Υπάρχει σε όλα λύση; Ταξίδι στον Κόσμο των Αρχαίων Ελληνικών Μαθηματικών...Ξανά και το 2024...

 

Ετοιμαστείτε να ανακαλύψετε τα μυστικά της μαθηματικής σκέψης και να μάθετε την ιστορία των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών στο Κέντρο Πολιτισμού «Ελληνικός Κόσμος»!

 

Διαδραστικές και ψηφιακές εφαρμογές, εκθέματα Εικονικής Πραγματικότητας, κείμενα, εντυπωσιακές προβολές και κατασκευές συνθέτουν μία μοναδική έκθεση, με την αξιοποίηση της σύγχρονης τεχνολογίας.

 

Τα πλατωνικά στερεά

Πρόκειται για μια εντυπωσιακή έκθεση στο Κέντρο Πολιτισμού «Ελληνικός Κόσμος» που αφορά την ιστορία των μαθηματικών και την ανάπτυξη της μαθηματικής σκέψης στον αρχαίο ελληνικό κόσμο, την επιρροή τους σε άλλες επιστήμες και τέχνες, όπως την αστρονομία, τη μαθηματική γεωγραφία και τη μουσική. Αναφέρεται στα πιο σημαντικά «επεισόδια» και πρόσωπα της ιστορίας των ελληνικών μαθηματικών, όπως ο Θαλής, ο Ευκλείδης και ο Πυθαγόρας.

  

Ο διπλασιασμός του τετραγώνου

Μέσα από μια σειρά διαδραστικών δραστηριοτήτων, οι επισκέπτες έρχονται σε επαφή με τα αριθμητικά συστήματα των Αιγυπτίων και των Βαβυλωνίων. Εξοικειώνονται με το θεώρημα του Θαλή, τους τρίγωνους και τετράγωνους αριθμούς των Πυθαγορείων, το Πυθαγόρειο θεώρημα και την έννοια της μαθηματικής απόδειξης. Χάρη στον εκπαιδευτικό και ψυχαγωγικό χαρακτήρα της έκθεσης, οι επισκέπτες ανακαλύπτουν πώς τα μαθηματικά μπορούν να γίνουν ενδιαφέροντα, ευχάριστα και κατανοητά.

 

Οι κωνικές τομές

Στην έκθεση θα…

…γράψουμε αριθμούς με βάση τα ιερογλυφικά σύμβολα των αρχαίων Αιγυπτίων και τη σφηνοειδή γραφή των Βαβυλώνιων.

…προσπαθήσουμε να μοιράσουμε ακριβώς 6 καρβέλια ψωμί σε 10 άνδρες και θα γνωρίσουμε τον τρόπο με τον οποίο οι αρχαίοι Αιγύπτιοι το κατάφεραν, όπως παρουσιάζεται στον πάπυρο Rhind, το εκτενέστερο και ένα από τα πιο γνωστά κείμενα των αιγυπτιακών μαθηματικών.

…αναζητήσουμε γύρω μας σχήματα, όπως έκανε ο Θαλής και οι Ίωνες φιλόσοφοι και θα τα σχηματίσουμε στην άμμο με ραβδί.

…μάθουμε πώς υπολόγισε ο Θαλής το ύψος της πυραμίδας του Χέοπα, μόνο με ένα σχοινί και με την παρατηρητικότητά του...

…γνωρίσουμε τον Πυθαγόρα, τον άνθρωπο που έβλεπε παντού αριθμούς και θα πειραματιστούμε με τη μουσική κλίμακα στο μονόχορδό του.

…αναρωτηθούμε για το εάν υπάρχει τελικά σε όλα λύση, με κανόνα και διαβήτη και θα γνωρίσουμε τα τρία άλυτα προβλήματα της αρχαιότητας.

…μάθουμε πώς το λουτρό ενός πανεπιστήμονα μαθηματικού της αρχαιότητας έγινε αφορμή για έναν θεμελιώδη νόμο της υδροστατικής και πώς έγινε διάσημη η λέξη «Εύρηκα».

…δούμε πώς ο Ερατοσθένης κατάφερε με ελάχιστα μέσα να υπολογίσει με μεγάλη ακρίβεια την περιφέρεια της Γης.

…πειραματιστούμε με τον άβακα, το εργαλείο με το οποίο έκαναν υπολογισμούς και πράξεις οι αρχαίοι.

…αναρωτηθούμε από πού αντλούμε τις γνώσεις μας για τα αρχαία ελληνικά μαθηματικά.

…λύσουμε ένα πρόβλημα πρακτικής αριθμητικής του 15ου αιώνα, στο οποίο θα βοηθήσουμε μια κυρία να βρει πόσα ήταν τα αυγά που κρατούσε πριν σπάσουν.

Επιλύοντας ένα πρόβλημα πρακτικής αριθμητικής του 15ου αιώνα

  

Ψηφιακές εφαρμογές συνυπάρχουν με φυσικά διαδραστικά εκθέματα, όπως κατασκευές και προσφέρουν στον επισκέπτη μια μοναδική «ζωντανή» περιήγηση στον κόσμο των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών. Τα παιδιά μαθαίνουν παίζοντας και οι ενήλικοι μαγεύονται από τη γοητεία της μαθηματικής επιστήμης.

 

Για πρώτη φορά, στην έκθεση θα βιώσετε μοναδικές εμπειρίες Εικονικής Πραγματικότητας χάρη στα προηγμένα προγράμματα του «Ελληνικού Κόσμου», της «Κιβωτού», το πρώτο σύστημα εικονικής πραγματικότητας στην Ελλάδα ή του «Εικονικού Κινηματογράφου».

Η έκθεση αρχικά είχε παρουσιαστεί στο Κέντρο Πολιτισμού "Ελληνικός Κόσμος" από το 2003 μέχρι το 2013. Έπειτα φιλοξενήθηκε στο χώρο της Δ.Ε.Θ. από το Σεπτέμβριο του 2022 μέχρι τον Μάρτιο του 2023 (την είχαμε παρουσιάσει τότε στο "εις το άπειρον" εδώ). Η νέα εμπλουτισμένη έκθεση, την οποία έχει επιμεληθεί η ομάδα του Ιδρύματος Μείζονος Ελληνισμού, αποτελεί συνέχεια της έκθεσης που είχε πραγματοποιηθεί με μεγάλη επιτυχία στο Κέντρο Πολιτισμού «Ελληνικός Κόσμος» και είχε συγκροτηθεί με τη φροντίδα των επιστημόνων του ΙΜΕ, καθώς και με την ευγενική συμβολή της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας, ενώ η επιστημονική επιμέλεια της έκθεσης έφερε την υπογραφή του ειδικού της Ιστορίας των Μαθηματικών, καθηγητή Γιάννη Χριστιανίδη. Τη μουσειολογική μελέτη είχαν εκπονήσει η Αλεξάνδρα Νικηφορίδου, η Ανδρομάχη Γκαζή και η Θεανώ Μουσούρη, ενώ τη μουσειογραφική μελέτη είχε επιμεληθεί ο Σταμάτης Ζάννος.

 

🗓Έναρξη έκθεσης: 16 Νοεμβρίου 2024

📍Τοποθεσία: Κέντρο Πολιτισμού "Ελληνικός Κόσμος", Πειραιώς 254, Ταύρος

💻Περισσότερες πληροφορίες και εισιτήρια: Ελληνικός Κόσμος

"Γυναίκες μαθηματικοί στο περιθώριο της ιστορίας"

Πορτρέτα τριάντα πέντε πρωτοπόρων γυναικών μαθηματικών, οι οποίες σε διάφορες ιστορικές περιόδους, χώρες και πολιτισμούς, υπερβαίνοντας εμπόδια και προκαταλήψεις, συνέβαλαν καθοριστικά στην εξέλιξη της επιστήμης. Για τις γυναίκες αυτές, όμως, η Ιστορία και οι ιστορίες των μαθηματικών δεν έχουν αφιερώσει παρά μόνο σύντομα σχόλια ή ελάχιστες αναφορές στο περιθώριό τους ή τις έχουν εντελώς αγνοήσει.

Λέγεται συχνά ότι η Ιστορία γράφεται από τους νικητές, αλλά η ιστορία των μαθηματικών γράφτηκε από τους άνδρες, τους νικητές στον άδικο πόλεμο των μύθων και των προκαταλήψεων σε βάρος διαπρεπών γυναικών μαθηματικών. Μια αδικία που το βιβλίο αυτό επιδιώκει να αποκαταστήσει.

Η παρουσίαση του βιβλίου του Δημήτρη Χασάπη, "Γυναίκες μαθηματικοί στο περιθώριο της ιστορίας" θα γίνει την Πέμπτη 17 Οκτωβρίου 2024 και ώρα 7.30μμ στο IANOS café, Σταδίου 24, Αθήνα. 

Πρώτοι και σύνθετοι αριθμοί: Το κόσκινο του Ερατοσθένη και μια απόδειξη του Ευκλείδη

 

Πρώτος καλείται ένας φυσικός αριθμός που διαιρείται μόνο με το 1 και τον εαυτό του. Για παράδειγμα οι αριθμοί 2, 3, 11, 17 είναι πρώτοι. Ένας αριθμός που δεν είναι πρώτος καλείται σύνθετος. Για παράδειγμα, ο αριθμός 9 είναι σύνθετος, αφού εκτός της μονάδας και του εαυτού του έχει διαιρέτη και το 3.

Επειδή το 1 έχει μόνο έναν διαιρέτη (το 1, που είναι και ο εαυτός του), δεν είναι ούτε πρώτος ούτε σύνθετος αριθμός. Το 2 είναι ο μοναδικός άρτιος πρώτος, ενώ όλοι οι υπόλοιποι πρώτοι αριθμοί είναι περιττοί.

Μπορούμε να βρούμε όλους τους πρώτους αριθμούς με ένα «κόσκινο»: Το κόσκινο του Ερατοσθένη κρατάει όλους τους σύνθετους αριθμούς και αφήνει να περάσουν όλοι οι πρώτοι.

Το κόσκινο του Ερατοσθένη: Από το βιβλίο Μαθηματικών της Α΄ Γυμνασίου, εκδόσεις Διόφαντος, 2023

Για να βρούμε τους πρώτους αριθμούς, εργαζόμαστε ως εξής:

1. Αφήνουμε απέξω το 1 (είπαμε: δεν είναι ούτε πρώτος, ούτε σύνθετος).

2. Παίρνουμε τον επόμενο αριθμό (το 2). Τον κρατάμε και σβήνουμε όλα τα πολλαπλάσιά του.

3. Παίρνουμε τον επόμενο άσβηστο αριθμό (το 3).
Τον κρατάμε και σβήνουμε όλα τα πολλαπλάσιά του (όσα δεν έχουν σβηστεί από πριν, ως πολλαπλάσια του 2).

​4. Παίρνουμε τον επόμενο άσβηστο αριθμό (το 5).
Τον κρατάμε και σβήνουμε όλα τα πολλαπλάσιά του (όσα έχουν σβηστεί από πριν).

5. Παίρνουμε τον επόμενο αριθμό που έμεινε (το 7).
Τον κρατάμε και σβήνουμε όλα τα πολλαπλάσιά του (όσα δεν είναι σβησμένα από πριν).

Με τον ίδιο τρόπο συνεχίζουμε για πάντα (αφού οι αριθμοί δεν τελειώνουν ποτέ)!

 

Αν όμως θέλουμε να βρούμε τους πρώτους αριθμούς μέχρι το 120 (όπως κάνουμε τώρα), δεν χρειάζεται να προχωρήσουμε παραπάνω από το 7, αφού...
​
...οι αριθμοί που έχουν μείνει, (αυτοί που είναι μέσα στα κυκλάκια) είναι οι πρώτοι αριθμοί.

 

Οι πρώτοι αριθμοί μέχρι το 120 δίνονται παρακάτω:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113.

Γεννάται λοιπόν το ερώτημα: Πόσοι είναι οι πρώτοι αριθμοί; Την απάντηση έδωσε ο Ευκλείδης στα "Στοιχεία" του (Πρόταση ΙΧ.20) αποδεικνύοντας ότι το πλήθος τους είναι άπειρο. Η απόδειξη παραφράζεται εδώ και είναι η εξής:

Εξετάστε οποιαδήποτε πεπερασμένη λίστα πρώτων αριθμών p1, p2 , ... , pn. Θα αποδειχθεί, ότι υπάρχει τουλάχιστον ένας πρόσθετος πρώτος αριθμός, που δεν υπάρχει στη λίστα. Έστω P το γινόμενο όλων των πρώτων αριθμών στη λίστα, δηλ. 

P =p1 · p2 ·  ... ·  pn 

 Ας είναι q = P + 1. Τότε ο q είναι είτε πρώτος ή όχι:

• Εάν ο q είναι πρώτος, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένας ακόμη πρώτος, που δεν περιλαμβάνεται στη λίστα.
• Εάν ο q δεν είναι πρώτος, τότε κάποιος πρώτος παράγοντας p διαιρεί τον q. Εάν αυτός ο παράγοντας p ήταν στη λίστα μας, τότε θα διαιρούσε το P (αφού το P είναι το γινόμενο κάθε αριθμού στη λίστα). Αλλά ο p διαιρεί επίσης το P + 1 = q, όπως μόλις αναφέρθηκε. Εάν ο p διαιρεί το P και το q, τότε το p πρέπει επίσης να διαιρεί τη διαφορά των δύο αριθμών, που είναι  (P + 1) - P = 1. Δεδομένου ότι κανένας πρώτος αριθμός δεν διαιρεί το 1, ο p δεν μπορεί να είναι στη λίστα. Αυτό σημαίνει, ότι υπάρχει τουλάχιστον ένας ακόμη πρώτος αριθμός πέραν εκείνων της λίστας.

Αυτό αποδεικνύει ότι για κάθε πεπερασμένη λίστα πρώτων αριθμών, υπάρχει ένας πρώτος αριθμός, που δεν βρίσκεται στη λίστα. Άρα οι πρώτοι αριθμοί είναι άπειροι σε πλήθος.

Η απόδειξη αυτή του Ευκλείδη θεωρείται από τις κομψότερες αποδείξεις στην ιστορία των μαθηματικών.

 

Ένα κομμάτι παπύρου των Στοιχείων του Ευκλείδη, που χρονολογείται περίπου στο 75-125 μ.Χ.

Πηγές: 

Σημειώσεις Θεωρίας Αριθμών, Α. Θωμά, Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων

Wikipedia.org

"Τα τέσσερα χρώματα του καλοκαιριού"

 

Στη δίνη των γεγονότων του ταραγμένου εικοστού αιώνα, τρεις μεγάλοι έρωτες κι ένα "περιθωριακό" μαθηματικό πρόβλημα συνθέτουν τον καμβά του μυθιστορήματος «Τα τέσσερα χρώματα του καλοκαιριού» του Τεύκρου Μιχαηλίδη. Στο κέντρο του κύκλου, που οι ακτίνες του περνούν απ' το Παρίσι, το Γκέτινγκεν και την Αθήνα, βρίσκεται η Σέριφος: η Σέριφος των πρώτων εργατικών κινητοποιήσεων του 1916, η Σέριφος του οικονομικού μαρασμού που ακολούθησε το κλείσιμο των μεταλλείων το 1963, η Σέριφος της άλογης τουριστικής ανάπτυξης που ζούμε σήμερα. Τρεις Σερφιώτισσες, γιαγιά, μάνα και κόρη, ζουν η καθεμιά το δικό της ερωτικό δράμα με φόντο έναν μαθηματικό γρίφο που, αφού επί ένα περίπου αιώνα παίδεψε μερικές από τις λαμπρότερες μαθηματικές ιδιοφυίες, έβαλε, με τη λύση του, μια μικρή βόμβα στον τρόπο που σκεφτόμαστε τα μαθηματικά: πόσο μπορούμε να εμπιστευτούμε μια λύση που βασίζεται σε δεδομένα ηλεκτρονικού υπολογιστή τα οποία δεν μπορούμε να ελέγξουμε; Άραγε στον αιώνα της πληροφορικής "απόδειξη" σημαίνει το ίδιο που σήμαινε και την εποχή του Ευκλείδη; Κι ακόμα, πόσο μπορεί ένα μαθηματικό πρόβλημα να επηρεάσει τις συγκλίνουσες τροχιές μιας γυναίκας κι ενός άντρα που οι καρδιές τους μοιάζουν να έχουν φτιαχτεί για να χτυπούν συντονισμένα;

 

Ο Τεύκρος Μιχαηλίδης, με αφορμή το πρόβλημα των τεσσάρων χρωμάτων, βρίσκει την ευκαιρία να θέσει ένα άλλο πρόβλημα, αυτό της "απόδειξης" στον αιώνα της πληροφορικής. Αδυνατώντας οι μαθηματικοί να δώσουν μόνοι τους τη λύση κατέφυγαν στη βοήθεια του ηλεκτρονικού υπολογιστή. Άραγε n "απόδειξη" μέσω ηλεκτρονικού υπολογιστή έχει την ίδια αξία όπως στην εποχή του Ευκλείδη; Ο αναγνώστης θα μείνει με ένα σοβαρό φιλοσοφικό ερώτημα, αλλά θα έχει απολαύσει ένα ωραίο μυθιστόρημα. 

📚Αν δεν βρίσκετε το βιβλίο από τις εκδόσεις Πόλις, καθώς έχει εξαντληθεί από τον εκδότη, μπορείτε να αναζητήσετε μία νεότερη έκδοση του βιβλίου από τις εκδόσεις Ψυχογιός.

Το πρόβλημα των τεσσάρων χρωμάτων

 

Το πρόβλημα των τεσσάρων χρωμάτων (four-color problem), είναι ένα "πολύχρωμο" πρόβλημα, που είναι πολύ εύκολο να εξηγηθεί και να κατανοηθεί, αλλά η πολύπλοκη απόδειξή του, που συνάρπαζε και απογοήτευε γενιές μαθηματικών, εξακολουθεί να προκαλεί τη μαθηματική κοινότητα, καθώς είναι το πρώτο θεώρημα στην ιστορία που αποδείχτηκε με χρήση ηλεκτρονικού υπολογιστή. Σε αυτή την ανάρτηση θα μάθουμε περί τίνος πρόκειται...

Παράδειγμα χάρτη χρωματισμένου με τέσσερα χρώματα

Ένα από τα μεγάλα επεισόδια στην ιστορία των μαθηματικών ξεκίνησε στις 23 Οκτωβρίου 1852. Σε μια επιστολή του προς τον Sir William Rowan Hamilton, ο Augustus De Morgan έγραψε: «Ένας μαθητής μου ζήτησε σήμερα να του εξηγήσω ένα γεγονός που δεν ήξερα ότι ήταν γεγονός -και δεν το ξέρω ακόμα».

Μέχρι σήμερα, αυτό το "γεγονός" συνεχίζει να συναρπάζει και να προκαλεί τους μελετητές. Ο φοιτητής ήταν ο Frederick Guthrie και το εν λόγω "γεγονός" προερχόταν αρχικά από τον αδελφό του, Francis. Αφού εξέτασε έναν χάρτη των βρετανικών κομητειών, αναρωτήθηκε αν ήταν πάντα δυνατό να χρωματιστεί ένας χάρτης χρησιμοποιώντας 4 ή λιγότερα χρώματα, διασφαλίζοντας ταυτόχρονα ότι οι περιοχές που έχουν κοινά σύνορα (περισσότερα από ένα γωνιακό σημείο) έχουν διαφορετικά χρώματα.

Φαινόταν ότι αυτό θα έπρεπε να είναι πάντα εφικτό. «Όσο περισσότερο το σκέφτομαι τόσο πιο προφανές φαίνεται», έγραψε ο De Morgan. Παρόλα αυτά, το πρόβλημα δεν ενθουσίασε τον Hamilton και οι προσπάθειες του De Morgan να προσελκύσει το ενδιαφέρον άλλων ερευνητών απέτυχαν επίσης.

Σύμφωνα με το Θεώρημα των τεσσάρων χρωμάτων, απαιτούνται τέσσερα χρώματα για να χρωματίσετε τη Δυτική Βιρτζίνια, την Πενσυλβάνια, το Οχάιο, το Κεντάκι, τη Βιρτζίνια και το Μέριλαντ -τρία για τους γείτονες της Δυτικής Βιρτζίνια και ένα τέταρτο για την ίδια τη Δυτική Βιρτζίνια.

Το πρόβλημα έμεινε σε αδράνεια μέχρι το 1878, όταν ο Arthur Cayley ρώτησε τα μέλη της Μαθηματικής Εταιρείας του Λονδίνου αν κάποιος είχε βρει μια απόδειξη. Αμέσως μετά, άρχισαν να εμφανίζονται αποδείξεις. Η πρώτη, του δικηγόρου Alfred Kempe το 1879, ήταν αυτή που αποδείχθηκε η πιο σημαντική. Η απόδειξη ήταν πειστική και έγινε αποδεκτή ως σωστή για πάνω από μια δεκαετία. Δυστυχώς, η απόδειξη του Kempe -όπως και όλες οι άλλες που θα εμφανίζονταν τον επόμενο αιώνα- ήταν λανθασμένη. Ωστόσο, ήταν έξυπνη και περιείχε βασικές ιδέες που θα εμφανίζονταν στην τελική απόδειξη.

Για να επικεντρωθούμε στις πληροφορίες που έχουν σημασία, μπορούμε να κωδικοποιήσουμε αυτές τις σχέσεις χρησιμοποιώντας ένα γράφημα, γνωστό και ως δίκτυο, όπου οι κουκκίδες (κορυφές) συνδέονται με γραμμές (άκρες). Αντικαταστήστε κάθε περιοχή του χάρτη με μια κορυφή και συνδέστε τις κορυφές γειτονικών περιοχών με μια άκρη. Αν αυτό βοηθάει, μπορούμε να φανταστούμε ότι οι κορυφές είναι οι πρωτεύουσες και οι άκρες είναι οι δρόμοι που τις ενώνουν.

Για να κατανοήσουμε πώς ο Kempe και οι περισσότεροι μαθηματικοί έχουν δει αυτό το πρόβλημα, βοηθά να αναγνωρίσουμε ότι ένας χάρτης περιέχει πολλές πληροφορίες άσχετες με το πρόβλημα του χρωματισμού, όπως το σχήμα, το μέγεθος και την ακριβή θέση κάθε περιοχής. Το μόνο που έχει σημασία είναι ποιες περιοχές έχουν κοινά σύνορα, αν και απαιτούμε όλες οι περιοχές να συνδέονται μεταξύ τους -το Μίσιγκαν, με την ξεχωριστή άνω χερσόνησο, δεν εμποδίζει στην πραγματικότητα τον χάρτη των ΗΠΑ να είναι τετράχρωμος, αλλά θα μπορούσε, μαθηματικά.

Με αυτόν τον τρόπο, το πρόβλημα χρωματισμού χαρτών μετατρέπεται σε πρόβλημα χρωματισμού γραφημάτων: Χρωματίστε τις κορυφές έτσι ώστε οι γείτονες να έχουν διαφορετικό χρώμα. Ο ελάχιστος αριθμός χρωμάτων ονομάζεται χρωματικός αριθμός του γραφήματος. Μπορούμε να ρωτήσουμε για τον χρωματικό αριθμό οποιουδήποτε γραφήματος, αλλά τα γραφήματα που προέρχονται από χάρτες έχουν ειδικές ιδιότητες. Αυτά τα γραφήματα είναι απλά, δηλαδή δεν υπάρχουν ακμές που αρχίζουν και τελειώνουν στην ίδια κορυφή (που ονομάζονται βρόχοι) και δύο κορυφές μπορούν να ενωθούν μόνο με μία άκρη. Το γράφημα είναι επίσης επίπεδο, δηλαδή μπορεί να σχεδιαστεί έτσι ώστε να μην διασταυρώνονται ακμές.

Ένα πρόβλημα χρωματισμού χαρτών μπορεί να μετατραπεί σε πρόβλημα χρωματισμού γραφημάτων.

Μπορούμε τώρα να επαναδιατυπώσουμε το πρόβλημα του Francis Guthrie: Αποδείξτε ότι ο χρωματικός αριθμός κάθε απλού επίπεδου γραφήματος είναι το πολύ 4. Ακολουθεί ένα περίγραμμα του επιχειρήματος του Kempe, που περιγράφεται με σύγχρονους όρους χρησιμοποιώντας γραφήματα αντί για χάρτες. Ξεκίνησε παρατηρώντας ότι ένα γράφημα με μία κορυφή -ίσως ο χάρτης να είναι ένα μοναχικό νησί- απαιτεί μόνο ένα χρώμα. Στη συνέχεια χρησιμοποίησε ένα έξυπνο επιχείρημα για να χτίσει από εκεί και πέρα προς τα πάνω, υποστηρίζοντας ότι είναι δυνατόν να χρησιμοποιηθούν το πολύ τέσσερα χρώματα για να χρωματιστεί ένα γράφημα με δύο κορυφές, μετά τρεις κορυφές και ούτω καθεξής. Ορίστε πώς: Ας υποθέσουμε ότι μπορούμε να χρωματίσουμε όλα τα απλά επίπεδα γραφήματα με n κορυφές με το πολύ τέσσερα χρώματα —αυτό είναι ασήμαντο για n μικρότερο από 5— και τότε μας δίνεται ένα γράφημα με n+1 κορυφές. Πώς μπορούμε να δείξουμε ότι και αυτό θα χρωματίζεται το πολύ με τέσσερα χρώματα;

Αρχικά, ο Kempe έδειξε, χρησιμοποιώντας ένα προσεκτικό επιχείρημα καταμέτρησης, ότι κάθε απλό επίπεδο γράφημα έχει κάτι κοινό: πρέπει να περιέχει τουλάχιστον μία κορυφή με το πολύ 5 γείτονες. Λαμβάνοντας υπόψη όλες τις επιλογές, αυτό σημαίνει ότι κάθε πιθανό γράφημα που βασίζεται σε έναν χάρτη περιέχει μία από έξι ειδικές διαμορφώσεις κορυφών.

Αν και περιγράφηκε χρησιμοποιώντας χάρτες και όχι γραφήματα, ο Alfred Kempe έδειξε ότι κάθε απλό επίπεδο γράφημα πρέπει να έχει μια κορυφή ενός από αυτούς τους τύπους.

Εάν αφαιρέσουμε αυτήν την κορυφή και όλες τις άκρες που συνδέονται με αυτήν, αφήνουμε πίσω μας ένα γράφημα με n κορυφές —το οποίο ήδη γνωρίζουμε ότι μπορεί να χρωματιστεί χρησιμοποιώντας 4 χρώματα. Στην πραγματικότητα το κάνουμε ως το επόμενο βήμα. Τώρα, κοιτάξτε τις κορυφές δίπλα στην κορυφή που αφαιρέσατε. Εάν εμφανίζουν 3 ή λιγότερα χρώματα, μπορούμε να χρωματίσουμε την κορυφή που αφαιρέθηκε με ένα από τα υπόλοιπα χρώματα και τελειώσαμε: Μόλις δείξαμε ότι το γράφημα με n+1 κορυφές μπορεί να χρωματιστεί με 4 χρώματα. Και αν οι γειτονικές κορυφές περιλαμβάνουν και τα 4 χρώματα, ο Kempe επινόησε μια έξυπνη μέθοδο επαναχρωματισμού ορισμένων κορυφών για να ελευθερώσει ένα χρώμα για την κορυφή που αφαιρέθηκε, δείχνοντας πάλι ότι το γράφημα με n+1 κορυφές χρειάζεται μόνο 4 χρώματα.

Το 1890, ο μαθηματικός Percy Heawood εντόπισε το λάθος του Kempe. Υπήρχε μια ειδική περίπτωση στην οποία η έξυπνη μέθοδος του Kempe απέτυχε. Ο Heawood παρατήρησε ότι, αν και η δική του εργασία φαινόταν " μάλλον καταστροφική παρά εποικοδομητική", έδειξε ότι η τεχνική του Kempe μπορούσε να αποδείξει ότι κάθε χάρτης μπορεί να χρωματιστεί με 5 ή λιγότερα χρώματα - όχι όπως ακριβώς ο αρχικός στόχος, αλλά και πάλι εντυπωσιακός.

Ο Heawood διερεύνησε επίσης χάρτες που σχεδιάστηκαν σε πιο περίπλοκες επιφάνειες. Απέδειξε ότι ένας χάρτης σε ένα ντόνατ με g τρύπες μπορεί να χρειαστεί \( \frac{1}{2} \big( 7+\sqrt{1+48g} \big) \)   χρώματα (όπου αυτή η τιμή στρογγυλοποιείται στον πλησιέστερο ακέραιο). Όμως, σύμφωνα με αυτό που είχε αρχίσει να γίνεται συνήθεια, η απόδειξή του για τις γενικές επιφάνειες ήταν ελλιπής, και δεν είχαμε μια πλήρη απόδειξη μέχρι το 1968.

Για αυτόν τον χάρτη σε ένα ντόνατ, που φαίνεται και από τις δύο πλευρές, κάθε μία από τις επτά περιοχές συνορεύει με τις άλλες έξι περιοχές, οπότε απαιτούνται επτά χρώματα.

Αλλά ακόμη και όταν αποδείχθηκε το θεώρημα του Heawood για γενικές επιφάνειες, το πρόβλημα των τεσσάρων χρωμάτων παρέμεινε άλυτο. Χάρη σε δεκαετίες σκληρής δουλειάς, όμως, η απόδειξη ήταν ορατή. Σε ένα συνέδριο το 1976, 124 χρόνια αφότου ο Guthrie έθεσε το πρόβλημα, ο Wolfgang Haken ανακοίνωσε μια απόδειξη σε συνεργασία με τον Kenneth Appel και με τη βοήθεια του μεταπτυχιακού φοιτητή John Koch. Οι αντιδράσεις ήταν ανάμεικτες. "Περίμενα ότι το ακροατήριο θα ξεσπούσε σε ένα μεγάλο χειροκρότημα", έγραψε ο Don Albers, ο οποίος ήταν παρών στην ομιλία. "Αντίθετα, απάντησαν με ευγενικό χειροκρότημα!" Αυτό συνέβη επειδή η ομάδα, αντί να παράγει ένα επιχείρημα με μολύβι και χαρτί, βασίστηκε σε μεγάλο βαθμό σε έναν υπολογιστή.

Δεν έβαλαν μια μηχανή να απαντήσει άμεσα στο ερώτημα, καθώς είναι δυνατά άπειρα επίπεδα γραφήματα και ένας υπολογιστής δεν μπορεί να τα ελέγξει όλα. Ωστόσο, όπως ο Kempe απέδειξε ότι κάθε γράφημα περιέχει μία από έξι ειδικές διαμορφώσεις κορυφών, οι Appel και Haken έδειξαν ότι κάθε γράφημα πρέπει να έχει μία από 1.936 ειδικές διαμορφώσεις. Η απόδειξη του θεωρήματος ισοδυναμεί με το να δείξουμε ότι χρειαζόμαστε μόνο τέσσερα χρώματα για να χρωματίσουμε οποιοδήποτε γράφημα που περιέχει αυτούς τους υπογράφους. Η διάσπαση των έξι ειδικών περιπτώσεων του Kempe σε 1.936 υποπεριπτώσεις τους έδωσε πιο λεπτομερή έλεγχο και έκανε κάθε περίπτωση ευκολότερο να ελεγχθεί -αν και ο συνολικός αριθμός ήταν πλέον πολύ μεγάλος για να μπορέσει ένας άνθρωπος να τον ελέγξει χωρίς βοήθεια. Στην πραγματικότητα, η ολοκλήρωση των υπολογισμών απαιτούσε πάνω από 1.000 ώρες εργασίας στον υπολογιστή.

Η μαθηματική κοινότητα δέχτηκε τα αποτελέσματα απρόθυμα, πιστεύοντας ότι μια απόδειξη πρέπει να είναι κατανοητή και επαληθεύσιμη αποκλειστικά από τον άνθρωπο. Ενώ ήταν αποδεκτό οι υπολογιστές να εκτελούν αριθμητικές πράξεις ρουτίνας, οι μαθηματικοί δεν ήταν διατεθειμένοι να παραχωρήσουν τη λογική σκέψη σε μια υπολογιστική συσκευή. Αυτός ο συντηρητισμός και η απροθυμία να αγκαλιάσουν τις εξελίξεις που εξοικονομούν χρόνο δεν ήταν κάτι καινούργιο. Τον 17ο αιώνα, υπήρξε παρόμοια κατακραυγή όταν ορισμένοι μαθηματικοί χρησιμοποίησαν νεόφερτες αλγεβρικές τεχνικές για να λύσουν προβλήματα γεωμετρίας. Παρόμοιο δράμα μπορεί να διαδραματιστεί και πάλι με την άνοδο της μηχανικής μάθησης: Θα δεχτούν οι μαθηματικοί ένα θεώρημα που ανακαλύφθηκε και αποδείχθηκε από έναν αδιαφανή αλγόριθμο;

Η απόδειξη του προβλήματος των τεσσάρων χρωμάτων ήταν, φυσικά, μόνο η αρχή της επανάστασης των υπολογιστών στα μαθηματικά. Το 1998 ο Thomas Hales χρησιμοποίησε έναν υπολογιστή για να αποδείξει την περίφημη εικασία του Johannes Kepler ότι ο πιο αποτελεσματικός τρόπος για να στοιβάζονται σφαίρες είναι αυτός που χρησιμοποιείται συνήθως για να στοιβάζονται πορτοκάλια σε ένα παντοπωλείο. Και πρόσφατα οι υπολογιστές βοήθησαν να βρεθεί ο "αριθμός του Θεού" - ο μέγιστος αριθμός στροφών που απαιτούνται για να λυθεί ένας κύβος του Ρούμπικ (20 στροφές ή 26 αν οι μισές στροφές μετράνε ως δύο). Αν και το πρόβλημα των τεσσάρων χρωμάτων για τους χάρτες έχει διευθετηθεί, πολλά βασικά ερωτήματα σχετικά με το χρωματισμό γραφημάτων παραμένουν αναπάντητα ή μόλις τώρα επιλύονται.

Η εργασία του Heawood με τις επιφάνειες έδειξε ότι μπορούμε να θέσουμε ερωτήματα χρωματικότητας για μη επίπεδα γραφήματα. Και στην πραγματικότητα, ο χρωματικός αριθμός ενός συγκεκριμένου γραφήματος δεν εξαρτάται από την επιφάνεια στην οποία σχεδιάζεται ο ισοδύναμος χάρτης. Για παράδειγμα, ένα γράφημα στον οποίο κάθε κορυφή συνδέεται με κάθε άλλη κορυφή ονομάζεται πλήρες γράφημα και ο χρωματικός αριθμός ενός πλήρους γραφήματος με n κορυφές είναι n. Έτσι, αν ένας μεγάλος γράφος (γράφημα) περιέχει έναν πλήρη γράφο με n κορυφές, τότε γνωρίζουμε ότι ο χρωματικός αριθμός του μεγάλου γραφήματος είναι τουλάχιστον n.

Ένα πλήρες γράφημα με n κορυφές έχει χρωματικό αριθμό n.

Η παρατήρηση αυτή δεν συνεπάγεται ότι αν ο χρωματικός αριθμός ενός γραφήματος είναι n, τότε περιέχει ένα πλήρες γράφημα με n κορυφές. Αλλά το 1943, ο Hugo Hadwiger υπέθεσε κάτι πολύ παρόμοιο. Πίστευε ότι αν ένα γράφημα χωρίς βρόχους έχει χρωματικό αριθμό n, τότε έχει μια διάταξη κορυφών που ονομάζεται K_n, όπου η διαγραφή ορισμένων κορυφών και ακμών και η ομαδοποίηση άλλων οδηγεί σε ένα πλήρες γράφημα με n κορυφές. Αναδιατυπωμένη, αυτή η εικασία δηλώνει ότι αν ένα γράφημα δεν έχει ένα δευτερεύον K_n, τότε μπορεί να χρωματιστεί με λιγότερα από n χρώματα. Η εικασία του Hadwiger, ένα από τα σημαντικότερα ανοιχτά προβλήματα στη θεωρία γραφημάτων, γενικεύει το θεώρημα των τεσσάρων χρωμάτων, καθώς ένα επίπεδο γράφημα δεν μπορεί να περιέχει έναK₅ minor.

Αν και ο χρωματισμός γραφημάτων ξεκίνησε με ένα ερώτημα στη χαρτογραφία, προβλήματα που δεν έχουν καμία σχέση με χάρτες ή χρώματα μπορούν επίσης να ενταχθούν στο πλαίσιο του χρωματισμού γραφημάτων. Για παράδειγμα, το sudoku είναι ένα πρόβλημα χρωματισμού γραφήματος μεταμφιεσμένο. Δείτε κάθε κελί ως κορυφή και τα εννέα ψηφία ως χρώματα. Κάθε κορυφή έχει 20 ακμές που βγαίνουν από αυτήν -μία προς κάθε κελί στη σειρά, στη στήλη και στο υποτετράγωνο 3x3. Αυτός ο γράφος με 81 κορυφές και 810 ακμές ξεκινά με έναν μερικό χρωματισμό (τις δεδομένες ενδείξεις). Το αντικείμενο του παιχνιδιού είναι να χρωματίσετε τις υπόλοιπες κορυφές.

Το Sudoku μπορεί να θεωρηθεί ως ένα πρόβλημα χρωματισμού γραφημάτων.

Παρ' όλη την προσοχή που έχουν λάβει αυτά τα προβλήματα χρωματισμού, δεν έχουμε ακόμα μια απόδειξη του αρχικού θεωρήματος των τεσσάρων χρωμάτων που να μπορεί να διαβάσει ένας άνθρωπος. Αυτό δεν οφείλεται στην έλλειψη προσπάθειας. Ακόμη και σήμερα, νέες αποδείξεις εμφανίζονται, προκαλούν κάποιο ενθουσιασμό και, όπως η απόδειξη του Kempe, αποδεικνύεται ότι περιέχουν λάθη.

Ο μαθηματικός Paul Erdös συνήθιζε να μιλάει για το "The Book" -έναν φανταστικό τόμο που περιέχει τις πιο κομψές αποδείξεις κάθε θεωρήματος. Αναρωτιέται κανείς αν το "The Book" περιέχει μια αναγνώσιμη από τον άνθρωπο απόδειξη του θεωρήματος των τεσσάρων χρωμάτων, και αν ναι, αν θα τη δούμε ποτέ...

 

Πηγή: Quanta Magazine

"Το παράθυρο του Ευκλείδη"

Μέσα από το Παράθυρο του Ευκλείδη, ο Leonard Mlodinow μάς ταξιδεύει με τρόπο απολαυστικό διαμέσου πέντε επαναστάσεων στη γεωμετρία —από την έννοια των παράλληλων ευθειών μέχρι τις τελευταίες ιδέες για τον υπερχώρο. Εδώ έχουμε μια εντελώς νέα, φρέσκια, εναλλακτική ιστορία των Μαθηματικών, της Φυσικής και της Κοσμολογίας, η οποία αποκαλύπτει πώς απλά ερωτήματα σχετικά με το χώρο, τα οποία θα μπορούσε να θέσει ο οποιοσδήποτε, υπήρξαν η κρυφή κινητήρια δύναμη για τα υψηλότερα επιτεύγματα της επιστήμης και της τεχνολογίας.

Βασισμένο στην εκτεταμένη ιστορική έρευνα τού Mlodinow, στις μελέτες του δίπλα σε συναδέλφους (όπως ο Richard Feynman και ο Kip Thorne) και σε συνεντεύξεις με εξέχοντες φυσικούς και μαθηματικούς (όπως ο Murray Gell-Mann, ο Edward Witten και ο Brian Greene), το Παράθυρο του Ευκλείδη είναι ένα εξαιρετικό μείγμα αυστηρής, έγκυρης έρευνας και προσιτής, ευχάριστης αφήγησης, το οποίο συνιστά ένα εκπληκτικά πρωτότυπο επιχείρημα υπέρ της προτεραιότητας της γεωμετρίας. Για όσους κοιτάξουν μέσα από το παράθυρο του Ευκλείδη, κανένας χώρος, κανένα πράγμα και κανένας χρόνος δεν θα είναι πλέον ο ίδιος.

«Η πορεία της επιστήμης είναι εκείνη που χάραξαν οι Έλληνες γεωμέτρες με εργαλείο τους τα μαθηματικά. Από τους αρχαίους Έλληνες και μετά, τα μαθηματικά βρίσκονται στην καρδιά της επιστήμης και η γεωμετρία στην καρδιά των μαθηματικών. Μέσα από το παράθυρο του Ευκλείδη έχουμε ανακαλύψει πολλά, εκείνος ωστόσο δεν μπορούσε να φανταστεί πού θα μας οδηγούσαν. Το να γνωρίσουμε τα άστρα, να φανταστούμε το άτομο και να αρχίσουμε να κατανοούμε πώς αυτά τα κομμάτια τού παζλ ταιριάζουν στο κοσμικό σχέδιο, αποτελεί για το είδος μας μια ιδιαίτερη ευχαρίστηση, ίσως την υπέρτατη. […] Η έρευνά μας για βαθύτερες αλήθειες συνεχίζεται. Οφείλουμε ευγνωμοσύνη στον Ευκλείδη και στις μεγαλοφυΐες που ακολούθησαν, στον Καρτέσιο, στον Gauss στον Αϊνστάιν και —ίσως, ο χρόνος θα δείξει— στον Witten, καθώς και σε όλους εκείνους επάνω στους ώμους των οποίων αυτοί στάθηκαν. Εκείνοι δοκίμασαν τη χαρά της ανακάλυψης. Σε εμάς τους υπόλοιπους πρόσφεραν μια εξίσου σημαντική χαρά, τη χαρά της κατανόησης.»

—Από τον Επίλογο του βιβλίου.

"Αχμές, ο γιος του φεγγαριού"

Ένας πάπυρος θαμμένος σ' έναν τάφο στο Λούξορ, στις αρχαίες Θήβες. Ογδόντα τέσσερα λυμένα προβλήματα, ένα όνομα, μία ημερομηνία: το πρώτο ενυπόγραφο μαθηματικό κείμενο στην ιστορία της ανθρωπότητας. Ένας πάπυρος που συνοψίζει τις μαθηματικές γνώσεις των ανθρώπων που έχτισαν τις Πυραμίδες και, κατά τον Ηρόδοτο, επινόησαν τη Γεωμετρία. Συγγραφέας του ο Αχμές, που θα γίνει οδηγός μας σε μια περιήγηση στη χώρα των Φαραώ. Θα μας οδηγήσει στην Άβαρι, το κοσμοπολίτικο σταυροδρόμι ανάμεσα σε Ασία και Αφρική. Θα μας σεργιανίσει στη Μέμφιδα, ονομαστή για τους ναούς της, αλλά και για τα κακόφημα καπηλειά της. Θα μας ξεναγήσει στο κατάφυτο από παπύρους Δέλτα του Νείλου, θα μας κεράσει μαύρη μπίρα από τη χώρα του Κους και γλυκόπιοτο σεντέχ, κρασί από ρόδι. Παρέα του, μασουλώντας μελωμένα σύκα και χουρμάδες, θ' ακούσουμε τους μύθους και τα παραμύθια της Αιγύπτου, όπως τα αφηγούνταν οι κατασκευαστές των Πυραμίδων τις ώρες της ανάπαυσης. Μέσα απ' τη ζωή του θα βιώσουμε κι εμείς την πολυτάραχη Δεύτερη Ενδιάμεση Περίοδο, τις διαμάχες, τις ίντριγκες και τους πολέμους ανάμεσα στους ηγεμόνες των δύο βασιλείων, της Άνω και της Κάτω Αιγύπτου. Μα πάνω απ' όλα θα συμμεριστούμε την απορία του, θα νιώσουμε τον παλμό της αγωνίας του να γνωρίσει το άπιαστο, το απρόσιτο, αυτό που οι μετέπειτα γενιές αποκάλεσαν άπειρο... 

"Μηδέν"

 

Ο Ουμπαΐντ απομάκρυνε το στρώμα του αργίλου. Φάνηκε το πρόσωπο -ένα πρόσωπο εκπληκτικά ήρεμο. Χαρακτηριστικά λεπτά, μύτη ίσια και καλογραμμένη... Η Αεμέρ διέκρινε μόνο μια σκοτεινή μάζα, πλαισιωμένη από μια φωτεινή άλω, που της έκρυβε τον ήλιο. Ένας άντρας  με αόρατο πρόσωπο της πασπάτευε το μέτωπο.

Ο εκκωφαντικός ήχος του αεροπλάνου, το τρέξιμο, το κάψιμο στο στήθος, η ανάσα με το πρόσωπο στο χώμα, η αίσθηση ότι είχε εκσφενδονιστεί. Πέρα απ' αυτά, τίποτε. Δε θυμόταν ούτε από πού ερχόταν, ούτε πού πήγαινε. Γύρισε το κεφάλι, είδε τον μικρό κώνο από άργιλο στη χούφτα της. Το χαμόγελο, που είχε μείνει μετέωρο στα  χείλη της, ξέσπασε πλατύ. Χρωστούσε τη ζωή της σε έναν σουμεριακό λίθο, ένα αρχαίο πήλινο νόμισμα ηλικίας πενήντα αιώνων.

Μεσοποταμία-Ιράκ: η ίδια γη που φιλοξένησε το παρελθόν μας κλονίζει το παρόν μας. Εκεί, και για πέντε χιλιάδες χρόνια, ξετυλίγονται οι πέντε ζωές της Αεμέρ, η οποία προσπαθεί να καλύψει το κενό μιας απουσίας που τη σημάδεψε.

Το βιβλίο του Ντενί Γκετζ αφηγείται την Ιστορία των αριθμών μέσα στον περσικό - ιρακικό πολιτισμό και την ανακάλυψη/εφεύρεση του μηδενός, μέσω πέντε γυναικών, ή, καλύτερα μέσω πέντε μετενσαρκώσεων της ίδιας γυναίκας, για περισσότερο από 5000 χρόνια: από το Ουρούκ και τη Βαβυλώνα μέχρι την αμερικανική εισβολή το 2003.