"Fractal φόνοι"

«Το κτίριο των Μαθηματικών, ένα τριώροφο φρούριο, ήταν ακριβώς εκεί που μου έδειξε εκείνη η μελαχρινή φοιτήτρια. Εξωτερικοί τοίχοι από χοντρό αμμόλιθο του Κολοράντο και στέγη από κόκκινο κεραμίδι. Το ζεστό αυτό αρχιτεκτονικό ύφος δέσποζε στην πανεπιστημιούπολη και δημιουργούσε μιαν ατμόσφαιρα που θύμιζε ιταλικό χωριό. Μπήκα μέσα άφοβα, ήμουν σαράντα τεσσάρων ετών και κανείς δεν επρόκειτο να μου ζητήσει να διχοτομήσω μια γωνία ή να επιλύσω μια εξίσωση δευτέρου βαθμού. Αυτό είναι ένα από τα πλεονεκτήματα του να μεγαλώνεις. Δεν υπάρχουν πολλά, οπότε το απόλαυσα. Είχα περάσει επτά χρόνια στο πανεπιστήμιο. Ποτέ δεν κατάλαβα το λόγο, ποτέ δεν κατάλαβα το λόγο, απλώς προσπαθούσα με κάθε τρόπο να αποφεύγω τις παραδόσεις των μαθηματικών. Και τώρα, το ’φερε η μοίρα να βρίσκομαι ανάμεσα στους μαθηματικούς, και να ψάχνω για εκείνον τον διεστραμμένο επιστήμονα που σκότωσε τους συναδέλφους του -γιατί σίγουρα ήταν ένας απ’ αυτούς. Ευτυχώς, η εργοδότριά μου, εκτός από την ειδίκευση της στην θεωρία του χάους, διέθετε και άλλου είδους προσόντα που έκαναν τη δουλειά μου ως ντετέκτιβ ακόμη πιο ευχάριστη».

Τρία θύματα, τρεις διαφορετικές πολιτείες, τρεις φαινομενικά άσχετες μεταξύ τους υποθέσεις. Όταν η Τζέιν Σμάιερς, καθηγήτρια Μαθηματικών, ανακαλύπτει ότι και τα τρία θύματα ειδικεύονταν στη γεωμετρία των φράκταλ, αντιλαμβάνεται πως οι θάνατοί τους δεν μπορεί να οφείλονται σε σύμπτωση. Εδώ είναι που εμφανίζεται ο Πέπερ Κέιν. Όταν το FBI αποφαίνεται ότι οι τρεις υποθέσεις δεν σχετίζονται μεταξύ τους, η Τζέιν προσλαμβάνει τον Κέιν, πρώην πεζοναύτη και νυν ιδιωτικό ερευνητή. Από τη Χαβάη ως το Χάρβαρντ, ο Πέπερ αναζητά αποδείξεις ότι οι θάνατοι ήταν δολοφονίες που τις διέπραξε το ίδιο πρόσωπο. Με βάση τη θεωρία των φράκταλ -με την οποία άρχισε σιγά σιγά να εξοικειώνεται- ο Κέιν διακρίνει ένα κοινό μοτίβο στους φόνους. Καθώς τα στοιχεία συσσωρεύονται, ο δραστήριος ντεντέκτιβ φοβάται ότι η αγαπημένη του καθηγήτρια μπορεί να είναι ο επόμενος στόχος... (Από την παρουσίαση της έκδοσης).

Ο Κοέν έχει το χάρισμα να κάνει τη γεωμετρία των φράκταλ όχι μόνο προσιτή, αλλά και συναρπαστική. Το κυνήγι του δολοφόνου, καθώς κορυφώνεται, σου δίνει σκιρτήματα ολοένα αυξανόμενης έντασης. (Kirkus Reviews).

Μια ζωντανή, νευρώδης και γεμάτη εκπλήξεις μαθηματική περιπέτεια, πλεγμένη γύρω από τη θεωρία μου για το χάος και τη γεωμετρία των φράκταλ. Δεν χρειάζεται να είναι κανείς φυσικός επιστήμονας για να διασκεδάσει με αυτήν. (Μπενουά Μάντελμπροτ, Καθηγητής Μαθηματικών Πανεπιστημίου Γέιλ, επινοητής της θεωρίας των φράκταλ).

Γρίφος: Φυλακισμένοι με... άσπρα και μαύρα καπέλα

Τέσσερις κρατούμενοι στις φυλακές είναι τοποθετημένοι ο ένας πίσω από τον άλλον, κοιτώντας προς την ίδια κατεύθυνση. 

• Ο 1ος, που είναι πίσω-πίσω, μπορεί να δει τον 2ο και τον 3ο.
• Ο 2ος μπορεί να δει μόνο τον 3ο. 
• Ο 3ος δεν βλέπει κανέναν γιατί μπροστά του βρίσκεται ένας τοίχος.
• Ο 4ος βρίσκεται από την άλλη πλευρά του τοίχου και επίσης δεν βλέπει κανέναν. 

Ο δεσμοφύλακας τους φόρεσε από ένα καπέλο ‒χωρίς αυτοί να ξέρουν το χρώμα του καπέλου τους και τους λέει: "Δύο από εσάς φοράνε άσπρο καπέλο και δύο από εσάς φοράνε μαύρο. Όποιος, μέσα σε ένα λεπτό πει δυνατά το χρώμα του καπέλου του και είναι σωστό, θα αφεθεί ελεύθερος! Θα μιλήσετε μόνο όταν είστε σίγουροι για το χρώμα του καπέλου που φοράτε, διαφορετικά θα σας εκτελέσω όλους επιτόπου!".

Οι φυλακισμένοι δεν μπορούν να μιλήσουν ο ένας στον άλλον και απαγορεύεται να βγάλουν το καπέλο τους.

Ποιος θα μιλήσει πρώτος; 

"Κόντρα μάθημα" ή μάθημα με νόημα; Μια βιωματική προσέγγιση στη Στατιστική της Γ΄ Λυκείου

Στα Μαθηματικά της Γ΄ Λυκείου της ομάδας προσανατολισμού Ανθρωπιστικών Σπουδών, το οποίο συχνά αποκαλείται ως «κόντρα μάθημα» μιας και θεωρείται «κόντρα» προς τα ενδιαφέροντά τους, επιχειρήθηκε μια εναλλακτική διδακτική προσέγγιση με στόχο να κεντρίσει το ενδιαφέρον τους.

Η παρέμβαση στηρίχθηκε στις αρχές της βιωματικής μάθησης και της ομαδοσυνεργατικής διδασκαλίας, με έμφαση στην ενεργό εμπλοκή των μαθητών και στη σύνδεση της μαθηματικής γνώσης με αυθεντικά δεδομένα της καθημερινότητάς τους.

Μαθηματικά στη Γ΄ Ανθρωπιστικών Σπουδών του 1ου ΓΕΛ Καλύμνου

🔎Οι μαθητές, οργανωμένοι σε ομάδες των 3-4 ατόμων, συμμετείχαν σε όλα τα στάδια μιας αυθεντικής στατιστικής διερεύνησης. Συγκεκριμένα:

• σχεδίασαν ερωτηματολόγιο γύρω από τη χρήση των μέσων κοινωνικής δικτύωσης από μαθητές της ηλικίας τους.
• συνέλεξαν δεδομένα από δείγμα 50 συμμαθητών τους
• οργάνωσαν τα δεδομένα σε πίνακες κατανομής συχνοτήτων
• υπολόγισαν βασικά στατιστικά μέτρα (μέση τιμή, διάμεσος κ.λπ.)

Η έμφαση δεν δόθηκε τόσο στην εκτέλεση αλγοριθμικών διαδικασιών, αλλά στη μαθηματικοποίηση της κατάστασης και στην ερμηνεία των αποτελεσμάτων.

📈Μέσα από τη δραστηριότητα, οι μαθητές δεν περιορίστηκαν στην εφαρμογή τύπων, αλλά κλήθηκαν να:

• αποδώσουν νόημα σε στατιστικές έννοιες (π.χ. τι εκφράζει η σχετική συχνότητα ή η μέση τιμή σε ένα πραγματικό πλαίσιο, ή τι εκφράζει η επικρατούσα τιμή όσον αφορά το δημοφιλέστερο μέσο κοινωνικής δικτύωσης)
• συνδέσουν διαφορετικές αναπαραστάσεις (πίνακες, γραφήματα, αριθμητικά μεγέθη)
• εξασκηθούν στις διαφορετικές αναπαραστάσεις των ρητών αριθμών (κλάσματα, δεκαδικοί, ή ποσοστά %)
• διατυπώσουν και να τεκμηριώσουν συμπεράσματα
• συγκρίνουν τα ευρήματά τους (π.χ. για να διαπιστώσουν αν υπάρχει ή όχι διαφοροποίηση των ποσοστών ως προς το φύλο)
• αναπτύξουν κριτική στάση απέναντι στα δεδομένα και στα αποτελέσματα (αντιπροσωπευτικότητα δείγματος, εγκυρότητα συμπερασμάτων)

Η προσέγγιση αυτή ενίσχυσε τη μετάβαση από τη διαδικαστική εκτέλεση στην εννοιολογική κατανόηση της Στατιστικής.

👪Η εργασία σε ομάδες λειτούργησε ως βασικός μηχανισμός οικοδόμησης της γνώσης. Μέσα από τη συνεργασία, οι μαθητές:

• διαπραγματεύτηκαν έννοιες και ερμηνείες
• ανέπτυξαν επιχειρηματολογία
• μοιράστηκαν στρατηγικές επίλυσης
• συμμετείχαν σε διαδικασίες κοινωνικής κατασκευής της γνώσης

Η μαθησιακή διαδικασία απέκτησε έτσι διαλογικό χαρακτήρα, ενισχύοντας τη μαθηματική επικοινωνία.

📊Η δραστηριότητα συνέβαλε ουσιαστικά στην ανάπτυξη στατιστικού γραμματισμού, καθώς οι μαθητές:

• εργάστηκαν με αυθεντικά δεδομένα
• εξήγαγαν συμπεράσματα με βάση πραγματικά ερωτήματα
• συνέδεσαν τα μαθηματικά με κοινωνικά και προσωπικά ζητήματα

Τα ευρήματα, όπως ο μέσος χρόνος χρήσης των social media, η ικανότητα των παιδιών να κρίνουν αν το περιεχόμενο που προβάλλεται στα social media είναι AI generated, ή ο βαθμός συναισθηματικής επιρροής ανάλογα με το πλήθος των likes που παίρνουν, αποτέλεσαν αφετηρία για περαιτέρω συζήτηση και προβληματισμό.

📚Η διδακτική αυτή παρέμβαση ανέδειξε ότι είναι δυνατόν να προκληθεί ουσιαστική μαθηματική εμπλοκή των μαθητών, όταν:

• αξιοποιούνται αρχές της βιωματικής μάθησης
• δίνεται έμφαση στην εννοιολογική κατανόηση
• ενισχύεται η ενεργός συμμετοχή των μαθητών
• χρησιμοποιούνται αυθεντικά και νοηματοδοτημένα πλαίσια

Η Στατιστική, μέσα από αυτή τη διαδικασία, μετασχηματίστηκε από ένα σύνολο τεχνικών σε ένα δυναμικό εργαλείο κατανόησης της πραγματικότητας και οι μαθητές-μελλοντικοί φοιτητές των Ανθρωπιστικών Επιστημών πήραν μια μικρή «γεύση» από το μάθημα της Στατιστικής που (πιθανόν αναπόφευκτα) πρόκειται να συναντήσουν στις σπουδές τους.

Τελικά, το «κόντρα μάθημα» μπορεί να πάψει να είναι κόντρα, όταν η διδασκαλία μετατοπίζεται από τη μετάδοση γνώσης στην οικοδόμηση νοήματος.

Γρίφος: Η εξαφάνιση των κομμάτων

 

Ένας μαθητής έγραψε στον πίνακα τρεις φυσικούς αριθμούς που είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Στη συνέχεια, έσβησε τα κόμματα που χώριζαν τους τρεις αριθμούς και δημιούργησε έναν επταψήφιο αριθμό. Ποια είναι η μέγιστη δυνατή τιμή του αριθμού αυτού;

Πηγή γρίφου:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΓΡΙΦΟΙ 1 - 150 προβλήματα από τη στήλη "Σπαζοκεφαλιές" του περιοδικού Quantum, εκδόσεις "Κάτοπτρο", 1999

"Είναι τρελοί αυτοί οι μαθηματικοί!"

 

Νομίζεις ότι η Ιστορία των Μαθηματικών είναι βαρετή, γεμάτη υπολογισμούς, εξισώσεις και σύνθετα προβλήματα; ΛΑΘΟΣ!

Αριθμοί που αποκαλύπτουν τα «μυστικά» του Σύμπαντος, θεωρήματα που όποιος τα γνωρίζει πρέπει να πεθάνει ή και να σκοτώσει, μαθηματικές αναλύσεις που σώζουν ζωές ή κερδίζουν τον πόλεμο, παράδοξα απολύτως λογικά, επινοήσεις και ανακαλύψεις συνθέτουν την Ιστορία της συναρπαστικής αυτής επιστήμης, που γράφτηκε από ανθρώπους ιδιοφυείς.

ΠΟΙΟΙ ΕΙΝΑΙ ΑΥΤΟΙ;

Μαθηματικοί φιλόσοφοι, βασιλιάδες αστρονόμοι, επιστήμονες αστρολόγοι, ενάρετοι και ανθρωπιστές ή ανταγωνιστικοί, εγωιστές και «σατανικοί», που δοξάστηκαν ή λοιδορήθηκαν, προσωπικότητες μοναδικές, που θα ήθελες να γνωρίσεις από κοντά ή να μη βρεθούν ποτέ στον δρόμο σου!

Για την Παγκόσμια Ημέρα βιβλίου που γιορτάζεται σήμερα, το "εις το άπειρον" προτείνει το νέο βιβλίο των Θανάση Κοπάδη και Θανάση Δρούγα που κυκλοφόρησε πρόσφατα. "Το συγκεκριμένο βιβλίο δεν είναι μόνο για όσους αγαπούν τα μαθηματικά, αλλά και για όσους τα φοβούνται. Η τρέλα των μαθηματικών δεν είναι κάτι ξένο, είναι η ίδια δύναμη που μας ωθεί όλους να ψάχνουμε ένα νόημα και να θέλουμε να καταλάβουμε καλύτερα τον κόσμο όπου ζούμε."

Τα κλάσματα αλλιώς: Οπτικοποίηση με το Polypad

 

Το Polypad είναι ένα εξαιρετικό διαδραστικό εργαλείο για τη διδασκαλία των βασικών μαθηματικών εννοιών μέσα από διερεύνηση και πειραματισμό. Προσφέρει μια μεγάλη ποικιλία από ψηφιακά "χειραπτικά" υλικά που επιτρέπουν στους μαθητές να πειραματιστούν, να κάνουν υποθέσεις και να οικοδομήσουν τη μαθηματική γνώση με ενεργητικό τρόπο.

Οπτική αναπαράσταση του κλάσματος \(\frac{3}{5}\) με διαφορετικούς τρόπους

Οπτική αναπαράσταση του κλάσματος \(\frac{7}{5}\) με διαφορετικούς τρόπους

Ιδιαίτερα στην ενότητα των κλασμάτων οι εκπαιδευτικοί έχουν τη δυνατότητα να χρησιμοποιήσουν πολλαπλές οπτικές αναπαραστάσεις των κλασματικών αριθμών και οι μαθητές έχουν την ευκαιρία να συγκρίνουν μεγέθη, να δημιουργούν ισοδύναμα κλάσματα ή να ανακαλύψουν τις πράξεις μεταξύ κλασμάτων με οπτικό και διαισθητικό τρόπο.

Οπτική σύγκριση των κλασμάτων \(\frac{4}{5}\) και  \(\frac{5}{6}\) 

Οπτική αναπαράσταση της πρόσθεσης \(\frac{2}{6}+\frac{3}{6} \)

Οπτική αναπαράσταση της αφαίρεσης \(\frac{6}{7}-\frac{2}{7} \)

Οπτική αναπαράσταση της πρόσθεσης \(\frac{3}{4}+\frac{5}{6} \) με τις κλασματικές λωρίδες πάνω στην αριθμογραμμή: Η ακέραιη μονάδα πρέπει να υποδιαιρεθεί σε 12 ίσα μέρη, εφόσον Ε.Κ.Π.(4,6)=12, εξηγώντας έτσι γιατί τα κλάσματα πρέπει να γίνουν ομώνυμα για να τα προσθέσουμε. 

Οπτική αναπαράσταση του πολλαπλασιασμού  \(\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{4} \)

Οπτική αναπαράσταση της διαίρεσης \(2:\frac{1}{5} \)

Το περιβάλλον του Polypad είναι απλό, δωρεάν και λειτουργεί online, γεγονός που το καθιστά ιδανικό τόσο για την τάξη, όσο και για εξ αποστάσεως διδασκαλία. Τα σχήματα μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε φύλλα εργασίας που θα δημιουργήσει ο εκπαιδευτικός, αλλά είναι και ιδανικά σε διαδραστικό μάθημα στην οθόνη.

Πασχαλινά και... γεωμετρικά αβγά!

 

Το "εις το άπειρον", οι μαθητές μου και εγώ σας ευχόμαστε Καλό Πάσχα και Καλή Ανάσταση! 🎀🐣 

Σχεδιάσαμε και κόκκινα αβγά που αρμόζουν στην περίσταση, αξιοποιώντας εφαρμογές δυναμικής γεωμετρίας και συγκεκριμένα το "Geometer's Sketchpad" και το "desmos"... 

Πασχαλινό αβγό με Ευκλείδεια Γεωμετρία στο Geometer's Sketchpad 

Πασχαλινό αβγό με γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων στο desmos - 1ο ΓΕΛ Καλύμνου 

Γρίφοι: Οι κότες και τα κουνέλια του αγροκτήματος

 

Γρίφος #1

Σ’ ένα αγρόκτημα εκτρέφονται κότες και κουνέλια. Αν μετρήσουμε τα κεφάλια των ζώων, βλέπουμε ότι είναι συνολικά 35, ενώ αν μετρήσουμε τα πόδια τους, βλέπουμε ότι είναι 94 συνολικά. Πόσες κότες και πόσα κουνέλια υπάρχουν στο αγρόκτημα;

 

Γρίφος #2

Σ’ ένα αγρόκτημα ζουν κότες και κουνέλια. Αν το διπλάσιο των ματιών των ζώων είναι κατά 20 μικρότερο από το διπλάσιο των ποδιών τους, πόσα είναι τα κουνέλια;

Παγκόσμια Ημέρα παιδικού βιβλίου: Το "εις το άπειρον" προτείνει!

Για την Παγκόσμια Ημέρα παιδικού βιβλίου που γιορτάζεται στις 2 Απριλίου, το μπλογκ "εις το άπειρον" προτείνει πέντε παιδικά βιβλία με μαθηματικό περιεχόμενο, για διάφορες ηλικίες...

Το "Νουμεράλια" παρουσιάζει τους αριθμούς από το 0 έως το 10 με έναν ευφάνταστο, ποιητικό τρόπο.
Ηλικίες: 2+

Το "Πώς να μετρήσεις ως το ένα" προσπαθεί, με τρομερό χιούμορ, να μάθει τα μικρά παιδιά να μετρούν. Ακολουθώντας έναν απλό κανόνα, ζητάει από το μικρό αναγνώστη να μην υπολογίζει τα μεγαλύτερα νούμερα, παρά μόνο το ένα! Δημιουργεί έτσι ένα ξεκαρδιστικό εύρημα, που μαζί με τα έντονα χρώματα της εικονογράφησης, καθιστούν το βιβλίο αυτό εξαιρετικά πρωτότυπο. 
Ηλικίες: 3+

Το "Μεγάλο βιβλίο των αριθμών" παρουσιάζει τους αριθμούς από το 1 έως το 10, αλλά ξεναγεί το μικρό αναγνώστη και στον κόσμο των μεγαλύτερων αριθμών: από τους μονόκερους ως τα 100 δισεκατομμύρια άστρα του γαλαξία μας!
Ηλικίες: 6+

Ο μονόφθαλμος μαθηματικός Οκτάβιο Παζλ καλείται να λύσει το γρίφο της εξαφάνισης της μίας και μοναδικής Μαύρης Θρούμπας. Σύμμαχοί του, η λογική και το μαθηματικό του δαιμόνιο. Θα τα καταφέρει;
Ηλικίες: 10+

Τα "Εξοντωτικά Μαθηματικά" είναι μέρος της σειράς "Εξωφρενική Βιβλιοθήκη". Σ' αυτό το βιβλίο θα γνωρίσετε το Τζίμι με το Ένα Δάχτυλο, τον Τσάρλι με το Αλυσοπρίονο και τους φριχτούς γκάγκστερς φίλους τους, που είναι ζωντανές αποδείξεις ότι τα μαθηματικά μπορούν πράγματι να γίνουν... εξοντωτικά!
Ηλικίες: 10+ 

👩🏻‍🏫Οι ηλικίες που αναγράφονται στην παρουσίαση κάθε βιβλίου είναι ενδεικτικές και μπορούν να προσαρμοστούν ανάλογα με τη μαθησιακή ωριμότητα και την ετοιμότητα του κάθε παιδιού.

🌐Δείτε εδώ περισσότερες προτάσεις του "εις το άπειρον" για παιδικά βιβλία με μαθηματικό περιεχόμενο.

💬Υπάρχει κάποιο βιβλίο που νομίζετε ότι πρέπει να συμπεριληφθεί στις προτάσεις; Γράψτε το στα σχόλια!

Γεωμετρικός γρίφος!