Νάρκισσοι... αριθμοί!

Σύμφωνα με τη μυθολογία, ο ωραίος νεαρός Νάρκισσος, καθισμένος κοντά σε μια πηγή, είδε μια μέρα το πρόσωπό του στα νερά της πηγής. Γοητεύτηκε από την εικόνα του που καθρεφτιζόταν στο νερό και θέλησε, βυθίζοντας το βραχίονα του στο νερό να την αιχμαλωτίσει. Επειδή, όμως, παρά τις προσπάθειές του, δεν το κατόρθωνε, παρέμεινε στη θέση αυτή αυτοθαυμαζόμενος, μέχρι που πέθανε. Στη θέση εκείνη μετά από λίγο φύτρωσε το ομώνυμο λουλούδι.

Στα μαθηματικά, νάρκισσος αριθμός ονομάζεται ένας ν-ψήφιος αριθμός, του οποίου το άθροισμα των ψηφίων, υψωμένα στη νιοστή δύναμη, δίνει τον αριθμό αυτόν.

 

Για παράδειγμα:

\(153=1^3+5^3+3^3\)

\(1634=1^4+6^4+3^4+4^4\)

\(54748=5^5+4^5+7^5+4^5+8^5\)

 

Στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης, υπάρχουν μόνο 88 νάρκισσοι αριθμοί, οι οποίοι είναι οι παρακάτω:

Πλήθος ψηφίων	Αριθμοί
1	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
3	153, 370, 371, 407
4	1634, 8208, 9474
5	54748, 92727, 93084
6	548834
7	1741725, 4210818, 9800817, 9926315
8	24678050, 24678051, 88593477
9	146511208, 472335975, 534494836, 912985153
10	4679307774
11	32164049650, 32164049651, 40028394225, 42678290603, 44708635679, 49388550606, 82693916578, 94204591914
14	28116440335967
16	4338281769391370, 4338281769391371
17	21897142587612075, 35641594208964132, 35875699062250035
19	1517841543307505039, 3289582984443187032, 4498128791164624869, 4929273885928088826
20	63105425988599693916
21	128468643043731391252, 449177399146038697307
23	21887696841122916288858, 27879694893054074471405, 27907865009977052567814, 28361281321319229463398, 35452590104031691935943
24	174088005938065293023722, 188451485447897896036875, 239313664430041569350093
25	1550475334214501539088894, 1553242162893771850669378, 3706907995955475988644380, 3706907995955475988644381, 4422095118095899619457938
27	121204998563613372405438066, 121270696006801314328439376, 128851796696487777842012787, 174650464499531377631639254, 177265453171792792366489765
29	14607640612971980372614873089, 19008174136254279995012734740, 19008174136254279995012734741, 23866716435523975980390369295
31	1145037275765491025924292050346, 1927890457142960697580636236639, 2309092682616190307509695338915
32	17333509997782249308725103962772
33	186709961001538790100634132976990, 186709961001538790100634132976991
34	1122763285329372541592822900204593
35	12639369517103790328947807201478392, 12679937780272278566303885594196922
37	1219167219625434121569735803609966019
38	12815792078366059955099770545296129367
39	115132219018763992565095597973971522400, 115132219018763992565095597973971522401

Χαρούμενοι αριθμοί!

"Χαρούμενος αριθμός" ονομάζεται ένας θετικός ακέραιος, στον οποίο το άθροισμα των τετραγώνων των ψηφίων του, όταν υπολογίζεται επαναληπτικά, τελικά ισούται με 1.

Πιο συγκεκριμένα, ένας χαρούμενος αριθμός ορίζεται ως εξής: Ξεκινάμε από έναν θετικό ακέραιο αριθμό α και παίρνουμε τα ψηφία του. Υψώνουμε το κάθε ψηφίο στο τετράγωνο και έπειτα τα προσθέτουμε. Για το αποτέλεσμα που βρήκαμε επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία. Αν τελικά καταλήξουμε στο 1, τότε ο α είναι χαρούμενος αριθμός.

Αν το άθροισμα των τετραγώνων των ψηφίων του δεν φτάνει ποτέ το 1, τότε ο αριθμός ονομάζεται "δυστυχισμένος αριθμός". 

Για παράδειγμα, το 19 είναι χαρούμενος αριθμός, αφού:  

Το 4 είναι δυστυχισμένος αριθμός, αφού η παραπάνω διαδικασία καταλήγει σε έναν κύκλο επαναλαμβανόμενων αριθμών:

4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4, ...

Οι πρώτοι χαρούμενοι αριθμοί είναι: 

1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100, 103, 109, 129, 130, 133, 139, 167, 176, 188, 190, 192, 193, 203, 208, 219, 226, 230, 236, 239, 262, 263, 280, 291, 293, 301, 302, 310, 313, 319, 320, 326, 329, 331, 338, 356, 362, 365, 367, 368, 376, 379, 383, 386, 391, 392, 397, 404, 409, 440, 446, 464, 469, 478, 487, 490, 496... 

Ένας πρώτος αριθμός που είναι χαρούμενος αριθμός ονομάζεται χαρούμενος πρώτος αριθμός. Οι πρώτοι χαρούμενοι πρώτοι αριθμοί είναι οι:

7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139, 167, 193, 239, 263, 293, 313, 331, 367, 379, 383, 397, 409, 487 …

Όλοι οι πρώτοι αριθμοί της μορφής \(10^ν +3\) ή \(10^ν +9\), \(ν=1,2,...\) είναι χαρούμενοι πρώτοι αριθμοί.

👉Δείτε εδώ μια οπτικοποίηση των χαρούμενων και των δυστυχισμένων αριθμών, με τη χρήση κώδικα.

Πηγές: 

LinkedIn | Fermat´s Library

Happy Numbers Visualization

Ένας... εντυπωσιακός πρώτος

Ο αριθμός S παρακάτω, είναι το άθροισμα των δυνάμεων των πρώτων αριθμών από το 2 μέχρι το 89, με εκθέτη τον εαυτό τους. 

Ο S είναι επίσης πρώτος αριθμός. Μάλιστα, είναι ο μεγαλύτερος πρώτος αριθμός που γνωρίζουμε μέχρι σήμερα ότι μπορεί να γραφεί σε αυτή τη μορφή!

Πρώτοι αριθμοί: Από τα Μαθηματικά του Δημοτικού, στη σύγχρονη έρευνα

 

Οι πρώτοι αριθμοί είναι αυτοί που έχουν ακριβώς δύο διαιρέτες: τον εαυτό τους και το 1. Οι αρχικοί αριθμοί που είναι πρώτοι είναι οι: 2, 3, 5, 7, 11, 13.

Ο πρώτοι... πρώτοι αριθμοί

Τα δομικά στοιχεία των φυσικών αριθμών

Η τεράστια σημασία των πρώτων αριθμών για τη Θεωρία Αριθμών αλλά και για τα Μαθηματικά γενικότερα, πηγάζει από το Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής. Το θεώρημα αυτό λέει ότι κάθε φυσικός αριθμός, μεγαλύτερος του 1, μπορεί να γραφεί σαν γινόμενο πρώτων αριθμών κατά μοναδικό τρόπο (χωρίς να λαμβάνεται υπόψη η σειρά των παραγόντων).

Παραδείγματα:

\(15 = 3 \cdot 5\)

\(210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7\)

\(396 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 11\)

 

✅Η παραπάνω γραφή ονομάζεται ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων ή πρωτογενής ανάλυση του αριθμού.

 

Πώς γίνεται η ανάλυση ενός αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων;

Παράδειγμα: Θέλουμε να αναλύσουμε το 360 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. Θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο των διαδοχικών διαιρέσεων.

👣 Βήμα  1. Εξετάζουμε, σύμφωνα με τα κριτήρια διαιρετότητας, ποιος είναι ο μικρότερος πρώτος αριθμός που διαιρεί το 360. Βρίσκουμε ότι είναι το 2 και το γράφουμε στα δεξιά.

👣 Βήμα 2. Διαιρούμε το 360 με το 2 και γράφουμε από κάτω το πηλίκο, που είναι το 180.

👣 Βήμα 3. Συνεχίζουμε την ίδια διαδικασία για το 180. Το 180 διαιρείται κι αυτό με το 2. Διαιρούμε με το 2 και γράφουμε από κάτω το πηλίκο, που είναι το 90.

👣 Βήμα 4. Διαιρούμε το 90 με το 2 και γράφουμε από κάτω το πηλίκο, που είναι το 45.

👣 Βήμα 5. Το 45 τώρα δεν διαιρείται με το 2. Πηγαίνουμε στον επόμενο πρώτο αριθμό, που είναι το 3. Βρίσκουμε ότι το 45 διαιρείται με 3.

👣 Βήμα 6. Διαιρούμε το 45 με το 3 και γράφουμε από κάτω το πηλίκο, που είναι το 15.

👣 Βήμα 7. Το 15 διαιρείται με το 3. Διαιρούμε το 15 με το 3 και γράφουμε από κάτω το πηλίκο, που είναι το 5.

👣 Βήμα 8. Το 5 τώρα δεν διαιρείται με το 3. Πηγαίνουμε στον επόμενο πρώτο αριθμό, που είναι το 5.

👣 Βήμα 9. Το 5 προφανώς διαιρείται με το 5. Γράφουμε από κάτω το πηλίκο, που είναι το 1.

👣 Βήμα 10. Μόλις βρούμε πηλίκο το 1, η διαδικασία τελειώνει!

👣 Τελευταίο βήμα: Γράφουμε τον αριθμό 360 ως το γινόμενο των πρώτων αριθμών που έχουμε γράψει στην τελευταία στήλη:

360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2^3 · 3^2 · 5 

 

 👉Περισσότερα παραδείγματα μπορείτε να παρακολουθήσετε σε αυτό το βίντεο.

 

Εφαρμογές των πρώτων αριθμών στην Κρυπτογραφία

Κρυπτογραφία είναι η επιστήμη που ασχολείται με την κωδικοποίηση και αποκωδικοποίηση μυστικών μηνυμάτων. Στη σημερινή ψηφιακή εποχή, η ασφαλής επικοινωνία είναι ζωτικής σημασίας. Είτε στέλνουμε ένα e-mail, είτε πραγματοποιούμε μια ηλεκτρονική αγορά, η κρυπτογραφία διασφαλίζει ότι οι πληροφορίες μας παραμένουν εμπιστευτικές. Στον κόσμο της σύγχρονης κρυπτογραφίας, οι πρώτοι αριθμοί είναι οι «αφανείς ήρωες». Η κρυπτογράφηση και αποκρυπτογράφηση βασίζονται στη Θεωρία Αριθμών και ειδικότερα στους πρώτους αριθμούς και στο Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής.

Οι επιστήμονες του χώρου χρησιμοποιούν κατά κόρον φυσικούς αριθμούς που είναι γινόμενο τεράστιων πρώτων αριθμών. Ας πάρουμε για παράδειγμα τον αλγόριθμο RSA, ο οποίος χρησιμοποιεί δύο μεγάλους πρώτους αριθμούς p και q. Αφού τους πολλαπλασιάσει, χρησιμοποιεί το γινόμενό τους n = p · q ως μέρος των κλειδιών κρυπτογράφησης και αποκρυπτογράφησης. Ο αριθμός n είναι δημόσιος και ονομάζεται «δημόσιο κλειδί», είναι δηλαδή, όχι μόνο γνωστός, αλλά και δημοσιευμένος σε κάποιο βιβλίο ανάλογο του τηλεφωνικού καταλόγου. Για να μπορέσει κανείς να «χακάρει» ένα σύστημα, θα πρέπει να έχει βρει την πρωτογενή ανάλυση του n, δηλαδή θα πρέπει να υπολογίσει τους πρώτους αριθμούς p και q από τους οποίους «αποτελείται». Στην πράξη, αυτοί οι πρώτοι αριθμοί έχουν τόσο πολλά ψηφία που, ακόμη και με χρήση υπολογιστικών συστημάτων τελευταίας τεχνολογίας που δουλεύουν νυχθημερόν, χρειάζονται δεκάδες χρόνια προκειμένου να υπολογιστούν!

❓Άραγε, η ανάπτυξη υπερσύγχρονης τεχνολογίας θα «προλάβει» τις εξελίξεις στην έρευνα της Θεωρίας Αριθμών;

Παλινδρομικοί αριθμοί, "κακοί" πρώτοι αριθμοί και ο πρώτος αριθμός του Βηλφεγώρ

 

Τι είναι οι παλινδρομικοί αριθμοί;

Παλινδρομικοί ή παλίνδρομοι αριθμοί είναι αυτοί που διαβάζονται το ίδιο είτε ευθέως είτε αντίστροφα. Για παράδειγμα, οι αριθμοί 11, 363, 5225, 13931, 1234321, 20300302 είναι παλινδρομικοί. Τους παλινδρομικούς αριθμούς τους συναντάμε συχνά στα ψυχαγωγικά μαθηματικά, με εφαρμογές στα μαγικά τετράγωνα, τους κύβους του Ρούμπικ και σε σκακιστικά προβλήματα.

 

Κατασκευή παλινδρομικών αριθμών

Πώς μπορούμε να κατασκευάσουμε τέτοιους αριθμούς; Ας επιλέξουμε έναν τυχαίο αριθμό, για παράδειγμα το 83. Αντιστρέφουμε τη σειρά των ψηφίων, δηλαδή παίρνουμε το 38 και τον προσθέτουμε στον αρχικό μας αριθμό. Προκύπτει έτσι: 83+38=121, έχουμε δηλαδή έναν παλινδρομικό αριθμό.

Επιλέγουμε έναν άλλο τυχαίο αριθμό, για παράδειγμα το 67. Αντιστρέφουμε τη σειρά των ψηφίων του, δηλαδή παίρνουμε το 76 και τον προσθέτουμε στον αρχικό μας αριθμό. Έχουμε δηλαδή 67+76=143, που όμως δεν είναι παλινδρομικός. Τότε επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία κι έχουμε 143+341=484. Προέκυψε, δηλαδή, ένας παλινδρομικός αριθμός.

Η ιδιότητα αυτή που έχουν οι αριθμοί, να καταλήγουν σε παλινδρομικούς μετά από μερικές προσθέσεις με τον αντεστραμμένο εαυτό τους φαίνεται να ισχύει για όλους... Υπάρχουν όμως μερικοί αριθμοί για τους οποίους ακόμα δεν έχουμε καταλήξει σε παλίνδρομο παράγωγό τους. Ο μικρότερος από αυτούς, είναι το 196. Κατόπιν πολλών πράξεων, φτάσαμε σε αριθμό με 263.000.000 ψηφία, ο οποίος όμως συνέχιζε να μην είναι παλινδρομικός! Για αριθμούς μικρότερους του 10.000 απαιτούνται το πολύ 24 προσθέσεις και το ρεκόρ αυτό κατέχει ο αριθμός 89.

Πόσοι είναι οι παλινδρομικοί αριθμοί;

Γνωρίζουμε από τον Ευκλείδη ότι οι πρώτοι αριθμοί είναι άπειροι σε πλήθος. Ακόμη. όμως, δεν γνωρίζουμε με βεβαιότητα αν είναι άπειροι και οι παλινδρομικοί αριθμοί. 

💥Μπορείτε να υπολογίσετε πόσοι είναι οι τετραψήφιοι παλινδρομικοί αριθμοί;

 

Ο πρώτος αριθμός της… κολάσεως

Ο Clifford A. Pickover, διάσημος Αμερικανός συγγραφέας και αρθρογράφος, ερευνητής της IBM για πολλά χρόνια, έχει ασχοληθεί ιδιαίτερα με τους αριθμούς και την γοητεία που ασκούν στους ανθρώπους. Έχει συγγράψει δεκάδες βιβλία με ποικίλα θέματα, από τα μαθηματικά, τη φυσική, τους υπολογιστές και την ιατρική, μέχρι τις τέχνες, τους γρίφους και το θάνατο. Στόχος των βιβλίων του, που έχουν μεταφραστεί σε δεκάδες γλώσσες, είναι, όπως λέει ο ίδιος, η έκθεση σε ένα ευρύ κοινό των θαυμάτων της επιστήμης και των μαθηματικών, χρησιμοποιώντας όμως «παιχνιδιάρικες» έννοιες που θα τραβήξουν το ενδιαφέρον του κόσμου.

Ο ίδιος «βάφτισε» και έναν παλινδρομικό πρώτο αριθμό, τον 1.000.000.000.000.066.600.000.000.000.001 (\(10^{30} + 666 \cdot 10^{14} + 1\)), ο οποίος ανακαλύφθηκε από τον μαθηματικό Harvey Dubner, γνωστό για την συμβολή του στην πολύ δύσκολη διαδικασία εύρεσης μεγάλων πρώτων αριθμών. Ο συγκεκριμένος αυτός αριθμός έχει πολλές ιδιότητες και ως πρώτος, αλλά και ως παλινδρομικός. Αυτό, όμως, που κέντρισε το ενδιαφέρον στον Pickover είναι ότι έχει 13 μηδενικά αριστερά και 13 δεξιά του 666. Επιπλέον, το πλήθος των ψηφίων του είναι 31 (ο αριθμός 13 αντεστραμμένος).

Τον ονόμασε πρώτο αριθμό του Βηλφεγώρ (Belphegor's prime), ενός από τους επτά πρίγκιπες της κόλασης, ο οποίος δελεάζει τους θνητούς με το δώρο της ανακάλυψης και των εφευρέσεων. Προειδοποίησε τον κόσμο ότι ο αριθμός αυτός είναι απειλητικός και πως δεν πρέπει να τον κοιτάζουμε για πολλή ώρα, αλλά φυσικά στο τέλος εξηγεί ότι αυτά που γράφει δεν πρέπει να λαμβάνονται και πολύ στα σοβαρά!

Ο συμβολισμός του πρώτου αριθμού του Βηλφεγώρ με τον αριθμό π, ανάποδα!

Ο Pickover ήταν εκείνος που όρισε και τους βαμπιρικούς αριθμούς, για τους οποίους είχαμε μιλήσει (σε παλιότερο Halloween) εδώ…

"Κακοί" πρώτοι αριθμοί

Ο πρώτος αριθμός του Βηλφεγώρ ανήκει και στην κατηγορία των "κακών" πρώτων αριθμών, δηλαδή των πρώτων αριθμών που περιέχουν το 666 στα ψηφία τους. Στο παρακάτω βίντεο από το κανάλι Numberphile, παρουσιάζονται πολλοί από αυτούς τους... σατανικούς αριθμούς!

=========================================

Πηγές - Παραπομπές

Belphegor's prime: 1000000000000066600000000000001, by Dr. Cliff Pickover

Curioustem.org: Belphegor's prime

Googology Wiki: Belphegor's prime

Pickover.com

Thesspress.gr|Θανάσης Κοπάδης: Παλίνδρομοι αριθμοί, αριθμοί βαμπίρ και ο πρώτος αριθμός της κολάσεως

Wikipedia.org|Παλινδρομικός αριθμός

Wolfram Mathworld|Belphegor's prime

YouTube|Numberphile: The most evil number

Ποιος είναι ο μεγαλύτερος γνωστός πρώτος αριθμός;

Πηγή εικόνας: iStock

 

Υπάρχουν άπειροι σε πλήθος πρώτοι αριθμοί, αλλά ο μεγαλύτερος που ξέρουμε μέχρι σήμερα έχει το "ψευδώνυμο" Μ136279841 και ισούται με \(2^{136.279.841}-1\). Έχοντας 41.024.320 ψηφία, πλέον κατέχει το ρεκόρ του μεγαλύτερου γνωστού πρώτου αριθμού. Έχει πάνω από 16 εκατομμύρια ψηφία περισσότερα από τον "προκάτοχό" του, τον αριθμό Μ82589933. Να σημειωθεί ότι δεν είναι γνωστό αν μεταξύ των δύο αυτών πρώτων αριθμών δεν υπάρχει και άλλος πρώτος. Και οι δύο αυτοί πρώτοι αριθμοί είναι αριθμοί Mersenne, μια ειδική κατηγορία πρώτων αριθμών που ονομάστηκαν έτσι από τον Γάλλο μοναχό Marin Mersenne και για τους οποίους θα μιλήσουμε αναλυτικά σε μελλοντική ανάρτηση.

Ο νέος μεγαλύτερος πρώτος αριθμός ανακαλύφθηκε πρόσφατα από έναν ερασιτέχνη ερευνητή, ονόματι Luke Durant, ο οποίος χρησιμοποίησε ελεύθερο λογισμικό σε ένα δίκτυο υπολογιστών σε 17 χώρες. Μάλιστα, ο Durant δήλωσε πως η Τεχνητή Νοημοσύνη δεν πρόκειται να ανακαλύψει τον επόμενο πρώτο αριθμό...

Πηγή: LiveScience | Which is the largest known prime number? 24/10/2024

Πρώτοι και σύνθετοι αριθμοί: Το κόσκινο του Ερατοσθένη και μια απόδειξη του Ευκλείδη

 

Πρώτος καλείται ένας φυσικός αριθμός που διαιρείται μόνο με το 1 και τον εαυτό του. Για παράδειγμα οι αριθμοί 2, 3, 11, 17 είναι πρώτοι. Ένας αριθμός που δεν είναι πρώτος καλείται σύνθετος. Για παράδειγμα, ο αριθμός 9 είναι σύνθετος, αφού εκτός της μονάδας και του εαυτού του έχει διαιρέτη και το 3.

Επειδή το 1 έχει μόνο έναν διαιρέτη (το 1, που είναι και ο εαυτός του), δεν είναι ούτε πρώτος ούτε σύνθετος αριθμός. Το 2 είναι ο μοναδικός άρτιος πρώτος, ενώ όλοι οι υπόλοιποι πρώτοι αριθμοί είναι περιττοί.

Μπορούμε να βρούμε όλους τους πρώτους αριθμούς με ένα «κόσκινο»: Το κόσκινο του Ερατοσθένη κρατάει όλους τους σύνθετους αριθμούς και αφήνει να περάσουν όλοι οι πρώτοι.

Το κόσκινο του Ερατοσθένη: Από το βιβλίο Μαθηματικών της Α΄ Γυμνασίου, εκδόσεις Διόφαντος, 2023

Για να βρούμε τους πρώτους αριθμούς, εργαζόμαστε ως εξής:

1. Αφήνουμε απέξω το 1 (είπαμε: δεν είναι ούτε πρώτος, ούτε σύνθετος).

2. Παίρνουμε τον επόμενο αριθμό (το 2). Τον κρατάμε και σβήνουμε όλα τα πολλαπλάσιά του.

3. Παίρνουμε τον επόμενο άσβηστο αριθμό (το 3).
Τον κρατάμε και σβήνουμε όλα τα πολλαπλάσιά του (όσα δεν έχουν σβηστεί από πριν, ως πολλαπλάσια του 2).

​4. Παίρνουμε τον επόμενο άσβηστο αριθμό (το 5).
Τον κρατάμε και σβήνουμε όλα τα πολλαπλάσιά του (όσα έχουν σβηστεί από πριν).

5. Παίρνουμε τον επόμενο αριθμό που έμεινε (το 7).
Τον κρατάμε και σβήνουμε όλα τα πολλαπλάσιά του (όσα δεν είναι σβησμένα από πριν).

Με τον ίδιο τρόπο συνεχίζουμε για πάντα (αφού οι αριθμοί δεν τελειώνουν ποτέ)!

 

Αν όμως θέλουμε να βρούμε τους πρώτους αριθμούς μέχρι το 120 (όπως κάνουμε τώρα), δεν χρειάζεται να προχωρήσουμε παραπάνω από το 7, αφού...
​
...οι αριθμοί που έχουν μείνει, (αυτοί που είναι μέσα στα κυκλάκια) είναι οι πρώτοι αριθμοί.

 

Οι πρώτοι αριθμοί μέχρι το 120 δίνονται παρακάτω:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113.

Γεννάται λοιπόν το ερώτημα: Πόσοι είναι οι πρώτοι αριθμοί; Την απάντηση έδωσε ο Ευκλείδης στα "Στοιχεία" του (Πρόταση ΙΧ.20) αποδεικνύοντας ότι το πλήθος τους είναι άπειρο. Η απόδειξη παραφράζεται εδώ και είναι η εξής:

Εξετάστε οποιαδήποτε πεπερασμένη λίστα πρώτων αριθμών p1, p2 , ... , pn. Θα αποδειχθεί, ότι υπάρχει τουλάχιστον ένας πρόσθετος πρώτος αριθμός, που δεν υπάρχει στη λίστα. Έστω P το γινόμενο όλων των πρώτων αριθμών στη λίστα, δηλ. 

P =p1 · p2 ·  ... ·  pn 

 Ας είναι q = P + 1. Τότε ο q είναι είτε πρώτος ή όχι:

• Εάν ο q είναι πρώτος, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένας ακόμη πρώτος, που δεν περιλαμβάνεται στη λίστα.
• Εάν ο q δεν είναι πρώτος, τότε κάποιος πρώτος παράγοντας p διαιρεί τον q. Εάν αυτός ο παράγοντας p ήταν στη λίστα μας, τότε θα διαιρούσε το P (αφού το P είναι το γινόμενο κάθε αριθμού στη λίστα). Αλλά ο p διαιρεί επίσης το P + 1 = q, όπως μόλις αναφέρθηκε. Εάν ο p διαιρεί το P και το q, τότε το p πρέπει επίσης να διαιρεί τη διαφορά των δύο αριθμών, που είναι  (P + 1) - P = 1. Δεδομένου ότι κανένας πρώτος αριθμός δεν διαιρεί το 1, ο p δεν μπορεί να είναι στη λίστα. Αυτό σημαίνει, ότι υπάρχει τουλάχιστον ένας ακόμη πρώτος αριθμός πέραν εκείνων της λίστας.

Αυτό αποδεικνύει ότι για κάθε πεπερασμένη λίστα πρώτων αριθμών, υπάρχει ένας πρώτος αριθμός, που δεν βρίσκεται στη λίστα. Άρα οι πρώτοι αριθμοί είναι άπειροι σε πλήθος.

Η απόδειξη αυτή του Ευκλείδη θεωρείται από τις κομψότερες αποδείξεις στην ιστορία των μαθηματικών.

 

Ένα κομμάτι παπύρου των Στοιχείων του Ευκλείδη, που χρονολογείται περίπου στο 75-125 μ.Χ.

Πηγές: 

Σημειώσεις Θεωρίας Αριθμών, Α. Θωμά, Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων

Wikipedia.org