Εμφάνιση αναρτήσεων με ετικέτα ιστορία των μαθηματικών. Εμφάνιση όλων των αναρτήσεων
Εμφάνιση αναρτήσεων με ετικέτα ιστορία των μαθηματικών. Εμφάνιση όλων των αναρτήσεων

Τρίτη 12 Δεκεμβρίου 2023

"Αχμές, ο γιος του φεγγαριού"


το βιβλίο "Αχμές, ο γιος του φεγγαριού"

Ένας πάπυρος θαμμένος σ' έναν τάφο στο Λούξορ, στις αρχαίες Θήβες. Ογδόντα τέσσερα λυμένα προβλήματα, ένα όνομα, μία ημερομηνία: το πρώτο ενυπόγραφο μαθηματικό κείμενο στην ιστορία της ανθρωπότητας. Ένας πάπυρος που συνοψίζει τις μαθηματικές γνώσεις των ανθρώπων που έχτισαν τις Πυραμίδες και, κατά τον Ηρόδοτο, επινόησαν τη Γεωμετρία. Συγγραφέας του ο Αχμές, που θα γίνει οδηγός μας σε μια περιήγηση στη χώρα των Φαραώ. Θα μας οδηγήσει στην Άβαρι, το κοσμοπολίτικο σταυροδρόμι ανάμεσα σε Ασία και Αφρική. Θα μας σεργιανίσει στη Μέμφιδα, ονομαστή για τους ναούς της, αλλά και για τα κακόφημα καπηλειά της. Θα μας ξεναγήσει στο κατάφυτο από παπύρους Δέλτα του Νείλου, θα μας κεράσει μαύρη μπίρα από τη χώρα του Κους και γλυκόπιοτο σεντέχ, κρασί από ρόδι. Παρέα του, μασουλώντας μελωμένα σύκα και χουρμάδες, θ' ακούσουμε τους μύθους και τα παραμύθια της Αιγύπτου, όπως τα αφηγούνταν οι κατασκευαστές των Πυραμίδων τις ώρες της ανάπαυσης. Μέσα απ' τη ζωή του θα βιώσουμε κι εμείς την πολυτάραχη Δεύτερη Ενδιάμεση Περίοδο, τις διαμάχες, τις ίντριγκες και τους πολέμους ανάμεσα στους ηγεμόνες των δύο βασιλείων, της Άνω και της Κάτω Αιγύπτου. Μα πάνω απ' όλα θα συμμεριστούμε την απορία του, θα νιώσουμε τον παλμό της αγωνίας του να γνωρίσει το άπιαστο, το απρόσιτο, αυτό που οι μετέπειτα γενιές αποκάλεσαν άπειρο... 


Σάββατο 9 Σεπτεμβρίου 2023

"Μηδέν"

 

Ο Ουμπαΐντ απομάκρυνε το στρώμα του αργίλου. Φάνηκε το πρόσωπο -ένα πρόσωπο εκπληκτικά ήρεμο. Χαρακτηριστικά λεπτά, μύτη ίσια και καλογραμμένη... Η Αεμέρ διέκρινε μόνο μια σκοτεινή μάζα, πλαισιωμένη από μια φωτεινή άλω, που της έκρυβε τον ήλιο. Ένας άντρας  με αόρατο πρόσωπο της πασπάτευε το μέτωπο.


Ο εκκωφαντικός ήχος του αεροπλάνου, το τρέξιμο, το κάψιμο στο στήθος, η ανάσα με το πρόσωπο στο χώμα, η αίσθηση ότι είχε εκσφενδονιστεί. Πέρα απ' αυτά, τίποτε. Δε θυμόταν ούτε από πού ερχόταν, ούτε πού πήγαινε. Γύρισε το κεφάλι, είδε τον μικρό κώνο από άργιλο στη χούφτα της. Το χαμόγελο, που είχε μείνει μετέωρο στα  χείλη της, ξέσπασε πλατύ. Χρωστούσε τη ζωή της σε έναν σουμεριακό λίθο, ένα αρχαίο πήλινο νόμισμα ηλικίας πενήντα αιώνων.


Βιβλίο "Μηδέν"


Μεσοποταμία-Ιράκ: η ίδια γη που φιλοξένησε το παρελθόν μας κλονίζει το παρόν μας. Εκεί, και για πέντε χιλιάδες χρόνια, ξετυλίγονται οι πέντε ζωές της Αεμέρ, η οποία προσπαθεί να καλύψει το κενό μιας απουσίας που τη σημάδεψε.


Το βιβλίο του Ντενί Γκετζ αφηγείται την Ιστορία των αριθμών μέσα στον περσικό - ιρακικό πολιτισμό και την ανακάλυψη/εφεύρεση του μηδενός, μέσω πέντε γυναικών, ή, καλύτερα μέσω πέντε μετενσαρκώσεων της ίδιας γυναίκας, για περισσότερο από 5000 χρόνια: από το Ουρούκ και τη Βαβυλώνα μέχρι την αμερικανική εισβολή το 2003.


Παρασκευή 5 Μαΐου 2023

"Σφαιρικά κάτοπτρα, επίπεδοι φόνοι"


Άνοιξη του 1191. Σ' ένα επιταγμένο αρχοντικό της Λεμεσού, ο νεόνυμφος βασιλιάς Ριχάρδος, που τον είπαν και Λεοντόκαρδο, απολαμβάνει τους καρπούς από την πρόσφατη κατάκτηση της Κύπρου. Γύρω του όμως μαίνεται ένας άλλος, αθέατος πόλεμος. Μηχανορραφίες, δολοπλοκίες, συμμαχίες που συνάπτονται και διαλύονται στη στιγμή και, ως επιστέγασμα, μια δολοφονία. Θύμα η σατανική Λωρ, έμπιστη της βασιλομήτορος Ελεονώρας και συγχρόνως παλλακίδα του γιου της. Βασικός ύποπτος η δόνα Εστεφάνα, παλιά μαθήτρια του Αβερρόη και γιάτρισσα της νιόπαντρης βασίλισσας Βερεγγάριας.

Μέσα της δεκαετίας του 1950. Μια Εγγλέζα βυζαντινολόγος, ένας Γάλλος παλαιογράφος κι ένας νεαρός Έλληνας μαθηματικός καλούνται επειγόντως στην Κύπρο, όπου μαίνεται ο αντιαποικιακός αγώνας, για να αξιολογήσουν ένα χειρόγραφο που χρονολογείται από την περίοδο της Τρίτης Σταυροφορίας. Μέσα στο κείμενο υπάρχουν αναφορές σ΄ ένα δύσκολο μαθηματικό πρόβλημα που παρέμενε άλυτο από την εποχή του Πτολεμαίου, αλλά και σ΄ έναν μυστηριώδη φόνο. Τα πράγματα περιπλέκονται όταν οι τρεις εμπειρογνώμονες γίνονται μάρτυρες, οκτακόσια χρόνια αργότερα, ενός ακόμη φόνου... 


Το βιβλίο του Τεύκρου Μιχαηλίδη από τις εκδόσεις Πόλις

Μέσα από την αφήγηση της γοητευτικής δόνας Εστεφάνα, το βιβλίο μάς ταξιδεύει στην Κύπρο των Σταυροφόρων, μας ξεναγεί στις μεσαιωνικές ιατρικές συνταγές και μελετά μαζί μας σπάνια αραβικά χειρόγραφα που περιέχουν λύσεις σε δύσκολα μαθηματικά προβλήματα. Κι ύστερα, μερικούς αιώνες αργότερα, με καινούργια συντροφιά, μας οδηγεί ξανά στον ίδιο τόπο για ν΄ αντιμετωπίσουμε ένα νέο μυστήριο, του οποίου η λύση κρύβεται στο ίδιο παλιό χειρόγραφο. Φτάνει να μπορέσουμε να το διαβάσουμε σωστά...

(από την παρουσίαση στο οπισθόφυλλο του βιβλίου).


Δευτέρα 19 Σεπτεμβρίου 2022

Υπάρχει σε όλα λύση; Ταξίδι στον Κόσμο των Αρχαίων Ελληνικών Μαθηματικών

 

  H Placebo Events παρουσιάζει για πρώτη φορά στην Θεσσαλονίκη, στο περίπτερο 1 της ΔΕΘ, την εμβληματική έκθεση του Ιδρύματος Μείζονος Ελληνισμού την οποία απόλαυσαν εκατοντάδες χιλιάδες επισκέπτες στα δέκα χρόνια λειτουργίας της στο Κέντρο Πολιτισμού «Ελληνικός Κόσμος» (2003-2013). Η πιο πετυχημένη έκθεση που διοργανώθηκε ποτέ στην Αθήνα και εντυπωσίασε κοινό και ακαδημαϊκούς, είναι έτοιμη να υποδεχθεί μαθητές κι εκπαιδευτικούς, καθώς κι επισκέπτες κάθε ηλικίας.

  Πρόκειται για μια εντυπωσιακή έκθεση που αφορά την ιστορία των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών, η οποία επιχειρεί να προβάλει μία από τις πιο ενδιαφέρουσες πτυχές του αρχαίου ελληνικού πολιτισμού και να καταδείξει, μέσω του παιδαγωγικού, διαδραστικού και ψυχαγωγικού της χαρακτήρα, πώς τα μαθηματικά μπορούν να είναι ενδιαφέροντα, ευχάριστα και κατανοητά.




  • Ελάτε να γράψουμε αριθμούς με βάση τα ιερογλυφικά σύμβολα των αρχαίων Αιγυπτίων και τη σφηνοειδή γραφή των Βαβυλώνιων.
  • Μπορείτε, αλήθεια, να μοιράσετε ακριβώς 6 καρβέλια ψωμί σε 10 άνδρες; Γνωρίστε τον τρόπο με τον οποίο οι αρχαίοι Αιγύπτιοι το κατάφεραν, όπως παρουσιάζεται στον πάπυρο Rhind, το εκτενέστερο και ένα από τα πιο γνωστά κείμενα αιγυπτιακών μαθηματικών.
  • Θα αναζητήσουμε γύρω μας σχήματα, όπως έκανε ο Θαλής και οι Ίωνες φιλόσοφοι, και θα τα σχηματίσουμε στην άμμο με ραβδί
  • Πώς υπολόγισε ο Θαλής, αυτό το «ανήσυχο πνεύμα» της αρχαιότητας, το ύψος της πυραμίδας του Χέοπα, μόνο με ένα σχοινί...και με την παρατηρητικότητά του φυσικά;
  • Θα γνωρίσουμε τον Πυθαγόρα, τον άνθρωπο που έβλεπε παντού αριθμούς και θα πειραματιστούμε με τη μουσική κλίμακα στο μονόχορδο του.
  • Υπάρχει τελικά σε όλα λύση, με κανόνα και διαβήτη; Ελάτε να γνωρίσουμε τα τρία άλυτα προβλήματα της αρχαιότητας.
  • Ποιος είπε «Δώσε μου κάπου να σταθώ και θα κουνήσω τη γη»;
  • Πως το λουτρό ενός πανεπιστήμονα μαθηματικού της αρχαιότητας έγινε αφορμή για ένα θεμελιώδη νόμο της υδροστατικής και για την πασίγνωστη λέξη «Εύρηκα»;
  • Πώς ο Ερατοσθένης κατάφερε -με ελάχιστα μέσα- να υπολογίσει με μεγάλη ακρίβεια το μήκος της περιφέρειας της Γης;
  • Ποια ερωτήματα μπορούν να μας γεννηθούν αν κοιτάξουμε τον ουρανό από τη Γη;
  • Θα πειραματιστούμε με τον άβακα, το εργαλείο με το οποίο έκαναν υπολογισμούς και πράξεις οι αρχαίοι.
  • Έχετε αναρωτηθεί από που αντλούμε τις γνώσεις μας για τα αρχαία ελληνικά μαθηματικά; (χειρόγραφα)




     Η έκθεση καλύπτει ολόκληρη την περίοδο των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών από τον 6ο αιώνα π.Χ. έως και τον 4ο αιώνα μ.Χ. και αναφέρεται στα πιο σημαντικά «επεισόδια» και πρόσωπα της ιστορίας των ελληνικών μαθηματικών. Σύντομη αναφορά γίνεται, επίσης, στα προελληνικά μαθηματικά των Αιγυπτίων και των Βαβυλωνίων, όπως και στην πορεία των κειμένων των Ελλήνων μαθηματικών μετά το τέλος του αρχαίου κόσμου. Βασικές εφαρμογές των μαθηματικών σε άλλες επιστήμες κατά την περίοδο εκείνη, με ιδιαίτερη έμφαση στην αστρονομία, τη μαθηματική γεωγραφία και τη μουσική, αρχιτεκτονική, πολεοδομία, ναυτική τεχνολογία συμπληρώνουν την εικόνα των ελληνικών μαθηματικών.



  Οι οκτώ ενότητες της έκθεσης, οργανωμένες σε αυτόνομους σταθμούς, συνδυάζουν παραδοσιακά μέσα και νεότερες τεχνολογίες. Εκτός από τα κείμενα, τους χάρτες και τις κατασκευές, παρουσιάζονται διαδραστικές και ψηφιακές εφαρμογές, που προσφέρουν μια συναρπαστική περιήγηση στον κόσμο των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών και επιτρέπουν την συμμετοχή και την εξερεύνηση με τρόπο απλό, διασκεδαστικό και εύληπτο. Τα  παιδιά μαθαίνουν παίζοντας και οι ενήλικοι μαγεύονται από τη γοητεία της επιστήμης. Η έκθεση, όπως και τα ίδια τα μαθηματικά, είναι αναμφίβολα για όλους.

Η έκθεση έχει συγκροτηθεί με τη φροντίδα των επιστημόνων και μουσειολόγων του ΙΜΕ και με την ευγενική συμβολή της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας. Η επιστημονική επιμέλεια της έκθεσης φέρει την υπογραφή του Γιάννη Χριστιανίδη.

Για πρώτη φορά, αναπόσπαστο κομμάτι της έκθεσης θα είναι και ένας εικονικός κινηματογράφος τελευταίας τεχνολογίας με γυαλιά virtual reality!



 

Η έκθεση τελεί υπό την Αιγίδα του Υπουργείου Παιδείας.
 

📍Διεθνής Έκθεση Θεσσαλονίκης/ Περίπτερο 1
📆Έναρξη: Σάββατο 5 Νοεμβρίου
📚Κρατήσεις σχολείων από Δευτέρα 7 Νοεμβρίου
📞Τηλέφωνο:  694 4353 761
💲Τιμές εισιτηρίων:
  • Γενική είσοδος  10€
  • Μαθητικό  7€
🌐Περισσότερες πληροφορίες: www.renegademedia.gr/μαθηματικά/


Τετάρτη 31 Αυγούστου 2022

Η ιστορία του... μέτρου: "Το μέτρο του κόσμου" και η "Επιχείρηση Μεσημβρία"

 

Όλος ο κόσμος γνωρίζει το μέτρο, είναι σίγουρα ένα από τα πιο οικεία μας πράγματα. Για παράδειγμα, πόσες φορές χρησιμοποιήσατε μια μονάδα του μετρικού συστήματος χθες; Όλος ο κόσμος γνωρίζει το μέτρο, αλλά... πώς δημιουργήθηκε; Ποια απίστευτα γεγονότα προηγήθηκαν ώσπου να... μετρηθεί και να καθοριστεί το ακριβές μήκος του;


"Επιχείριση μεσημβρία"


Η "Επιχείρηση Μεσημβρία" (La Meridienne) είναι ένα ιστορικό μυθιστόρημα που εκτυλίσσεται στην καρδιά της Γαλλικής Επανάστασης, από το 1792 ως το 1799, με ήρωες δύο αστρονόμους εκείνης της εποχής, τον Πιερ Μεσέν και τον Ζαν-Μπατίστ Ντελάμπρ


Εκείνη την εποχή, τα μήκη μετρούνταν με βάση την οργιά, τη λεύγα και τον πόδα του Περού, που ήταν ίσος με ένα δάκτυλο, μια γραμμή και οκτώ στιγμές του βασιλικού πόδα. Αυτός ο βασιλικός πόδας ήταν του βασιλιά Φιλέταιρου, της Μακεδονίας και της Πολωνίας. Ήταν ακόμα ο βασιλικός πόδας των πόλεων της Πάδοβας, του Πέζαρο και του Ουρμπίνο. Ήταν λίγο μικρότερος απ' τον αρχαίο πόδα της Φρανς-Κοντέ, του Μεν και του Περς και τον πόδα του Μπορντό για τις χωρομετρήσεις. Τέσσερις από αυτούς τους πόδες πλησίαζαν τον πήχη του Λαβάλ. Πέντε από αυτούς αποτελούσαν τον εξάποδα των Ρωμαίων, που ήταν η ράβδος της Τουλούζης και η βέργα του Νορέ. Υπήρχε ακόμα η βέργα του Ροκούρ κι επίσης το κορδόνι του Μαρσνουάρ, στο Ντινουά. Τι σύγχυση! Δυο μέτρα και δυο σταθμά, αδιαμφισβήτητο σύμβολο ανισότητας. Κάτι που ερχόταν σε αντίφαση με το κεντρικό σύνθημα της Γαλλικής Επανάστασης "Ελευθερία-Ισότητα-Αδελφοσύνη"... 


Τότε που όλοι είχαν παθιαστεί με την ενότητα και μισούσαν την αυθαιρεσία, αποφασίστηκε η καθιέρωση μιας κοινής και αναλλοίωτης μονάδας μέτρησης μήκους από την Επιτροπή Μέτρων και Σταθμών. Το μέτρο σημαίνει ποσότητα -αυτός είναι κι ό λόγος ύπαρξής του- αλλά για να το κάνουν να σημαίνει και ποιότητα, το θέλησαν παγκόσμιο, αιώνιο, αναλλοίωτο. Το απομονωμένο, αυτό που δεν στηρίζεται κάπου, το αυθαίρετο, υποστήριζαν, δεν φτιάχτηκε για να υιοθετείται για πάντα. Για να καθοδηγήσουν την επιλογή της νέας μονάδας μέτρησης, είχαν αποφασίσει να αποδεχτούν μόνο κάτι που θα σχετιζόταν άμεσα με αναλλοίωτα αντικείμενα, κάτι που, στο πέρασμα των αιώνων, να μην είχε επηρεαστεί από ανθρώπους ή γεγονότα. Ένα τέτοιο σύστημα, που δεν ανήκε αποκλειστικά σε κανένα έθνος, μπορούσαν να ευελπιστούν ότι θα το υιοθετούσαν όλοι. Ποιος, εκτός από τη Φύση, διαθέτει αυτές τις ιδιότητες; Και μέσα στη Φύση, ποιος μπορεί να καυχηθεί ότι εγγυάται τη σταθερότητα, την παγκοσμιότητα, την αιωνιότητα, περισσότερο απ' την ίδια τη Γη;


Όλα ήταν έτοιμα: η εποχή, οι άνθρωποι, οι θεσμοί και τα τεχνικά μέσα. Είχε φτάσει η μεγαλειώδης στιγμή του ορισμού. Ανακοινώθηκε ότι η νέα μονάδα μέτρησης θα ήταν ένα κομμάτι της υδρογείου: το 1/40.000.000 ενός μεσημβρινού της Γης! Οι μεσημβρινοί είναι οι περιφέρειες των μέγιστων κύκλων που περιέχουν τους πόλους της Γης (και είναι κάθετοι στον Ισημερινό). Από κάθε σημείο της επιφάνειας της Γης διέρχεται ένας και μόνο ένας μεσημβρινός. Καθώς έχουν όλοι το ίδιο μήκος, αποφάσισαν να ασχοληθούν με τον μεσημβρινό που διέρχεται από το Παρίσι. Η μέτρηση της "επαληθευθείσης Μεσημβρίας" ήταν η μεγαλύτερη γεωδαιτική μέτρηση που έγινε ποτέ. Οι αστρονόμοι Μεσέν και Ντελάμπρ έπρεπε να μετρήσουν ακριβώς το τόξο του μεσημβρινού που ενώνει τη Δουνκέρκη με τη Βαρκελώνη, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του τριγωνισμού. Εδώ βρίσκει εφαρμογή και η τριγωνομετρία, με την ιδιότητα ότι "αν ξέρουμε δύο γωνίες και μία πλευρά ενός τριγώνου, τότε ξέρουμε όλες τις πλευρές του τριγώνου".


Οι δύο αστρονόμοι διασχίζουν δυσπρόσιτες και αφιλόξενες περιοχές, σκαρφαλώνουν σε καμπαναριά, πύργους, βουνά. Κρύβονται από τους Χωροφύλακες, τα μπλόκα, τους μαυριτανούς πειρατές. Πόλεμοι, συλλήψεις, καταδιώξεις, ατυχήματα, καθαιρέσεις... Οι άδειες ελεύθερης κυκλοφορίας τους προκαλούν υποψίες, τους νομίζουν κατάσκοπους, βασιλόφρονες εμιγκρέδες, τσαρλατάνους, μάγους... 


Τελικά τα λόγια του Κοντορσέ επαληθεύτηκαν: "...για όλες τις εποχές, για όλους τους λαούς... η μέτρηση είναι οικουμενική!"


Η ιστορία δεν τελειώνει με τη μέτρηση του μήκους του τόξου του μεσημβρινού... Ποια ήταν τελικά η τύχη του μέτρου; 


Μια πιο αναλυτική εξιστόρηση όλης αυτής της διανοητικής και ανθρώπινης περιπέτειας γίνεται στο αφηγηματικό δοκίμιο "Το μέτρο του κόσμου" (La metre du monde), όπου αναλύονται οι παράλληλες πορείες της πολιτικής και της μετρολογικής ισότητας. 


"Το μέτρο του κόσμου"


Βγαίνοντας από το Παρίσι, προς τα δυτικά, μόλις περάσουμε τον Σηκουάνα, συναντάμε το πάρκο του Σεν-Κλου. Στην παρυφή του πάρκου ορθώνεται ένα ωραίο περίπτερο, το περίπτερο Μπρετέιγ. Το γαλλικό κράτος, που έχει την ιδιοκτησία του περιπτέρου, το παραχώρησε στη Διεθνή Επιτροπή Μέτρων και Σταθμών. Εκεί φυλάσσονται από το 1889 τα διεθνή πρότυπα μέτρα. Το νέο μέτρο και το νέο χιλιόγραμμο είναι κατασκευασμένα από ιριδιούχο πλατίνα και βρίσκονται εκεί, κλειδωμένα με τρία κλειδιά, 9 μέτρα κάτω από τη γη. 


Η ανάγκη για μεγαλύτερη ακρίβεια και η πρόοδος της τεχνολογίας μας φέρνει στο 1960, όταν η 11η Γενική Συνδιάσκεψη Μέτρων και Σταθμών υιοθετεί έναν νέο ορισμό του μέτρου: 1.650.763,73 μήκη κύματος της πορτοκαλόχρου ακτινοβολίας μέσα στο κενό, του ατόμου του Κρυπτού-86. Ο ορισμός αυτός είναι πενήντα φορές πιο ακριβής από το πρότυπο του 1889. 


Φτάνοντας στο 1983, η 17η  Γενική Συνδιάσκεψη Μέτρων και Σταθμών υιοθετεί έναν ακόμη ορισμό του μέτρου, τριάντα φορές ακριβέστερο σε σχέση με το πρότυπο του 1960. Σύμφωνα με τον νέο ορισμό, το μέτρο είναι η απόσταση που διανύει το φως μέσα στο κενό, σε διάρκεια 1/299.792.458 του δευτερολέπτου.


Σε δύο αιώνες, περάσαμε από το "μέτρο του Διαφωτισμού" στο "μέτρο του φωτός"...


Και τα δύο βιβλία είναι του Γάλλου μαθηματικού, συγγραφέα και σεναριογράφου Ντενί Γκετζ


*Σημείωση*

Επειδή ίσως δυσκολευτείτε να βρείτε το βιβλίο "Επιχείρηση Μεσημβρία" από τις εκδόσεις Τραυλός, που απεικονίζεται παραπάνω, αφού πρωτοκυκλοφόρησε το 2002, μπορείτε να διαβάσετε μια άλλη, πιο πρόσφατη μετάφραση (2021), από τις εκδόσεις Κέδρος, με τον τίτλο "Η μέτρηση του μεσημβρινού". 


Τετάρτη 18 Μαΐου 2022

"Ο διαβήτης του Πλάτωνα"

 

Κατά τη διάρκεια του Πελοποννησιακού Πολέμου, η Δήλος προσβλήθηκε από λοιμό. Αντιπροσωπία πολιτών της ζήτησε χρησμό από το μαντείο των Δελφών. "Οι Δήλιοι και οι άλλοι Έλληνες θα ελευθερωθούν από τα παρόντα δεινά αν διπλασιάσουν τον κυβικό βωμό του θεού", προφήτεψε η Πυθία... 


Ο διαβήτης του Πλάτωνα


Βερολίνο 1929-1931. Ο νεαρός μαθηματικός Μπάρτελ βαν ντερ Βέρντεν εντοπίζει μια αντινομία στην "Πολιτεία" του Πλάτωνα, που τον φέρνει μέχρι την πόρτα του μεγάλου ελληνιστή φον Βιλαμόβιτς. Οι δύο άντρες θα ξεκινήσουν μαζί ένα ταξίδι στην ιστορία, σε αναζήτηση του νήματος ενός περίφημου μαθηματικού γρίφου, που παρέμενε άλυτος στην πορεία του χρόνου και της επιστήμης: του δηλίου προβλήματος, το οποίο σχετίζεται με τον διπλασιασμό του κύβου.


Με αγωνιώδη πλοκή και με αφήγηση που εναλλάσσεται από την κλασική Αθήνα στο Βερολίνο και το Γκέτινγκεν του Μεσοπολέμου, παραμονές ανόδου του Χίτλερ στην εξουσία, το μυθιστόρημα "Ο διαβήτης του Πλάτωνα" του Γιάννη Γρηγοράκη συνδυάζει με δεξιοτεχνία την πολιτική με τα μαθηματικά και ζωντανεύει δύο εποχές που σφράγισαν την παγκόσμια ιστορία.


Μεγάλες προσωπικότητες της επιστήμης και των γραμμάτων, από τον Πλάτωνα, τον Θεαίτητο, τον Εύδοξο και τον Αρχύτα τον Ταραντίνο, μέχρι τον Βιλαμόβιτς, τον βαν ντερ Βέρντεν, την Έμι Νέτερ και τον Γκάνταμερ, σκιαγραφούνται, παίρνουν μορφή και κινούνται αναζητώντας το νήμα του γρίφου.


Παρασκευή 13 Μαΐου 2022

Σε τι μας χρησιμεύουν τα μαθηματικά?

 

Για τους μαθητές που αναρωτιούνται πού θα χρειαστούν τα μαθηματικά στη ζωή τους, ο συνάδελφος Φώτης Καραμπουτάκης από το κανάλι Math Me Up εξηγεί με τη βοήθεια κινουμένων σχεδίων σε τι ακριβώς μας χρησιμεύουν τα μαθηματικά στην καθημερινή μας ζωή, αλλά και στον τρόπο που επηρεάζουν τον πολιτισμό μας και τον κόσμο γύρω μας.



Δευτέρα 14 Μαρτίου 2022

Παγκόσμια ημέρα του αριθμού π: 31,4 τρισεκατομμύρια ψηφία του π στα... "σύννεφα"!


Η 14η Μαρτίου, η οποία στην Αμερική αναγράφεται ως 3-14, έχει καθιερωθεί Παγκόσμια Ημέρα της σταθεράς π. Η μαθηματική σταθερά π ορίζεται ως ο λόγος της περιφέρειας ενός κύκλου προς την διάμετρό του. Συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα π (από τη λέξη "περιφέρεια"). Είναι μια ποσότητα που προσπαθούσαν οι άνθρωποι να υπολογίσουν από τα αρχαία χρόνια. Αυτό που καθιστά το π τόσο δύσκολο να υπολογιστεί, είναι ότι είναι ένας αριθμός άρρητος και υπερβατικός. Με απλά λόγια, τα δεκαδικά του ψηφία δεν σταματούν σε κάποιο σημείο, είναι άπειρα και δεν επαναλαμβάνονται με κάποιο μοτίβο.


Στον περισσότερο κόσμο είναι γνωστά μόνο τα αρχικά του ψηφία: 3,14. Από την αρχαιότητα μέχρι σήμερα, ο υπολογισμός της τιμής του π απασχολεί χιλιάδες χρόνια την ανθρωπότητα. Για την απομνημόνευση των πρώτων ψηφίων του π έχουν επινοηθεί διάφοροι μνημονικοί κανόνες. Ανάμεσά τους και αυτή η φράση, όπου κάθε ψηφίο της σταθεράς π αντιστοιχεί στον αριθμό των γραμμάτων κάθε λέξης.

  

Αεί ο Θεός ο μέγας γεωμετρεί, το κύκλου μήκος ίνα ορίσει διαμέτρω

Βέβαια, το 3,14 αλλά και το 3,141592653589793238462 δεν είναι παρά ρητές προσεγγίσεις του π. Πριν από τον 15ο αιώνα, μαθηματικοί όπως ο Πυθαγόρας, ο Αρχιμήδης και ο κινέζος Liu Hui, χρησιμοποίησαν γεωμετρικές τεχνικές βασισμένες σε πολύγωνα, για υπολογίσουν την τιμή του π. Η πιο συνηθισμένη ρητή προσέγγιση του π ήταν το \(\frac{22}{7}\). Από τον 15ο αιώνα κι έπειτα, μαθηματικοί όπως ο Madhava της Sangamagrama, ο Isaac Newton, o Leonhard Euler, o Carl Friedrich Gauss και ο Σρινιβάσα Ραμανουτζάν χρησιμοποίησαν νέους αλγόριθμους βασισμένους στις άπειρες σειρές και υπολόγιζαν ακριβέστερες προσεγγίσεις του π. 


Ένας από τους τύπους που χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό του π
(Αδελφοί Chudnovsky, 1988)


Μερικοί επιστήμονες προσπαθούν να επιστρατεύσουν άλλες υπολογιστικές μεθόδους, που θα τους δώσουν κάποια ικανοποιητική προσέγγιση, π.χ. \(\pi = 4 \cdot \arctan(1)\). Τον 20ο και 21ο αιώνα, μαθηματικοί και πληροφορικοί συνδυάζουν τους αλγορίθμους με την αυξημένη υπολογιστική ισχύ και διαρκώς επεκτείνουν την δεκαδική απεικόνιση του π. Καθώς οι επιστημονικές εφαρμογές δεν απαιτούν κατά κανόνα περισσότερα από 40 δεκαδικά ψηφία του π, θα λέγαμε ότι βασικό κίνητρο για αυτούς τους υπολογισμούς είναι η επιθυμία του ανθρώπου να σπάει ρεκόρ... 

 

Στη "μάχη" της ακριβέστερης προσέγγισης του π, ήρθε αρχικά να καταρρίψει τα -μέχρι το 2019 δεδομένα- η Emma Haruka Iwao της Google. Με τη βοήθεια του Google Compute Engine, που ανήκει στο Google Cloud, κατάφερε να μας δώσει την ακριβέστερη μέχρι τότε ρητή προσέγγιση του π, υπολογίζοντας 31.415.926.535.897  (ή \( \pi\cdot 10^{13} \) ) ψηφία του αριθμού αυτού! Η Emma ήταν η πρώτη που χρησιμοποίησε τις δυνατότητες του Cloud για τον υπολογισμό του αριθμού αυτού σε τέτοια τεράστια κλίμακα.


Tον Αύγουστο του 2021, το βιβλίο καταγραφής παγκόσμιων ρεκόρ Guinness ανακοίνωσε πως μια ομάδα μαθηματικών από το Πανεπιστήμιο Εφαρμοσμένης Επιστήμης του Grisnos στην Ελβετία κατάφερε να υπολογίσει την τιμή του π με τη μεγαλύτερη μέχρι στιγμής ακρίβεια. Η νέα τιμή-ρεκόρ απαρτίζεται από 62.831.853.071.796 ψηφία, όπως επιβεβαίωσε ο επικεφαλής της εργασίας, Thomas Keller. Για να ολοκληρωθεί ο υπολογισμός, χρειάστηκαν 108 ημέρες και 9 ώρες , ενώ χρησιμοποιήθηκε ένα σύστημα με δύο AMD EPYC επεξεργαστές των 32 πυρήνων ο καθένας, οι οποίοι ήταν εξοπλισμένοι με 1 TB μνήμης RAM και 510 TB αποθηκευτικού χώρου!  


Οι προσπάθειες των σύγχρονων επιστημόνων είναι κάτι παραπάνω από εντυπωσιακές. Αλλά, όπως υπενθυμίζει και το παραπάνω αρχαιοελληνικό ποίημα, "ουδέποτε όλον θνητοί θα εύρωσι"...

 

Σας αφήνω με ένα ολοκαίνουργιο... μουσικομαθηματικό βίντεο αφιερωμένο στο π, από την αγαπημένη Vihart.

 


Σάββατο 12 Μαρτίου 2022

Υπατία: Η γυναίκα που αγάπησε την επιστήμη

 

Για αυτόν τον μήνα, έχω να σας προτείνω μια μυθιστορηματική βιογραφία από τον Ισπανό Πέδρο Γκάλβεθ, γιο μαθηματικού... Το θαυμάσιο πορτρέτο μιας έξοχης γυναίκας, της Υπατίας της Αλεξανδρινής, καταδικασμένης να ζήσει σε μια εποχή που ούτε οι θεοί θέλουν να θυμούνται. Ο Πέδρο Γκάλβεθ, που πήρε από τον πατέρα του το πάθος για την επιστήμη και το θαυμασμό για την Υπατία, έγραψε αυτή τη βιογραφία ανασυνθέτοντας τη ζωή της Υπατίας με έναν ευφάνταστο, λογοτεχνικό τρόπο.


Πέδρο Γκάλβεθ: Υπατία, η γυναίκα που αγάπησε την επιστήμη. Εκδόσεις Μεταίχμιο
Πέδρο Γκάλβεθ: Υπατία, η γυναίκα που αγάπησε την επιστήμη. Εκδόσεις Μεταίχμιο


Η Υπατία, γεννήθηκε γύρω στο 360 ή 370 μ.Χ. στην Αλεξάνδρεια. Ήταν κόρη του αλεξανδρινού μαθηματικού και αστρονόμου Θέωνα, ο οποίος υπήρξε και ο πρώτος της δάσκαλος. Μαζί του συνεργάστηκε στην επιμέλεια και τον σχολιασμό των «Στοιχείων» του Ευκλείδη, του πρώτου ολοκληρωμένου μαθηματικού έργου στην ιστορία της ανθρωπότητας, καθώς και της «Μεγίστης Μαθηματικής Συντάξεως» ή αλλιώς «Αλμαγέστης» του Πτολεμαίου, της Βίβλου της ελληνικής Αστρονομίας. Στην Αθήνα παρακολούθησε μαθήματα στη νεοπλατωνική σχολή του Πλούταρχου του νεότερου και της κόρης του Ασκληπιγένειας, αλλά μαθήτευσε και κοντά στον Ιεροκλή.

Επιστρέφοντας στην Αλεξάνδρεια, γύρω στο 400, ανέλαβε επικεφαλής της νεοπλατωνικής σχολής της πόλης, δίδαξε φιλοσοφία και μαθηματικά, και διακρίθηκε τόσο για το ταλέντο της στη διδασκαλία όσο και για τον μαθηματικό προσανατολισμό που έδωσε στο πρόγραμμα σπουδών. Έκανε εκτενή και ουσιώδη σχόλια στα «Αριθμητικά» του Διόφαντου και τελειοποίησε τα «Κωνικά» του Απολλώνιου. Έγραψε τον «Αστρονομικό Κανόνα», καθώς επεδίωκε να μελετήσει και να εμβαθύνει περισσότερο στους τομείς των μαθηματικών του πατέρα της, απ’ ότι έκανε αυτός. Μερικοί μελετητές πιστεύουν ότι ο «Αστρονομικός Κανών» ήταν απλώς μια συλλογή από αστρονομικούς πίνακες άλλοι πάλι θεωρούν ότι ήταν ένα σχόλιο σχετικά με τον Πτολεμαίο. Επίσης, βοήθησε τον μαθητή της Συνέσιο τον Κυρηναίο στην κατασκευή ενός αστρολάβου και ενός υδρομέτρου.  

Ήταν ένα άτομο άξιο σεβασμού, που ασκούσε επιρροή στους σημαντικούς άρχοντες της Αλεξάνδρειας αλλά και της Μεσογείου. Ένας από αυτούς ήταν και ο Ορέστης, ο Ρωμαίος έπαρχος. Συναντιόντουσαν πολύ συχνά και μιλούσαν κυρίως για πολιτικά ζητήματα. Η Υπατία ασκούσε επιρροή όχι μόνο στην Αλεξάνδρεια, αλλά και στη Κωνσταντινούπολη, στη Συρία και στην Κυρήνη. Δυστυχώς, έργα της Υπατίας δεν έχουν διασωθεί. Ωστόσο, η παράδοση στην οποία εργάστηκε και τα κείμενα που σχολίασε αποδείχτηκε ότι ήταν η ακριβής βάση για το επόμενο βήμα στην ιστορία των μαθηματικών. Όταν τον δέκατο έβδομο αιώνα ο Βιέτ και ο Φερμά άρχισαν να διερευνούν τις κωνικές τομές, τα έργα του Διόφαντου και του Απολλώνιου ήταν ζωτικής σημασίας. Η Υπατία είναι σημαντική για τον ρητορικό κανόνα, γιατί αποδεικνύει ότι και οι γυναίκες συμμετείχαν στις κοινωνικές και πνευματικές δραστηριότητες του αρχαίου κόσμου. Η Υπατία δίδασκε δημόσια για τον Πλάτωνα και τον Αριστοτέλη, αποδεικνύοντας την εκπαίδευσή της στη φιλοσοφία και στη ρητορική. Μάλλον έκανε δύο είδη μαθημάτων: Ένα ιδιαίτερο, για την ελίτ των μαθητών της και τα δημόσια κηρύγματα της, στα οποία ασκούσε επιρροή στους Αλεξανδρινούς υπαλλήλους. Ήταν μια σεβαστή και επιφανής δασκάλα, αρκετά χαρισματική και αγαπητή απ’ όλο τον κόσμο και οι διάφοροι επικεφαλής την συμβουλεύονταν πολύ συχνά. Πηγές αναφέρουν ότι είχε φυσική ομορφιά και φορούσε απλά ρούχα. 


Charles William Mitchell - "Ο θάνατος της Υπατίας" (1885)
Charles William Mitchell - "Ο θάνατος της Υπατίας" (1885)



Εκείνη την εποχή, στη Ρωμαϊκή Αυτοκρατορία υπήρχε ακόμα ανεξιθρησκία, παρόλο που ο  Χριστιανισμός είχε ήδη αρχίσει να επιβάλλεται. Η Υπατία δεν ήταν Χριστιανή, διατηρούσε όμως εξαιρετικές σχέσεις με αρκετούς Χριστιανούς λογίους. Ωστόσο, υπήρχε πολλή ένταση και μίσος μεταξύ των Εβραίων και των Χριστιανών της Αλεξάνδρειας. Ο επίσκοπος Αλεξανδρείας Κύριλλος είχε ως κύριο στόχο του τον εξοβελισμό των εθνικών από την πόλη. Για το σκοπό αυτό είχε οργανώσει ομάδες φανατικών που προσπαθούσαν να τρομοκρατήσουν με κάθε τρόπο τους αλλόδοξους. Μια γυναίκα λοιπόν, εθνική, κάτοχος μιας τόσο σημαντικής θέσης και επιπλέον εξαιρετικά όμορφη αποτελούσε κόκκινο πανί για τον Κύριλλο και τον όχλο του. Ο λαός την θεωρούσε ως την αιτία για τη μη συμφιλίωση του Επισκόπου και του Ορέστη. Έτσι, το 415 το «χριστεπώνυμον πλήρωμα» της Αλεξάνδρειας ξεσηκώθηκε. Αποκαλώντας την ειδωλολατρική μάγισσα και ιέρεια, την διαπόμπευσαν, την έγδυσαν και την έσυραν μέχρι τον Καθεδρικό ναό Caesarium, όπου την κακοποίησαν και την σκότωσαν γδέρνοντάς την και διαμελίζοντας την με κοφτερά όστρακα. Το διαλυμένο σώμα της το μετέφεραν στο Κυνάριον, όπου το έκαψαν. Αυτό ήταν και το τέλος της νεοπλατωνικής σχολής της Αλεξάνδρειας. Πολλοί ερευνητές μάλιστα, χωρίζουν την εποχή του Παγανισμού από την εποχή του Χριστιανισμού σύμφωνα με το έτος του θανάτου της, το 415. Ωστόσο, η Υπατία αναφέρεται με ευλάβεια από χριστιανούς συγγραφείς, από την ύστερη αρχαιότητα μέχρι σήμερα. Το όνομά της διέτρεξε την Ιστορία και τη θυμόμαστε ως σύμβολο μιας προνομιακής ευφυΐας, που αποτέλεσε πρόκληση για τον σκοταδισμό της εποχής της.

Παρασκευή 20 Αυγούστου 2021

"Φονικό στη Μεγάλη Εκκλησία" του Τεύκρου Μιχαηλίδη

 

Κωνσταντινούπολη, 27 Δεκεμβρίου 537, ημέρα των εγκαινίων της Μεγάλης Εκκλησίας. Ο Ιωάννης, στενός συνεργάτης των αρχιτεκτόνων της, βρίσκεται δολοφονημένος. Όλες οι ενδείξεις οδηγούν στη Θεανώ, πρώην σπουδάστρια στην Ακαδημία του Πλάτωνος και στενή φίλη του θύματος. Ο Ευτόκιος ο Ασκαλωνίτης, ένας άνθρωπος που έχει αφιερώσει τη ζωή του στη συγκέντρωση και διάσωση των έργων του Αρχιμήδη, αναλαμβάνει να εξιχνιάσει την υπόθεση: είναι πράγματι ένοχη η νεαρή μαθηματικός, ή μήπως έχει πέσει θύμα μιας καλοστημένης συνωμοσίας;


Τεύκρος Μιχαηλίδης - Φονικό στη μεγάλη εκκλησία
Το βιβλίο του Τεύκρου Μιχαηλίδη από τις εκδόσεις "Πόλις"


Ιστορικά πρόσωπα, όπως η Θεοδώρα και ο Ιουστινιανός, αλλά και μυθοπλαστικοί ήρωες συναντιούνται και αλληλεπιδρούν σε αυτό το μοναδικό μυθιστόρημα για να ζωντανέψουν το κλίμα της μετάβασης από την 'Υστερη Αρχαιότητα στον πρώτο βυζαντινό χρυσό αιώνα. Η αρχαία φιλοσοφία πεθαίνει, κληροδοτώντας όμως στον καινούργιο κόσμο την κατακτημένη σοφία της: τη γεωμετρία και τη μηχανική της. Χωρίς αυτές, θαύματα όπως ο Ναός της Αγίας του Θεού Σοφίας δεν θα έπαιρναν ποτέ σάρκα και οστά. Στο προσκήνιο αυτής της ιδιόμορφης σύγκρουσης, ο μύθος εκτυλίσσεται μέσα από σκάνδαλα, καταχρήσεις, μισαλλοδοξία και, κυρίως, μέσα από την αιώνια πάλη για εξουσία. 

Το προτείνω ανεπιφύλακτα για λάτρεις -και μη- των Μαθηματικών!



"Όλοι όσοι εξάγουν συμπεράσματα δια του αδυνάτου, οδηγούνται μέσω συλλογισμών σ' ένα λανθασμένο συμπέρασμα και έτσι αποδεικνύουν την αρχική υπόθεση, καταλήγοντας σε κάτι ψευδές έχοντας υποθέσει το αντίθετο".

(Αριστοτέλης - Απόσπασμα από το βιβλίο)

Πέμπτη 5 Αυγούστου 2021

Το αρχαιότερο δείγμα εφαρμοσμένης γεωμετρίας στον κόσμο!

 

Ο δρ Ντάνιελ Μάνσφιλντ από το Πανεπιστήμιο της Νέας Νότιας Ουαλίας στο Σίδνεϋ αποκάλυψε την προέλευση της εφαρμοσμένης γεωμετρίας σε μία πήλινη βαβυλωνιακή πλάκα ηλικίας περίπου 3.700 ετών. Η πλάκα, που χρονολογείται από την Παλαιο-Βαβυλωνιακή περίοδο (μεταξύ του 1900 και 1600 π.Χ.), είχε ανακαλυφθεί στο κεντρικό Ιράκ το 1894. Τα τελευταία χρόνια βρισκόταν στο Αρχαιολογικό Μουσείο της Κωνσταντινούπολης, χωρίς να έχει γίνει αντιληπτή η σημασία της για την ιστορία των μαθηματικών.


Η πλάκα Si.427
Credit: UNSW Sydney


Η πλάκα με την ονομασία Si.427, η οποία δημιουργήθηκε από Βαβυλώνιους «τοπογράφους», μελετήθηκε από τον Ντάνιελ Μάνσφιλντ, ο οποίος έκανε και τη σχετική δημοσίευση στο επιστημονικό περιοδικό «Foundations of Science». Σύμφωνα με τον ίδιο, «πρόκειται για το μοναδικό γνωστό παράδειγμα κτηματολογικού «εγγράφου» από την Παλαιο-Βαβυλωνιακή περίοδο του 1900-1600 π.Χ. και αφορά ένα σχέδιο που χρησιμοποιούσαν οι «τοπογράφοι» για να καθορίζουν τα χερσαία όρια. Στη συγκεκριμένη περίπτωση, περιέχει νομικές και γεωμετρικές λεπτομέρειες σχετικά με ένα κτήμα που χωρίστηκε μετά την πώληση ενός τμήματός του».

Θεωρείται σημαντικό ότι ο «τοπογράφος» χρησιμοποιεί τις πυθαγόρειες τριάδες για να δημιουργήσει ακριβείς ορθές γωνίες. «Η ανακάλυψη και η ανάλυση της πλάκας έχουν σημαντικές επιπτώσεις για την ιστορία των μαθηματικών. Για παράδειγμα, η πλάκα δημιουργήθηκε πάνω από 1000 χρόνια προτού γεννηθεί ο Πυθαγόρας», επισημαίνει ο Μάνσφιλντ.

 

Άλλη μία παγκόσμια πρωτιά

Το 2017, ο ίδιος μαθηματικός είχε εικάσει ότι μία άλλη πλάκα της ίδιας περιόδου, γνωστή ως «Πλίμπτον 322», αποτελεί μοναδικό δείγμα τριγωνομετρικού πίνακα. Όπως ανέφερε, «είναι γενικά αποδεκτό ότι η τριγωνομετρία -ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με τη μελέτη των τριγώνων- αναπτύχθηκε από τους αρχαίους Έλληνες που μελετούσαν τον νυχτερινό ουρανό κατά τον 2ο αιώνα π.Χ. Όμως οι Βαβυλώνιοι είχαν αναπτύξει τη δική τους εναλλακτική “πρωτο-τριγωνομετρία” για να λύνουν προβλήματα σχετικά με μετρήσεις επί του εδάφους και όχι στον ουρανό».


Η πλάκα Si.427
Credit: UNSW Sydney
 

Η αποκάλυψη του σκοπού της πλάκας: Τοπογραφία

Η πλάκα Si.427 θεωρείται ότι υπήρξε πριν και από την «Πλίμπτον 322». Το 2017, η ομάδα του Μάνσφιλντ είχε διατυπώσει την εικασία της σχετικά με το σκοπό της πλάκας «Πλίμπτον 322», υποθέτοντας ότι πιθανότατα είχε κάποια πρακτική χρήση όπως η κατασκευή παλατιών και ναών, δημιουργία καναλιών ή ο καθορισμός ορίων κτημάτων.

«Με τη νέα πλάκα μπορούμε, πράγματι, να δούμε για πρώτη φορά γιατί (οι Βαβυλώνιοι) ενδιαφέρονταν για τη γεωμετρία: Ήθελαν να χαράζουν ακριβή όρια στο έδαφος. Ήταν μία περίοδος που η γη άρχιζε να γίνεται ιδιωτική και οι άνθρωποι άρχισαν να σκέφτονται με όρους “η γη μου και η γη σου”. Ήθελαν, έτσι, να χαράζουν ξεκάθαρα όρια, προκειμένου να έχουν καλές σχέσεις με τους γείτονές τους. Ακριβώς αυτό αφορά και η εν λόγω πλάκα: Ένα χωράφι διαχωρίστηκε και νέα όρια χαράχτηκαν», σημείωσε ο Μάνσφιλντ.

Άλλες πλάκες, που έχουν ήδη βρεθεί από εκείνη την περίοδο στη Βαβυλώνα, αποκαλύπτουν όντως ότι υπήρχαν διαφωνίες σχετικά με τα σύνορα των κτημάτων και για το ποιος ήταν π.χ. ο ιδιοκτήτης πολύτιμων δέντρων όπως οι φοίνικες, που βρίσκονταν κοντά στο όριο των γειτνιαζόντων κτημάτων. Σε τέτοιες περιπτώσεις, επιθεωρητές-τοπογράφοι καλούνταν να διευθετήσουν τη διαφωνία και η εφαρμοσμένη γεωμετρία ήταν ένα πολύ χρήσιμο εργαλείο.

 

Κατασκευάζοντας ορθές γωνίες: Εύκολο να το πεις, δύσκολο να το κάνεις

Ένας απλός τρόπος να κατασκευάσεις μια ορθή γωνία με απόλυτη ακρίβεια, είναι να φτιάξεις ένα τρίγωνο με πλευρές 3, 4 και 5. Αυτοί οι ειδικοί αριθμοί αποτελούν την πυθαγόρεια τριάδα 3-4-5. Έχει χρησιμοποιηθεί από αρχαίους τοπογράφους και χτίστες και χρησιμοποιείται μέχρι σήμερα.

«Οι αρχαίοι τοπογράφοι που δημιούργησαν την πλάκα Si.427 έκαναν κάτι διαφορετικό: Χρησιμοποίησαν μια ποικιλία διαφορετικών πυθαγόρειων τριάδων και ως πλευρές ορθογωνίων τριγώνων και ως πλευρές και διαγώνιο ορθογωνίου, προκειμένου να κατασκευάζονται ορθές γωνίες με ακρίβεια», δηλώνει ο Μάνσφιλντ.

Ωστόσο, είναι δύσκολο να δουλέψεις με πρώτους αριθμούς μεγαλύτερους του 5 στο εξηκονταδικό σύστημα των Βαβυλωνίων.

 

Η πλάκα Si.427
Credit: UNSW Sydney

Τα άγνωστα –μέχρι τώρα- μυστικά του Si.427

Ο δρ Μάνσφιλντ ελπίζει να ανακαλύψει άλλες εφαρμογές της “πρωτο-τριγωνομετρίας” των Βαβυλωνίων. Στο πίσω μέρος της πλάκας, αναγράφεται ο εξηκονταδικός αριθμός 25:29, δηλαδή 25 εξηντάδες και 29 μονάδες (σκεφτείτε το σαν 25 λεπτά και 29 δευτερόλεπτα).

«Δεν μπορώ να βρω τι σημαίνουν αυτοί οι αριθμοί – είναι το απόλυτο αίνιγμα», αναφέρει ο δρ Μάνσφιλντ. «Είμαι πρόθυμος να το συζητήσω με ιστορικούς ή μαθηματικούς που μπορεί να έχουν μια ιδέα τι θέλουν να μας πουν οι αριθμοί αυτοί!»


Πηγή:

Διαβάστε επίσης σχετικά με την έρευνα του δρ Ντάνιελ Μάνσφιλντ:

Δευτέρα 26 Ιουλίου 2021

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Η Σάλπιγγα του Γαβριήλ & ένα παράδοξο!

 

Η σάλπιγγα του Γαβριήλ
Γλυπτό όπου απεικονίζεται ο Αρχάγγελος Γαβριήλ φυσώντας τη σάλπιγγά του για να αναγγείλει την Ημέρα της Κρίσης


Η Σάλπιγγα (ή κέρας) του Γαβριήλ που απεικονίζεται στο παραπάνω γλυπτό έδωσε (δικαιολογημένα) το όνομά της σε μια επιφάνεια, με την οποία ασχολήθηκε διεξοδικά ο Evangelista Torricelli (1608-1647), μαθητής του Γαλιλαίου, προσπαθώντας να λύσει ένα παράδοξο. Η λέξη "παράδοξο" σημαίνει ότι αν επιχειρήσουμε να χρησιμοποιήσουμε τη διαίσθησή μας για να το ερμηνεύσουμε, αυτό φαίνεται παράλογο. Στον φυσικό κόσμο ίσως και να είναι όντως αδύνατο να συμβεί. Όμως, μαθηματικά, όλα είναι σωστά! Και δεν μπορείς να φέρεις αντίρρηση στα μαθηματικά...


Angel Playing A Flageolet
Lady Lindsay Blanche (1844-1912) - "Angel Playing a Flageolet"


Τα βιβλία γράφουν...

Η Σάλπιγγα του Γαβριήλ (Gabriel's horn, ή Torricelli's trumpet) είναι μια επιφάνεια εκ περιστροφής που προκύπτει αν πάρουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης  \(y=\frac{1}{x} \), με \( x \geq 1\) και την περιστρέψουμε στις τρεις διαστάσεις γύρω από τον άξονα των \(x\).

Περισσότερα γύρω από τις επιφάνειες εκ περιστροφής, μπορείτε να διαβάσετε εδώ...


russell kightley
Russell Kightley (σύγχρονος επιστημονικός γραφίστας) - "Gabriel's Horn"

Για τη συγκεκριμένη επιφάνεια, ο Torricelli παρατήρησε το 1641 το εξής παράδοξο, γνωστό πλέον και ως το παράδοξο του ελαιοχρωματιστή:


  • Αρχικά υπολόγισε τον όγκο που περιέχεται από την επιφάνεια της σάλπιγγας του Γαβριήλ. Ουσιαστικά, για να βρούμε τον όγκο που περιέχεται από την επιφάνεια εκ περιστροφής, αρκεί να προσθέσουμε τα εμβαδά όλων των κύκλων της επιφάνειας. Δεδομένου ότι το εμβαδόν ενός κύκλου με ακτίνα \(r\) είναι \(A=\pi r^2\) και η ακτίνα \(r\) στη θέση \(x\) ισούται με \( r=y=\frac{1}{x} \), προκύπτει ότι 


Επομένως ο όγκος της σάλπιγγας του Γαβριήλ βρίσκεται αν υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα


Δηλαδή ο όγκος που περικλείεται από τη σάλπιγγα του Γαβριήλ είναι \( \pi\) κυβικές μονάδες.

  • Μετά τον υπολογισμό του όγκου, ο Torricelli θέλησε να βρει και το εμβαδόν της επιφάνειας εκ περιστροφής. Δεδομένου ότι η περίμετρος ενός κύκλου με ακτίνα \(r\) είναι \(L=2 \pi r\) και η ακτίνα \(r\) στη θέση \(x\) ισούται με \( r=y=\frac{1}{x} \), προκύπτει τελικά το επιφανειακό ολοκλήρωμα 


Δηλαδή το εμβαδόν της επιφάνειας είναι άπειρο! Με άλλα λόγια, έχουμε περιστρέψει μια άπειρη περιοχή γύρω από μια ευθεία και πήραμε έναν πεπερασμένο όγκο! Το παράδοξο του ελαιοχρωματιστή, λοιπόν, μας λέει ότι μπορούμε να γεμίσουμε τη σάλπιγγα του Γαβριήλ με \( \pi \simeq 3,14\) κυβικές μονάδες χρώματος, αλλά δεν υπάρχει αρκετή μπογιά στον κόσμο για να χρωματίσουμε το εξωτερικό της!

Να σημειώσουμε ότι ο Evangelista Torricelli δεν έκανε τους υπολογισμούς του με τη χρήση ολοκληρωμάτων, αφού ο ολοκληρωτικός λογισμός δεν είχε ακόμη επινοηθεί. Στην πραγματικότητα, χρησιμοποίησε μια τεχνική που ονομάζεται μέθοδος του Cavalieri. Αλλά δεν μπορούσε να βγάλει άκρη! Πώς είναι δυνατόν μια επιφάνεια με άπειρο εμβαδόν να περικλείει έναν πεπερασμένο όγκο;


"Gabriel's Horn"
"Gabriel's Horn"


Πού οφείλεται λοιπόν το παράδοξο αυτό; Έχετε στο νου σας ότι εδώ κάνουμε Μαθηματικά, όχι Φυσική ή άλλες επιστήμες που επιχειρούν να εξηγήσουν το σύμπαν... Η απάντηση είναι πως δεν είναι έγκυρο να υποθέσουμε ότι μπορούμε να εκτελέσουμε διαδικασίες μόνο και μόνο επειδή αυτές συσχετίζονται με πεπερασμένα μεγέθη. H σάλπιγγα του Γαβριήλ είναι μια άπειρη επιφάνεια. Έτσι, είναι δεκτό ότι δεν μπορούμε να βάψουμε την επιφάνεια αυτή, επειδή δεν έχουμε άπειρη μπογιά. Όμως είναι λάθος να συμπεράνουμε ότι μπορούμε να γεμίσουμε το εσωτερικό της, απλώς επειδή υπάρχει η συνολική ποσότητα χρώματος που απαιτείται. Η διαδικασία γεμίσματος δεν θα μπορούσε να γίνει σε πεπερασμένο χρόνο, αφού πρόκειται για μια άπειρη επιφάνεια, δηλαδή δεν έχει τέλος...



Πηγές:

Mathemania: Gabriel's Horn

Russell Kightley

Sarah Colegrave Fine Art

That's Maths: Torricelli's Trumpet & The Painter's Paradox

Wikipedia | Gabriel's Horn

YouTube | Gabriel's Horn Paradox - Numberphile

YouTube | Gabriel's Horn (extra) - Numberphile

Παρασκευή 23 Ιουλίου 2021

"Το Θεώρημα του παπαγάλου"


Ετοιμαζόταν να αραδιάσει στο χαρτί όλα όσα είχε σταχυολογήσει, όταν ένα απόσπασμα από το γράμμα του Γκροσρούβρ ήρθε στη μνήμη του: "Μέσα σ' αυτά τα συγγράμματα περιέχονται ιστορίες αντάξιες των καλύτερων μυθιστοριογράφων μας". Μαθηματικά αντάξια του Ζολά, του Μπαλζάκ, του Τολστόι! Ως συνήθως, ο Γκροσρούβρ το είχε παρακάνει... "Γιατί να μην ακολουθήσω τη συμβουλή του; Αλήθεια, ποια ιστορία μού διηγούνται αυτές οι σελίδες;"
Η ιστορία εκτυλίσσεται μέσα σ' ένα επίπεδο και οι πρωταγωνιστές της είναι μια ευθεία κι ένας κύκλος. Τι μπορεί να συμβεί ανάμεσα σε μια ευθεία κι έναν κύκλο; Η ευθεία ή θα τέμνει τον κύκλο ή δε θα τον τέμνει. Μπορεί όμως και να τον αγγίζει μόνο...
(Απόσπασμα από το βιβλίο)

Το Θεώρημα του παπαγάλου
Το βιβλίο από τις εκδόσεις "Κέδρος", σε μετάφραση του μαθηματικού και συγγραφέα Τεύκρου Μιχαηλίδη

Τι σχέση μπορεί να έχει ένας παπαγάλος με τα μαθηματικά; Πώς μπορούν να συνεργαστούν ο παπαγάλος, ένας ηλικιωμένος συνταξιούχος βιβλιοπώλης, καθηλωμένος σε αναπηρικό αμαξίδιο, ένα κωφό αγόρι και τα δίδυμα αδέρφια του, διάνοιες στα μαθηματικά, στη διαλεύκανση ενός φόνου που συνέβη χιλιάδες χιλιόμετρα μακριά τους; Ποια θεωρήματα πρέπει να χρησιμοποιήσεις για να επιλύσεις τις ανεξιχνίαστες υποθέσεις της καθημερινής ζωής; Πόση λογοτεχνία μπορεί να χωρέσει σε μια εξίσωση;

Το μυθιστόρημα του Ντενί Γκετζ "Το Θεώρημα του παπαγάλου" είναι μια λογοτεχνική περιπλάνηση στον μαγικό κόσμο της ιστορίας των μαθηματικών: ένα ταξίδι μύησης στη σκέψη του Ευκλείδη, του Θαλή, του Πυθαγόρα, του Φερμά, του Όιλερ, του Γκόλντμπαχ και άλλων κορυφαίων μαθηματικών... μια αναδρομή στα σημαντικότερα προβλήματα που αντιμετώπισε η επιστήμη τους στο πέρασμα των αιώνων.

Το θεώρημα του παπαγάλου
Σελίδα από το βιβλίο

"Σ' αυτή την ατμόσφαιρα όπου η σάρκα σήπεται, όπου τα σώματα αποστραγγίζονται, όπου όλα αποσυντίθενται, σ' αυτή την ατμόσφαιρα όπου η έντονη ζωή επιταχύνει το θάνατο, αρπάχτηκα από όντα χωρίς υλική υπόσταση, από ιδέες που ούτε η αποπνικτική ζέστη ούτε η τρομακτική υγρασία μπορούν να φθείρουν. (...) Έχει δει ποτέ κανείς μαθηματικούς ορισμούς να σαπίζουν; Θεωρήματα να λιώνουν; Συλλογισμούς να μουχλιάζουν; Αξιώματα που να τα τρώνε τα σκουλήκια; (...) Τη στιγμή που η διάσωσή μου εξαρτιόταν από αυτό, συνειδητοποίησα ότι τα μαθηματικά είναι άφθαρτα."
(Απόσπασμα από το βιβλίο)

Σάββατο 16 Μαΐου 2020

Ξενοδοχείο "Το Άπειρον"



Το 1924, ο David Hilbert εισήγαγε ένα νοητικό πείραμα που αναδεικνύει τις παράδοξες ιδιότητες του απείρου, καθιστώντας φανερό το πόσο δύσκολο είναι για το... πεπερασμένων δυνατοτήτων μυαλό των ανθρώπων να συλλάβει την έννοια του απείρου.


Φανταστείτε ότι είστε ρεσεψιονίστας στο ξενοδοχείο "Το Άπειρον", ένα ξενοδοχείο με άπειρα δωμάτια. Ένα βράδυ, και ενώ όλα τα δωμάτια είναι κατειλημμένα, ένας πελάτης μπαίνει στο ξενοδοχείο. Μπορείτε να του βρείτε δωμάτιο; 

Σύμφωνα με τον Hilbert, ο ρεσεψιονίστας μπορεί να βρει δωμάτιο στον νέο πελάτη! Πώς;

Θα ζητήσει από αυτόν που μένει στο δωμάτιο 1 να μεταφερθεί στο δωμάτιο 2.
Αυτός που μένει στο δωμάτιο 2 θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 3.
Αυτός που μένει στο δωμάτιο 3 θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 4 κ.ο.κ.
...
Αυτός που μένει στο δωμάτιο ν θα μεταφερθεί στο δωμάτιο ν+1.
Έτσι όλοι οι πελάτες έχουν βολευτεί και το δωμάτιο 1 είναι ελεύθερο για τον νέο πελάτη.


Το επόμενο βράδυ, και ενώ όλα τα δωμάτια είναι ακόμη κατειλημμένα, φτάνει στο ξενοδοχείο "Το Άπειρον" ένα λεωφορείο με 50 επιβάτες, που θέλουν να διανυκτερεύσουν στο ξενοδοχείο. Τι θα κάνει ο ρεσεψιονίστας;

Θα ζητήσει από αυτόν που μένει στο δωμάτιο 1 να μεταφερθεί στο δωμάτιο 51.
Αυτός που μένει στο δωμάτιο 2 θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 52 κ.ο.κ.
...
Αυτός που μένει στο δωμάτιο ν θα μεταφερθεί στο δωμάτιο ν+50.
Έτσι θα μείνουν ελεύθερα τα 50 πρώτα δωμάτια.


Αφού υπάρχουν άπειρα δωμάτια, υπάρχουν πάντα δωμάτια για νέους φιλοξενούμενους. Αλλά το επόμενο βράδυ, και ενώ όλα τα δωμάτια είναι ακόμη κατειλημμένα, φτάνει στο ξενοδοχείο "Το Άπειρο" ένα λεωφορείο με άπειρους επιβάτες, που θέλουν να διανυκτερεύσουν στο ξενοδοχείο. Ο ρεσεψιονίστας τα χάνει.

Ο Hilbert προτείνει τώρα το εξής:
Αυτός που μένει στο δωμάτιο 1 θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 2.
Αυτός που μένει στο δωμάτιο 2 θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 4.
Αυτός που μένει στο δωμάτιο 3 θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 6 κ.ο.κ.
...
Αυτός που μένει στο δωμάτιο ν θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 2ν.


Έτσι, οι άπειροι ένοικοι του ξενοδοχείου γεμίζουν μόνο τα δωμάτια με άρτιο αριθμό (που είναι άπειρα σε πλήθος), ενώ τα δωμάτια με περιττό αριθμό (επίσης άπειρα) μένουν ελεύθερα για τους νέους, άπειρους πελάτες.



Το κλειδί για την κατανόηση αυτού του παραδόξου είναι πως οι φυσικοί αριθμοί είναι άπειροι σε πλήθος, όπως άπειροι είναι και οι άρτιοι και περιττοί αριθμοί, οι οποίοι μαζί απαρτίζουν τους φυσικούς.


Ένα βράδυ, ενώ τα δωμάτια του ξενοδοχείου είναι ακόμη όλα κατειλημμένα, φτάνει στην είσοδο μια άπειρη ουρά με απείρως μεγάλα τουριστικά λεωφορεία, με άπειρους επιβάτες στο καθένα. Ο ρεσεψιονίστας προς στιγμήν απελπίζεται.

Ευτυχώς, ο Ευκλείδης γύρω στο 300 π.Χ. είχε αποδείξει πως υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί. Οι πρώτοι αριθμοί είναι: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ... και είναι άπειροι σε πλήθος. Έτσι, χρησιμοποιώντας τους πρώτους αριθμούς, ο ρεσεψιονίστας μπορεί πάλι να βρει δωμάτιο στους νέους πελάτες:

Ξεκινάμε με τις δυνάμεις του μικρότερου πρώτου αριθμού, του 2.
Αυτός που μένει στο δωμάτιο 1 θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 21 = 2.
Αυτός που μένει στο δωμάτιο 2 θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 22 = 4.
Αυτός που μένει στο δωμάτιο 3 θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 23 = 8 κ.ο.κ.
...
Αυτός που μένει στο δωμάτιο ν θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 2ν.



Έπειτα ο ρεσεψιονίστας φωνάζει τους επιβάτες του πρώτου λεωφορείου και τους τοποθετεί στα δωμάτια που είναι δυνάμεις του επόμενου πρώτου αριθμού, του 3.
Αυτός που καθόταν στη θέση 1 του λεωφορείου, θα μείνει στο δωμάτιο 31 = 3.
Αυτός που καθόταν στη θέση 2 του λεωφορείου, θα μείνει στο δωμάτιο 32 = 9 κ.ο.κ.
..
Αυτός που καθόταν στη θέση ν του λεωφορείου, θα μείνει  στο δωμάτιο 3ν.

Για τους επιβάτες του δεύτερου λεωφορείου, θα χρησιμοποιήσουμε τις δυνάμεις του 5.
Αυτός που καθόταν στη θέση 1 του λεωφορείου, θα μείνει στο δωμάτιο 51 = 5.
Αυτός που καθόταν στη θέση 2 του λεωφορείου, θα μείνει στο δωμάτιο 52 = 25 κ.ο.κ.
..
Αυτός που καθόταν στη θέση ν του λεωφορείου, θα μείνει  στο δωμάτιο 5ν.

Όμοια, οι επιβάτες του τρίτου λεωφορείου θα διαμείνουν στα δωμάτια που είναι δυνάμεις του 7.
Οι επιβάτες του επόμενου λεωφορείου θα διαμείνουν στα δωμάτια που είναι δυνάμεις του 11.
Συνεχίζουμε με τις δυνάμεις του 13, τις δυνάμεις του 17 κ.ο.κ.



Αφού καθένας από τους προηγούμενους αριθμούς είναι δύναμη με βάση έναν πρώτο αριθμό και εκθέτη έναν φυσικό αριθμό, είναι όλοι διαφορετικοί μεταξύ τους. Επομένως, δεν θα βρεθούν δύο διαφορετικοί ένοικοι στο ίδιο δωμάτιο. (Αν και πολλά δωμάτια, όπως το 1, το 6 ή το 10 θα μείνουν άδεια έτσι!!!)

Αυτό που χρειάζεται να κατανοήσουμε εδώ, είναι πως οι φυσικοί αριθμοί είναι άπειροι σε πλήθος, όπως άπειροι σε πλήθος είναι και οι πρώτοι αριθμοί, παρόλο που αποτελούν γνήσιο υποσύνολο των φυσικών. Όμως τα σύνολα των φυσικών, των πρώτων, αλλά και των αρτίων και των περιττών αριθμών, αν και άπειρα, είναι αριθμήσιμα. Αυτό σημαίνει ότι μπορεί να γίνει κάποιου είδους "καταμέτρηση" των φυσικών αριθμών. Αυτό είναι το πιο "απλό" άπειρο. Έτσι ο ρεσεψιονίστας μπορεί να διαχειριστεί τα άπειρα δωμάτια.

Αν κάποτε μείνετε στο ξενοδοχείο "Το Άπειρον", θα μπορέσετε να βγάλετε άκρη με το παράδοξο αυτό. Αλλά ίσως σας ξυπνήσει ο ρεσεψιονίστας τα ξημερώματα για να σας αλλάξει δωμάτιο...




Πηγές: