Τρίτη 22 Μαρτίου 2022

Γρίφος: Καφές ή τσάι;

 

Έχουμε δύο φλιτζάνια- το ένα από αυτά περιέχει καφέ και το άλλο τσάι, στην ίδια ακριβώς ποσότητα. Παίρνουμε μία κουταλιά τσάι, τη ρίχνουμε στο φλιτζάνι του καφέ και ανακατεύουμε. Μετά παίρνουμε μία κουταλιά από αυτό το μίγμα και τη ρίχνουμε στο φλιτζάνι με το τσάι.

Το φλιτζάνι με το τσάι θα περιέχει περισσότερο καφέ, ή το φλιτζάνι με τον καφέ περισσότερο τσάι;;;



UPDATE #1: Τελικά ισχύει αυτό που λένε ότι κάτι που φαίνεται απλό πολλές φορές είναι δύσκολο, ενώ κάτι που φαίνεται δύσκολο, συχνά είναι πολύ απλό! Διάβασα τα σχόλιά σας -και τα μηνύματα που μου ήρθανε- και σας ευχαριστώ όλους που ασχοληθήκατε! Οι συνάδελφοι από το facebook έδωσαν τόσο κατανοητές εξηγήσεις, που θέλησα να τις μοιραστώ -κατόπιν της άδειάς τους- και εδώ. Ο Νικηφόρος Φιλιππούσης έδωσε μια λύση σχηματικά... O Κωνσταντίνος Παπαδάκης έδωσε ένα αριθμητικό παράδειγμα, μέσα από το οποίο μπορεί να γίνει πιο εύκολα κατανοητή η λύση. 


UPDATE #2: Μια παραλλαγή του γρίφου: 

Έχουμε δύο φλιτζάνια- το ένα από αυτά περιέχει καφέ και το άλλο τσάι. Το τσάι είναι περισσότερο από τον καφέ. Παίρνουμε μία κουταλιά τσάι, τη ρίχνουμε στο φλιτζάνι του καφέ και ανακατεύουμε. Μετά παίρνουμε μία κουταλιά από αυτό το μίγμα και τη ρίχνουμε στο φλιτζάνι με το τσάι. Το φλιτζάνι με το τσάι θα περιέχει περισσότερο καφέ, ή το φλιτζάνι με τον καφέ περισσότερο τσάι;;;


Δευτέρα 14 Μαρτίου 2022

Παγκόσμια ημέρα του αριθμού π: 31,4 τρισεκατομμύρια ψηφία του π στα... "σύννεφα"!


Η 14η Μαρτίου, η οποία στην Αμερική αναγράφεται ως 3-14, έχει καθιερωθεί Παγκόσμια Ημέρα της σταθεράς π. Η μαθηματική σταθερά π ορίζεται ως ο λόγος της περιφέρειας ενός κύκλου προς την διάμετρό του. Συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα π (από τη λέξη "περιφέρεια"). Είναι μια ποσότητα που προσπαθούσαν οι άνθρωποι να υπολογίσουν από τα αρχαία χρόνια. Αυτό που καθιστά το π τόσο δύσκολο να υπολογιστεί, είναι ότι είναι ένας αριθμός άρρητος και υπερβατικός. Με απλά λόγια, τα δεκαδικά του ψηφία δεν σταματούν σε κάποιο σημείο, είναι άπειρα και δεν επαναλαμβάνονται με κάποιο μοτίβο.


Στον περισσότερο κόσμο είναι γνωστά μόνο τα αρχικά του ψηφία: 3,14. Από την αρχαιότητα μέχρι σήμερα, ο υπολογισμός της τιμής του π απασχολεί χιλιάδες χρόνια την ανθρωπότητα. Για την απομνημόνευση των πρώτων ψηφίων του π έχουν επινοηθεί διάφοροι μνημονικοί κανόνες. Ανάμεσά τους και αυτή η φράση, όπου κάθε ψηφίο της σταθεράς π αντιστοιχεί στον αριθμό των γραμμάτων κάθε λέξης.

  

Αεί ο Θεός ο μέγας γεωμετρεί, το κύκλου μήκος ίνα ορίσει διαμέτρω

Βέβαια, το 3,14 αλλά και το 3,141592653589793238462 δεν είναι παρά ρητές προσεγγίσεις του π. Πριν από τον 15ο αιώνα, μαθηματικοί όπως ο Πυθαγόρας, ο Αρχιμήδης και ο κινέζος Liu Hui, χρησιμοποίησαν γεωμετρικές τεχνικές βασισμένες σε πολύγωνα, για υπολογίσουν την τιμή του π. Η πιο συνηθισμένη ρητή προσέγγιση του π ήταν το \(\frac{22}{7}\). Από τον 15ο αιώνα κι έπειτα, μαθηματικοί όπως ο Madhava της Sangamagrama, ο Isaac Newton, o Leonhard Euler, o Carl Friedrich Gauss και ο Σρινιβάσα Ραμανουτζάν χρησιμοποίησαν νέους αλγόριθμους βασισμένους στις άπειρες σειρές και υπολόγιζαν ακριβέστερες προσεγγίσεις του π. 


Ένας από τους τύπους που χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό του π
(Αδελφοί Chudnovsky, 1988)


Μερικοί επιστήμονες προσπαθούν να επιστρατεύσουν άλλες υπολογιστικές μεθόδους, που θα τους δώσουν κάποια ικανοποιητική προσέγγιση, π.χ. \(\pi = 4 \cdot \arctan(1)\). Τον 20ο και 21ο αιώνα, μαθηματικοί και πληροφορικοί συνδυάζουν τους αλγορίθμους με την αυξημένη υπολογιστική ισχύ και διαρκώς επεκτείνουν την δεκαδική απεικόνιση του π. Καθώς οι επιστημονικές εφαρμογές δεν απαιτούν κατά κανόνα περισσότερα από 40 δεκαδικά ψηφία του π, θα λέγαμε ότι βασικό κίνητρο για αυτούς τους υπολογισμούς είναι η επιθυμία του ανθρώπου να σπάει ρεκόρ... 

 

Στη "μάχη" της ακριβέστερης προσέγγισης του π, ήρθε αρχικά να καταρρίψει τα -μέχρι το 2019 δεδομένα- η Emma Haruka Iwao της Google. Με τη βοήθεια του Google Compute Engine, που ανήκει στο Google Cloud, κατάφερε να μας δώσει την ακριβέστερη μέχρι τότε ρητή προσέγγιση του π, υπολογίζοντας 31.415.926.535.897  (ή \( \pi\cdot 10^{13} \) ) ψηφία του αριθμού αυτού! Η Emma ήταν η πρώτη που χρησιμοποίησε τις δυνατότητες του Cloud για τον υπολογισμό του αριθμού αυτού σε τέτοια τεράστια κλίμακα.


Tον Αύγουστο του 2021, το βιβλίο καταγραφής παγκόσμιων ρεκόρ Guinness ανακοίνωσε πως μια ομάδα μαθηματικών από το Πανεπιστήμιο Εφαρμοσμένης Επιστήμης του Grisnos στην Ελβετία κατάφερε να υπολογίσει την τιμή του π με τη μεγαλύτερη μέχρι στιγμής ακρίβεια. Η νέα τιμή-ρεκόρ απαρτίζεται από 62.831.853.071.796 ψηφία, όπως επιβεβαίωσε ο επικεφαλής της εργασίας, Thomas Keller. Για να ολοκληρωθεί ο υπολογισμός, χρειάστηκαν 108 ημέρες και 9 ώρες , ενώ χρησιμοποιήθηκε ένα σύστημα με δύο AMD EPYC επεξεργαστές των 32 πυρήνων ο καθένας, οι οποίοι ήταν εξοπλισμένοι με 1 TB μνήμης RAM και 510 TB αποθηκευτικού χώρου!  


Οι προσπάθειες των σύγχρονων επιστημόνων είναι κάτι παραπάνω από εντυπωσιακές. Αλλά, όπως υπενθυμίζει και το παραπάνω αρχαιοελληνικό ποίημα, "ουδέποτε όλον θνητοί θα εύρωσι"...

 

Σας αφήνω με ένα ολοκαίνουργιο... μουσικομαθηματικό βίντεο αφιερωμένο στο π, από την αγαπημένη Vihart.

 


Σάββατο 12 Μαρτίου 2022

"Υπατία: Η γυναίκα που αγάπησε την επιστήμη"

 

Για αυτόν τον μήνα, έχω να σας προτείνω μια μυθιστορηματική βιογραφία από τον Ισπανό Πέδρο Γκάλβεθ, γιο μαθηματικού... Το θαυμάσιο πορτρέτο μιας έξοχης γυναίκας, της Υπατίας της Αλεξανδρινής, καταδικασμένης να ζήσει σε μια εποχή που ούτε οι θεοί θέλουν να θυμούνται. Ο Πέδρο Γκάλβεθ, που πήρε από τον πατέρα του το πάθος για την επιστήμη και το θαυμασμό για την Υπατία, έγραψε αυτή τη βιογραφία ανασυνθέτοντας τη ζωή της Υπατίας με έναν ευφάνταστο, λογοτεχνικό τρόπο.


Πέδρο Γκάλβεθ: Υπατία, η γυναίκα που αγάπησε την επιστήμη. Εκδόσεις Μεταίχμιο
Πέδρο Γκάλβεθ: Υπατία, η γυναίκα που αγάπησε την επιστήμη. Εκδόσεις Μεταίχμιο


Η Υπατία, γεννήθηκε γύρω στο 360 ή 370 μ.Χ. στην Αλεξάνδρεια. Ήταν κόρη του αλεξανδρινού μαθηματικού και αστρονόμου Θέωνα, ο οποίος υπήρξε και ο πρώτος της δάσκαλος. Μαζί του συνεργάστηκε στην επιμέλεια και τον σχολιασμό των «Στοιχείων» του Ευκλείδη, του πρώτου ολοκληρωμένου μαθηματικού έργου στην ιστορία της ανθρωπότητας, καθώς και της «Μεγίστης Μαθηματικής Συντάξεως» ή αλλιώς «Αλμαγέστης» του Πτολεμαίου, της Βίβλου της ελληνικής Αστρονομίας. Στην Αθήνα παρακολούθησε μαθήματα στη νεοπλατωνική σχολή του Πλούταρχου του νεότερου και της κόρης του Ασκληπιγένειας, αλλά μαθήτευσε και κοντά στον Ιεροκλή.

Επιστρέφοντας στην Αλεξάνδρεια, γύρω στο 400, ανέλαβε επικεφαλής της νεοπλατωνικής σχολής της πόλης, δίδαξε φιλοσοφία και μαθηματικά, και διακρίθηκε τόσο για το ταλέντο της στη διδασκαλία όσο και για τον μαθηματικό προσανατολισμό που έδωσε στο πρόγραμμα σπουδών. Έκανε εκτενή και ουσιώδη σχόλια στα «Αριθμητικά» του Διόφαντου και τελειοποίησε τα «Κωνικά» του Απολλώνιου. Έγραψε τον «Αστρονομικό Κανόνα», καθώς επεδίωκε να μελετήσει και να εμβαθύνει περισσότερο στους τομείς των μαθηματικών του πατέρα της, απ’ ότι έκανε αυτός. Μερικοί μελετητές πιστεύουν ότι ο «Αστρονομικός Κανών» ήταν απλώς μια συλλογή από αστρονομικούς πίνακες άλλοι πάλι θεωρούν ότι ήταν ένα σχόλιο σχετικά με τον Πτολεμαίο. Επίσης, βοήθησε τον μαθητή της Συνέσιο τον Κυρηναίο στην κατασκευή ενός αστρολάβου και ενός υδρομέτρου.  

Ήταν ένα άτομο άξιο σεβασμού, που ασκούσε επιρροή στους σημαντικούς άρχοντες της Αλεξάνδρειας αλλά και της Μεσογείου. Ένας από αυτούς ήταν και ο Ορέστης, ο Ρωμαίος έπαρχος. Συναντιόντουσαν πολύ συχνά και μιλούσαν κυρίως για πολιτικά ζητήματα. Η Υπατία ασκούσε επιρροή όχι μόνο στην Αλεξάνδρεια, αλλά και στη Κωνσταντινούπολη, στη Συρία και στην Κυρήνη. Δυστυχώς, έργα της Υπατίας δεν έχουν διασωθεί. Ωστόσο, η παράδοση στην οποία εργάστηκε και τα κείμενα που σχολίασε αποδείχτηκε ότι ήταν η ακριβής βάση για το επόμενο βήμα στην ιστορία των μαθηματικών. Όταν τον δέκατο έβδομο αιώνα ο Βιέτ και ο Φερμά άρχισαν να διερευνούν τις κωνικές τομές, τα έργα του Διόφαντου και του Απολλώνιου ήταν ζωτικής σημασίας. Η Υπατία είναι σημαντική για τον ρητορικό κανόνα, γιατί αποδεικνύει ότι και οι γυναίκες συμμετείχαν στις κοινωνικές και πνευματικές δραστηριότητες του αρχαίου κόσμου. Η Υπατία δίδασκε δημόσια για τον Πλάτωνα και τον Αριστοτέλη, αποδεικνύοντας την εκπαίδευσή της στη φιλοσοφία και στη ρητορική. Μάλλον έκανε δύο είδη μαθημάτων: Ένα ιδιαίτερο, για την ελίτ των μαθητών της και τα δημόσια κηρύγματα της, στα οποία ασκούσε επιρροή στους Αλεξανδρινούς υπαλλήλους. Ήταν μια σεβαστή και επιφανής δασκάλα, αρκετά χαρισματική και αγαπητή απ’ όλο τον κόσμο και οι διάφοροι επικεφαλής την συμβουλεύονταν πολύ συχνά. Πηγές αναφέρουν ότι είχε φυσική ομορφιά και φορούσε απλά ρούχα. 


Charles William Mitchell - "Ο θάνατος της Υπατίας" (1885)
Charles William Mitchell - "Ο θάνατος της Υπατίας" (1885)



Εκείνη την εποχή, στη Ρωμαϊκή Αυτοκρατορία υπήρχε ακόμα ανεξιθρησκία, παρόλο που ο  Χριστιανισμός είχε ήδη αρχίσει να επιβάλλεται. Η Υπατία δεν ήταν Χριστιανή, διατηρούσε όμως εξαιρετικές σχέσεις με αρκετούς Χριστιανούς λογίους. Ωστόσο, υπήρχε πολλή ένταση και μίσος μεταξύ των Εβραίων και των Χριστιανών της Αλεξάνδρειας. Ο επίσκοπος Αλεξανδρείας Κύριλλος είχε ως κύριο στόχο του τον εξοβελισμό των εθνικών από την πόλη. Για το σκοπό αυτό είχε οργανώσει ομάδες φανατικών που προσπαθούσαν να τρομοκρατήσουν με κάθε τρόπο τους αλλόδοξους. Μια γυναίκα λοιπόν, εθνική, κάτοχος μιας τόσο σημαντικής θέσης και επιπλέον εξαιρετικά όμορφη αποτελούσε κόκκινο πανί για τον Κύριλλο και τον όχλο του. Ο λαός την θεωρούσε ως την αιτία για τη μη συμφιλίωση του Επισκόπου και του Ορέστη. Έτσι, το 415 το «χριστεπώνυμον πλήρωμα» της Αλεξάνδρειας ξεσηκώθηκε. Αποκαλώντας την ειδωλολατρική μάγισσα και ιέρεια, την διαπόμπευσαν, την έγδυσαν και την έσυραν μέχρι τον Καθεδρικό ναό Caesarium, όπου την κακοποίησαν και την σκότωσαν γδέρνοντάς την και διαμελίζοντας την με κοφτερά όστρακα. Το διαλυμένο σώμα της το μετέφεραν στο Κυνάριον, όπου το έκαψαν. Αυτό ήταν και το τέλος της νεοπλατωνικής σχολής της Αλεξάνδρειας. Πολλοί ερευνητές μάλιστα, χωρίζουν την εποχή του Παγανισμού από την εποχή του Χριστιανισμού σύμφωνα με το έτος του θανάτου της, το 415. Ωστόσο, η Υπατία αναφέρεται με ευλάβεια από χριστιανούς συγγραφείς, από την ύστερη αρχαιότητα μέχρι σήμερα. Το όνομά της διέτρεξε την Ιστορία και τη θυμόμαστε ως σύμβολο μιας προνομιακής ευφυΐας, που αποτέλεσε πρόκληση για τον σκοταδισμό της εποχής της.

Πέμπτη 3 Μαρτίου 2022

I love Maths


Πώς εκφράζουν οι μαθηματικοί την... αγάπη τους σε έναν συγκεκριμένο κλάδο των Μαθηματικών; 


I love Maths

Πηγή εικόνας: Chalkdust Magazine


Έχοντας μια ιδιαίτερη αδυναμία στη Συναρτησιακή Ανάλυση, κλείνω με τη δική μου πρόταση:

I <ε FUNCTIONAL ANALYSIS


Ποιος είναι ο δικός σας αγαπημένος κλάδος των Μαθηματικών;


Δευτέρα 14 Φεβρουαρίου 2022

"ΕΜΕΙΣ"

 

I-330

Αγαπητέ μου, είσαι μαθηματικός. Και ακόμη περισσότερο, είσαι φιλόσοφος λόγω των μαθηματικών. Πες μου, λοιπόν, ποιος είναι ο τελευταίος αριθμός;

 

D-503

Ο ποιος; Δεν… δεν καταλαβαίνω. Ποιος τελευταίος αριθμός;

 

I-330

Να, ο έσχατος, το αποκορύφωμα, ο απόλυτα μεγαλύτερος.

 

D-503

Μα, I, αυτό είναι ηλίθιο. Αφού το σύνολο των αριθμών είναι άπειρο, πώς μπορεί να υπάρξει τελευταίος;

 

I-330

Και πώς μπορεί να υπάρξει τελευταία επανάσταση; Δεν υπάρχει. Οι επαναστάσεις είναι άπειρες. Άκου τελευταία! Αυτό είναι για τα παιδιά. Το άπειρο τρομάζει τα παιδιά και τα παιδιά πρέπει να κοιμούνται καλά το βράδυ…


"Εμείς"
"Εμείς", του σοβιετικού Γιεβγκιένι Ζαμιάτιν από τις εκδόσεις Νεφέλη


Στο Μονοκράτος του Ευεργέτη, δεν υπάρχουν άτομα, παρά μόνο αριθμοί. Η ζωή εξελίσσεται με μαθηματική ακρίβεια, σαν καλοζυγισμένη εξίσωση. Τα πρωτόγονα πάθη και ένστικτα έχουν υπερνικηθεί. Ακόμη και η φύση έχει εξοστρακιστεί πέρα από ένα Πράσινο Τείχος. Ένα μόνο σύνορο δεν έχει ακόμη κατακτηθεί: το διάστημα. Με την κατασκευή του διαστημοπλοίου «Ολοκλήρωμα», κι αυτό, μαζί με τους άγνωστους κατοίκους του, θα υποταχθεί στον ευεργετικό ζυγό της λογικής. Ένας αριθμός, ο D-503, αρχιμηχανικός του Ολοκληρώματος, αποφασίζει να καταγράψει τις σκέψεις του τις τελευταίες ημέρες πριν την εκτόξευση, προς όφελος των λιγότερο ανεπτυγμένων κοινωνιών. Όμως, μια τυχαία συνάντηση με την όμορφη Ι-330 οδηγεί σε μια αναπάντεχη ανακάλυψη που φαίνεται να απειλεί ό,τι ο D-503 πιστεύει για τον εαυτό του και το Μονοκράτος: την ανακάλυψη εκείνης της ασθένειας που οι αρχαίοι αποκαλούσαν ψυχή... Μια συναρπαστική περιπέτεια επιστημονικής φαντασίας, ένα λογοτεχνικό αριστούργημα που προέβλεψε με ακρίβεια τη φρίκη των ολοκληρωτικών καθεστώτων, το «Εμείς» του Γιεβγκιένι Ζαμιάτιν είναι το κλασικό δυστοπικό μυθιστόρημα, και συνάμα μια βαθιά συγκινητική ανθρώπινη τραγωδία, μια μελέτη των διαφορετικών μορφών που μπορεί να πάρει η ανθρώπινη αγάπη. Και μολονότι οι ήρωές του είναι ανώνυμοι "Αριθμοί", ο καθένας απ' αυτούς δεν παύει να είναι μια ξεχωριστή οντότητα, πειστικά και συγκινητικά ζωντανή. Είναι, επίσης, μια μελέτη της κοινωνίας που ισχυρίζεται ότι βασίζεται αποκλειστικά στον αμιγή ορθολογισμό -και ως εκ τούτου μετατρέπεται σε θανάσιμη, απάνθρωπη, παράλογη. Παρότι προαναγγέλει ένα μέλλον δυσοίωνο, με το μήνυμα ελπίδας που σιωπηλά περνάει, το «Εμείς» είναι σήμερα, στον 21ο αιώνα, τόσο επίκαιρο όσο ήταν και στις αρχές του 20ού


Τετάρτη 9 Φεβρουαρίου 2022

Όταν ο 8χρονος Terence Tao εντόπιζε τέλειους αριθμούς με χρήση Basic...

 

Αυτή ήταν η πρώτη εργασία που δημοσίευσε το 1983 ο ιδιοφυής μαθηματικός Terence Tao (Μετάλλιο Fields, 2006), σε ηλικία μόλις 8 ετών!


Terence Tao


Στην εργασία αυτή, αναπτύσσει έναν κώδικα σε Basic, ο οποίος εντοπίζει τέλειους αριθμούς.


Τέλειος λέγεται ένας φυσικός αριθμός ν, όταν το άθροισμα των διαιρετών του, εκτός του ν, ισούται με τον αριθμό ν. 


Ο μικρότερος τέλειος αριθμός είναι το 6. Οι διαιρέτες του 6 (εκτός από τον εαυτό του) είναι οι 1, 2, 3.

Το άθροισμα αυτών είναι 1 + 2 + 3 = 6.

Άλλοι τέλειοι αριθμοί είναι οι:

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248


Ο Ευκλείδης ανακάλυψε ότι οι τέσσερις πρώτοι τέλειοι αριθμοί παράγονται από τον τύπο \(2^{n-1} (2^n -1) \), όπου \(n=2, 3, 5, 7\).


Πράγματι:

Για \(n=2\) είναι: \(2^1(2^2-1) = 6 \)

Για \(n=3\) είναι: \( 2^2(2^3-1) = 28 \)

Για \(n=5\) είναι: \(2^4(2^5-1) = 496\)

Για \(n=7\) είναι: \( 2^6(2^7-1) = 8128\)


Αποδεικνύεται εύκολα ότι αν ο  \(2^n -1 \) είναι πρώτος, τότε και ο  \(n\) είναι πρώτος. (Το αντίστροφο ΔΕΝ ισχύει!)

Παρατηρώντας ότι τα \(n=2, 3, 5, 7\) στον παραπάνω τύπο είναι πρώτοι αριθμοί, ο Ευκλείδης, στο βιβλίο του "Στοιχεία", απέδειξε ότι αν ο \(2^n -1 \) είναι πρώτος, τότε ο αριθμός \(2^{n-1} (2^n -1) \) είναι τέλειος. O Ευκλείδης, λοιπόν, τεκμηρίωσε μια ικανή συνθήκη για να είναι ένας αριθμός τέλειος.  Έτσι, για την εύρεση τέλειων αριθμών αρκεί η εύρεση πρώτων αριθμών της μορφής \(p=2^n-1 \). Δεν ισχυρίστηκε όμως πουθενά ότι αυτή η συνθήκη ήταν επίσης αναγκαία -δηλαδή ότι αν ένας αριθμός είναι τέλειος, τότε θα πρέπει να έχει την παραπάνω μορφή.

Σχεδόν είκοσι αιώνες μετά τον Ευκλείδη, ο Euler απέδειξε ότι ο τύπος  \(2^{n-1} (2^n -1) \) μας δίνει όλους τους άρτιους τέλειους αριθμούς. Δηλαδή ένας άρτιος τέλειος αριθμός έχει τη μορφή \(2^{n-1} (2^n -1) \), όπου ο \(2^n -1\) είναι πρώτος. Το αποτέλεσμα αυτό είναι γνωστό ως το Θεώρημα Ευκλείδη-Euler.


Είναι άγνωστο μέχρι σήμερα αν υπάρχουν περιττοί τέλειοι αριθμοί. Ο υπολογισμός τέλειων αριθμών είναι αρκετά δύσκολος, αν αναλογιστεί κανείς ότι ως το 2016 υπήρχαν 49 γνωστοί τέλειοι αριθμοί.

 

Ο τότε πιτσιρικάς Terence Tao βασίστηκε στο θεώρημα που είχε αποδείξει ο Ευκλείδης και σχεδίασε την εύρεση πρώτων αριθμών της μορφής \(p=2^n-1 \), με σκοπό τη δημιουργία τέλειων αριθμών. Διαβάστε την εργασία του Terence Tao στο Fermat's Library πατώντας εδώ... 

Σάββατο 15 Ιανουαρίου 2022

"ΦΛΑΤΕΡΛΑΝΤ, η περιπέτεια των πολλών διαστάσεων"


Όσοι απόλαυσαν την ανάγνωση του "Flatland (Επιπεδοχώρα)", θα λατρέψουν το, κατά κάποιο τρόπο, "σίκουελ" αυτού του μυθιστορήματος, που είναι το "Flaterland"


Flaterland
Το βιβλίο μεταφρασμένο στα ελληνικά από τις εκδόσεις "Τραυλός"


Η περιπέτεια ξεκινά όταν η ηρωίδα, Βικτώρια Λάιν (Γραμμή), ανακαλύπτει στη σοφίτα του σπιτιού της, το σκοροφαγωμένο ημερολόγιο του προ-προπάππου της Άλμπερτ Σκουέαρ (Τετραγώνου). Η Βίκυ προσβάλλεται από τον ιό της Τρίτης Διάστασης -προς μεγάλη απόγνωση των γονέων της. Χωρίς αυτοί να το γνωρίζουν, ακολουθεί τα βήματα του προγόνου της στο εκτεταμένο σύμπαν της Τρίτης Διάστασης... Βρίσκει έναν ευτραφή κύριο, εξοικειωμένο με μαθηματικούς και φυσικούς χώρους και, κρατώντας τον γερά, "πηδάει" από τον ένα μαθηματικό χώρο στον άλλο, μέχρι που φτάνει στις... δέκα διαστάσεις!


Γεμάτο χιούμορ και λογοπαίγνια, το "Φλάτερλαντ" ακροβατεί στα σύνορα της Φυσικής και των Μαθηματικών του σήμερα. Η ευρυμάθεια και το χαρακτηριστικό στιλ γραφής του Ίαν Στιούαρτ μάς ξεναγούν σε νέα είδη χώρων και διαστάσεων, που δεν θα μπορούσαμε ποτέ να φανταστούμε.


Από τη σαγηνευτική θεωρία των φράκταλς και τις περίπλοκες τοπολογίες έως τις σκουληκότρυπες, τον υπερχώρο, την κοσμολογία, τη θεωρία των χορδών και τις ανώτερες διαστάσεις, ο αναγνώστης διανύει μιαν ατέλειωτη, συναρπαστική διαδρομή ως τα έσχατα όρια του χώρου και του χρόνου. 


Προσδεθείτε! Η βόλτα θα είναι ιλιγγιώδης. 


Σάββατο 1 Ιανουαρίου 2022

ΚΑΛΗ ΧΡΟΝΙΑ!

 

Ευχές για ένα όμορφο και δημιουργικό 2022!


Ευτυχισμένο το 2022

Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο Θεώρημα, το \(2022 = \sqrt{1050^2 + 1728^2} \) είναι το μήκος της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου με κάθετες πλευρές 1050 και 1728.

Όπως κάθε ακέραιος, έτσι και ο 2022 έχει τις δικές του, μοναδικές ιδιότητες. Σας παραπέμπω να διαβάσετε τις ιδιότητες του αριθμού 2022 στους ακόλουθους συνδέσμους:

  • Στη σελίδα Number Empire αναφέρονται οι βασικές αριθμητικές και αλγεβρικές ιδιότητες του αριθμού 2022.
  • Στη σελίδα Numbermatics: The Number Explorer θα βρείτε πολλές ακόμη ιδιότητες του αριθμού αυτού.
  • Στη σελίδα Numbers Aplenty καταγράφονται ιδιαίτερες λεπτομέρειες, ενδιαφέρουσες από τη σκοπιά της Θεωρίας Αριθμών.

"Μια επιστήμη είναι ζωντανή μόνο όσο έχει ανοιχτά προβλήματα να λύσει, αλλιώς το τέλος της είναι βέβαιο", έλεγε ο Χίλμπερτ. Αναφερόταν στα Μαθηματικά, αλλά και η ίδια η ζωή δεν διαφέρει.
Εύχομαι, λοιπόν, τα προβλήματα που μας κρατούν σε εγρήγορση να είναι επιλύσιμα και στο τέλος να καταφέρουμε να διδαχθούμε κάτι από αυτά!


Τρίτη 21 Δεκεμβρίου 2021

Όταν τα μαθηματικά "κρύβονται" στα παιδικά παραμύθια του Ευγένιου Τριβιζά


Ένα βιβλίο είναι πάντα το καλύτερο δώρο, ένα δώρο που μπορείς να ανοίξεις ξανά και ξανά... Αν ψάχνετε δώρα για μικρά παιδιά ενόψει των γιορτών, σας έχω εδώ κάποιες προτάσεις: Τα "Παραμύθια με τους Αριθμούς", μία σειρά βιβλίων του ευφυούς παραμυθά Ευγένιου Τριβιζά. Τα παραμύθια αυτά, συνδυάζοντας την αφήγηση με προτεινόμενες δραστηριότητες, βοηθούν τα πιτσιρίκια να μάθουν τα πρώτα τους μαθηματικά με διασκεδαστικό τρόπο! (Χαρίστηκαν σε τέσσερα παιδιά που αγαπώ πολύ)! 

 

Φουφήχτρα, η μάγισσα με την ηλεκτρική σκούπα

(Αρίθμηση από το 1 έως το 10)

Ευγένιος Τριβιζάς, Φουφήχτρα, η μάγισσα με την ηλεκτρική σκούπα


Η μάγισσα Φουφήχτρα ζει στο ζοφερό βουνό με τις χίλιες μαύρες παπαρούνες. Μια μέρα, πετάει με την ηλεκτρική της σκούπα πάνω από την παιδική χαρά και ρουφάει όλα τα παιδάκια εκτός από ένα. Μετά η μάγισσα ρουφάει όλες τις γατούλες από τα κεραμίδια των σπιτιών εκτός από δύο, όλες τις πεταλούδες από το ανθόσπαρτο λιβάδι εκτός από τρεις, όλα τα παπάκια από τη λίμνη με τα νούφαρα εκτός από τέσσερα και όλα τα ασημένια ψαράκια εκτός από πέντε. Οι μικροί αναγνώστες μαθαίνουν να μετράνε από το 1 ως το 10 με τρόπο σχεδόν μαγικό!



Ο Άρης ο τσαγκάρης

(Πρόσθεση - Αφαίρεση)

Ευγένιος Τριβιζάς, Ο Άρης ο τσαγκάρης


Πόσες παντόφλες φοράει ένας νυσταγμένος ιπποπόταμος; Ποιος χρειάζεται πιο πολλά παπούτσια, δύο δίδυμοι κόκορες ή ένα χταπόδι; Και γιατί τα ροζ κοράκια θέλουν πράσινα γοβάκια; Ενώ ο Άρης ο τσαγκάρης προσπαθεί να βρει την απάντηση σε όλα αυτά, οι μικροί αναγνώστες μαθαίνουν πρόσθεση, αφαίρεση και άλλα πολλά.



Η Φιφή και η Φωφώ, οι φαντασμένες φάλαινες

(Πολλαπλασιασμός - Διαίρεση)

Ευγένιος Τριβιζάς, Η Φιφή και η Φωφώ, οι φαντασμένες φάλαινες


Δύο λαίμαργες φάλαινες, η Φιφή και η Φωφώ, αποφασίζουν να αναμετρηθούν: να φάνε όσο περισσότερο μπορούν. Έτσι, οι δύο άσπονδες φιλενάδες επιδίδονται σε μία άνευ προηγουμένου ακατάσχετη θαλασσινή πανδαισία, καταπίνουν βάρκες με ψαράδες, τρώνε καΐκια με χαρωπά ναυτάκια και καταβροχθίζουν πειρατικές σκούνες με αιχμάλωτες πριγκιποπούλες. Ώσπου οι δύο φαντασμένες φάλαινες να λύσουν τις διαφορές τους, οι αναγνώστες μαθαίνουν πολλαπλασιασμό και διαίρεση και, τελειώνοντας το βιβλίο, είναι πλέον σε θέση να υπολογίσουν με θαυμαστή ακρίβεια πόσα πόδια έχουν οχτώ χταπόδια και με ποιον τρόπο τρεις φάλαινες μπορούν να μοιράσουν μεταξύ τους έξι ιππόκαμπους με παπιγιόν και δώδεκα ναυαγισμένους αρλεκίνους.



Η πριγκίπισσα Δυσκολούλα

(Σύνολα - Υποσύνολα)

Ευγένιος Τριβιζάς, Η πριγκίπισσα Δυσκολούλα


Εκατό πρίγκιπες φτάνουν ένα πρωί σ' ένα μαρμάρινο παλάτι για να ζητήσουν σε γάμο την πριγκίπισσα Δυσκολούλα. Η Δυσκολούλα όμως, που είναι η πιο αναποφάσιστη πριγκίπισσα του κόσμου, δυσκολεύεται πολύ να αποφασίσει ποιον από τους εκατό πρίγκιπες προτιμάει. Όταν τελικά διαλέγει τον πρίγκιπα των ονείρων της, μια φοβερή έκπληξη την περιμένει. Εμείς όμως έχουμε μάθει στο μεταξύ τα σύνολα και τα υποσύνολα.


Εύχομαι καλές γιορτές σε όλους!!!

Τετάρτη 24 Νοεμβρίου 2021

Οι καλύτερες... μαθηματικές ταινίες

 

Ο χειμώνας έρχεται... και μαζί του έρχονται οι βραδιές ταινίας που πολλοί από μας απολαμβάνουμε.

Γι' αυτό ετοίμασα μια λίστα με τις καλύτερες ταινίες γενικότερου μαθηματικού περιεχομένου και μαθηματικής σκέψης, που θα απολάμβανε κάθε κινηματογραφόφιλος και... μαθηματικόφιλος!

Πατώντας σε κάθε τίτλο, θα διαβάσετε την περιγραφή της εκάστοτε ταινίας.


Οι καλύτερες... μαθηματικές ταινίες

21 (Black Jack) (2008)

23 (1998)

A Beautiful Mind (Ένας Υπέροχος Άνθρωπος) (2001)

A Brief History of Time (Μια Σύντομη Ιστορία του Χρόνου, Ντοκιμαντέρ) (1991)

A Hill On the Dark Side of the Moon (Ένας Λόφος στη Σκοτεινή Πλευρά της Σελήνης) (1983)

A Serious Man (Ένας Σοβαρός Άνθρωπος) (2009)

A Summer's Tales (Ιστορίες του Καλοκαιριού) (1996)

An Invisible Sign (Το Αόρατο Σημάδι) (2010)

Agora (2009)

Codebreaker (2011)

Contact (Επαφή) (1997)

Cube (Ο κύβος) (1997)

Cube 2: Η Τέταρτη Διάσταση (2002)

Dimensions (2011)

Donald in Mathmagic Land (Ταινία Κινουμένων Σχεδίων) (1959)

Enigma (Κωδικός: Enigma) (2001)

Έτερος Εγώ (2016)

Fermat's Room (Το Δωμάτιο του Φερμά) (2007)

Gifted (Χαρισματική) (2017)

Good Will Hunting (Ο ξεχωριστός Γουίλ Χάντινγκ) (1997)

Hawking (2004)

Hidden Figures (Αφανείς Ηρωίδες) (2016)

How I Came to Hate Math (Comment J'ai Détesté Les Maths) (Ντοκιμαντέρ) (2013)

Infinity (Απέραντη Αγάπη) (1996)

I.Q. (Ερωτικές Εξισώσεις) (1994)

It's my Turn (Και Τώρα... η Σειρά μου!) (1980)

Little Man Tate (Ο Μικρός κος Τέιτ) (1991)

Möbius (Ο Κύκλος του Möbius) (2013)

Money Ball (2011)

Mr. Nobody (Ο Κανένας) (2009)

N is a number: A portrait of Paul Erdös (Ντοκιμαντέρ) (1993)

Pi (π) (1998)

Polytechnique (Πολυτεχνείο) (2009)

Proof (2005)

Queen of Katwe (2016)

Raising Genius (2004)

Ramanujan (2014)

Secrets of the Surface: The Mathematical Vision of Maryam Mirzakhani (2020)

Sneakers (Οι Αθόρυβοι) (1992)

Stand and Deliver (Ανατολικό Λος Άντζελες) (1998)

Straw Dogs (Αδέσποτα Σκυλιά) (1971)

Tajté Siah (Ο μαυροπίνακας) (2000)

Tall Story (Θα σε Παντρευτώ) (1960)

The Bank (2001)

The Calculus of Love (2011)

The Code Conspiracy (2002)

The Da Vinci Code (Κώδικας Ντα Βίντσι) (2006)

The Fountain (Η Πηγή της Ζωής) (2006)

The Imitation Game (Το Παιχνίδι της Μίμησης) (2014)

The Man who Knew Infinity (Ο Άνθρωπος που Γνώριζε το Άπειρο) (2015)

The Martian (Η Διάσωση) (2015)

The Mirror Has Two Faces (Ο Καθρέφτης Έχει Δύο Πρόσωπα) (1996)

The Number 23 (2007)

The Oxford's Murders (Ακολουθία Φόνων στην Οξφόρδη) (2008)

The Professor and his Beloved Equation (2006)

The Solitude of Prime Numbers (2010)

The Story of Maths (Ντοκιμαντέρ) (2008)

The Theory of Everything (Η Θεωρία των Πάντων) (2014)

The Turing Enigma (2011)

Trancendent Man (Ντοκιμαντέρ) (2009)

Travelling Salesman (2012)

X+Y / A Brilliant Young Mind (2014)



Γράψτε μου στα σχόλια την άποψή σας για τις ταινίες αυτές! Αν έχω παραλείψει κάποια ταινία που θα θέλατε να υπάρχει στη λίστα, μπορείτε να το αναφέρετε, ώστε να την προσθέσω! 😀