Τι σχέση έχουν τα βαμπίρ με τα μαθηματικά;
Το 1994, ο C. A. Pickover της IBM όρισε τους βαμπιρικούς αριθμούς ως εξής:
Έστω n ένας φυσικός αριθμός με 2κ ψηφία (δηλαδή με άρτιο πλήθος ψηφίων). Ο n λέγεται "βαμπιρικός αριθμός" αν και μόνο αν υπάρχουν δύο φυσικοί αριθμοί a και b, ο καθένας με κ ψηφία, τέτοιοι ώστε:
n = a ⋅ b,
τα τελευταία ψηφία του a και του b να μην είναι και τα δύο 0
και τα ψηφία του n να είναι ακριβώς τα ψηφία των a και b μαζί, με μια οποιαδήποτε μετάθεση (δηλαδή αναδιάταξη).
Οι δύο αριθμοί a και b λέγονται "κυνόδοντες" (!) του n.
Για παράδειγμα:
1260 = 21 ⋅ 60
↑ ↑ ↑
βαμπιρικός κυνόδοντες
βαμπιρικός κυνόδοντες
αριθμός
Βλέπουμε ότι τα ψηφία των αριθμών 21 και 60, με μια αναδιάταξη δίνουν τα ψηφία του 1260.
Υπάρχουν άπειρα τέτοια παραδείγματα βαμπιρικών αριθμών, όπως:
1395 = 15 ⋅ 93
1435 = 35 ⋅ 41
1530 = 30 ⋅ 51
1827 = 21 ⋅ 87
2187 = 21 ⋅ 87
6880 = 80 ⋅ 86
Οι βαμπιρικοί αριθμοί είναι:
Επιπλέον, υπάρχουν βαμπιρικοί αριθμοί με διπλά (ή και πολλαπλά) ζεύγη "κυνόδοντων":
125460 = 204 ⋅ 615
= 246 ⋅ 510
Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι βαμπιρικοί αριθμοί που είναι πρώτοι αριθμοί, με τους "κυνόδοντες" να είναι επίσης πρώτοι αριθμοί:
117067 = 167 ⋅ 701
Οι πρώτοι βαμπιρικοί αριθμοί ορίστηκαν από τον C. Rivera το 2002.
Είναι γνωστό ότι οι αριθμοί που γράφονται ως γινόμενο δύο πρώτων αριθμών εφαρμόζονται κατά κόρον στην Κρυπτογραφία. Αν επιπλέον αυτοί είναι και βαμπιρικοί αριθμοί, τότε ανοίγει ένας νέος τομέας για έρευνα στη Θεωρία Αριθμών!
6880 = 80 ⋅ 86
Οι βαμπιρικοί αριθμοί είναι:
1260,
1395, 1435, 1530, 1827, 2187, 6880, 102510, 104260, 105210, 105264, 105750,
108135, 110758, 115672, 116725, 117067, 118440, 120600, 123354, 124483, 125248,
125433, 125460, 125500, ...
Κάντε κλικ εδώ για να δείτε τη λίστα των 10.000 πρώτων βαμπιρικών αριθμών
125460 = 204 ⋅ 615
= 246 ⋅ 510
Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι βαμπιρικοί αριθμοί που είναι πρώτοι αριθμοί, με τους "κυνόδοντες" να είναι επίσης πρώτοι αριθμοί:
117067 = 167 ⋅ 701
Οι πρώτοι βαμπιρικοί αριθμοί ορίστηκαν από τον C. Rivera το 2002.
Είναι γνωστό ότι οι αριθμοί που γράφονται ως γινόμενο δύο πρώτων αριθμών εφαρμόζονται κατά κόρον στην Κρυπτογραφία. Αν επιπλέον αυτοί είναι και βαμπιρικοί αριθμοί, τότε ανοίγει ένας νέος τομέας για έρευνα στη Θεωρία Αριθμών!
Πηγές και αναφορές:
C. A. Pickover,
"Vampire Numbers." Ch. 30 in Keys to Infinity. New York: Wiley, pp. 227-231, 1995.
Πανεπιστημιακές σημειώσεις "Εφαρμογές της Θεωρίας Αριθμών στην Κρυπτογραφία" καθηγητή Α. Φυραρίδη, 2009.
The On-Line encyclopedia of Integer Sequences
The On-Line encyclopedia of Integer Sequences
