Μαγικά μαθηματικά: Οι ακέραιοι

Σας προσκαλώ σε ένα παιχνίδι όπου ο νικητής κερδίζει ένα βραβείο. Διαλέξτε κάποιον τριψήφιο αριθμό και γράψτε τον δύο φορές διαδοχικά, σχηματίζοντας έναν καινούργιο, εξαψήφιο αριθμό. Αν έχετε επιλέξει π.χ. το 761, τότε σημειώστε στο χαρτί 761.761. Το παιχνίδι ξεκινάει: Διαιρέστε τον εξαψήφιο αριθμό με το 7. Το υπόλοιπο της διαίρεσης θα είναι ο τυχερός σας αριθμός και κερδίζετε χαρτονομίσματα των 100€, σε πλήθος όσο δείχνει ο τυχερός σας αριθμός! Το υπόλοιπο σίγουρα θα είναι κάποιος από τους αριθμούς 0, 1, 2, 3, 4, 5 ή 6. Μόνο αυτοί μπορούν να είναι υπόλοιπα μιας διαίρεσης δια του 7. Ο νικητής λοιπόν κερδίζει μέχρι και 600€!!!

Μήπως κατά τύχη ο τυχερός σας αριθμός βγήκε το 0; Τότε έχετε καλή παρέα... Το ίδιο έτυχε σε όλους τους συμπαίκτες σας!

Η εξήγηση αυτού του φαινομένου βρίσκεται σε μια καλά κρυμμένη ιδιότητα των ακεραίων. Συγκεκριμένα, ο σχηματισμός ενός εξαψήφιου αριθμού με τοποθέτηση ενός τριψήφιου δίπλα στον εαυτό του ισοδυναμεί με τον πολλαπλασιασμό του τριψήφιου επί 1.001. Και επειδή το 1.001 διαιρείται με το 7, ο εξαψήφιος αριθμός που φτιάχνουμε επίσης διαιρείται με το 7.

Αυτή η ιδέα μπορεί φυσικά να πάρει τη μορφή ενός μαγικού τεχνάσματος για επίδειξη σε κάποια φιλική παρέα: Τα χαρτονομίσματα των 100€ μπορούν να αντικατασταθούν από πρόβλεψη του υπολοίπου.

Εξάλλου, στον κόσμο των μαγικών τεχνασμάτων εμφανίζονται πολύ συχνά μαθηματικά δεδομένα. Αρκεί να βρει κανείς κάποια μαθηματικά αποτελέσματα που αντιβαίνουν προς την καθημερινή εμπειρία και των οποίων η εξήγηση είναι κρυμμένη στα βάθη κάποιας θεωρίας.

Ακόμη μια συμβουλή: Για τα μαγικά τεχνάσματα ισχύει ό,τι και για τα αρώματα - η συσκευασία είναι εξίσου σημαντική με το περιεχόμενο. Στην επίδειξή μας δεν πρέπει να αναφερθεί τίποτα για τον πολλαπλασιασμό του τριψήφιου αριθμού επί 1.001. Το γινόμενο ισούται, βέβαια, με τον αριθμό που προκύπτει αν βάλουμε τον τριψήφιο δίπλα στον εαυτό του. Αν, όμως, αυτό αποκαλυφθεί, πάει, χάθηκε η μαγεία...

Πηγή:

E. Behrends (2018). Μαθηματικά Πεντάλεπτα: 100 Μικρές Ιστορίες από τον Κόσμο των Μαθηματικών. Ηράκλειο: Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης

Μαγικά ή μαθηματικά;

Ένας καθηγητής Μαθηματικών είπε στους μαθητές του:

• Σκεφτείτε έναν αριθμό.
• Τώρα διπλασιάστε τον.
• Στο αποτέλεσμα, να προσθέσετε τον αριθμό 10.
• Το άθροισμα που βρήκατε να το διαιρέσετε με το 2.
• Από το πηλίκο, να αφαιρέσετε τον αριθμό που σκεφτήκατε αρχικά.

Κάθε μαθητής πρέπει να έχει βρει αποτέλεσμα τον αριθμό 5, ανεξάρτητα από ποιον αριθμό σκέφτηκε αρχικά.

Ο μαθηματικός δεν διάβαζε το μυαλό των μαθητών του... Πώς εξηγείται όμως το ότι ήξερε το τελικό αποτέλεσμα;

Έστω ότι x είναι ο αριθμός που σκέφτηκε κάποιος μαθητής. 

Τότε, αν τον διπλασιάσει γίνεται 2x. 

Στο αποτέλεσμα προσθέτει το 10 και προκύπτει το 2x + 10. 

Τον αριθμό που βρίσκει τον διαιρεί με το 2, οπότε βρίσκει (2x + 10):2. 

Αφαιρεί τον αριθμό που σκέφτηκε αρχικά και βρίσκει αποτέλεσμα (2x + 10):2 - x. 

O μαθηματικός ισχυρίζεται ότι το αποτέλεσμα πρέπει να είναι ίσο με 5, οπότε προκύπτει η εξίσωση:

(2x + 10):2 - x = 5 ⇔

2x + 10 - 2x = 10 ⇔

2x - 2x = 10 - 10 ⇔

0x = 0

H εξίσωση είναι ταυτότητα, άρα επαληθεύεται για κάθε αριθμό που μπορεί να σκέφτηκαν οι μαθητές.

Δεν είναι μαγικά... είναι απλά μαθηματικά!

Μαγικά ή μαθηματικά;

Είμαστε έτοιμοι να δούμε ένα... μαγικό τρικ (και την απομυθοποίησή του); Ξεκινάμε...

• Σκέψου έναν αριθμό.
• Πρόσθεσε το 7 στον αριθμό που διάλεξες.
• Αφαίρεσε το 2.
• Τώρα αφαίρεσε τον αριθμό που σκέφτηκες αρχικά.
• Πολλαπλασίασε τον αριθμό που προέκυψε με το 3.
• Τέλος, πρόσθεσε το 5.

Ξέρω ότι ο αριθμός που προέκυψε είναι το 20. Έτσι δεν είναι;

Όχι, δεν έχω καμιά ικανότητα να διαβάζω το μυαλό των άλλων... Πίσω από το τρικ κρύβεται απλώς η παρακάτω αλγεβρική παράσταση:

(x+7-2-x)·3+5 = 5·3+5

                        = 15+5

                    = 20

Δεν είναι μαγικά... είναι απλά μαθηματικά!