Εις το άπειρον: θεωρία αριθμών

Εμφάνιση αναρτήσεων με ετικέτα θεωρία αριθμών. Εμφάνιση όλων των αναρτήσεων

Παρασκευή 23 Οκτωβρίου 2026

Οι πιο σύντομες εργασίες στην ιστορία των Μαθηματικών!

Μπορεί μια επιστημονική εργασία να αποτελείται από μόλις δύο προτάσεις; Ή ακόμη και από δύο λέξεις; Κι όμως, στην ιστορία των Μαθηματικών υπάρχουν δημοσιεύσεις που καταλαμβάνουν ελάχιστο χώρο στο χαρτί, αλλά το περιεχόμενό τους είναι πολύ σημαντικότερο από την έκτασή τους.

Μια τέτοια εργασία κατάφερε το 1966 να καταρρίψει μια εικασία που είχε διατυπώσει ο μεγάλος μαθηματικός Leonhard Euler σχεδόν 200 χρόνια νωρίτερα!

1. Δύο προτάσεις που κατέρριψαν μια εικασία 200 ετών (1966)

Το 1966, οι μαθηματικοί L. J. Lander και T. R. Parkin δημοσίευσαν στο περιοδικό Bulletin of the AmericanMathematical Society μια εργασία με τίτλο “Counterexample to Euler's Conjecture on Sums of Like Powers” («Αντιπαράδειγμα στην εικασία του Euler για αθροίσματα ομοίων δυνάμεων»). Η δημοσίευσή τους καταλαμβάνει ένα μικρό μόνο μέρος μιας σελίδας και το κυρίως κείμενό της αποτελείται από μόλις δύο προτάσεις και μία βιβλιογραφική αναφορά!

Τι ακριβώς είχαν ανακαλύψει, ώστε να μη χρειάζονται περισσότερες εξηγήσεις;

Η εικασία του Euler

Το 1769, ο Leonhard Euler διατύπωσε μια εικασία που αποτελούσε γενίκευση του περίφημου Τελευταίου Θεωρήματος του Fermat.

Σύμφωνα με το τελευταίο, για κάθε φυσικό αριθμό $n>2$, δεν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι αριθμοί $a,b,c$ που να ικανοποιούν την εξίσωση:

$$a^n+b^n=c^n$$

Με άλλα λόγια, το άθροισμα δύο κύβων θετικών ακεραίων δεν μπορεί να ισούται με έναν τρίτο κύβο, το άθροισμα δύο τέταρτων δυνάμεων δεν μπορεί να ισούται με μια άλλη τέταρτη δύναμη κ.ο.κ.

Ο Euler προχώρησε ένα βήμα παραπέρα και διατύπωσε την ακόλουθη εικασία:

Για να εκφραστεί μια $n$-οστή δύναμη θετικού ακεραίου ως άθροισμα άλλων $n$-οστών δυνάμεων θετικών ακεραίων, απαιτούνται τουλάχιστον $n$ προσθετέοι, για $n>2$.

Για παράδειγμα, σύμφωνα με την εικασία:

Για $n=3$, απαιτούνται τουλάχιστον τρεις κύβοι για να προκύψει ένας άλλος κύβος.
Για $n=4$, απαιτούνται τουλάχιστον τέσσερις τέταρτες δυνάμεις για να προκύψει μια άλλη τέταρτη δύναμη.
Για $n=5$, απαιτούνται τουλάχιστον πέντε πέμπτες δυνάμεις για να προκύψει μια άλλη πέμπτη δύναμη.

Η εικασία φαινόταν εύλογη. Άλλωστε, δεν είχε βρεθεί κάποιο αντιπαράδειγμα που να την καταρρίπτει.

Το αντιπαράδειγμα που ανέτρεψε την εικασία

Το 1966, σχεδόν δύο αιώνες αργότερα, οι Lander και Parkin χρησιμοποίησαν τον υπολογιστή CDC 6600 για να αναζητήσουν αριθμητικές λύσεις.

Και ανακάλυψαν την ακόλουθη ισότητα:

$$\boxed{27^5+84^5+110^5+133^5=144^5}$$

Δηλαδή, το άθροισμα τεσσάρων πέμπτων δυνάμεων ισούται με μία πέμπτη δύναμη!

Όμως, σύμφωνα με την εικασία του Euler, θα χρειάζονταν τουλάχιστον πέντε προσθετέοι. Η ισότητα αυτή ήταν αρκετή για να καταρρίψει την εικασία.

Οι δύο μαθηματικοί δημοσίευσαν το αποτέλεσμα χωρίς εκτενή εισαγωγή, αναλυτικούς υπολογισμούς ή μακροσκελή απόδειξη. Ανέφεραν απλώς ότι μια αναζήτηση στον CDC 6600 έδωσε το συγκεκριμένο αποτέλεσμα και ότι αυτό αποτελεί αντιπαράδειγμα στην εικασία του Euler.

Η μικροσκοπική αυτή δημοσίευση μας θυμίζει κάτι πολύ σημαντικό για τον τρόπο με τον οποίο λειτουργούν τα Μαθηματικά. Μπορούμε να εξετάσουμε εκατοντάδες, χιλιάδες ή ακόμη και εκατομμύρια περιπτώσεις μιας μαθηματικής πρότασης και να διαπιστώσουμε ότι επαληθεύεται σε όλες. Αυτό, όμως, δεν αποτελεί απόδειξη ότι η πρόταση ισχύει γενικά. Αντίθετα, ένα και μόνο αντιπαράδειγμα αρκεί για να αποδείξουμε ότι μια γενική πρόταση είναι λανθασμένη. Αυτό ακριβώς έκαναν οι Lander και Parkin το 1966.

2. Μια μαθηματική εργασία με μόλις δύο λέξεις! (2005)

Αν η εργασία των Lander και Parkin σάς φάνηκε υπερβολικά σύντομη, υπάρχει και κάτι ακόμη πιο εντυπωσιακό!

Το 2005, οι μαθηματικοί J. H. Conway και A. Soifer δημοσίευσαν στο American Mathematical Monthly μια εργασία με τίτλο “Covering a Triangle with Triangles” («Καλύπτοντας ένα τρίγωνο με τρίγωνα»). Το κυρίως κείμενο που είχαν αρχικά υποβάλει αποτελούνταν από δύο μόνο αγγλικές λέξεις, λίγα μαθηματικά σύμβολα και δύο σχήματα!

Το πρόβλημα που τους απασχολούσε ήταν γεωμετρικό: πόσα μικρά ισόπλευρα τρίγωνα πλευράς 1 χρειάζονται για να καλύψουμε πλήρως ένα μεγαλύτερο ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς λίγο μεγαλύτερης από έναν φυσικό αριθμό $n$;

Γνωρίζουμε ότι ένα ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς $n$ μπορεί να χωριστεί σε $n^2$ μικρά ισόπλευρα τρίγωνα πλευράς 1. Τι γίνεται όμως αν αυξήσουμε ελάχιστα την πλευρά του μεγάλου τριγώνου, ώστε να γίνει $n+\varepsilon$, όπου $\varepsilon>0$ είναι πολύ μικρό;

Οι Conway και Soifer παρουσίασαν δύο διαφορετικές γεωμετρικές κατασκευές που έδειχναν ότι, για κατάλληλα μικρό $\varepsilon$, αρκούν $n^2+2$ μικρά ισόπλευρα τρίγωνα. Και πώς παρουσίασαν το αποτέλεσμά τους; Με την απίστευτα λιτή φράση:

$$\boxed{n^2+2\ \text{can}}$$

Δηλαδή, «$n^2+2$ μπορούν»! Ακολουθούσαν δύο σχήματα που έδειχναν πώς μπορούσε να γίνει η κάλυψη.

Η ιστορία της δημοσίευσης έχει και μια αστεία λεπτομέρεια. Οι εκδότες του περιοδικού θεώρησαν ότι η εργασία ήταν υπερβολικά σύντομη και ζήτησαν από τους συγγραφείς να προσθέσουν μερικές επεξηγηματικές γραμμές. Εκείνοι, όμως, επέμειναν ότι τα σχήματα ήταν αρκετά για να παρουσιάσουν το αποτέλεσμά τους.

Τελικά, η εργασία δημοσιεύτηκε τον Ιανουάριο του 2005, αν και οι εκδότες πρόσθεσαν τίτλο και μετέφεραν το αρχικό ερώτημα στο κυρίως κείμενο, κάνοντας τη δημοσιευμένη εκδοχή λίγο μεγαλύτερη από εκείνη που είχαν αρχικά υποβάλει οι μαθηματικοί.

3. Δύο σελίδες που άλλαξαν τη θεωρία παιγνίων (1949)

Η τρίτη εργασία δεν είναι τόσο μικρή όσο οι προηγούμενες. Καταλαμβάνει σχεδόν δύο σελίδες! Ωστόσο, η επίδρασή της στα Μαθηματικά και σε άλλες επιστήμες υπήρξε τεράστια.

Το 1950, ο νεαρός τότε μαθηματικός John Nash δημοσίευσε την εργασία “Equilibrium Points in n-Person Games” («Σημεία ισορροπίας σε παίγνια $n$ παικτών»).

Στις δύο αυτές σελίδες παρουσίασε ένα αποτέλεσμα που συνδέεται με την έννοια της ισορροπίας Nash, η οποία αποτελεί σήμερα μία από τις βασικές έννοιες της θεωρίας παιγνίων.

Με απλά λόγια, σε μια ισορροπία Nash, κάθε παίκτης έχει επιλέξει μια στρατηγική τέτοια, ώστε να μην τον συμφέρει να την αλλάξει μόνος του, εφόσον οι υπόλοιποι παίκτες διατηρούν τις δικές τους στρατηγικές. Η ιδέα αυτή βρήκε εφαρμογές όχι μόνο στα Μαθηματικά, αλλά και στα Οικονομικά, στην Πολιτική Επιστήμη, στη Βιολογία και σε πολλούς άλλους τομείς.

Το 1994, ο Nash τιμήθηκε με το Βραβείο Οικονομικών Επιστημών στη Μνήμη του Alfred Nobel, μαζί με τους John Harsanyi και Reinhard Selten, για τη συμβολή τους στη θεωρία παιγνίων. Δύο σελίδες αποδείχθηκαν αρκετές για να παρουσιαστεί μια ιδέα που επηρέασε ολόκληρους επιστημονικούς κλάδους.

Τελικά, η αξία μιας μαθηματικής εργασίας δεν μετριέται με τον αριθμό των σελίδων της!

Διαβάστε περισσότερα εδώ:

IMPA: The shortest articles in the history of mathematics

Πέμπτη 1 Ιανουαρίου 2026

Καλή χρονιά!

Ευχόμαστε το 2026 να είναι γεμάτο με δημιουργική σκέψη, μαθηματική ομορφιά και ιδέες που μας πάνε ένα βήμα πιο πέρα -ίσως και εις το άπειρον!

Πηγή εικόνας: Μαθημαγικά

Πηγή εικόνας: Lisari blogspot

Πηγή εικόνας: Facebook|Matemáticas

Δείτε εδώ και εδώ όλες τις ιδιότητες του αριθμού 2026.

Σάββατο 22 Μαρτίου 2025

Πώς μπορούμε να ελέγξουμε αν ένας αριθμός είναι πρώτος;

📚Αν θέλεις να θυμηθείς πότε ένας αριθμός λέγεται πρώτος, μπορείς να το διαβάσεις εδώ...

Image credit: Michael Jay Berlin via Shutterstock

Πολλές φορές, χρειάζεται να ελέγξουμε αν ένας αριθμός n είναι πρώτος. Μια βασική διαδικασία είναι η δοκιμαστική διαίρεση, δηλαδή να ελέγξουμε αν ο αριθμός n είναι πολλαπλάσιο κάποιου αριθμού από το 2 έως και το $\sqrt{n}$. Απαραίτητα εδώ είναι τα κριτήρια διαιρετότητας.

Παραδείγματα:

✅Θέλουμε να εξετάσουμε αν ο αριθμός 169 είναι πρώτος. Αρκεί να ελέγξουμε αν το 169 είναι πολλαπλάσιο κάποιου αριθμού από το 2 έως και το $\sqrt{169}=13$.

Το 2 δεν διαιρεί το 169.

Το 3 δεν διαιρεί το 169.

Ομοίως, το 4, το 5, το 6, το 7, το 8, το 9, το 10, το 11 και το 12 δεν διαιρούν το 169.

Το 13 διαιρεί το 169.

Άρα το 169 δεν είναι πρώτος αριθμός.

✅Θέλουμε να εξετάσουμε αν ο αριθμός 51 είναι πρώτος. Επειδή 49<51 δηλαδή $7<\sqrt{51}$, αρκεί να ελέγξουμε αν το 51 είναι πολλαπλάσιο κάποιου αριθμού από το 2 έως και το 7.

Το 2 δεν διαιρεί το 51.

Το 3 διαιρεί το 51.

Άρα το 51 δεν είναι πρώτος αριθμός.

✅Θέλουμε να εξετάσουμε αν ο αριθμός 113 είναι πρώτος. Επειδή 100<113 δηλαδή $10<\sqrt{113}$, αρκεί να ελέγξουμε αν το 113 είναι πολλαπλάσιο κάποιου αριθμού από το 2 έως και το 10.

Βρίσκουμε ότι κανένας από τους αριθμούς 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 δεν διαιρεί το 113.

Άρα το 113 είναι πρώτος αριθμός.

💡Η μέθοδος της δοκιμαστικής διαίρεσης μπορεί να εφαρμοστεί πιο αποτελεσματικά αν είναι γνωστοί όλοι οι πρώτοι αριθμοί μέχρι και το $\sqrt{n}$. Για παράδειγμα, για να ελέγξουμε αν ο 113 είναι πρώτος, αρκεί να ελέγξουμε αν διαιρείται μόνο από το 2, το 3, το 5 και το 7.

🚩Για πολύ μεγάλους αριθμούς, η μέθοδος αυτή γίνεται πολύ αργή και μη πρακτική, γιατί το πλήθος των πιθανών παραγόντων του n αυξάνεται ραγδαία καθώς αυξάνεται ο n. Για την ακρίβεια, το πλήθος των πρώτων αριθμών μικρότερων του $\sqrt{n}$ είναι της τάξης $\frac{\sqrt{n}}{ln(\sqrt{n})}$. Για τον έλεγχο πολύ μεγάλων αριθμών, έχουν αναπτυχθεί διάφοροι αλγόριθμοι που τρέχουν σε υπολογιστικά συστήματα.

🔍Διάβασε εδώ περισσότερα γύρω από τους πρώτους αριθμούς.

Τρίτη 25 Φεβρουαρίου 2025

Τριγωνικοί, τετραγωνικοί και εξαγωνικοί αριθμοί!

Στην αρχαιότητα, οι Πυθαγόρειοι θεωρούσαν πως τα πάντα στο σύμπαν μπορούσαν να εξηγηθούν με τη βοήθεια των αριθμών. Γι’ αυτό έφτιαχναν διάφορες ακολουθίες αριθμών με βάση γεωμετρικά σχήματα. Οι βασικότεροι είναι οι τριγωνικοί, οι τετραγωνικοί και οι εξαγωνικοί αριθμοί.

Τριγωνικός λέγεται κάθε αριθμός, ο οποίος, αν συμβολιστεί με σημεία –τόσα σημεία όσα υποδηλώνει ο αριθμός– σχηματίζεται τρίγωνο. Για να βρούμε τους τριγωνικούς αριθμούς, αρχίζουμε από το 1. Κάθε φορά προσθέτουμε και τον επόμενο φυσικό αριθμό. Δηλαδή:

1+2=3

1+2+3=6

1+2+3+4=10

1+2+3+4+5=15

1+2+3+4+5+6=21

…

Το άθροισμα που προκύπτει κάθε φορά (σημειωμένο με έντονο) είναι και ένας τριγωνικός αριθμός.

Μπορούμε να αναπαραστήσουμε τους τριγωνικούς αριθμούς με ισόπλευρα τρίγωνα, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

Ο n-οστός τριγωνικός αριθμός είναι το άθροισμα των n πρώτων θετικών ακεραίων. Συμβολίζεται με $T_n$ και ισούται με

$T_n=1+2+…+n=\frac{n(n+1)}{2}$

π.χ. $T_4=\frac{4 \cdot 5)}{2}=10$

Για την ακολουθία των τριγωνικών αριθμών ισχύει και ο αναδρομικός τύπος:

$T_1=1$

$T_n=T_{n-1}+n, n>1$

Τετραγωνικός αριθμός, ή αλλιώς τέλειο τετράγωνο, λέγεται ένας θετικός ακέραιος αριθμός που είναι το τετράγωνο ενός άλλου ακέραιου αριθμού, δηλαδή ισούται με το γινόμενο του αριθμού εκείνου με τον εαυτό του.

Ένας τετραγωνικός αριθμός $n$ αντιπροσωπεύεται από $n$ σημεία (κουκκίδες), τα οποία σχηματίζουν τετράγωνο, με την κάθε πλευρά του να έχει $\sqrt{n}$ σημεία.

Ο αριθμός $n$ είναι τετραγωνικός, αν και μόνο αν μπορούμε να συνθέσουμε ένα τετράγωνο από $n$ ίσα μεταξύ τους τετράγωνα.

π.χ.

$n=1=1^2$

$n=4=2^2$

$n=9=3^2$

$n=16=4^2$

$n=25=5^2$

Οι πρώτοι τετραγωνικοί αριθμοί (τέλεια τετράγωνα) είναι:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ...

Για έναν θετικό ακέραιο $n$, ο n-οστός τετραγωνικός αριθμός είναι ο $n^2$.

Κάποιοι τύποι που χρησιμεύουν για τον υπολογισμό ενός τετραγωνικού αριθμού όταν είναι γνωστός ο προηγούμενός του (αναδρομικοί τύποι), είναι:

$n^2=(n-1)^2+(n-1)+n=(n-1)^2+(2n-1)$

Το άθροισμα δύο διαδοχικών τριγωνικών αριθμών είναι τετραγωνικός αριθμός.

π.χ. $T_3+T_4=6+10=16$, που είναι τετραγωνικός αριθμός.

Εξαγωνικός αριθμός λέγεται ένας πολυγωνικός αριθμός που παριστάνεται με ένα εξάγωνο.

Ο n-οστός εξαγωνικός αριθμός $h_n$ είναι το πλήθος των κουκκίδων που «δημιουργούν» το εξαγωνικό σχήμα του. Στο μοτίβο αυτό, τα εξάγωνα δεν περιέχονται το ένα στο εσωτερικό του άλλου, αλλά έχουν όλα μία κοινή «κορυφή».

Οι πρώτοι εξαγωνικοί αριθμοί είναι:

1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, …

Ο τύπος που δίνει τον n-οστό εξαγωνικό αριθμό είναι:

$h_n=2n^2-n=n(2n-1)=\frac{2n(2n-1)}{2} $

Κάθε εξαγωνικός αριθμός είναι και τριγωνικός αριθμός.

Κάθε τριγωνικός αριθμός με περιττό πλήθος «πλευρών» (δηλαδή ο $T_n$ με n περιττό) είναι εξαγωνικός αριθμός.

Κάθε άρτιος τέλειος αριθμός είναι εξαγωνικός. Καθώς δεν είναι γνωστός κανένας τέλειος αριθμός που να είναι περιττός, όλοι οι γνωστοί τέλειοι αριθμοί είναι εξαγωνικοί.

Για να ελέγξουμε αν ένας θετικός ακέραιος $x$ είναι εξαγωνικός, μπορούμε να υπολογίσουμε τον αριθμό

$n=\frac{\sqrt{8x+1}+1}{4}$.

Αν ο $n$ είναι ακέραιος, τότε ο $x$ είναι ο n-οστός εξαγωνικός αριθμός. Αλλιώς ο $x$ δεν είναι εξαγωνικός.

👉Ανακαλύψτε περισσότερα στην "Online Εγκυκλοπαίδεια Ακολουθιών Ακέραιων Αριθμών" (OEIS).

Κυριακή 2 Φεβρουαρίου 2025

Αριθμοί Friedman

📖Ένας αριθμός Friedman είναι ένας θετικός ακέραιος που μπορεί να προκύψει χρησιμοποιώντας τα δικά του ψηφία, μαζί με ένα τουλάχιστον από τα σύμβολα +, -, ·, /, ^, (, ).

Τα ψηφία του χρησιμοποιούνται ακριβώς μία φορά το καθένα.
Επιτρέπεται να συγκολληθούν δύο ή περισσότερα ψηφία.

Οι αριθμοί Friedman στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης, ξεκινώντας από τον μικρότερο, είναι:

$25=5^2$

$121=11^2$

$125=5^{1+2}$

$126=6 \cdot 21$

$127=2^7-1$

$128=2^{8-1}$

$153=3 \cdot 51$

$216=6^{2+1}$

$289=(8+9)^2$

$343=(3+4)^3$

$347=7^3+4$

$625=5^{6-2}$

$688=8 \cdot 86$

$736=7+3^6$

$1022=2^{10}-2$

$1024=(4-2)^{10}$

$1206=6 \cdot 201$

$1255=5 \cdot 251$

$1260=6 \cdot 210 = 21 \cdot 60$

$1258=(1+2^8) \cdot 5$

$1296=6^{(9-1)/2}$

$1395=15 \cdot 93$

$1435=35 \cdot 41$

$1503=3 \cdot 501$

$1530=3 \cdot 510$

$1792=7 \cdot 2^{9-1}$

$1827=21 \cdot 87$

$2048=\frac{8^4}{2}+0=\frac{8^4}{2+0}$

$2187=(2+1^8)^7$

$2349=29 \cdot 3^4$

...

📖Ένας πρώτος αριθμός Friedman είναι ένας αριθμός Friedman που επιπλέον είναι πρώτος.

Οι πρώτοι αριθμοί Friedman στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης είναι:

127, 347, 2503, 12101, 12107, 12109, 15629, 15641, 15661, 15667, 15679, 16381, 16447, 16759, 16879, 19739, 21943, 27653, 28547, 28559, 29527, 29531, 32771, 32783, 35933, 36457, 39313, 39343, 43691, 45361, 46619, 46633, 46643, 46649, 46663, 46691, 48751, 48757, 49277, 58921, 59051, 59053, 59263, 59273, 64513, 74353, 74897, 78163, 83357, ...

📖Ένας αριθμός Friedman λέγεται ωραίος, όταν η μαθηματική έκφραση που τον συνθέτει, μπορεί να γραφεί έτσι, ώστε να περιέχει τα ψηφία με την ίδια σειρά που περιέχονται στον αριθμό.

Για παράδειγμα:

$127=2^7-1=-1+2^7$

$343=(3+4)^3$

Αν, μάλιστα, τυχαίνει να είναι και πρώτος, τότε λέγεται ωραίος πρώτος αριθμός Friedman. To 127 είναι ένας ωραίος πρώτος αριθμός Friedman.

Από την άλλη, το 121 και το 343 είναι παλινδρομικοί αριθμοί Friedman, αφού διαβάζονται το ίδιο είτε ευθέως είτε ανάποδα.

🧛🏻‍♂️Μια ειδική περίπτωση των αριθμών Friedman είναι οι βαμπιρικοί αριθμοί, όπως ο 1260 και ο 1395, τους οποίους είχαμε γνωρίσει σε παλιότερη ανάρτηση.

🖥️Μερικοί αριθμοί Friedman στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης είναι: 11001, 11011, 111111, 1001111, 1010001, ...

(Αυτοί που σημειώνονται έντονα είναι ωραίοι αριθμοί Friedman, αλλά και παλινδρομικοί).

🌐Για περισσότερα, σας παραπέμπω:

Numbers Aplenty, Friedman Numbers

Online Encyclopedia of Integer Sequences, Erich Friedman

Σάββατο 11 Ιανουαρίου 2025

Νάρκισσοι... αριθμοί!

Σύμφωνα με τη μυθολογία, ο ωραίος νεαρός Νάρκισσος, καθισμένος κοντά σε μια πηγή, είδε μια μέρα το πρόσωπό του στα νερά της πηγής. Γοητεύτηκε από την εικόνα του που καθρεφτιζόταν στο νερό και θέλησε, βυθίζοντας το βραχίονα του στο νερό να την αιχμαλωτίσει. Επειδή, όμως, παρά τις προσπάθειές του, δεν το κατόρθωνε, παρέμεινε στη θέση αυτή αυτοθαυμαζόμενος, μέχρι που πέθανε. Στη θέση εκείνη μετά από λίγο φύτρωσε το ομώνυμο λουλούδι.

Στα μαθηματικά, νάρκισσος αριθμός ονομάζεται ένας ν-ψήφιος αριθμός, του οποίου το άθροισμα των ψηφίων, υψωμένα στη νιοστή δύναμη, δίνει τον αριθμό αυτόν.

Για παράδειγμα:

$153=1^3+5^3+3^3$

$1634=1^4+6^4+3^4+4^4$

$54748=5^5+4^5+7^5+4^5+8^5$

Στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης, υπάρχουν μόνο 88 νάρκισσοι αριθμοί, οι οποίοι είναι οι παρακάτω:

Πλήθος ψηφίων	Αριθμοί
1	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
3	153, 370, 371, 407
4	1634, 8208, 9474
5	54748, 92727, 93084
6	548834
7	1741725, 4210818, 9800817, 9926315
8	24678050, 24678051, 88593477
9	146511208, 472335975, 534494836, 912985153
10	4679307774
11	32164049650, 32164049651, 40028394225, 42678290603, 44708635679, 49388550606, 82693916578, 94204591914
14	28116440335967
16	4338281769391370, 4338281769391371
17	21897142587612075, 35641594208964132, 35875699062250035
19	1517841543307505039, 3289582984443187032, 4498128791164624869, 4929273885928088826
20	63105425988599693916
21	128468643043731391252, 449177399146038697307
23	21887696841122916288858, 27879694893054074471405, 27907865009977052567814, 28361281321319229463398, 35452590104031691935943
24	174088005938065293023722, 188451485447897896036875, 239313664430041569350093
25	1550475334214501539088894, 1553242162893771850669378, 3706907995955475988644380, 3706907995955475988644381, 4422095118095899619457938
27	121204998563613372405438066, 121270696006801314328439376, 128851796696487777842012787, 174650464499531377631639254, 177265453171792792366489765
29	14607640612971980372614873089, 19008174136254279995012734740, 19008174136254279995012734741, 23866716435523975980390369295
31	1145037275765491025924292050346, 1927890457142960697580636236639, 2309092682616190307509695338915
32	17333509997782249308725103962772
33	186709961001538790100634132976990, 186709961001538790100634132976991
34	1122763285329372541592822900204593
35	12639369517103790328947807201478392, 12679937780272278566303885594196922
37	1219167219625434121569735803609966019
38	12815792078366059955099770545296129367
39	115132219018763992565095597973971522400, 115132219018763992565095597973971522401