Όταν ο 8χρονος Terence Tao εντόπιζε τέλειους αριθμούς με χρήση Basic...

 

Αυτή ήταν η πρώτη εργασία που δημοσίευσε το 1983 ο ιδιοφυής μαθηματικός Terence Tao (Μετάλλιο Fields, 2006), σε ηλικία μόλις 8 ετών!

Στην εργασία αυτή, αναπτύσσει έναν κώδικα σε Basic, ο οποίος εντοπίζει τέλειους αριθμούς.

Τέλειος λέγεται ένας φυσικός αριθμός ν, όταν το άθροισμα των διαιρετών του, εκτός του ν, ισούται με τον αριθμό ν. 

Ο μικρότερος τέλειος αριθμός είναι το 6. Οι διαιρέτες του 6 (εκτός από τον εαυτό του) είναι οι 1, 2, 3.

Το άθροισμα αυτών είναι 1 + 2 + 3 = 6.

Άλλοι τέλειοι αριθμοί είναι οι:

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248

Ο Ευκλείδης ανακάλυψε ότι οι τέσσερις πρώτοι τέλειοι αριθμοί παράγονται από τον τύπο \(2^{n-1} (2^n -1) \), όπου \(n=2, 3, 5, 7\).

Πράγματι:

Για \(n=2\) είναι: \(2^1(2^2-1) = 6 \)

Για \(n=3\) είναι: \( 2^2(2^3-1) = 28 \)

Για \(n=5\) είναι: \(2^4(2^5-1) = 496\)

Για \(n=7\) είναι: \( 2^6(2^7-1) = 8128\)

Αποδεικνύεται εύκολα ότι αν ο  \(2^n -1 \) είναι πρώτος, τότε και ο  \(n\) είναι πρώτος. (Το αντίστροφο ΔΕΝ ισχύει!)

Παρατηρώντας ότι τα \(n=2, 3, 5, 7\) στον παραπάνω τύπο είναι πρώτοι αριθμοί, ο Ευκλείδης, στο βιβλίο του "Στοιχεία", απέδειξε ότι αν ο \(2^n -1 \) είναι πρώτος, τότε ο αριθμός \(2^{n-1} (2^n -1) \) είναι τέλειος. O Ευκλείδης, λοιπόν, τεκμηρίωσε μια ικανή συνθήκη για να είναι ένας αριθμός τέλειος.  Έτσι, για την εύρεση τέλειων αριθμών αρκεί η εύρεση πρώτων αριθμών της μορφής \(p=2^n-1 \). Δεν ισχυρίστηκε όμως πουθενά ότι αυτή η συνθήκη ήταν επίσης αναγκαία -δηλαδή ότι αν ένας αριθμός είναι τέλειος, τότε θα πρέπει να έχει την παραπάνω μορφή.

Σχεδόν είκοσι αιώνες μετά τον Ευκλείδη, ο Euler απέδειξε ότι ο τύπος  \(2^{n-1} (2^n -1) \) μας δίνει όλους τους άρτιους τέλειους αριθμούς. Δηλαδή ένας άρτιος τέλειος αριθμός έχει τη μορφή \(2^{n-1} (2^n -1) \), όπου ο \(2^n -1\) είναι πρώτος. Το αποτέλεσμα αυτό είναι γνωστό ως το Θεώρημα Ευκλείδη-Euler.

Είναι άγνωστο μέχρι σήμερα αν υπάρχουν περιττοί τέλειοι αριθμοί. Ο υπολογισμός τέλειων αριθμών είναι αρκετά δύσκολος, αν αναλογιστεί κανείς ότι ως το 2016 υπήρχαν 49 γνωστοί τέλειοι αριθμοί.

 

Ο τότε πιτσιρικάς Terence Tao βασίστηκε στο θεώρημα που είχε αποδείξει ο Ευκλείδης και σχεδίασε την εύρεση πρώτων αριθμών της μορφής \(p=2^n-1 \), με σκοπό τη δημιουργία τέλειων αριθμών. Διαβάστε την εργασία του Terence Tao στο Fermat's Library πατώντας εδώ... 

"Ο θείος Πέτρος και η Εικασία του Γκόλντμπαχ"

Ο θείος Πέτρος είναι ένα αίνιγμα. Οι πρεσβύτεροι της οικογενείας Παπαχρήστου τον απορρίπτουν ως "αποτυχημένο της ζωής". Ώσπου ο αφηγητής-ανιψιός του ανακαλύπτει ότι ήταν κάποτε φημισμένος μαθηματικός, τόσο ιδιοφυής και παράτολμος ώστε να αφιερώσει τη ζωή του στην περιβόητη "Εικασία του Γκόλντμπαχ", ένα από τα παλιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών που προσπαθούσαν εις μάτην να επιλύσουν γενεές μαθηματικών και που, μέχρι και σήμερα, παραμένει άλυτο... 

Συγκεκριμένα, η Εικασία του Γκόλντμπαχ εκφράζει ότι κάθε άρτιος θετικός ακέραιος αριθμός, μεγαλύτερος του 2, μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα δύο πρώτων αριθμών. Για παράδειγμα:

4 = 2 + 2

6 = 3 + 3

8 = 3 + 5

10 = 3 + 7 ή 10 = 5 + 5

12 = 5 + 7

14 = 3 + 11 ή 14 = 7 + 7

... κλπ ...

Εικάζεται, λοιπόν ότι η παραπάνω πρόταση (μάλλον) ισχύει. Πατώντας εδώ, μπορείτε να επιβεβαιώσετε την Εικασία του Γκόλντμπαχ για οποιονδήποτε άρτιο θετικό ακέραιο σκεφτείτε. Ωστόσο, δεν είναι ένα θεώρημα, γιατί δεν έχει -ακόμη- αποδειχθεί ότι ισχύει ΓΙΑ ΚΑΘΕ άρτιο θετικό ακέραιο. Έτσι, παραμένει μια εικασία...

Το μυθιστόρημα του Απόστολου Δοξιάδη "Ο θείος Πέτρος και η Εικασία του Γκόλντμπαχ", που πρωτοεκδόθηκε το 1992, σε ταξιδεύει στον κόσμο των σύγχρονων Μαθηματικών και αποτελεί ένα από τα πλέον κλασικά έργα μαθηματικής λογοτεχνίας. Το προτείνω σε όσους τρέφουν έστω και μια μικρή συμπάθεια απέναντι στα Μαθηματικά!

Μαγικά μαθηματικά: Οι ακέραιοι

Σας προσκαλώ σε ένα παιχνίδι όπου ο νικητής κερδίζει ένα βραβείο. Διαλέξτε κάποιον τριψήφιο αριθμό και γράψτε τον δύο φορές διαδοχικά, σχηματίζοντας έναν καινούργιο, εξαψήφιο αριθμό. Αν έχετε επιλέξει π.χ. το 761, τότε σημειώστε στο χαρτί 761.761. Το παιχνίδι ξεκινάει: Διαιρέστε τον εξαψήφιο αριθμό με το 7. Το υπόλοιπο της διαίρεσης θα είναι ο τυχερός σας αριθμός και κερδίζετε χαρτονομίσματα των 100€, σε πλήθος όσο δείχνει ο τυχερός σας αριθμός! Το υπόλοιπο σίγουρα θα είναι κάποιος από τους αριθμούς 0, 1, 2, 3, 4, 5 ή 6. Μόνο αυτοί μπορούν να είναι υπόλοιπα μιας διαίρεσης δια του 7. Ο νικητής λοιπόν κερδίζει μέχρι και 600€!!!

Μήπως κατά τύχη ο τυχερός σας αριθμός βγήκε το 0; Τότε έχετε καλή παρέα... Το ίδιο έτυχε σε όλους τους συμπαίκτες σας!

Η εξήγηση αυτού του φαινομένου βρίσκεται σε μια καλά κρυμμένη ιδιότητα των ακεραίων. Συγκεκριμένα, ο σχηματισμός ενός εξαψήφιου αριθμού με τοποθέτηση ενός τριψήφιου δίπλα στον εαυτό του ισοδυναμεί με τον πολλαπλασιασμό του τριψήφιου επί 1.001. Και επειδή το 1.001 διαιρείται με το 7, ο εξαψήφιος αριθμός που φτιάχνουμε επίσης διαιρείται με το 7.

Αυτή η ιδέα μπορεί φυσικά να πάρει τη μορφή ενός μαγικού τεχνάσματος για επίδειξη σε κάποια φιλική παρέα: Τα χαρτονομίσματα των 100€ μπορούν να αντικατασταθούν από πρόβλεψη του υπολοίπου.

Εξάλλου, στον κόσμο των μαγικών τεχνασμάτων εμφανίζονται πολύ συχνά μαθηματικά δεδομένα. Αρκεί να βρει κανείς κάποια μαθηματικά αποτελέσματα που αντιβαίνουν προς την καθημερινή εμπειρία και των οποίων η εξήγηση είναι κρυμμένη στα βάθη κάποιας θεωρίας.

Ακόμη μια συμβουλή: Για τα μαγικά τεχνάσματα ισχύει ό,τι και για τα αρώματα - η συσκευασία είναι εξίσου σημαντική με το περιεχόμενο. Στην επίδειξή μας δεν πρέπει να αναφερθεί τίποτα για τον πολλαπλασιασμό του τριψήφιου αριθμού επί 1.001. Το γινόμενο ισούται, βέβαια, με τον αριθμό που προκύπτει αν βάλουμε τον τριψήφιο δίπλα στον εαυτό του. Αν, όμως, αυτό αποκαλυφθεί, πάει, χάθηκε η μαγεία...

Πηγή:

E. Behrends (2018). Μαθηματικά Πεντάλεπτα: 100 Μικρές Ιστορίες από τον Κόσμο των Μαθηματικών. Ηράκλειο: Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης

Μια νέα σταθερά: 2,920050977316...

 

Ο δρ. James Grime μας εξηγεί τη νέα... αγαπημένη του σταθερά, με τη βοήθεια της οποίας παράγονται οι πρώτοι αριθμοί. Η σταθερά αυτή είναι ο άρρητος αριθμός 

2,920050977316...

και ο τύπος που παράγει τους πρώτους αριθμούς δίνεται από την παρακάτω ακολουθία αρρήτων:

Το ακέραιο μέρος κάθε αριθμού αυτής της ακολουθίας δίνει και έναν πρώτο αριθμό!

Δείτε το βίντεο του Numberphile για περισσότερες λεπτομέρειες:

Βαμπιρικοί... αριθμοί!

Τι σχέση έχουν τα βαμπίρ με τα μαθηματικά;

Το 1994, ο C. A. Pickover της IBM όρισε τους βαμπιρικούς αριθμούς ως εξής:
Έστω n ένας φυσικός αριθμός με 2κ ψηφία (δηλαδή με άρτιο πλήθος ψηφίων). Ο n λέγεται "βαμπιρικός αριθμός" αν και μόνο αν υπάρχουν δύο φυσικοί αριθμοί a και b, ο καθένας με κ ψηφία, τέτοιοι ώστε:
n = a ⋅ b,
τα τελευταία ψηφία του a και του b να μην είναι και τα δύο 0
και τα ψηφία του n να είναι ακριβώς τα ψηφία των a και b μαζί, με μια οποιαδήποτε μετάθεση (δηλαδή αναδιάταξη).
Οι δύο αριθμοί a και b λέγονται "κυνόδοντες" (!) του n.

Για παράδειγμα:
1260 = 21 ⋅ 60

      ↑            ↑          ↑
βαμπιρικός      κυνόδοντες

 αριθμός                         

Βλέπουμε ότι τα ψηφία των αριθμών 21 και 60, με μια αναδιάταξη δίνουν τα ψηφία του 1260.

Υπάρχουν άπειρα τέτοια παραδείγματα βαμπιρικών αριθμών, όπως:
1395 = 15 ⋅ 93
1435 = 35 ⋅ 41
1530 = 30 ⋅ 51
1827 = 21 ⋅ 87
6880 = 80 ⋅ 86

Οι βαμπιρικοί αριθμοί είναι:

1260, 1395, 1435, 1530, 1827, 2187, 6880, 102510, 104260, 105210, 105264, 105750, 108135, 110758, 115672, 116725, 117067, 118440, 120600, 123354, 124483, 125248, 125433, 125460, 125500, ...

Κάντε κλικ εδώ για να δείτε τη λίστα των 10.000 πρώτων βαμπιρικών αριθμών

Επιπλέον, υπάρχουν βαμπιρικοί αριθμοί με διπλά (ή και πολλαπλά) ζεύγη "κυνόδοντων":
125460 = 204 ⋅ 615
             = 246 ⋅ 510

Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι βαμπιρικοί αριθμοί που είναι πρώτοι αριθμοί, με τους "κυνόδοντες" να είναι επίσης πρώτοι αριθμοί:
117067 = 167 ⋅ 701

Οι πρώτοι βαμπιρικοί αριθμοί ορίστηκαν από τον C. Rivera το 2002.

Είναι γνωστό ότι οι αριθμοί που γράφονται ως γινόμενο δύο πρώτων αριθμών εφαρμόζονται κατά κόρον στην Κρυπτογραφία. Αν επιπλέον αυτοί είναι και βαμπιρικοί αριθμοί, τότε ανοίγει ένας νέος τομέας για έρευνα στη Θεωρία Αριθμών!

Πηγές και αναφορές:

C. A. Pickover, "Vampire Numbers." Ch. 30 in Keys to Infinity. New York: Wiley, pp. 227-231, 1995.

Πανεπιστημιακές σημειώσεις "Εφαρμογές της Θεωρίας Αριθμών στην Κρυπτογραφία" καθηγητή Α. Φυραρίδη, 2009.
The On-Line encyclopedia of Integer Sequences

Wikipedia.org/Vampire_number
Wolfram Mathworld: Vampire Number

YouTube: Numberphile - Vampire Numbers

Πώς προέκυψαν τα Κριτήρια Διαιρετότητας σύνθετων αριθμών;

Διαβάσαμε στα Κριτήρια Διαιρετότητας των αριθμών από το 1 ως το 18 και των αριθμών από το 19 ως το 32 πώς ελέγχουμε αν ένας αριθμός διαιρείται με καθέναν από τους αριθμούς 1 έως και 32. Για αρκετούς από αυτούς τους αριθμούς, το κριτήριο διαιρετότητας προέκυψε άμεσα και αβίαστα, καθώς από πίσω "κρύβεται" το παρακάτω θεώρημα της Θεωρίας Αριθμών, μαζί με το πόρισμά του:

Θεώρημα

Αν Μ.Κ.Δ.(b,c)=1, τότε Μ.Κ.Δ.(a,bc) = Μ.Κ.Δ.(a,b)*Μ.Κ.Δ.(a,c)

Πόρισμα
Αν οι αριθμοί b και c, με Μ.Κ.Δ.(b,c)=1, διαιρούν τον a, τότε και  το γινόμενό τους bc διαιρεί επίσης τον a.

Δηλαδή, αν ένας αριθμός a διαιρείται από δύο αριθμούς b και c οι οποίοι είναι πρώτοι μεταξύ τους, τότε διαιρείται και από το γινόμενο των b και c.

Σελίδα από το χειρόγραφο βιβλίο του Φυραρίδη Ανέστη (1998), Θεωρία Αριθμών, Πανεπιστημιακό Τυπογραφείο Ιωαννίνων (Επανέκδοση 2007)

Το παραπάνω πόρισμα γενικεύεται και για περισσότερους από δύο αριθμούς:

Αν οι ακέραιοι b₁, b₂, ... b_n είναι πρώτοι μεταξύ τους ανά δύο και ο καθένας τους διαιρεί τον a, τότε και το γινόμενό τους  

b₁b₂…b_n  

διαιρεί επίσης τον a.   


Από το παραπάνω πόρισμα προκύπτει ένα σημαντικό και εύχρηστο Κριτήριο Διαιρετότητας για σύνθετους αριθμούς. Αρκεί ο σύνθετος αριθμός να μπορεί να γραφεί ως γινόμενο δύο ή περισσότερων αριθμών που είναι πρώτοι μεταξύ τους ανά δύο.


Παραδείγματα

1. Είδαμε εδώ ότι ένας αριθμός διαιρείται με το 6 αν διαιρείται ταυτόχρονα με το 2 και το 3. Αυτό ισχύει σύμφωνα με το παραπάνω πόρισμα, αφού 6 = 2*3 και Μ.Κ.Δ.(2,3)=1.

2. Για να εξετάσουμε αν ένας αριθμός διαιρείται με το 12, αρκεί να εξετάσουμε αν διαιρείται ταυτόχρονα με το 3 και το 4. Αυτό ισχύει σύμφωνα με το παραπάνω πόρισμα, αφού 12 = 3*4 και Μ.Κ.Δ.(3,4)=1.
Προσοχή! Για να εξετάσουμε αν ένας αριθμός διαιρείται με το 12, γράφουμε το 12 ως 12 = 3*4 γιατί οι αριθμοί 3 και 4 είναι πρώτοι μεταξύ τους και όχι 12 = 2*6, αφού οι αριθμοί 2 και 6 δεν είναι πρώτοι μεταξύ τους. Για παράδειγμα, ο αριθμός 18 διαιρείται ταυτόχρονα από το 2 και από το 6. Δεν διαιρείται όμως και από το 12.

3. Είδαμε εδώ ότι ένας αριθμός διαιρείται με το 30 αν διαιρείται ταυτόχρονα με το 3 και το 10, δηλαδή αν τελειώνει σε 0 και το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 3. Αυτό επίσης βασίζεται στο ανωτέρω πόρισμα, καθώς 30=3*10 και Μ.Κ.Δ.(3,10)=1. Εναλλακτικά, θα μπορούσαμε να πούμε ότι 30=5*6 και Μ.Κ.Δ.(5,6)=1. Επομένως, για να εξετάσουμε αν ένας αριθμός διαιρείται με το 30, αρκεί να εξετάσουμε αν διαιρείται ταυτόχρονα με το 5 και το 6. Ο έλεγχος αυτός όμως θα ήταν λίγο πιο χρονοβόρος, μιας και το κριτήριο διαιρετότητας του 6 απαιτεί να ελέγξουμε αν ο αριθμός διαιρείται ταυτόχρονα με το 2 και το 3.

Και δηλαδή αυτό το πόρισμα μας έχει λύσει τα χέρια; Ισχύει για κάθε σύνθετο αριθμό;

• Για το 8, το 16, το 27 ή το 32 δεν μπορεί να εφαρμοστεί αυτή η μέθοδος, αφού κανένας τους δεν μπορεί να γραφεί ως γινόμενο δύο ή περισσότερων αριθμών που είναι πρώτοι μεταξύ τους ανά δύο. Για την εύρεση των Κριτηρίων Διαιρετότητας των αριθμών αυτών, ακολουθήθηκε άλλο μονοπάτι...

Κριτήρια Διαιρετότητας για τους αριθμούς από το 19 ως το 32!

Για να εξετάσουμε αν ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 19:

1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του αριθμού.

2. Στον αριθμό που προκύπτει προσθέτουμε 2 φορές το διαγραμμένο ψηφίο.

3. Αν το αποτέλεσμα (συμπεριλαμβανομένου του 0) διαιρείται με το 19, τότε και ο αρχικός αριθμός θα διαιρείται με το 19.

4. Αν δεν μπορούμε να αποφασίσουμε, επαναλαμβάνουμε τα τρία προηγούμενα βήματα μέχρι να προκύψει διψήφιος αριθμός. 

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 11.343
1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο, δηλαδή το 3 και μένει ο αριθμός 1.134.

2. Στο 1.134 προσθέτουμε το διπλάσιο του 3, δηλαδή το 6:
1.134 + 2*3 = 1.134 + 6 = 1.140
3. Επειδή δεν μπορούμε να κρίνουμε αν ο αριθμός 1.140 διαιρείται με το 19, επαναλαμβάνουμε τα προηγούμενα βήματα:

1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του 1.140, δηλαδή το 0 και μένει ο αριθμός 114.
2. Στο 114 προσθέτουμε το διπλάσιο του 0, δηλαδή το 0:
114 + 2*0 = 114

3. Επαναλαμβάνουμε:

1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του 114 και μένει ο αριθμός 11.
2. Στο 11 προσθέτουμε το διπλάσιο του 4:
11 + 2*4 = 11 + 8 = 19
3. Το 19 διαιρείται με το 19, επομένως και ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 19.

Ένας ακέραιος αριθμός θα διαιρείται με το 20:

-Αν διαιρείται ταυτόχρονα και με το 4 και με το 5,

ή, συνδυάζοντας τα κριτήρια διαιρετότητας του 4 και του 5:
-Αν το τελευταίο του ψηφίο είναι 0 ή 5 και τα  τελευταία δύο ψηφία του σχηματίζουν διψήφιο αριθμό που διαιρείται με το 4.

π.χ. Ο αριθμός  1.360 διαιρείται με το 20, γιατί:
-διαιρείται με το 4, αφού τελειώνει σε 60 και το 60 διαιρείται με το 4
και
-διαιρείται με το 5, αφού τελειώνει σε 0.

Ένας ακέραιος αριθμός θα διαιρείται με το 21:

Αν διαιρείται ταυτόχρονα και με το 3 και με το 7,

δηλαδή αν ικανοποιεί ταυτόχρονα τα κριτήρια διαιρετότητας του 3 και του 7.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 273. 
-Διαιρείται με το 3, αφού το άθροισμα των ψηφίων του είναι 2 + 7 + 3 = 12 και το 12 διαιρείται με το 3.
-Διαιρείται με το 7. Πράγματι, 27 - 2*3 = 21 και το 21 διαιρείται με το 7.
Οπότε ο αριθμός 273 διαιρείται με το 21.

Ένας ακέραιος αριθμός θα διαιρείται με το 22:

Αν διαιρείται ταυτόχρονα και με το 2 και με το 11,

δηλαδή αν ικανοποιεί ταυτόχρονα τα κριτήρια διαιρετότητας του 2 και του 11.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 1.166.
-Διαιρείται με το 2, αφού τελειώνει σε 6, είναι δηλαδή άρτιος αριθμός.
-Διαιρείται με το 11. 
Πράγματι, το άθροισμα των ψηφίων που βρίσκονται στις περιττές θέσεις είναι 1 + 6 = 7.
Το άθροισμα των ψηφίων που βρίσκονται στις περιττές θέσεις είναι 1 + 6 = 7.
Η διαφορά των δύο αθροισμάτων είναι 7 - 7 = 0.
Σύμφωνα με το κριτήριο διαιρετότητας του 11, ο αριθμός 1.166 διαιρείται με το 11.
Άρα τελικά ο αριθμός 1.166 διαιρείται με το 22.

Για να εξετάσουμε αν ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 23:
1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του αριθμού.
2. Στον αριθμό που προκύπτει προσθέτουμε 7 φορές το διαγραμμένο ψηφίο.

3. Επαναλαμβάνουμε τα δύο προηγούμενα βήματα, μέχρι να προκύψει διψήφιος αριθμός.
4. Αν ο αριθμός που προκύπτει διαιρείται με το 23 (δηλαδή αν προκύψει 23, 46, 69 ή 92), τότε και ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 23.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 35.949. 
1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο, δηλαδή το 9 και μένει ο αριθμός 3.594.
2. Στο 3.594 προσθέτουμε το επταπλάσιο του 9:
3.594 + 7*9 = 3.594 + 63 = 3.657
3. Επαναλαμβάνουμε τα δύο προηγούμενα βήματα:

1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο, δηλαδή το 7 και μένει ο αριθμός 365.
2. Στο 365 προσθέτουμε το επταπλάσιο του 7:
365 + 7*7 = 365 + 49 = 414
3. Επαναλαμβάνουμε τα δύο προηγούμενα βήματα:

1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο, δηλαδή το 4 και μένει ο αριθμός 41.
2. Στο 41 προσθέτουμε το επταπλάσιο του 4:

41 + 7*4 = 41 + 28 = 69
3. Το 69 διαιρείται με το 23, άρα και ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 23.

Ένας ακέραιος αριθμός θα διαιρείται με το 24:

Αν διαιρείται ταυτόχρονα και με το 3 και με το 8,

δηλαδή αν ικανοποιεί ταυτόχρονα τα κριτήρια διαιρετότητας του 3 και του 8.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 768.
-Διαιρείται με το 3, αφού το άθροισμα των ψηφίων του είναι 7 + 6 + 8 = 21 και το 21 διαιρείται με το 3.
-Διαιρείται με το 8, αφού το ψηφίο των εκατοντάδων (7) είναι περιττός αριθμός και τα τελευταία δύο ψηφία συν 4, σχηματίζουν τον αριθμό 68 + 4 = 72, ο οποίος διαιρείται με το 8.

Ένας ακέραιος αριθμός θα διαιρείται με το 25, αν τα τελευταία δύο ψηφία του σχηματίζουν διψήφιο αριθμό που διαιρείται με το 25,
δηλαδή αν τα δύο τελευταία ψηφία του είναι:
00 ή 25 ή 50 ή 75.

π.χ. Ο αριθμός 12.600 διαιρείται με το 25, αφού τελειώνει σε 00.

Ένας ακέραιος αριθμός θα διαιρείται με το 24,

αν διαιρείται ταυτόχρονα και με το 2 και με το 13,

δηλαδή αν ικανοποιεί ταυτόχρονα τα κριτήρια διαιρετότητας του 2 και του 13.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 832.
-Διαιρείται με το 2, αφού τελειώνει σε 2, είναι δηλαδή άρτιος αριθμός.
-Διαιρείται με το 13.
Πράγματι, 83 - 9*2 = 83 - 18 = 65 και το 65 διαιρείται με το 13.
Άρα ο αριθμός 832 διαιρείται με το 26.

Για να κρίνουμε αν ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 27, αρχικά εξετάζουμε το πλήθος των ψηφίων του. 

1η περίπτωση: Αν ο αριθμός είναι τριψήφιος, τότε:
1. Διαγράφουμε  το ψηφίο των εκατοντάδων (το πρώτο ψηφίο).
2. Από τον διψήφιο αριθμό που μένει, αφαιρούμε το 8πλάσιο του ψηφίου που έχουμε διαγράψει.
3. Αν ο αριθμός που προκύψει διαιρείται με το 27 (συμπεριλαμβανομένων του 0 αλλά και αρνητικών αριθμών), τότε και ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 27.

2η περίπτωση: Αν ο αριθμός έχει τουλάχιστον 4 ψηφία, τότε:
1. Διαγράφουμε τα τελευταία τρία ψηφία του, τα οποία αποτελούν έναν τριψήφιο αριθμό.
2. Στον αριθμό που μένει, προσθέτουμε τον τριψήφιο αριθμό από το βήμα 1.
3. Το άθροισμα σαφώς θα είναι ένας αριθμός μικρότερος από τον αρχικό. Συνεχίζουμε τα βήματα 1 και 2, μέχρι να προκύψει τριψήφιος αριθμός.
4. Ακολουθούμε τα βήματα όπως περιγράφονται στην 1η περίπτωση.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 1.242
Είναι 4ψήφιος, άρα ακολουθούμε τα βήματα της 2ης περίπτωσης:

1. Διαγράφουμε τα τελευταία τρία ψηφία του, δηλαδή τον αριθμό 242.
2. Στον αριθμό που έμεινε, δηλαδή το 1, προσθέτουμε το 242.
1 + 242 = 243.
3. Προέκυψε 3ψήφιος αριθμός, άρα ακολουθούμε τα βήματα της 1ης περίπτωσης:

1. Από τον αριθμό 243, διαγράφουμε το ψηφίο των εκατοντάδων, δηλαδή το 2.
2. Από τον αριθμό που μένει, δηλαδή το 43, αφαιρούμε το 8πλάσιο του 2:
43 - 8*2 = 43 - 16 = 27
3. Προκύπτει ο αριθμός 27, ο οποίος προφανώς διαιρείται με το 27. Άρα και ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 27.

Ένας ακέραιος αριθμός θα διαιρείται με το 28,

αν διαιρείται ταυτόχρονα και με το 4 και με το 7,

δηλαδή αν ικανοποιεί ταυτόχρονα τα κριτήρια διαιρετότητας του 4 και του 7.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 224.
-Διαιρείται με το 4, αφού τα δύο τελευταία ψηφία του σχηματίζουν τον αριθμό 24, ο οποίος διαιρείται με το 4.
-Διαιρείται με το 7. Πράγματι:
22 - 2*4 = 22 - 8 = 14
Το 14 διαιρείται με το 7, άρα και ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 7.
Οπότε διαιρείται και με το 28.

Για να εξετάσουμε αν ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 29:
1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του αριθμού.
2. Στον αριθμό που προκύπτει προσθέτουμε 3 φορές το διαγραμμένο ψηφίο.

3. Επαναλαμβάνουμε τα δύο προηγούμενα βήματα, μέχρι να προκύψει διψήφιος αριθμός.
4. Αν ο αριθμός που προκύπτει διαιρείται με το 29, τότε και ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 29.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 1.914. 
1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο, δηλαδή το 4 και μένει ο αριθμός 191.
2. Στο 191 προσθέτουμε το τριπλάσιο του 4:
191 + 3*4 = 191 + 12 = 203

3. Επαναλαμβάνουμε για τον αριθμό 203 τα δύο προηγούμενα βήματα:

1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο, δηλαδή το 3 και μένει ο αριθμός 20.
2. Στο 20 προσθέτουμε το τριπλάσιο του 3:
20 + 3*3 = 20 + 9 = 29

3. Το 29 προφανώς διαιρείται με το 29, άρα και ο αρχικός αριθμός, το 1.914 διαιρείται με το 29.

Ένας ακέραιος αριθμός θα διαιρείται με το 30
αν το τελευταίο του ψηφίο είναι το 0 και το άθροισμα των ψηφίων του είναι αριθμός που διαιρείται με το 3

(δηλαδή αν διαιρείται ταυτόχρονα και με το 3 και με το 10).

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 1.950.
-Το τελευταίο του ψηφίο είναι το 0, δηλαδή διαιρείται με το 10.
-Το άθροισμα των ψηφίων του είναι 
1 + 9 + 5 + 0 = 15
και το 15 διαιρείται με το 3, άρα ο αριθμός 1.950 διαιρείται με το 3.
Επομένως ο αριθμός 1.950 διαιρείται με το 30.

Για να εξετάσουμε αν ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 31:
1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του αριθμού.
2. Από τον αριθμό που προκύπτει αφαιρούμε 3 φορές το διαγραμμένο ψηφίο.

3. Επαναλαμβάνουμε τα δύο προηγούμενα βήματα, μέχρι να προκύψει διψήφιος αριθμός.
4. Αν ο αριθμός που προκύπτει διαιρείται με το 31, τότε και ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 31.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 775.
1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του 775, δηλαδή το 5 και μένει ο αριθμός 77.
2. Από το 77 αφαιρούμε το τριπλάσιο του 5:
77 - 3*5 = 77 - 15 = 62
3. Το 62 διαιρείται με το 31, άρα και ο αρχικός αριθμός, το 775 διαιρείται με το 31.

Για να εξετάσουμε αν ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 32:

-Αν ο αριθμός έχει περισσότερα από 5 ψηφία, τότε: Ο αριθμός διαιρείται με το 32 αν τα τελευταία 5 ψηφία του σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 32. 

-Και πώς θα ελέγξουμε αν ένας πενταψήφιος αριθμός διαιρείται με το 32;;;

• Αν το ψηφίο στη θέση των Δεκάδων Χιλιάδων (το πρώτο ψηφίο) είναι άρτιος αριθμός, αρκεί να ελέγξουμε αν τα τελευταία τέσσερα ψηφία σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 32.
• Αν το ψηφίο στη θέση των Δεκάδων Χιλιάδων (το πρώτο ψηφίο) είναι περιττός αριθμός, αρκεί να ελέγξουμε αν τα τελευταία τέσσερα ψηφία του συν 16, σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 16.

-Μόλις προκύψει τριψήφιος ή τετραψήφιος αριθμός, για να ελέγξουμε αν διαιρείται με το 32, ακολουθούμε το εξής κριτήριο:

1. Απομονώνουμε τα δύο τελευταία ψηφία του αριθμού.

2. Προσθέτουμε τον διψήφιο αριθμό στο 4πλάσιο του αριθμού που απέμεινε.

3. Αν ο αριθμός που προκύψει διαιρείται με το 32, τότε και ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 32.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 1.088.256
-Αρκεί να απομονώσουμε τα τελευταία πέντε ψηφία του και να ελέγξουμε αν ο αριθμός 88.256 διαιρείται με το 32.

-Ελέγχουμε το ψηφίο στη θέση των Δεκάδων Χιλιάδων. Το 8 είναι άρτιος αριθμός, άρα αρκεί να ελέγξουμε αν τα τελευταία τέσσερα ψηφία του, δηλαδή ο αριθμός 8.256 διαιρείται με το 32.

-Από τον αριθμό 8.256 διαγράφουμε τα δύο τελευταία του ψηφία (το 56).
-Προσθέτουμε το 56 στο 4πλάσιο του αριθμού που απέμεινε, δηλαδή στο 4πλάσιο του 82:
4*82 + 56 = 384
Αρκεί να εξετάσουμε τώρα αν το 384 διαιρείται με το 32.

-Επαναλαμβάνουμε τα προηγούμενα βήματα:
-Από τον αριθμό 384 διαγράφουμε τα δύο τελευταία του ψηφία (το 84).
-Προσθέτουμε το 84 στο 4πλάσιο του αριθμού που απέμεινε, δηλαδή στο 4πλάσιο του 3:
4*3 + 84 = 96

-Το 96 διαιρείται με το 32 (είναι 96=3*32) άρα και ο αρχικός αριθμός, το 1.088.256 διαιρείται με το 32.

Κριτήρια Διαιρετότητας για τους αριθμούς από το 1 ως το 18!

Κάθε ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 1.

π.χ. Ο αριθμός 6.254 διαιρείται με το 1.

Ο αριθμός 1.234.567.890 διαιρείται με το 1.

Ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 2:

-Αν το τελευταίο του ψηφίο είναι 0 ή 2 ή 4 ή 6 ή 8
ή αλλιώς:

-Αν είναι άρτιος αριθμός.

π.χ. Ο αριθμός 5.358 διαιρείται με το 2, αφού τελειώνει σε 8, είναι, δηλαδή άρτιος.

Ο αριθμός 5.357 δεν διαιρείται με το 2, διότι τελειώνει σε 7, είναι, δηλαδή περιττός. 

Ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 3, αν το άθροισμα των ψηφίων του είναι πολλαπλάσιο του 3.

π.χ. Ο αριθμός 8.214 διαιρείται με το 3, αφού το άθροισμα των ψηφίων του είναι:

8 + 2 + 1 + 4 = 15

και το 15 είναι πολλαπλάσιο του 3.

Αλλά ο αριθμός 3.245 δεν διαιρείται με το 3, γιατί:

3 + 2 + 4 + 5 = 14

και το 14 δεν είναι πολλαπλάσιο του 3.

Η ιδιότητα αυτή είναι επαναληπτική, δηλαδή:

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 893.654.676. Το άθροισμα των ψηφίων του είναι:

8 + 9 + 3 + 6 + 5 + 4 + 6 + 7 + 6 = 54

5 + 4 = 9

και το 9 είναι πολλαπλάσιο του 3. Άρα ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 3.

Ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 4, αν τα  τελευταία δύο ψηφία του σχηματίζουν διψήφιο αριθμό που διαιρείται με το 4.

π.χ. Ο αριθμός 46.932 διαιρείται με το 4, 

αφού τα 2 τελευταία ψηφία του είναι το 32, που διαιρείται με το 4.

Αλλά ο αριθμός 9.521 δεν διαιρείται με το 4,

γιατί το 21, που είναι στα 2 τελευταία ψηφία του, δεν διαιρείται με το 4.

Ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 5, αν το τελευταίο του ψηφίο είναι 0 ή 5.

π.χ. Ο αριθμός 3.470 διαιρείται με το 5, αφού τελειώνει σε 0.
Ο αριθμός 12.965 επίσης διαιρείται με το 5, αφού τελειώνει σε 5.
Αλλά ο 85.457 δεν διαιρείται με το 5, γιατί δεν τελειώνει ούτε σε 0, ούτε σε 5.

Ένας ακέραιος αριθμός θα διαιρείται με το 6:

-Αν διαιρείται ταυτόχρονα και με το 2 και με το 3.

ή, συνδυάζοντας τα κριτήρια διαιρετότητας του 2 και του 3:

-Αν είναι άρτιος αριθμός και το άθροισμά των ψηφίων του είναι πολλαπλάσιο του 3.

π.χ. Ο αριθμός 5.472 διαιρείται με το 6, γιατί:

-τελειώνει σε 2, δηλαδή είναι άρτιος, άρα διαιρείται με το 2

και

-το άθροισμα των ψηφίων του είναι 5 + 4 + 7 + 2 = 18

και το 18 είναι πολλαπλάσιο του 3, επομένως διαιρείται και με το 3.

Αλλά ο αριθμός 65.385 δεν διαιρείται με το 6, αφού δεν διαιρείται με το 2.

Για να εξετάσουμε αν ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 7:

1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του. 

2. Αφαιρούμε από τον αριθμό που μένει το διπλάσιο του ψηφίου που έχουμε διαγράψει.

3. Αν ο αριθμός που προκύψει διαιρείται με το 7 (συμπεριλαμβανομένου και του 0), τότε και ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 7.
4. Αν δεν μπορούμε να αποφασίσουμε, επαναλαμβάνουμε τα τρία προηγούμενα βήματα μέχρι να καταλήξουμε σε διψήφιο αριθμό, όπου από την προπαίδεια θα ξέρουμε αν είναι ή όχι πολλαπλάσιο του 7.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 5.964.

1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του αριθμού, που είναι το 4 και μένει ο αριθμός 596.

2. Αφαιρούμε από το 596 το διπλάσιο του ψηφίου που διαγράψαμε, δηλαδή το 2 x 4 = 8.

596 - 2*4 = 596 - 8 = 588

Δεν μπορούμε εύκολα να αποφασίσουμε αν το 588 διαιρείται με το 7, οπότε επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία:

1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του 588 και μένει ο αριθμός 58.

2. Αφαιρούμε από το 58 το διπλάσιο του ψηφίου που διαγράψαμε.

58 - 2*8 = 58 - 16 =42

3. To 42 διαιρείται με το 7. Άρα και ο αρχικός αριθμός, 5.964 διαιρείται με το 7.

Ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 8:

-Αν τα τρία τελευταία ψηφία του σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 8

ή

-Αν το ψηφίο των εκατοντάδων του είναι άρτιος αριθμός και τα τελευταία 2 ψηφία σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 8

ή
-Αν το ψηφίο των εκατοντάδων του είναι περιττός αριθμός και τα τελευταία 2 ψηφία συν 4
σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 8.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 34.808.
Τα τρία τελευταία ψηφία του δίνουν τον αριθμό 808, που προφανώς διαιρείται με το 8, γιατί 808 = 8*101. Άρα και ο 34.808 διαιρείται με το 8.

Συνήθως, όμως, δεν είναι εύκολο να κρίνουμε αν ένας τριψήφιος είναι πολλαπλάσιο του 8. Οπότε χρησιμοποιούμε τα δύο τελευταία κριτήρια: 

π.χ. Ο αριθμός 472 διαιρείται με το 8, γιατί το ψηφίο των εκατοντάδων (4) είναι άρτιος αριθμός και τα δύο τελευταία ψηφία του σχηματίζουν τον αριθμό 72, που διαιρείται με το 8.
Ο αριθμός 720 διαιρείται με το 8, διότι το ψηφίο των εκατοντάδων (7) είναι περιττός αριθμός και τα δύο τελευταία ψηφία του σχηματίζουν τον αριθμό 20, ο οποίος αν αυξηθεί κατά 4, έχουμε 20 + 4 = 24 και το 24 διαιρείται με το 8.
Ενώ για τον αριθμό 84.673 έχουμε: Τα τρία τελευταία ψηφία του σχηματίζουν τον αριθμό 673.
Ελέγχουμε αν ο 673 διαιρείται με το 8.
Το ψηφίο των εκατοντάδων (6) είναι άρτιος αριθμός. Τα δύο τελευταία ψηφία  δίνουν τον αριθμό 73, που δεν διαιρείται με το 8.
Άρα ο 84.673 δεν διαιρείται με το 8.

Ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 9, αν το άθροισμα των ψηφίων του είναι πολλαπλάσιο του 9.

π.χ. Ο αριθμός 2.907 διαιρείται με το 9, αφού το άθροισμα των ψηφίων του είναι:
2 + 9 + 0 + 7 = 18
και το 18 είναι πολλαπλάσιο του 9.
Ενώ ο αριθμός 5.109 δεν διαιρείται με το 9, διότι το άθροισμα των ψηφίων του είναι:
5 + 1 + 0 + 9 = 15, που δεν διαιρείται με το 9.

Η ιδιότητα αυτή, εντελώς όμοια με το κριτήριο διαιρετότητας του 3, είναι επαναληπτική.

Ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 10, αν το τελευταίο ψηφίο του είναι 0.

π.χ. Οι αριθμοί 50, 300, 2.580, 6.000, 3.545.710 κλπ διαιρούνται με το 10.

Οι αριθμοί 506, 4.237, 5.921 κλπ δεν διαιρούνται ακριβώς με το 10.

Για να εξετάσουμε αν ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 11:

1. Προσθέτουμε τα ψηφία του αριθμού που είναι στις περιττές θέσεις (1^ο  + 3^ο  + 5^ο  + ... ψηφίο).

2. Στη συνέχεια, προσθέτουμε τα ψηφία του αριθμού που είναι στις άρτιες θέσεις (2^ο  + 4^ο  + 6^ο  + ... ψηφίο).

3. Αφαιρούμε το ένα άθροισμα από το άλλο.

4. Αν η απόλυτη τιμή της διαφοράς των δυο αθροισμάτων είναι πολλαπλάσιο του 11 (συμπεριλαμβανομένου και του 0), τότε ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 11.

π.χ. Έστω ο αριθμός 357.346
1. Προσθέτουμε τα ψηφία που βρίσκονται στις περιττές θέσεις: 3 + 7 + 4 = 14
2. Προσθέτουμε τα ψηφία που βρίσκονται στις άρτιες θέσεις: 5 + 3 + 6 = 14
3. Αφαιρούμε το ένα άθροισμα από το άλλο: 14 - 14 = 0
4. Αφού η διαφορά είναι 0, ο αριθμός 357.346 διαιρείται με το 11.

Έστω ο αριθμός 7.503.617
1. Προσθέτουμε τα ψηφία που βρίσκονται στις περιττές θέσεις: 7 + 0 + 6 + 7 = 20
2. Προσθέτουμε τα ψηφία που βρίσκονται στις άρτιες θέσεις: 5 + 3 + 1 = 9
3. Αφαιρούμε το ένα άθροισμα από το άλλο: 20 - 9 = 11
4. Αφού η διαφορά είναι 11, ο αριθμός 7.503.617 διαιρείται με το 11.

Ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 12:

-Αν διαιρείται ταυτόχρονα με το 3 και με το 4.

ή αλλιώς:

-Αν το άθροισμα όλων των ψηφίων του είναι πολλαπλάσιο του 3 και τα δύο τελευταία του ψηφία σχηματίζουν πολλαπλάσιο του 4.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 660. 

Διαιρείται με το 3, αφού: 6 + 6 + 0 = 12, που είναι πολλαπλάσιο του 3.

Διαιρείται με το 4, αφού τα δύο τελευταία ψηφία του σχηματίζουν τον αριθμό 60, που διαιρείται με το 4.

Οπότε διαιρείται με το 12. 

Αλλά ο αριθμός 735 δεν διαιρείται με το 12, διότι δεν διαιρείται με το 4. 

Για να εξετάσουμε αν ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 13: 

1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του αριθμού.

2. Από τον αριθμό που προκύπτει αφαιρούμε 9 φορές το διαγραμμένο ψηφίο.

3. Αν το αποτέλεσμα (συμπεριλαμβανομένου του 0) διαιρείται με το 13, τότε και ο αρχικός αριθμός θα διαιρείται με το 13.

4. Αν δεν μπορούμε να αποφασίσουμε, επαναλαμβάνουμε τα τρία προηγούμενα βήματα μέχρι να προκύψει διψήφιος αριθμός. 

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 32.435.

1. Διαγράφουμε το τελευταίο του ψηφίο, οπότε μένει ο αριθμός 3.243. 
2. Αφαιρούμε από το 3.243 το 9*5 = 45. Είναι 3.243 - 9*5 = 3.243 - 45 = 3.198
3. Επειδή δεν μπορούμε να κρίνουμε αν ο 3.198 διαιρείται με το 13, επαναλαμβάνουμε τα προηγούμενα βήματα:

1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του 3.198 και προκύπτει ο αριθμός 319.
2. Αφαιρούμε: 319 - 9*8 = 319 - 72 = 247.
3. Επειδή δεν μπορούμε να κρίνουμε αν ο 247 διαιρείται με το 13, επαναλαμβάνουμε τα προηγούμενα βήματα:

1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του 247 και προκύπτει ο αριθμός 24.
2. Αφαιρούμε: 24 - 9*7 = 24 - 63 = -39.
3. Ο -39, όπως και ο 39, διαιρείται με το 13. Άρα και ο αρχικός αριθμός, 32.435 διαιρείται με το 13.

Ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 14:

-Αν διαιρείται ταυτόχρονα με το 2 και με το 7.

ή αλλιώς:

1. Αν είναι άρτιος αριθμός και 2. ικανοποιεί το κριτήριο διαιρετότητας του 7.

π.χ. Εξετάζουμε αν ο αριθμός 658 διαιρείται με το 14.

1. Διαιρείται με το 2, αφού τελειώνει σε 8.

2. Από το κριτήριο διαιρετότητας του 7, έχουμε: 

65 -2*8 = 65 - 16 = 49, που διαιρείται με το 7

Άρα ο 658 διαιρείται με το 14.

Ενώ για τον αριθμό 97.335 δεν χρειάζεται να ελέγξουμε αν διαιρείται με το 7.
Σίγουρα δεν διαιρείται με το 14, αφού δεν διαιρείται με το 2.

Ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 15:

-Αν διαιρείται ταυτόχρονα με το 3 και με το 5.

ή αλλιώς:

-Αν το τελευταίο του ψηφίο είναι 0 ή 5 και το άθροισμα των ψηφίων του είναι πολλαπλάσιο του 3.

π.χ. Ο αριθμός 9.360 διαιρείται με το 15 διότι:

-Τελειώνει σε 0, οπότε διαιρείται με το 5 και

-Το άθροισμα των ψηφίων του είναι 9 + 3 + 6 + 0 = 18, (=πολλαπλάσιο του 3), επομένως διαιρείται με το 3.

Αλλά: Ο αριθμός 312.672 δεν διαιρείται με το 15, αφού δεν διαιρείται με το 5.

Ο αριθμός 4.780 δεν διαιρείται με το 15, αφού δεν διαιρείται με το 3.

Για να εξετάσουμε αν ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 16:

-Αν ο αριθμός είναι τριψήφιος, τότε:

1. Πολλαπλασιάζουμε το ψηφίο των εκατοντάδων με 4.

2. Προσθέτουμε το αποτέλεσμα στα τελευταία δύο ψηφία.

3. Αν ο αριθμός που προκύπτει διαιρείται με το 16, τότε και ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 16.

-Αν ο αριθμός έχει τουλάχιστον 4 ψηφία, τότε: Ο αριθμός διαιρείται με το 16 αν τα τελευταία τέσσερα ψηφία του σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 16. 

Και πώς θα το ελέγξουμε αυτό;;;

• Αν το ψηφίο των χιλιάδων είναι άρτιος αριθμός, αρκεί να ελέγξουμε αν τα τελευταία 3 ψηφία σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 16.
• Αν το ψηφίο των χιλιάδων είναι περιττός αριθμός, αρκεί να ελέγξουμε αν τα τελευταία 3 ψηφία του συν 8, σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 16.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 4.672. Επειδή είναι τετραψήφιος και το ψηφίο των χιλιάδων είναι άρτιος αριθμός, αρκεί να ελέγξουμε αν τα τρία τελευταία ψηφία του σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 16.

Για να ελέγξουμε, τώρα, αν ο αριθμός 672 διαιρείται με το 16, πάμε στο πρώτο κριτήριο:

1. Πολλαπλασιάζουμε  το ψηφίο των εκατοντάδων με 4, άρα 6 * 4 =24.

2. Προσθέτουμε το αποτέλεσμα στα δύο τελευταία ψηφία: 72 + 24 = 96.

3. Διαπιστώνεται εύκολα ότι ο 96 διαιρείται με το 16, άρα και ο 4.672 διαιρείται με το 16.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 53.488. Επειδή είναι πενταψήφιος και το ψηφίο των χιλιάδων είναι περιττός αριθμός, κρατάμε τα τρία τελευταία του ψηφία και προσθέτουμε το 8:

488 + 8 = 496.

Για να ελέγξουμε, τώρα, αν ο 496 διαιρείται με το 16, πάμε στο πρώτο κριτήριο:

1. Πολλαπλασιάζουμε το ψηφίο των εκατοντάδων με 4, άρα 4 * 4 = 16.

2. Προσθέτουμε το αποτέλεσμα στα δύο τελευταία ψηφία: 96 + 16 = 112, που είναι πάλι τριψήφιος, άρα επαναλαμβάνουμε:

1. 4 x 1 = 4

2. 12 + 4 = 16

3. Προκύπτει το 16 που -προφανώς- διαιρείται με το 16. Άρα και ο 53.488 διαιρείται με το 16.

Για να εξετάσουμε αν ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 17:

1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του αριθμού.

2. Από τον αριθμό που προκύπτει αφαιρούμε 5 φορές το διαγραμμένο ψηφίο.

3. Αν το αποτέλεσμα (συμπεριλαμβανομένου του 0) διαιρείται με το 17, τότε και ο αρχικός αριθμός θα διαιρείται με το 17.

4. Αν δεν μπορούμε να αποφασίσουμε, επαναλαμβάνουμε τα τρία προηγούμενα βήματα μέχρι να προκύψει διψήφιος αριθμός. 

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 357. 
1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο, δηλαδή το 7 και μένει ο αριθμός 35.
2. Από το 35 αφαιρούμε το πενταπλάσιο του 7:
35 - 5*7 = 35 - 35 = 0
3. To 0 διαιρείται με το 17, άρα και ο 357 διαιρείται με το 17.

Ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 18:

-Αν διαιρείται ταυτόχρονα και με το 2 και με το 9.

ή, συνδυάζοντας τα κριτήρια διαιρετότητας του 2 και του 9:

-Αν είναι άρτιος αριθμός και το άθροισμά των ψηφίων του είναι πολλαπλάσιο του 9.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 450.
-Ο 450 τελειώνει σε 0, οπότε διαιρείται με το 2 και
-Το άθροισμα των ψηφίων του είναι 4 + 5 + 0 = 9, που είναι πολλαπλάσιο του 9, οπότε διαιρείται και με το 9.
Άρα ο 450 διαιρείται με το 18.

Αλλά ο αριθμός 4.329 δεν διαιρείται με το 18, γιατί δεν διαιρείται με το 2.
Ο αριθμός 3.562, αν και άρτιος, δεν μπορεί να διαιρείται με το 18, διότι δεν διαιρείται με το 9.
(Είναι 3 + 5 + 6 + 2 = 16, που δεν είναι πολλαπλάσιο του 9).

Στο επόμενο βίντεο μπορείτε να δείτε τις απλουστευμένες αποδείξεις ορισμένων από τα παραπάνω κριτήρια: