"Κόντρα μάθημα" ή μάθημα με νόημα; Μια βιωματική προσέγγιση στη Στατιστική της Γ΄ Λυκείου

Στα Μαθηματικά της Γ΄ Λυκείου της ομάδας προσανατολισμού Ανθρωπιστικών Σπουδών, το οποίο συχνά αποκαλείται ως «κόντρα μάθημα» μιας και θεωρείται «κόντρα» προς τα ενδιαφέροντά τους, επιχειρήθηκε μια εναλλακτική διδακτική προσέγγιση με στόχο να κεντρίσει το ενδιαφέρον τους.

Η παρέμβαση στηρίχθηκε στις αρχές της βιωματικής μάθησης και της ομαδοσυνεργατικής διδασκαλίας, με έμφαση στην ενεργό εμπλοκή των μαθητών και στη σύνδεση της μαθηματικής γνώσης με αυθεντικά δεδομένα της καθημερινότητάς τους.

Μαθηματικά στη Γ΄ Ανθρωπιστικών Σπουδών του 1ου ΓΕΛ Καλύμνου

🔎Οι μαθητές, οργανωμένοι σε ομάδες των 3-4 ατόμων, συμμετείχαν σε όλα τα στάδια μιας αυθεντικής στατιστικής διερεύνησης. Συγκεκριμένα:

• σχεδίασαν ερωτηματολόγιο γύρω από τη χρήση των μέσων κοινωνικής δικτύωσης από μαθητές της ηλικίας τους.
• συνέλεξαν δεδομένα από δείγμα 50 συμμαθητών τους
• οργάνωσαν τα δεδομένα σε πίνακες κατανομής συχνοτήτων
• υπολόγισαν βασικά στατιστικά μέτρα (μέση τιμή, διάμεσος κ.λπ.)

Η έμφαση δεν δόθηκε τόσο στην εκτέλεση αλγοριθμικών διαδικασιών, αλλά στη μαθηματικοποίηση της κατάστασης και στην ερμηνεία των αποτελεσμάτων.

📈Μέσα από τη δραστηριότητα, οι μαθητές δεν περιορίστηκαν στην εφαρμογή τύπων, αλλά κλήθηκαν να:

• αποδώσουν νόημα σε στατιστικές έννοιες (π.χ. τι εκφράζει η σχετική συχνότητα ή η μέση τιμή σε ένα πραγματικό πλαίσιο, ή τι εκφράζει η επικρατούσα τιμή όσον αφορά το δημοφιλέστερο μέσο κοινωνικής δικτύωσης)
• συνδέσουν διαφορετικές αναπαραστάσεις (πίνακες, γραφήματα, αριθμητικά μεγέθη)
• εξασκηθούν στις διαφορετικές αναπαραστάσεις των ρητών αριθμών (κλάσματα, δεκαδικοί, ή ποσοστά %)
• διατυπώσουν και να τεκμηριώσουν συμπεράσματα
• συγκρίνουν τα ευρήματά τους (π.χ. για να διαπιστώσουν αν υπάρχει ή όχι διαφοροποίηση των ποσοστών ως προς το φύλο)
• αναπτύξουν κριτική στάση απέναντι στα δεδομένα και στα αποτελέσματα (αντιπροσωπευτικότητα δείγματος, εγκυρότητα συμπερασμάτων)

Η προσέγγιση αυτή ενίσχυσε τη μετάβαση από τη διαδικαστική εκτέλεση στην εννοιολογική κατανόηση της Στατιστικής.

👪Η εργασία σε ομάδες λειτούργησε ως βασικός μηχανισμός οικοδόμησης της γνώσης. Μέσα από τη συνεργασία, οι μαθητές:

• διαπραγματεύτηκαν έννοιες και ερμηνείες
• ανέπτυξαν επιχειρηματολογία
• μοιράστηκαν στρατηγικές επίλυσης
• συμμετείχαν σε διαδικασίες κοινωνικής κατασκευής της γνώσης

Η μαθησιακή διαδικασία απέκτησε έτσι διαλογικό χαρακτήρα, ενισχύοντας τη μαθηματική επικοινωνία.

📊Η δραστηριότητα συνέβαλε ουσιαστικά στην ανάπτυξη στατιστικού γραμματισμού, καθώς οι μαθητές:

• εργάστηκαν με αυθεντικά δεδομένα
• εξήγαγαν συμπεράσματα με βάση πραγματικά ερωτήματα
• συνέδεσαν τα μαθηματικά με κοινωνικά και προσωπικά ζητήματα

Τα ευρήματα, όπως ο μέσος χρόνος χρήσης των social media, η ικανότητα των παιδιών να κρίνουν αν το περιεχόμενο που προβάλλεται στα social media είναι AI generated, ή ο βαθμός συναισθηματικής επιρροής ανάλογα με το πλήθος των likes που παίρνουν, αποτέλεσαν αφετηρία για περαιτέρω συζήτηση και προβληματισμό.

📚Η διδακτική αυτή παρέμβαση ανέδειξε ότι είναι δυνατόν να προκληθεί ουσιαστική μαθηματική εμπλοκή των μαθητών, όταν:

• αξιοποιούνται αρχές της βιωματικής μάθησης
• δίνεται έμφαση στην εννοιολογική κατανόηση
• ενισχύεται η ενεργός συμμετοχή των μαθητών
• χρησιμοποιούνται αυθεντικά και νοηματοδοτημένα πλαίσια

Η Στατιστική, μέσα από αυτή τη διαδικασία, μετασχηματίστηκε από ένα σύνολο τεχνικών σε ένα δυναμικό εργαλείο κατανόησης της πραγματικότητας και οι μαθητές-μελλοντικοί φοιτητές των Ανθρωπιστικών Επιστημών πήραν μια μικρή «γεύση» από το μάθημα της Στατιστικής που (πιθανόν αναπόφευκτα) πρόκειται να συναντήσουν στις σπουδές τους.

Τελικά, το «κόντρα μάθημα» μπορεί να πάψει να είναι κόντρα, όταν η διδασκαλία μετατοπίζεται από τη μετάδοση γνώσης στην οικοδόμηση νοήματος.

Τα κλάσματα αλλιώς: Οπτικοποίηση με το Polypad

 

Το Polypad είναι ένα εξαιρετικό διαδραστικό εργαλείο για τη διδασκαλία των βασικών μαθηματικών εννοιών μέσα από διερεύνηση και πειραματισμό. Προσφέρει μια μεγάλη ποικιλία από ψηφιακά "χειραπτικά" υλικά που επιτρέπουν στους μαθητές να πειραματιστούν, να κάνουν υποθέσεις και να οικοδομήσουν τη μαθηματική γνώση με ενεργητικό τρόπο.

Οπτική αναπαράσταση του κλάσματος \(\frac{3}{5}\) με διαφορετικούς τρόπους

Οπτική αναπαράσταση του κλάσματος \(\frac{7}{5}\) με διαφορετικούς τρόπους

Ιδιαίτερα στην ενότητα των κλασμάτων οι εκπαιδευτικοί έχουν τη δυνατότητα να χρησιμοποιήσουν πολλαπλές οπτικές αναπαραστάσεις των κλασματικών αριθμών και οι μαθητές έχουν την ευκαιρία να συγκρίνουν μεγέθη, να δημιουργούν ισοδύναμα κλάσματα ή να ανακαλύψουν τις πράξεις μεταξύ κλασμάτων με οπτικό και διαισθητικό τρόπο.

Οπτική σύγκριση των κλασμάτων \(\frac{4}{5}\) και  \(\frac{5}{6}\) 

Οπτική αναπαράσταση της πρόσθεσης \(\frac{2}{6}+\frac{3}{6} \)

Οπτική αναπαράσταση της αφαίρεσης \(\frac{6}{7}-\frac{2}{7} \)

Οπτική αναπαράσταση της πρόσθεσης \(\frac{3}{4}+\frac{5}{6} \) με τις κλασματικές λωρίδες πάνω στην αριθμογραμμή: Η ακέραιη μονάδα πρέπει να υποδιαιρεθεί σε 12 ίσα μέρη, εφόσον Ε.Κ.Π.(4,6)=12, εξηγώντας έτσι γιατί τα κλάσματα πρέπει να γίνουν ομώνυμα για να τα προσθέσουμε. 

Οπτική αναπαράσταση του πολλαπλασιασμού  \(\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{4} \)

Οπτική αναπαράσταση της διαίρεσης \(2:\frac{1}{5} \)

Το περιβάλλον του Polypad είναι απλό, δωρεάν και λειτουργεί online, γεγονός που το καθιστά ιδανικό τόσο για την τάξη, όσο και για εξ αποστάσεως διδασκαλία. Τα σχήματα μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε φύλλα εργασίας που θα δημιουργήσει ο εκπαιδευτικός, αλλά είναι και ιδανικά σε διαδραστικό μάθημα στην οθόνη.

Μαθηματική Δράση: «Ανακαλύπτοντας το π στην καθημερινή ζωή»

Με αφορμή την Παγκόσμια Ημέρα του π (14 Μαρτίου) και ανταποκρινόμενοι στο κάλεσμα της Διεθνούς Μαθηματικής Ένωσης για τη Διεθνή Ημέρα Μαθηματικών (IDM), πραγματοποιήσαμε στο ΕΠΑΛ Καλύμνου μια διερευνητική δραστηριότητα με στόχο οι μαθητές να «ανακαλύψουν» πειραματικά τον αριθμό π.

Οι μαθητές/τριες χωρίστηκαν σε ομάδες των τριών ατόμων και τους δόθηκαν διάφορα κυκλικά αντικείμενα της καθημερινότητας, όπως μολυβοθήκες, συσκευασίες, δοχεία, καπάκια και άλλα. Κάθε ομάδα έπρεπε να μετρήσει δύο μεγέθη για κάθε αντικείμενο:

• τη διάμετρο Δ του κύκλου
• την περιφέρειά του, L.

Για τις μετρήσεις χρησιμοποίησαν διάφορα εργαλεία: χάρακα, μεζούρα αλλά και κορδόνι, το οποίο τύλιγαν γύρω από την περιφέρεια του αντικειμένου και στη συνέχεια μετρούσαν το μήκος του με τον χάρακα.

Αφού κατέγραψαν τις μετρήσεις τους στο φύλλο εργασίας, οι μαθητές υπολόγισαν για κάθε αντικείμενο τον λόγο \( \frac{L}{Δ} \).

Παρατήρησαν ότι, παρά τις μικρές διαφορές λόγω των μετρήσεων, το αποτέλεσμα ήταν κάθε φορά περίπου 3,14. Μέσα από αυτή τη διαδικασία οδηγήθηκαν στο συμπέρασμα ότι ο λόγος της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του είναι σταθερός και ισούται με τον αριθμό π.

Στη συνέχεια συζητήσαμε ότι οι τιμές που υπολόγισαν οι μαθητές ήταν προσεγγίσεις του π. Ο αριθμός π είναι άρρητος, δηλαδή έχει άπειρα δεκαδικά ψηφία χωρίς να επαναλαμβάνονται περιοδικά. Για τον λόγο αυτό δεν μπορούμε ποτέ να τον γράψουμε ακριβώς σε δεκαδική μορφή· ακόμη και οι πιο σύγχρονοι υπολογιστές δεν μπορούν να υπολογίσουν όλα τα ψηφία του!

Η δραστηριότητα βοήθησε τους μαθητές να κατανοήσουν ότι τα μαθηματικά δεν είναι μόνο εφαρμογή έτοιμων τύπων, αλλά μπορούν να προκύψουν μέσα από παρατήρηση, μέτρηση και πειραματισμό.

Για τη δράση αυτή συνεργάστηκαν όλες οι μαθηματικοί του σχολείου:

Γαβαλά Μαρία

Καλαφάτη-Ματθαίου Καλλιόπη

Κιρκή Καλλιόπη

Κουζούμη Φωτεινή

Παπαβαρνάβα Όλγα

Η "Επιπεδοχώρα" στον κινηματογράφο

Από το πειραματικό animation των 60’s στο εκπαιδευτικό animation του 21ου αιώνα

 

Η «Επιπεδοχώρα (Flatland: A Romance of Many Dimensions, 1884)» του Edwin A. Abbott είναι ένα από τα ελάχιστα λογοτεχνικά έργα που κατάφεραν να γεφυρώσουν με τόση επιτυχία τα μαθηματικά, τη φιλοσοφία και την κοινωνική σάτιρα. Δεν είναι τυχαίο ότι, παρά τη δυσκολία του θέματος, το έργο ενέπνευσε και τον κινηματογράφο...

Στη συνέχεια παρουσιάζονται τρεις βασικές animated κινηματογραφικές μεταφορές της «Επιπεδοχώρας», που καλύπτουν σχεδόν μισό αιώνα.

Σκηνή από την ταινία animation Flatland: The Movie (2007)

 

1. Flatland (1965) – Ταινία μικρού μήκους

Πρόκειται για μια πειραματική ταινία κινουμένων σχεδίων μικρού μήκους (περίπου 10–11 λεπτά. Η ταινία αποδίδεται σε δημιουργούς του χώρου του εκπαιδευτικού και καλλιτεχνικού animation της εποχής (John Hubley, Eric Martin) και εντάσσεται στο πνεύμα των οπτικοακουστικών πειραματισμών των ’60s.

Η αφήγηση είναι λιτή και αφαιρετική, με έμφαση:

• στη δισδιάστατη φύση της Επιπεδοχώρας,
• στη δυσκολία των κατοίκων να συλλάβουν την έννοια της τρίτης διάστασης,
• και λιγότερο στην κοινωνική σάτιρα του πρωτότυπου έργου.

Αποτελεί περισσότερο ένα οπτικό φιλοσοφικό σχόλιο παρά μια πλήρη αφήγηση της ιστορίας.

 

2. Flatland: The Movie (2007)

Η ταινία του 2007 είναι η πιο ολοκληρωμένη κινηματογραφική μεταφορά της «Επιπεδοχώρας». Πρόκειται για μεγάλου μήκους animation, σκηνοθετημένο από τον Ladd Ehlinger Jr., με στόχο κυρίως την εκπαιδευτική χρήση.

Η ταινία:

• ακολουθεί πιο πιστά την πλοκή του βιβλίου,
• παρουσιάζει καθαρά την κοινωνική ιεραρχία των σχημάτων,
• δίνει έμφαση στη σύγκρουση ανάμεσα στην εμπειρική γνώση και τη νέα, «αδιανόητη» ιδέα της τρίτης διάστασης.

 

3. Flatland 2: Sphereland (2012)

Η ταινία Flatland 2: Sphereland (2012), επίσης σε σκηνοθεσία του Ladd Ehlinger Jr., βασίζεται στο «Sphereland: A Fantasy About Curved Spaces and an Expanding Universe, (1957)» τη συνέχεια του έργου του Abbott.

Σε αυτήν την εκδοχή:

• η κοινωνική αλληγορία υποχωρεί,
• το βάρος μετατοπίζεται στις ανώτερες διαστάσεις,
• και αναδεικνύεται η δυσκολία κατανόησης αφηρημένων μαθηματικών εννοιών, ακόμη και από εκείνους που έχουν ήδη βιώσει μια «αποκάλυψη».

Η ταινία λειτουργεί περισσότερο ως φιλοσοφικό και μαθηματικό συμπλήρωμα της πρώτης.

 

Διδακτική αξιοποίηση των ταινιών

Οι κινηματογραφικές μεταφορές της «Επιπεδοχώρας» μπορούν, πέρα από ψυχαγωγικούς σκοπούς, να ιδωθούν και ως διδακτικά εργαλεία, που επιτρέπουν στους μαθητές να προσεγγίσουν τα μαθηματικά ως τρόπο σκέψης και όχι μόνο ως σύνολο τύπων. Εκπαιδευτικοί και γονείς μπορούν να τις αξιοποιήσουν με πολλούς τρόπους, ανάλογα με την κρίση τους και, φυσικά, τις ηλικίες των παιδιών:

Εισαγωγή στην έννοια των διαστάσεων

Μαθηματικά και κοινωνία

Γεωμετρία και Bauhaus

Μαθηματικά και Σύγχρονη Τέχνη

 

Γνωρίζετε άλλες ταινίες βασισμένες στην «Επιπεδοχώρα»; Εσείς πώς θα αξιοποιούσατε κάποια από αυτές τις ταινίες (ή το μυθιστόρημα) στη διδασκαλία σας/στη δημιουργική απασχόληση των παιδιών;

 

"Πώς να το λύσω"

Ο George Polya (1887-1985), γνωστός στους μαθηματικούς ως ο «δάσκαλος των δασκάλων», υπήρξε ταυτόχρονα μια μεγάλη φυσιογνωμία στα ζητήματα της Μαθηματικής Παιδείας και ένας σημαντικός ερευνητής στα Μαθηματικά, ένας από τους εκπροσώπους της Ουγγρικής Μαθηματικής Σχολής, που διακρίθηκε ιδιαίτερα τον 20^ο  αιώνα. Το έργο του Polya στη Μαθηματική Παιδεία αντανακλά τη διαδικασία συνειδητοποίησης, από τον ίδιο, της πορείας προς την ανακάλυψη που πραγματοποιούσε στις μαθηματικές του εργασίες.

Το βιβλίο του «Πώς να το λύσω» (1945) παραμένει και σήμερα, 80 χρόνια μετά την πρώτη γραφή του, ένα πολύ σημαντικό έργο, που επηρεάζει βαθιά όποιον το διαβάζει - και γράφτηκε ακριβώς γι' αυτό: για να αλλάξει στάσεις, συνήθειες και απόψεις, να συζητήσει σε νέα βάση παλιές ιδέες, να φέρει στο φως αγνοημένες αντιλήψεις, μοντέλα και στρατηγικές, που διαμορφώθηκαν «υπόγεια» μέσα σε χιλιάδες χρόνια εξέλιξης της ανθρώπινης κοινωνίας. Οι «μέθοδοι ανακάλυψης» που προτείνει στο «Πώς να το λύσω» έχουν μακρά ιστορία, από τον Πάππο μέχρι τον Descartes και τον Euler, που ο Polya αξιοποιεί διδακτικά.

Πρόκειται, λοιπόν, για μια Διδακτική προερχόμενη από τις ίδιες τις ρίζες των Μαθηματικών, από τη συνειδητοποίηση της πορείας προς την ανακάλυψη. Σαν κείμενο διατηρεί τη ζωντάνια και τη δροσιά ενός ιδιότυπου στυλ. Μοιάζει να απευθύνεται ταυτόχρονα στο δάσκαλο και στο μαθητή στην πραγματικότητα διαβάζεται από κάθε άνθρωπο με στοιχειώδεις γνώσεις λυκείου. Είναι ίσως το πιο γνωστό βιβλίο που γράφτηκε για να δώσει πνοή, να φυσήξει ζωή σ' αυτές τις, απελπιστικά μονότονες και πληκτικές, σχολικές γνώσεις, δείχνοντάς μας έναν τρόπο να τις «δούμε» διαφορετικά.

Διαβάστε ακόμη στο "εις το άπειρον":

Πώς να λύσουμε ένα πρόβλημα;

Ο χαρταετός!

 

Γράφει ο Αθ. Δ. Γκίκας, Μαθηματικός

Δημήτρης Μυταράς (1934-2017) - "Χαρταετοί"

 

Κάποιες ατέλειωτες νύχτες φέρνω πίσω από τα πέλαγα του χρόνου τα βιώματά μου τα παλιά και ακούραστα. Τα βιώματά μου είναι η μαγιά για το κείμενο που ακολουθεί. Λες πάντα καλύτερα την ιστορία που έχεις κατακτήσει. Αν δεν έχεις τα βιώματα δεν έχεις τίποτα. Τα αληθινότερα κείμενα είναι εκείνα που έχουν αφετηρία τον εαυτό μας. Θα επιχειρήσω να εξισορροπήσω την αλήθεια με την αναγνωσιμότητα.
Έθιμο της Καθαράς Δευτέρας είναι το πέταγμα του χαρταετού. Η οικογένεια αφού επιβιβαστεί στο αυτοκίνητό της, πάρει και τα απαραίτητα φαγώσιμα, θα σταματήσει στο κοντινό περίπτερο ν’ αγοράσει το χαρταετό, έτσι για να διατηρηθεί το έθιμο. Ποιο χαρταετό θα μου πείτε; Αυτόν με τις φιγούρες από σύγχρονα κόμικς στην επιφάνειά του ή με σήμα κάποιας ποδοσφαιρικής ομάδας. Και αφού πάνε στην εξοχή θ’ αρχίσει η διαδικασία το πετάγματος πλην ματαίως, τις περισσότερες φορές.

Η σκηνή σαν και τούτη:

-  Ο μικρός θα γκρινιάζει γιατί ο δικός του δεν «σηκώθηκε».
- Ο πατέρας μπλεγμένος μες στους σπάγγους και το ξερόχορτο θα ρίχνει τις ευθύνες στη μητέρα γιατί δεν του έκανε καλό «κεφάλι».
-     Όταν ξεμπλέξει με το λιγοστό σπάγγο που θα του έχει απομείνει θα τρέχει σαν τρελλός στα χωράφια για να πάρει λίγο ύψος ο αετός. Ύστερα περήφανος θα εξομολογείται:  Τον «σήκωσα» και φέτος !

Σπύρος Βασιλείου (1903-1985) - "Τα σαρακοστιανά" (1950)

Η ημέρα θα κυλίσει με άριστες επιδόσεις στην κατανάλωση λαγάνας, ταραμοσαλάτας, καλαμαριών καβουριών και άλλων «σαρακοστιανών» και περιχαρείς θα επιστρέψουν στο σπίτι. Περιχαρείς; Όλο και κάποιοι θα νοιώθουν εκείνο το κενό μέσα τους, το ονομαζόμενο «μεθεόρτιο σύνδρομο» από τους ψυχολόγους, που προέρχεται από τις πολλές ελπίδες που είχαν στηρίξει στην Καθαροδευτεριάτικη έξοδο και δεν επαληθεύτηκαν.
Και πώς να μην γίνει έτσι. Πόσο κοπίασαν για τον αετό; Τί ξέρουν για το σκελετό του με τα «ψυχοκάλαμα» ; Πόσο κοπίασαν για τα ζύγια του; Ας είναι καλά οι πήχες από το ξυλουργείο κι η βιοτεχνία που φτιάχνει αετούς χωρίς «ψυχή»; Πώς ν’ ασχοληθείς με το πέταγμα, αφού δεν καταπιάστηκες ποτέ με την κατασκευή του και μέσα από αυτή, διδάσκοντας την στα παιδιά σου, να δίνεις και να παίρνεις και συ χαρά; Χωρίς περιστροφές θα πω ότι τα πράγματα στις ημέρες μου ήταν καλύτερα. Τούτο όχι από συνήθεια που έχουμε οι παλιότεροι να ωραιοποιούμε καταστάσεις που ζήσαμε… και τότε δεν ήταν όλα ωραία. Άλλα πράγματα ήταν χειρότερα από σήμερα.
Όμως επειδή ο λόγος πρέπει να είναι «ορθός αποδεικτικός», όπως στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, θα επιχειρήσω τη σύγκριση κι ας βγάλει ο αναγνώστης τα συμπεράσματά του.

Πρώτα πρώτα για μας το πέταγμα του αετού δεν ήταν σαν το «στιγμιαίο αδίκημα» δηλ. αγοράζω την Κ. Δευτέρα το πρωί, κάνω προσπάθεια για πέταγμα και τελείωσα. Ήταν ολόκληρη ιεροτελεστία που άρχιζε μια δυο εβδομάδες πριν. Όταν είσαι νέος έχεις το χρόνο στο πλευρό σου ανεξάντλητο κα όλα είναι συναρπαστικά.

- Πρώτα τα καλάμια για το σκελετό. Ας ήταν καλά τα μαντριά προβάτων. Και σήμερα αν θέλει κάποιος μπορεί να βρει δίπλα σε  αυλάκια.
- Μετά τη φροντίδα για τις κόλλες, το ζυμάρι που θα τις κολλούσε.
- Ο σπάγγος ο κερωμένος για να κρατάει καλύτερα.
- Κουρέλια ή φύλλα από το κιντρινόχρωμο πρόχειρο σχολικό τετράδιο, για την ουρά. Βλέπεις δεν έφτανε η «δραχμή» ν’ αγοράσεις και δεύτερη κόλλα για τις φούντες της ουράς.

Τα δύσκολα άρχιζαν στην συναρμολόγηση. Πώς θα κατορθώσεις να φτιάξεις το κανονικό εξάγωνο. Το μυστικό πήγαινε από τα μεγαλύτερα παιδιά της παρέας στα μικρότερα έτσι εμπειρικά. Εγώ το διδάχτηκα από τον ξαδελφό μου Κ. Γκίκα γεωπόνο, που με τα μακριά και επιδέξια δάκτυλά του έκανε τους καλύτερους χαρταετούς. Θαύμαζα τους αετούς του. Σήμερα δε θαυμάζουμε αλλά θαμπωνόμαστε από ένα συμβάν επιτυχίας. Παλαιά υπήρχαν πρότυπα σε γειτονιές, στο σχολείο, στα αθλήματα, σε εργασιακούς χώρους, όπου μια δεξιότητα μας κέντριζε σε άμιλλα. Θαυμασμός εσωτερικός . ήταν αναμέτρηση με τους εαυτούς μας. Γιατί ο Κώστας φτιάχνει αετό και να μη μπορώ και γω! Έτσι όχι μόνο μαθαίναμε, αλλά συγχρόνως γινόμασταν καράβι που μετέφερε τη γνώση στο επόμενο λιμάνι της αρχέγονης αλυσίδας ζωής. Αν το φορτίο το παραδώσαμε σωστά, τότε η ζωή μας έχει νόημα.

Στην παρουσίαση της κατασκευής θα ακολουθήσω την αρχή της εποπτικότητας, με σκοπό διδακτικό, αισθητικό και κύρια τεκμηριωτικό. Αφού και τα τρία καλάμια ΑΔ, ΓΖ, ΒΕ κεντραριζόντουσαν στο μέσο Ο με καρφίτσα αρχικά για να μπορεί να περιστρέφονται, με την αρχή του σπάγγου στο σημείο Α μετρούσαμε μέχρι το Ο και δέναμε στο Β. Πάλι από το Β μετρούσαμε μέχρι το Ο και δέναμε στο Γ κ.λ.π. Έτσι το εξάγωνο ήταν έτοιμο. Έπρεπε να γίνω Μαθηματικός για να δώσω τη θεωρητική εξήγηση στην κατασκευή του κανονικού εξαγώνου μ’ αυτόν τον τρόπο που περιέγραψα.

 

 

Σχήμα του Αθ.Δ. Γκίκα με τα μαθηματικά του χαρταετού

 

Η εμπειρική κατασκευή στηρίζεται στην Μαθηματική αλήθεια ότι:
Η πλευρά του κανονικού εξαγώνου ΑΒ = ΑΟ = R = ακτίνα περιγεγραμμένου κύκλου.

Από την κατασκευή του αετού ξεκινούσα στη Β΄ Λυκείου την διδασκαλία του κανονικού εξαγώνου, έτσι όπως απαιτεί η διδακτική των Μαθηματικών από την εμπειρία στο θεωρητικό μοντέλο και αντίστροφα.

 

Στα πρώτα χρόνια υπήρχαν μαθητές, που βοηθούσαν στο πέρασμα από την εμπειρία στη θεωρία. Σιγά σιγά, όλο και λιγόστευαν, αφού κανένας γονιός δεν δίδαξε το παιδί του πώς να φτιάχνει αετό. Αν το είχε κάμει θα του είχε μάθει χωρίς καλά καλά να το καταλαβαίνει ο ίδιος και τις ιδιότητες του κανονικού εξαγώνου – θα φανεί παρακάτω του λόγου το ασφαλές. Ας έλθουμε στα ζύγια που πετάγματος ΚΑ, ΚΒ, ΚΟ και της ουράς ΛΕ, ΛΔ.

Σχεδόν πάντοτε όλα είχαν το ίδιο μήκος με την πλευρά (ακτίνα). Όμως, αν ήθελε κάποιος να παίρνει ύψος ο αετός του, κρατούσε το μεσιανό, το ΚΟ μικρότερο, όχι όσο αυτός ήθελε. Τα Μαθηματικά έχουν και πάλι το λόγο, όσο δηλ. το απόστημα ΟΘ του κανονικού εξαγώνου. Εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο ΟΓΘ θα βρείτε:

 \(ΟΘ=\frac{R \sqrt{3}}{2} \simeq 0,86R\)

 

Και επειδή η πλευρά του κανονικού εξαγώνου είναι όσο και η ακτίνα, το μεσαίο ζύγι είναι τα 0,86 πλευράς. Κατ’ αυτό τον τρόπο, ο αετός υψωνόταν σχεδόν κατακόρυφα, ο σπάγγος του δεν έκανε «κοιλιά», που δεν ήταν τίποτα άλλο από την αλυσοειδή καμπύλη της Θεωρητικής Μηχανικής.

Περιέγραψα την κατασκευή για να είναι η σύγκριση ευχερής. Εμάς μας γέμιζε πριν απ’ όλα η προετοιμασία. Το πέταγμα ήταν η κορύφωση. Νοιώθαμε έρωτα γι’ αυτόν. Τον μαθαίναμε και τον χορταίναμε κατασκευάζοντάς τον. Και όταν τον βλέπαμε να σηκώνεται στα ύψη νοιώθαμε περισσότερο ελεύθεροι. Νικούσαμε την βαρύτητα της Γής που μας κρατά καθηλωμένους χιλιάδες χρόνια πάνω της. Λίκνο του ανθρώπινου γένους και του πολιτισμού του η γη, αλλά και τα δεσμά του. Σαν τον υψώναμε ψηλά και η καλούμπα είχε φτάσει στο τέλος, του στέλναμε και ένα «μήνυμα» του αετού ! Τι ήταν το μήνυμα; Ένα στρογγυλό χαρτί με μια τρύπα στη μέση, συνήθως από το πακέτο τσιγάρων των θεριακλήδων της παρέας, που το περνούσαμε στο σπάγγο και ο αέρας το προχωρούσε μέχρι τον αετό! Έτσι με το πέταγμα το αετού περνούσαμε τις ελεύθερες ώρες σχεδόν όλο το σαρανταήμερο. Όσο κρατούσε το ανοιξιάτικο βοριαδάκι και μας το επέτρεπε. Μετά τον κρεμούσαμε στο υπόγειο, εφόσον δεν είχε καρφωθεί σε κανένα δένδρο. Σύρματα της Δ.Ε.Η. δεν υπήρχαν για εμπόδια και ηλεκτροπληξίες. Έφτιαξα αετούς για τα παιδιά μου, τα ανίψια μου και τον εγγονό μου.
Θα πει κάποιος: Αφού δίδαξες τα παιδιά σου, συ κατασκευάζεις και για το εγγόνι;
-  Ε! λοιπόν, ναι. Τα παιδιά δεν τα είδα αποφασισμένα να γονατίσουν στο πάτωμα και ν’ ανακατευτούν με κόλλες, ψαλίδια και σπάγγους. Τα είδα να κατευθύνονται στο γειτονικό περίπτερο!! Εγώ πάντως κάτι κερδίζω. Γίνομαι πάλι παιδί. Μόνο δυο φορές στη ζωή μας γινόμαστε παιδιά. Όταν είμαστε πραγματικά παιδιά και όντας μεγάλοι, να μπορούμε να κατακτήσουμε πάλι όσα μας έκαναν εντύπωση ως παιδιά. Η παιδική μνήμη είναι παντοδύναμη. Παραμένουμε ζωντανοί χάρη στην αυταξία ορισμένων στιγμών, που επιλέγουμε, δημιουργώντας μια δεύτερη ροή παράλληλη με τις ρυτίδες μας. 

 

Πηγή: Λαμιακός Τύπος

Αλέκος Φασιανός (1935-2022) - "Χαρταετός"

 

🌐Ένα αναλυτικό tutorial για την κατασκευή χαρταετού, καθώς και τη Φυσική που χρησιμεύει για το πέταγμα του χαρταετού, θα βρείτε στο ιστολόγιο Πειράματα Φυσικής με Απλά Υλικά.

 

"Μαθηματικές Συναντήσεις..."

 

...με μαθητές Γυμνασίου και Λυκείου

"Η γνώμη μου είναι ότι στα περισσότερα σχολικά βιβλία τα μαθηματικά θέματα αντιμετωπίζονται χωρίς συνοχή. Η μια λεπτομέρεια στοιβάζεται πάνω στην άλλη, συχνά χωρίς ρυθμό ή λογική. Δεν αποσαφηνίζονται οι σημαντικές γραμμές της μαθηματικής σκέψης, στις οποίες μπορεί να ενταχθεί η τεχνική ώστε να γίνεται ευχάριστα αποδεκτή και να έχει κάποιο νόημα. Και είναι μεγάλο κρίμα, διότι η ενασχόληση με τα μαθηματικά αποτελεί δραστηριότητα όμορφη και γεμάτη ζωντάνια", σημειώνει ο Serge Lang (1927-2005), παγκοσμίου φήμης καθηγητής του Πανεπιστημίου Yale, στο προλογικό σημείωμα του βιβλίου "Μαθηματικές Συναντήσεις με μαθητές Γυμνασίου και Λυκείου".

Το βιβλίο από τις εκδόσεις "κάτοπτρο"

Το βιβλίο αυτό περιλαμβάνει τα "εκτός ύλης" μαθήματα που δίδαξε ο Serge Lang σε μαθητές της μέσης εκπαίδευσης. Τα κείμενα έχουν μεταγραφεί από τις μαγνητοταινίες όσο πιστά γίνεται, ώστε να διατηρηθεί το ζωντανό ύφος τους. Στόχος του συγγραφέα ήταν να δείξει στους μαθητές όμορφα μαθηματικά, στο επίπεδο της δικής τους τάξης, ιδωμένα όμως με τον τρόπο που έχει ένας έμπειρος μαθηματικός. Τα μαθήματα αφορούν γεωμετρικά και αλγεβρικά θέματα τα οποία είναι κατανοητά στο επίπεδο της Γ΄ Γυμνασίου και της Α΄ Λυκείου. Οι μαθητές κατόρθωσαν τόσο να κατανοήσουν όσο και να απολαύσουν όλα αυτά τα μαθηματικά και, αναμφίβολα, το ίδιο θα συμβεί και με εσάς που θα διαβάσετε αυτό το βιβλίο. Αν, μάλιστα, είστε εκπαιδευτικός, θα εμπνευστείτε από τη διδακτική του προσέγγιση!

Σελίδα από το βιβλίο: Ο S.Lang και οι μαθητές συζητούν σχετικά με τον αριθμό π.

Μέτρηση απόστασης πλοίου από την ακτή!

🚢Έχετε ποτέ αναρωτηθεί, όταν είστε στην παραλία και βλέπετε ένα καράβι στα ανοιχτά, πόσο μακριά από την ακτή βρίσκεται;

👨‍🏫Ο Θαλής ο Μιλήσιος τον 6ο αιώνα π.Χ. χρησιμοποίησε μια μέθοδο υπολογισμού της απόστασης ενός πλοίου από την ακτή. Αυτή η μέθοδος βασίζεται στην ισότητα ορθογωνίων τριγώνων της Ευκλείδειας Γεωμετρίας.  

🎞️Ο μαθηματικός Φώτης Καραμπουτάκης από το κανάλι του YouTube, Math Me Up, εξηγεί τη μέθοδο αυτή με τη βοήθεια κινουμένων σχεδίων!

 

Εκπαιδευτική δραστηριότητα στη Στατιστική Β΄ Γυμνασίου

Το εκπαιδευτικό πρότζεκτ που θα παρουσιάσω σήμερα δεν είναι νέο, αλλά υλοποιήθηκε τον Μάιο του 2021, πριν δύο χρόνια τέτοια εποχή. Ήταν μια ιδιαίτερη περίοδος, αφενός λόγω της πανδημίας του κορωνοϊού και αφετέρου εξαιτίας των σεισμών στην περιοχή. Έτσι, κάναμε με τους μαθητές της Β΄ τάξης (Β5) του 3ου Γυμνασίου Λάρισας κάτι πιο διασκεδαστικό και δημιουργικό, αξιοποιώντας την βιωματική μάθηση. 

Στο πλαίσιο του μαθήματος των Μαθηματικών και το Κεφάλαιο της Στατιστικής, αποφασίσαμε να διερευνήσουμε τη σχέση των μαθητών του σχολείου τους με τον αθλητισμό και να μάθουμε ποιο ήταν το πιο δημοφιλές άθλημα. Αφού προσδιορίσαμε τον πληθυσμό, το δείγμα και τις μεταβλητές, ετοιμάσαμε ένα ερωτηματολόγιο με ερωτήσεις κλειστού αλλά και ανοικτού τύπου, το οποίο  μοιράστηκε σε 200 μαθητές του σχολείου (επέλεξα το μέγεθος του δείγματος ν=200 για να διευκολυνθούμε στους υπολογισμούς). Τα παιδιά, χωρισμένα σε ομάδες στη βάση της ομαδοσυνεργατικής μάθησης, συνέλεξαν τα δεδομένα από κάθε τμήμα του σχολείου και έκαναν την καταμέτρηση. Έπειτα, όλοι μαζί "ένωσαν" τις παρατηρήσεις τους, υπολογίσαμε τις συχνότητες και σχετικές συχνότητες % (τα ποσοστά των μαθητών που ασχολούνται ή όχι με τον αθλητισμό και τα ποσοστά των προτιμήσεων για κάθε άθλημα) και κάναμε τις γραφικές παραστάσεις (με το χέρι αλλά και με υπολογιστή). 

Το μάθημά μας δεν έμεινε στη θεωρία ή τις ασκήσεις της Στατιστικής. Οι μαθητές έμαθαν εμπειρικά για τους πίνακες συχνοτήτων, εξασκήθηκαν στον υπολογισμό ποσοστών, σχεδίασαν ραβδογράμματα και κυκλικά διαγράμματα, κατανόησαν τη σημασία της δειγματοληψίας, αφού δεν ρωτήθηκαν όλοι οι μαθητές του σχολείου και πήραν μία μικρή "γεύση" από τη δουλειά που κάνει ένας ερευνητής όσον αφορά το στατιστικό κομμάτι. 

Ρίχνοντας μια ματιά στα νέα Προγράμματα Σπουδών, βλέπουμε ότι η Στατιστική θα διδάσκεται σε όλες τις τάξεις της Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης, οπότε μια δραστηριότητα σαν αυτή ίσως συνηθίζεται μελλοντικά. Επιπλέον, η αξιοποίηση εύχρηστων λογισμικών όπως το πρόγραμμα λογιστικών φύλλων Microsoft Excel, θεωρώ ότι θα είναι από χρήσιμη έως και αναγκαία για τη διδασκαλία της Στατιστικής. 

ℹ️ Το ερωτηματολόγιο που χρησιμοποιήθηκε ήταν το παρακάτω. 

Εκτυπώστε το από εδώ

 

Μερικά από τα απαντημένα ερωτηματολόγιά μας

~*~*~

"Πες μου και θα το ξεχάσω. Δείξε μου και θα το θυμάμαι. Κάνε με να το βιώσω και θα το καταλάβω". (Κομφούκιος)