Γιατί δεν μπορούμε να διαιρέσουμε με το 0;

Στον κόσμο των Μαθηματικών, πολλά παράξενα συμπεράσματα είναι δυνατά όταν αλλάζουμε τους κανόνες. Υπάρχει όμως ένας κανόνας που είναι απαράβατος: μην διαιρέσεις με το μηδέν!

Γιατί, όμως, απαγορεύεται να διαιρούμε με το 0; Πού είναι το πρόβλημα; Κι αν ορίζαμε το πηλίκο ενός αριθμού με το μηδέν να ισούται με το άπειρο; Είναι σαν να ακούω τους μαθητές μου...

 Στο παρακάτω βίντεο που δημοσιεύτηκε από το TED-Ed υπάρχουν όλες οι απαντήσεις!

Μπορείτε να γράψετε, όπως πάντα, την άποψη ή την απορία σας στα σχόλια!

*~*~*~*~*

"Οι μαύρες τρύπες υπάρχουν εκεί όπου ο Θεός διαίρεσε με το μηδέν".

Steven Wright

Γρίφος: Ο τοξότης με τα βέλη

 

"Εικασία 3ν+1"

Τον φώναζαν Κριστιάνο. Πίστευαν ότι μια μέρα θα γινόταν μεγάλος ποδοσφαιριστής. Προπονητές, παράγοντες, αθλητικογράφοι ήταν όλοι σύμφωνοι. Τους διέψευσε. Αντί για το Μπερναμπέου και το Μαρακανά έμπλεξε στα κυκλώματα της νύχτας. Κι ένα βράδυ, έξω από ένα φτωχικό διαμέρισμα της Κυψέλης, βρέθηκε να κολυμπά μέσα στο ίδιο του το αίμα. Η υπόθεση έδειχνε απλή, σχεδόν προφανής. Όμως η Όλγα Πετροπούλου, του τμήματος εγκλημάτων κατά ζωής, δεν εμπιστευόταν τα προφανή. Στα μάτια της οι εμπλεκόμενοι, μια στρίπερ-μαθηματικός, ένας ναρκομανής, πρώην Γκόλντεν Μπόι, κι ένας γραφικός άστεγος με πλατιά μόρφωση, συνέθεταν έναν γρίφο πολύ πιο περίπλοκο απ' όσο φαίνονταν να πιστεύουν όλοι οι άλλοι· έναν γρίφο που από την πρώτη στιγμή φάνταζε να διαπερνά τα ευάλωτα, διαβρωμένα στεγανά της λαμπερής καθωσπρέπει κοινωνίας και του σκοτεινού υποκόσμου· έναν γρίφο που άκουγε στο κωδικό όνομα "εικασία 3ν + 1". Ή μήπως σήμαινε απλώς τρεις νεκροί κι ύστερα άλλος ένας... 

Αναλογιστικά μαθηματικά από τον Θανάση Βέγγο!

Ο "καλός μας άνθρωπος", Θανάσης Βέγγος, δίνει... ρέστα με τους  αριθμητικούς του υπολογισμούς στην ταινία "Θα σε κάνω βασίλισσα"...

Γρίφος: Θα ισορροπήσει η ζυγαριά;

Οι δύο πρώτες ζυγαριές ισορροπούν. Αν τοποθετηθεί ένα τετράγωνο στην τρίτη ζυγαριά, αυτή θα ισορροπήσει, θα γείρει προς τη δεξιά, ή προς την αριστερή μεριά; 

(Πηγή)

"Χωρίς απόδειξη"

Φανταστείτε το παράξενο ταξίδι ενός τρένου με μυστηριώδη προορισμό, όπου το πέρασμα των επιβατών από το ένα βαγόνι στο άλλο αλλάζει δραματικά τη ζωή τους, ή μια απρόβλεπτη συνάντηση με τον Γάλλο μαθηματικό του 17ου αιώνα Πιερ ντε Φερμά. Αλλά και μια συμφωνία με έναν λευκοντυμένο διάβολο, που προσπαθεί να βρει λύση σε ένα από τα δυσκολότερα μαθηματικά προβλήματα της εποχής. Αυτά είναι ορισμένα μόνο από τα θέματα της συλλογής διηγημάτων, «Χωρίς Απόδειξη» του συγγραφέα και μαθηματικού Στάμου Τσιτσώνη που κυκλοφορεί από τις εκδόσεις Κριτική.

Πρόκειται για δώδεκα συναρπαστικές ιστορίες στις οποίες ισορροπεί ευφυώς το φανταστικό με το πραγματικό στοιχείο, η επιστημονική πληροφόρηση με τη μυθοπλασία, το χιούμορ με την τέχνη της αφήγησης. Η μικρή φόρμα του διηγήματος αποκαλύπτει, επίσης, την ικανότητα του συγγραφέα να δημιουργεί ευρηματικές, πυκνές νοημάτων, ιστορίες, που αν και βασικό τους θέμα είναι ένα μαθηματικό ή ένα επιστημονικό ζήτημα δεν στερούν από τον αναγνώστη την απόλαυση της ανάγνωσης.

Συνεπώς, δεν απαιτούνται εξειδικευμένες μαθηματικές γνώσεις από τους αναγνώστες για να παρακολουθήσουν το περιεχόμενο κάθε ιστορίας. Ούτε χρειάζεται να γνωρίζει κάποιος αν όσα περιγράφονται στα διηγήματα έχουν συμβεί για να τα κατανοήσει την ουσία τους. Ωστόσο, οι μυημένοι στην επιστήμη μπορούν να διακρίνουν τη βαθιά γνώση του συγγραφέα σε κάθε επιστημονικό ζήτημα που εμπλέκει στις ιστορίες του.

 

Ας δούμε, όμως, συνοπτικά ορισμένα από τα θέματα των διηγημάτων. Στην «Επιβράβευση», το πρώτο διήγημα της έκδοσης, η προσωπική ικανοποίηση του μαθηματικού Αρίσταρχου Σαμιωτάκη για τη συμβολή του στην απόδειξη της Εικασίας του Πουανκαρέ, συγκρούεται με τη βαρετή οικογενειακή ζωή και την αδιαφορία της συντρόφου του.

Στο διήγημα «Το τρένο», ο συγγραφέας ενορχηστρώνει με οίστρο και κινηματογραφική οπτική το συναρπαστικό ταξίδι ενός αλλόκοτου τρένου με μυστηριώδη προορισμό και άπειρα βαγόνια, για να προσεγγίσει πολλαπλώς την έννοια του χρόνου, συνδυάζοντας το φανταστικό στοιχείο με τη θεωρία των αριθμών, αλλά και την υπαρξιακή διάσταση της αντίληψής μας για το χρόνο. Πρόκειται για μια ευφυή παραλλαγή του παραδόξου του «Ξενοδοχείου Hilbert», ενός ξενοδοχείου με άπειρο πλήθος δωματίων που, παρόλο που είναι όλα κατειλημμένα, κάθε νέος επισκέπτης που έρχεται βρίσκει πάντοτε θέση.

Στις «Διαμεσολαβήσεις», η αναζήτηση της λύσης ενός δύσκολου μαθηματικού προβλήματος ανακινεί, εκτός των άλλων, ερωτήματα για τα όρια της ανθρώπινης φύσης, ενώ στον «Τιμόθεο» μια επίσκεψη στο Άγιο Όρος δίνει το έναυσμα στον συγγραφέα να θέσει εμμέσως κάποια ερωτήματα για τη σχέση της θρησκείας με την επιστήμη και να εμπλέξει στη φιλοσοφική διάσταση των ερωτημάτων του το περίφημο Θεώρημα της μη πληρότητας του Γκέντελ.

Με ανάλογο τρόπο, το ταξίδι στη χώρα των μαθηματικών συνεχίζεται με αναφορές σε θέματα που αφορούν την Τοπολογία, το Διαγώνιο Θεώρημα, τη Θεωρία Πιθανοτήτων, το Νόμο των Μεγάλων Αριθμών, την ακολουθία Φιμπονάτσι, τα επιτεύγματα του Alan Turing και αρκετών ακόμα επιφανών μαθηματικών. Αν και, όπως τονίσαμε, αυτό το ταξίδι δεν περιορίζεται μόνο στο πεδίο της επιστήμης. Επιβεβαιώνει την πεποίθηση ότι ο κόσμος των μαθηματικών και της επιστήμης δεν είναι λιγότερο συναρπαστικός από τους υπόλοιπους, αρκεί να μπορούμε, βέβαια, να διακρίνουμε την ομορφιά του και τις ιστορίες που έχει να μας αφηγηθεί.

"Αλγεβρικές επιφάνειες"... ψηφιακά έργα μαθηματικής τέχνης!

 

Ο Γερμανός Torolf Sauermann, χρησιμοποιώντας μαθηματικά και το λογισμικό Surfer, δημιουργεί μοναδικά ψηφιακά έργα μαθηματικής τέχνης. Aποκαλεί τη συλλογή "Αλγεβρικές Επιφάνειες", αφού οι επιφάνειες που απεικονίζονται, παριστάνονται από αλγεβρικές εξισώσεις στον τρισδιάστατο χώρο. 

"Sauermann Surface 2013"

"Kubismus Sauermann 2011"

"2x Sphere"

"3x Sphere"

"4x Sphere"

"6x Sphere"

"Sauermann Nonic Surface 2013"

"Sunflower Sauermann 2008"

"Cube Surface"

"d=10 Demo Sauermann 2013"

"Fresnel Wave Surface"

Πηγή εικόνων: Imaginary.org

Γρίφος: Σε πόσα δευτερόλεπτα;

Η τελευταία διάλεξη του Gilbert Strang

Στις προπτυχιακές τους σπουδές, όχι μόνο στο Μαθηματικό, αλλά και σε πάρα πολλά τμήματα θετικών επιστημών ή μηχανικών, οι φοιτητές διδάσκονται το μάθημα της Γραμμικής Άλγεβρας.

Ο Gilbert Strang (γεν. 1934) δίδαξε Γραμμική Άλγεβρα για 61 χρόνια και εκατομμύρια άνθρωποι στον κόσμο έμαθαν από αυτόν τον σπουδαίο καθηγητή, είτε μέσω των όμορφων διαλέξεών του, ή μελετώντας τα βιβλία του. Οι βιντεοσκοπημένες διαλέξεις του είναι πολύ δημοφιλείς στο YouTube και το κανάλι MIT OpenCourseWare. Αυτή είναι η τελευταία διάλεξη που δίνει (Μάιος 2023), στο MIT της Μασαχουσέτης, σε ηλικία 88(!) ετών.

Το βιβλίο του Gilbert Strang "Γραμμική Άλγεβρα και εφαρμογές", σε μετάφραση Π. Πάμφιλου από τις Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης

Μπορείτε να παρακολουθήσετε μια πλήρη playlist διαλέξεων του Gilbert Strang πάνω σε όλη σχεδόν τη Γραμμική Άλγεβρα εδώ... 

 

Παιδικά βιβλία για τις καλοκαιρινές διακοπές!

 

Ταξίδι στον κόσμο των Μαθηματικών με τα παιδικά βιβλία του Δημήτρη Παναγάκου

Το καλοκαίρι έχει φτάσει και τα σχολεία σύντομα κλείνουν για τους μικρούς μαθητές. Για τις καλοκαιρινές διακοπές, το "εις το άπειρον", που αγαπά την ψυχαγωγική προσέγγιση των Μαθηματικών, προτείνει τρία παιδικά βιβλία από τον μαθηματικό και συγγραφέα Δημήτρη Παναγάκο. Τρία μικρά βιβλία, που υπόσχονται ένα συναρπαστικό ταξίδι στον κόσμο των Μαθηματικών αλλά και του διαστήματος... Με ευφάνταστο και διασκεδαστικό τρόπο, ο συγγραφέας βοηθά τα παιδιά να εξοικειωθούν με μαθηματικές έννοιες, ιδέες και θεωρίες. Στα βιβλία αυτά, που είναι ιδανικά για μαθητές Δημοτικού και Γυμνασίου, κρύβεται πολλή από τη μαγεία των Μαθηματικών. Μέσα στις σελίδες τους παρελαύνουν σπουδαίοι επιστήμονες, ενώ τα παιδιά καταλήγουν να μαθαίνουν Μαθηματικά χωρίς να συνειδητοποιήσουν ότι διαβάζουν Μαθηματικά! 

Τα Μαθηματικά Αινίγματα του Θείου Αριστοτέλη

 

Υπάρχουν στ' αλήθεια αδελφοί αριθμοί; Μήπως υπάρχουν και δίδυμοι; Τι είναι οι αριθμητικές ακολουθίες και τι σχέση έχουν με τα κουνέλια; Γιατί το 15 είναι τρίγωνος αριθμός και το 16 τετράγωνος; Τι σχέση έχουν οι μέλισσες με τα εξάγωνα; Από πότε μας είναι γνωστά τα μαγικά τετράγωνα;
Αυτά και πολλά ακόμη μαθηματικά αινίγματα θα ανακαλύψει ο μικρός Αλέξανδρος κατά τη διάρκεια ενός ξεχωριστού ταξιδιού παρέα με τον αγαπημένο του θείο. Ο "αινιγματικός" θείος Αριστοτέλης θα κάνει ευχάριστη τη διαδρομή με μαθηματικά παιχνίδια και θα δώσει στον Αλέξανδρο, εύκολα και με διασκεδαστικό τρόπο, όλα τα κίνητρα που χρειάζεται για να ξεκινήσει το υπέροχο ταξίδι του στον μαγικό κόσμο των Μαθηματικών!

Τα Έξυπνα Παιχνίδια του Κυρίου Πλάτωνα

 

Είναι τα Μαθηματικά διασκεδαστικά;
Για τον Χρίστο η απάντηση ήταν "σίγουρα όχι", ώσπου ξεκίνησαν οι καλοκαιρινές του διακοπές και συνάντησε έναν παλιό του γνώριμο. Ο κύριος Πλάτωνας, ο παράξενος και καλοσυνάτος γείτονας, ήταν έτοιμος να αλλάξει για πάντα τη γνώμη του Χρίστου.
"Όταν μαθαίνεις παίζοντας, το πράγμα αποκτά ενδιαφέρον", συνηθίζει να λέει ο κύριος Πλάτωνας και μας παρουσιάζει έναν υπέροχο κόσμο που κρύβεται πίσω από έξυπνα παιχνίδια σκέψης, όπως ο Μοναχικός, το Τάνγκραμ, ο Κύβος του Ρούμπικ, το Ντόμινο, το σκάκι κ.ά.
Τα έξυπνα παιχνίδια του κυρίου Πλάτωνα κάνουν την αριθμητική και τη γεωμετρία να μοιάζουν με παιχνίδι και ο συνδυασμός στρατηγικής και μαθηματικής σκέψης μάς επιτρέπει να ανακαλύψουμε τη διασκεδαστική πλευρά των μαθηματικών... παίζοντας!

Τα Διαστημικά Ταξίδια του Σωκράτη

 

"Τι ζώδιο είσαι;" ήταν η ερώτηση που την έκανε να γελάσει. Έπρεπε να το είχε φανταστεί πως ένα μαθηματικό μυαλό σαν το δικό της δεν θα έδειχνε κανένα ενδιαφέρον για τα ζώδια...
Ο μικρός Σωκράτης προσπάθησε να παραμείνει ψύχραιμος όταν ανακάλυψε πως το αγαπημένο χόμπι της Νεφέλης ήταν η Αστρονομία. Οι γνώσεις που είχε μέχρι εκείνη τη στιγμή για το διάστημα ήταν ελάχιστες και έπρεπε γρήγορα να τις εμπλουτίσει. Η αναπάντεχη επίσκεψη του παππού του για τις γιορτές των Χριστουγέννων έμοιαζε με σανίδα σωτηρίας. Σίγουρα ο παππούς Σωκράτης ήταν ο κατάλληλος άνθρωπος για να τον βοηθήσει, και μάλιστα με εύκολο και διασκεδαστικό τρόπο.
Με οδηγό τον αγαπημένο του παππού, ο μικρός Σωκράτης θα ξεκινήσει τα διαστημικά του ταξίδια ανακαλύπτοντας τους πλανήτες του ηλιακού μας συστήματος, ενώ παράλληλα θα παίζει παιχνίδια με γεωμετρικά σχήματα και θα συζητάει για τους σπουδαίους εξερευνητές του διαστήματος, όπως ο Κέπλερ, ο Νεύτωνας και ο Γαλιλαίος...