Παρασκευή 1 Ιουνίου 2018

1/6/2018: Παγκόσμια ημέρα του χρυσού αριθμού «φ»... (Μέρος 1º - Γνωριμία με τον αριθμό «φ»)

Τι κοινό έχουν οι ζωγραφικοί πίνακες της Αναγέννησης, το κουνουπίδι, η αναπαραγωγή των κουνελιών και μια πιστωτική κάρτα; Η απάντηση είναι ο αριθμός 1,61803398874989484..., ο "χρυσός αριθμός", ή "χρυσή αναλογία". Τα δεκαδικά του ψηφία είναι άπειρα και η ακολουθία τους δεν επαναλαμβάνεται. Μάθετε τι τον καθιστά τόσο μαγικό!


Χρυσή τομή


Όπως ο π (3,14) εκφράζει το πιο τέλειο γεωμετρικό σχήμα, τη σφαίρα, έτσι και ο φ (1,618) είναι ο αριθμός της «ομορφιάς». Ο μοναχός του 15ου αιώνα Luca Pacioli, επηρεασμένος από την αντίληψη της εποχής ότι οι νέες γνώσεις της επιστήμης έπρεπε να ενταχθούν στο εκκλησιαστικό δόγμα, τον ονόμασε «Θεία Αναλογία» («Divina Proportione»). Ο Leonardo DaVinci τον ονόμασε «Χρυσό Αριθμό». Αιώνες αργότερα, ο μαθηματικός Mark Barr θα τον συμβόλιζε με το ελληνικό γράμμα φ, προς τιμήν του γλύπτη Φειδία, ο οποίος ήταν από τους πρώτους που δημιουργούσαν έργα με βάση τον αριθμό αυτό.

Ο άνθρωπος του Βιτρούβιου

ΤΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ

Η αφετηρία είναι γεωμετρική. Ο Ευκλείδης στα «Στοιχεία» έδωσε τον πρώτο γραπτό ορισμό της χρυσής τομής, την οποία ονόμασε «άκρος και μέσος λόγος».

Ο Ευκλείδης παίρνει ένα ευθύγραμμο τμήμα και το διαιρεί σε δύο τμήματα. Η χρυσή τομή είναι εκείνο το σημείο που χωρίζει το ευθύγραμμο τμήμα στα δυο τμήματα a, b, έτσι ώστε  ο 
λόγος του αθροίσματος τους a+b προς τη μεγαλύτερη ποσότητα είναι ίσος με το λόγο της μεγαλύτερης ποσότητας προς τη μικρότερη.
Γεωμετρικός ορισμός της χρυσής τομής

Ο λόγος αυτός λέγεται «χρυσός λόγος» και σύμφωνα με τον ορισμό του Ευκλείδη, υπολογίζεται ότι έχει αριθμητική τιμή 1,618..., δηλαδή ότι το μεγαλύτερο τμήμα θα έχει πάντα 1,618... φορές μεγαλύτερο μήκος από το μικρότερο. 



ΧΡΥΣΟ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΚΑΙ ΧΡΥΣΗ ΕΛΙΚΑ

Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο λέγεται «χρυσό», όταν το πηλίκο της μεγαλύτερης προς τη μικρότερη πλευρά του ισούται με φ. 

χρυσό ορθογώνιο
Αυτό το ορθογώνιο έχει μια ιδιότητα που το ξεχωρίζει από όλα τα άλλα: αν αφαιρέσουμε από τη μια πλευρά το μεγαλύτερο δυνατό τετράγωνο, απομένει ένα καινούργιο ορθογώνιο, που είναι επίσης χρυσό, και αυτό μπορεί να συνεχιστεί επ’ άπειρον. 

Αν ενώσει κανείς με μια καμπύλη τις κορυφές όλων αυτών των ορθογωνίων, που είναι και χρυσές τομές, σχηματίζεται μια λογαριθμική έλικα, η «χρυσή έλικα».

χρυσή έλικα

Αν θέλει κανείς να δει ένα χρυσό ορθογώνιο αρκεί να κοιτάξει μια πιστωτική κάρτα, το σχήμα της οποίας είναι ακριβώς αυτό. 


ΧΡΥΣΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

Χρυσό λέγεται κάθε ισοσκελές  τρίγωνο στο οποίο ο λόγος της μεγάλης πλευράς προς τη μικρή θα είναι ίσος με φ. Κάθε ισοσκελές με γωνία κορυφής 36˚ είναι χρυσό.
χρυσό τρίγωνο


Χρυσή έλικα σε χρυσό τρίγωνο


ΤΟ ΣΥΜΒΟΛΟ ΤΩΝ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΩΝ

Η χρυσή αναλογία ήταν γνωστή στους Πυθαγορείους. Το σύμβολο της αδελφότητας των Πυθαγορείων ήταν το «πεντάγραμμο» ή «πεντάλφα», το αστέρι δηλαδή που σχηματίζεται από τις πέντε διαγωνίους του κανονικού πενταγώνου. Η χρυσή αναλογία εμφανίζεται στις πλευρές του αστεριού. 
Πεντάγραμμο ή πεντάλφα

Αποδεικνύεται ότι κάθε πλευρά του «πενταγράμμου» διαιρεί τις δύο άλλες σε χρυσή τομή.
οι λόγοι ισούνται με φ

Ακόμη, το πηλίκο του εμβαδού του κανονικού πενταγώνου με κορυφές τις άκρες της πεντάλφα προς το εμβαδόν του κανονικού πενταγώνου που σχηματίζεται εντός του αστεριού ισούται με φ.
Οι διαγώνιοι του κανονικού πενταγώνου

Ο λόγος των εμβαδών ισούται με φ



ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΑΝΑΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΤΩΝ ΚΟΥΝΕΛΙΩΝ

Ο Leonardo Pisano Fibonacci (1170-1240) γεννήθηκε στην Πίζα. Ο πατέρας του Leonardo, Guilielmo Bonacci, ήταν γραμματέας της Δημοκρατίας της Πίζας στη Βορειοαφρικανική πόλη Bugia. Ο Fibonacci μεγάλωσε εκεί και η εκπαίδευσή του επηρεάστηκε σημαντικά από τους Μαυριτανούς αλλά και από τα ταξίδια που έκανε αργότερα κατά μήκος της Μεσογειακής ακτής (Αίγυπτο, Συρία, Ελλάδα, Σικελία και Προβηγκία). Έτσι, μελέτησε και έμαθε τις μαθηματικές τεχνικές και τα αριθμητικά συστήματα που είχαν υιοθετηθεί σε εκείνες τις περιοχές.


Ο Φιμπονάτσι

Γύρω στο 1200, ο Fibonacci επέστρεψε στην Πίζα, όπου για τα επόμενα 25 χρόνια επεξεργαζόταν τις δικές του μαθηματικές συνθέσεις. Στο βιβλίο του με τίτλο "Liber Abaci",  εισήγαγε την έννοια της ακολουθίας στα Μαθηματικά της Δυτικής Ευρώπης. Σ’ έναν περίφημο, πλέον, συλλογισμό, προσπάθησε να υπολογίσει την ταχύτητα αναπαραγωγής των κουνελιών στη γη, κάτω από ιδανικές συνθήκες. Ο Fibonacci υπέθεσε ότι έχουμε 1 ζευγάρι κουνελιών, το οποίο αρχίζει να αναπαράγεται από τον πρώτο μήνα και μετά από κάθε μήνα κύησης, φέρνει στον κόσμο ένα ακόμη ζευγάρι. Κάθε νέο ζευγάρι είναι έτοιμο να τεκνοποιήσει 1 μήνα μετά τη γέννησή του, γεννά 1 μήνα μετά και συνεχίζει να αναπαράγεται με τον ίδιο ρυθμό. Πόσα ζευγάρια κουνελιών θα έχουμε στο τέλος του πρώτου χρόνου;

1. Αρχικά υπάρχει ένα ζευγάρι κουνελιών.

2. Στο τέλος του 1ου μήνα το αρχικό ζευγάρι είναι έτοιμο να ζευγαρώσει, αλλά υπάρχει μόνο αυτό.
3. Στο τέλος του 2ου μήνα έχουμε το αρχικό ζευγάρι και το πρώτο ζευγάρι παιδιών του. Συνολικά 2 ζευγάρια κουνελιών. 
4. Στο τέλος του 3ου μήνα έχουμε το αρχικό ζευγάρι, το πρώτο ζευγάρι παιδιών του, (που είναι έτοιμα κι αυτά να τεκνοποιήσουν) και ένα δεύτερο ζευγάρι παιδιών του. Συνολικά 3 ζευγάρια κουνελιών. 
5. Στο τέλος του 4ου μήνα έχουμε το αρχικό ζευγάρι, το πρώτο ζευγάρι παιδιών και το πρώτο δικό του ζευγάρι παιδιών, το δεύτερο ζευγάρι παιδιών, που είναι έτοιμα να τεκνοποιήσουν, και ένα νέο, τρίτο ζευγάρι παιδιών. Συνολικά 5 ζευγάρια κουνελιών. 


Τα ζευγάρια των κουνελιών

Με βάση αυτή την υπόθεση, ο Fibonacci ανακάλυψε ότι τα ζευγάρια των κουνελιών αυξάνονταν κάθε μήνα σύμφωνα με μια άπειρη ακολουθία αριθμών: 
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 114, 233, 377, 610...

Μπορείτε να εντοπίσετε το μοτίβο που κρύβεται πίσω από αυτή την αλληλουχία; 


Οι αριθμοί αυτοί ονομάστηκαν «αριθμοί Fibonacci» και αποτελούν τη λεγόμενη «Ακολουθία Fibonacci». Εκτός από τους δύο πρώτους αριθμούς που είναι το 1, κάθε αριθμός της ακολουθίας Fibonacci ισούται με το άθροισμα των δύο προηγουμένων: 
αν+2 = αν+1 + αν

Αν και υπάρχουν αναφορές ότι αυτή η ακολουθία είχε αναφερθεί περίπου μισό αιώνα πριν, από τους Ινδούς Gospala και Hemachandra, ο Fibonacci συνάντησε αυτή την ακολουθία μελετώντας την Μεγάλη Πυραμίδα του Χέοπα στην Αίγυπτο, η οποία και είναι χτισμένη με βάση τον αριθμό  φ.

Όμως, τι σχέση έχει η ακολουθία Fibonacci με το χρυσό αριθμό; 

Κατασκευάζουμε μια ακολουθία με τους λόγους των διαδοχικών όρων της ακολουθίας Fibonacci.

ακολουθία

Μπορούμε να πάρουμε ένα κομπιουτεράκι και να κάνουμε τις διαιρέσεις. Θα διαπιστώσουμε πως όσο προχωράμε στην ακολουθία, το πηλίκο θα προσεγγίζει όλο και περισσότερο τον αριθμό φ.

π.χ.
5/3=1,66666666...
89/55=1,6181818...
377/233=1,618025751
987/610=1,618032787
46368/28657=1,618033988

Σε μαθηματικούς όρους, αυτό σημαίνει πως η ακολουθία των λόγων δύο διαδοχικών αριθμών Fibonacci έχει ως όριο τον αριθμό φ. Το συμπέρασμα αυτό αποδείχτηκε από τον μαθηματικό Robert Simpson το 1753, δηλαδή πεντέμιση αιώνες αργότερα από τον ορισμό της ακολουθίας από τον Fibonacci!

Εμβαθύνοντας λίγο στην Ανάλυση...

Όπως κάθε ακολουθία που προσδιορίζεται από αναδρομική σχέση, έτσι και η ακολουθία Fibonacci έχει έναν τύπο κλειστής μορφής, δηλαδή έναν γενικό τύπο που δίνει τον ν-οστό όρο. Αυτός είναι γνωστός ως τύπος του Binet:
ο τύπος του Μπινέ

Υπολογίζεται το όριο της ακολουθίας των λόγων δύο διαδοχικών όρων της F(n):
το όριο της ακολουθίας των λόγων δύο διαδοχικών όρων της Εφ του ν ισούται με τον αριθμό φ

Παρόμοια, οι αριθμοί Fibonacci προσεγγίζουν εντυπωσιακά και τη χρυσή έλικα. Παρακάτω βλέπουμε μια κάλυψη του επιπέδου με τετράγωνα, οι πλευρές των οποίων είναι διαδοχικοί αριθμοί Fibonacci.

κάλυψη του επιπέδου με τετράγωνα, οι πλευρές των οποίων είναι διαδοχικοί αριθμοί Φιμπονάτσι

Ενώνουμε κάθε φορά δύο απέναντι κορυφές των τετραγώνων γράφοντας τόξα κύκλων. Σχηματίζεται η έλικα (ή σπείρα) Fibonacci, η οποία αποτελεί προσέγγιση της χρυσής έλικας. 


Χρυσή έλικα


Η χρυσή αναλογία συνδέεται, δηλαδή, με τον πολλαπλασιασμό των κουνελιών, παρόλο που η Ακολουθία Fibonacci σχηματίστηκε ανεξάρτητα από την ευκλείδεια γεωμετρία. 



Ο φ ΚΑΙ Η ΑΛΓΕΒΡΑ

  • Υπολογισμός του φ:

Για να υπολογίσουμε την τιμή του φ, ξεκινάμε από τον ορισμό:
α συν β προς α ισούται με α προς β ισούται με φ
Απλοποιώντας το αριστερό κλάσμα και αντικαθιστώντας το b/a = 1/φ, παίρνουμε
α συν β προς α ισούται με 1 συν β προς α ισούται με 1 συν 1 προς φ
άρα,
1 συν 1 προς φ ισούται με φ
Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη με φ, παίρνουμε: φ + 1 = φ2
επομένως προκύπτει η εξίσωση: φ2 – φ – 1 = 0
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο επίλυσης εξισώσεων 2ου βαθμού, με διακρίνουσα, βρίσκουμε:
φ ίσον 1 συν ρίζα 5 προς 2 ή φ ίσον 1 πλην ρίζα 5 προς 2

Επειδή το φ εκφράζει αναλογία μεταξύ θετικών ποσοτήτων, το φ είναι αναγκαστικά θετικό:
φ ίσον 1 συν ρίζα 5 προς 2, περίπου ίσο με 1,618

  • Ιδιότητες:

1) Αν ελαττώσουμε τον φ κατά 1 μονάδα, αντιστρέφεται!
Επειδή φ = 1 + 1/φ , προκύπτει ότι 
ιδιότητα του φ
2) Αν υψώσουμε τον φ στο τετράγωνο, αυξάνεται κατά 1 μονάδα!
Επειδή φ2 = 1 + φ, παίρνουμε 
ιδιότητα του φ
και αυτό μπορεί να συνεχιστεί επ’ άπειρον.

3) Ακόμα, για τον αριθμό φ ισχύει ότι:
  • φ = 1φ
  • φ2 = 1φ + 1
  • φ3 = 2φ + 1
  • φ4 = 3φ + 2
  • φ5 = 5φ + 3
  • φ6 = 8φ + 5 …
Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι στις δυνάμεις του φ «κρύβεται» η ακολουθία Fibonacci!
Η παραπάνω έκφραση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την ανάλυση μεγάλων δυνάμεων φn σε έναν γραμμικό συνδυασμό του φ και του 1. Η σχέση που προκύπτει παράγει αριθμούς Fibonacci ως γραμμικούς συντελεστές:
φn =  F(n) φ + F(n-1)

4) Μια άλλη έκφραση του αριθμού φ βασισμένη μόνο στο ψηφίο του 5 είναι η παρακάτω και οφείλεται στον Erol Karazincir:
έκφραση του αριθμού φ


ΠΑΝΤΑΧΟΥ ΠΑΡΩΝ…

Το Σύμπαν δείχνει να τρέφει μια ιδιαίτερη αδυναμία για τον αριθμό φ με τα άπειρα δεκαδικά ψηφία. 

σπειροειδής γαλαξίας


(Συνεχίζεται...)

Πηγές:
Περιοδικό Focus
goldennumber.net
wikipedia.org
Πανεπιστημιακές σημειώσεις "Ευκλείδεια και μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες" καθηγητή Χρ.Μπαϊκούση, 2011

Δευτέρα 28 Μαΐου 2018

Εν όψει των εξετάσεων...

Καλή επιτυχία στα παιδιά μας που δίνουν εξετάσεις!!! Παιδιά, κάντε συστηματικά την επανάληψή σας, χωρίς να κόψετε εντελώς τις βόλτες σας, γιατί τα πάντα χρειάζονται ένα πρόγραμμα! Και όταν γράφετε Μαθηματικά, προσοχή στις απλοποιήσεις! Να ξέρετε πως...

Κάθε φορά που κάνετε ένα λάθος στην απλοποίηση, ένα γατάκι πεθαίνει

Τετάρτη 23 Μαΐου 2018

Σύνθετο... φρουτο-κουίζ!

  1. Βρίσκουμε τον αριθμό στη θέση του λεμονιού
  2. Βρίσκουμε τον αριθμό στη θέση του μήλου
  3. Βρίσκουμε τον αριθμό στη θέση του πορτοκαλιού
  4. Βρίσκουμε τον αριθμό στη θέση του ερωτηματικού!


Βρείτε τον αριθμό στη θέση του ερωτηματικού

Αφήστε σχόλιο με τον αριθμό που βρήκατε... Η λύση θα δοθεί σύντομα!!!
  

Κυριακή 13 Μαΐου 2018

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Υπερβολή


Μαθαίνουμε για την υπερβολή μέσα από έργα τέχνης...

Josh Hufford (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Within The Emptiness: Hyperbola"

Mary Rouncefield (Σύγχρονη καλλιτέχνιδα) - "Hyperbola"

Slav Nedev (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Y=f(x)" (1995)


Τα βιβλία γράφουν...

Έστω Ε και Ε΄ δύο σημεία του επιπέδου. Ονομάζεται υπερβολή με εστίες τα σημεία Ε και Ε΄ ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου, των οποίων η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων από τα Ε και Ε΄ είναι σταθερή και μικρότερη του Ε΄Ε. Η απόσταση Ε΄Ε ονομάζεται εστιακή απόσταση της υπερβολής.


Russell Kightley (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Hyperbola"


Τα βιβλία επίσης γράφουν...

Η υπερβολή μπορεί να προκύψει από την τομή ενός κώνου με ένα επίπεδο, γι' αυτό και είναι μία από τις κωνικές τομές. 


.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.

"O πίνακας ζωγραφικής "Y=f(x)" δημιουργήθηκε με τη βοήθεια ενός μαθηματικού τύπου, συγκεκριμένα της συνάρτησης y=1/x. H καμπύλη που προκύπτει είναι μια υπερβολή. Η άλλη αρχή που χρησιμοποιήθηκε είναι αυτή της χρυσής τομής. Ήταν ενδιαφέρον να πειραματιστώ, θέλοντας να δείξω πώς μια μαθηματική έκφραση μπορεί επίσης να έχει αισθητική. Τα Μαθηματικά είναι παντού γύρω μας και μας πληροφορούν για την όλη ύπαρξη".
Slav Nedev

.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.



Πηγές:
  • Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β' Γενικού Λυκείου, ΟΕΔΒ, 2003
  • Θ. Κουφογιώργος, Μαθήματα Αναλυτικής Γεωμετρίας, Τυπογραφείο Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, 2004
  • E.H. Gombrich, Το Χρονικό της Τέχνης, Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, 1995
  • Wassily Kandinsky, Σημείο-Γραμμή-Επίπεδο, Εκδόσεις Δωδώνη, 2013
  • Wassily Kandinsky, Για το πνευματικό στην Τέχνη, Εκδόσεις Νεφέλη, 1981
  • H.L.C Jaffe, Η ζωγραφική στον 20ό αιώνα, Εκδόσεις Νεφέλη, 1984
  • Deviant Art: Josh Hufford 
  • Fine Art America: Hyperbola
  • Mary Rouncefield
  • Saatchi Art: Slav Nedev
  • wikipedia.org

Κυριακή 6 Μαΐου 2018

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Παραβολή


Μαθαίνουμε για την παραβολή μέσα από έργα τέχνης...

Josh Hufford (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "This Holy Reality-Parabola"

Jutta Maria Pusl (Σύγχρονη καλλιτέχνιδα) - "Parabolic"


Mary Rouncefield (Σύγχρονη καλλιτέχνιδα) - "Confined"

Mary Rouncefield (Σύγχρονη καλλιτέχνιδα) - "Area"


Τα βιβλία γράφουν...

Έστω μια ευθεία δ και ένα σημείο Ε εκτός της δ. Ονομάζεται παραβολή με εστία το σημείο Ε και διευθετούσα την ευθεία δ ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από την Ε και τη δ. Αν Α είναι η προβολή της εστίας Ε στη διευθετούσα δ, τότε το μέσο Κ του ΕΑ είναι προφανώς σημείο της παραβολής και λέγεται κορυφή της.


Russell Kightley (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Parabola"



Τα βιβλία επίσης γράφουν...

Η παραβολή μπορεί να προκύψει από την τομή ενός κώνου με ένα επίπεδο, γι' αυτό και είναι μία από τις κωνικές τομές. 


Πηγές:
  • Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β' Γενικού Λυκείου, ΟΕΔΒ, 2003
  • Θ. Κουφογιώργος, Μαθήματα Αναλυτικής Γεωμετρίας, Τυπογραφείο Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, 2004
  • E.H. Gombrich, Το Χρονικό της Τέχνης, Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, 1995
  • Wassily Kandinsky, Σημείο-Γραμμή-Επίπεδο, Εκδόσεις Δωδώνη, 2013
  • Wassily Kandinsky, Για το πνευματικό στην Τέχνη, Εκδόσεις Νεφέλη, 1981
  • H.L.C Jaffe, Η ζωγραφική στον 20ό αιώνα, Εκδόσεις Νεφέλη, 1984
  • Deviant Art: Josh Hufford 
  • Fine Art America: Jutta Maria Pusl
  • Pixels: Russell Kightley
  • Mary Rouncefield
  • wikipedia.org

Κυριακή 22 Απριλίου 2018

Μετρώντας τη Γη: Ο μεγαλοφυής υπολογισμός του Ερατοσθένη

Η πρώτη φορά στην ιστορία κατά την οποία έγινε πραγματική μέτρηση για τον υπολογισμό της περιμέτρου της Γης, ήταν από τον Ερατοσθένη τον Κυρηναίο (276 πΧ – 194 πΧ), ο οποίος υπολόγισε με εκπληκτική ακρίβεια την περίμετρο της Γης από... ένα πηγάδι. Για τη μέτρηση αυτή ο Ερατοσθένης είχε γράψει ιδιαίτερη πραγματεία, όπως πληροφορούμαστε από την «Διόπτρα» του Ήρωνος του Αλεξανδρέως, ο οποίος αναφερόμενος στο μέγεθος της περιμέτρου της Γης σημειώνει: «Ερατοσθένης εν τω επιγραφομένω περί αναμετρήσεως της Γης».
Ερατοσθένης

Ο Ερατοσθένης γεννήθηκε στην ελληνική αποικία της Βόρειας Αφρικής, Κυρήνη και ήταν φίλος με τον Αρχιμήδη. Λέγεται ότι είχε ζήσει στην Αθήνα για αρκετά χρόνια, ώσπου έγινε βιβλιοθηκάριος στην περίφημη βιβλιοθήκη της Αλεξάνδρειας, όπου και μελετούσε.
Πώς ένα πηγάδι βοήθησε τον Ερατοσθένη να αποδείξει ότι η Γη είναι στρογγυλή...
Η άποψη ότι η Γη ήταν σφαιρική ήταν αποδεκτή στην αρχαία Ελλάδα. Ο Ερατοσθένης ήταν εκείνος που απέδειξε μαθηματικά αυτή την πεποίθηση και μάλιστα υπολόγισε με αξιοθαύμαστη ακρίβεια την ακτίνα και την περίμετρο της σφαιρικής Γης.


Παρατηρήσεις στην Αλεξάνδρεια και στη Συήνη

Την εποχή που βρισκόταν στη βιβλιοθήκη, ο Ερατοσθένης πληροφορήθηκε για ένα πολύ περίεργο πηγάδι, το οποίο βρισκόταν κοντά στη Συήνη (σημερινό Ασουάν της νότιας Αιγύπτου). Κάθε χρόνο, το μεσημέρι της 21ης Ιουνίου - τη μέρα του θερινού ηλιοστασίου, δηλαδή τη μεγαλύτερη μέρα του έτους - ο Ήλιος καθρεφτιζόταν ολόκληρος μέσα στο πηγάδι και το φώτιζε μέχρι τον πυθμένα του, χωρίς να δημιουργείται σκιά γύρω από αυτό. Ο Ερατοσθένης συμπέρανε ότι για να συμβαίνει κάτι τέτοιο, τη συγκεκριμένη μέρα ο Ήλιος έπρεπε να βρίσκεται ακριβώς κατακόρυφα πάνω από το πηγάδι.

Αλεξάνδρεια και Συήνη

Ο ήλιος όμως δεν συμπεριφερόταν το ίδιο και στα βόρεια της Αιγύπτου. Στην Αλεξάνδρεια, η οποία απέχει 800 χλμ από το Ασουάν, την ίδια εκείνη μέρα, ο ήλιος δημιουργούσε μια μικρή σκιά σε μια ψηλή κολώνα. Αυτό σήμαινε ότι οι δύο πόλεις σίγουρα δεν έβλεπαν τον ήλιο υπό την ίδια γωνία. Ο Ερατοσθένης γνώριζε ήδη από προγενέστερες αστρολογικές μετρήσεις που διάβασε στη βιβλιοθήκη ή από δικούς του υπολογισμούς, ότι η Συήνη και η Αλεξάνδρεια ανήκαν στον ίδιο μεσημβρινό. Επομένως ο λόγος που ο Ήλιος δεν μπορούσε να μεσουρανεί ταυτόχρονα στη Συήνη και στην Αλεξάνδρεια οφειλόταν στο ότι η Γη ήταν στρογγυλή και όχι επίπεδη. 

Οι υπολογισμοί του Ερατοσθένη

Πώς ο Ερατοσθένης υπολόγισε την περίμετρο της Γης...

Το πείραμα του Ερατοσθένη βασίστηκε στη μέτρηση της γωνίας υπό την οποία ο Ήλιος έστελνε τις ακτίνες του σε δύο διαφορετικές τοποθεσίες (Αλεξάνδρεια και Συήνη), την ίδια χρονική στιγμή.  Ο Ερατοσθένης πραγματοποίησε το πείραμα στις 21 Ιουνίου, την ημέρα του θερινού ηλιοστασίου, όταν η Γη παρουσιάζει τη μέγιστη κλίση της ως προς τον Ήλιο. Αυτό σημαίνει ότι ο Ήλιος το μεσημέρι βρισκόταν ακριβώς πάνω από τις δύο πόλεις.

Παράλληλες ακτίνες να φτάνουν από τον Ήλιο στη Γη.

Στο σχήμα βλέπουμε παράλληλες ακτίνες να φτάνουν από τον Ήλιο στη Γη. Το μεσημέρι της 21ης Ιουνίου, οι ηλιακές ακτίνες βυθίζονται στο πηγάδι της Συήνης, χωρίς να δημιουργούν καμία σκιά, επομένως «κατευθύνονται» προς το κέντρο της Γης. 

Την ίδια χρονική στιγμή στην Αλεξάνδρεια, μία ψηλή κολώνα (κάθετη στο έδαφος) σχηματίζει μια μικρή σκιά. Ο Ερατοσθένης μέτρησε το ύψος της κολώνας και το μήκος της σκιάς της. Έτσι δημιούργησε ένα ορθογώνιο τρίγωνο και, χρησιμοποιώντας την τριγωνομετρία, υπολόγισε τη γωνία που σχηματιζόταν ανάμεσα στην κολώνα και στις ακτίνες του Ήλιου. Το αποτέλεσμα ήταν ότι η γωνία ήταν φ = 7,2˚ , δηλαδή το 1/50 της περιφέρειας του κύκλου που είναι 360˚.


Οι μετρήσεις του Ερατοσθένη

Εδώ έχει μεγάλη σημασία το ότι η γωνία φ ισούται με τη γωνία που σχηματίζεται ανάμεσα στις δύο ακτίνες που συνδέουν το κέντρο της Γης με την Αλεξάνδρεια και τη Συήνη αντίστοιχα (εντός εναλλάξ γωνίες).

Στη συνέχεια, με την βοήθεια του βασιλιά Πτολεμαίου, ο οποίος διέθεσε ένα είδος οδομέτρου με γρανάζια, μέτρησε την απόσταση των δύο πόλεων, που ήταν 5.040 στάδια. Στο πείραμα του, τα 5.040 στάδια αντιστοιχούσαν στο 1/50 της περιφέρειας του κύκλου.

Τέλος, πολλαπλασίασε το 5.040 με το 100% του κύκλου, δηλαδή το 50, και έτσι υπολόγισε την περίμετρο της Γης στα 252.000 στάδια, ή με τη σύγχρονη μονάδα μέτρησης, 39.690 χιλιόμετρα. Ο υπολογισμός που έκανε ο Ερατοσθένης 2.200 χρόνια πριν ήταν αρκετά ακριβής. Σήμερα η περίμετρος της Γης υπολογίζεται σύμφωνα με δορυφορικές μετρήσεις σε 40.048 χιλιόμετρα, άρα στην ουσία έπεσε έξω μόλις 358 χιλιόμετρα!


Πηγες:
Τζόνι Μπολ, Μαθημαγικά, Εκδόσεις Polaris, 2011
wikipedia.org

Δευτέρα 9 Απριλίου 2018

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Έλλειψη


Μαθαίνουμε για την έλλειψη μέσα από έργα τέχνης.

Πίνακας του Μάλεβιτς που απεικονίζει μια έλλειψη
Kazimir Malevich (1879 - 1935) - "Black Cross on Red Oval" 

Πίνακας του Κέλλυ που απεικονίζει μια έλλειψη
Ellsworth Kelly (1923 - 2015) - "Red/Blue" (1964) 

Πίνακας του Κέλλυ που απεικονίζει τρεις ελλείψεις
Ellsworth Kelly (1923 - 2015) - Blue and Yellow and Red-Orange

Josh Hufford (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Tedious Path-Ellipse"

Mary Rouncefield (Σύγχρονη καλλιτέχνιδα) - "Ellipse"

Κρεμαστό γλυπτό του 1921 σε σχήμα έλλειψης
"Oval Hanging Construction", κρεμαστό γλυπτό του Alex Rodchenko (1921)

Τα βιβλία γράφουν...

Έλλειψη λέμε το σύνολο των σημείων του επιπέδου, των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία (εστίες της έλλειψης) είναι σταθερό και μεγαλύτερο από την απόσταση μεταξύ των εστιών.


Russell Kightley (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Conic Sections: Ellipse"


Τα βιβλία επίσης γράφουν...

Η έλλειψη μπορεί να προκύψει από την τομή ενός κώνου με ένα επίπεδο, γι' αυτό και είναι μία από τις κωνικές τομές. 


.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.

"Ο θεωρητικός μαθηματικός, όπως ο μουσικός, είναι ένας ελεύθερος δημιουργός ενός κόσμου διατεταγμένης ομορφιάς".
Bertrand Russel (1872 - 1970)

.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.


 Πηγές:
  • Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β' Γενικού Λυκείου, ΟΕΔΒ, 2003
  • Θ. Κουφογιώργος, Μαθήματα Αναλυτικής Γεωμετρίας, Τυπογραφείο Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, 2004.
  • E.H. Gombrich, Το Χρονικό της Τέχνης, Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, 1995
  • Wassily Kandinsky, Σημείο-Γραμμή-Επίπεδο, Εκδόσεις Δωδώνη, 2013
  • Wassily Kandinsky, Για το πνευματικό στην Τέχνη, Εκδόσεις Νεφέλη, 1981
  • H.L.C Jaffe, Η ζωγραφική στον 20ό αιώνα, Εκδόσεις Νεφέλη, 1984
  • Deviant Art: Josh Hufford 
  • Mary Rouncefield
  • Pixels: Russell Kightley
  • wikipedia.org