Γρίφος: Τα σκαλοπάτια του πύργου

 

Στη Χώρα των Γρίφων υπάρχει ένας πύργος με 100 σκαλοπάτια. Κάθε σκαλοπάτι έχει έναν αριθμό, ξεκινώντας από το 1 στο πρώτο σκαλοπάτι και φτάνοντας μέχρι το 100 στο τελευταίο. Ένας ιππότης ξεκινά από το σκαλοπάτι 0, δηλαδή ακριβώς μπροστά από τη σκάλα και θέλει να φτάσει στο τελευταίο σκαλοπάτι, όπου βρίσκεται η πριγκίπισσα.

Ο φύλακας του πύργου τού δίνει την εξής πρόκληση:

-Ξεκινάς από το σκαλοπάτι 0.

-Σε κάθε βήμα, μπορείς να κινηθείς είτε 2 ή 3 σκαλοπάτια μπροστά.

-Πρέπει να φτάσεις ακριβώς στο σκαλοπάτι 100.

Πόσοι διαφορετικοί τρόποι υπάρχουν για να το καταφέρει ο ιππότης;

 

Υπόδειξη: Μπορείτε να ξεκινήσετε με μια απλούστερη παραλλαγή του γρίφου με 10 σκαλοπάτια. Έπειτα, προχωρήστε γενικεύοντας με 100 σκαλοπάτια!

1729: Ο αριθμός Hardy-Ramanujan και τα... ταξί!

 

Πόσο «ξεχωριστός» μπορεί να είναι ένας αριθμός; Για τους περισσότερους, το 1729 ίσως μοιάζει με μια χρονολογία. Για όσους, όμως, αγαπούν την ιστορία των μαθηματικών, το 1729 είναι κάτι πολύ περισσότερο: είναι ο πρώτος «αδιάφορος» αριθμός που αποδείχθηκε… καθόλου αδιάφορος!

 

Η ιστορία του αριθμού 1729

Όλα ξεκίνησαν σε μια συνάντηση δύο σπουδαίων μαθηματικών, σε ένα νοσοκομείο στις αρχές του 20^ού αιώνα: του Άγγλου μαθηματικού Godfrey Harold Hardy και του Ινδού μαθηματικού Srinivasa Ramanujan, που θεωρείται ένας από τους πιο ιδιοφυείς μαθηματικούς όλων των εποχών. Συγκεκριμένα, ο Hardy γράφει:

Θυμάμαι μια φορά που πήγαινα να τον επισκεφτώ στο Putney επειδή ήταν άρρωστος. Είχα πάρει ένα ταξί με το νούμερο 1729 και σχολίασα πως ο αριθμός αυτός μου φαινόταν αρκετά βαρετός και πως ήλπιζα αυτό να μην αποτελούσε κάποιον άσχημο οιωνό. "Όχι", μου απάντησε "είναι ένας πολύ ενδιαφέρων αριθμός. Είναι ο μικρότερος αριθμός που μπορεί να εκφραστεί ως το άθροισμα δύο κύβων με δύο διαφορετικούς τρόπους."

 

Και ο Ramanujan είχε δίκιο, αφού:

\(1729=1^3+12^3=9^3+10^3\)

Ο αριθμός 1729 έμεινε από τότε στην ιστορία ως ο αριθμός Hardy-Ramanujan.

 

Οι «αριθμοί ταξί»

Η γενίκευση αυτής της ιδέας οδήγησε στην ιδέα των αριθμών ταξί (ή "taxicab numbers"), από την ιστορία του ταξί του Hardy.  Αυτοί είναι οι αριθμοί που μπορούν να γραφούν ως άθροισμα δύο κύβων με περισσότερους από έναν τρόπους.

Ο πρώτος τέτοιος αριθμός είναι ακριβώς το 1729.

Ο επόμενος είναι αρκετά μεγαλύτερος:

\(4104=2^3+16^3=9^3+15^3\)

Το πλήθος αυτών των αριθμών είναι άπειρο.

 

Μαθηματική στάση ζωής

Η ιστορία του 1729 μας θυμίζει ότι ακόμα και ένας «τυχαίος» αριθμός μπορεί να κρύβει κάτι εξαιρετικό. Δεν είναι μόνο ο αριθμός 1729 που αξίζει να τον θυμόμαστε, αλλά και η μαθηματική στάση ζωής του Ramanujan: να βλέπεις το ενδιαφέρον μέσα στο φαινομενικά ασήμαντο!

 

Διαβάστε ακόμα στο «εις το άπειρον»:

• G.H. Hardy, «Η Απολογία ενός Μαθηματικού»
• Robert Kanigel, «Ραμανουτζάν»

Γρίφος: Ξοδεύοντας το χαρτζιλίκι...

Ο Γιάννης επισκέφτηκε το Σάββατο πρωί τη γιαγιά του, η οποία του έδωσε 50€. Έπειτα πήγε στο εμπορικό κέντρο και ξόδεψε κάποια χρήματα. Το βράδυ μέτρησε τα χρήματα που του είχαν μείνει και είδε ότι είχε 37€ λιγότερα από αυτά που είχε το πρωί, πριν επισκεφτεί τη γιαγιά του. Πόσα χρήματα ξόδεψε ο Γιάννης στο εμπορικό κέντρο;

"Ο άνθρωπος των αριθμών"

Ο Φιμπονάτσι και η επανάσταση στην αριθμητική

Ας φανταστούμε μια μέρα σ' έναν κόσμο δίχως καθόλου αριθμούς. Ή, έστω, την αρχή μιας κοινής μέρας: δεν θα 'χαμε ρολόι, ξυπνητήρι, ραδιόφωνο και τηλεόραση, ούτε σκορ στους ποδοσφαιρικούς αγώνες, μετεωρολογικά δελτία, πορτοφόλια ή τραπεζικούς λογαριασμούς. Τι να τα κάναμε, άλλωστε, στο ετοιμόρροπο καλύβι μας; Γιατί, βέβαια, χωρίς στοιχειώδεις αριθμητικούς υπολογισμούς, δεν θα 'χαμε ούτε σύγχρονες κατοικίες... Όμως πώς εξοικειωθήκαμε με τούτες τις αφηρημένες επινοήσεις των προγόνων μας ώστε να αναπτύξουμε τέτοια εξάρτηση απ' αυτές; Το 1202, ο 32χρονος Λεονάρντο από την Πίζα, γνωστός και ως Fibonacci, ολοκλήρωσε το Liber abacci, ένα από τα πιο σημαντικά βιβλία όλων των εποχών, το οποίο εισήγαγε τους ινδοαραβικούς αριθμούς και το ινδοαραβικό αριθμητικό σύστημα στην Ευρώπη. Το «βιβλίο των υπολογισμών» συνέβαλε καθοριστικά στην εκρηκτική ανάπτυξη του εμπορίου, της επιστήμης και της τεχνολογίας στους αιώνες που ακολούθησαν. Ο Λεονάρντο, ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς του Μεσαίωνα, έχει θέση δίπλα στον Κοπέρνικο, τον Κέπλερ και τον συμπατριώτη του, Γαλιλαίο. Όμως, ο ίδιος αργότερα ξεχάστηκε και παραμένει μέχρι σήμερα ένα αίνιγμα. Ο Keith Devlin, βραβευμένος εκλαϊκευτής των μαθηματικών, φιλοτεχνεί ένα αριστοτεχνικό ψηφιδωτό του Λεονάρντο, της εποχής του και του πνευματικού κλίματος στο οποίο έζησε. Κι ακόμα, μας λέει γιατί ο αλγόριθμος λέγεται αλγόριθμος και το ψηφίο ψηφίο, θυμίζοντάς μας αλλόκοτα προβλήματα με πτηνά και κουνέλια, τη ρητορική άλγεβρα και -κυρίως!- τα ψυχαγωγικά μαθηματικά. 

Συναρτήσεις της... καρδιάς

Για τη σημερινή μέρα, σχεδιάσαμε με το desmos στην τάξη (με κόκκινο, φυσικά) τη γραφική παράσταση της παρακάτω συνάρτησης:

Πηγή: Facebook | Μαθηματικές Αναζητήσεις 

Οι μαθητές μου, που είχαν κληθεί να βρουν στο ίντερνετ κατάλληλες εξισώσεις ή τύπους συνάρτησης ως άσκηση για το σπίτι, ενθουσιάστηκαν από το αποτέλεσμα! Αναρωτήθηκαν μάλιστα:

Κάθε κατακόρυφη ευθεία την τέμνει πράγματι σε ένα το πολύ σημείο, ώστε να είναι γραφική παράσταση συνάρτησης;

Πού οφείλεται η "ταλάντωση" που κάνει η γραφική παράσταση;

Η συνάρτηση της... καρδιάς.
1ο ΓΕΛ Καλύμνου

Καρδιά που προέκυψε, μετά από δοκιμές, από την ένωση 5 γραφικών παραστάσεων.
1ο ΓΕΛ Καλύμνου

🖥️ Βρείτε εδώ πληροφορίες για την δημιουργία της "συνάρτησης της καρδιάς" στο MATLAB. 

❤️ Δείτε εδώ διάφορες άλλες εξισώσεις που παριστάνουν καρδιές.

Γρίφος: Πανέρια με φρούτα

 

Έχουμε τρία κλειστά πανέρια με μία ετικέτα κρεμασμένη πάνω στο καθένα. Η πρώτη γράφει "ΠΟΡΤΟΚΑΛΙΑ", η δεύτερη γράφει "ΜΑΝΤΑΡΙΝΙΑ" και η τρίτη γράφει "ΠΟΡΤΟΚΑΛΙΑ ΚΑΙ ΜΑΝΤΑΡΙΝΙΑ". Ξέρουμε ότι και οι τρεις ετικέτες είναι τοποθετημένες λάθος. Πως μπορούμε, βγάζοντας ένα φρούτο από ένα μόνο πανέρι και χωρίς να κοιτάξουμε μέσα ή να ψαχουλέψουμε, να βάλουμε τις επιγραφές στη σωστή τους θέση;

Η "Επιπεδοχώρα" στον κινηματογράφο

Από το πειραματικό animation των 60’s στο εκπαιδευτικό animation του 21ου αιώνα

 

Η «Επιπεδοχώρα (Flatland: A Romance of Many Dimensions, 1884)» του Edwin A. Abbott είναι ένα από τα ελάχιστα λογοτεχνικά έργα που κατάφεραν να γεφυρώσουν με τόση επιτυχία τα μαθηματικά, τη φιλοσοφία και την κοινωνική σάτιρα. Δεν είναι τυχαίο ότι, παρά τη δυσκολία του θέματος, το έργο ενέπνευσε και τον κινηματογράφο...

Στη συνέχεια παρουσιάζονται τρεις βασικές animated κινηματογραφικές μεταφορές της «Επιπεδοχώρας», που καλύπτουν σχεδόν μισό αιώνα.

Σκηνή από την ταινία animation Flatland: The Movie (2007)

 

1. Flatland (1965) – Ταινία μικρού μήκους

Πρόκειται για μια πειραματική ταινία κινουμένων σχεδίων μικρού μήκους (περίπου 10–11 λεπτά. Η ταινία αποδίδεται σε δημιουργούς του χώρου του εκπαιδευτικού και καλλιτεχνικού animation της εποχής (John Hubley, Eric Martin) και εντάσσεται στο πνεύμα των οπτικοακουστικών πειραματισμών των ’60s.

Η αφήγηση είναι λιτή και αφαιρετική, με έμφαση:

• στη δισδιάστατη φύση της Επιπεδοχώρας,
• στη δυσκολία των κατοίκων να συλλάβουν την έννοια της τρίτης διάστασης,
• και λιγότερο στην κοινωνική σάτιρα του πρωτότυπου έργου.

Αποτελεί περισσότερο ένα οπτικό φιλοσοφικό σχόλιο παρά μια πλήρη αφήγηση της ιστορίας.

 

2. Flatland: The Movie (2007)

Η ταινία του 2007 είναι η πιο ολοκληρωμένη κινηματογραφική μεταφορά της «Επιπεδοχώρας». Πρόκειται για μεγάλου μήκους animation, σκηνοθετημένο από τον Ladd Ehlinger Jr., με στόχο κυρίως την εκπαιδευτική χρήση.

Η ταινία:

• ακολουθεί πιο πιστά την πλοκή του βιβλίου,
• παρουσιάζει καθαρά την κοινωνική ιεραρχία των σχημάτων,
• δίνει έμφαση στη σύγκρουση ανάμεσα στην εμπειρική γνώση και τη νέα, «αδιανόητη» ιδέα της τρίτης διάστασης.

 

3. Flatland 2: Sphereland (2012)

Η ταινία Flatland 2: Sphereland (2012), επίσης σε σκηνοθεσία του Ladd Ehlinger Jr., βασίζεται στο «Sphereland: A Fantasy About Curved Spaces and an Expanding Universe, (1957)» τη συνέχεια του έργου του Abbott.

Σε αυτήν την εκδοχή:

• η κοινωνική αλληγορία υποχωρεί,
• το βάρος μετατοπίζεται στις ανώτερες διαστάσεις,
• και αναδεικνύεται η δυσκολία κατανόησης αφηρημένων μαθηματικών εννοιών, ακόμη και από εκείνους που έχουν ήδη βιώσει μια «αποκάλυψη».

Η ταινία λειτουργεί περισσότερο ως φιλοσοφικό και μαθηματικό συμπλήρωμα της πρώτης.

 

Διδακτική αξιοποίηση των ταινιών

Οι κινηματογραφικές μεταφορές της «Επιπεδοχώρας» μπορούν, πέρα από ψυχαγωγικούς σκοπούς, να ιδωθούν και ως διδακτικά εργαλεία, που επιτρέπουν στους μαθητές να προσεγγίσουν τα μαθηματικά ως τρόπο σκέψης και όχι μόνο ως σύνολο τύπων. Εκπαιδευτικοί και γονείς μπορούν να τις αξιοποιήσουν με πολλούς τρόπους, ανάλογα με την κρίση τους και, φυσικά, τις ηλικίες των παιδιών:

Εισαγωγή στην έννοια των διαστάσεων

Μαθηματικά και κοινωνία

Γεωμετρία και Bauhaus

Μαθηματικά και Σύγχρονη Τέχνη

 

Γνωρίζετε άλλες ταινίες βασισμένες στην «Επιπεδοχώρα»; Εσείς πώς θα αξιοποιούσατε κάποια από αυτές τις ταινίες (ή το μυθιστόρημα) στη διδασκαλία σας/στη δημιουργική απασχόληση των παιδιών;

 

Γρίφος: Οι μπάλες του μπάσκετ

Ο δάσκαλος της γυμναστικής αγόρασε για το σχολείο μερικές μπάλες ποδοσφαίρου που κόστισαν 120€ και κάποιες μπάλες μπάσκετ που κόστιζαν 20€ η κάθε μία. Το ποσό που έδωσε για αυτή την αγορά θα του επέτρεπε να αγοράσει ακριβώς 11 μπάλες μπάσκετ. 

Πόσες μπάλες μπάσκετ αγόρασε ο γυμναστής;

Πηγή: Κινεζικό σχολικό βιβλίο Μαθηματικών

Lewis Carroll: Η χώρα των θαυμάτων και το φάντασμα του Ευκλείδη

 

14 Ιανουαρίου 1898, φεύγει από τη ζωή ο Charles Lutwidge Dodgson, κατά κόσμον γνωστός ως Lewis Carroll (Λιούις Κάρολ).

Ο Lewis Carroll γεννήθηκε το 1832 στο Cheshire της Αγγλίας και στη διάρκεια της ζωής του απέκτησε τις ιδιότητες του συγγραφέα, του μαθηματικού, του ιερέα και του φωτογράφου. Παγκόσμια φήμη όμως έλαβε χάρη στο βιβλίο του “Οι περιπέτειες της Αλίκης στη χώρα των θαυμάτων”, ένα έργο που έχει διαβαστεί από εκατομμύρια ανθρώπους σε όλο τον κόσμο και μέχρι σήμερα συνεχίζει να γοητεύει αναγνώστες κάθε ηλικίας.

 

 

 

Το συγκεκριμένο βιβλίο εκδόθηκε για πρώτη φορά το 1865 για την εντεκάχρονη Alice Liddel και τις αδελφές της και αποτελεί ένα διανοητικό παιδικό παιχνίδι στο οποίο παραβιάζεται η καθιερωμένη λογική των ενηλίκων, ενώ έρχεται πιο κοντά με τον άλογο τρόπο που συνήθως τα μικρά παιδιά σκέφτονται και επιδρούν. Ο Carroll χρησιμοποιεί, με ένα μοναδικό σύστημα σε όλα τα κεφάλαια του βιβλίου, την αλληγορία, τις γνώσεις του στις θετικές επιστήμες και την μαθηματική λογική, αντεστραμμένες όμως και κυρίως με άφθονο χιούμορ και περιπέτεια.

Άλλα δημοφιλή έργα του θεωρούνται το “Κυνήγι του Φιρχαρία“, ένα ποίημα που δεν αναφέρεται στον παιδικό κόσμο, αλλά αποτελεί περισσότερο μια αλλόκοτη περιπέτεια με αρκετές δόσεις μαύρης ειρωνείας και το “Jabberwocky”, που αποτελεί ένα από τα σημαντικότερα δείγματα της παράδοξης λογοτεχνίας.

Ως μαθηματικός δίδαξε στο Christ College της Οξφόρδης, ενώ ήταν και υπότροφος της Christ Church, με την προϋπόθεση να ακολουθεί πιστά τα θρησκευτικά ήθη του κολεγίου, μεταξύ αυτών και την υποχρέωση να μην παντρευτεί, αν και στην εκκλησιαστική ιεραρχία δεν είχε την ανέλιξη που αναμενόταν.

Δημοσίευσε αρκετά βιβλία μαθηματικών που δεν διαβάστηκαν ιδιαίτερα, αφού δεν θεωρήθηκε ότι είχαν κάποια συμβολή στην ανάπτυξη της μαθηματικής επιστήμης, εκτός από ένα που παρουσιάζει κυρίως ιστορικό ενδιαφέρον.

Πρόκειται για το “Euclid and his modern rivals” που αναφέρεται στα "Στοιχεία" του Ευκλείδη και η πρωτοτυπία του είναι πως έχει γραφεί με την μορφή θεατρικού έργου, περιγράφοντας την εμφάνιση του φαντάσματος του Ευκλείδη στους μαθηματικούς της εποχής του, ενώ αποτελεί και σημείο αναφοράς για τα λογοτεχνικά κείμενα ψυχαγωγικών μαθηματικών.

 

Πηγές: FractalArt-Θανάσης Κοπάδης, Lewis Carroll Society

Ο γρίφος του ταχυδρόμου

 

Ένας ταχυδρόμος πρέπει να παραδώσει γράμματα στις εξής οδούς: Άλγεβρας, Γεωμετρίας και Ανάλυσης. Για την Οδό Άλγεβρας υπάρχουν τριπλάσια γράμματα απ’ όσα για την Οδό Γεωμετρίας. Για την Οδό Ανάλυσης υπάρχουν 5 γράμματα λιγότερα απ’ όσα για την Οδό Άλγεβρας. Συνολικά έχει να παραδώσει 100 γράμματα. Πόσα γράμματα θα παραδώσει σε κάθε οδό;