Ένας... εντυπωσιακός πρώτος

Ο αριθμός S παρακάτω, είναι το άθροισμα των δυνάμεων των πρώτων αριθμών από το 2 μέχρι το 89, με εκθέτη τον εαυτό τους. 

Ο S είναι επίσης πρώτος αριθμός. Μάλιστα, είναι ο μεγαλύτερος πρώτος αριθμός που γνωρίζουμε μέχρι σήμερα ότι μπορεί να γραφεί σε αυτή τη μορφή!

Πρώτοι αριθμοί: Από τα Μαθηματικά του Δημοτικού, στη σύγχρονη έρευνα

 

Οι πρώτοι αριθμοί είναι αυτοί που έχουν ακριβώς δύο διαιρέτες: τον εαυτό τους και το 1. Οι αρχικοί αριθμοί που είναι πρώτοι είναι οι: 2, 3, 5, 7, 11, 13.

Ο πρώτοι... πρώτοι αριθμοί

Τα δομικά στοιχεία των φυσικών αριθμών

Η τεράστια σημασία των πρώτων αριθμών για τη Θεωρία Αριθμών αλλά και για τα Μαθηματικά γενικότερα, πηγάζει από το Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής. Το θεώρημα αυτό λέει ότι κάθε φυσικός αριθμός, μεγαλύτερος του 1, μπορεί να γραφεί σαν γινόμενο πρώτων αριθμών κατά μοναδικό τρόπο (χωρίς να λαμβάνεται υπόψη η σειρά των παραγόντων).

Παραδείγματα:

\(15 = 3 \cdot 5\)

\(210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7\)

\(396 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 11\)

 

✅Η παραπάνω γραφή ονομάζεται ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων ή πρωτογενής ανάλυση του αριθμού.

 

Πώς γίνεται η ανάλυση ενός αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων;

Παράδειγμα: Θέλουμε να αναλύσουμε το 360 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. Θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο των διαδοχικών διαιρέσεων.

👣 Βήμα  1. Εξετάζουμε, σύμφωνα με τα κριτήρια διαιρετότητας, ποιος είναι ο μικρότερος πρώτος αριθμός που διαιρεί το 360. Βρίσκουμε ότι είναι το 2 και το γράφουμε στα δεξιά.

👣 Βήμα 2. Διαιρούμε το 360 με το 2 και γράφουμε από κάτω το πηλίκο, που είναι το 180.

👣 Βήμα 3. Συνεχίζουμε την ίδια διαδικασία για το 180. Το 180 διαιρείται κι αυτό με το 2. Διαιρούμε με το 2 και γράφουμε από κάτω το πηλίκο, που είναι το 90.

👣 Βήμα 4. Διαιρούμε το 90 με το 2 και γράφουμε από κάτω το πηλίκο, που είναι το 45.

👣 Βήμα 5. Το 45 τώρα δεν διαιρείται με το 2. Πηγαίνουμε στον επόμενο πρώτο αριθμό, που είναι το 3. Βρίσκουμε ότι το 45 διαιρείται με 3.

👣 Βήμα 6. Διαιρούμε το 45 με το 3 και γράφουμε από κάτω το πηλίκο, που είναι το 15.

👣 Βήμα 7. Το 15 διαιρείται με το 3. Διαιρούμε το 15 με το 3 και γράφουμε από κάτω το πηλίκο, που είναι το 5.

👣 Βήμα 8. Το 5 τώρα δεν διαιρείται με το 3. Πηγαίνουμε στον επόμενο πρώτο αριθμό, που είναι το 5.

👣 Βήμα 9. Το 5 προφανώς διαιρείται με το 5. Γράφουμε από κάτω το πηλίκο, που είναι το 1.

👣 Βήμα 10. Μόλις βρούμε πηλίκο το 1, η διαδικασία τελειώνει!

👣 Τελευταίο βήμα: Γράφουμε τον αριθμό 360 ως το γινόμενο των πρώτων αριθμών που έχουμε γράψει στην τελευταία στήλη:

360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2^3 · 3^2 · 5 

 

 👉Περισσότερα παραδείγματα μπορείτε να παρακολουθήσετε σε αυτό το βίντεο.

 

Εφαρμογές των πρώτων αριθμών στην Κρυπτογραφία

Κρυπτογραφία είναι η επιστήμη που ασχολείται με την κωδικοποίηση και αποκωδικοποίηση μυστικών μηνυμάτων. Στη σημερινή ψηφιακή εποχή, η ασφαλής επικοινωνία είναι ζωτικής σημασίας. Είτε στέλνουμε ένα e-mail, είτε πραγματοποιούμε μια ηλεκτρονική αγορά, η κρυπτογραφία διασφαλίζει ότι οι πληροφορίες μας παραμένουν εμπιστευτικές. Στον κόσμο της σύγχρονης κρυπτογραφίας, οι πρώτοι αριθμοί είναι οι «αφανείς ήρωες». Η κρυπτογράφηση και αποκρυπτογράφηση βασίζονται στη Θεωρία Αριθμών και ειδικότερα στους πρώτους αριθμούς και στο Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής.

Οι επιστήμονες του χώρου χρησιμοποιούν κατά κόρον φυσικούς αριθμούς που είναι γινόμενο τεράστιων πρώτων αριθμών. Ας πάρουμε για παράδειγμα τον αλγόριθμο RSA, ο οποίος χρησιμοποιεί δύο μεγάλους πρώτους αριθμούς p και q. Αφού τους πολλαπλασιάσει, χρησιμοποιεί το γινόμενό τους n = p · q ως μέρος των κλειδιών κρυπτογράφησης και αποκρυπτογράφησης. Ο αριθμός n είναι δημόσιος και ονομάζεται «δημόσιο κλειδί», είναι δηλαδή, όχι μόνο γνωστός, αλλά και δημοσιευμένος σε κάποιο βιβλίο ανάλογο του τηλεφωνικού καταλόγου. Για να μπορέσει κανείς να «χακάρει» ένα σύστημα, θα πρέπει να έχει βρει την πρωτογενή ανάλυση του n, δηλαδή θα πρέπει να υπολογίσει τους πρώτους αριθμούς p και q από τους οποίους «αποτελείται». Στην πράξη, αυτοί οι πρώτοι αριθμοί έχουν τόσο πολλά ψηφία που, ακόμη και με χρήση υπολογιστικών συστημάτων τελευταίας τεχνολογίας που δουλεύουν νυχθημερόν, χρειάζονται δεκάδες χρόνια προκειμένου να υπολογιστούν!

❓Άραγε, η ανάπτυξη υπερσύγχρονης τεχνολογίας θα «προλάβει» τις εξελίξεις στην έρευνα της Θεωρίας Αριθμών;

Παλινδρομικοί αριθμοί, "κακοί" πρώτοι αριθμοί και ο πρώτος αριθμός του Βηλφεγώρ

 

Τι είναι οι παλινδρομικοί αριθμοί;

Παλινδρομικοί ή παλίνδρομοι αριθμοί είναι αυτοί που διαβάζονται το ίδιο είτε ευθέως είτε αντίστροφα. Για παράδειγμα, οι αριθμοί 11, 363, 5225, 13931, 1234321, 20300302 είναι παλινδρομικοί. Τους παλινδρομικούς αριθμούς τους συναντάμε συχνά στα ψυχαγωγικά μαθηματικά, με εφαρμογές στα μαγικά τετράγωνα, τους κύβους του Ρούμπικ και σε σκακιστικά προβλήματα.

 

Κατασκευή παλινδρομικών αριθμών

Πώς μπορούμε να κατασκευάσουμε τέτοιους αριθμούς; Ας επιλέξουμε έναν τυχαίο αριθμό, για παράδειγμα το 83. Αντιστρέφουμε τη σειρά των ψηφίων, δηλαδή παίρνουμε το 38 και τον προσθέτουμε στον αρχικό μας αριθμό. Προκύπτει έτσι: 83+38=121, έχουμε δηλαδή έναν παλινδρομικό αριθμό.

Επιλέγουμε έναν άλλο τυχαίο αριθμό, για παράδειγμα το 67. Αντιστρέφουμε τη σειρά των ψηφίων του, δηλαδή παίρνουμε το 76 και τον προσθέτουμε στον αρχικό μας αριθμό. Έχουμε δηλαδή 67+76=143, που όμως δεν είναι παλινδρομικός. Τότε επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία κι έχουμε 143+341=484. Προέκυψε, δηλαδή, ένας παλινδρομικός αριθμός.

Η ιδιότητα αυτή που έχουν οι αριθμοί, να καταλήγουν σε παλινδρομικούς μετά από μερικές προσθέσεις με τον αντεστραμμένο εαυτό τους φαίνεται να ισχύει για όλους... Υπάρχουν όμως μερικοί αριθμοί για τους οποίους ακόμα δεν έχουμε καταλήξει σε παλίνδρομο παράγωγό τους. Ο μικρότερος από αυτούς, είναι το 196. Κατόπιν πολλών πράξεων, φτάσαμε σε αριθμό με 263.000.000 ψηφία, ο οποίος όμως συνέχιζε να μην είναι παλινδρομικός! Για αριθμούς μικρότερους του 10.000 απαιτούνται το πολύ 24 προσθέσεις και το ρεκόρ αυτό κατέχει ο αριθμός 89.

Πόσοι είναι οι παλινδρομικοί αριθμοί;

Γνωρίζουμε από τον Ευκλείδη ότι οι πρώτοι αριθμοί είναι άπειροι σε πλήθος. Ακόμη. όμως, δεν γνωρίζουμε με βεβαιότητα αν είναι άπειροι και οι παλινδρομικοί αριθμοί. 

💥Μπορείτε να υπολογίσετε πόσοι είναι οι τετραψήφιοι παλινδρομικοί αριθμοί;

 

Ο πρώτος αριθμός της… κολάσεως

Ο Clifford A. Pickover, διάσημος Αμερικανός συγγραφέας και αρθρογράφος, ερευνητής της IBM για πολλά χρόνια, έχει ασχοληθεί ιδιαίτερα με τους αριθμούς και την γοητεία που ασκούν στους ανθρώπους. Έχει συγγράψει δεκάδες βιβλία με ποικίλα θέματα, από τα μαθηματικά, τη φυσική, τους υπολογιστές και την ιατρική, μέχρι τις τέχνες, τους γρίφους και το θάνατο. Στόχος των βιβλίων του, που έχουν μεταφραστεί σε δεκάδες γλώσσες, είναι, όπως λέει ο ίδιος, η έκθεση σε ένα ευρύ κοινό των θαυμάτων της επιστήμης και των μαθηματικών, χρησιμοποιώντας όμως «παιχνιδιάρικες» έννοιες που θα τραβήξουν το ενδιαφέρον του κόσμου.

Ο ίδιος «βάφτισε» και έναν παλινδρομικό πρώτο αριθμό, τον 1.000.000.000.000.066.600.000.000.000.001 (\(10^{30} + 666 \cdot 10^{14} + 1\)), ο οποίος ανακαλύφθηκε από τον μαθηματικό Harvey Dubner, γνωστό για την συμβολή του στην πολύ δύσκολη διαδικασία εύρεσης μεγάλων πρώτων αριθμών. Ο συγκεκριμένος αυτός αριθμός έχει πολλές ιδιότητες και ως πρώτος, αλλά και ως παλινδρομικός. Αυτό, όμως, που κέντρισε το ενδιαφέρον στον Pickover είναι ότι έχει 13 μηδενικά αριστερά και 13 δεξιά του 666. Επιπλέον, το πλήθος των ψηφίων του είναι 31 (ο αριθμός 13 αντεστραμμένος).

Τον ονόμασε πρώτο αριθμό του Βηλφεγώρ (Belphegor's prime), ενός από τους επτά πρίγκιπες της κόλασης, ο οποίος δελεάζει τους θνητούς με το δώρο της ανακάλυψης και των εφευρέσεων. Προειδοποίησε τον κόσμο ότι ο αριθμός αυτός είναι απειλητικός και πως δεν πρέπει να τον κοιτάζουμε για πολλή ώρα, αλλά φυσικά στο τέλος εξηγεί ότι αυτά που γράφει δεν πρέπει να λαμβάνονται και πολύ στα σοβαρά!

Ο συμβολισμός του πρώτου αριθμού του Βηλφεγώρ με τον αριθμό π, ανάποδα!

Ο Pickover ήταν εκείνος που όρισε και τους βαμπιρικούς αριθμούς, για τους οποίους είχαμε μιλήσει (σε παλιότερο Halloween) εδώ…

"Κακοί" πρώτοι αριθμοί

Ο πρώτος αριθμός του Βηλφεγώρ ανήκει και στην κατηγορία των "κακών" πρώτων αριθμών, δηλαδή των πρώτων αριθμών που περιέχουν το 666 στα ψηφία τους. Στο παρακάτω βίντεο από το κανάλι Numberphile, παρουσιάζονται πολλοί από αυτούς τους... σατανικούς αριθμούς!

=========================================

Πηγές - Παραπομπές

Belphegor's prime: 1000000000000066600000000000001, by Dr. Cliff Pickover

Curioustem.org: Belphegor's prime

Googology Wiki: Belphegor's prime

Pickover.com

Thesspress.gr|Θανάσης Κοπάδης: Παλίνδρομοι αριθμοί, αριθμοί βαμπίρ και ο πρώτος αριθμός της κολάσεως

Wikipedia.org|Παλινδρομικός αριθμός

Wolfram Mathworld|Belphegor's prime

YouTube|Numberphile: The most evil number

Ποιος είναι ο μεγαλύτερος γνωστός πρώτος αριθμός;

Πηγή εικόνας: iStock

 

Υπάρχουν άπειροι σε πλήθος πρώτοι αριθμοί, αλλά ο μεγαλύτερος που ξέρουμε μέχρι σήμερα έχει το "ψευδώνυμο" Μ136279841 και ισούται με \(2^{136.279.841}-1\). Έχοντας 41.024.320 ψηφία, πλέον κατέχει το ρεκόρ του μεγαλύτερου γνωστού πρώτου αριθμού. Έχει πάνω από 16 εκατομμύρια ψηφία περισσότερα από τον "προκάτοχό" του, τον αριθμό Μ82589933. Να σημειωθεί ότι δεν είναι γνωστό αν μεταξύ των δύο αυτών πρώτων αριθμών δεν υπάρχει και άλλος πρώτος. Και οι δύο αυτοί πρώτοι αριθμοί είναι αριθμοί Mersenne, μια ειδική κατηγορία πρώτων αριθμών που ονομάστηκαν έτσι από τον Γάλλο μοναχό Marin Mersenne και για τους οποίους θα μιλήσουμε αναλυτικά σε μελλοντική ανάρτηση.

Ο νέος μεγαλύτερος πρώτος αριθμός ανακαλύφθηκε πρόσφατα από έναν ερασιτέχνη ερευνητή, ονόματι Luke Durant, ο οποίος χρησιμοποίησε ελεύθερο λογισμικό σε ένα δίκτυο υπολογιστών σε 17 χώρες. Μάλιστα, ο Durant δήλωσε πως η Τεχνητή Νοημοσύνη δεν πρόκειται να ανακαλύψει τον επόμενο πρώτο αριθμό...

Πηγή: LiveScience | Which is the largest known prime number? 24/10/2024

Πρώτοι και σύνθετοι αριθμοί: Το κόσκινο του Ερατοσθένη και μια απόδειξη του Ευκλείδη

 

Πρώτος καλείται ένας φυσικός αριθμός που διαιρείται μόνο με το 1 και τον εαυτό του. Για παράδειγμα οι αριθμοί 2, 3, 11, 17 είναι πρώτοι. Ένας αριθμός που δεν είναι πρώτος καλείται σύνθετος. Για παράδειγμα, ο αριθμός 9 είναι σύνθετος, αφού εκτός της μονάδας και του εαυτού του έχει διαιρέτη και το 3.

Επειδή το 1 έχει μόνο έναν διαιρέτη (το 1, που είναι και ο εαυτός του), δεν είναι ούτε πρώτος ούτε σύνθετος αριθμός. Το 2 είναι ο μοναδικός άρτιος πρώτος, ενώ όλοι οι υπόλοιποι πρώτοι αριθμοί είναι περιττοί.

Μπορούμε να βρούμε όλους τους πρώτους αριθμούς με ένα «κόσκινο»: Το κόσκινο του Ερατοσθένη κρατάει όλους τους σύνθετους αριθμούς και αφήνει να περάσουν όλοι οι πρώτοι.

Το κόσκινο του Ερατοσθένη: Από το βιβλίο Μαθηματικών της Α΄ Γυμνασίου, εκδόσεις Διόφαντος, 2023

Για να βρούμε τους πρώτους αριθμούς, εργαζόμαστε ως εξής:

1. Αφήνουμε απέξω το 1 (είπαμε: δεν είναι ούτε πρώτος, ούτε σύνθετος).

2. Παίρνουμε τον επόμενο αριθμό (το 2). Τον κρατάμε και σβήνουμε όλα τα πολλαπλάσιά του.

3. Παίρνουμε τον επόμενο άσβηστο αριθμό (το 3).
Τον κρατάμε και σβήνουμε όλα τα πολλαπλάσιά του (όσα δεν έχουν σβηστεί από πριν, ως πολλαπλάσια του 2).

​4. Παίρνουμε τον επόμενο άσβηστο αριθμό (το 5).
Τον κρατάμε και σβήνουμε όλα τα πολλαπλάσιά του (όσα έχουν σβηστεί από πριν).

5. Παίρνουμε τον επόμενο αριθμό που έμεινε (το 7).
Τον κρατάμε και σβήνουμε όλα τα πολλαπλάσιά του (όσα δεν είναι σβησμένα από πριν).

Με τον ίδιο τρόπο συνεχίζουμε για πάντα (αφού οι αριθμοί δεν τελειώνουν ποτέ)!

 

Αν όμως θέλουμε να βρούμε τους πρώτους αριθμούς μέχρι το 120 (όπως κάνουμε τώρα), δεν χρειάζεται να προχωρήσουμε παραπάνω από το 7, αφού...
​
...οι αριθμοί που έχουν μείνει, (αυτοί που είναι μέσα στα κυκλάκια) είναι οι πρώτοι αριθμοί.

 

Οι πρώτοι αριθμοί μέχρι το 120 δίνονται παρακάτω:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113.

Γεννάται λοιπόν το ερώτημα: Πόσοι είναι οι πρώτοι αριθμοί; Την απάντηση έδωσε ο Ευκλείδης στα "Στοιχεία" του (Πρόταση ΙΧ.20) αποδεικνύοντας ότι το πλήθος τους είναι άπειρο. Η απόδειξη παραφράζεται εδώ και είναι η εξής:

Εξετάστε οποιαδήποτε πεπερασμένη λίστα πρώτων αριθμών p1, p2 , ... , pn. Θα αποδειχθεί, ότι υπάρχει τουλάχιστον ένας πρόσθετος πρώτος αριθμός, που δεν υπάρχει στη λίστα. Έστω P το γινόμενο όλων των πρώτων αριθμών στη λίστα, δηλ. 

P =p1 · p2 ·  ... ·  pn 

 Ας είναι q = P + 1. Τότε ο q είναι είτε πρώτος ή όχι:

• Εάν ο q είναι πρώτος, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένας ακόμη πρώτος, που δεν περιλαμβάνεται στη λίστα.
• Εάν ο q δεν είναι πρώτος, τότε κάποιος πρώτος παράγοντας p διαιρεί τον q. Εάν αυτός ο παράγοντας p ήταν στη λίστα μας, τότε θα διαιρούσε το P (αφού το P είναι το γινόμενο κάθε αριθμού στη λίστα). Αλλά ο p διαιρεί επίσης το P + 1 = q, όπως μόλις αναφέρθηκε. Εάν ο p διαιρεί το P και το q, τότε το p πρέπει επίσης να διαιρεί τη διαφορά των δύο αριθμών, που είναι  (P + 1) - P = 1. Δεδομένου ότι κανένας πρώτος αριθμός δεν διαιρεί το 1, ο p δεν μπορεί να είναι στη λίστα. Αυτό σημαίνει, ότι υπάρχει τουλάχιστον ένας ακόμη πρώτος αριθμός πέραν εκείνων της λίστας.

Αυτό αποδεικνύει ότι για κάθε πεπερασμένη λίστα πρώτων αριθμών, υπάρχει ένας πρώτος αριθμός, που δεν βρίσκεται στη λίστα. Άρα οι πρώτοι αριθμοί είναι άπειροι σε πλήθος.

Η απόδειξη αυτή του Ευκλείδη θεωρείται από τις κομψότερες αποδείξεις στην ιστορία των μαθηματικών.

 

Ένα κομμάτι παπύρου των Στοιχείων του Ευκλείδη, που χρονολογείται περίπου στο 75-125 μ.Χ.

Πηγές: 

Σημειώσεις Θεωρίας Αριθμών, Α. Θωμά, Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων

Wikipedia.org

Όταν ο 8χρονος Terence Tao εντόπιζε τέλειους αριθμούς με χρήση Basic...

 

Αυτή ήταν η πρώτη εργασία που δημοσίευσε το 1983 ο ιδιοφυής μαθηματικός Terence Tao (Μετάλλιο Fields, 2006), σε ηλικία μόλις 8 ετών!

Στην εργασία αυτή, αναπτύσσει έναν κώδικα σε Basic, ο οποίος εντοπίζει τέλειους αριθμούς.

Τέλειος λέγεται ένας φυσικός αριθμός ν, όταν το άθροισμα των διαιρετών του, εκτός του ν, ισούται με τον αριθμό ν. 

Ο μικρότερος τέλειος αριθμός είναι το 6. Οι διαιρέτες του 6 (εκτός από τον εαυτό του) είναι οι 1, 2, 3.

Το άθροισμα αυτών είναι 1 + 2 + 3 = 6.

Άλλοι τέλειοι αριθμοί είναι οι:

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248

Ο Ευκλείδης ανακάλυψε ότι οι τέσσερις πρώτοι τέλειοι αριθμοί παράγονται από τον τύπο \(2^{n-1} (2^n -1) \), όπου \(n=2, 3, 5, 7\).

Πράγματι:

Για \(n=2\) είναι: \(2^1(2^2-1) = 6 \)

Για \(n=3\) είναι: \( 2^2(2^3-1) = 28 \)

Για \(n=5\) είναι: \(2^4(2^5-1) = 496\)

Για \(n=7\) είναι: \( 2^6(2^7-1) = 8128\)

Αποδεικνύεται εύκολα ότι αν ο  \(2^n -1 \) είναι πρώτος, τότε και ο  \(n\) είναι πρώτος. (Το αντίστροφο ΔΕΝ ισχύει!)

Παρατηρώντας ότι τα \(n=2, 3, 5, 7\) στον παραπάνω τύπο είναι πρώτοι αριθμοί, ο Ευκλείδης, στο βιβλίο του "Στοιχεία", απέδειξε ότι αν ο \(2^n -1 \) είναι πρώτος, τότε ο αριθμός \(2^{n-1} (2^n -1) \) είναι τέλειος. O Ευκλείδης, λοιπόν, τεκμηρίωσε μια ικανή συνθήκη για να είναι ένας αριθμός τέλειος.  Έτσι, για την εύρεση τέλειων αριθμών αρκεί η εύρεση πρώτων αριθμών της μορφής \(p=2^n-1 \). Δεν ισχυρίστηκε όμως πουθενά ότι αυτή η συνθήκη ήταν επίσης αναγκαία -δηλαδή ότι αν ένας αριθμός είναι τέλειος, τότε θα πρέπει να έχει την παραπάνω μορφή.

Σχεδόν είκοσι αιώνες μετά τον Ευκλείδη, ο Euler απέδειξε ότι ο τύπος  \(2^{n-1} (2^n -1) \) μας δίνει όλους τους άρτιους τέλειους αριθμούς. Δηλαδή ένας άρτιος τέλειος αριθμός έχει τη μορφή \(2^{n-1} (2^n -1) \), όπου ο \(2^n -1\) είναι πρώτος. Το αποτέλεσμα αυτό είναι γνωστό ως το Θεώρημα Ευκλείδη-Euler.

Είναι άγνωστο μέχρι σήμερα αν υπάρχουν περιττοί τέλειοι αριθμοί. Ο υπολογισμός τέλειων αριθμών είναι αρκετά δύσκολος, αν αναλογιστεί κανείς ότι ως το 2016 υπήρχαν 49 γνωστοί τέλειοι αριθμοί.

 

Ο τότε πιτσιρικάς Terence Tao βασίστηκε στο θεώρημα που είχε αποδείξει ο Ευκλείδης και σχεδίασε την εύρεση πρώτων αριθμών της μορφής \(p=2^n-1 \), με σκοπό τη δημιουργία τέλειων αριθμών. Διαβάστε την εργασία του Terence Tao στο Fermat's Library πατώντας εδώ... 

"Ο θείος Πέτρος και η Εικασία του Γκόλντμπαχ"

Ο θείος Πέτρος είναι ένα αίνιγμα. Οι πρεσβύτεροι της οικογενείας Παπαχρήστου τον απορρίπτουν ως "αποτυχημένο της ζωής". Ώσπου ο αφηγητής-ανιψιός του ανακαλύπτει ότι ήταν κάποτε φημισμένος μαθηματικός, τόσο ιδιοφυής και παράτολμος ώστε να αφιερώσει τη ζωή του στην περιβόητη "Εικασία του Γκόλντμπαχ", ένα από τα παλιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών που προσπαθούσαν εις μάτην να επιλύσουν γενεές μαθηματικών και που, μέχρι και σήμερα, παραμένει άλυτο... 

Συγκεκριμένα, η Εικασία του Γκόλντμπαχ εκφράζει ότι κάθε άρτιος θετικός ακέραιος αριθμός, μεγαλύτερος του 2, μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα δύο πρώτων αριθμών. Για παράδειγμα:

4 = 2 + 2

6 = 3 + 3

8 = 3 + 5

10 = 3 + 7 ή 10 = 5 + 5

12 = 5 + 7

14 = 3 + 11 ή 14 = 7 + 7

... κλπ ...

Εικάζεται, λοιπόν ότι η παραπάνω πρόταση (μάλλον) ισχύει. Πατώντας εδώ, μπορείτε να επιβεβαιώσετε την Εικασία του Γκόλντμπαχ για οποιονδήποτε άρτιο θετικό ακέραιο σκεφτείτε. Ωστόσο, δεν είναι ένα θεώρημα, γιατί δεν έχει -ακόμη- αποδειχθεί ότι ισχύει ΓΙΑ ΚΑΘΕ άρτιο θετικό ακέραιο. Έτσι, παραμένει μια εικασία...

Το μυθιστόρημα του Απόστολου Δοξιάδη "Ο θείος Πέτρος και η Εικασία του Γκόλντμπαχ", που πρωτοεκδόθηκε το 1992, σε ταξιδεύει στον κόσμο των σύγχρονων Μαθηματικών και αποτελεί ένα από τα πλέον κλασικά έργα μαθηματικής λογοτεχνίας. Το προτείνω σε όσους τρέφουν έστω και μια μικρή συμπάθεια απέναντι στα Μαθηματικά!

Μαγικά μαθηματικά: Οι ακέραιοι

Σας προσκαλώ σε ένα παιχνίδι όπου ο νικητής κερδίζει ένα βραβείο. Διαλέξτε κάποιον τριψήφιο αριθμό και γράψτε τον δύο φορές διαδοχικά, σχηματίζοντας έναν καινούργιο, εξαψήφιο αριθμό. Αν έχετε επιλέξει π.χ. το 761, τότε σημειώστε στο χαρτί 761.761. Το παιχνίδι ξεκινάει: Διαιρέστε τον εξαψήφιο αριθμό με το 7. Το υπόλοιπο της διαίρεσης θα είναι ο τυχερός σας αριθμός και κερδίζετε χαρτονομίσματα των 100€, σε πλήθος όσο δείχνει ο τυχερός σας αριθμός! Το υπόλοιπο σίγουρα θα είναι κάποιος από τους αριθμούς 0, 1, 2, 3, 4, 5 ή 6. Μόνο αυτοί μπορούν να είναι υπόλοιπα μιας διαίρεσης δια του 7. Ο νικητής λοιπόν κερδίζει μέχρι και 600€!!!

Μήπως κατά τύχη ο τυχερός σας αριθμός βγήκε το 0; Τότε έχετε καλή παρέα... Το ίδιο έτυχε σε όλους τους συμπαίκτες σας!

Η εξήγηση αυτού του φαινομένου βρίσκεται σε μια καλά κρυμμένη ιδιότητα των ακεραίων. Συγκεκριμένα, ο σχηματισμός ενός εξαψήφιου αριθμού με τοποθέτηση ενός τριψήφιου δίπλα στον εαυτό του ισοδυναμεί με τον πολλαπλασιασμό του τριψήφιου επί 1.001. Και επειδή το 1.001 διαιρείται με το 7, ο εξαψήφιος αριθμός που φτιάχνουμε επίσης διαιρείται με το 7.

Αυτή η ιδέα μπορεί φυσικά να πάρει τη μορφή ενός μαγικού τεχνάσματος για επίδειξη σε κάποια φιλική παρέα: Τα χαρτονομίσματα των 100€ μπορούν να αντικατασταθούν από πρόβλεψη του υπολοίπου.

Εξάλλου, στον κόσμο των μαγικών τεχνασμάτων εμφανίζονται πολύ συχνά μαθηματικά δεδομένα. Αρκεί να βρει κανείς κάποια μαθηματικά αποτελέσματα που αντιβαίνουν προς την καθημερινή εμπειρία και των οποίων η εξήγηση είναι κρυμμένη στα βάθη κάποιας θεωρίας.

Ακόμη μια συμβουλή: Για τα μαγικά τεχνάσματα ισχύει ό,τι και για τα αρώματα - η συσκευασία είναι εξίσου σημαντική με το περιεχόμενο. Στην επίδειξή μας δεν πρέπει να αναφερθεί τίποτα για τον πολλαπλασιασμό του τριψήφιου αριθμού επί 1.001. Το γινόμενο ισούται, βέβαια, με τον αριθμό που προκύπτει αν βάλουμε τον τριψήφιο δίπλα στον εαυτό του. Αν, όμως, αυτό αποκαλυφθεί, πάει, χάθηκε η μαγεία...

Πηγή:

E. Behrends (2018). Μαθηματικά Πεντάλεπτα: 100 Μικρές Ιστορίες από τον Κόσμο των Μαθηματικών. Ηράκλειο: Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης

Μια νέα σταθερά: 2,920050977316...

 

Ο δρ. James Grime μας εξηγεί τη νέα... αγαπημένη του σταθερά, με τη βοήθεια της οποίας παράγονται οι πρώτοι αριθμοί. Η σταθερά αυτή είναι ο άρρητος αριθμός 

2,920050977316...

και ο τύπος που παράγει τους πρώτους αριθμούς δίνεται από την παρακάτω ακολουθία αρρήτων:

Το ακέραιο μέρος κάθε αριθμού αυτής της ακολουθίας δίνει και έναν πρώτο αριθμό!

Δείτε το βίντεο του Numberphile για περισσότερες λεπτομέρειες:

Βαμπιρικοί... αριθμοί!

Τι σχέση έχουν τα βαμπίρ με τα μαθηματικά;

Το 1994, ο C. A. Pickover της IBM όρισε τους βαμπιρικούς αριθμούς ως εξής:
Έστω n ένας φυσικός αριθμός με 2κ ψηφία (δηλαδή με άρτιο πλήθος ψηφίων). Ο n λέγεται "βαμπιρικός αριθμός" αν και μόνο αν υπάρχουν δύο φυσικοί αριθμοί a και b, ο καθένας με κ ψηφία, τέτοιοι ώστε:
n = a ⋅ b,
τα τελευταία ψηφία του a και του b να μην είναι και τα δύο 0
και τα ψηφία του n να είναι ακριβώς τα ψηφία των a και b μαζί, με μια οποιαδήποτε μετάθεση (δηλαδή αναδιάταξη).
Οι δύο αριθμοί a και b λέγονται "κυνόδοντες" (!) του n.

Για παράδειγμα:
1260 = 21 ⋅ 60

      ↑            ↑          ↑
βαμπιρικός      κυνόδοντες

 αριθμός                         

Βλέπουμε ότι τα ψηφία των αριθμών 21 και 60, με μια αναδιάταξη δίνουν τα ψηφία του 1260.

Υπάρχουν άπειρα τέτοια παραδείγματα βαμπιρικών αριθμών, όπως:
1395 = 15 ⋅ 93
1435 = 35 ⋅ 41
1530 = 30 ⋅ 51
1827 = 21 ⋅ 87

2187 = 21 ⋅ 87
6880 = 80 ⋅ 86

Οι βαμπιρικοί αριθμοί είναι:

1260, 1395, 1435, 1530, 1827, 2187, 6880, 102510, 104260, 105210, 105264, 105750, 108135, 110758, 115672, 116725, 117067, 118440, 120600, 123354, 124483, 125248, 125433, 125460, 125500, ...

Κάντε κλικ εδώ για να δείτε τη λίστα των 10.000 πρώτων βαμπιρικών αριθμών

Επιπλέον, υπάρχουν βαμπιρικοί αριθμοί με διπλά (ή και πολλαπλά) ζεύγη "κυνόδοντων":
125460 = 204 ⋅ 615
             = 246 ⋅ 510

Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι βαμπιρικοί αριθμοί που είναι πρώτοι αριθμοί, με τους "κυνόδοντες" να είναι επίσης πρώτοι αριθμοί:
117067 = 167 ⋅ 701

Οι πρώτοι βαμπιρικοί αριθμοί ορίστηκαν από τον C. Rivera το 2002.

Είναι γνωστό ότι οι αριθμοί που γράφονται ως γινόμενο δύο πρώτων αριθμών εφαρμόζονται κατά κόρον στην Κρυπτογραφία. Αν επιπλέον αυτοί είναι και βαμπιρικοί αριθμοί, τότε ανοίγει ένας νέος τομέας για έρευνα στη Θεωρία Αριθμών!

Πηγές και αναφορές:

C. A. Pickover, "Vampire Numbers." Ch. 30 in Keys to Infinity. New York: Wiley, pp. 227-231, 1995.

Πανεπιστημιακές σημειώσεις "Εφαρμογές της Θεωρίας Αριθμών στην Κρυπτογραφία" καθηγητή Α. Φυραρίδη, 2009.
The On-Line encyclopedia of Integer Sequences

Wikipedia.org/Vampire_number
Wolfram Mathworld: Vampire Number

YouTube: Numberphile - Vampire Numbers

Πώς προέκυψαν τα Κριτήρια Διαιρετότητας σύνθετων αριθμών;

Διαβάσαμε στα Κριτήρια Διαιρετότητας των αριθμών από το 1 ως το 18 και των αριθμών από το 19 ως το 32 πώς ελέγχουμε αν ένας αριθμός διαιρείται με καθέναν από τους αριθμούς 1 έως και 32. Για αρκετούς από αυτούς τους αριθμούς, το κριτήριο διαιρετότητας προέκυψε άμεσα και αβίαστα, καθώς από πίσω "κρύβεται" το παρακάτω θεώρημα της Θεωρίας Αριθμών, μαζί με το πόρισμά του:

Θεώρημα

Αν Μ.Κ.Δ.(b,c)=1, τότε Μ.Κ.Δ.(a,bc) = Μ.Κ.Δ.(a,b)*Μ.Κ.Δ.(a,c)

Πόρισμα
Αν οι αριθμοί b και c, με Μ.Κ.Δ.(b,c)=1, διαιρούν τον a, τότε και  το γινόμενό τους bc διαιρεί επίσης τον a.

Δηλαδή, αν ένας αριθμός a διαιρείται από δύο αριθμούς b και c οι οποίοι είναι πρώτοι μεταξύ τους, τότε διαιρείται και από το γινόμενο των b και c.

Σελίδα από το χειρόγραφο βιβλίο του Φυραρίδη Ανέστη (1998), Θεωρία Αριθμών, Πανεπιστημιακό Τυπογραφείο Ιωαννίνων (Επανέκδοση 2007)

Το παραπάνω πόρισμα γενικεύεται και για περισσότερους από δύο αριθμούς:

Αν οι ακέραιοι b₁, b₂, ... b_n είναι πρώτοι μεταξύ τους ανά δύο και ο καθένας τους διαιρεί τον a, τότε και το γινόμενό τους  

b₁b₂…b_n  

διαιρεί επίσης τον a.   


Από το παραπάνω πόρισμα προκύπτει ένα σημαντικό και εύχρηστο Κριτήριο Διαιρετότητας για σύνθετους αριθμούς. Αρκεί ο σύνθετος αριθμός να μπορεί να γραφεί ως γινόμενο δύο ή περισσότερων αριθμών που είναι πρώτοι μεταξύ τους ανά δύο.


Παραδείγματα

1. Είδαμε εδώ ότι ένας αριθμός διαιρείται με το 6 αν διαιρείται ταυτόχρονα με το 2 και το 3. Αυτό ισχύει σύμφωνα με το παραπάνω πόρισμα, αφού 6 = 2*3 και Μ.Κ.Δ.(2,3)=1.

2. Για να εξετάσουμε αν ένας αριθμός διαιρείται με το 12, αρκεί να εξετάσουμε αν διαιρείται ταυτόχρονα με το 3 και το 4. Αυτό ισχύει σύμφωνα με το παραπάνω πόρισμα, αφού 12 = 3*4 και Μ.Κ.Δ.(3,4)=1.
Προσοχή! Για να εξετάσουμε αν ένας αριθμός διαιρείται με το 12, γράφουμε το 12 ως 12 = 3*4 γιατί οι αριθμοί 3 και 4 είναι πρώτοι μεταξύ τους και όχι 12 = 2*6, αφού οι αριθμοί 2 και 6 δεν είναι πρώτοι μεταξύ τους. Για παράδειγμα, ο αριθμός 18 διαιρείται ταυτόχρονα από το 2 και από το 6. Δεν διαιρείται όμως και από το 12.

3. Είδαμε εδώ ότι ένας αριθμός διαιρείται με το 30 αν διαιρείται ταυτόχρονα με το 3 και το 10, δηλαδή αν τελειώνει σε 0 και το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 3. Αυτό επίσης βασίζεται στο ανωτέρω πόρισμα, καθώς 30=3*10 και Μ.Κ.Δ.(3,10)=1. Εναλλακτικά, θα μπορούσαμε να πούμε ότι 30=5*6 και Μ.Κ.Δ.(5,6)=1. Επομένως, για να εξετάσουμε αν ένας αριθμός διαιρείται με το 30, αρκεί να εξετάσουμε αν διαιρείται ταυτόχρονα με το 5 και το 6. Ο έλεγχος αυτός όμως θα ήταν λίγο πιο χρονοβόρος, μιας και το κριτήριο διαιρετότητας του 6 απαιτεί να ελέγξουμε αν ο αριθμός διαιρείται ταυτόχρονα με το 2 και το 3.

Και δηλαδή αυτό το πόρισμα μας έχει λύσει τα χέρια; Ισχύει για κάθε σύνθετο αριθμό;

• Για το 8, το 16, το 27 ή το 32 δεν μπορεί να εφαρμοστεί αυτή η μέθοδος, αφού κανένας τους δεν μπορεί να γραφεί ως γινόμενο δύο ή περισσότερων αριθμών που είναι πρώτοι μεταξύ τους ανά δύο. Για την εύρεση των Κριτηρίων Διαιρετότητας των αριθμών αυτών, ακολουθήθηκε άλλο μονοπάτι...

Κριτήρια Διαιρετότητας για τους αριθμούς από το 19 ως το 32!

Για να εξετάσουμε αν ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 19:

1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του αριθμού.

2. Στον αριθμό που προκύπτει προσθέτουμε 2 φορές το διαγραμμένο ψηφίο.

3. Αν το αποτέλεσμα (συμπεριλαμβανομένου του 0) διαιρείται με το 19, τότε και ο αρχικός αριθμός θα διαιρείται με το 19.

4. Αν δεν μπορούμε να αποφασίσουμε, επαναλαμβάνουμε τα τρία προηγούμενα βήματα μέχρι να προκύψει διψήφιος αριθμός. 

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 11.343
1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο, δηλαδή το 3 και μένει ο αριθμός 1.134.

2. Στο 1.134 προσθέτουμε το διπλάσιο του 3, δηλαδή το 6:
1.134 + 2*3 = 1.134 + 6 = 1.140
3. Επειδή δεν μπορούμε να κρίνουμε αν ο αριθμός 1.140 διαιρείται με το 19, επαναλαμβάνουμε τα προηγούμενα βήματα:

1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του 1.140, δηλαδή το 0 και μένει ο αριθμός 114.
2. Στο 114 προσθέτουμε το διπλάσιο του 0, δηλαδή το 0:
114 + 2*0 = 114

3. Επαναλαμβάνουμε:

1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του 114 και μένει ο αριθμός 11.
2. Στο 11 προσθέτουμε το διπλάσιο του 4:
11 + 2*4 = 11 + 8 = 19
3. Το 19 διαιρείται με το 19, επομένως και ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 19.

Ένας ακέραιος αριθμός θα διαιρείται με το 20:

-Αν διαιρείται ταυτόχρονα και με το 4 και με το 5,

ή, συνδυάζοντας τα κριτήρια διαιρετότητας του 4 και του 5:
-Αν το τελευταίο του ψηφίο είναι 0 ή 5 και τα  τελευταία δύο ψηφία του σχηματίζουν διψήφιο αριθμό που διαιρείται με το 4.

π.χ. Ο αριθμός  1.360 διαιρείται με το 20, γιατί:
-διαιρείται με το 4, αφού τελειώνει σε 60 και το 60 διαιρείται με το 4
και
-διαιρείται με το 5, αφού τελειώνει σε 0.

Ένας ακέραιος αριθμός θα διαιρείται με το 21:

Αν διαιρείται ταυτόχρονα και με το 3 και με το 7,

δηλαδή αν ικανοποιεί ταυτόχρονα τα κριτήρια διαιρετότητας του 3 και του 7.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 273. 
-Διαιρείται με το 3, αφού το άθροισμα των ψηφίων του είναι 2 + 7 + 3 = 12 και το 12 διαιρείται με το 3.
-Διαιρείται με το 7. Πράγματι, 27 - 2*3 = 21 και το 21 διαιρείται με το 7.
Οπότε ο αριθμός 273 διαιρείται με το 21.

Ένας ακέραιος αριθμός θα διαιρείται με το 22:

Αν διαιρείται ταυτόχρονα και με το 2 και με το 11,

δηλαδή αν ικανοποιεί ταυτόχρονα τα κριτήρια διαιρετότητας του 2 και του 11.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 1.166.
-Διαιρείται με το 2, αφού τελειώνει σε 6, είναι δηλαδή άρτιος αριθμός.
-Διαιρείται με το 11. 
Πράγματι, το άθροισμα των ψηφίων που βρίσκονται στις περιττές θέσεις είναι 1 + 6 = 7.
Το άθροισμα των ψηφίων που βρίσκονται στις περιττές θέσεις είναι 1 + 6 = 7.
Η διαφορά των δύο αθροισμάτων είναι 7 - 7 = 0.
Σύμφωνα με το κριτήριο διαιρετότητας του 11, ο αριθμός 1.166 διαιρείται με το 11.
Άρα τελικά ο αριθμός 1.166 διαιρείται με το 22.

Για να εξετάσουμε αν ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 23:
1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του αριθμού.
2. Στον αριθμό που προκύπτει προσθέτουμε 7 φορές το διαγραμμένο ψηφίο.

3. Επαναλαμβάνουμε τα δύο προηγούμενα βήματα, μέχρι να προκύψει διψήφιος αριθμός.
4. Αν ο αριθμός που προκύπτει διαιρείται με το 23 (δηλαδή αν προκύψει 23, 46, 69 ή 92), τότε και ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 23.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 35.949. 
1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο, δηλαδή το 9 και μένει ο αριθμός 3.594.
2. Στο 3.594 προσθέτουμε το επταπλάσιο του 9:
3.594 + 7*9 = 3.594 + 63 = 3.657
3. Επαναλαμβάνουμε τα δύο προηγούμενα βήματα:

1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο, δηλαδή το 7 και μένει ο αριθμός 365.
2. Στο 365 προσθέτουμε το επταπλάσιο του 7:
365 + 7*7 = 365 + 49 = 414
3. Επαναλαμβάνουμε τα δύο προηγούμενα βήματα:

1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο, δηλαδή το 4 και μένει ο αριθμός 41.
2. Στο 41 προσθέτουμε το επταπλάσιο του 4:

41 + 7*4 = 41 + 28 = 69
3. Το 69 διαιρείται με το 23, άρα και ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 23.

Ένας ακέραιος αριθμός θα διαιρείται με το 24:

Αν διαιρείται ταυτόχρονα και με το 3 και με το 8,

δηλαδή αν ικανοποιεί ταυτόχρονα τα κριτήρια διαιρετότητας του 3 και του 8.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 768.
-Διαιρείται με το 3, αφού το άθροισμα των ψηφίων του είναι 7 + 6 + 8 = 21 και το 21 διαιρείται με το 3.
-Διαιρείται με το 8, αφού το ψηφίο των εκατοντάδων (7) είναι περιττός αριθμός και τα τελευταία δύο ψηφία συν 4, σχηματίζουν τον αριθμό 68 + 4 = 72, ο οποίος διαιρείται με το 8.

Ένας ακέραιος αριθμός θα διαιρείται με το 25, αν τα τελευταία δύο ψηφία του σχηματίζουν διψήφιο αριθμό που διαιρείται με το 25,
δηλαδή αν τα δύο τελευταία ψηφία του είναι:
00 ή 25 ή 50 ή 75.

π.χ. Ο αριθμός 12.600 διαιρείται με το 25, αφού τελειώνει σε 00.

Ένας ακέραιος αριθμός θα διαιρείται με το 24,

αν διαιρείται ταυτόχρονα και με το 2 και με το 13,

δηλαδή αν ικανοποιεί ταυτόχρονα τα κριτήρια διαιρετότητας του 2 και του 13.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 832.
-Διαιρείται με το 2, αφού τελειώνει σε 2, είναι δηλαδή άρτιος αριθμός.
-Διαιρείται με το 13.
Πράγματι, 83 - 9*2 = 83 - 18 = 65 και το 65 διαιρείται με το 13.
Άρα ο αριθμός 832 διαιρείται με το 26.

Για να κρίνουμε αν ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 27, αρχικά εξετάζουμε το πλήθος των ψηφίων του. 

1η περίπτωση: Αν ο αριθμός είναι τριψήφιος, τότε:
1. Διαγράφουμε  το ψηφίο των εκατοντάδων (το πρώτο ψηφίο).
2. Από τον διψήφιο αριθμό που μένει, αφαιρούμε το 8πλάσιο του ψηφίου που έχουμε διαγράψει.
3. Αν ο αριθμός που προκύψει διαιρείται με το 27 (συμπεριλαμβανομένων του 0 αλλά και αρνητικών αριθμών), τότε και ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 27.

2η περίπτωση: Αν ο αριθμός έχει τουλάχιστον 4 ψηφία, τότε:
1. Διαγράφουμε τα τελευταία τρία ψηφία του, τα οποία αποτελούν έναν τριψήφιο αριθμό.
2. Στον αριθμό που μένει, προσθέτουμε τον τριψήφιο αριθμό από το βήμα 1.
3. Το άθροισμα σαφώς θα είναι ένας αριθμός μικρότερος από τον αρχικό. Συνεχίζουμε τα βήματα 1 και 2, μέχρι να προκύψει τριψήφιος αριθμός.
4. Ακολουθούμε τα βήματα όπως περιγράφονται στην 1η περίπτωση.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 1.242
Είναι 4ψήφιος, άρα ακολουθούμε τα βήματα της 2ης περίπτωσης:

1. Διαγράφουμε τα τελευταία τρία ψηφία του, δηλαδή τον αριθμό 242.
2. Στον αριθμό που έμεινε, δηλαδή το 1, προσθέτουμε το 242.
1 + 242 = 243.
3. Προέκυψε 3ψήφιος αριθμός, άρα ακολουθούμε τα βήματα της 1ης περίπτωσης:

1. Από τον αριθμό 243, διαγράφουμε το ψηφίο των εκατοντάδων, δηλαδή το 2.
2. Από τον αριθμό που μένει, δηλαδή το 43, αφαιρούμε το 8πλάσιο του 2:
43 - 8*2 = 43 - 16 = 27
3. Προκύπτει ο αριθμός 27, ο οποίος προφανώς διαιρείται με το 27. Άρα και ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 27.

Ένας ακέραιος αριθμός θα διαιρείται με το 28,

αν διαιρείται ταυτόχρονα και με το 4 και με το 7,

δηλαδή αν ικανοποιεί ταυτόχρονα τα κριτήρια διαιρετότητας του 4 και του 7.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 224.
-Διαιρείται με το 4, αφού τα δύο τελευταία ψηφία του σχηματίζουν τον αριθμό 24, ο οποίος διαιρείται με το 4.
-Διαιρείται με το 7. Πράγματι:
22 - 2*4 = 22 - 8 = 14
Το 14 διαιρείται με το 7, άρα και ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 7.
Οπότε διαιρείται και με το 28.

Για να εξετάσουμε αν ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 29:
1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του αριθμού.
2. Στον αριθμό που προκύπτει προσθέτουμε 3 φορές το διαγραμμένο ψηφίο.

3. Επαναλαμβάνουμε τα δύο προηγούμενα βήματα, μέχρι να προκύψει διψήφιος αριθμός.
4. Αν ο αριθμός που προκύπτει διαιρείται με το 29, τότε και ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 29.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 1.914. 
1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο, δηλαδή το 4 και μένει ο αριθμός 191.
2. Στο 191 προσθέτουμε το τριπλάσιο του 4:
191 + 3*4 = 191 + 12 = 203

3. Επαναλαμβάνουμε για τον αριθμό 203 τα δύο προηγούμενα βήματα:

1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο, δηλαδή το 3 και μένει ο αριθμός 20.
2. Στο 20 προσθέτουμε το τριπλάσιο του 3:
20 + 3*3 = 20 + 9 = 29

3. Το 29 προφανώς διαιρείται με το 29, άρα και ο αρχικός αριθμός, το 1.914 διαιρείται με το 29.

Ένας ακέραιος αριθμός θα διαιρείται με το 30
αν το τελευταίο του ψηφίο είναι το 0 και το άθροισμα των ψηφίων του είναι αριθμός που διαιρείται με το 3

(δηλαδή αν διαιρείται ταυτόχρονα και με το 3 και με το 10).

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 1.950.
-Το τελευταίο του ψηφίο είναι το 0, δηλαδή διαιρείται με το 10.
-Το άθροισμα των ψηφίων του είναι 
1 + 9 + 5 + 0 = 15
και το 15 διαιρείται με το 3, άρα ο αριθμός 1.950 διαιρείται με το 3.
Επομένως ο αριθμός 1.950 διαιρείται με το 30.

Για να εξετάσουμε αν ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 31:
1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του αριθμού.
2. Από τον αριθμό που προκύπτει αφαιρούμε 3 φορές το διαγραμμένο ψηφίο.

3. Επαναλαμβάνουμε τα δύο προηγούμενα βήματα, μέχρι να προκύψει διψήφιος αριθμός.
4. Αν ο αριθμός που προκύπτει διαιρείται με το 31, τότε και ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 31.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 775.
1. Διαγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του 775, δηλαδή το 5 και μένει ο αριθμός 77.
2. Από το 77 αφαιρούμε το τριπλάσιο του 5:
77 - 3*5 = 77 - 15 = 62
3. Το 62 διαιρείται με το 31, άρα και ο αρχικός αριθμός, το 775 διαιρείται με το 31.

Για να εξετάσουμε αν ένας ακέραιος αριθμός διαιρείται με το 32:

-Αν ο αριθμός έχει περισσότερα από 5 ψηφία, τότε: Ο αριθμός διαιρείται με το 32 αν τα τελευταία 5 ψηφία του σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 32. 

-Και πώς θα ελέγξουμε αν ένας πενταψήφιος αριθμός διαιρείται με το 32;;;

• Αν το ψηφίο στη θέση των Δεκάδων Χιλιάδων (το πρώτο ψηφίο) είναι άρτιος αριθμός, αρκεί να ελέγξουμε αν τα τελευταία τέσσερα ψηφία σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 32.
• Αν το ψηφίο στη θέση των Δεκάδων Χιλιάδων (το πρώτο ψηφίο) είναι περιττός αριθμός, αρκεί να ελέγξουμε αν τα τελευταία τέσσερα ψηφία του συν 16, σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 16.

-Μόλις προκύψει τριψήφιος ή τετραψήφιος αριθμός, για να ελέγξουμε αν διαιρείται με το 32, ακολουθούμε το εξής κριτήριο:

1. Απομονώνουμε τα δύο τελευταία ψηφία του αριθμού.

2. Προσθέτουμε τον διψήφιο αριθμό στο 4πλάσιο του αριθμού που απέμεινε.

3. Αν ο αριθμός που προκύψει διαιρείται με το 32, τότε και ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 32.

π.χ. Θεωρούμε τον αριθμό 1.088.256
-Αρκεί να απομονώσουμε τα τελευταία πέντε ψηφία του και να ελέγξουμε αν ο αριθμός 88.256 διαιρείται με το 32.

-Ελέγχουμε το ψηφίο στη θέση των Δεκάδων Χιλιάδων. Το 8 είναι άρτιος αριθμός, άρα αρκεί να ελέγξουμε αν τα τελευταία τέσσερα ψηφία του, δηλαδή ο αριθμός 8.256 διαιρείται με το 32.

-Από τον αριθμό 8.256 διαγράφουμε τα δύο τελευταία του ψηφία (το 56).
-Προσθέτουμε το 56 στο 4πλάσιο του αριθμού που απέμεινε, δηλαδή στο 4πλάσιο του 82:
4*82 + 56 = 384
Αρκεί να εξετάσουμε τώρα αν το 384 διαιρείται με το 32.

-Επαναλαμβάνουμε τα προηγούμενα βήματα:
-Από τον αριθμό 384 διαγράφουμε τα δύο τελευταία του ψηφία (το 84).
-Προσθέτουμε το 84 στο 4πλάσιο του αριθμού που απέμεινε, δηλαδή στο 4πλάσιο του 3:
4*3 + 84 = 96

-Το 96 διαιρείται με το 32 (είναι 96=3*32) άρα και ο αρχικός αριθμός, το 1.088.256 διαιρείται με το 32.