"Unit Distance Problem": Το μεγαλύτερο μέχρι σήμερα επίτευγμα της ΤΝ στα Μαθηματικά!

 

Η OpenAI προκάλεσε παγκόσμιο θαυμασμό, προσφέροντας πολύτιμη βοήθεια για να απαντηθεί το περίφημο πρόβλημα της μοναδιαίας απόστασης (Unit Distance Problem), ένας γρίφος που είχε μείνει άλυτος για 80 χρόνια. Πάμε όμως να δούμε αναλυτικά περί τίνος πρόκειται.

 

Η λύση ενός… «μαθηματικού μυστηρίου»

Το 1946, ο Paul Erdös, ένας από τους σημαντικότερους μαθηματικούς του 20ού αιώνα διατύπωσε το εξής ερώτημα: Αν τοποθετήσουμε οποιονδήποτε αριθμό κουκκίδων σε μια επίπεδη επιφάνεια, ποιος είναι ο μέγιστος δυνατός αριθμός ζευγών που θα μπορούσαν να απέχουν μεταξύ τους μια συγκεκριμένη μοναδιαία απόσταση (π.χ. 1 cm);

Για παράδειγμα, αν διαθέτουμε n=3 κουκκίδες, μπορούμε να τις τοποθετήσουμε στις κορυφές ενός ισοπλεύρου τριγώνου ώστε να σχηματίζονται u(3)=3 ζεύγη που απέχουν μοναδιαία απόσταση. Αν έχουμε n=4 κουκκίδες, τότε η καλύτερη διάταξη είναι όπως στο παρακάτω σχήμα, όπου προκύπτουν u(4)=5 τέτοια ζεύγη, ενώ αν διαθέτουμε n=5 κουκκίδες, στην καλύτερη διάταξη επιτυγχάνονται u(5)=7 ζεύγη, κ.ο.κ.

Βέβαια, καθώς αυξάνεται ο αριθμός των κουκκίδων, τα σχήματα -στα οποία ζητείται να απέχουν μεταξύ τους μοναδιαία απόσταση όσο το δυνατόν περισσότερα ζεύγη- ξεφεύγουν από την παραπάνω συμμετρία και γίνονται όλο και πιο περίπλοκα:

Μια κατασκευή μοναδιαίων αποστάσεων σε τετραγωνικό πλέγμα πολλών κουκκίδων.
Τι συμβαίνει στο παραπάνω σχήμα: αν θεωρήστε π.χ. την κάτω αριστερή γωνία ως αρχή των αξόνων (0,0), τότε η "μοναδιαία απόσταση" (με την οποία θέλουμε να ισαπέχουν οι περισσότερες κουκκίδες, όχι δύο διαδοχικές) ισούται με την απόσταση των κουκκίδων (8,1) ή (1,8) ή (4,7) ή (7,4) από το (0,0).

Ο Erdös υπέθεσε ένα συγκεκριμένο, δισδιάστατο πλέγμα ως την απόλυτα καλύτερη διάταξη που απαντά στο ερώτημα. Οι περισσότεροι μαθηματικοί συμφωνούσαν με την εικασία του Erdös, θεωρώντας ότι ο μέγιστος αριθμός u(n) των ζευγών που ισαπέχουν, διαθέτει ένα κάτω και ένα άνω όριο σύμφωνα με την εξής ανισότητα:

\(c_1 \cdot n^{1+\epsilon(n)} \leq u(n) \leq c_2 \cdot n^{\frac{4}{3}} \)

Η \( \epsilon(n)\) είναι τέτοια, ώστε καθώς το \(n\) αυξάνεται απεριόριστα, το \( \epsilon(n)\) τείνει στο 0. Κανένας μαθηματικός δεν μπόρεσε να βρει μια καλύτερη διάταξη, αλλά ούτε και να αποδείξει ότι ο Erdös είχε όντως δίκιο…

Τι πέτυχε η Τεχνητή Νοημοσύνη

Πριν από μερικές ημέρες, ανακοινώθηκε από την OpenAI ότι το μοντέλο τεχνητής νοημοσύνης της εταιρείας διέψευσε την εικασία του Erdös, ανακαλύπτοντας μια νέα κλάση κατασκευών. Αντί να προσπαθήσει να βελτιώσει τα δισδιάστατα πλέγματα, η ΤΝ έκανε το εξής: Κατασκεύασε ένα εξαιρετικά πολύπλοκο πλέγμα σε πολυδιάστατο χώρο, όπου ειδικές συμμετρίες επέτρεψαν τη δημιουργία πολύ περισσότερων ζευγών στη ζητούμενη απόσταση. Στη συνέχεια, βρήκε έναν μαθηματικό τρόπο να προβάλει αυτό το πολυδιάστατο σχήμα πίσω στις δύο διαστάσεις. Η τελική διάταξη είναι τόσο περίπλοκη, που είναι αδύνατον να σχεδιαστεί με το χέρι.

Eκείνο που κατάφερε η Τεχνητή Νοημοσύνη τελικά ήταν να ανεβάσει το κάτω όριο ώστε: \(c_1 \cdot n^{1,014} \leq u(n) \leq c_2 \cdot n^{\frac{4}{3}} \)

Έτσι, ενώ η εικασία του Erdös έλεγε ότι «δεν μπορεί στο κάτω όριο, \( c_1 \cdot n^{1+\epsilon(n)}\), να υπάρχει σταθερός εκθέτης μεγαλύτερος από το 1», ο υπολογισμός της Τεχνητής Νοημοσύνης έδειξε ότι αυτό δεν ισχύει, αφού μπορεί να πάρει την τιμή 1,014, καταρρίπτοντας έτσι οριστικά την ιστορική εικασία.

Πώς ανταποκρίθηκε η διεθνής επιστημονική κοινότητα

Το αποτέλεσμα αυτό είναι η πρώτη απόδειξη Τεχνητής Νοημοσύνης που πιθανότατα θα δημοσιευόταν σε κορυφαίο μαθηματικό περιοδικό, αν είχε επιτευχθεί αποκλειστικά από ανθρώπους. Οι μαθηματικοί χαρακτήρισαν τη μέθοδο της τεχνητής νοημοσύνης «έξυπνη» και «κομψή» και δημοσίευσαν εδώ την εργασία τους.

«Καμία προηγούμενη απόδειξη που έχει δημιουργηθεί από ΤΝ δεν έχει πλησιάσει στο να ικανοποιεί αυτά τα υψηλά πρότυπα», έγραψε ο Timothy Gowers, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο του Cambridge και κάτοχος Μετάλλιου Fields, σε σχόλιο που ζητήθηκε από την OpenAI. «Αυτό είναι το μοναδικό ενδιαφέρον αποτέλεσμα που έχει παραχθεί αυτόνομα από την ΤΝ μέχρι στιγμής», λέει ο Daniel Litt, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο του Τορόντο, ο οποίος κλήθηκε από την OpenAI να επαληθεύσει την απόδειξη, χωρίς να έχει σχέση με την εταιρεία.

 

Το μέλλον εξακολουθεί να εξαρτάται από τον άνθρωπο

Ωστόσο, η ΤΝ δεν απέδειξε ότι η προσέγγισή της είναι η καλύτερη που μπορεί να επιτευχθεί. Μάλιστα, ο μαθηματικός Will Sawin έχει ήδη βελτιώσει το πλέγμα της ΤΝ (Διαβάστε εδώ: An explicit lower bound for the unit distance problem).

Αρκετοί από τους ειδικούς που συμβουλεύτηκε η OpenAI σημείωσαν ότι, αν και το πρόβλημα ήταν ευρέως γνωστό, μια απόδειξη ότι ο Erdős είχε δίκιο θα ήταν μαθηματικά πολύ πιο πλούσια από ένα αντιπαράδειγμα. «Το μοντέλο της ΤΝ δεν εφηύρε κάτι ριζικά νέο, που κανείς δεν είχε προβλέψει», λέει ο Sébastien Bubeck, μαθηματικός που ηγείται των μαθηματικών ερευνών της OpenAI. «Απλώς εκτέλεσε (το πρόβλημα) σαν ένας εκπληκτικός μαθηματικός».

Οι ειδικοί έσπευσαν επίσης να προσθέσουν ότι, χωρίς την παρέμβαση των ανθρώπων για να «συμμαζέψουν» τη δουλειά της ΤΝ, το αποτέλεσμα δεν θα ήταν τόσο πειστικό. «Ο άνθρωπος εξακολουθεί να διαδραματίζει ζωτικό ρόλο στην συζήτηση, την κατανόηση και τη βελτίωση αυτής της απόδειξης, καθώς και στη διερεύνηση των συνεπειών της», έγραψε ο μαθηματικός Thomas Bloom.

Η μαθηματικός του Πανεπιστημίου Harvard, Melanie Matchett Wood, λέει ότι η πρόοδος των ανθρώπων πιθανότατα περιοριζόταν από την πεποίθησή τους ότι η εικασία ήταν αληθής. «Αν όλοι οι ειδικοί είχαν αφιερώσει τον ίδιο χρόνο αναζητώντας ένα αντιπαράδειγμα», σχολιάζει, «θα το είχαν βρει».

Αυτό είναι εύλογο, διότι η λύση της ΤΝ ήταν, εκ των υστέρων, μια άμεση προσέγγιση που κανένας άνθρωπος δεν είχε προσπαθήσει ποτέ να βρει, παρόλο που τα εργαλεία υπήρχαν ήδη. Πραγματικά νέες, πρωτοποριακές ιδέες παραμένουν πέρα από τις δυνατότητες της σημερινής ΤΝ, αφήνοντας αντ’ αυτού τις μηχανές να ερευνήσουν τη βιβλιογραφία για σπάνια «διαμάντια», όπου οι άνθρωποι αγνόησαν μια σχετικά απλή προσέγγιση. Ακόμα κι έτσι, ο Litt προσθέτει, «η μαντεψιά μου είναι ότι σύντομα θα διαπιστώσουμε πως τελικά δεν είναι και τόσο σπάνια».

Γρίφος προτασιακού λογισμού: Οι τέσσερις κάρτες

Έχουμε τέσσερις κάρτες διπλής όψης, που από τη μια πλευρά έχουν γράμμα και από την άλλη αριθμό και οι οποίες είναι τοποθετημένες πάνω στο τραπέζι, όπως φαίνεται στην εικόνα.

Στην πάνω όψη κάθε κάρτας, βλέπουμε: "α", "φ", "3" και "4" αντίστοιχα. Κάποιος από την παρέα μας ισχυρίζεται ότι: "Αν από τη μια πλευρά υπάρχει φωνήεν, τότε από την πίσω πλευρά υπάρχει άρτιος αριθμός". Μπορεί να έχει δίκιο... ή και όχι. Ποιες κάρτες πρέπει να αναποδογυρίσουμε, ώστε να διαπιστώσουμε αν ισχύει αυτό που είπε ο φίλος μας;

 

Σημείωση: Το πρόβλημα αυτό είχε αρχικά τεθεί από το γνωστικό ψυχολόγο Peter Wason το 1966 και παρουσιάστηκε στο μεταπτυχιακό μάθημα "Ειδικά Θέματα στη Διδακτική των Μαθηματικών" της κ. Καλδρυμίδου. 

Καλή επιτυχία σε όλα τα παιδιά!!!

 

Καθώς η σχολική χρονιά φτάνει στο τέλος της, θα ήθελα να ευχηθώ σε όλους τους μαθητές και τις μαθήτριές μου καλή δύναμη και καλή επιτυχία στις εξετάσεις τους. Τα Μαθηματικά δεν είναι μόνο τύποι και ασκήσεις... είναι τρόπος σκέψης! Θέλω να μπείτε στην περίοδο των εξετάσεων με αυτοπεποίθηση, ηρεμία και πίστη στον εαυτό σας, αξιοποιώντας όσα κατακτήσατε όλη τη χρονιά. Να θυμάστε πως η πορεία της μάθησης δεν τελειώνει σε μια εξέταση, αλλά συνεχίζεται κάθε φορά που αναρωτιέστε, αναζητάτε και προχωράτε. Εξάλλου, η προσπάθεια είναι που μετράει... το "ταξίδι" που λέμε!

Καλή επιτυχία σε όλους και όλες! 💖

«Το μεγαλύτερο σημάδι επιτυχίας για έναν δάσκαλο είναι να μπορεί να πει: "Τα παιδιά τώρα εργάζονται σαν να μην υπάρχω".» (Maria Montessori)

12 Μαΐου: Παγκόσμια Ημέρα Γυναικών στα Μαθηματικά!

 

Κάθε χρόνο στις 12 Μαΐου, γιορτάζεται η Παγκόσμια Ημέρα Γυναικών στα Μαθηματικά, μια ημέρα αφιερωμένη στις γυναίκες που συνέβαλαν και συνεχίζουν να συμβάλλουν στην εξέλιξη της μαθηματικής επιστήμης. Η ημέρα αυτή συνδέεται με τη, γεννημένη σαν σήμερα, σπουδαία μαθηματικό Maryam Mirzakhani, την πρώτη γυναίκα που τιμήθηκε με το μετάλλιο Fields. Με το έργο και την πορεία της απέδειξε ότι η δημιουργικότητα, η φαντασία και η αγάπη για τη γνώση βρίσκονται στην καρδιά των Μαθηματικών.

Η γνωριμία με μαθηματικούς από διαφορετικές εποχές βοηθά τους μαθητές να κατανοήσουν ότι η επιστήμη δεν ανήκει σε λίγους, αλλά αποτελεί πεδίο ανοιχτό για όλους όσοι αγαπούν τη σκέψη, την ανακάλυψη και τη γνώση. Μαζί θα παρακολουθήσουμε την ταινία μικρού μήκους “Je suis Sophie Germain, femme et mathématicienne”.

"Fractal φόνοι"

«Το κτίριο των Μαθηματικών, ένα τριώροφο φρούριο, ήταν ακριβώς εκεί που μου έδειξε εκείνη η μελαχρινή φοιτήτρια. Εξωτερικοί τοίχοι από χοντρό αμμόλιθο του Κολοράντο και στέγη από κόκκινο κεραμίδι. Το ζεστό αυτό αρχιτεκτονικό ύφος δέσποζε στην πανεπιστημιούπολη και δημιουργούσε μιαν ατμόσφαιρα που θύμιζε ιταλικό χωριό. Μπήκα μέσα άφοβα, ήμουν σαράντα τεσσάρων ετών και κανείς δεν επρόκειτο να μου ζητήσει να διχοτομήσω μια γωνία ή να επιλύσω μια εξίσωση δευτέρου βαθμού. Αυτό είναι ένα από τα πλεονεκτήματα του να μεγαλώνεις. Δεν υπάρχουν πολλά, οπότε το απόλαυσα. Είχα περάσει επτά χρόνια στο πανεπιστήμιο. Ποτέ δεν κατάλαβα το λόγο, ποτέ δεν κατάλαβα το λόγο, απλώς προσπαθούσα με κάθε τρόπο να αποφεύγω τις παραδόσεις των μαθηματικών. Και τώρα, το ’φερε η μοίρα να βρίσκομαι ανάμεσα στους μαθηματικούς, και να ψάχνω για εκείνον τον διεστραμμένο επιστήμονα που σκότωσε τους συναδέλφους του -γιατί σίγουρα ήταν ένας απ’ αυτούς. Ευτυχώς, η εργοδότριά μου, εκτός από την ειδίκευση της στην θεωρία του χάους, διέθετε και άλλου είδους προσόντα που έκαναν τη δουλειά μου ως ντετέκτιβ ακόμη πιο ευχάριστη».

Τρία θύματα, τρεις διαφορετικές πολιτείες, τρεις φαινομενικά άσχετες μεταξύ τους υποθέσεις. Όταν η Τζέιν Σμάιερς, καθηγήτρια Μαθηματικών, ανακαλύπτει ότι και τα τρία θύματα ειδικεύονταν στη γεωμετρία των φράκταλ, αντιλαμβάνεται πως οι θάνατοί τους δεν μπορεί να οφείλονται σε σύμπτωση. Εδώ είναι που εμφανίζεται ο Πέπερ Κέιν. Όταν το FBI αποφαίνεται ότι οι τρεις υποθέσεις δεν σχετίζονται μεταξύ τους, η Τζέιν προσλαμβάνει τον Κέιν, πρώην πεζοναύτη και νυν ιδιωτικό ερευνητή. Από τη Χαβάη ως το Χάρβαρντ, ο Πέπερ αναζητά αποδείξεις ότι οι θάνατοι ήταν δολοφονίες που τις διέπραξε το ίδιο πρόσωπο. Με βάση τη θεωρία των φράκταλ -με την οποία άρχισε σιγά σιγά να εξοικειώνεται- ο Κέιν διακρίνει ένα κοινό μοτίβο στους φόνους. Καθώς τα στοιχεία συσσωρεύονται, ο δραστήριος ντεντέκτιβ φοβάται ότι η αγαπημένη του καθηγήτρια μπορεί να είναι ο επόμενος στόχος... (Από την παρουσίαση της έκδοσης).

Ο Κοέν έχει το χάρισμα να κάνει τη γεωμετρία των φράκταλ όχι μόνο προσιτή, αλλά και συναρπαστική. Το κυνήγι του δολοφόνου, καθώς κορυφώνεται, σου δίνει σκιρτήματα ολοένα αυξανόμενης έντασης. (Kirkus Reviews).

Μια ζωντανή, νευρώδης και γεμάτη εκπλήξεις μαθηματική περιπέτεια, πλεγμένη γύρω από τη θεωρία μου για το χάος και τη γεωμετρία των φράκταλ. Δεν χρειάζεται να είναι κανείς φυσικός επιστήμονας για να διασκεδάσει με αυτήν. (Μπενουά Μάντελμπροτ, Καθηγητής Μαθηματικών Πανεπιστημίου Γέιλ, επινοητής της θεωρίας των φράκταλ).

Γρίφος: Φυλακισμένοι με... άσπρα και μαύρα καπέλα

Τέσσερις κρατούμενοι στις φυλακές είναι τοποθετημένοι ο ένας πίσω από τον άλλον, κοιτώντας προς την ίδια κατεύθυνση. 

• Ο 1ος, που είναι πίσω-πίσω, μπορεί να δει τον 2ο και τον 3ο.
• Ο 2ος μπορεί να δει μόνο τον 3ο. 
• Ο 3ος δεν βλέπει κανέναν γιατί μπροστά του βρίσκεται ένας τοίχος.
• Ο 4ος βρίσκεται από την άλλη πλευρά του τοίχου και επίσης δεν βλέπει κανέναν. 

Ο δεσμοφύλακας τους φόρεσε από ένα καπέλο ‒χωρίς αυτοί να ξέρουν το χρώμα του καπέλου τους και τους λέει: "Δύο από εσάς φοράνε άσπρο καπέλο και δύο από εσάς φοράνε μαύρο. Όποιος, μέσα σε ένα λεπτό πει δυνατά το χρώμα του καπέλου του και είναι σωστό, θα αφεθεί ελεύθερος! Θα μιλήσετε μόνο όταν είστε σίγουροι για το χρώμα του καπέλου που φοράτε, διαφορετικά θα σας εκτελέσω όλους επιτόπου!".

Οι φυλακισμένοι δεν μπορούν να μιλήσουν ο ένας στον άλλον και απαγορεύεται να βγάλουν το καπέλο τους.

Ποιος θα μιλήσει πρώτος; 

"Κόντρα μάθημα" ή μάθημα με νόημα; Μια βιωματική προσέγγιση στη Στατιστική της Γ΄ Λυκείου

Στα Μαθηματικά της Γ΄ Λυκείου της ομάδας προσανατολισμού Ανθρωπιστικών Σπουδών, το οποίο συχνά αποκαλείται ως «κόντρα μάθημα» μιας και θεωρείται «κόντρα» προς τα ενδιαφέροντά τους, επιχειρήθηκε μια εναλλακτική διδακτική προσέγγιση με στόχο να κεντρίσει το ενδιαφέρον τους.

Η παρέμβαση στηρίχθηκε στις αρχές της βιωματικής μάθησης και της ομαδοσυνεργατικής διδασκαλίας, με έμφαση στην ενεργό εμπλοκή των μαθητών και στη σύνδεση της μαθηματικής γνώσης με αυθεντικά δεδομένα της καθημερινότητάς τους.

Μαθηματικά στη Γ΄ Ανθρωπιστικών Σπουδών του 1ου ΓΕΛ Καλύμνου

🔎Οι μαθητές, οργανωμένοι σε ομάδες των 3-4 ατόμων, συμμετείχαν σε όλα τα στάδια μιας αυθεντικής στατιστικής διερεύνησης. Συγκεκριμένα:

• σχεδίασαν ερωτηματολόγιο γύρω από τη χρήση των μέσων κοινωνικής δικτύωσης από μαθητές της ηλικίας τους.
• συνέλεξαν δεδομένα από δείγμα 50 συμμαθητών τους
• οργάνωσαν τα δεδομένα σε πίνακες κατανομής συχνοτήτων
• υπολόγισαν βασικά στατιστικά μέτρα (μέση τιμή, διάμεσος κ.λπ.)

Η έμφαση δεν δόθηκε τόσο στην εκτέλεση αλγοριθμικών διαδικασιών, αλλά στη μαθηματικοποίηση της κατάστασης και στην ερμηνεία των αποτελεσμάτων.

📈Μέσα από τη δραστηριότητα, οι μαθητές δεν περιορίστηκαν στην εφαρμογή τύπων, αλλά κλήθηκαν να:

• αποδώσουν νόημα σε στατιστικές έννοιες (π.χ. τι εκφράζει η σχετική συχνότητα ή η μέση τιμή σε ένα πραγματικό πλαίσιο, ή τι εκφράζει η επικρατούσα τιμή όσον αφορά το δημοφιλέστερο μέσο κοινωνικής δικτύωσης)
• συνδέσουν διαφορετικές αναπαραστάσεις (πίνακες, γραφήματα, αριθμητικά μεγέθη)
• εξασκηθούν στις διαφορετικές αναπαραστάσεις των ρητών αριθμών (κλάσματα, δεκαδικοί, ή ποσοστά %)
• διατυπώσουν και να τεκμηριώσουν συμπεράσματα
• συγκρίνουν τα ευρήματά τους (π.χ. για να διαπιστώσουν αν υπάρχει ή όχι διαφοροποίηση των ποσοστών ως προς το φύλο)
• αναπτύξουν κριτική στάση απέναντι στα δεδομένα και στα αποτελέσματα (αντιπροσωπευτικότητα δείγματος, εγκυρότητα συμπερασμάτων)

Η προσέγγιση αυτή ενίσχυσε τη μετάβαση από τη διαδικαστική εκτέλεση στην εννοιολογική κατανόηση της Στατιστικής.

👪Η εργασία σε ομάδες λειτούργησε ως βασικός μηχανισμός οικοδόμησης της γνώσης. Μέσα από τη συνεργασία, οι μαθητές:

• διαπραγματεύτηκαν έννοιες και ερμηνείες
• ανέπτυξαν επιχειρηματολογία
• μοιράστηκαν στρατηγικές επίλυσης
• συμμετείχαν σε διαδικασίες κοινωνικής κατασκευής της γνώσης

Η μαθησιακή διαδικασία απέκτησε έτσι διαλογικό χαρακτήρα, ενισχύοντας τη μαθηματική επικοινωνία.

📊Η δραστηριότητα συνέβαλε ουσιαστικά στην ανάπτυξη στατιστικού γραμματισμού, καθώς οι μαθητές:

• εργάστηκαν με αυθεντικά δεδομένα
• εξήγαγαν συμπεράσματα με βάση πραγματικά ερωτήματα
• συνέδεσαν τα μαθηματικά με κοινωνικά και προσωπικά ζητήματα

Τα ευρήματα, όπως ο μέσος χρόνος χρήσης των social media, η ικανότητα των παιδιών να κρίνουν αν το περιεχόμενο που προβάλλεται στα social media είναι AI generated, ή ο βαθμός συναισθηματικής επιρροής ανάλογα με το πλήθος των likes που παίρνουν, αποτέλεσαν αφετηρία για περαιτέρω συζήτηση και προβληματισμό.

📚Η διδακτική αυτή παρέμβαση ανέδειξε ότι είναι δυνατόν να προκληθεί ουσιαστική μαθηματική εμπλοκή των μαθητών, όταν:

• αξιοποιούνται αρχές της βιωματικής μάθησης
• δίνεται έμφαση στην εννοιολογική κατανόηση
• ενισχύεται η ενεργός συμμετοχή των μαθητών
• χρησιμοποιούνται αυθεντικά και νοηματοδοτημένα πλαίσια

Η Στατιστική, μέσα από αυτή τη διαδικασία, μετασχηματίστηκε από ένα σύνολο τεχνικών σε ένα δυναμικό εργαλείο κατανόησης της πραγματικότητας και οι μαθητές-μελλοντικοί φοιτητές των Ανθρωπιστικών Επιστημών πήραν μια μικρή «γεύση» από το μάθημα της Στατιστικής που (πιθανόν αναπόφευκτα) πρόκειται να συναντήσουν στις σπουδές τους.

Τελικά, το «κόντρα μάθημα» μπορεί να πάψει να είναι κόντρα, όταν η διδασκαλία μετατοπίζεται από τη μετάδοση γνώσης στην οικοδόμηση νοήματος.

Γρίφος: Η εξαφάνιση των κομμάτων

 

Ένας μαθητής έγραψε στον πίνακα τρεις φυσικούς αριθμούς που είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Στη συνέχεια, έσβησε τα κόμματα που χώριζαν τους τρεις αριθμούς και δημιούργησε έναν επταψήφιο αριθμό. Ποια είναι η μέγιστη δυνατή τιμή του αριθμού αυτού;

Πηγή γρίφου:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΓΡΙΦΟΙ 1 - 150 προβλήματα από τη στήλη "Σπαζοκεφαλιές" του περιοδικού Quantum, εκδόσεις "Κάτοπτρο", 1999

"Είναι τρελοί αυτοί οι μαθηματικοί!"

 

Νομίζεις ότι η Ιστορία των Μαθηματικών είναι βαρετή, γεμάτη υπολογισμούς, εξισώσεις και σύνθετα προβλήματα; ΛΑΘΟΣ!

Αριθμοί που αποκαλύπτουν τα «μυστικά» του Σύμπαντος, θεωρήματα που όποιος τα γνωρίζει πρέπει να πεθάνει ή και να σκοτώσει, μαθηματικές αναλύσεις που σώζουν ζωές ή κερδίζουν τον πόλεμο, παράδοξα απολύτως λογικά, επινοήσεις και ανακαλύψεις συνθέτουν την Ιστορία της συναρπαστικής αυτής επιστήμης, που γράφτηκε από ανθρώπους ιδιοφυείς.

ΠΟΙΟΙ ΕΙΝΑΙ ΑΥΤΟΙ;

Μαθηματικοί φιλόσοφοι, βασιλιάδες αστρονόμοι, επιστήμονες αστρολόγοι, ενάρετοι και ανθρωπιστές ή ανταγωνιστικοί, εγωιστές και «σατανικοί», που δοξάστηκαν ή λοιδορήθηκαν, προσωπικότητες μοναδικές, που θα ήθελες να γνωρίσεις από κοντά ή να μη βρεθούν ποτέ στον δρόμο σου!

Για την Παγκόσμια Ημέρα βιβλίου που γιορτάζεται σήμερα, το "εις το άπειρον" προτείνει το νέο βιβλίο των Θανάση Κοπάδη και Θανάση Δρούγα που κυκλοφόρησε πρόσφατα. "Το συγκεκριμένο βιβλίο δεν είναι μόνο για όσους αγαπούν τα μαθηματικά, αλλά και για όσους τα φοβούνται. Η τρέλα των μαθηματικών δεν είναι κάτι ξένο, είναι η ίδια δύναμη που μας ωθεί όλους να ψάχνουμε ένα νόημα και να θέλουμε να καταλάβουμε καλύτερα τον κόσμο όπου ζούμε."

Τα κλάσματα αλλιώς: Οπτικοποίηση με το Polypad

 

Το Polypad είναι ένα εξαιρετικό διαδραστικό εργαλείο για τη διδασκαλία των βασικών μαθηματικών εννοιών μέσα από διερεύνηση και πειραματισμό. Προσφέρει μια μεγάλη ποικιλία από ψηφιακά "χειραπτικά" υλικά που επιτρέπουν στους μαθητές να πειραματιστούν, να κάνουν υποθέσεις και να οικοδομήσουν τη μαθηματική γνώση με ενεργητικό τρόπο.

Οπτική αναπαράσταση του κλάσματος \(\frac{3}{5}\) με διαφορετικούς τρόπους

Οπτική αναπαράσταση του κλάσματος \(\frac{7}{5}\) με διαφορετικούς τρόπους

Ιδιαίτερα στην ενότητα των κλασμάτων οι εκπαιδευτικοί έχουν τη δυνατότητα να χρησιμοποιήσουν πολλαπλές οπτικές αναπαραστάσεις των κλασματικών αριθμών και οι μαθητές έχουν την ευκαιρία να συγκρίνουν μεγέθη, να δημιουργούν ισοδύναμα κλάσματα ή να ανακαλύψουν τις πράξεις μεταξύ κλασμάτων με οπτικό και διαισθητικό τρόπο.

Οπτική σύγκριση των κλασμάτων \(\frac{4}{5}\) και  \(\frac{5}{6}\) 

Οπτική αναπαράσταση της πρόσθεσης \(\frac{2}{6}+\frac{3}{6} \)

Οπτική αναπαράσταση της αφαίρεσης \(\frac{6}{7}-\frac{2}{7} \)

Οπτική αναπαράσταση της πρόσθεσης \(\frac{3}{4}+\frac{5}{6} \) με τις κλασματικές λωρίδες πάνω στην αριθμογραμμή: Η ακέραιη μονάδα πρέπει να υποδιαιρεθεί σε 12 ίσα μέρη, εφόσον Ε.Κ.Π.(4,6)=12, εξηγώντας έτσι γιατί τα κλάσματα πρέπει να γίνουν ομώνυμα για να τα προσθέσουμε. 

Οπτική αναπαράσταση του πολλαπλασιασμού  \(\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{4} \)

Οπτική αναπαράσταση της διαίρεσης \(2:\frac{1}{5} \)

Το περιβάλλον του Polypad είναι απλό, δωρεάν και λειτουργεί online, γεγονός που το καθιστά ιδανικό τόσο για την τάξη, όσο και για εξ αποστάσεως διδασκαλία. Τα σχήματα μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε φύλλα εργασίας που θα δημιουργήσει ο εκπαιδευτικός, αλλά είναι και ιδανικά σε διαδραστικό μάθημα στην οθόνη.