Ένας μαθητής έγραψε στον πίνακα τρεις φυσικούς αριθμούς που είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Στη συνέχεια, έσβησε τα κόμματα που χώριζαν τους τρεις αριθμούς και δημιούργησε έναν επταψήφιο αριθμό. Ποια είναι η μέγιστη δυνατή τιμή του αριθμού αυτού;
Πηγή γρίφου:
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΓΡΙΦΟΙ 1 - 150 προβλήματα από τη στήλη "Σπαζοκεφαλιές" του περιοδικού Quantum, εκδόσεις "Κάτοπτρο", 1999
Έστω ότι οι τρεις διαδοχικοί όροι της αριθμητικής προόδου είναι:
ΑπάντησηΔιαγραφήα, α+κ, α+2κ (1)
Όταν τους ενώσουμε δημιουργείται ένας επταψήφιος αριθμός. Θέλουμε να μεγιστοποιήσουμε αυτή την τιμή, άρα κυρίως να μεγιστοποιήσουμε τα πρώτα ψηφία των όρων (δηλαδή τον πρώτο αριθμό α).
Πώς προκύπτει o επταψήφιος αριθμός:
Για να μεγιστοποιηθεί ο αριθμός, θέλουμε τα πρώτα ψηφία όσο το δυνατόν μεγαλύτερα. Άρα ο πρώτος αριθμός πρέπει να έχει όσο γίνεται περισσότερα ψηφία.
Οι δυνατοί συνδυασμοί ψηφίων που δίνουν 7 ψηφία είναι:
• (1,3,3)
• (2,2,3) ο καλύτερος
• (2,3,2)
• (3,2,2)
Άρα, η καλύτερη επιλογή είναι:
(2,2,3)
γιατί δίνει μεγαλύτερο πρώτο αριθμό.
Εξετάζουμε:
• α: διψήφιος αριθμός
• α+κ: διψήφιος αριθμός
• α+2κ: τριψήφιος αριθμός
Συνθήκες:
α+κ≤99 === κ≤99−α (2)
α+2κ≥100 === κ≥(100−α)/2 (3)
Δοκιμές για μέγιστο α:
• Για α=98:
κ≤99−α === κ≤99−98=== κ≤1
κ≥(100−α)/2 === κ≥(100−98)/2 === κ≥2/2) === κ≥1
Άρα:
κ=1
Επομένως οι αριθμοί είναι:
98,99,100
Ένωση των όρων:
9.899.100
• Για α=97:
κ≤99−α === κ≤99−97=== κ≤2
κ≥(100−97)/2 === κ≥(100−97)/2 === κ≥3/2) === κ≥1,50
Άρα:
κ=2
Επομένως οι αριθμοί είναι:
97,99,101
Ένωση των όρων:
9.799.101
Σύγκριση με το μέγιστο:
• Για α=9.899.100
• Για α= 9.799.101
9.899.100 > 9.799.101
Συμπέρασμα:
Η μέγιστη δυνατή τιμή είναι:
9.899.100
Επαλήθευση:
α, α+κ, α+2κ === 98,98+1,98+2*1 === 98,99,100 ο.ε,δ.
Καλή σκέψη. Υπάρχει και μεγαλύτερος επταψήφιος! Για να σε βοηθήσω, δες την αριθμητική πρόοδο ως ακολουθία στην οποία οι όροι συνεχώς μειώνονται αντί να αυξάνονται.
ΔιαγραφήΝομίζω έναν κουβά νερό το ήθελα τώρα στο κεφάλι μου.... Ας είστε καλά όλοι.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΦωτεινή καλησπέρα. Εάν η ακολουθία είναι φθίνουσα ο αριθμός από 9 εκατομμύρια... θα γίνει μικρότερος. Δεν μπορώ να συμβαδίσω με το σκεπτικό σου. Εκτός κι' εάν εννοείς α+(α-κ)+(α-2κ). Στείλε μου τη λύση να τη δω.
ΑπάντησηΔιαγραφή