμοια
κατακραυγή όταν ορισμένοι μαθηματικοί χρησιμοποίησαν νεόφερτες αλγεβρικές
τεχνικές για να λύσουν προβλήματα γεωμετρίας. Παρόμοιο δράμα μπορεί να
διαδραματιστεί και πάλι με την άνοδο της μηχανικής μάθησης: Θα δεχτούν οι
μαθηματικοί ένα θεώρημα που ανακαλύφθηκε και αποδείχθηκε από έναν αδιαφανή
αλγόριθμο;
Η απόδειξη του προβλήματος των
τεσσάρων χρωμάτων ήταν, φυσικά, μόνο η αρχή της επανάστασης των υπολογιστών στα
μαθηματικά. Το 1998 ο Thomas Hales χρησιμοποίησε έναν υπολογιστή για να
αποδείξει την περίφημη εικασία του Johannes Kepler ότι ο πιο αποτελεσματικός
τρόπος για να στοιβάζονται σφαίρες είναι αυτός που χρησιμοποιείται συνήθως για
να στοιβάζονται πορτοκάλια σε ένα παντοπωλείο. Και πρόσφατα οι υπολογιστές
βοήθησαν να βρεθεί ο "αριθμός του Θεού" - ο μέγιστος αριθμός στροφών
που απαιτούνται για να λυθεί ένας κύβος του Ρούμπικ (20 στροφές ή 26 αν οι
μισές στροφές μετράνε ως δύο). Αν και το πρόβλημα των τεσσάρων χρωμάτων για
τους χάρτες έχει διευθετηθεί, πολλά βασικά ερωτήματα σχετικά με το χρωματισμό
γραφημάτων παραμένουν αναπάντητα ή μόλις τώρα επιλύονται.
Η εργασία του Heawood με τις
επιφάνειες έδειξε ότι μπορούμε να θέσουμε ερωτήματα χρωματικότητας για μη
επίπεδα γραφήματα. Και στην πραγματικότητα, ο χρωματικός αριθμός ενός
συγκεκριμένου γραφήματος δεν εξαρτάται από την επιφάνεια στην οποία σχεδιάζεται
ο ισοδύναμος χάρτης. Για παράδειγμα, ένα γράφημα στον οποίο κάθε κορυφή
συνδέεται με κάθε άλλη κορυφή ονομάζεται πλήρες γράφημα και ο χρωματικός
αριθμός ενός πλήρους γραφήματος με n κορυφές είναι n. Έτσι, αν ένας μεγάλος
γράφος (γράφημα) περιέχει έναν πλήρη γράφο με n κορυφές, τότε γνωρίζουμε ότι ο
χρωματικός αριθμός του μεγάλου γραφήματος είναι τουλάχιστον n.
Ένα πλήρες γράφημα με n κορυφές
έχει χρωματικό αριθμό n.
Η παρατήρηση αυτή δεν
συνεπάγεται ότι αν ο χρωματικός αριθμός ενός γραφήματος είναι n, τότε περιέχει
ένα πλήρες γράφημα με n κορυφές. Αλλά το 1943, ο Hugo Hadwiger υπέθεσε κάτι
πολύ παρόμοιο. Πίστευε ότι αν ένα γράφημα χωρίς βρόχους έχει χρωματικό αριθμό
n, τότε έχει μια διάταξη κορυφών που ονομάζεται Kn, όπου η διαγραφή
ορισμένων κορυφών και ακμών και η ομαδοποίηση άλλων οδηγεί σε ένα πλήρες
γράφημα με n κορυφές. Αναδιατυπωμένη, αυτή η εικασία δηλώνει ότι αν ένα γράφημα
δεν έχει ένα δευτερεύον Kn, τότε μπορεί να χρωματιστεί με λιγότερα
από n χρώματα. Η εικασία του Hadwiger, ένα από τα σημαντικότερα ανοιχτά
προβλήματα στη θεωρία γραφημάτων, γενικεύει το θεώρημα των τεσσάρων χρωμάτων,
καθώς ένα επίπεδο γράφημα δεν μπορεί να περιέχει έναK5 minor.
Αν και ο χρωματισμός γραφημάτων
ξεκίνησε με ένα ερώτημα στη χαρτογραφία, προβλήματα που δεν έχουν καμία σχέση
με χάρτες ή χρώματα μπορούν επίσης να ενταχθούν στο πλαίσιο του χρωματισμού
γραφημάτων. Για παράδειγμα, το sudoku είναι ένα πρόβλημα χρωματισμού γραφήματος
μεταμφιεσμένο. Δείτε κάθε κελί ως κορυφή και τα εννέα ψηφία ως χρώματα. Κάθε
κορυφή έχει 20 ακμές που βγαίνουν από αυτήν -μία προς κάθε κελί στη σειρά, στη
στήλη και στο υποτετράγωνο 3x3.
Αυτός ο γράφος με 81 κορυφές και 810 ακμές ξεκινά με έναν μερικό χρωματισμό
(τις δεδομένες ενδείξεις). Το αντικείμενο του παιχνιδιού είναι να χρωματίσετε
τις υπόλοιπες κορυφές.
Το Sudoku μπορεί να θεωρηθεί ως
ένα πρόβλημα χρωματισμού γραφημάτων.
Παρ' όλη την προσοχή που έχουν
λάβει αυτά τα προβλήματα χρωματισμού, δεν έχουμε ακόμα μια απόδειξη του αρχικού
θεωρήματος των τεσσάρων χρωμάτων που να μπορεί να διαβάσει ένας άνθρωπος. Αυτό
δεν οφείλεται στην έλλειψη προσπάθειας. Ακόμη και σήμερα, νέες αποδείξεις
εμφανίζονται, προκαλούν κάποιο ενθουσιασμό και, όπως η απόδειξη του Kempe,
αποδεικνύεται ότι περιέχουν λάθη.
Ο μαθηματικός Paul Erdös
συνήθιζε να μιλάει για το "The Book" -έναν φανταστικό τόμο που
περιέχει τις πιο κομψές αποδείξεις κάθε θεωρήματος. Αναρωτιέται κανείς αν το "The
Book" περιέχει μια αναγνώσιμη από τον άνθρωπο απόδειξη του θεωρήματος των
τεσσάρων χρωμάτων, και αν ναι, αν θα τη δούμε ποτέ...
