Παρασκευή, 1 Νοεμβρίου 2019

Γρίφος: Η κάτοψη της πυραμίδας


Παρατηρήστε την πυραμίδα της εικόνας και προσπαθήστε να φανταστείτε πώς θα φαίνεται κοιτώντας την ακριβώς από πάνω...

Ποια είναι η κάτοψη της πυραμίδας;


Για να μάθετε περισσότερα για την πυραμίδα, πατήστε εδώ...

Σάββατο, 26 Οκτωβρίου 2019

Γρίφος: Πατέρας και γιος!


Ένας πατέρας είναι 45 ετών και ο γιος του είναι 7 ετών.
Μετά από πόσα χρόνια η ηλικία του πατέρα θα είναι τριπλάσια από την ηλικία του γιου;

Ένας πατέρας είναι 45 ετών και ο γιος του είναι 7 ετών.  Μετά από πόσα χρόνια η ηλικία του πατέρα θα είναι τριπλάσια από την ηλικία του γιου;

Τετάρτη, 9 Οκτωβρίου 2019

Τουλάχιστον μία λύση...




Το Θεώρημα του Bolzano
Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σ' ένα κλειστό διάστημα [α, β]. Αν ισχύουν τα εξής:
  • η f είναι συνεχής στο [α, β] και
  • f(α)*f(β) < 0,
τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον x0 στο ανοιχτό διάστημα (α, β) τέτοιο, ώστε

f(x0) = 0  

Δηλαδή το Θεώρημα Bolzano μας εξασφαλίζει ότι υπάρχει μία τουλάχιστον λύση της εξίσωσης f(x) = 0 στο ανοιχτό διάστημα (α, β).

Τρίτη, 1 Οκτωβρίου 2019

Γρίφος: Συσκευάζοντας μαρμελάδες


Στη βιοτεχνία όπου εργάζεσαι, σου ζήτησαν να στείλεις κυλινδρικά βάζα μαρμελάδας, διαμέτρου 10 εκ. Θέλεις να σχεδιάσεις ένα κυλινδρικό κουτί για να συσκευάζεις τα βάζα μαρμελάδας, ίδιου ύψους με τα βάζα, ώστε κάθε κουτί να χωράει 7 βάζα. Καλείσαι, λοιπόν, να λύσεις το εξής γεωμετρικό πρόβλημα:

Ποια είναι η ελάχιστη εσωτερική διάμετρος που πρέπει να έχει το κουτί;

κυλινδρικά βάζα μαρμελάδας
(Πηγή)

Τετάρτη, 11 Σεπτεμβρίου 2019

Χορευτικές κινήσεις για μαθηματικούς!


Πώς να δείξεις σ' έναν μαθηματικό μερικές χορευτικές κινήσεις...



Καλή σχολική χρονιά στους μαθητές μας, αλλά και σ΄εμάς!

Δευτέρα, 2 Σεπτεμβρίου 2019

Ποιοι είναι οι μαθητές μου;

Μαθησιακά προφίλ και προσαρμογή της διδασκαλίας



   Ο Άλμπερτ Αινστάιν συχνά ονειροπολούσε μέσα στο μάθημα, ενώ πιστεύεται από πολλούς ότι αντιμετώπιζε ειδικές μαθησιακές δυσκολίες. Ο Τόμας Έντισον, όντας ανήσυχο πνεύμα, είχε τιμωρηθεί τόσες πολλές φορές από τους δασκάλους του, που η μητέρα του αναγκάστηκε να τον κρατήσει μακριά από το σχολείο. Ο Δαρβίνος, ο Λεονάρντο vτα Βίντσι και η Αγκάθα Κρίστι είναι ακόμη μερικά παραδείγματα ανθρώπων που οι μαθησιακές δυσκολίες τους συντρόφευαν σε ολόκληρη τη ζωή τους. Παρόλα αυτά, όλοι τους έχουν αφήσει παντοτινά το στίγμα τους στην παγκόσμια ιστορία της επιστήμης και της τέχνης.

μαθητές μέσα στη σχολική αίθουσα

   Κάθε παιδί, είτε αντιμετωπίζει μαθησιακές δυσκολίες είτε όχι, έχει διαφορετικά ταλέντα, διαφορετικές ανάγκες, διαφορετικό τρόπο έκφρασης και διαφορετικό μαθησιακό στυλ. Με τον όρο «μαθησιακό στυλ» εννοούμε τον τρόπο με τον οποίο οι άνθρωποι συγκεντρώνουν, κατανοούν και συγκρατούν καινούριες πληροφορίες. Έτσι, κάθε παιδί είναι μοναδικό, όπως μοναδικός είναι και ο τρόπος με τον οποίο κατακτά τη γνώση. Κάποιοι μαθητές νιώθουν εξοικειωμένοι με τη χρήση εικόνων και γραφικών παραστάσεων, άλλοι είναι άνετοι κατά την ακρόαση διαλέξεων ή στις ομαδικές συζητήσεις, άλλοι προτιμούν τη μάθηση μέσα από την ανάγνωση ή την αντιγραφή κειμένων, ενώ άλλοι αποδίδουν καλύτερα κατά την ενεργητική μάθηση και κατανοούν τις πληροφορίες που προσλαμβάνουν μέσα από πρακτικές δραστηριότητες. Υπάρχουν τέσσερις βασικοί τύποι μάθησης όσον αφορά τον αισθητηριακό τομέα: ο οπτικός, ο ακουστικός, ο αναγνωστικός/λεκτικός, και ο κιναισθητικός. Ο προσωπικός τρόπος μάθησης του κάθε παιδιού αποτελεί συνδυασμό των παραπάνω τύπων.
   Κατά την εκπαίδευση των μαθητών μας, λοιπόν, οι ειδικοί επιστήμονες συστήνουν δοκιμασμένους τρόπους για το πώς μπορούμε να προσαρμόσουμε τη διδασκαλία του μαθήματος, σύμφωνα με  τις ατομικές ικανότητες των παιδιών και να επιστρατεύσουμε εναλλακτικές μεθόδους διδασκαλίας. Απαιτείται να λαμβάνουμε υπόψη μας το βαθμό ετοιμότητας των μαθητών, τα ενδιαφέροντά τους και το μαθησιακό τους στυλ καθώς διαφοροποιούμε τη διδασκαλία. Έχει αποδειχθεί, επίσης, ότι οι μαθητές έχουν καλύτερη επίδοση και πιο θετική στάση αν διδάσκονται με τρόπους που μπορούν να κατανοήσουν πιο εύκολα.
   Κλείνοντας, δεν υπάρχει ένας συγκεκριμένος τρόπος διδασκαλίας, ούτε ένας συγκεκριμένος τρόπος μάθησης. Γι’ αυτό οφείλουμε να ενθαρρύνουμε τα παιδιά να δοκιμάζουν διάφορες τεχνικές, μέχρι να βρουν την πιο κατάλληλη για αυτά και σε καμία περίπτωση να μην τα αναγκάζουμε να εφαρμόζουν αποκλειστικά τις μεθόδους με τις οποίες είμαστε οι ίδιοι εξοικειωμένοι. Στην τελική, όλοι βγαίνουν κερδισμένοι, αφού θα διαπιστώσουμε πόσα πράγματα μπορούμε να μάθουμε διδάσκοντας τα παιδιά.


«Αν το παιδί δεν μπορεί να μάθει με τον τρόπο που το διδάσκουμε,
τότε πρέπει να το διδάξουμε με τον τρόπο που μπορεί να μάθει».
(Μαρία Μοντεσσόρι)


*~.~*~.~*~.~*




Βιβλιογραφία
Reid, M. J. (1995). Learning styles in the ESL/ EFL classroom. Boston: Heinle & Heinle.
Στασινός, Δ. (2003) (Επιμ). Μαθησιακές δυσκολίες του παιδιού και του εφήβου. Η εμπειρία της σύγχρονης Ευρώπης. Αθήνα: Gutenberg.
Tomlinson, C.A. (2010). Διαφοροποίηση της Εργασίας στην Αίθουσα Διδασκαλίας: Ανταπόκριση στις Ανάγκες Όλων των Μαθητών (Μτφρ. X. Θεοφιλίδης). Αθήνα: Γρηγόρη.

Τετάρτη, 21 Αυγούστου 2019

Ο Πόε για τη μαθηματική ανάλυση


Ο Έντγκαρ Άλλαν Πόε (1809 - 1849) ήταν Αμερικανός ποιητής και πεζογράφος και, προσωπικά, ένας από τους αγαπημένους μου. Το έργο του είχε σημαντική επιρροή στην παγκόσμια λογοτεχνία, αποτελώντας θεμέλιο λίθο για την εξέλιξη της αστυνομικής λογοτεχνίας, αλλά και τη λογοτεχνία τρόμου και φαντασίας.


Στο διήγημα μυστηρίου "Οι φόνοι στην οδό Νεκροτομείου" (Murders in the Rue Morgue, 1841) διαβάζει κανείς:

"Η αναλυτική ικανότητα ενισχύεται σημαντικά με τη μελέτη των μαθηματικών και ειδικά του υψηλότερου κλάδου τους που, αδίκως πάντως, μόνο και μόνο λόγω της παλινδρομικής του λειτουργίας ονομάζεται ανάλυση. Μια πράξη υπολογισμού δεν συνιστά ανάλυση..."

Σάββατο, 3 Αυγούστου 2019

Κουίζ σε πίνακα


Σ' αυτόν τον πίνακα, κάθε σχήμα έχει μία συγκεκριμένη τιμή. Οι αριθμοί δίπλα σε κάθε γραμμή και κάτω από κάθε στήλη είναι το άθροισμα των τιμών στη γραμμή ή τη στήλη αντίστοιχα.

Ποιος αριθμός πρέπει να αντικαταστήσει το ερωτηματικό?


(Πηγή)

Τρίτη, 30 Ιουλίου 2019

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Μέρος 17º - Αρχιμήδεια στερεά και διάφορα κυρτά πολύεδρα


Στην προηγούμενη ανάρτηση του πρότζεκτ "Τα Μαθηματικά στην Τέχνη" είδαμε τα πέντε κανονικά πολύεδρα, που ονομάστηκαν και πλατωνικά στερεά. Αυτό που τα καθιστά ξεχωριστά είναι το γεγονός ότι οι έδρες τους είναι όλες κανονικά πολύγωνα του ίδιου τύπου. Η επόμενη κατηγορία πολυέδρων είναι τα ημι-κανονικά πολύεδρα ή αλλιώς αρχιμήδεια στερεά...

Σχέδια διαφόρων πολυέδρων. Από το βιβλίο του Max Brückner "Πολύγωνα και Πολύεδρα: Θεωρία και Ιστορία", 1900.


Τα βιβλία γράφουν...

Τα αρχιμήδεια στερεά (ή στερεά του Αρχιμήδη) είναι ημι-κανονικά κυρτά πολύεδρα, οι έδρες των οποίων είναι κανονικά πολύγωνα, αλλά όχι όλες του ίδιου τύπου. Τα κανονικά πολύγωνα που αποτελούν τις έδρες έχουν όλα ίσες τις πλευρές τους, δηλαδή οι ακμές κάθε αρχιμήδειου πολυέδρου είναι όλες ίσες. Οι έδρες ενώνονται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο σε όλες τις κορυφές του πολυέδρου, διαμορφώνοντας ίσες πολυεδρικές γωνίες. Υπάρχουν 13 αρχιμήδεια στερεά:


Κόλουρο Τετράεδρο

Έχει 8 έδρες: 4 τρίγωνα και 4 εξάγωνα.
Ο όρος "κόλουρο" αναφέρεται στη διαδικασία της αποκοπής των κορυφών από ένα αρχικό πολύεδρο. Έτσι, κατασκευαστικά, το κόλουρο τετράεδρο προέρχεται από ένα τετράεδρο, από το οποίο έχουμε αποκόψει τις 4 κορυφές.


Σχέδιο του Leonardo da Vinci  για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" (1509)


Kυβοκτάεδρο

Έχει 14 έδρες: 8 τρίγωνα και 6 τετράγωνα.

Σχέδιο του Leonardo da Vinci  για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" (1509)


Ana Conde (Σύγχρονη ζωγράφος και tattoo artist) - "Cuboctahedron Full of Dust Bunnies" (2018)


James Sawyer (Σύγχρονος καλλιτέχνης) -  "Octahedron Inside a Cuboctahedron" (2010)


Κόλουρος Κύβος


Έχει 14 έδρες: 8 τρίγωνα και 6 οκτάγωνα.


Άγνωστος καλλιτέχνης από τις Η.Π.Α. - "Truncated Cube, Possibly a Zodiac Instrument"



Κόλουρο Οκτάεδρο

Έχει 14 έδρες: 6 τετράγωνα και 8 κανονικά εξάγωνα.
Κατασκευαστικά, προέρχεται από το οκτάεδρο, αν αποκοπούν όλες οι κορυφές του στο 1/3 της ακμής, έτσι ώστε από τις έδρες του αρχικού οκτάεδρου να προκύψουν εξάγωνα και στη θέση των αποκομμένων κορυφών του να σχηματιστούν τετράγωνα.

Σχέδιο του Leonardo da Vinci  για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" (1509)



Ρομβοκυβοκτάεδρο (ή μικρό ρομβοκυβοκτάεδρο)

Έχει 26 έδρες: 8 τρίγωνα και 18 τετράγωνα.

Σχέδιο του Leonardo da Vinci  για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" (1509)


Η πρώτη τυπωμένη απεικόνιση ενός ρομβοκυβοκτάεδρου. Έργο του Leonardo da Vinci, στο βιβλίο του Luca Paccioli, "De Divina Proportione" (1509)


Jacopo de Barbari (1460 - 1516). Ο πίνακας απεικονίζει τον Luca Paccioli και τον μαθητή του Guidobaldo, δούκα του Urbino. Στην πάνω αριστερή γωνία είναι κρεμασμένο ένα ρομβοκυβοκτάεδρο, γεμάτο με νερό μέχρι τη μέση. Στο τραπέζι θα παρατηρήσει κανείς ένα δωδεκάεδρο πάνω σ' ένα αντίγραφο των στοιχείων του Ευκλείδη, έναν διαβήτη, μια πυξίδα, ενώ ο Paccioli παρουσιάζει ένα θεώρημα του Ευκλείδη. 


Κόλουρο Κυβοκτάεδρο (ή μέγα ρομβοκυβοκτάεδρο)

Έχει 26 έδρες: 12 τετράγωνα, 8 εξάγωνα και 6 οκτάγωνα.

Jim Wrenholt (Σύγχρονος graphic designer) - "Truncated Cuboctahedron" (2014)


Πεπλατυσμένος κύβος (ή πεπλατυσμένο εξάεδρο)

Έχει 38 έδρες: 32 τρίγωνα και 6 τετράγωνα.
Ο όρος "πεπλατυσμένος" αναφέρεται στη διαδικασία της "επέκτασης" του αρχικού σχήματος. Κατασκευαστικά, ο πεπλατυσμένος κύβος μπορεί να προέλθει από τον κύβο, αν απομακρύνουμε όλες τις έδρες του προς τα έξω, κατά ορισμένη απόσταση και τις περιστρέψουμε ως προς το κέντρο τους έτσι, ώστε τα κενά που δημιουργούνται να μπορούν να καλυφθούν από ισόπλευρα τρίγωνα.

Γλυπτό-συντριβάνι σε σχήμα πεπλατυσμένου κύβου. Διακοσμεί τον εξωτερικό χώρο του Caltech στην Καλιφόρνια.



Εικοσιδωδεκάεδρο

Έχει 32 έδρες: 20 τρίγωνα και 12 πεντάγωνα.

Η πρώτη τυπωμένη απεικόνιση ενός εικοσιδωδεκάεδρου. Έργο του Leonardo da Vinci, στο βιβλίο του Luca Paccioli, "De Divina Proportione" (1509)

P.S. (Σύγχρονος graphic designer) - "Icosidodecahedron 2"


Κόλουρο δωδεκάεδρο

Έχει 32 έδρες: 20 τρίγωνα και 12 δεκάγωνα.

Jim Wrenholt (Σύγχρονος graphic designer) - "Truncated Dodecahedron" (2014)


Κόλουρο εικοσάεδρο

Έχει 32 έδρες: 12 πεντάγωνα και 20 εξάγωνα. Το μοτίβο του κόλουρου εικοσάεδρου χρησιμοποιείται στην κατασκευή της συνηθισμένης μπάλας ποδοσφαίρου.

Σχέδιο του Leonardo da Vinci  για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" (1509)

Απόκρυφη Γεωμετρία της Αναγέννησης: Ένα ζευγάρι χέρια στηρίζει ένα κόλουρο εικοσάεδρο. Γλυπτό που διακοσμεί το ταφικό μνημείο του Sir Anthony Ashley, σε έναν ενοριακό ναό κοντά στο Salisbury, Αγγλία.


Ρομβοεικοσιδωδεκάεδρο (ή μικρό ρομβοεικοσιδωδεκάεδρο)

Έχει 62 έδρες: 20 τρίγωνα, 30 τετράγωνα και 12 πεντάγωνα.

Jim Wrenholt (Σύγχρονος graphic designer) - "Rhombicosidodecahedron" (2014)


Κόλουρο εικοσιδωδεκάεδρο (ή μέγα ρομβοεικοσιδωδεκάεδρο )

Έχει 62 έδρες: 30 τετράγωνα, 20 εξάγωνα και 12 δεκάγωνα.

Lindsey Carr (Σύγχρονη ζωγράφος) - "Jacques Great Rhombicosidodecahedron"


Πεπλατυσμένο δωδεκάεδρο (ή πεπλατυσμένο εικοσιδωδεκάεδρο)

Έχει 92 έδρες: 80 τρίγωνα και 12 πεντάγωνα.
Κατασκευαστικά, το πεπλατυσμένο δωδεκάεδρο μπορεί να προέλθει με διαδικασία παρόμοια με εκείνη του πεπλατυσμένου κύβου, μόνο που τώρα το αρχικό στερεό είναι ένα δωδεκάεδρο.

Jim Wrenholt (Σύγχρονος graphic designer) - "Snub Dodecahedron" (2014)


Τα βιβλία γράφουν...

Ο πρώτος που ασχολήθηκε με την κατασκευή αρχιμήδειων στερεών φαίνεται να ήταν ο Αρχιμήδης, ο οποίος τα διαπραγματευόταν στο (μη σωζόμενο) έργο του "Περί 13 ημικανονικών πολυέδρων" και γι' αυτό φέρουν το όνομά του. Ωστόσο, το όνομα κάθε αρχιμήδειου στερεού οφείλεται στον Kepler, που τα μελέτησε εκτενώς στο βιβλίο του "Αρμονικός Κόσμος" (Harmonices Mundi, 1619) και σήμερα έχουμε τη μεταφρασμένη, από τα λατινικά, ορολογία.



Διάφορα άλλα κυρτά πολύεδρα



Εννεάεδρο: Επιμήκης τετραγωνική πυραμίδα

Οι μικροί μαθητές πολύ ορθά το παρομοιάζουν με σπίτι!

Sabrina Barrio (Σύγχρονη καλλιτέχνιδα) - "Enneahedron" (2019)


72εδρη σφαίρα

Το πολύεδρο αυτό αποτελεί τη βάση για την κατασκευή αρχιτεκτονικών θόλων

Σχέδιο του Leonardo da Vinci  για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" (1509)

Σχέδιο του Leonardo da Vinci  για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" (1509)


Τα βιβλία γράφουν...


Για κάθε κυρτό πολύεδρο ισχύει ο τύπος του Euler:

K + E = A + 2,
όπου Κ το πλήθος των κορυφών του, Ε το πλήθος των εδρών του και Α το πλήθος των ακμών του.


Τα αρχιμήδεια στερεά, αλλά και πολλά άλλα πολύεδρα, παρουσιάζουν ποικίλες συμμετρίες και ομάδες συμμετρίας, οι οποίες μελετώνται από τη σύγχρονη Θεωρία Ομάδων. Εικάζεται ότι οι συμμετρίες αυτές είναι ο κύριος λόγος που ενέπνευσαν τόσο έντονα τους καλλιτέχνες, ειδικά κατά την Αναγέννηση. Ο καλλιτέχνης της Αναγέννησης που ασχολήθηκε διεξοδικότερα με τα πολύεδρα ήταν ο Leonardo da Vinci. Ειδικότερα, η τεχνοτροπία αναπαράστασης πολυέδρων που πρώτος χρησιμοποίησε, απεικονίζοντάς τα στέρεα και κοίλα, σαν ξύλινα μοντέλα (που πιθανότατα είχε κατασκευάσει για το σκοπό αυτό ο Luca Paccioli), ώστε να φαίνονται και οι "πίσω" ακμές, επηρέασε καθοριστικά όσους μεταγενέστερους ασχολήθηκαν με τα πολύεδρα στη ζωγραφική και γενικότερα στις εικαστικές τέχνες.  


Αναγεννησιακό ξυλόγλυπτο (Intarsia), έργο του Fra Giovanni da Verona (1457 - 1525). Ναός της Σάντα Μαρία στο Organo της Βερόνα (περ. 1494 - 1499). Απεικονίζει, μεταξύ άλλων, ένα κόλουρο εικοσάεδρο και μια 72-εδρη σφαίρα.
Σελίδα από το βιβλίο του Lorenzo Sirigatti (1561 - 1614), "Η Πρακτική της Προοπτικής" (La Pratica di Perspettiva, Βενετία, 1596), ένα βιβλίο για καλλιτέχνες και αρχιτέκτονες. Απεικονίζονται δύο εικοσιδωδεκάεδρα, δύο κόλουρα εικοσάεδρα (με και χωρίς τις έδρες τους), καθώς και ένα αστροειδές πολύεδρο.


.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.

"Τα βασικά στοιχεία των μαθηματικών, οι αριθμοί και η μέτρηση, που ονομάστηκαν αριθμητική και γεωμετρία, χρησιμοποιούνται με υπέρτατη αλήθεια σε διακριτές αλλά και συνεχείς ποσότητες. Εδώ δε συναντάμε διαφωνίες, λόγου χάρη ότι 2 φορές το 3 μας κάνει περισσότερο ή λιγότερο  από 6, ή ότι ένα τρίγωνο έχει άθροισμα γωνιών μικρότερο ή μεγαλύτερο από 2 ορθές, αλλά με αιώνια σιωπή, κάθε διαφωνία παύει να υφίσταται και, με ηρεμία, αυτές οι επιστήμες όπως τα μαθηματικά απολαμβάνονται από τους αφοσιωμένους τους ακολούθους".
Leonardo da Vinci

.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.




Πηγές:

Δευτέρα, 1 Ιουλίου 2019

Γρίφος: Το βαρύτερο μήλο


Έχουμε 6 μήλα, 5 από τα οποία έχουν ακριβώς το ίδιο βάρος, ενώ το 1 είναι ελαφρώς βαρύτερο από τα υπόλοιπα. Θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε έναν πολύ ευαίσθητο ζυγό, για να βρούμε ποιο μήλο έχει διαφορετικό βάρος από τα υπόλοιπα. 

Ποιο είναι το ελάχιστο πλήθος ζυγίσεων που πρέπει να γίνουν, ώστε να εντοπίσουμε το βαρύτερο μήλο;

Αν συγκρίνουμε τα μήλα σε δύο τριάδες, ο ζυγός θα γείρει.
(Πηγή)