Μέτρηση απόστασης πλοίου από την ακτή!

🚢Έχετε ποτέ αναρωτηθεί, όταν είστε στην παραλία και βλέπετε ένα καράβι στα ανοιχτά, πόσο μακριά από την ακτή βρίσκεται;

👨‍🏫Ο Θαλής ο Μιλήσιος τον 6ο αιώνα π.Χ. χρησιμοποίησε μια μέθοδο υπολογισμού της απόστασης ενός πλοίου από την ακτή. Αυτή η μέθοδος βασίζεται στην ισότητα ορθογωνίων τριγώνων της Ευκλείδειας Γεωμετρίας.  

🎞️Ο μαθηματικός Φώτης Καραμπουτάκης από το κανάλι του YouTube, Math Me Up, εξηγεί τη μέθοδο αυτή με τη βοήθεια κινουμένων σχεδίων!

 

Εκπαιδευτική δραστηριότητα στη Στατιστική Β΄ Γυμνασίου

Το εκπαιδευτικό πρότζεκτ που θα παρουσιάσω σήμερα δεν είναι νέο, αλλά υλοποιήθηκε τον Μάιο του 2021, πριν δύο χρόνια τέτοια εποχή. Ήταν μια ιδιαίτερη περίοδος, αφενός λόγω της πανδημίας του κορωνοϊού και αφετέρου εξαιτίας των σεισμών στην περιοχή. Έτσι, κάναμε με τους μαθητές της Β΄ τάξης (Β5) του 3ου Γυμνασίου Λάρισας κάτι πιο διασκεδαστικό και δημιουργικό, αξιοποιώντας την βιωματική μάθηση. 

Στο πλαίσιο του μαθήματος των Μαθηματικών και το Κεφάλαιο της Στατιστικής, αποφασίσαμε να διερευνήσουμε τη σχέση των μαθητών του σχολείου τους με τον αθλητισμό και να μάθουμε ποιο ήταν το πιο δημοφιλές άθλημα. Αφού προσδιορίσαμε τον πληθυσμό, το δείγμα και τις μεταβλητές, ετοιμάσαμε ένα ερωτηματολόγιο με ερωτήσεις κλειστού αλλά και ανοικτού τύπου, το οποίο  μοιράστηκε σε 200 μαθητές του σχολείου (επέλεξα το μέγεθος του δείγματος ν=200 για να διευκολυνθούμε στους υπολογισμούς). Τα παιδιά, χωρισμένα σε ομάδες στη βάση της ομαδοσυνεργατικής μάθησης, συνέλεξαν τα δεδομένα από κάθε τμήμα του σχολείου και έκαναν την καταμέτρηση. Έπειτα, όλοι μαζί "ένωσαν" τις παρατηρήσεις τους, υπολογίσαμε τις συχνότητες και σχετικές συχνότητες % (τα ποσοστά των μαθητών που ασχολούνται ή όχι με τον αθλητισμό και τα ποσοστά των προτιμήσεων για κάθε άθλημα) και κάναμε τις γραφικές παραστάσεις (με το χέρι αλλά και με υπολογιστή). 

Το μάθημά μας δεν έμεινε στη θεωρία ή τις ασκήσεις της Στατιστικής. Οι μαθητές έμαθαν εμπειρικά για τους πίνακες συχνοτήτων, εξασκήθηκαν στον υπολογισμό ποσοστών, σχεδίασαν ραβδογράμματα και κυκλικά διαγράμματα, κατανόησαν τη σημασία της δειγματοληψίας, αφού δεν ρωτήθηκαν όλοι οι μαθητές του σχολείου και πήραν μία μικρή "γεύση" από τη δουλειά που κάνει ένας ερευνητής όσον αφορά το στατιστικό κομμάτι. 

Ρίχνοντας μια ματιά στα νέα Προγράμματα Σπουδών, βλέπουμε ότι η Στατιστική θα διδάσκεται σε όλες τις τάξεις της Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης, οπότε μια δραστηριότητα σαν αυτή ίσως συνηθίζεται μελλοντικά. Επιπλέον, η αξιοποίηση εύχρηστων λογισμικών όπως το πρόγραμμα λογιστικών φύλλων Microsoft Excel, θεωρώ ότι θα είναι από χρήσιμη έως και αναγκαία για τη διδασκαλία της Στατιστικής. 

ℹ️ Το ερωτηματολόγιο που χρησιμοποιήθηκε ήταν το παρακάτω. 

Εκτυπώστε το από εδώ

 

Μερικά από τα απαντημένα ερωτηματολόγιά μας

~*~*~

"Πες μου και θα το ξεχάσω. Δείξε μου και θα το θυμάμαι. Κάνε με να το βιώσω και θα το καταλάβω". (Κομφούκιος)

"Ο Γιάννης που αγάπησα"... Ιστορίες ανατροπής στην τάξη των Μαθηματικών

Το βιβλίο της Κατερίνας Καλφοπούλου

Το τελευταίο κουδούνι της μέρας έχει χτυπήσει. Μόνη, μπροστά στον γεμάτο πίνακα, μέσα στην άδεια τάξη ανακεφαλαιώνει, αξιολογεί, στοχάζεται. Τι έκανα καλά, τι δεν μου βγήκε; Διερεύνηση παραμετρικής εξίσωσης σήμερα. Σίγουρα τους δυσκόλεψε. Κάποιοι δεν θα κατάλαβαν Χριστό. Μάλλον θα πρέπει να επανέλθω. Ο Γιάννης έδειχνε κουλ. Αυτός ίσως το 'πιασε. Αύριο θα τον βάλω να λύσει την άσκηση στον πίνακα. Για να δούμε...

Μαζεύει τα πράγματά της και παίρνει τον δρόμο για την κατοικία της, την κατοικία που συχνά για τη δασκάλα -για τον δάσκαλο του δημόσιου σχολείου- δεν είναι το Σπίτι της. Παρόμοιες σκέψεις την ακολουθούν στο δρόμο, στην ουρά του σουπερμάρκετ, στο ασανσέρ. Η Μαρία είχε σήμερα τα νεύρα της -δεν ήταν, λέει, το πρόβλημα αρκετά σαφές- πού να καταλάβει το καημένο ότι αυτός ήταν ο στόχος: δίνεις ένα πρόβλημα ασαφές, τροφή για σκέψη και γίνεται... επανάσταση, αφού "όλα τα προβλήματα οφείλουν να έχουν μοναδική λύση, η οποία να επιτυγχάνεται με τρόπο ανάλογο αυτού που παραθέτει το λυμένο παράδειγμα-εφαρμογή του βιβλίου". Αυτό! Αυτό ποιος θα το ξεκολλήσει από τη σκέψη των παιδιών, των γονιών τους, αλίμονο και πολλών από τους δασκάλους τους;  

Απόγευμα ή βραδάκι, με το κομπιούτερ, τα βιβλία και τα τετράδια ανοικτά -είναι η ώρα να σχεδιαστούν τα πλάνα για τα μαθήματα της επομένης. Γιατί, όπως μάλλον αγνοούν όσοι είναι έξω από τον χορό, η δουλειά του δασκάλου δεν τελειώνει σαν χτυπήσει το κουδούνι...

Το βιβλίο αυτό είναι γεμάτο από ιστορίες ανατροπής. Η τάξη είναι ένα σώμα ζωντανό, μεταβλητό, συχνά κυκλοθυμικό, καμιά φορά απρόβλεπτο. Η τέχνη του δασκάλου είναι να μπορεί να προσαρμόζεται σ' αυτή την ποικιλία των καταστάσεων, να μπορεί να παρεκκλίνει αν χρειαστεί από την πορεία του, χωρίς ποτέ να φεύγει από τον στόχο του. Γι' αυτό ετούτο το βιβλίο είναι πολύτιμο. Γιατί μας δείχνει με ζωντάνια και γλαφυρότητα πώς ένας δάσκαλος καταφέρνει να μετατρέψει τα αναμασημένα, ανακυκλωμένα αλλά παρόλα αυτά αραχνιασμένα αναλυτικά προγράμματα, τα αρτηριοσκληρωτικά και κακογραμμένα, γεμάτα λάθη, με παντελή έλλειψη φαντασίας σχολικά εγχειρίδια, σ' έναν ποταμό φρεσκάδας, στοχασμού και δημιουργίας...

(από τον Πρόλογο του βιβλίου)

Σελίδα από το βιβλίο... διαβάζοντας σε μια κενή διδακτική ώρα.

Με την ανάγνωση του βιβλίου, μού έρχονται στο μυαλό διάφορα από τα δικά μου πεπραγμένα ενώ ταυτίστηκα σε πολλά σημεία με τη συγγραφέα, Κατερίνα Καλφοπούλου. Το προτείνω σε όσους δεν το έχουν ακόμη διαβάσει. Αν το έχετε διαβάσει, γράψτε μας στα σχόλια την εμπειρία σας! 

Για τη μεθοδολογία στη διδασκαλία των Μαθηματικών

✅ Η μεθοδολογία απορρέει από την καλή γνώση της θεωρίας. 

✅ Η ασκησιολογία οδηγεί στη μαθηματικοφοβία. 

💬 "Αν υπήρχε μέθοδος για το πώς να πίνουμε νερό, θα πνιγόμαστε συνεχώς..." (Άλφρεντ Άντλερ) 

Από την ημερίδα Μαθηματικών την Πέμπτη 8/12/22 στη Λάρισα

Μαθηματικά: Μίσος ή έρωτας;

Δεν ακούμε συχνά κάποιον να λέει ότι δεν του άρεσε ποτέ η Βιολογία ή Λογοτεχνία. Ασφαλώς αυτά τα αντικείμενα δεν ενθουσιάζουν τους πάντες, αλλά αυτοί που δεν ενθουσιάζονται τείνουν να κατανοούν απόλυτα ότι κάποιους άλλους τους ενθουσιάζουν. Αντιθέτως, τα Μαθηματικά, αλλά και τα αντικείμενα με "υψηλή περιεκτικότητα" σε Μαθηματικά, όπως η Φυσική ή η Χημεία, φαίνεται να προκαλούν όχι απλά αδιαφορία, αλλά πραγματική αντιπάθεια. Σε τι οφείλεται το γεγονός ότι πολλοί άνθρωποι εγκαταλείπουν τα μαθηματικά γνωστικά αντικείμενα με την πρώτη ευκαιρία και τα θυμούνται με τρόμο σε όλη την υπόλοιπη ζωή τους;

Ο Timothy Gowers, μαθηματικός και κάτοχος μετάλλιου Fields, στο βιβλίο του "Μαθηματικα: Μια Συνοπτική Εισαγωγή" τονίζει πως ίσως αυτό που βρίσκουν οι άνθρωποι μη ελκυστικό δεν είναι τόσο τα Μαθηματικά αυτά καθαυτά, όσο η εμπειρία των μαθημάτων Μαθηματικών, κάτι που είναι εύκολο να καταλάβουμε. Επειδή κάθε νέα μαθηματική γνώση χτίζεται πάνω στις προηγούμενες, είναι σημαντικό να μην αφήνονται κενά κατά την εκμάθησή τους. Για παράδειγμα, αν κάποιος δεν έχει εξοικειωθεί αρκετά με τον πολλαπλασιασμό διψήφιων αριθμών, πιθανότατα δεν θα έχει καλή διαισθητική αντίληψη ούτε για την επιμεριστική ιδιότητα. Χωρίς αυτήν, μάλλον δεν θα έχει ευχέρεια με τον πολλαπλασιασμό σε μια αλγεβρική παράσταση που περιέχει παρενθέσεις, όπως στην \( (x+1)(x-3)\) και άρα δεν θα μπορεί να καταλάβει καλά τις εξισώσεις δευτέρου βαθμού. Και τότε, ίσως να μην μπορεί να καταλάβει γιατί η χρυσή τομή είναι \( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \).

Υπάρχουν πολλές αλυσίδες τέτοιου είδους, αλλά για να μην αφήνει κανείς κενά στα μαθηματικά δεν αρκεί να διατηρεί κάποια τεχνική ευχέρεια. Κάθε τόσο, εισάγεται μια καινούρια ιδέα που είναι πολύ σημαντική και αισθητά πιο σύνθετη από τις προηγούμενες και με κάθε τέτοια ιδέα υπάρχει το ενδεχόμενο να μείνει κανείς πίσω. Ένα παράδειγμα είναι η χρήση γραμμάτων (μεταβλητών) στη θέση των αριθμών, κάτι που μπερδεύει πολλούς, αλλά είναι κάτι θεμελιώδες για τα Μαθηματικά. Άλλα παραδείγματα είναι οι αρνητικοί αριθμοί, η τριγωνομετρία, η ύψωση σε δύναμη, οι λογάριθμοι και οι απαρχές του Απειροστικού Λογισμού της Γ΄ Λυκείου. Όσοι δεν είναι έτοιμοι να κάνουν το απαραίτητο εννοιολογικό άλμα, όταν συναντήσουν κάποια από αυτές τις ιδέες θα αισθάνονται στη συνέχεια ανασφάλεια με όλα τα Μαθηματικά που βασίζονται σε αυτή. Δεν είναι περίεργο που τα μαθήματα Μαθηματικών γίνονται, για πολλούς ανθρώπους, ένα είδος βασανιστηρίου.

Είναι όμως αυτή η κατάσταση αναπόφευκτη; Είναι απλώς κάποιοι μαθητές καταδικασμένοι να μισούν τα Μαθηματικά στο σχολείο; Ή μήπως θα ήταν δυνατόν να διδάσκεται το μάθημα διαφορετικά, με τέτοιον τρόπο ώστε να αποκλείονται τελικά από αυτό πολύ λιγότεροι μαθητές; Αν ένα παιδί λάβει από μικρή ηλικία μαθήματα μαθηματικών από κάποιον καλό και παθιασμένο δάσκαλο, θα μεγαλώσει με αγάπη για τα Μαθηματικά. Αν, επιπλέον, ο δάσκαλος είναι ικανός να διακρίνει το βαθμό ετοιμότητας των μαθητών του και να μπορεί να προσαρμόζει τη διδασκαλία του, τότε οι πιθανότητες να μισήσουν τα παιδιά αυτά τα Μαθηματικά, μειώνονται. Από αυτό, βέβαια, δεν προκύπτει άμεσα κάποια εφαρμόσιμη μέθοδος διδασκαλίας, αλλά τουλάχιστον δείχνει ότι υπάρχει περιθώριο βελτίωσης στον τρόπο διδασκαλίας των Μαθηματικών. 

Κλείνοντας, ο Manil Suri, μαθηματικός και συγγραφέας, επισημαίνει εύστοχα στο άρθρο του στην εφημερίδα New York Times με τίτλο "Πώς να ερωτευτείτε τα Μαθηματικά" ότι, σε αντίθεση με όσα πιστεύουν οι περισσότεροι για τα Μαθηματικά, πολλές μαθηματικές ιδέες δεν απαιτούν  ειδικές γνώσεις για να γίνουν κατανοητές και να εκτιμηθούν. "Σκεφτείτε", αναφέρει, "ότι για να εκτιμήσετε έναν πίνακα ζωγραφικής δεν είναι απαραίτητο να ξέρετε να ζωγραφίζετε, ούτε και για να απολαύσετε τη συμφωνική μουσική είναι απαραίτητο να μπορείτε να διαβάζετε παρτιτούρες". 

Πηγές-Αναφορές

Gowers T. (2020). Μαθηματικά: Μια Συνοπτική Εισαγωγή. Ηράκλειο: Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης

Suri M. (2013). How to fall in love with math. New York Times.

Trigodance: Ο χορός της... τριγωνομετρίας

Το Movemathics είναι μια νέα, καινοτόμα προσέγγιση της διδασκαλίας των Μαθηματικών. Βασίζεται στην κιναισθητική μάθηση, σύμφωνα με την οποία ο άνθρωπος μαθαίνει και απομνημονεύει τις πληροφορίες μέσα από την κίνηση, τις χειρονομίες και την αφή. 

Συγκεκριμένα, το Movemathics χρησιμοποιεί τον χορό ως κιναισθητική μέθοδο διδασκαλίας της Τριγωνομετρίας του Γυμνασίου και παροτρύνει τους μαθητές να χορέψουν Trigodance: τον τριγωνομετρικό χορό!    

Θα ήθελα πολύ να μάθω τη γνώμη των μαθητών της χώρας μας. Εσείς, ως καθηγητές, θα διδάσκατε αυτόν τον χορό στους μαθητές σας;

Τα μαθηματικά μας διδάσκουν να είμαστε ειλικρινείς...

   "Δεν μπορείτε να μάθετε μαθηματικά βλέποντας κάποιον άλλο να ασχολείται με αυτά. Μια ενεργή διαδικασία μάθησης εμπεριέχει την επίλυση προβλημάτων αυξανόμενης δυσκολίας, αν λύνετε συνεχώς προβλήματα της ίδιας πάντα δυσκολίας αυτά καταλήγουν απλώς ασκήσεις ρουτίνας. Αν ένα συγκεκριμένο πρόβλημα σας αντιστέκεται επίμονα, μπορείτε μεν να κοιτάτε το ταβάνι ή να συνοφρυώνεστε (δεν υπάρχει κανείς νόμος να το απαγορεύει), αλλά το καλύτερο που έχετε να κάνετε είναι να πάρετε  χαρτί και μολύβι και να αρχίσετε να πειραματίζεστε: προβείτε σε κάποιες εκτιμήσεις, θεωρήστε ειδικές περιπτώσεις, περιγράψτε τις ιδέες σας και ούτω καθεξής. Ο Leonard Euler είπε κάποτε: «Το μολύβι μου  μερικές φόρες κατεβάζει καλύτερες ιδέες από το κεφάλι μου».

  Για να αντιμετωπίσετε το πρόβλημα, πρέπει να συγκεντρώσετε την προσοχή σας στις συνθήκες του και στην διατύπωση του έως ότου εμφανιστεί η πρώτη αναλαμπή μιας ιδέας και η ελπίδα της επιτυχίας. Η επίλυση ενός προβλήματος δεν αποτελεί μόνο διανοητική πρόκληση αλλά και δοκιμασία της θέλησης, απαιτεί «μαχητικό πνεύμα».

  Δεν είναι απαραίτητο (ούτε καν  εφικτό) να λύσετε όλα τα γνωστά μαθηματικά προβλήματα. Πρέπει, επομένως, να διαλέξετε ό,τι θεωρείτε ευχάριστο, διδακτικό ενδιαφέρον και στα πλαίσια των δυνατοτήτων σας. Μέσα από αυτήν την διαδικασία  θα καλλιεργήσετε τα κριτήρια σας  και θα αποκτήσετε ευρύτερη μαθηματική «κουλτούρα».

  Τα μαθηματικά, έκτος των άλλων, σας διδάσκουν να είστε ειλικρινείς και με τον εαυτό σας και με τους άλλους. Όταν απαντάτε σε ένα  μαθηματικό πρόβλημα δεν είναι δυνατές οι υπεκφυγές. Και επιπλέον, η ειλικρίνεια αποτελεί απαραίτητη προϋπόθεση του συνεπούς τρόπου σκέψης. Έκτος αυτού, όταν λύνουμε προβλήματα δεν μαθαίνουμε μόνο πώς να αποδεικνύουμε αληθείς προτάσεις, αλλά και πώς να μαντεύουμε ποιες είναι οι αληθείς. Και η ικανότητα  να μαντεύουμε αποτελεί αναπόσπαστο κομμάτι της παραγωγικής σκέψης.

   Ο όμορφος κόσμος των μαθηματικών προβλημάτων αυξάνεται και πληθύνεται συνεχώς, γεγονός που αποδεικνύει ότι τα μαθηματικά είναι πράγματι μια ζωντανή επιστήμη".

V. Proizvolov

Πηγή: http://mathhmagic.blogspot.com/

Πώς να λύσουμε ένα πρόβλημα;

"Μια μεγάλη ανακάλυψη λύνει ίσως ένα μεγάλο πρόβλημα, μπορούμε να πούμε όμως ότι πίσω από τη λύση κάθε προβλήματος κρύβεται και μια μικρή ανακάλυψη. Το πρόβλημά σας μπορεί να είναι απλό. Αλλά αν προκαλεί την περιέργειά σας και ενεργοποιεί τις εφευρετικές σας ικανότητες και, αν το λύσετε μόνοι σας, τότε ίσως να δοκιμάσετε την ένταση και να απολαύσετε τον θρίαμβο της ανακάλυψης..."

Ο George Polya έφερε στο φως αγνοημένες αντιλήψεις, μοντέλα και στρατηγικές και, απευθυνόμενος ταυτόχρονα στο δάσκαλο και τον μαθητή, περιέγραψε τα στάδια επίλυσης ενός προβλήματος και έδωσε μεγάλο πλήθος μεθόδων επίλυσης προβλημάτων.

Τα 4 στάδια επίλυσης προβλήματος κατά τον Polya είναι:

1. Κατανόηση προβλήματος

Καθορίζονται τα δεδομένα, οι συνθήκες και ο άγνωστος του προβλήματος.

2. Κατάστρωση σχεδίου επίλυσης
Το στάδιο αυτό είναι ιδιαίτερα κρίσιμο, καθώς η κατάστρωση ενός σχεδίου ενδέχεται να είναι μια χρονοβόρα διαδικασία. Συχνά οι προσπάθειες μπορεί να αποτύχουν και θα χρειαστεί οι μαθητές να δοκιμάσουν αρκετά διαφορετικά σχέδια επίλυσης μέχρι να καταλήξουν σε μια αποτελεσματική μέθοδο.

3. Εφαρμογή του σχεδίου

Το στάδιο αυτό θεωρείται από τον Polya πιο εύκολο από τα προηγούμενα. Οι μαθητές χρειάζονται κυρίως υπομονή, ώστε να εφαρμόσουν σωστά το σχέδιό τους.

4. Κοιτάζοντας πίσω

Το τελευταίο στάδιο θεωρείται πολύ σημαντικό, καθώς συμβάλλει στην ικανότητα επίλυσης προβλημάτων και δεν πρέπει να παραλείπεται.

Αναστοχαστικές δράσεις των μαθητών ανά στάδιο επίλυσης προβλήματος

1.

• Ξέρω ποιος είναι ο άγνωστος του προβλήματος;
• Ξέρω ποια είναι τα δεδομένα και οι συνθήκες που εμπλέκονται στο πρόβλημα;

2.

• Μπορώ να κάνω ένα σχήμα ή κάποιο σχέδιο;
• Έχω ξαναδεί το ίδιο ή παρόμοιο ή σχετικό πρόβλημα προηγουμένως;
• Ξέρω ένα σχετικό θεώρημα/μαθηματικό τύπο που μπορώ να χρησιμοποιήσω;
• Θα μπορούσα να λύσω ένα ανάλογο απλούστερο πρόβλημα;

3.

• Είναι η σωστή η πορεία μου μέχρι τώρα;
• Πώς μπορώ να ελέγξω αν αυτό που έκανα είναι σωστό;

4.

• Τι έμαθα λύνοντας αυτό το πρόβλημα;

Αναστοχαστικές δράσεις του εκπαιδευτικού ανά στάδιο επίλυσης προβλήματος

1.

• Κατανόησε ο μαθητής τα δεδομένα και τα ζητούμενα του προβλήματος;
• Μπορεί ο μαθητής να επαναδιατυπώσει το πρόβλημα με δικά του λόγια;
• Υπάρχουν παρερμηνείες ή αδυναμίες σχετικά με το περιεχόμενο του προβλήματος;

2.

• Έχει αναπτύξει ο μαθητής κάποιο σχέδιο;
• Πώς μπορώ να τον συμβουλεύσω χωρίς να του δώσω την απάντηση;
• Υπάρχουν πληροφορίες που θα μπορούσα να του συστήσω να αναζητήσει;
• Πώς θα μπορούσα να τον βοηθήσω να κάνει συνδέσεις με ένα παρόμοιο ή σχετικό πρόβλημα;
• Πώς θα μπορούσα να τον βοηθήσω να λάβει υπόψη του όλα τα δεδομένα αλλά και τις βασικές έννοιες που εμπλέκονται;
• Μπορώ να τον βοηθήσω να κάνει εικασίες σχετικά με τη λύση;
• Μπορώ να του ζητήσω να σχεδιάσει μια πορεία λύσης;

3.

• Τι ερωτήσεις θα μπορούσα να του απευθύνω κατά την εκτέλεση του σχεδίου, ώστε να βεβαιωθώ ότι το σχέδιό του μπορεί να τον οδηγήσει στη λύση;
• Έχει ελέγξει ο μαθητής το αποτέλεσμα που βρήκε με έναν κατάλληλο και πειστικό τρόπο;

4.

• Πώς θα μπορούσε να χρησιμοποιήσει το αποτέλεσμα, την κεντρική ιδέα, τη μέθοδο ή τη στρατηγική για ένα μελλοντικό πρόβλημα;
• Πώς μπορώ να κάνω το πρόβλημα πιο γενικό;
• Πώς μπορώ να κάνω το πρόβλημα πιο ρεαλιστικό;
• Μπορεί ο μαθητής να βρει και άλλους τρόπους λύσης;
• Τι έμαθε ο μαθητής λύνοντας αυτό το πρόβλημα;

Μερικές από τις στρατηγικές επίλυσης προβλημάτων, σύμφωνα με τη διδασκαλία του Polya, είναι οι παρακάτω:

Στο βίντεο που ακολουθεί, που τραβήχτηκε γύρω στο 1975 με 1980, ο Polya εξηγεί στους φοιτητές τις παραπάνω στρατηγικές μέσα από την προσπάθεια επίλυσης ενός γεωμετρικού προβλήματος στον τρισδιάστατο χώρο. Μας παροτρύνει να προσπαθούμε να απλουστεύσουμε το πρόβλημα, να παρατηρούμε, να φτιάχνουμε σχήματα, να εντοπίζουμε αναλογίες, να βρίσκουμε μοτίβα και να κάνουμε αιτιολογημένες εικασίες, έπειτα να ελέγχουμε αν οι εικασίες μας είναι ορθές και αν δεν είναι να συνεχίζουμε με άλλο τρόπο... Αξίζει να το παρακολουθήσει κάθε εκπαιδευτικός που διδάσκει Μαθηματικά!

.~*~.~*~.~*~.~*~.~*~.~*~

"Διδασκαλία είναι το να δίνεις την ευκαιρία στους μαθητές να ανακαλύπτουν πράγματα μόνοι τους".
George Polya (1887-1985)

.~*~.~*~.~*~.~*~.~*~.~*~

Πηγές

Polya, G. (1998). Πώς να το λύσω; (3η έκδ.) Αθήνα: Καρδαμίτσα (Το πρωτότυπο έργο δημοσιεύθηκε το 1945).

Schoenfeld, H. (1992). Learning to think mathematically: Problem-solving, metacognition and sense making in mathematics. Handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 334-368). New York: MacMillan.

YouTube: scud1234: "Polya explains the problem solving technique"

Οι δέκα εντολές του George Polya προς τον δάσκαλο των Μαθηματικών

O George Polya συνέβαλε δραστικά στην ενίσχυση της σύνδεσης ανάμεσα στα Μαθηματικά και τη Διδακτική, αλλά και ανάμεσα στους μαθηματικούς και στους καθηγητές των Μαθηματικών. Στο βιβλίο του "Mathematical Discovery on Undestanding, Learning and Teaching Problem Solving" δίνει τις δέκα εντολές προς όσους διδάσκουν Μαθηματικά:

I. Να ενδιαφέρεσαι για το αντικείμενό σου.

II. Να γνωρίζεις το αντικείμενό σου.

III. Να γνωρίζεις τους τρόπους μάθησης: Ο καλύτερος τρόπος για να μάθεις κάτι είναι να το ανακαλύψεις μόνος σου.

IV. Προσπάθησε να διαβάζεις τα πρόσωπα των μαθητών σου, προσπάθησε να δεις τις προσδοκίες και τις δυσκολίες τους, τοποθέτησε τον εαυτό σου στη θέση τους.

V. Δώσε στους μαθητές σου, όχι μόνο πληροφορία, αλλά και καθοδήγηση χειρισμού της πληροφορίας, τρόπους σκέψης, τη συνήθεια της μεθοδικής εργασίας.

VI. Άφησέ τους να μάθουν να κάνουν νοερές εκτιμήσεις.

VII. Άφησέ τους να μάθουν να αποδεικνύουν.

VIII. Να επισημαίνεις στα παρόντα προβλήματα εκείνα τα χαρακτηριστικά που μπορεί να φανούν χρήσιμα στην επίλυση μελλοντικών προβλημάτων - προσπάθησε να αποκαλύψεις το γενικό μοτίβο που κρύβεται πίσω από την παρούσα συγκεκριμένη κατάσταση.

IX. Μην χαρίζεις ολόκληρο το μυστικό σου μονομιάς -άσε τους μαθητές σου να μαντέψουν προτού το πεις- άφησέ τους να το ανακαλύψουν μόνοι τους, όσο είναι εφικτό.

X.  Πρότεινε την πληροφορία, μην τους βάζεις να την καταπιούν με το ζόρι.

Πηγή: Mathematics for Teaching