1729: Ο αριθμός Hardy-Ramanujan και τα... ταξί!

 

Πόσο «ξεχωριστός» μπορεί να είναι ένας αριθμός; Για τους περισσότερους, το 1729 ίσως μοιάζει με μια χρονολογία. Για όσους, όμως, αγαπούν την ιστορία των μαθηματικών, το 1729 είναι κάτι πολύ περισσότερο: είναι ο πρώτος «αδιάφορος» αριθμός που αποδείχθηκε… καθόλου αδιάφορος!

 

Η ιστορία του αριθμού 1729

Όλα ξεκίνησαν σε μια συνάντηση δύο σπουδαίων μαθηματικών, σε ένα νοσοκομείο στις αρχές του 20^ού αιώνα: του Άγγλου μαθηματικού Godfrey Harold Hardy και του Ινδού μαθηματικού Srinivasa Ramanujan, που θεωρείται ένας από τους πιο ιδιοφυείς μαθηματικούς όλων των εποχών. Συγκεκριμένα, ο Hardy γράφει:

Θυμάμαι μια φορά που πήγαινα να τον επισκεφτώ στο Putney επειδή ήταν άρρωστος. Είχα πάρει ένα ταξί με το νούμερο 1729 και σχολίασα πως ο αριθμός αυτός μου φαινόταν αρκετά βαρετός και πως ήλπιζα αυτό να μην αποτελούσε κάποιον άσχημο οιωνό. "Όχι", μου απάντησε "είναι ένας πολύ ενδιαφέρων αριθμός. Είναι ο μικρότερος αριθμός που μπορεί να εκφραστεί ως το άθροισμα δύο κύβων με δύο διαφορετικούς τρόπους."

 

Και ο Ramanujan είχε δίκιο, αφού:

\(1729=1^3+12^3=9^3+10^3\)

Ο αριθμός 1729 έμεινε από τότε στην ιστορία ως ο αριθμός Hardy-Ramanujan.

 

Οι «αριθμοί ταξί»

Η γενίκευση αυτής της ιδέας οδήγησε στην ιδέα των αριθμών ταξί (ή "taxicab numbers"), από την ιστορία του ταξί του Hardy.  Αυτοί είναι οι αριθμοί που μπορούν να γραφούν ως άθροισμα δύο κύβων με περισσότερους από έναν τρόπους.

Ο πρώτος τέτοιος αριθμός είναι ακριβώς το 1729.

Ο επόμενος είναι αρκετά μεγαλύτερος:

\(4104=2^3+16^3=9^3+15^3\)

Το πλήθος αυτών των αριθμών είναι άπειρο.

 

Μαθηματική στάση ζωής

Η ιστορία του 1729 μας θυμίζει ότι ακόμα και ένας «τυχαίος» αριθμός μπορεί να κρύβει κάτι εξαιρετικό. Δεν είναι μόνο ο αριθμός 1729 που αξίζει να τον θυμόμαστε, αλλά και η μαθηματική στάση ζωής του Ramanujan: να βλέπεις το ενδιαφέρον μέσα στο φαινομενικά ασήμαντο!

 

Διαβάστε ακόμα στο «εις το άπειρον»:

• G.H. Hardy, «Η Απολογία ενός Μαθηματικού»
• Robert Kanigel, «Ραμανουτζάν»

"Ο άνθρωπος των αριθμών"

Ο Φιμπονάτσι και η επανάσταση στην αριθμητική

Ας φανταστούμε μια μέρα σ' έναν κόσμο δίχως καθόλου αριθμούς. Ή, έστω, την αρχή μιας κοινής μέρας: δεν θα 'χαμε ρολόι, ξυπνητήρι, ραδιόφωνο και τηλεόραση, ούτε σκορ στους ποδοσφαιρικούς αγώνες, μετεωρολογικά δελτία, πορτοφόλια ή τραπεζικούς λογαριασμούς. Τι να τα κάναμε, άλλωστε, στο ετοιμόρροπο καλύβι μας; Γιατί, βέβαια, χωρίς στοιχειώδεις αριθμητικούς υπολογισμούς, δεν θα 'χαμε ούτε σύγχρονες κατοικίες... Όμως πώς εξοικειωθήκαμε με τούτες τις αφηρημένες επινοήσεις των προγόνων μας ώστε να αναπτύξουμε τέτοια εξάρτηση απ' αυτές; Το 1202, ο 32χρονος Λεονάρντο από την Πίζα, γνωστός και ως Fibonacci, ολοκλήρωσε το Liber abacci, ένα από τα πιο σημαντικά βιβλία όλων των εποχών, το οποίο εισήγαγε τους ινδοαραβικούς αριθμούς και το ινδοαραβικό αριθμητικό σύστημα στην Ευρώπη. Το «βιβλίο των υπολογισμών» συνέβαλε καθοριστικά στην εκρηκτική ανάπτυξη του εμπορίου, της επιστήμης και της τεχνολογίας στους αιώνες που ακολούθησαν. Ο Λεονάρντο, ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς του Μεσαίωνα, έχει θέση δίπλα στον Κοπέρνικο, τον Κέπλερ και τον συμπατριώτη του, Γαλιλαίο. Όμως, ο ίδιος αργότερα ξεχάστηκε και παραμένει μέχρι σήμερα ένα αίνιγμα. Ο Keith Devlin, βραβευμένος εκλαϊκευτής των μαθηματικών, φιλοτεχνεί ένα αριστοτεχνικό ψηφιδωτό του Λεονάρντο, της εποχής του και του πνευματικού κλίματος στο οποίο έζησε. Κι ακόμα, μας λέει γιατί ο αλγόριθμος λέγεται αλγόριθμος και το ψηφίο ψηφίο, θυμίζοντάς μας αλλόκοτα προβλήματα με πτηνά και κουνέλια, τη ρητορική άλγεβρα και -κυρίως!- τα ψυχαγωγικά μαθηματικά. 

Όπερ Έδει Δείξαι

Η φράση «Όπερ Έδει Δείξαι» δεν είναι απλώς ένας τυπικός επίλογος. Αποτελεί το σήμα κατατεθέν της μαθηματικής σκέψης. Με τη φράση «Όπερ Έδει Δείξαι» (Ο.Ε.Δ.), που σημαίνει «το οποίο έπρεπε να αποδειχθεί», έκλεινε ο Ευκλείδης (περ. 350-270 π.Χ.) κάθε θεώρημα στα «Στοιχεία». Στα Λατινικά η αντίστοιχη φράση είναι «Quod Erad Demonstrandum» (Q.E.D.). Στη φράση αυτή συνοψίζεται η πεμπτουσία των Μαθηματικών. Κάθε μαθηματική πρόταση, όσο προφανής κι αν φαίνεται, πρέπει να αποδειχθεί στηριζόμενη σε λογικά επιχειρήματα που οδηγούν με ασφάλεια στο συμπέρασμα. Τότε μόνο θα είναι έγκυρη και μπορεί να γίνει καθολικά αποδεκτή από τη μαθηματική κοινότητα. Η διαδικασία της απόδειξης εισήχθη στα μαθηματικά από το Θαλή το Μιλήσιο (640-546 π.Χ.) και έκτοτε τα συνοδεύει απαρέγκλιτα στο ταξίδι τους μέσα στο χρόνο, καθιστώντας τα ισχυρά και απαλλάσσοντάς τα από υποκειμενικότητες…

 

📖Παραπομπές:

Αργυρόπουλος, Η., Βλάμος, Π., Κατσούλης, Γ., Μαρκάτης, Σ. & Σιδέρης. Π. (2001). Ευκλείδεια Γεωμετρία Α' & Β' Ενιαίου Λυκείου, Ο.Ε.Δ.Β.

Γκουντουβάς, Σ. (2023). Γεωμετρικά Θέματα: 100+1 ασκήσεις Γεωμετρίας

Polster, B. (2009) Όπερ Έδει Δείξαι: Η Ομορφιά της Μαθηματικής Απόδειξης. Αλεξάνδρεια

Από τον Απολλώνιο στα... αραβικά χειρόγραφα και τελικά στην... Ολλανδία!

Μια εμπεριστατωμένη έρευνα «κόντρα» στις ανακριβείς και παραπλανητικές αντιγραφές του διαδικτύου

Κρυμμένοι… θησαυροί

Ο Απολλώνιος ο Περγεύς  (262 π.Χ.–190 π.Χ.) είναι γνωστός για το πρωτοποριακό του έργο στην Γεωμετρία. Υπήρξε ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς και γεωμέτρες της αρχαιότητας. Γεννήθηκε στην αρχαία ελληνική πόλη Πέργη της Μικράς Ασίας. Σπούδασε και δίδαξε στην Αλεξάνδρεια και, μεταξύ των άλλων, συνέγραψε το έργο «Κωνικά». Σε αυτό, ανέπτυξε συστηματικά τις έννοιες της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής (ο κύκλος μελετάται στα Κωνικά ως ειδική περίπτωση της έλλειψης), επηρεάζοντας βαθιά τα μαθηματικά και την αστρονομία τόσο της ελληνιστικής περιόδου όσο και των μεταγενέστερων πολιτισμών.

Ο Απολλώνιος ο Περγεύς, γνωστός κυρίως για το έργο του "Κωνικά" που μελετά τις κωνικές τομές. Πηγή εικόνας: Wikipedia

Από τα οκτώ βιβλία που αποτελούσαν τα «Κωνικά», τα πρώτα τέσσερα διασώζονται στα ελληνικά, ενώ τα πέμπτο έως έβδομο είναι γνωστά μόνο από μεσαιωνικές αραβικές μεταφράσεις, που αποδίδονται πιθανώς στον Θαμπίτ Ιμπν Κούρρα και μεταγενέστερους λογίους της ισλαμικής Χρυσής Εποχής. Το όγδοο βιβλίο θεωρείται χαμένο.

Τα αραβικά χειρόγραφα με τα βιβλία 5–7 είχαν αποκτηθεί τον 17^ο αιώνα από τον Ολλανδό ανατολιστή και μαθηματικό Jacob Golius, ο οποίος, κατά τη διάρκεια των ταξιδιών του στη Μέση Ανατολή, τα μετέφερε στο Πανεπιστήμιο του Leiden στην Ολλανδία, σε μια τεράστια συλλογή σχεδόν 200 χειρογράφων. Τα χειρόγραφα αυτά είχαν ταξινομηθεί και μελετηθεί από τους επιστήμονες της εποχής και δεν παρέμεναν ξεχασμένα (όπως λανθασμένα αναφέρεται σε πολλά άρθρα στο διαδίκτυο). Η αξία τους όμως αναδεικνύεται ξανά μέσα από σύγχρονες μελέτες, οι οποίες προβάλλουν όχι μόνο το έργο του Απολλώνιου, αλλά και τον ρόλο του ισλαμικού πολιτισμού στη διάσωση και μετάδοση της αρχαίας ελληνικής γνώσης.

Η πρόσφατη επανεξέταση των αραβικών χειρογράφων συνοδεύεται από μελέτη της καλλιγραφίας και των γεωμετρικών διαγραμμάτων που περιέχουν, προσφέροντας μια μοναδική εικόνα για τη μαθηματική παράδοση της ισλαμικής περιόδου. Ο Ολλανδός μαθηματικός και ιστορικός της επιστήμης Jan Pieter Hogendijk τόνισε τη σημασία αυτών των τεκμηρίων ως απόδειξη της πνευματικής ακμής και επιστημονικής πειθαρχίας των μουσουλμάνων λογίων του Μεσαίωνα.

Τμήμα από την αραβική μετάφραση των "Κωνικών" του Απολλώνιου. Πηγή εικόνας και πνευματικά δικαιώματα: Leiden University Libraries

Η επιρροή της επιστημονικής παράδοσης του Ισλάμ και η σημασία της σήμερα

Η επιστημονική γνώση της αρχαιότητας, και ιδιαίτερα των Ελλήνων, δεν χάθηκε, αλλά διασώθηκε και μεταδόθηκε μέσω της ισλαμικής επιστημονικής παράδοσης από τον 8^ο έως τον 13^ο αιώνα. Πλήθος ελληνικών έργων μεταφράστηκαν στα αραβικά, επεκτάθηκαν και εν τέλει διοχετεύτηκαν στην Ευρώπη, συμβάλλοντας καθοριστικά στην ευρωπαϊκή Αναγέννηση.

Σε αυτό το πλαίσιο, ο καθηγητής Mostafa Zahri του Πανεπιστημίου Sharjah υπογράμμισε τη σημασία της συντήρησης και μελέτης των αραβικών χειρογράφων, τα οποία συχνά παραμένουν αναξιοποίητα σε βιβλιοθήκες της Δύσης. Τον Ιανουάριο του 2025, στο Πανεπιστήμιο Sharjah διοργανώθηκε υπό την αιγίδα του SIFHAMS (Sharjah International Foundation for the History of Arab and Muslim Sciences), διεπιστημονικό εργαστήριο (workshop), όπου συνεργάστηκαν ερευνητές από τον αραβικό και δυτικό κόσμο, με σκοπό την εμβάθυνση στη μελέτη αυτών των πηγών.

Λεπτομέρεια από την αραβική μετάφραση των "Κωνικών" του Απολλώνιου, όπου διακρίνονται οι κωνικές τομές. Πηγή εικόνας και πνευματικά δικαιώματα: Leiden University Libraries 

Στο πλαίσιο της εκδήλωσης μελετήθηκε και το αριθμητικό σύστημα Abjad, στο οποίο τα γράμματα του αραβικού αλφαβήτου αντιστοιχούν σε αριθμούς (π.χ. alif = 1, baa = 2,…) και εμφανίζεται αλφαβητική-αλγεβρική χρήση αριθμών. Αν και δεν φέρεται να χρησιμοποιήθηκε ως κύριο αριθμητικό σύστημα σε επιστημονικά όργανα όπως ο αστρολάβος, όπως λανθασμένα διαβάζουμε σε αρκετά άρθρα, το Abjad παρουσιάζει ενδιαφέρον για την κατανόηση της συμβολικής και μαθηματικής σκέψης της εποχής.

Εκτός από τα βιβλία 5-7 των «Κωνικών» του Απολλώνιου, στο παραπάνω εργαστήριο επαναξιολογήθηκαν και άλλες γνώσεις των Αρχαίων Ελλήνων που διασώθηκαν χάρη στις αραβικές μεταφράσεις, όπως το «Περί Ύλης Ιατρικής» του Διοσκουρίδη, τρόποι κατασκευής ενός αστρολάβου σε χειρόγραφο του Al-Biruni, καθώς και χάρτες της εποχής εκείνης και δόθηκε ώθηση στην ανάδειξη αυτών των τεκμηρίων. Μάλιστα, από την Amsterdam University Press εκδόθηκε το Σεπτέμβριο του 2024 το βιβλίο “Prophets, Poets and Scholars:  The Collections of the Middle Eastern Library of Leiden University”, το οποίο καλύπτει την ιστορία, τη συλλογή και την εικονογράφηση των αραβικών χειρογράφων — ανάμεσά τους και όσα περιέχουν μέρος του έργου του Απολλώνιου.

Παρά την τεράστια σημασία τους, πολλά χειρόγραφα παραμένουν ανεξερεύνητα. Η συνεχιζόμενη προσπάθεια ψηφιοποίησης και η διαπολιτισμική συνεργασία, όπως αυτή στο Πανεπιστήμιο Sharjah, αποτελούν πολύτιμα εργαλεία για τη μελέτη της ιστορίας της επιστήμης και για την ανάδειξη της παγκόσμιας συνεισφοράς του ισλαμικού και αρχαιοελληνικού πνεύματος στην εξέλιξη των μαθηματικών και των φυσικών επιστημών.

 

Πηγές:

Amsterdam University Press|“Prophets, Poets and Scholars:  The Collections of the Middle Eastern Library of Leiden University”

EurekAlert.org

Ksnt.com

Leiden University Libraries

Wikipedia.org|Απολλώνιος ο Περγεύς

14/3...Ημέρα του π: Λίγη τέχνη, λίγη ιστορία και λίγα μαθηματικά!

 

Η Ημέρα του «π», που γιορτάζεται στις 14/3, είναι ένας ετήσιος εορτασμός της μαθηματικής σταθεράς π. Καθιερώθηκε το 1988 από τον Larry Shaw, υπάλληλο του επιστημονικού μουσείου του Σαν Φρανσίσκο της Καλιφόρνια, του Exploratorium.

 

Ο Jonathan J Fuller δημιουργεί έργα μαθηματικής τέχνης βασιζόμενος στα ψηφία του π. Δείτε εδώ πώς…

Το σύμβολο για τον αριθμό «π» χρησιμοποιείται εδώ και πάνω από 250 χρόνια. Εισήχθη το 1706 από τον Ουαλό μαθηματικό William Jones, φίλο του Sir Isaac Newton, ενώ έγινε δημοφιλές από τον Ελβετό μαθηματικό Leonhard Euler. Επιλέχθηκε το ελληνικό γράμμα «π», που είναι το πρώτο γράμμα της λέξης «περιφέρεια» και «περίμετρος». (Θυμηθείτε ότι το π είναι ο λόγος της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του! Ο λόγος αυτός είναι σταθερός και ανεξάρτητος από το μέγεθος του κύκλου). Πριν από το 1700, οι μαθηματικοί αναφέρονταν στον αριθμό που γνωρίζουμε ως «π» ως «το μέγεθος που όταν η διάμετρος ενός κύκλου πολλαπλασιάζεται με αυτό, δίνει την περιφέρειά του». Δεν αποτελεί έκπληξη το γεγονός ότι οι άνθρωποι κουράστηκαν να λένε τόσο πολλά κάθε φορά που ήθελαν να αναφερθούν στο π…

Προσπαθώντας να προσεγγίσουμε το άπειρο…

Ποτέ δεν θα μπορέσουμε να βρούμε όλα τα ψηφία του π, επειδή είναι άρρητος αριθμός, δηλαδή έχει άπειρα δεκαδικά ψηφία τα οποία δεν επαναλαμβάνονται περιοδικά. Ο βαβυλωνιακός πολιτισμός χρησιμοποιούσε το κλάσμα 3⅛, ενώ οι αρχαίοι Κινέζοι χρησιμοποιούσαν τον ακέραιο αριθμό 3. Οι Αρχαίοι Αιγύπτιοι, όπως γνωρίζουμε από τον Πάπυρο του Ριντ (περίπου 1650 π.Χ.), προσέγγιζαν το π ως 3,1605 μέσω του τύπου για το εμβαδόν του κύκλου. Ο Αρχιμήδης (3^ος αιώνας π.Χ.), στο έργο του «Κύκλου Μέτρησις», χρησιμοποιεί την αρκετά καλή προσέγγιση \( \frac{223}{71} < \pi <  \frac{22}{7} \). Ο Πτολεμαίος (2^ος αιώνας μ.Χ.), στο έργο του «Αλμαγέστη», χρησιμοποίησε την προσέγγιση 3,1416.

 

Μέχρι το 1665, ο Ισαάκ Νεύτων υπολόγισε μια ρητή προσέγγιση του π με 16 δεκαδικά ψηφία. Οι υπολογιστές δεν είχαν εφευρεθεί ακόμα, οπότε αυτό ήταν μια πολύ μεγάλη υπόθεση. Στις αρχές της δεκαετίας του 1700 ο Τόμας Λάγκνεϊ υπολόγισε τα πρώτα 127 δεκαδικά ψηφία του π. Το 1767 ο Γιόχαν Χάινριχ Λάμπερτ απέδειξε ότι ο π είναι άρρητος αριθμός. Στο δεύτερο μισό του εικοστού αιώνα, ο αριθμός των γνωστών ψηφίων του π αυξήθηκε από περίπου 2000 σε 500.000 χάρη στον CDC 6600, έναν από τους πρώτους υπολογιστές που κατασκευάστηκαν ποτέ. Το ρεκόρ αυτό καταρρίφθηκε το 2017, όταν ένας Ελβετός επιστήμονας υπολόγισε περισσότερα από 22 τρισεκατομμύρια ψηφία του π. Στη «μάχη» της ακριβέστερης προσέγγισης του π, κατέρριψε το 2019 το ρεκόρ η Emma Haruka Iwao της Google. Χρησιμοποιώντας το Google Cloud, υπολόγισε 31,4 τρισεκατομμύρια ψηφία του π. Το 2021, μια ομάδα μαθηματικών από το Πανεπιστήμιο Εφαρμοσμένης Επιστήμης του Grisnos στην Ελβετία, υπολόγισε περισσότερα από 62 τρισεκατομμύρια ψηφία του π. Σήμερα είναι γνωστά 105 τρισεκατομμύρια ψηφία του π, καθώς το 2024 μια αμερικάνικη εταιρεία υπολογιστών κατέχει το νέο ρεκόρ!

 

Πηγές και παραπομπές:

Imaginary.org|Pi Sacred Geometry

LiveScience|Pi Calculated to 105 Trillion Digits,smashing world record

Piday.org 

Wikipedia|π (μαθηματική σταθερά)

Τριγωνικοί, τετραγωνικοί και εξαγωνικοί αριθμοί!

 

Στην αρχαιότητα, οι Πυθαγόρειοι θεωρούσαν πως τα πάντα στο σύμπαν μπορούσαν να εξηγηθούν με τη βοήθεια των αριθμών. Γι’ αυτό έφτιαχναν διάφορες ακολουθίες αριθμών με βάση γεωμετρικά σχήματα. Οι βασικότεροι είναι οι τριγωνικοί, οι τετραγωνικοί και οι εξαγωνικοί αριθμοί.

  

Τριγωνικός λέγεται κάθε αριθμός, ο οποίος, αν συμβολιστεί με σημεία –τόσα σημεία όσα υποδηλώνει ο αριθμός– σχηματίζεται τρίγωνο. Για να βρούμε τους τριγωνικούς αριθμούς, αρχίζουμε από το 1. Κάθε φορά προσθέτουμε και τον επόμενο φυσικό αριθμό. Δηλαδή:

1

1+2=3

1+2+3=6

1+2+3+4=10

1+2+3+4+5=15

1+2+3+4+5+6=21

…

Το άθροισμα που προκύπτει κάθε φορά (σημειωμένο με έντονο) είναι και ένας τριγωνικός αριθμός.

 

Μπορούμε να αναπαραστήσουμε τους τριγωνικούς αριθμούς με ισόπλευρα τρίγωνα, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

 

Ο n-οστός τριγωνικός αριθμός είναι το άθροισμα των n πρώτων θετικών ακεραίων. Συμβολίζεται με \(T_n\) και ισούται με

\(T_n=1+2+…+n=\frac{n(n+1)}{2}\)

π.χ. \(T_4=\frac{4 \cdot 5)}{2}=10\)

 

Για την ακολουθία των τριγωνικών αριθμών ισχύει και ο αναδρομικός τύπος:

\(T_1=1\)

\(T_n=T_{n-1}+n, n>1\)

Τετραγωνικός αριθμός, ή αλλιώς τέλειο τετράγωνο, λέγεται ένας θετικός ακέραιος αριθμός που είναι το τετράγωνο ενός άλλου ακέραιου αριθμού, δηλαδή ισούται με το γινόμενο του αριθμού εκείνου με τον εαυτό του.

Ένας τετραγωνικός αριθμός \(n\) αντιπροσωπεύεται από \(n\) σημεία (κουκκίδες), τα οποία σχηματίζουν τετράγωνο, με την κάθε πλευρά του να έχει \(\sqrt{n}\) σημεία.

Ο αριθμός \(n\) είναι τετραγωνικός, αν και μόνο αν μπορούμε να συνθέσουμε ένα τετράγωνο από \(n\) ίσα μεταξύ τους τετράγωνα.

π.χ. 

\(n=1=1^2\)

\(n=4=2^2\)

\(n=9=3^2\)

\(n=16=4^2\)

\(n=25=5^2\)

Οι πρώτοι τετραγωνικοί αριθμοί (τέλεια τετράγωνα) είναι:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ...

 

Για έναν θετικό ακέραιο \(n\), ο n-οστός τετραγωνικός αριθμός είναι ο \(n^2\).

Κάποιοι τύποι που χρησιμεύουν για τον υπολογισμό ενός τετραγωνικού αριθμού όταν είναι γνωστός ο προηγούμενός του (αναδρομικοί τύποι), είναι:

\(n^2=(n-1)^2+(n-1)+n=(n-1)^2+(2n-1)\)

Το άθροισμα δύο διαδοχικών τριγωνικών αριθμών είναι τετραγωνικός αριθμός.

π.χ. \(T_3+T_4=6+10=16\), που είναι τετραγωνικός αριθμός.

Εξαγωνικός αριθμός λέγεται ένας πολυγωνικός αριθμός που παριστάνεται με ένα εξάγωνο.

 

Ο n-οστός εξαγωνικός αριθμός \(h_n\) είναι το πλήθος των κουκκίδων που «δημιουργούν» το εξαγωνικό σχήμα του. Στο μοτίβο αυτό, τα εξάγωνα δεν περιέχονται το ένα στο εσωτερικό του άλλου, αλλά έχουν όλα μία κοινή «κορυφή».

 

Οι πρώτοι εξαγωνικοί αριθμοί είναι:

1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, …

Ο τύπος που δίνει τον n-οστό εξαγωνικό αριθμό είναι:

\(h_n=2n^2-n=n(2n-1)=\frac{2n(2n-1)}{2} \)

 

Κάθε εξαγωνικός αριθμός είναι και τριγωνικός αριθμός.

Κάθε τριγωνικός αριθμός με περιττό πλήθος «πλευρών» (δηλαδή ο \(T_n\) με n περιττό) είναι εξαγωνικός αριθμός.

Κάθε άρτιος τέλειος αριθμός είναι εξαγωνικός. Καθώς δεν είναι γνωστός κανένας τέλειος αριθμός που να είναι περιττός, όλοι οι γνωστοί τέλειοι αριθμοί είναι εξαγωνικοί.

Για να ελέγξουμε αν ένας θετικός ακέραιος \(x\) είναι εξαγωνικός, μπορούμε να υπολογίσουμε τον αριθμό

\(n=\frac{\sqrt{8x+1}+1}{4}\).

Αν ο \(n\) είναι ακέραιος, τότε ο \(x\) είναι ο n-οστός εξαγωνικός αριθμός. Αλλιώς ο \(x\) δεν είναι εξαγωνικός.

👉Ανακαλύψτε περισσότερα στην "Online Εγκυκλοπαίδεια Ακολουθιών Ακέραιων Αριθμών" (OEIS).