Κριτήρια Διαιρετότητας για τους αριθμούς από το 19 ως το 32!

Για να εξετάσουμε αν ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 19:

1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του αριθμού.

2. Στον αριθμό που προκύπτει προσθέτουμε 2 φορές το διαγραμμένο ψηφίο.

3. Αν το αποτέλεσμα (συμπεριλαμβανομένου του 0) διαιρείται με το 19, τότε και ο αρχικός αριθμός θα διαιρείται με το 19.

4. Αν δεν μπορούμε να αποφασίσουμε, επαναλαμβάνουμε τα τρία προηγούμενα βήματα μέχρι να προκύψει διψήφιος αριθμός. 

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 11.343
1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο, δηλαδή το 3 και μένει ο αριθμός 1.134.

2. Στο 1.134 προσθέτουμε το διπλάσιο του 3, δηλαδή το 6:
1.134 + 2*3 = 1.134 + 6 = 1.140
3. Επειδή δεν μπορούμε να κρίνουμε αν ο αριθμός 1.140 διαιρείται με το 19, επαναλαμβάνουμε τα προηγούμενα βήματα:

1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του 1.140, δηλαδή το 0 και μένει ο αριθμός 114.
2. Στο 114 προσθέτουμε το διπλάσιο του 0, δηλαδή το 0:
114 + 2*0 = 114

3. Επαναλαμβάνουμε:

1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του 114 και μένει ο αριθμός 11.
2. Στο 11 προσθέτουμε το διπλάσιο του 4:
11 + 2*4 = 11 + 8 = 19
3. Το 19 διαιρείται με το 19, επομένως και ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 19.

Ένας ακέραιος αριθμός θα διαιρείται με το 20:

-Αν διαιρείται ταυτόχρονα και με το 4 και με το 5,

ή, συνδυάζοντας τα κριτήρια διαιρετότητας του 4 και του 5:
-Αν το τελευταίο του ψηφίο είναι 0 ή 5 και τα  τελευταία δύο ψηφία του σχηματίζουν διψήφιο αριθμό που διαιρείται με το 4.

π.χ. Ο αριθμός  1.360 διαιρείται με το 20, γιατί:
-διαιρείται με το 4, αφού τελειώνει σε 60 και το 60 διαιρείται με το 4
και
-διαιρείται με το 5, αφού τελειώνει σε 0.

Ένας ακέραιος αριθμός θα διαιρείται με το 21:

Αν διαιρείται ταυτόχρονα και με το 3 και με το 7,

δηλαδή αν ικανοποιεί ταυτόχρονα τα κριτήρια διαιρετότητας του 3 και του 7.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 273. 
-Διαιρείται με το 3, αφού το άθροισμα των ψηφίων του είναι 2 + 7 + 3 = 12 και το 12 διαιρείται με το 3.
-Διαιρείται με το 7. Πράγματι, 27 - 2*3 = 21 και το 21 διαιρείται με το 7.
Οπότε ο αριθμός 273 διαιρείται με το 21.

Ένας ακέραιος αριθμός θα διαιρείται με το 22:

Αν διαιρείται ταυτόχρονα και με το 2 και με το 11,

δηλαδή αν ικανοποιεί ταυτόχρονα τα κριτήρια διαιρετότητας του 2 και του 11.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 1.166.
-Διαιρείται με το 2, αφού τελειώνει σε 6, είναι δηλαδή άρτιος αριθμός.
-Διαιρείται με το 11. 
Πράγματι, το άθροισμα των ψηφίων που βρίσκονται στις περιττές θέσεις είναι 1 + 6 = 7.
Το άθροισμα των ψηφίων που βρίσκονται στις περιττές θέσεις είναι 1 + 6 = 7.
Η διαφορά των δύο αθροισμάτων είναι 7 - 7 = 0.
Σύμφωνα με το κριτήριο διαιρετότητας του 11, ο αριθμός 1.166 διαιρείται με το 11.
Άρα τελικά ο αριθμός 1.166 διαιρείται με το 22.

Για να εξετάσουμε αν ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 23:
1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του αριθμού.
2. Στον αριθμό που προκύπτει προσθέτουμε 7 φορές το διαγραμμένο ψηφίο.

3. Επαναλαμβάνουμε τα δύο προηγούμενα βήματα, μέχρι να προκύψει διψήφιος αριθμός.
4. Αν ο αριθμός που προκύπτει διαιρείται με το 23 (δηλαδή αν προκύψει 23, 46, 69 ή 92), τότε και ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 23.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 35.949. 
1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο, δηλαδή το 9 και μένει ο αριθμός 3.594.
2. Στο 3.594 προσθέτουμε το επταπλάσιο του 9:
3.594 + 7*9 = 3.594 + 63 = 3.657
3. Επαναλαμβάνουμε τα δύο προηγούμενα βήματα:

1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο, δηλαδή το 7 και μένει ο αριθμός 365.
2. Στο 365 προσθέτουμε το επταπλάσιο του 7:
365 + 7*7 = 365 + 49 = 414
3. Επαναλαμβάνουμε τα δύο προηγούμενα βήματα:

1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο, δηλαδή το 4 και μένει ο αριθμός 41.
2. Στο 41 προσθέτουμε το επταπλάσιο του 4:

41 + 7*4 = 41 + 28 = 69
3. Το 69 διαιρείται με το 23, άρα και ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 23.

Ένας ακέραιος αριθμός θα διαιρείται με το 24:

Αν διαιρείται ταυτόχρονα και με το 3 και με το 8,

δηλαδή αν ικανοποιεί ταυτόχρονα τα κριτήρια διαιρετότητας του 3 και του 8.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 768.
-Διαιρείται με το 3, αφού το άθροισμα των ψηφίων του είναι 7 + 6 + 8 = 21 και το 21 διαιρείται με το 3.
-Διαιρείται με το 8, αφού το ψηφίο των εκατοντάδων (7) είναι περιττός αριθμός και τα τελευταία δύο ψηφία συν 4, σχηματίζουν τον αριθμό 68 + 4 = 72, ο οποίος διαιρείται με το 8.

Ένας ακέραιος αριθμός θα διαιρείται με το 25, αν τα τελευταία δύο ψηφία του σχηματίζουν διψήφιο αριθμό που διαιρείται με το 25,
δηλαδή αν τα δύο τελευταία ψηφία του είναι:
00 ή 25 ή 50 ή 75.

π.χ. Ο αριθμός 12.600 διαιρείται με το 25, αφού τελειώνει σε 00.

Ένας ακέραιος αριθμός θα διαιρείται με το 24,

αν διαιρείται ταυτόχρονα και με το 2 και με το 13,

δηλαδή αν ικανοποιεί ταυτόχρονα τα κριτήρια διαιρετότητας του 2 και του 13.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 832.
-Διαιρείται με το 2, αφού τελειώνει σε 2, είναι δηλαδή άρτιος αριθμός.
-Διαιρείται με το 13.
Πράγματι, 83 - 9*2 = 83 - 18 = 65 και το 65 διαιρείται με το 13.
Άρα ο αριθμός 832 διαιρείται με το 26.

Για να κρίνουμε αν ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 27, αρχικά εξετάζουμε το πλήθος των ψηφίων του. 

1η περίπτωση: Αν ο αριθμός είναι τριψήφιος, τότε:
1. Διαγράφουμε  το ψηφίο των εκατοντάδων (το πρώτο ψηφίο).
2. Από τον διψήφιο αριθμό που μένει, αφαιρούμε το 8πλάσιο του ψηφίου που έχουμε διαγράψει.
3. Αν ο αριθμός που προκύψει διαιρείται με το 27 (συμπεριλαμβανομένων του 0 αλλά και αρνητικών αριθμών), τότε και ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 27.

2η περίπτωση: Αν ο αριθμός έχει τουλάχιστον 4 ψηφία, τότε:
1. Διαγράφουμε τα τελευταία τρία ψηφία του, τα οποία αποτελούν έναν τριψήφιο αριθμό.
2. Στον αριθμό που μένει, προσθέτουμε τον τριψήφιο αριθμό από το βήμα 1.
3. Το άθροισμα σαφώς θα είναι ένας αριθμός μικρότερος από τον αρχικό. Συνεχίζουμε τα βήματα 1 και 2, μέχρι να προκύψει τριψήφιος αριθμός.
4. Ακολουθούμε τα βήματα όπως περιγράφονται στην 1η περίπτωση.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 1.242
Είναι 4ψήφιος, άρα ακολουθούμε τα βήματα της 2ης περίπτωσης:

1. Διαγράφουμε τα τελευταία τρία ψηφία του, δηλαδή τον αριθμό 242.
2. Στον αριθμό που έμεινε, δηλαδή το 1, προσθέτουμε το 242.
1 + 242 = 243.
3. Προέκυψε 3ψήφιος αριθμός, άρα ακολουθούμε τα βήματα της 1ης περίπτωσης:

1. Από τον αριθμό 243, διαγράφουμε το ψηφίο των εκατοντάδων, δηλαδή το 2.
2. Από τον αριθμό που μένει, δηλαδή το 43, αφαιρούμε το 8πλάσιο του 2:
43 - 8*2 = 43 - 16 = 27
3. Προκύπτει ο αριθμός 27, ο οποίος προφανώς διαιρείται με το 27. Άρα και ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 27.

Ένας ακέραιος αριθμός θα διαιρείται με το 28,

αν διαιρείται ταυτόχρονα και με το 4 και με το 7,

δηλαδή αν ικανοποιεί ταυτόχρονα τα κριτήρια διαιρετότητας του 4 και του 7.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 224.
-Διαιρείται με το 4, αφού τα δύο τελευταία ψηφία του σχηματίζουν τον αριθμό 24, ο οποίος διαιρείται με το 4.
-Διαιρείται με το 7. Πράγματι:
22 - 2*4 = 22 - 8 = 14
Το 14 διαιρείται με το 7, άρα και ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 7.
Οπότε διαιρείται και με το 28.

Για να εξετάσουμε αν ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 29:
1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του αριθμού.
2. Στον αριθμό που προκύπτει προσθέτουμε 3 φορές το διαγραμμένο ψηφίο.

3. Επαναλαμβάνουμε τα δύο προηγούμενα βήματα, μέχρι να προκύψει διψήφιος αριθμός.
4. Αν ο αριθμός που προκύπτει διαιρείται με το 29, τότε και ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 29.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 1.914. 
1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο, δηλαδή το 4 και μένει ο αριθμός 191.
2. Στο 191 προσθέτουμε το τριπλάσιο του 4:
191 + 3*4 = 191 + 12 = 203

3. Επαναλαμβάνουμε για τον αριθμό 203 τα δύο προηγούμενα βήματα:

1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο, δηλαδή το 3 και μένει ο αριθμός 20.
2. Στο 20 προσθέτουμε το τριπλάσιο του 3:
20 + 3*3 = 20 + 9 = 29

3. Το 29 προφανώς διαιρείται με το 29, άρα και ο αρχικός αριθμός, το 1.914 διαιρείται με το 29.

Ένας ακέραιος αριθμός θα διαιρείται με το 30
αν το τελευταίο του ψηφίο είναι το 0 και το άθροισμα των ψηφίων του είναι αριθμός που διαιρείται με το 3

(δηλαδή αν διαιρείται ταυτόχρονα και με το 3 και με το 10).

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 1.950.
-Το τελευταίο του ψηφίο είναι το 0, δηλαδή διαιρείται με το 10.
-Το άθροισμα των ψηφίων του είναι 
1 + 9 + 5 + 0 = 15
και το 15 διαιρείται με το 3, άρα ο αριθμός 1.950 διαιρείται με το 3.
Επομένως ο αριθμός 1.950 διαιρείται με το 30.

Για να εξετάσουμε αν ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 31:
1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του αριθμού.
2. Από τον αριθμό που προκύπτει αφαιρούμε 3 φορές το διαγραμμένο ψηφίο.

3. Επαναλαμβάνουμε τα δύο προηγούμενα βήματα, μέχρι να προκύψει διψήφιος αριθμός.
4. Αν ο αριθμός που προκύπτει διαιρείται με το 31, τότε και ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 31.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 775.
1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του 775, δηλαδή το 5 και μένει ο αριθμός 77.
2. Από το 77 αφαιρούμε το τριπλάσιο του 5:
77 - 3*5 = 77 - 15 = 62
3. Το 62 διαιρείται με το 31, άρα και ο αρχικός αριθμός, το 775 διαιρείται με το 31.

Για να εξετάσουμε αν ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 32:

-Αν ο αριθμός έχει περισσότερα από 5 ψηφία, τότε: Ο αριθμός διαιρείται με το 32 αν τα τελευταία 5 ψηφία του σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 32. 

-Και πώς θα ελέγξουμε αν ένας πενταψήφιος αριθμός διαιρείται με το 32;;;

• Αν το ψηφίο στη θέση των Δεκάδων Χιλιάδων (το πρώτο ψηφίο) είναι άρτιος αριθμός, αρκεί να ελέγξουμε αν τα τελευταία τέσσερα ψηφία σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 32.
• Αν το ψηφίο στη θέση των Δεκάδων Χιλιάδων (το πρώτο ψηφίο) είναι περιττός αριθμός, αρκεί να ελέγξουμε αν τα τελευταία τέσσερα ψηφία του συν 16, σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 16.

-Μόλις προκύψει τριψήφιος ή τετραψήφιος αριθμός, για να ελέγξουμε αν διαιρείται με το 32, ακολουθούμε το εξής κριτήριο:

1. Απομονώνουμε τα δύο τελευταία ψηφία του αριθμού.

2. Προσθέτουμε τον διψήφιο αριθμό στο 4πλάσιο του αριθμού που απέμεινε.

3. Αν ο αριθμός που προκύψει διαιρείται με το 32, τότε και ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 32.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 1.088.256
-Αρκεί να απομονώσουμε τα τελευταία πέντε ψηφία του και να ελέγξουμε αν ο αριθμός 88.256 διαιρείται με το 32.

-Ελέγχουμε το ψηφίο στη θέση των Δεκάδων Χιλιάδων. Το 8 είναι άρτιος αριθμός, άρα αρκεί να ελέγξουμε αν τα τελευταία τέσσερα ψηφία του, δηλαδή ο αριθμός 8.256 διαιρείται με το 32.

-Από τον αριθμό 8.256 διαγράφουμε τα δύο τελευταία του ψηφία (το 56).
-Προσθέτουμε το 56 στο 4πλάσιο του αριθμού που απέμεινε, δηλαδή στο 4πλάσιο του 82:
4*82 + 56 = 384
Αρκεί να εξετάσουμε τώρα αν το 384 διαιρείται με το 32.

-Επαναλαμβάνουμε τα προηγούμενα βήματα:
-Από τον αριθμό 384 διαγράφουμε τα δύο τελευταία του ψηφία (το 84).
-Προσθέτουμε το 84 στο 4πλάσιο του αριθμού που απέμεινε, δηλαδή στο 4πλάσιο του 3:
4*3 + 84 = 96

-Το 96 διαιρείται με το 32 (είναι 96=3*32) άρα και ο αρχικός αριθμός, το 1.088.256 διαιρείται με το 32.