Δέκα άνθρωποι έχουν απαχθεί από
εξωγήινους και βρίσκονται αιχμάλωτοι μέσα σε ένα διαστημόπλοιο.
Οι εξωγήινοι, που θέλουν να ερευνήσουν την ανθρώπινη νοημοσύνη, τούς τοποθετούν σε μία σειρά, τον έναν
πίσω από τον άλλον. Στο κεφάλι κάθε ανθρώπου φορούν τυχαία ένα καπέλο, το οποίο
είναι είτε άσπρο ή μαύρο. Κάθε άνθρωπος μπορεί να δει μόνο τα καπέλα όσων
βρίσκονται μπροστά του στη σειρά, αλλά όχι το δικό του ούτε των ανθρώπων πίσω
του. Επίσης, κανείς δεν γνωρίζει πόσα άσπρα και πόσα μαύρα καπέλα υπάρχουν
συνολικά.
Οι εξωγήινοι ανακοινώνουν τους
κανόνες:
«Θα σας ρωτήσουμε έναν-έναν, ξεκινώντας από τον τελευταίο της σειράς, να μαντέψετε δυνατά το χρώμα του καπέλου σας. Δεν επιτρέπεται να πείτε τίποτα άλλο εκτός από “άσπρο” ή “μαύρο”. Αν τουλάχιστον 9 από τους 10 απαντήσετε σωστά, θα σας αφήσουμε όλους ελεύθερους. Διαφορετικά, θα παραμείνετε για πάντα στο διαστημόπλοιό μας».
Πριν τους φορέσουν τα καπέλα,
οι δέκα άνθρωποι έχουν λίγο χρόνο να συνεννοηθούν και να καταστρώσουν μια
στρατηγική.
Ερώτημα
Ποια στρατηγική πρέπει να
ακολουθήσουν ώστε να εξασφαλίσουν ότι τουλάχιστον 9 από τους 10 θα απαντήσουν
σωστά;
Η κλασική λύση βασίζεται στην παραβολή (parity) του αριθμού των μαύρων καπέλων.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑς αριθμήσουμε τους ανθρώπους από πίσω προς τα μπροστά:
• Ο 10ος είναι ο τελευταίος της σειράς, αριστερά (βλέπει όλους τους άλλους).
• Ο 1ος είναι μπροστά-μπροστά, δεξιά (δεν βλέπει κανέναν).
Η συμφωνία πριν αρχίσει το τεστ
Συμφωνούν ότι:
• Η λέξη «μαύρο» θα σημαίνει: «Βλέπω περιττό αριθμό μαύρων καπέλων μπροστά μου».
• Η λέξη «άσπρο» θα σημαίνει: «Βλέπω άρτιο αριθμό μαύρων καπέλων μπροστά μου».
Ο πρώτος που θα μιλήσει (ο 10ος) δεν προσπαθεί να βρει το δικό του καπέλο. Χρησιμοποιεί την απάντησή του μόνο για να μεταδώσει αυτή την πληροφορία στους υπόλοιπους.
Παράδειγμα:
Έστω ότι ο 10ος βλέπει μπροστά του:
Μαύρο, Άσπρο, Μαύρο, Άσπρο, Άσπρο, Μαύρο, Άσπρο, Άσπρο, Μαύρο
Υπάρχουν 4 μαύρα καπέλα, δηλαδή άρτιος αριθμός.
Άρα ο 10ος λέει:
«Άσπρο»
Αυτό ενημερώνει όλους ότι το σύνολο των μαύρων καπέλων μπροστά από τον 10ο είναι άρτιο.
Πώς απαντούν οι υπόλοιποι:
Ο 9ος ακούει την απάντηση του 10ου και βλέπει τα καπέλα των 1–8.
Αν ο 9ος βλέπει περιττό αριθμό μαύρων μπροστά του, ενώ ο 10ος δήλωσε
ότι το συνολικό πλήθος (1–9) είναι άρτιο, τότε συμπεραίνει ότι το δικό του καπέλο είναι μαύρο (για να γίνει το σύνολο άρτιο).
Αν βλέπει ήδη άρτιο αριθμό μαύρων, τότε το δικό του είναι άσπρο.
Έτσι ο 9ος βρίσκει με βεβαιότητα το χρώμα του.
Και μετά;
Ο 8ος γνωρίζει:
1. Την πληροφορία παραβολής που έδωσε ο 10ος.
2. Τη σωστή απάντηση του 9ου (γιατί η στρατηγική είναι γνωστή σε όλους).
3. Τα καπέλα που βλέπει μπροστά του.
Με αυτά μπορεί να υπολογίσει ακριβώς αν το δικό του καπέλο είναι μαύρο ή άσπρο.
Το ίδιο ισχύει για τον 7ο, τον 6ο κ.ο.κ.
Κάθε επόμενος γνωρίζει:
• την αρχική πληροφορία παραβολής,
• όλα τα καπέλα που έχουν ήδη προσδιοριστεί από τους πίσω του,
• και όσα βλέπει μπροστά του.
Άρα μπορεί να προσδιορίσει το δικό του καπέλο με απόλυτη βεβαιότητα.
Αποτέλεσμα:
• Ο 10ος μπορεί να κάνει λάθος, επειδή χρησιμοποιεί την απάντησή του μόνο ως κωδικοποιημένο μήνυμα.
• Οι υπόλοιποι 9 προσδιορίζουν το καπέλο τους με βεβαιότητα και απαντούν σωστά.
Επομένως η στρατηγική εγγυάται ότι τουλάχιστον 9 από τους 10 θα απαντήσουν σωστά, άρα όλοι απελευθερώνονται.