Τα μαθηματικά της στρογγυλής θεάς

Αυτές τις ημέρες τα βλέμματα όλου του ποδοσφαιρικού κόσμου είναι στραμμένα στο Μουντιάλ. Αλήθεια όμως, χωρούν τα Μαθηματικά στο ποδόσφαιρο; Ένα γκολ μπορεί να κριθεί από μια στιγμή έμπνευσης, ένα λάθος, μια απόκρουση ή ένα χιλιοστό του δευτερολέπτου. Όμως πίσω από αυτή την απρόβλεπτη ομορφιά υπάρχει ένας ολόκληρος κόσμος μαθηματικών σχέσεων.

⚽ Η γεωμετρία της μπάλας

Η ίδια η «στρογγυλή θεά» είναι ένα μικρό μάθημα γεωμετρίας. Η κλασική ποδοσφαιρική μπάλα που γνωρίσαμε για δεκαετίες αποτελείται από 12 πεντάγωνα και 20 εξάγωνα. Τα πολύγωνα αυτά συνδυάζονται ώστε να δημιουργήσουν ένα σχήμα που πλησιάζει όσο γίνεται περισσότερο τη σφαίρα. Θυμίζει, λοιπόν, το κόλουρο εικοσάεδρο, ένα από τα αρχιμήδεια στερεά.

 

🪃 Η καμπύλη ενός φάλτσου σουτ

Πώς γίνεται ένας ποδοσφαιριστής να κάνει τη μπάλα να αλλάξει πορεία στον αέρα και να ξεγελάσει τον τερματοφύλακα; Η απάντηση βρίσκεται στη Φυσική και τα μαθηματικά της κίνησης.

Το φάλτσο δημιουργείται κυρίως από την περιστροφή (spin) που δίνει ο ποδοσφαιριστής στη μπάλα τη στιγμή της επαφής. Αν το πόδι δεν χτυπήσει το κέντρο της μπάλας αλλά λίγο πλάγια, τότε της μεταδίδει γωνιακή ταχύτητα. Αυτή η περιστροφή, σε συνδυασμό με τη ροή του αέρα, προκαλεί το φαινόμενο Μάγκνους, με αποτέλεσμα η τροχιά να καμπυλώνει. Ένα φάουλ του Κριστιάνο Ρονάλντο ή ένα σουτ του Μέσι που φαίνεται να αγνοεί τους νόμους της ευθείας γραμμής δεν είναι μαγεία. Είναι η συνάντηση της τεχνικής του ποδοσφαιριστή με τους νόμους της Φυσικής.

Η τροχιά της μπάλας μπορεί να περιγραφεί με εξισώσεις που λαμβάνουν υπόψη:

• την αρχική ταχύτητα
• τη γωνία του σουτ
• τη δύναμη της βαρύτητας
• την αντίσταση του αέρα
• την περιστροφή της μπάλας.

Μια ποδοσφαιρική φάση διάρκειας λίγων δευτερολέπτων μπορεί να κρύβει ένα ολόκληρο μαθηματικό μοντέλο.

 

🥅 Ο τρόμος του τερματοφύλακα

Το πέναλτι θεωρείται η βαρύτερη ποινή στο ποδόσφαιρο και όχι άδικα. Η μπάλα τοποθετείται στα 11 μέτρα (ή, ακριβέστερα, στις 12 γιάρδες = 10,97 m), μια απόσταση που δεν έχει επιλεγεί τυχαία. Είναι αρκετά μικρή ώστε το γκολ να είναι πολύ πιθανό, αλλά όχι βέβαιο. Στατιστικά, περίπου το 75% των πέναλτι καταλήγουν σε γκολ, ποσοστό που θεωρείται ιδανική ισορροπία μεταξύ τιμωρίας και αβεβαιότητας. Γι’ αυτό μπορούν να μας διαβεβαιώσουν και η στατιστική και κάποιοι εύκολοι υπολογισμοί. Η ποινή θα έπρεπε να είναι βαριά, δηλαδή να είναι σχεδόν γκολ, αλλά όχι και 100%, για να υπάρχει ενδιαφέρον. Έχουν, λοιπόν, επιλέξει μια πιθανότητα κοντά στο 75%. Αυτό έχει αποδειχτεί ότι διατηρείται από πολλές στατιστικές μετρήσεις σε πρωταθλήματα υψηλού επιπέδου και διοργανώσεις, όπως το Παγκόσμιο και το Ευρωπαϊκό. Μετράμε, δηλαδή, πόσα πέναλτι δόθηκαν και πόσα από αυτά μπήκαν γκολ.

Μπορούμε, όμως, να φτάσουμε στο ίδιο αποτέλεσμα και με άλλον τρόπο. Όταν το τέρμα έχει άνοιγμα 7,32 μέτρα και ύψος 2,44, η επιφάνειά του είναι περίπου 18 τετραγωνικά μέτρα. Ένας τερματοφύλακας σε μουντιαλικό επίπεδο έχει περίπου 2 μέτρα ύψος και το άνοιγμα των χεριών του φτάνει επίσης τα 2 μέτρα, άρα καλύπτει περίπου 4 τετραγωνικά μέτρα, δηλαδή το 22% της επιφάνειας του τέρματος. Άρα μένει το 78% ακάλυπτο, ποσοστό κοντά στο 75%. Ίσως θα έπρεπε η μπάλα να στηνόταν κάπου μισό μέτρο πιο πίσω για να είναι τα πράγματα πιο δίκαια. Διότι είναι και ο χρόνος αντίδρασης του τερματοφύλακα που πρέπει να λογαριαστεί. Στα πέναλτι, η μέγιστη ταχύτητα της μπάλας φτάνει τα 120-130 χιλιόμετρα την ώρα, αλλά ο μέσος όρος είναι περίπου 100 χιλιόμετρα την ώρα. Για να διανύσει η μπάλα την απόσταση των 11 μέτρων, αυτό δίνει κατά προσέγγιση χρόνο 0,4 δευτερόλεπτα. Ένας άνθρωπος χρειάζεται 0,2 δευτερόλεπτα για να αντιληφθεί προς τα πού κατευθύνεται η μπάλα, άρα του μένουν 0,2 ακόμη για να αντιδράσει. Αλλά η εκτίναξη ως τη γωνία του, που είναι σε απόσταση 3,66 μέτρων με ταχύτητα 40 χιλιόμετρα την ώρα, χρειάζεται χρόνο 0,33 δευτερολέπτων. Γι’ αυτό συχνά βλέπουμε τους τερματοφύλακες να έχουν από πριν αποφασίσει προς τα πού θα πέσουν.

 

📚 Οι πάσες ως μαθηματικό δίκτυο

Μια ποδοσφαιρική ομάδα δεν είναι απλώς 11 παίκτες που κινούνται στο γήπεδο. Είναι ένα δίκτυο σχέσεων. Κάθε πάσα συνδέει δύο παίκτες. Αν σχεδιάσουμε τους παίκτες ως σημεία και τις πάσες ως γραμμές, δημιουργούμε ένα μαθηματικό αντικείμενο που ονομάζεται γράφημα ή γράφος (graph).

Με τη βοήθεια της θεωρίας γραφημάτων (graph theory) μπορούμε να μελετήσουμε:

• ποιος παίκτης συμμετέχει περισσότερο στο παιχνίδι
• ποιος αποτελεί τον «κόμβο» της ομάδας
• πώς μεταφέρεται η μπάλα
• πού εμφανίζονται αδυναμίες στην άμυνα.

Έτσι, μια ομάδα μπορεί να μελετηθεί, όχι μόνο με το μάτι του προπονητή, αλλά και με τη γλώσσα των Μαθηματικών.

 

📊 Γιατί το ποδόσφαιρο είναι τόσο απρόβλεπτο;

Σε αντίθεση με αθλήματα όπου οι καλύτερες ομάδες κερδίζουν συχνότερα, το ποδόσφαιρο έχει έντονο το στοιχείο της τύχης. Ένα παιχνίδι μπορεί να κριθεί από ένα πέναλτι, μια κόντρα, ένα δοκάρι ή ένα λάθος του τερματοφύλακα. Κι αυτό γιατί το ποδόσφαιρο έχει σχεδιαστεί έτσι, που να μπαίνουν σχετικά λίγα γκολ και να μην κερδίζει πάντα ο καλύτερος. Η στατιστική ανάλυση μεγάλου αριθμού αγώνων έχει δείξει ότι το ποδόσφαιρο είναι από τα πιο απρόβλεπτα ομαδικά αθλήματα ως προς το αποτέλεσμα.

Αυτό όμως δεν σημαίνει ότι δεν υπάρχουν μαθηματικά. Αντίθετα, οι σύγχρονες ομάδες χρησιμοποιούν:

• πιθανότητες για την αξιολόγηση των ευκαιριών
• στατιστική για την ανάλυση των παικτών
• μαθηματικά μοντέλα για την πρόβλεψη αποτελεσμάτων
• ανάλυση των κινήσεων των παικτών για τη βελτίωση της τακτικής τους.

Για παράδειγμα, μια φάση δεν αξιολογείται πλέον μόνο ως «μπήκε ή δεν μπήκε γκολ». Υπάρχει η έννοια των expected goals (xG), δηλαδή η πιθανότητα μια συγκεκριμένη προσπάθεια να καταλήξει σε γκολ, ανάλογα με τη θέση του σουτ, τη γωνία, την πίεση των αμυντικών και άλλα δεδομένα.

 

🪄 Μαθηματικά και μαγεία μαζί

Ίσως τώρα αναρωτηθείτε: «Αν όλα μπορούν να μετρηθούν, μήπως χάνεται η μαγεία του παιχνιδιού;». Η απάντηση είναι μάλλον το αντίθετο. Τα Μαθηματικά δεν μπορούν να προβλέψουν με βεβαιότητα ένα απρόβλεπτο παιχνίδι. Δεν μπορούν να υπολογίσουν το πάθος μιας ομάδας ή την έμπνευση ενός παίκτη τη στιγμή που αποφασίζει να σουτάρει αντί να δώσει πάσα. Ίσως, τελικά, αυτό να είναι το πραγματικό μεγαλείο της «στρογγυλής θεάς»: ότι όσο περισσότερο την αναλύεις με τα Μαθηματικά, τόσο περισσότερο συνειδητοποιείς πως πάντα θα αφήνει χώρο και για το απρόσμενο. Αυτό είναι που κάνει το ποδόσφαιρο να μας συναρπάζει εδώ και περισσότερο από έναν αιώνα!

Ο γρίφος των κλειδιών

Από 100 κλειδιά, το ένα μόνο είναι κατάλληλο για να ανοίξει μια πόρτα. Τα κλειδιά δοκιμάζονται το ένα μετά το άλλο (χωρίς να ξαναχρησιμοποιήσουμε κλειδί το οποίο έχει ήδη χρησιμοποιηθεί). 

Ποια είναι η πιθανότητα το σωστό κλειδί να βρεθεί στην 1η δοκιμή; Ποια η πιθανότητα το σωστό κλειδί να βρεθεί στην 100ή δοκιμή;

"Ο άνθρωπος που μετρούσε την άμμο"

Το βιβλίο της Gillian Bradshaw από τις Εκδόσεις Μίνωας

Ο νεαρός λόγιος Αρχιμήδης περνάει τα τρία καλύτερα χρόνια της ζωής του στο Μουσείο του Πτολεμαίου, στην Αλεξάνδρεια. Εκεί μιλάει και σκέφτεται όλη μέρα, μοιράζεται ιδέες και πληροφορίες με τα μεγαλύτερα μυαλά του κόσμου και νιώθει πως βρίσκεται στον παράδεισο. Όταν όμως μαθαίνει ότι ο πατέρας του είναι άρρωστος και οι Συρακούσες, η γενέθλια πόλη του, είναι σε πόλεμο με τους Ρωμαίους, αναγκάζεται να γυρίσει πίσω και να δουλέψει ως βασιλικός μηχανικός επιφορτισμένος με την κατασκευή καταπελτών. Στην πολιορκημένη πόλη θα βρει φήμη και απώλεια, έρωτα και πόλεμο, πλούτο και προδοσία - τίποτα απ' αυτά όμως δεν τον συγκινεί τόσο, όσο η θεία ομορφιά των μαθηματικών. (ΑΠΟ ΤΗΝ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΟ ΟΠΙΣΘΟΦΥΛΛΟ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ).

Γρίφος: Η χαλασμένη αριθμομηχανή

 

Έχουμε μια αριθμομηχανή στην οποία υπάρχει ένα μικρό προβληματάκι... Δεν λειτουργούν σωστά ακριβώς δύο από τα αριθμητικά πλήκτρα της. Συγκεκριμένα, αν πατήσουμε το ένα από αυτά, η αριθμομηχανή καταγράφει το άλλο και αντίστροφα. Όλα τα υπόλοιπα πλήκτρα λειτουργούν κανονικά και όλοι οι υπολογισμοί εκτελούνται σωστά. 

Όταν πληκτρολογήσαμε τον πολλαπλασιασμό 2 · 3 · 5 · 17, η αριθμομηχανή εμφάνισε το αποτέλεσμα 910. Ποια είναι τα δύο χαλασμένα πλήκτρα;

Αριθμητικά μοτίβα!

Παρακάτω βλέπουμε ένα ενδιαφέρον αριθμητικό μοτίβο που συνδέει τους αριθμούς 1127 και 16. Φυσικά και τίποτα δεν είναι τυχαίο, όταν αφορά τους αριθμούς. Εσάς ποια είναι η γνώμη σας;

Πηγή εικόνας: Math1089 

Διαβάστε για πολύ περισσότερα αριθμητικά μοτίβα στο βιβλίο του Shyamalendu Roy, "Number Patterns and their Wonders" ή επισκεφτείτε την ιστοσελίδα του. 

Ο γρίφος των 10 καπέλων

 

Δέκα άνθρωποι έχουν απαχθεί από εξωγήινους και βρίσκονται αιχμάλωτοι μέσα σε ένα διαστημόπλοιο.

Οι εξωγήινοι, που θέλουν να ερευνήσουν την ανθρώπινη νοημοσύνη, τούς τοποθετούν σε μία σειρά, τον έναν πίσω από τον άλλον. Στο κεφάλι κάθε ανθρώπου φορούν τυχαία ένα καπέλο, το οποίο είναι είτε άσπρο ή μαύρο. Κάθε άνθρωπος μπορεί να δει μόνο τα καπέλα όσων βρίσκονται μπροστά του στη σειρά, αλλά όχι το δικό του ούτε των ανθρώπων πίσω του. Επίσης, κανείς δεν γνωρίζει πόσα άσπρα και πόσα μαύρα καπέλα υπάρχουν συνολικά.

Οι εξωγήινοι ανακοινώνουν τους κανόνες:

«Θα σας ρωτήσουμε έναν-έναν, ξεκινώντας από τον τελευταίο της σειράς, να μαντέψετε δυνατά το χρώμα του καπέλου σας. Δεν επιτρέπεται να πείτε τίποτα άλλο εκτός από “άσπρο” ή “μαύρο”. Αν τουλάχιστον 9 από τους 10 απαντήσετε σωστά, θα σας αφήσουμε όλους ελεύθερους. Διαφορετικά, θα παραμείνετε για πάντα στο διαστημόπλοιό μας».

Πριν τους φορέσουν τα καπέλα, οι δέκα άνθρωποι έχουν λίγο χρόνο να συνεννοηθούν και να καταστρώσουν μια στρατηγική.

Ερώτημα

Ποια στρατηγική πρέπει να ακολουθήσουν ώστε να εξασφαλίσουν ότι τουλάχιστον 9 από τους 10 θα απαντήσουν σωστά;

"Μιλώντας στην Άννα για τα Μαθηματικά"

 

Όλα ξεκίνησαν όταν η οικογένεια της Άννας εγκαταστάθηκε για το καλοκαίρι δίπλα στο εξοχικό ενός παλαίμαχου μαθηματικού. Η Άννα ήταν από εκείνα τα παιδιά που η αγαπημένη τους λέξη είναι το "γιατί;" κι ο νέος της γείτονας αρεσκόταν όχι μόνο να απαντά στις ερωτήσεις, αλλά και να γεννά με κάθε του απάντηση μια νέα ερώτηση. Ξεκίνησαν μετρώντας τους στήμονες στο άνθος του ηλιοτροπίου και προσπαθώντας να εξηγήσουν τις χαρακιές σε κάποια προϊστορικά κόκαλα. Κουβέντα στην κουβέντα, το ένα καλοκαίρι ύστερα από τ' άλλο, οι δυο καινούριοι φίλοι διαβαίνουν ολόκληρη τη διαδρομή που ξεκινά από την πρωτόγονη αρίθμηση και την πρακτική γεωμετρία και φτάνει, περνώντας από τις διαδοχικές γενικεύσεις της έννοιας του αριθμού και τις απανωτές προκλήσεις όλο και πιο περίπλοκων σχημάτων, στα σημερινά ανοιχτά προβλήματα των θεωρητικών και των εφαρμοσμένων μαθηματικών. Μέσα από τους διαλόγους της ανήσυχης έφηβης και του περιστασιακού της μέντορα, ο αναγνώστης θα ταξιδέψει στον μαγικό και τόσο παρεξηγημένο κόσμο των μαθηματικών γνωρίζοντας τόσο τη γοητεία της θεωρητικής έρευνας όσο και τις εντυπωσιακές εφαρμογές των μαθηματικών σε κάθε πτυχή της καθημερινότητάς μας. Κι όταν, έχοντας τελειώσει τις σπουδές της, η Άννα θα βρίσκεται πια σε αναζήτηση ενός θέματος για το διδακτορικό της, θ' αναλάβει η ίδια τον ρόλο του μέντορα, για να μας ξεναγήσει σε μερικές από τις περιοχές της σύγχρονης, ζωντανής μαθηματικής έρευνας.

"Unit Distance Problem": Το μεγαλύτερο μέχρι σήμερα επίτευγμα της ΤΝ στα Μαθηματικά!

 

Η OpenAI προκάλεσε παγκόσμιο θαυμασμό, προσφέροντας πολύτιμη βοήθεια για να απαντηθεί το περίφημο πρόβλημα της μοναδιαίας απόστασης (Unit Distance Problem), ένας γρίφος που είχε μείνει άλυτος για 80 χρόνια. Πάμε όμως να δούμε αναλυτικά περί τίνος πρόκειται.

 

Η λύση ενός… «μαθηματικού μυστηρίου»

Το 1946, ο Paul Erdös, ένας από τους σημαντικότερους μαθηματικούς του 20ού αιώνα διατύπωσε το εξής ερώτημα: Αν τοποθετήσουμε οποιονδήποτε αριθμό κουκκίδων σε μια επίπεδη επιφάνεια, ποιος είναι ο μέγιστος δυνατός αριθμός ζευγών που θα μπορούσαν να απέχουν μεταξύ τους μια συγκεκριμένη μοναδιαία απόσταση (π.χ. 1 cm);

Για παράδειγμα, αν διαθέτουμε n=3 κουκκίδες, μπορούμε να τις τοποθετήσουμε στις κορυφές ενός ισοπλεύρου τριγώνου ώστε να σχηματίζονται u(3)=3 ζεύγη που απέχουν μοναδιαία απόσταση. Αν έχουμε n=4 κουκκίδες, τότε η καλύτερη διάταξη είναι όπως στο παρακάτω σχήμα, όπου προκύπτουν u(4)=5 τέτοια ζεύγη, ενώ αν διαθέτουμε n=5 κουκκίδες, στην καλύτερη διάταξη επιτυγχάνονται u(5)=7 ζεύγη, κ.ο.κ.

Βέβαια, καθώς αυξάνεται ο αριθμός των κουκκίδων, τα σχήματα -στα οποία ζητείται να απέχουν μεταξύ τους μοναδιαία απόσταση όσο το δυνατόν περισσότερα ζεύγη- ξεφεύγουν από την παραπάνω συμμετρία και γίνονται όλο και πιο περίπλοκα:

Μια κατασκευή μοναδιαίων αποστάσεων σε τετραγωνικό πλέγμα πολλών κουκκίδων.
Τι συμβαίνει στο παραπάνω σχήμα: αν θεωρήστε π.χ. την κάτω αριστερή γωνία ως αρχή των αξόνων (0,0), τότε η "μοναδιαία απόσταση" (με την οποία θέλουμε να ισαπέχουν οι περισσότερες κουκκίδες, όχι δύο διαδοχικές) ισούται με την απόσταση των κουκκίδων (8,1) ή (1,8) ή (4,7) ή (7,4) από το (0,0).

Ο Erdös υπέθεσε ένα συγκεκριμένο, δισδιάστατο πλέγμα ως την απόλυτα καλύτερη διάταξη που απαντά στο ερώτημα. Οι περισσότεροι μαθηματικοί συμφωνούσαν με την εικασία του Erdös, θεωρώντας ότι ο μέγιστος αριθμός u(n) των ζευγών που ισαπέχουν, διαθέτει ένα κάτω και ένα άνω όριο σύμφωνα με την εξής ανισότητα:

\(c_1 \cdot n^{1+\epsilon(n)} \leq u(n) \leq c_2 \cdot n^{\frac{4}{3}} \)

Η \( \epsilon(n)\) είναι τέτοια, ώστε καθώς το \(n\) αυξάνεται απεριόριστα, το \( \epsilon(n)\) τείνει στο 0. Κανένας μαθηματικός δεν μπόρεσε να βρει μια καλύτερη διάταξη, αλλά ούτε και να αποδείξει ότι ο Erdös είχε όντως δίκιο…

Τι πέτυχε η Τεχνητή Νοημοσύνη

Πριν από μερικές ημέρες, ανακοινώθηκε από την OpenAI ότι το μοντέλο τεχνητής νοημοσύνης της εταιρείας διέψευσε την εικασία του Erdös, ανακαλύπτοντας μια νέα κλάση κατασκευών. Αντί να προσπαθήσει να βελτιώσει τα δισδιάστατα πλέγματα, η ΤΝ έκανε το εξής: Κατασκεύασε ένα εξαιρετικά πολύπλοκο πλέγμα σε πολυδιάστατο χώρο, όπου ειδικές συμμετρίες επέτρεψαν τη δημιουργία πολύ περισσότερων ζευγών στη ζητούμενη απόσταση. Στη συνέχεια, βρήκε έναν μαθηματικό τρόπο να προβάλει αυτό το πολυδιάστατο σχήμα πίσω στις δύο διαστάσεις. Η τελική διάταξη είναι τόσο περίπλοκη, που είναι αδύνατον να σχεδιαστεί με το χέρι.

Eκείνο που κατάφερε η Τεχνητή Νοημοσύνη τελικά ήταν να ανεβάσει το κάτω όριο ώστε: \(c_1 \cdot n^{1,014} \leq u(n) \leq c_2 \cdot n^{\frac{4}{3}} \)

Έτσι, ενώ η εικασία του Erdös έλεγε ότι «δεν μπορεί στο κάτω όριο, \( c_1 \cdot n^{1+\epsilon(n)}\), να υπάρχει σταθερός εκθέτης μεγαλύτερος από το 1», ο υπολογισμός της Τεχνητής Νοημοσύνης έδειξε ότι αυτό δεν ισχύει, αφού μπορεί να πάρει την τιμή 1,014, καταρρίπτοντας έτσι οριστικά την ιστορική εικασία.

Πώς ανταποκρίθηκε η διεθνής επιστημονική κοινότητα

Το αποτέλεσμα αυτό είναι η πρώτη απόδειξη Τεχνητής Νοημοσύνης που πιθανότατα θα δημοσιευόταν σε κορυφαίο μαθηματικό περιοδικό, αν είχε επιτευχθεί αποκλειστικά από ανθρώπους. Οι μαθηματικοί χαρακτήρισαν τη μέθοδο της τεχνητής νοημοσύνης «έξυπνη» και «κομψή» και δημοσίευσαν εδώ την εργασία τους.

«Καμία προηγούμενη απόδειξη που έχει δημιουργηθεί από ΤΝ δεν έχει πλησιάσει στο να ικανοποιεί αυτά τα υψηλά πρότυπα», έγραψε ο Timothy Gowers, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο του Cambridge και κάτοχος Μετάλλιου Fields, σε σχόλιο που ζητήθηκε από την OpenAI. «Αυτό είναι το μοναδικό ενδιαφέρον αποτέλεσμα που έχει παραχθεί αυτόνομα από την ΤΝ μέχρι στιγμής», λέει ο Daniel Litt, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο του Τορόντο, ο οποίος κλήθηκε από την OpenAI να επαληθεύσει την απόδειξη, χωρίς να έχει σχέση με την εταιρεία.

 

Το μέλλον εξακολουθεί να εξαρτάται από τον άνθρωπο

Ωστόσο, η ΤΝ δεν απέδειξε ότι η προσέγγισή της είναι η καλύτερη που μπορεί να επιτευχθεί. Μάλιστα, ο μαθηματικός Will Sawin έχει ήδη βελτιώσει το πλέγμα της ΤΝ (Διαβάστε εδώ: An explicit lower bound for the unit distance problem). Δηλαδή στην πραγματικότητα η OpenAI δεν έλυσε πλήρως το πρόβλημα, αφού το πρόβλημα παραμένει ανοιχτό στα Μαθηματικά.

Αρκετοί από τους ειδικούς που συμβουλεύτηκε η OpenAI σημείωσαν ότι, αν και το πρόβλημα ήταν ευρέως γνωστό, μια απόδειξη ότι ο Erdős είχε δίκιο θα ήταν μαθηματικά πολύ πιο πλούσια από ένα αντιπαράδειγμα. «Το μοντέλο της ΤΝ δεν εφηύρε κάτι ριζικά νέο, που κανείς δεν είχε προβλέψει», λέει ο Sébastien Bubeck, μαθηματικός που ηγείται των μαθηματικών ερευνών της OpenAI. «Απλώς εκτέλεσε (το πρόβλημα) σαν ένας εκπληκτικός μαθηματικός».

Οι ειδικοί έσπευσαν επίσης να προσθέσουν ότι, χωρίς την παρέμβαση των ανθρώπων για να «συμμαζέψουν» τη δουλειά της ΤΝ, το αποτέλεσμα δεν θα ήταν τόσο πειστικό. «Ο άνθρωπος εξακολουθεί να διαδραματίζει ζωτικό ρόλο στην συζήτηση, την κατανόηση και τη βελτίωση αυτής της απόδειξης, καθώς και στη διερεύνηση των συνεπειών της», έγραψε ο μαθηματικός Thomas Bloom.

Η μαθηματικός του Πανεπιστημίου Harvard, Melanie Matchett Wood, λέει ότι η πρόοδος των ανθρώπων πιθανότατα περιοριζόταν από την πεποίθησή τους ότι η εικασία ήταν αληθής. «Αν όλοι οι ειδικοί είχαν αφιερώσει τον ίδιο χρόνο αναζητώντας ένα αντιπαράδειγμα», σχολιάζει, «θα το είχαν βρει».

Αυτό είναι εύλογο, διότι η λύση της ΤΝ ήταν, εκ των υστέρων, μια άμεση προσέγγιση που κανένας άνθρωπος δεν είχε προσπαθήσει ποτέ να βρει, παρόλο που τα εργαλεία υπήρχαν ήδη. Πραγματικά νέες, πρωτοποριακές ιδέες παραμένουν πέρα από τις δυνατότητες της σημερινής ΤΝ, αφήνοντας αντ’ αυτού τις μηχανές να ερευνήσουν τη βιβλιογραφία για σπάνια «διαμάντια», όπου οι άνθρωποι αγνόησαν μια σχετικά απλή προσέγγιση. Ακόμα κι έτσι, ο Litt προσθέτει, «η μαντεψιά μου είναι ότι σύντομα θα διαπιστώσουμε πως τελικά δεν είναι και τόσο σπάνια».

Γρίφος προτασιακού λογισμού: Οι τέσσερις κάρτες

Έχουμε τέσσερις κάρτες διπλής όψης, που από τη μια πλευρά έχουν γράμμα και από την άλλη αριθμό και οι οποίες είναι τοποθετημένες πάνω στο τραπέζι, όπως φαίνεται στην εικόνα.

Στην πάνω όψη κάθε κάρτας, βλέπουμε: "α", "φ", "3" και "4" αντίστοιχα. Κάποιος από την παρέα μας ισχυρίζεται ότι: "Αν από τη μια πλευρά υπάρχει φωνήεν, τότε από την πίσω πλευρά υπάρχει άρτιος αριθμός". Μπορεί να έχει δίκιο... ή και όχι. Ποιες κάρτες πρέπει να αναποδογυρίσουμε, ώστε να διαπιστώσουμε αν ισχύει αυτό που είπε ο φίλος μας;

 

Σημείωση: Το πρόβλημα αυτό είχε αρχικά τεθεί από το γνωστικό ψυχολόγο Peter Wason το 1966 και παρουσιάστηκε στο μεταπτυχιακό μάθημα "Ειδικά Θέματα στη Διδακτική των Μαθηματικών" της κ. Καλδρυμίδου. 

Καλή επιτυχία σε όλα τα παιδιά!!!

 

Καθώς η σχολική χρονιά φτάνει στο τέλος της, θα ήθελα να ευχηθώ σε όλους τους μαθητές και τις μαθήτριές μου καλή δύναμη και καλή επιτυχία στις εξετάσεις τους. Τα Μαθηματικά δεν είναι μόνο τύποι και ασκήσεις... είναι τρόπος σκέψης! Θέλω να μπείτε στην περίοδο των εξετάσεων με αυτοπεποίθηση, ηρεμία και πίστη στον εαυτό σας, αξιοποιώντας όσα κατακτήσατε όλη τη χρονιά. Να θυμάστε πως η πορεία της μάθησης δεν τελειώνει σε μια εξέταση, αλλά συνεχίζεται κάθε φορά που αναρωτιέστε, αναζητάτε και προχωράτε. Εξάλλου, η προσπάθεια είναι που μετράει... το "ταξίδι" που λέμε!

Καλή επιτυχία σε όλους και όλες! 💖

«Το μεγαλύτερο σημάδι επιτυχίας για έναν δάσκαλο είναι να μπορεί να πει: "Τα παιδιά τώρα εργάζονται σαν να μην υπάρχω".» (Maria Montessori)