Οι πιο σύντομες εργασίες στην ιστορία των Μαθηματικών!

Μπορεί μια επιστημονική εργασία να αποτελείται από μόλις δύο προτάσεις; Ή ακόμη και από δύο λέξεις; Κι όμως, στην ιστορία των Μαθηματικών υπάρχουν δημοσιεύσεις που καταλαμβάνουν ελάχιστο χώρο στο χαρτί, αλλά το περιεχόμενό τους είναι πολύ σημαντικότερο από την έκτασή τους.

Μια τέτοια εργασία κατάφερε το 1966 να καταρρίψει μια εικασία που είχε διατυπώσει ο μεγάλος μαθηματικός Leonhard Euler σχεδόν 200 χρόνια νωρίτερα!

1. Δύο προτάσεις που κατέρριψαν μια εικασία 200 ετών (1966)

Το 1966, οι μαθηματικοί L. J. Lander και T. R. Parkin δημοσίευσαν στο περιοδικό Bulletin of the AmericanMathematical Society μια εργασία με τίτλο “Counterexample to Euler's Conjecture on Sums of Like Powers” («Αντιπαράδειγμα στην εικασία του Euler για αθροίσματα ομοίων δυνάμεων»). Η δημοσίευσή τους καταλαμβάνει ένα μικρό μόνο μέρος μιας σελίδας και το κυρίως κείμενό της αποτελείται από μόλις δύο προτάσεις και μία βιβλιογραφική αναφορά!

Τι ακριβώς είχαν ανακαλύψει, ώστε να μη χρειάζονται περισσότερες εξηγήσεις;

Η εικασία του Euler

Το 1769, ο Leonhard Euler διατύπωσε μια εικασία που αποτελούσε γενίκευση του περίφημου Τελευταίου Θεωρήματος του Fermat.

Σύμφωνα με το τελευταίο, για κάθε φυσικό αριθμό $n>2$, δεν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι αριθμοί $a,b,c$ που να ικανοποιούν την εξίσωση:

$$a^n+b^n=c^n$$

Με άλλα λόγια, το άθροισμα δύο κύβων θετικών ακεραίων δεν μπορεί να ισούται με έναν τρίτο κύβο, το άθροισμα δύο τέταρτων δυνάμεων δεν μπορεί να ισούται με μια άλλη τέταρτη δύναμη κ.ο.κ.

Ο Euler προχώρησε ένα βήμα παραπέρα και διατύπωσε την ακόλουθη εικασία:

Για να εκφραστεί μια $n$-οστή δύναμη θετικού ακεραίου ως άθροισμα άλλων $n$-οστών δυνάμεων θετικών ακεραίων, απαιτούνται τουλάχιστον $n$ προσθετέοι, για $n>2$.

Για παράδειγμα, σύμφωνα με την εικασία:

• Για $n=3$, απαιτούνται τουλάχιστον τρεις κύβοι για να προκύψει ένας άλλος κύβος.
• Για $n=4$, απαιτούνται τουλάχιστον τέσσερις τέταρτες δυνάμεις για να προκύψει μια άλλη τέταρτη δύναμη.
• Για $n=5$, απαιτούνται τουλάχιστον πέντε πέμπτες δυνάμεις για να προκύψει μια άλλη πέμπτη δύναμη.

Η εικασία φαινόταν εύλογη. Άλλωστε, δεν είχε βρεθεί κάποιο αντιπαράδειγμα που να την καταρρίπτει.

Το αντιπαράδειγμα που ανέτρεψε την εικασία

Το 1966, σχεδόν δύο αιώνες αργότερα, οι Lander και Parkin χρησιμοποίησαν τον υπολογιστή CDC 6600 για να αναζητήσουν αριθμητικές λύσεις.

Και ανακάλυψαν την ακόλουθη ισότητα:

$$\boxed{27^5+84^5+110^5+133^5=144^5}$$

Δηλαδή, το άθροισμα τεσσάρων πέμπτων δυνάμεων ισούται με μία πέμπτη δύναμη!

Όμως, σύμφωνα με την εικασία του Euler, θα χρειάζονταν τουλάχιστον πέντε προσθετέοι. Η ισότητα αυτή ήταν αρκετή για να καταρρίψει την εικασία.

Οι δύο μαθηματικοί δημοσίευσαν το αποτέλεσμα χωρίς εκτενή εισαγωγή, αναλυτικούς υπολογισμούς ή μακροσκελή απόδειξη. Ανέφεραν απλώς ότι μια αναζήτηση στον CDC 6600 έδωσε το συγκεκριμένο αποτέλεσμα και ότι αυτό αποτελεί αντιπαράδειγμα στην εικασία του Euler.

Η μικροσκοπική αυτή δημοσίευση μας θυμίζει κάτι πολύ σημαντικό για τον τρόπο με τον οποίο λειτουργούν τα Μαθηματικά. Μπορούμε να εξετάσουμε εκατοντάδες, χιλιάδες ή ακόμη και εκατομμύρια περιπτώσεις μιας μαθηματικής πρότασης και να διαπιστώσουμε ότι επαληθεύεται σε όλες. Αυτό, όμως, δεν αποτελεί απόδειξη ότι η πρόταση ισχύει γενικά. Αντίθετα, ένα και μόνο αντιπαράδειγμα αρκεί για να αποδείξουμε ότι μια γενική πρόταση είναι λανθασμένη. Αυτό ακριβώς έκαναν οι Lander και Parkin το 1966.

2. Μια μαθηματική εργασία με μόλις δύο λέξεις! (2005)

Αν η εργασία των Lander και Parkin σάς φάνηκε υπερβολικά σύντομη, υπάρχει και κάτι ακόμη πιο εντυπωσιακό!

Το 2005, οι μαθηματικοί J. H. Conway και A. Soifer δημοσίευσαν στο American Mathematical Monthly μια εργασία με τίτλο “Covering a Triangle with Triangles” («Καλύπτοντας ένα τρίγωνο με τρίγωνα»). Το κυρίως κείμενο που είχαν αρχικά υποβάλει αποτελούνταν από δύο μόνο αγγλικές λέξεις, λίγα μαθηματικά σύμβολα και δύο σχήματα!

Το πρόβλημα που τους απασχολούσε ήταν γεωμετρικό: πόσα μικρά ισόπλευρα τρίγωνα πλευράς 1 χρειάζονται για να καλύψουμε πλήρως ένα μεγαλύτερο ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς λίγο μεγαλύτερης από έναν φυσικό αριθμό $n$;

Γνωρίζουμε ότι ένα ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς $n$ μπορεί να χωριστεί σε $n^2$ μικρά ισόπλευρα τρίγωνα πλευράς 1. Τι γίνεται όμως αν αυξήσουμε ελάχιστα την πλευρά του μεγάλου τριγώνου, ώστε να γίνει $n+\varepsilon$, όπου $\varepsilon>0$ είναι πολύ μικρό;

Οι Conway και Soifer παρουσίασαν δύο διαφορετικές γεωμετρικές κατασκευές που έδειχναν ότι, για κατάλληλα μικρό $\varepsilon$, αρκούν $n^2+2$ μικρά ισόπλευρα τρίγωνα. Και πώς παρουσίασαν το αποτέλεσμά τους; Με την απίστευτα λιτή φράση:

$$\boxed{n^2+2\ \text{can}}$$

Δηλαδή, «$n^2+2$ μπορούν»! Ακολουθούσαν δύο σχήματα που έδειχναν πώς μπορούσε να γίνει η κάλυψη.

Η ιστορία της δημοσίευσης έχει και μια αστεία λεπτομέρεια. Οι εκδότες του περιοδικού θεώρησαν ότι η εργασία ήταν υπερβολικά σύντομη και ζήτησαν από τους συγγραφείς να προσθέσουν μερικές επεξηγηματικές γραμμές. Εκείνοι, όμως, επέμειναν ότι τα σχήματα ήταν αρκετά για να παρουσιάσουν το αποτέλεσμά τους.

Τελικά, η εργασία δημοσιεύτηκε τον Ιανουάριο του 2005, αν και οι εκδότες πρόσθεσαν τίτλο και μετέφεραν το αρχικό ερώτημα στο κυρίως κείμενο, κάνοντας τη δημοσιευμένη εκδοχή λίγο μεγαλύτερη από εκείνη που είχαν αρχικά υποβάλει οι μαθηματικοί.

3. Δύο σελίδες που άλλαξαν τη θεωρία παιγνίων (1949)

Η τρίτη εργασία δεν είναι τόσο μικρή όσο οι προηγούμενες. Καταλαμβάνει σχεδόν δύο  σελίδες! Ωστόσο, η επίδρασή της στα Μαθηματικά και σε άλλες επιστήμες υπήρξε τεράστια.

Το 1950, ο νεαρός τότε μαθηματικός John Nash δημοσίευσε την εργασία “Equilibrium Points in n-Person Games” («Σημεία ισορροπίας σε παίγνια $n$ παικτών»).

Στις δύο αυτές σελίδες παρουσίασε ένα αποτέλεσμα που συνδέεται με την έννοια της ισορροπίας Nash, η οποία αποτελεί σήμερα μία από τις βασικές έννοιες της θεωρίας παιγνίων.

Με απλά λόγια, σε μια ισορροπία Nash, κάθε παίκτης έχει επιλέξει μια στρατηγική τέτοια, ώστε να μην τον συμφέρει να την αλλάξει μόνος του, εφόσον οι υπόλοιποι παίκτες διατηρούν τις δικές τους στρατηγικές. Η ιδέα αυτή βρήκε εφαρμογές όχι μόνο στα Μαθηματικά, αλλά και στα Οικονομικά, στην Πολιτική Επιστήμη, στη Βιολογία και σε πολλούς άλλους τομείς.

Το 1994, ο Nash τιμήθηκε με το Βραβείο Οικονομικών Επιστημών στη Μνήμη του Alfred Nobel, μαζί με τους John Harsanyi και Reinhard Selten, για τη συμβολή τους στη θεωρία παιγνίων. Δύο σελίδες αποδείχθηκαν αρκετές για να παρουσιαστεί μια ιδέα που επηρέασε ολόκληρους επιστημονικούς κλάδους.

Τελικά, η αξία μιας μαθηματικής εργασίας δεν μετριέται με τον αριθμό των σελίδων της!

Διαβάστε περισσότερα εδώ:

IMPA: The shortest articles in the history of mathematics

"Ο άνθρωπος που μετρούσε την άμμο"

Το βιβλίο της Gillian Bradshaw από τις Εκδόσεις Μίνωας

Ο νεαρός λόγιος Αρχιμήδης περνάει τα τρία καλύτερα χρόνια της ζωής του στο Μουσείο του Πτολεμαίου, στην Αλεξάνδρεια. Εκεί μιλάει και σκέφτεται όλη μέρα, μοιράζεται ιδέες και πληροφορίες με τα μεγαλύτερα μυαλά του κόσμου και νιώθει πως βρίσκεται στον παράδεισο. Όταν όμως μαθαίνει ότι ο πατέρας του είναι άρρωστος και οι Συρακούσες, η γενέθλια πόλη του, είναι σε πόλεμο με τους Ρωμαίους, αναγκάζεται να γυρίσει πίσω και να δουλέψει ως βασιλικός μηχανικός επιφορτισμένος με την κατασκευή καταπελτών. Στην πολιορκημένη πόλη θα βρει φήμη και απώλεια, έρωτα και πόλεμο, πλούτο και προδοσία - τίποτα απ' αυτά όμως δεν τον συγκινεί τόσο, όσο η θεία ομορφιά των μαθηματικών. (ΑΠΟ ΤΗΝ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΟ ΟΠΙΣΘΟΦΥΛΛΟ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ).

"Είναι τρελοί αυτοί οι μαθηματικοί!"

 

Νομίζεις ότι η Ιστορία των Μαθηματικών είναι βαρετή, γεμάτη υπολογισμούς, εξισώσεις και σύνθετα προβλήματα; ΛΑΘΟΣ!

Αριθμοί που αποκαλύπτουν τα «μυστικά» του Σύμπαντος, θεωρήματα που όποιος τα γνωρίζει πρέπει να πεθάνει ή και να σκοτώσει, μαθηματικές αναλύσεις που σώζουν ζωές ή κερδίζουν τον πόλεμο, παράδοξα απολύτως λογικά, επινοήσεις και ανακαλύψεις συνθέτουν την Ιστορία της συναρπαστικής αυτής επιστήμης, που γράφτηκε από ανθρώπους ιδιοφυείς.

ΠΟΙΟΙ ΕΙΝΑΙ ΑΥΤΟΙ;

Μαθηματικοί φιλόσοφοι, βασιλιάδες αστρονόμοι, επιστήμονες αστρολόγοι, ενάρετοι και ανθρωπιστές ή ανταγωνιστικοί, εγωιστές και «σατανικοί», που δοξάστηκαν ή λοιδορήθηκαν, προσωπικότητες μοναδικές, που θα ήθελες να γνωρίσεις από κοντά ή να μη βρεθούν ποτέ στον δρόμο σου!

Για την Παγκόσμια Ημέρα βιβλίου που γιορτάζεται σήμερα, το "εις το άπειρον" προτείνει το νέο βιβλίο των Θανάση Κοπάδη και Θανάση Δρούγα που κυκλοφόρησε πρόσφατα. "Το συγκεκριμένο βιβλίο δεν είναι μόνο για όσους αγαπούν τα μαθηματικά, αλλά και για όσους τα φοβούνται. Η τρέλα των μαθηματικών δεν είναι κάτι ξένο, είναι η ίδια δύναμη που μας ωθεί όλους να ψάχνουμε ένα νόημα και να θέλουμε να καταλάβουμε καλύτερα τον κόσμο όπου ζούμε."

1729: Ο αριθμός Hardy-Ramanujan και τα... ταξί!

 

Πόσο «ξεχωριστός» μπορεί να είναι ένας αριθμός; Για τους περισσότερους, το 1729 ίσως μοιάζει με μια χρονολογία. Για όσους, όμως, αγαπούν την ιστορία των μαθηματικών, το 1729 είναι κάτι πολύ περισσότερο: είναι ο πρώτος «αδιάφορος» αριθμός που αποδείχθηκε… καθόλου αδιάφορος!

 

Η ιστορία του αριθμού 1729

Όλα ξεκίνησαν σε μια συνάντηση δύο σπουδαίων μαθηματικών, σε ένα νοσοκομείο στις αρχές του 20^ού αιώνα: του Άγγλου μαθηματικού Godfrey Harold Hardy και του Ινδού μαθηματικού Srinivasa Ramanujan, που θεωρείται ένας από τους πιο ιδιοφυείς μαθηματικούς όλων των εποχών. Συγκεκριμένα, ο Hardy γράφει:

Θυμάμαι μια φορά που πήγαινα να τον επισκεφτώ στο Putney επειδή ήταν άρρωστος. Είχα πάρει ένα ταξί με το νούμερο 1729 και σχολίασα πως ο αριθμός αυτός μου φαινόταν αρκετά βαρετός και πως ήλπιζα αυτό να μην αποτελούσε κάποιον άσχημο οιωνό. "Όχι", μου απάντησε "είναι ένας πολύ ενδιαφέρων αριθμός. Είναι ο μικρότερος αριθμός που μπορεί να εκφραστεί ως το άθροισμα δύο κύβων με δύο διαφορετικούς τρόπους."

 

Και ο Ramanujan είχε δίκιο, αφού:

\(1729=1^3+12^3=9^3+10^3\)

Ο αριθμός 1729 έμεινε από τότε στην ιστορία ως ο αριθμός Hardy-Ramanujan.

 

Οι «αριθμοί ταξί»

Η γενίκευση αυτής της ιδέας οδήγησε στην ιδέα των αριθμών ταξί (ή "taxicab numbers"), από την ιστορία του ταξί του Hardy.  Αυτοί είναι οι αριθμοί που μπορούν να γραφούν ως άθροισμα δύο κύβων με περισσότερους από έναν τρόπους.

Ο πρώτος τέτοιος αριθμός είναι ακριβώς το 1729.

Ο επόμενος είναι αρκετά μεγαλύτερος:

\(4104=2^3+16^3=9^3+15^3\)

Το πλήθος αυτών των αριθμών είναι άπειρο.

 

Μαθηματική στάση ζωής

Η ιστορία του 1729 μας θυμίζει ότι ακόμα και ένας «τυχαίος» αριθμός μπορεί να κρύβει κάτι εξαιρετικό. Δεν είναι μόνο ο αριθμός 1729 που αξίζει να τον θυμόμαστε, αλλά και η μαθηματική στάση ζωής του Ramanujan: να βλέπεις το ενδιαφέρον μέσα στο φαινομενικά ασήμαντο!

 

Διαβάστε ακόμα στο «εις το άπειρον»:

• G.H. Hardy, «Η Απολογία ενός Μαθηματικού»
• Robert Kanigel, «Ραμανουτζάν»

"Ο άνθρωπος των αριθμών"

Ο Φιμπονάτσι και η επανάσταση στην αριθμητική

Ας φανταστούμε μια μέρα σ' έναν κόσμο δίχως καθόλου αριθμούς. Ή, έστω, την αρχή μιας κοινής μέρας: δεν θα 'χαμε ρολόι, ξυπνητήρι, ραδιόφωνο και τηλεόραση, ούτε σκορ στους ποδοσφαιρικούς αγώνες, μετεωρολογικά δελτία, πορτοφόλια ή τραπεζικούς λογαριασμούς. Τι να τα κάναμε, άλλωστε, στο ετοιμόρροπο καλύβι μας; Γιατί, βέβαια, χωρίς στοιχειώδεις αριθμητικούς υπολογισμούς, δεν θα 'χαμε ούτε σύγχρονες κατοικίες... Όμως πώς εξοικειωθήκαμε με τούτες τις αφηρημένες επινοήσεις των προγόνων μας ώστε να αναπτύξουμε τέτοια εξάρτηση απ' αυτές; Το 1202, ο 32χρονος Λεονάρντο από την Πίζα, γνωστός και ως Fibonacci, ολοκλήρωσε το Liber abacci, ένα από τα πιο σημαντικά βιβλία όλων των εποχών, το οποίο εισήγαγε τους ινδοαραβικούς αριθμούς και το ινδοαραβικό αριθμητικό σύστημα στην Ευρώπη. Το «βιβλίο των υπολογισμών» συνέβαλε καθοριστικά στην εκρηκτική ανάπτυξη του εμπορίου, της επιστήμης και της τεχνολογίας στους αιώνες που ακολούθησαν. Ο Λεονάρντο, ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς του Μεσαίωνα, έχει θέση δίπλα στον Κοπέρνικο, τον Κέπλερ και τον συμπατριώτη του, Γαλιλαίο. Όμως, ο ίδιος αργότερα ξεχάστηκε και παραμένει μέχρι σήμερα ένα αίνιγμα. Ο Keith Devlin, βραβευμένος εκλαϊκευτής των μαθηματικών, φιλοτεχνεί ένα αριστοτεχνικό ψηφιδωτό του Λεονάρντο, της εποχής του και του πνευματικού κλίματος στο οποίο έζησε. Κι ακόμα, μας λέει γιατί ο αλγόριθμος λέγεται αλγόριθμος και το ψηφίο ψηφίο, θυμίζοντάς μας αλλόκοτα προβλήματα με πτηνά και κουνέλια, τη ρητορική άλγεβρα και -κυρίως!- τα ψυχαγωγικά μαθηματικά. 

Όπερ Έδει Δείξαι

Η φράση «Όπερ Έδει Δείξαι» δεν είναι απλώς ένας τυπικός επίλογος. Αποτελεί το σήμα κατατεθέν της μαθηματικής σκέψης. Με τη φράση «Όπερ Έδει Δείξαι» (Ο.Ε.Δ.), που σημαίνει «το οποίο έπρεπε να αποδειχθεί», έκλεινε ο Ευκλείδης (περ. 350-270 π.Χ.) κάθε θεώρημα στα «Στοιχεία». Στα Λατινικά η αντίστοιχη φράση είναι «Quod Erad Demonstrandum» (Q.E.D.). Στη φράση αυτή συνοψίζεται η πεμπτουσία των Μαθηματικών. Κάθε μαθηματική πρόταση, όσο προφανής κι αν φαίνεται, πρέπει να αποδειχθεί στηριζόμενη σε λογικά επιχειρήματα που οδηγούν με ασφάλεια στο συμπέρασμα. Τότε μόνο θα είναι έγκυρη και μπορεί να γίνει καθολικά αποδεκτή από τη μαθηματική κοινότητα. Η διαδικασία της απόδειξης εισήχθη στα μαθηματικά από το Θαλή το Μιλήσιο (640-546 π.Χ.) και έκτοτε τα συνοδεύει απαρέγκλιτα στο ταξίδι τους μέσα στο χρόνο, καθιστώντας τα ισχυρά και απαλλάσσοντάς τα από υποκειμενικότητες…

 

📖Παραπομπές:

Αργυρόπουλος, Η., Βλάμος, Π., Κατσούλης, Γ., Μαρκάτης, Σ. & Σιδέρης. Π. (2001). Ευκλείδεια Γεωμετρία Α' & Β' Ενιαίου Λυκείου, Ο.Ε.Δ.Β.

Γκουντουβάς, Σ. (2023). Γεωμετρικά Θέματα: 100+1 ασκήσεις Γεωμετρίας

Polster, B. (2009) Όπερ Έδει Δείξαι: Η Ομορφιά της Μαθηματικής Απόδειξης. Αλεξάνδρεια

Από τον Απολλώνιο στα... αραβικά χειρόγραφα και τελικά στην... Ολλανδία!

Μια εμπεριστατωμένη έρευνα «κόντρα» στις ανακριβείς και παραπλανητικές αντιγραφές του διαδικτύου

Κρυμμένοι… θησαυροί

Ο Απολλώνιος ο Περγεύς  (262 π.Χ.–190 π.Χ.) είναι γνωστός για το πρωτοποριακό του έργο στην Γεωμετρία. Υπήρξε ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς και γεωμέτρες της αρχαιότητας. Γεννήθηκε στην αρχαία ελληνική πόλη Πέργη της Μικράς Ασίας. Σπούδασε και δίδαξε στην Αλεξάνδρεια και, μεταξύ των άλλων, συνέγραψε το έργο «Κωνικά». Σε αυτό, ανέπτυξε συστηματικά τις έννοιες της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής (ο κύκλος μελετάται στα Κωνικά ως ειδική περίπτωση της έλλειψης), επηρεάζοντας βαθιά τα μαθηματικά και την αστρονομία τόσο της ελληνιστικής περιόδου όσο και των μεταγενέστερων πολιτισμών.

Ο Απολλώνιος ο Περγεύς, γνωστός κυρίως για το έργο του "Κωνικά" που μελετά τις κωνικές τομές. Πηγή εικόνας: Wikipedia

Από τα οκτώ βιβλία που αποτελούσαν τα «Κωνικά», τα πρώτα τέσσερα διασώζονται στα ελληνικά, ενώ τα πέμπτο έως έβδομο είναι γνωστά μόνο από μεσαιωνικές αραβικές μεταφράσεις, που αποδίδονται πιθανώς στον Θαμπίτ Ιμπν Κούρρα και μεταγενέστερους λογίους της ισλαμικής Χρυσής Εποχής. Το όγδοο βιβλίο θεωρείται χαμένο.

Τα αραβικά χειρόγραφα με τα βιβλία 5–7 είχαν αποκτηθεί τον 17^ο αιώνα από τον Ολλανδό ανατολιστή και μαθηματικό Jacob Golius, ο οποίος, κατά τη διάρκεια των ταξιδιών του στη Μέση Ανατολή, τα μετέφερε στο Πανεπιστήμιο του Leiden στην Ολλανδία, σε μια τεράστια συλλογή σχεδόν 200 χειρογράφων. Τα χειρόγραφα αυτά είχαν ταξινομηθεί και μελετηθεί από τους επιστήμονες της εποχής και δεν παρέμεναν ξεχασμένα (όπως λανθασμένα αναφέρεται σε πολλά άρθρα στο διαδίκτυο). Η αξία τους όμως αναδεικνύεται ξανά μέσα από σύγχρονες μελέτες, οι οποίες προβάλλουν όχι μόνο το έργο του Απολλώνιου, αλλά και τον ρόλο του ισλαμικού πολιτισμού στη διάσωση και μετάδοση της αρχαίας ελληνικής γνώσης.

Η πρόσφατη επανεξέταση των αραβικών χειρογράφων συνοδεύεται από μελέτη της καλλιγραφίας και των γεωμετρικών διαγραμμάτων που περιέχουν, προσφέροντας μια μοναδική εικόνα για τη μαθηματική παράδοση της ισλαμικής περιόδου. Ο Ολλανδός μαθηματικός και ιστορικός της επιστήμης Jan Pieter Hogendijk τόνισε τη σημασία αυτών των τεκμηρίων ως απόδειξη της πνευματικής ακμής και επιστημονικής πειθαρχίας των μουσουλμάνων λογίων του Μεσαίωνα.

Τμήμα από την αραβική μετάφραση των "Κωνικών" του Απολλώνιου. Πηγή εικόνας και πνευματικά δικαιώματα: Leiden University Libraries

Η επιρροή της επιστημονικής παράδοσης του Ισλάμ και η σημασία της σήμερα

Η επιστημονική γνώση της αρχαιότητας, και ιδιαίτερα των Ελλήνων, δεν χάθηκε, αλλά διασώθηκε και μεταδόθηκε μέσω της ισλαμικής επιστημονικής παράδοσης από τον 8^ο έως τον 13^ο αιώνα. Πλήθος ελληνικών έργων μεταφράστηκαν στα αραβικά, επεκτάθηκαν και εν τέλει διοχετεύτηκαν στην Ευρώπη, συμβάλλοντας καθοριστικά στην ευρωπαϊκή Αναγέννηση.

Σε αυτό το πλαίσιο, ο καθηγητής Mostafa Zahri του Πανεπιστημίου Sharjah υπογράμμισε τη σημασία της συντήρησης και μελέτης των αραβικών χειρογράφων, τα οποία συχνά παραμένουν αναξιοποίητα σε βιβλιοθήκες της Δύσης. Τον Ιανουάριο του 2025, στο Πανεπιστήμιο Sharjah διοργανώθηκε υπό την αιγίδα του SIFHAMS (Sharjah International Foundation for the History of Arab and Muslim Sciences), διεπιστημονικό εργαστήριο (workshop), όπου συνεργάστηκαν ερευνητές από τον αραβικό και δυτικό κόσμο, με σκοπό την εμβάθυνση στη μελέτη αυτών των πηγών.

Λεπτομέρεια από την αραβική μετάφραση των "Κωνικών" του Απολλώνιου, όπου διακρίνονται οι κωνικές τομές. Πηγή εικόνας και πνευματικά δικαιώματα: Leiden University Libraries 

Στο πλαίσιο της εκδήλωσης μελετήθηκε και το αριθμητικό σύστημα Abjad, στο οποίο τα γράμματα του αραβικού αλφαβήτου αντιστοιχούν σε αριθμούς (π.χ. alif = 1, baa = 2,…) και εμφανίζεται αλφαβητική-αλγεβρική χρήση αριθμών. Αν και δεν φέρεται να χρησιμοποιήθηκε ως κύριο αριθμητικό σύστημα σε επιστημονικά όργανα όπως ο αστρολάβος, όπως λανθασμένα διαβάζουμε σε αρκετά άρθρα, το Abjad παρουσιάζει ενδιαφέρον για την κατανόηση της συμβολικής και μαθηματικής σκέψης της εποχής.

Εκτός από τα βιβλία 5-7 των «Κωνικών» του Απολλώνιου, στο παραπάνω εργαστήριο επαναξιολογήθηκαν και άλλες γνώσεις των Αρχαίων Ελλήνων που διασώθηκαν χάρη στις αραβικές μεταφράσεις, όπως το «Περί Ύλης Ιατρικής» του Διοσκουρίδη, τρόποι κατασκευής ενός αστρολάβου σε χειρόγραφο του Al-Biruni, καθώς και χάρτες της εποχής εκείνης και δόθηκε ώθηση στην ανάδειξη αυτών των τεκμηρίων. Μάλιστα, από την Amsterdam University Press εκδόθηκε το Σεπτέμβριο του 2024 το βιβλίο “Prophets, Poets and Scholars:  The Collections of the Middle Eastern Library of Leiden University”, το οποίο καλύπτει την ιστορία, τη συλλογή και την εικονογράφηση των αραβικών χειρογράφων — ανάμεσά τους και όσα περιέχουν μέρος του έργου του Απολλώνιου.

Παρά την τεράστια σημασία τους, πολλά χειρόγραφα παραμένουν ανεξερεύνητα. Η συνεχιζόμενη προσπάθεια ψηφιοποίησης και η διαπολιτισμική συνεργασία, όπως αυτή στο Πανεπιστήμιο Sharjah, αποτελούν πολύτιμα εργαλεία για τη μελέτη της ιστορίας της επιστήμης και για την ανάδειξη της παγκόσμιας συνεισφοράς του ισλαμικού και αρχαιοελληνικού πνεύματος στην εξέλιξη των μαθηματικών και των φυσικών επιστημών.

 

Πηγές:

Amsterdam University Press|“Prophets, Poets and Scholars:  The Collections of the Middle Eastern Library of Leiden University”

EurekAlert.org

Ksnt.com

Leiden University Libraries

Wikipedia.org|Απολλώνιος ο Περγεύς

14/3...Ημέρα του π: Λίγη τέχνη, λίγη ιστορία και λίγα μαθηματικά!

 

Η Ημέρα του «π», που γιορτάζεται στις 14/3, είναι ένας ετήσιος εορτασμός της μαθηματικής σταθεράς π. Καθιερώθηκε το 1988 από τον Larry Shaw, υπάλληλο του επιστημονικού μουσείου του Σαν Φρανσίσκο της Καλιφόρνια, του Exploratorium.

 

Ο Jonathan J Fuller δημιουργεί έργα μαθηματικής τέχνης βασιζόμενος στα ψηφία του π. Δείτε εδώ πώς…

Το σύμβολο για τον αριθμό «π» χρησιμοποιείται εδώ και πάνω από 250 χρόνια. Εισήχθη το 1706 από τον Ουαλό μαθηματικό William Jones, φίλο του Sir Isaac Newton, ενώ έγινε δημοφιλές από τον Ελβετό μαθηματικό Leonhard Euler. Επιλέχθηκε το ελληνικό γράμμα «π», που είναι το πρώτο γράμμα της λέξης «περιφέρεια» και «περίμετρος». (Θυμηθείτε ότι το π είναι ο λόγος της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του! Ο λόγος αυτός είναι σταθερός και ανεξάρτητος από το μέγεθος του κύκλου). Πριν από το 1700, οι μαθηματικοί αναφέρονταν στον αριθμό που γνωρίζουμε ως «π» ως «το μέγεθος που όταν η διάμετρος ενός κύκλου πολλαπλασιάζεται με αυτό, δίνει την περιφέρειά του». Δεν αποτελεί έκπληξη το γεγονός ότι οι άνθρωποι κουράστηκαν να λένε τόσο πολλά κάθε φορά που ήθελαν να αναφερθούν στο π…

Προσπαθώντας να προσεγγίσουμε το άπειρο…

Ποτέ δεν θα μπορέσουμε να βρούμε όλα τα ψηφία του π, επειδή είναι άρρητος αριθμός, δηλαδή έχει άπειρα δεκαδικά ψηφία τα οποία δεν επαναλαμβάνονται περιοδικά. Ο βαβυλωνιακός πολιτισμός χρησιμοποιούσε το κλάσμα 3⅛, ενώ οι αρχαίοι Κινέζοι χρησιμοποιούσαν τον ακέραιο αριθμό 3. Οι Αρχαίοι Αιγύπτιοι, όπως γνωρίζουμε από τον Πάπυρο του Ριντ (περίπου 1650 π.Χ.), προσέγγιζαν το π ως 3,1605 μέσω του τύπου για το εμβαδόν του κύκλου. Ο Αρχιμήδης (3^ος αιώνας π.Χ.), στο έργο του «Κύκλου Μέτρησις», χρησιμοποιεί την αρκετά καλή προσέγγιση \( \frac{223}{71} < \pi <  \frac{22}{7} \). Ο Πτολεμαίος (2^ος αιώνας μ.Χ.), στο έργο του «Αλμαγέστη», χρησιμοποίησε την προσέγγιση 3,1416.

 

Μέχρι το 1665, ο Ισαάκ Νεύτων υπολόγισε μια ρητή προσέγγιση του π με 16 δεκαδικά ψηφία. Οι υπολογιστές δεν είχαν εφευρεθεί ακόμα, οπότε αυτό ήταν μια πολύ μεγάλη υπόθεση. Στις αρχές της δεκαετίας του 1700 ο Τόμας Λάγκνεϊ υπολόγισε τα πρώτα 127 δεκαδικά ψηφία του π. Το 1767 ο Γιόχαν Χάινριχ Λάμπερτ απέδειξε ότι ο π είναι άρρητος αριθμός. Στο δεύτερο μισό του εικοστού αιώνα, ο αριθμός των γνωστών ψηφίων του π αυξήθηκε από περίπου 2000 σε 500.000 χάρη στον CDC 6600, έναν από τους πρώτους υπολογιστές που κατασκευάστηκαν ποτέ. Το ρεκόρ αυτό καταρρίφθηκε το 2017, όταν ένας Ελβετός επιστήμονας υπολόγισε περισσότερα από 22 τρισεκατομμύρια ψηφία του π. Στη «μάχη» της ακριβέστερης προσέγγισης του π, κατέρριψε το 2019 το ρεκόρ η Emma Haruka Iwao της Google. Χρησιμοποιώντας το Google Cloud, υπολόγισε 31,4 τρισεκατομμύρια ψηφία του π. Το 2021, μια ομάδα μαθηματικών από το Πανεπιστήμιο Εφαρμοσμένης Επιστήμης του Grisnos στην Ελβετία, υπολόγισε περισσότερα από 62 τρισεκατομμύρια ψηφία του π. Σήμερα είναι γνωστά 105 τρισεκατομμύρια ψηφία του π, καθώς το 2024 μια αμερικάνικη εταιρεία υπολογιστών κατέχει το νέο ρεκόρ!

 

Πηγές και παραπομπές:

Imaginary.org|Pi Sacred Geometry

LiveScience|Pi Calculated to 105 Trillion Digits,smashing world record

Piday.org 

Wikipedia|π (μαθηματική σταθερά)