Γρίφοι για... ερωτευμένους!

Για όσους φίλους γιορτάζουν τον Άγιο Βαλεντίνο σήμερα... λύστε μαζί με το ταίρι σας και τους... γρίφους των ερωτευμένων! Περιμένω τις απαντήσεις στα σχόλια!

"Θέλω τον ζωγράφο να γνωρίζει γεωμετρία..."

 

Ο Λέον Μπαττίστα Αλμπερτι (1404-1472) ήταν Ιταλός καλλιτέχνης, αρχιτέκτονας, ποιητής και φιλόσοφος. Διακρίθηκε στα μαθηματικά, τη μηχανική, την αρχιτεκτονική, τη ζωγραφική, τη γλυπτική και σε άλλους τομείς. Στο σύγγραμμά του "Περί Ζωγραφικής" (De Pictura, 1435) γράφει χαρακτηριστικά:

«Θέλω τον ζωγράφο να έχει σπουδάσει τις ελεύθερες τέχνες, μα πάνω απ’ όλα, τον θέλω να γνωρίζει γεωμετρία. Συμφωνώ με τον αρχαίο ζωγράφο Πάμφιλο που δίδασκε ζωγραφική στους νέους και συνήθιζε να λέει πως κανένας δεν μπορούσε να γίνει καλός ζωγράφος χωρίς να ξέρει γεωμετρία. Οι αρχές που αναπτύξαμε και αποτελούν τα θεμέλια μιας ολοκληρωμένης ζωγραφικής μπορούν κατανοηθούν εύκολα από ένα γεωμέτρη. Αντίθετα, όσοι είναι ανίδεοι στην γεωμετρία δεν μπορούν να καταλάβουν ούτε τις στοιχειώδεις γνώσεις, ούτε οποιεσδήποτε άλλες αρχές της ζωγραφικής».

Γρίφος: Ένας περίεργος δεκαψήφιος

 

Σχηματίστε έναν δεκαψήφιο αριθμό, γράφοντας στις 10 θέσεις του παραπάνω σχήματος τα κατάλληλα ψηφία, ώστε το ψηφίο στη θέση "0" να δείχνει το συνολικό πλήθος των μηδενικών του αριθμού, το ψηφίο στη θέση "1" να δείχνει το συνολικό πλήθος των 1 κλπ, μέχρι τη θέση "9", το ψηφίο της οποίας πρέπει να δείχνει το συνολικό πλήθος των ψηφίων 9 στον αριθμό αυτό.

Η απάντηση είναι μοναδική.

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Υπερβολικό παραβολοειδές

Τα βιβλία γράφουν...

Το υπερβολικό παραβολοειδές είναι μια τετραγωνική επιφάνεια, δηλαδή επιφάνεια 2^ου βαθμού. 

Η επιφάνεια του υπερβολικού παραβολοειδούς είναι απεριόριστη και παράγεται από την κίνηση ευθείας, είναι επομένως ευθειογενής επιφάνεια.

Το υπερβολικό παραβολοειδές έχει δύο επίπεδα συμμετρίας, τα οποία είναι κάθετα μεταξύ τους. Η τομή των δύο αυτών επιπέδων είναι ο άξονας συμμετρίας της επιφάνειας, ο οποίος τέμνει την επιφάνεια σε ένα μοναδικό σημείο, που λέγεται κορυφή του υπερβολικού παραβολοειδούς.

Τα επίπεδα συμμετρίας τέμνουν την επιφάνεια σε δύο παραβολές, που έχουν κοινό σημείο την κορυφή της επιφάνειας.

Κάθε επίπεδο παράλληλο σε ένα από τα επίπεδα συμμετρίας επίσης τέμνει την επιφάνεια κατά παραβολή.

Κάθε επίπεδο κάθετο και στα δύο επίπεδα συμμετρίας τέμνει την επιφάνεια σε υπερβολή, εκτός από το επίπεδο που διέρχεται από την κορυφή της επιφάνειας, το οποίο την τέμνει σε δύο ευθείες.

Τα παραπάνω δικαιολογούν και το όνομα της επιφάνειας, καθώς και το ότι το υπερβολικό παραβολοειδές δεν είναι φραγμένο.

Σύγχρονοι ζωγράφοι, γραφίστες, αλλά και γλύπτες έχουν χρησιμοποιήσει το υπερβολικό παραβολοειδές στα έργα τέχνης τους.

Don Barrett (Σύγχρονος γραφίστας) - "Back In The Saddle Again" 

Don Barrett (Σύγχρονος γραφίστας) - "Gravity Well"

Aaron Lee (Σύγχρονος ζωγράφος) - "Hyperbolic Paraboloid" 

Joe Orlando (γεν. 1949) - "Υπερβολική Παραβολοειδής Στήλη" (γλυπτό που ολοκληρώθηκε το 1985)

Η γεωμετρία του υπερβολικού παραβολοειδούς έχει χρησιμοποιηθεί πολύ συχνά στη σύγχρονη αρχιτεκτονική, αποτελώντας έμπνευση για τη δημιουργία ξεχωριστών κτηρίων. Μετά τη σφαίρα και τον κύλινδρο, είναι η πλέον εφαρμοσμένη επιφάνεια 2^ου βαθμού στην αρχιτεκτονική, δημιουργώντας εντυπωσιακές καμπυλωτές φόρμες.

Arseniusz Romanowicz & Piotr Szymaniak - Σιδηροδρομικός Σταθμός Warszawa Ochota, Βαρσοβία
(ολοκληρώθηκε το 1962)

Le Corbusier - Ι. Ξενάκης, Philips Pavilion, Διεθνής Έκθεση Βρυξελλών, 1958

Le Corbusier - Ι. Ξενάκης, Philips Pavilion, Διεθνής Έκθεση Βρυξελλών

Santiago Calatrava (γεν. 1951) - Ολυμπιακό Στάδιο Αθηνών, στέγαστρο του ΟΑΚΑ (2004)

Santiago Calatrava (γεν. 1951) - Ολυμπιακό Στάδιο Αθηνών, στέγαστρο του ΟΑΚΑ (2004)

Félix Candela - Restaurante "Los Manantiales", Xochimilco, México

(σχεδιάστηκε το 1958)

Félix Candela - L'Oceanographic, Valencia
(σχεδιάστηκε το 1997)

.*.~.*.~.*.~.*.~.*.~.*

"Άρχισα να ενδιαφέρομαι για τη γεωμετρία του υπερβολικού παραβολοειδούς. Η ιδέα μιας απεριόριστης καμπύλης, η οποία δεν έχει στοιχεία καμπύλης, ήταν η έμπνευση που προκάλεσε 11 χρόνια δουλειάς. Ο πειραματισμός πάνω στην κατασκευή αυτών των επιφανειών οδήγησε τελικά στη δημιουργία της υπερβολικής παραβολοειδούς στήλης το 1985".
Joe Orlando

.*.~.*.~.*.~.*.~.*.~.*

Πηγές:

• Θ. Κουφογιώργος, Μαθήματα Αναλυτικής Γεωμετρίας, Τυπογραφείο Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, 2004
• E.H. Gombrich, Το Χρονικό της Τέχνης, Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, 1995
• Wassily Kandinsky, Σημείο-Γραμμή-Επίπεδο, Εκδόσεις Δωδώνη, 2013
• Wassily Kandinsky, Για το πνευματικό στην Τέχνη, Εκδόσεις Νεφέλη, 1981
• Aaron Lee Art
• Behance.net: Hyperbolic Paraboloid
• Oceanographic.org
• Pixels: Don Barrett art
• Wolfram Mathworld: Hyperbolic Paraboloid

Καλώς ήρθες 2021!

Το ιστολόγιο "eis to apeiron" εύχεται με... τον δικό του τρόπο... Καλή Χρονιά και ευτυχισμένο το 2021!!!

Το 2021 είναι αρκετά ξεχωριστός αριθμός: προκύπτει από την αλληλουχία δύο διαδοχικών φυσικών αριθμών (20 και 21). Η ανάλυση του αριθμού 2021 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων  είναι:

2021 = 43 · 47

Το πιο ενδιαφέρον με τον αριθμό 2021, από άποψης Θεωρίας Αριθμών, είναι ότι γράφεται ως γινόμενο δύο ακριβώς πρώτων αριθμών, οι οποίοι μάλιστα είναι διαδοχικοί και έχουν το ίδιο πλήθος ψηφίων. 

Το παραπάνω γεγονός κατατάσσει το 2021 στην κατηγορία των brilliant semiprime (ημι-πρώτων) αριθμών.

Επειδή επιπλέον οι πρώτοι αριθμοί 43 και 47 είναι και οι δύο ισότιμοι με 3mod4, το 2021 είναι ένας ακέραιος Blum...

Θα μπορούσα να συνεχίσω να απαριθμώ τις ιδιότητες του αριθμού 2021 (θα μπορούσε κανείς βιβλίο να γράψει...), αλλά θα σας παραπέμψω να διαβάσετε περισσότερα στους ακόλουθους συνδέσμους:

• Στη σελίδα Numbermatics: The Number Explorer, αναφέρονται πολλές ιδιότητες, κυρίως αλγεβρικές.
• Στη σελίδα Numbers Aplenty, καταγράφονται περισσότερες λεπτομέρειες, κυρίως από άποψης Θεωρίας Αριθμών.
• Ο Inder J. Taneja, συνταξιούχος καθηγητής πανεπιστημίου από τη Βραζιλία, μας "στέλνει αδιάβαστους" με πολλές όμορφες παραστάσεις, ακολουθίες, μαγικά τετράγωνα και μοτίβα με τον αριθμό 2021!

.~.*.~.*.~.*.~.*.~.

Μην ξεχάσετε τον γρίφο της αντίστροφης μέτρησης για το 2021! Οι λύσεις φαίνεται να είναι πάρα πολλές!

 

Εύχομαι το 2021 να είναι τόσο όμορφο όσο και ο αριθμός αυτός καθαυτός! Καλή Χρονιά σε όλους και καλή πρόοδο στους μαθητές!!!

Μετρώντας αντίστροφα για το 2021! (Γρίφος)

 

Είθισται κάθε χρόνο να σβήνουμε τα φώτα και να μετράμε αντίστροφα από το 10 κατά την αλλαγή του χρόνου...

Τοποθετήστε ανάμεσα στους αριθμούς όποια σύμβολα πράξεων θέλετε, καθώς και παρενθέσεις, ώστε η τιμή της παράστασης να είναι 2021.

Η απάντηση φυσικά δεν είναι μοναδική... Περιμένω τις απαντήσεις σας πριν κάνουμε την αντίστροφη μέτρηση για το 2021!!! 

Πώς να γράψουμε μαθηματικά με LaTeX στην e-class

Η \(\LaTeX\) (προφέρεται "Λατέχ" και όχι "Λάτεξ"!) είναι ένας κώδικας, για την ακρίβεια μια markup γλώσσα, που λειτουργεί όπως μια γλώσσα προγραμματισμού και χρησιμοποιείται ευρέως για τη συγγραφή μαθηματικών κειμένων (από τη συγγραφή μίας-δύο σελίδων για θέματα εξετάσεων, έως εργασιών και διδακτορικών διατριβών). Για να δημιουργήσουμε ένα έγγραφο γράφοντας σε \(\LaTeX\) χρειαζόμαστε ειδικά λογισμικά (compilers) όπως το MikTex. Το περιβάλλον του e-class του Πανελλήνιου Σχολικού Δικτύου έχει ενσωματώσει στον κώδικά του τα περισσότερα πακέτα και τους compilers που χρειάζονται για να γράψει κανείς σε \(\LaTeX\), ιδανικά στο εργαλείο "Ασκήσεις", για ερωτήσεις κλειστού τύπου. 

Οπότε το μόνο που χρειάζεται εμείς να κάνουμε είναι να χρησιμοποιήσουμε τις εντολές της \(\LaTeX\), με τους αντίστοιχους συντακτικούς κανόνες:

1. Κάθε ειδικός χαρακτήρας ή μαθηματικό σύμβολο ή εντολή εντός μιας πρότασης μπαίνει ανάμεσα στα σύμβολα \ (   και   \ )  
2. Αν θέλουμε να γράψουμε μια εξίσωση ή παράσταση σε μια ολόκληρη σειρά, δίνοντάς της έμφαση, τη γράφουμε ανάμεσα στα σύμβολα \(\text{\[}\) και \(\text{\]}\)
3. Κάθε εντολή πρέπει να αρχίζει με το σύμβολο \
4. Κάθε αρχή πρέπει να έχει και το τέλος της (π.χ. κάθε άγκιστρο που ανοίγει ({) πρέπει και να κλείνει (}), κάθε \begin έχει \end)
5. Η εισαγωγή περισσότερων κενών στο μαθηματικό κείμενο της \(\LaTeX\) δεν έχει καμία σημασία, καθώς τα απαραίτητα κενά εισάγονται αυτόματα από τη \(\LaTeX\) και τα επιπλέον κενά μπορούν να οριστούν μέσω της ειδικής εντολής \,
6. Η \(\LaTeX\) αναγνωρίζει ως μεταβλητές μόνο τους αγγλικούς χαρακτήρες. Για να χρησιμοποιήσουμε ελληνικούς χαρακτήρες για μεταβλητές, χρησιμοποιούμε ειδικές εντολές οι οποίες αναφέρονται παρακάτω. Αν θέλουμε να εισαγάγουμε απλό κείμενο εντός μιας μαθηματικής έκφρασης, χρησιμοποιούμε την εντολή \text{το κείμενό μας} 
7. Για να αλλάξουμε γραμμή εντός των συμβόλων \ (   και   \ ), δε χρησιμοποιούμε το enter, αλλά την εντολή \\

Παράδειγμα:

Διαμόρφωση μαθηματικών εκφράσεων

• Ο εκθέτης εισάγεται με το σύμβολο ^ (Π.χ. για το \( x^2 \) θα γράψουμε  x^2)
• Ο δείκτης εισάγεται με το σύμβολο _ (Π.χ. για το \( A_f \) θα γράψουμε  A_f)
• Για την εισαγωγή κλασμάτων χρησιμοποιούμε την εντολή \frac{αριθμητής}{παρονομαστής}. Για παράδειγμα, για το κλάσμα \( \frac{\pi}{2} \) θα γράψουμε \frac{\pi}{2}
• Για την εισαγωγή τετραγωνικής ρίζας χρησιμοποιούμε την εντολή \sqrt, ενώ για τη νιοστή ρίζα χρησιμοποιούμε την εντολή \sqrt[n]. Για παράδειγμα, για την \( \sqrt{x+y} \) θα γράψουμε  \sqrt{x+y}. Για την \( \sqrt[3]{2} \) θα γράψουμε \sqrt[3]{2}.

Παράδειγμα:

• Για οριζόντια άγκιστρα κάτω από μια μαθηματική έκφραση, χρησιμοποιούμε την εντολή \underbrace ακολουθούμενη από {...}. Π.χ. για τη γραφή \(\underbrace{ \alpha \cdot \alpha \cdot \ldots \cdot \alpha}_{\text{ν παράγοντες}} \) γράφουμε τις εντολές: \underbrace{ \alpha \cdot \alpha \cdot \ldots \cdot \alpha}_{\text{ν παράγοντες}}    
• Για την εισαγωγή διανύσματος με μία μεταβλητή, γράφουμε την εντολή \vec ακολουθούμενη από τη μεταβλητή μέσα σε άγκιστρα. Π.χ. για το διάνυσμα \( \vec{\alpha} \), γράφουμε \vec{\alpha}
• Για την εισαγωγή διανύσματος με αρχή το Α και πέρας το Β, δηλαδή του \( \overrightarrow{AB} \) χρησιμοποιούμε την εντολή \overrightarrow ακολουθούμενη από {ΑΒ} (με λατινικούς χαρακτήρες).
• Για το σύμβολο της γωνίας με κορυφή το Α, δηλαδή το \( \hat{A}\), γράφουμε την εντολή \hat{A}
• Για τις μοίρες, μπορούμε να γράψουμε π.χ. 90^{\circ} 
• Για να εισαγάγουμε μια ορίζουσα 2x2, χρησιμοποιούμε την εντολή vmatrix, όπως φαίνεται παρακάτω:

• Για να εισαγάγουμε μια συνάρτηση διπλού ή πολλαπλού τύπου, ή σύστημα εξισώσεων, χρησιμοποιούμε την εντολή cases, όπως φαίνεται στα ακόλουθα παραδείγματα: 

• Άθροισμα και ολοκλήρωμα ορίζονται με τις εντολές \sum και \int αντίστοιχα. Για το κάτω όριο χρησιμοποιούμε το _ και για το άνω όριο το ^. Π.χ.  \sum_{i=1}^{n}  και  \int_{0}^{1} 

Παράδειγμα:

• Για τo όριο καθώς το \(x\) τείνει στο \( x_0 \) (ή στο άπειρο κλπ) χρησιμοποιούμε την εντολή \lim_{x \to x_0} (ή \lim_{x \to \infty} αντίστοιχα)
• Για το λογάριθμο με βάση α, θα χρειαστούμε την εντολή  \log_a\theta 
• Παρενθέσεις, αγκύλες και άγκιστρα εισάγονται με τα γνωστά σύμβολα του πληκτρολογίου. Αν όμως τα θέλουμε μεγαλύτερα, π.χ. όταν περιέχουν ένα κλάσμα, τότε υπάρχουν οι εντολές  \big( \Big( \bigg( \Bigg( \big) \Big) \bigg) \Bigg), \big[ \Big[ \bigg[ \Bigg[ \big] \Big] \bigg] \Bigg], \big{ \Big{ \bigg{ \Bigg{ \big} \Big} \bigg} \Bigg}

Ομαδοποίηση μαθηματικών συμβόλων

Όταν έχουμε μια μαθηματική έκφραση που επιδρά σε περισσότερες από μία μεταβλητές, π.χ. όταν ο εκθέτης αποτελείται από περισσότερους από έναν χαρακτήρες, ομαδοποιούμε τις μεταβλητές μας με τη χρήση αγκίστρων {...}

Παράδειγμα:

Ειδικά σύμβολα της \(\LaTeX\)

\( \cdot \) \cdot

\( \pm \) \pm

\( \ldots \) \ldots

\( \leq \) \leq

\( \geq \) \geq

\( \neq \) \neq

\( \approx \) \approx

\( \simeq \) \simeq

\( \in \) \in

\( \notin \) \notin

\( \cap \) \cap

\( \cup \) \cup

\( \subseteq \) \subseteq

\( \varnothing \) \varnothing 

\( \Leftrightarrow \) \Leftrightarrow

\( \Rightarrow \) \Rightarrow

\( \Leftarrow \) \Leftarrow

\( \rightarrow \) \rightarrow 

\( \infty \) \infty

\( \circ \) \circ

\( \forall \) \forall

\( \exists \) \exists

\( \perp \) \perp 

\( \parallel \) \parallel

\( \nparallel \) \nparallel

\( \upuparrows \) \upuparrows

Γράμματα στη \(\LaTeX\)

\( \alpha \) \alpha

\( \beta \) \beta

\( \gamma \) \gamma

\( \delta \) delta

\( \epsilon \) \epsilon

\( \varepsilon \) \varepsilon

\( \zeta \) \zeta

\( \eta \) \eta 

\( \theta \) \theta

\( \vartheta \) \vartheta

\( \iota \) \iota

\( \imath \) \imath

\( \kappa \) \kappa

\( \lambda \) \lambda

\( \ell \) \ell

\( \mu \) \mu

\( \nu \) \nu

\( \xi \) \xi

\( \pi \) \pi

\( \rho \) \rho

\( \sigma \) \sigma

\( \tau \) \tau

\( \upsilon \) \upsilon

\( \phi \) \phi 

\( \varphi \) \varphi

\( \chi \) \chi

\( \psi \) \psi

\( \omega \) \omega

\( \Gamma \) \Gamma

\( \Delta \) \Delta

\( \Theta \) \Theta 

\( \Lambda \) \Lambda

\( \Xi \) \Xi

\( \Pi \) \Pi 

\( \Sigma \) \Sigma

\( \Upsilon \) \Upsilon

\( \Phi \) \Phi

\( \Psi \) \Psi

\( \Omega \) \Omega

Σύνολα αριθμών

C \mathbb{C}

N \mathbb{N}

Q \mathbb{Q}

R \mathbb{R}

Z \mathbb{Z}

Bonus:

Για τους συναδέλφους bloggers, μπορείτε να γράφετε κι εσείς με \(\LaTeX\) στο blog σας, αρκεί να ενσωματώσετε στον κώδικα html του blog σας τον απαιτούμενο κώδικα!

Επίλογος

Η \(\LaTeX\) απαιτεί χρόνο και πειραματισμό, αλλά μόλις κανείς εξοικειωθεί, εθίζεται στη χρήση της και τη χρησιμοποιεί και εκεί όπου δεν είναι τόσο απαραίτητη. Έτσι, για παράδειγμα φράσεις όπως "f=g" εμφανίζονται πολύ πιο "όμορφα" και είναι πιο ευανάγνωστες όταν έχουν γραφεί σε \(\LaTeX\),δηλαδή κάπως έτσι: \( f=g \). Δε συμφωνείτε;

Γράψτε μου στα σχόλια τις σκέψεις σας! Αν η σημερινή ανάρτηση σας φάνηκε χρήσιμη, μοιραστείτε την με τους συναδέλφους σας! 

Oh Geome-tree! Καλά Χριστούγεννα!

Καλά Χριστούγεννα και Καλές Γιορτές σε όλο τον κόσμο!

Μείνετε ασφαλείς και υγιείς💝🎄🎅

Γεωμετρικές... οροφές στη Μέση Ανατολή

 

Την ομορφιά της γεωμετρικής διακόσμησης και εντυπωσιακά σχέδια οροφής σε μουσουλμανικά παλάτια, μαυσωλεία και τζαμιά απαθανατίζει ο Christofer Wilton-Steer και μας ταξιδεύει στη Μέση Ανατολή...

Η πρώτη συλλογή φωτογραφιών, με τίτλο "Ceilings of Uzbekistan" αναδεικνύει με μοναδικό τρόπο την πολύχρωμη γεωμετρία σε ιερά μέρη και παλάτια του Ουζμπεκιστάν.

Δείτε την πλήρη συλλογή φωτογραφιών εδώ.

Η δεύτερη συλλογή του ίδιου φωτογράφου, με τίτλο "Ceilings of Iran", προσφέρει μια virtual ξενάγηση στους ιερούς χώρους του Ιράν.

Δείτε την πλήρη συλλογή φωτογραφιών εδώ.

Η ισλαμική τέχνη αποτελεί κεφάλαιο τεράστιας αξίας για την παγκόσμια πολιτιστική κληρονομιά. Χαρακτηριστικό της είναι τα γεωμετρικά μοτίβα και η φανταστική αναπαράσταση, στυλ γνωστό ως arabesque. Η απόλυτη συμμετρία των έργων, νοητά τα διχοτομεί, ώστε οι πλευρές να καθρεφτίζονται η μία μέσα στην άλλη. Το arabesque στην ισλαμική τέχνη χρησιμοποιείται συχνά για τον συμβολισμό της υπερβατικής, αόρατης και αιώνιας φύσης του Θεού.

Πηγές:

Christofer Wilton-Steer Photography

The Guardian: Iran's Beautiful Palaces and Holy Sites  - in Pictures

Wikipedia: Arabesque

Γρίφος: Το χωράφι με το μεγαλύτερο εμβαδόν

Διαθέτουμε συρματόπλεγμα μήκους 240 μ. και θέλουμε να περιφράξουμε με αυτό ένα χωράφι σε σχήμα ορθογωνίου. Ποιες πρέπει να είναι οι διαστάσεις του χωραφιού, ώστε να περιφράξουμε τη μεγαλύτερη δυνατή έκταση;

"Στον κόσμο δεν συμβαίνει τίποτε, του οποίου η σημασία να μη συμπίπτει με εκείνη κάποιου μεγίστου ή ελαχίστου".

Leonard Euler (1707 - 1783)