Όταν ο 8χρονος Terence Tao εντόπιζε τέλειους αριθμούς με χρήση Basic...

 

Αυτή ήταν η πρώτη εργασία που δημοσίευσε το 1983 ο ιδιοφυής μαθηματικός Terence Tao (Μετάλλιο Fields, 2006), σε ηλικία μόλις 8 ετών!

Στην εργασία αυτή, αναπτύσσει έναν κώδικα σε Basic, ο οποίος εντοπίζει τέλειους αριθμούς.

Τέλειος λέγεται ένας φυσικός αριθμός ν, όταν το άθροισμα των διαιρετών του, εκτός του ν, ισούται με τον αριθμό ν. 

Ο μικρότερος τέλειος αριθμός είναι το 6. Οι διαιρέτες του 6 (εκτός από τον εαυτό του) είναι οι 1, 2, 3.

Το άθροισμα αυτών είναι 1 + 2 + 3 = 6.

Άλλοι τέλειοι αριθμοί είναι οι:

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248

Ο Ευκλείδης ανακάλυψε ότι οι τέσσερις πρώτοι τέλειοι αριθμοί παράγονται από τον τύπο $2^{n-1}(2^n-1)$, όπου $n=2,3,5,7$.

Πράγματι:

Για $n=2$ είναι: $2^1(2^2-1)=6$

Για $n=3$ είναι: $2^2(2^3-1)=28$

Για $n=5$ είναι: $2^4(2^5-1)=496$

Για $n=7$ είναι: $2^6(2^7-1)=8128$

Αποδεικνύεται εύκολα ότι αν ο  $2^n-1$ είναι πρώτος, τότε και ο  $n$ είναι πρώτος. (Το αντίστροφο ΔΕΝ ισχύει!)

Παρατηρώντας ότι τα $n=2,3,5,7$ στον παραπάνω τύπο είναι πρώτοι αριθμοί, ο Ευκλείδης, στο βιβλίο του "Στοιχεία", απέδειξε ότι αν ο $2^n-1$ είναι πρώτος, τότε ο αριθμός $2^{n-1}(2^n-1)$ είναι τέλειος. O Ευκλείδης, λοιπόν, τεκμηρίωσε μια ικανή συνθήκη για να είναι ένας αριθμός τέλειος.  Έτσι, για την εύρεση τέλειων αριθμών αρκεί η εύρεση πρώτων αριθμών της μορφής $p=2^n-1$. Δεν ισχυρίστηκε όμως πουθενά ότι αυτή η συνθήκη ήταν επίσης αναγκαία -δηλαδή ότι αν ένας αριθμός είναι τέλειος, τότε θα πρέπει να έχει την παραπάνω μορφή.

Σχεδόν είκοσι αιώνες μετά τον Ευκλείδη, ο Euler απέδειξε ότι ο τύπος  $2^{n-1}(2^n-1)$ μας δίνει όλους τους άρτιους τέλειους αριθμούς. Δηλαδή ένας άρτιος τέλειος αριθμός έχει τη μορφή $2^{n-1}(2^n-1)$, όπου ο $2^n-1$ είναι πρώτος. Το αποτέλεσμα αυτό είναι γνωστό ως το Θεώρημα Ευκλείδη-Euler.

Είναι άγνωστο μέχρι σήμερα αν υπάρχουν περιττοί τέλειοι αριθμοί. Ο υπολογισμός τέλειων αριθμών είναι αρκετά δύσκολος, αν αναλογιστεί κανείς ότι ως το 2016 υπήρχαν 49 γνωστοί τέλειοι αριθμοί.

 

Ο τότε πιτσιρικάς Terence Tao βασίστηκε στο θεώρημα που είχε αποδείξει ο Ευκλείδης και σχεδίασε την εύρεση πρώτων αριθμών της μορφής $p=2^n-1$, με σκοπό τη δημιουργία τέλειων αριθμών. Διαβάστε την εργασία του Terence Tao στο Fermat's Library πατώντας εδώ...