Πώς χαίρονται το χιόνι οι μαθηματικοί!

Πηγή εικόνας 

Ο Μάγος του Οζ, το Σκιάχτρο και ένα μαθηματικό λάθος

🎬Στην ταινία του 1939, "Ο Μάγος του Οζ", ένα συμπαθέστατο σκιάχτρο πηγαίνει να συναντήσει τον πανίσχυρο μάγο του Οζ για να του ζητήσει να του δώσει εγκέφαλο. Μετά από ένα μακρινό και επικίνδυνο ταξίδι, ο μάγος, ο οποίος -μεταξύ μας- δεν ήταν αληθινός μάγος, αλλά βάσιζε τη δράση του στο φαινόμενο placebo, απονέμει στο Σκιάχτρο τον τιμητικό τίτλο Δ.Σ., δηλαδή Δόκτωρ της κριτικής Σκέψης. Μόλις πήρε το δίπλωμά του, το Σκιάχτρο, με ανανεωμένη εμπιστοσύνη στις ικανότητές του, εντυπωσίασε τους φίλους του διατυπώνοντας το εξής... "θεώρημα":

"Το άθροισμα των τετραγωνικών ριζών οποιωνδήποτε δύο πλευρών ισοσκελούς τριγώνου ισούται με την τετραγωνική ρίζα της τρίτης πλευράς".

❓Θα μπορούσε, άραγε, να ισχύει ποτέ αυτό; Ας το δούμε αναλυτικά.

Επειδή ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει δύο ίσες πλευρές, αυτό που είπε το Σκιάχτρο θα μπορούσε να περιγραφεί με τη μαθηματική σχέση

\(\sqrt{\alpha}+\sqrt{\alpha}=\sqrt{\gamma}\)

ή

\(2\sqrt{\alpha}=\sqrt{\gamma}\)

ή

\(\gamma=4\alpha\).

Όμως, με βάση την τριγωνική ανισότητα, είναι αδύνατο να υπάρχει τρίγωνο με μήκη πλευρών \\(\alpha, \alpha\\) και \\(4\alpha\\). Ελέγξτε το μόνοι σας, προσπαθώντας να σχεδιάσετε ένα τέτοιο τρίγωνο.

Από την άλλη, μπορεί το Σκιάχτρο να εννοούσε

\(\sqrt{\alpha}+\sqrt{\gamma}=\sqrt{\gamma}\),

το οποίο συνεπάγεται ότι \(\alpha=0\),

που δεν μπορεί να ισχύει για πλευρά τριγώνου.

🌐Προφανώς, ο συγγραφέας του κινηματογραφικού σεναρίου ηθελημένα έβαλε το Σκιάχτρο να διατυπώνει μια εντυπωσιακή σχέση που από μαθηματικής άποψης δεν ισχύει. Πάντως, σύμφωνα με τον Clifford A. Pickover, συγγραφέα του βιβλίου γρίφων "Τα Μαθηματικά του Οζ", η μαθηματική σχέση του Σκιάχτρου θα μπορούσε να είναι σωστή σε κάποιο είδος καμπυλωμένου χώρου, όπου η ευθεία γραμμή δεν είναι ο συντομότερος "δρόμος" ανάμεσα σε δύο σημεία και πιθανόν στη Χώρα του Οζ να ισχύει κάποια παράξενη, μη Ευκλείδεια γεωμετρία...

"Το παράθυρο του Ευκλείδη"

Μέσα από το Παράθυρο του Ευκλείδη, ο Leonard Mlodinow μάς ταξιδεύει με τρόπο απολαυστικό διαμέσου πέντε επαναστάσεων στη γεωμετρία —από την έννοια των παράλληλων ευθειών μέχρι τις τελευταίες ιδέες για τον υπερχώρο. Εδώ έχουμε μια εντελώς νέα, φρέσκια, εναλλακτική ιστορία των Μαθηματικών, της Φυσικής και της Κοσμολογίας, η οποία αποκαλύπτει πώς απλά ερωτήματα σχετικά με το χώρο, τα οποία θα μπορούσε να θέσει ο οποιοσδήποτε, υπήρξαν η κρυφή κινητήρια δύναμη για τα υψηλότερα επιτεύγματα της επιστήμης και της τεχνολογίας.

Βασισμένο στην εκτεταμένη ιστορική έρευνα τού Mlodinow, στις μελέτες του δίπλα σε συναδέλφους (όπως ο Richard Feynman και ο Kip Thorne) και σε συνεντεύξεις με εξέχοντες φυσικούς και μαθηματικούς (όπως ο Murray Gell-Mann, ο Edward Witten και ο Brian Greene), το Παράθυρο του Ευκλείδη είναι ένα εξαιρετικό μείγμα αυστηρής, έγκυρης έρευνας και προσιτής, ευχάριστης αφήγησης, το οποίο συνιστά ένα εκπληκτικά πρωτότυπο επιχείρημα υπέρ της προτεραιότητας της γεωμετρίας. Για όσους κοιτάξουν μέσα από το παράθυρο του Ευκλείδη, κανένας χώρος, κανένα πράγμα και κανένας χρόνος δεν θα είναι πλέον ο ίδιος.

«Η πορεία της επιστήμης είναι εκείνη που χάραξαν οι Έλληνες γεωμέτρες με εργαλείο τους τα μαθηματικά. Από τους αρχαίους Έλληνες και μετά, τα μαθηματικά βρίσκονται στην καρδιά της επιστήμης και η γεωμετρία στην καρδιά των μαθηματικών. Μέσα από το παράθυρο του Ευκλείδη έχουμε ανακαλύψει πολλά, εκείνος ωστόσο δεν μπορούσε να φανταστεί πού θα μας οδηγούσαν. Το να γνωρίσουμε τα άστρα, να φανταστούμε το άτομο και να αρχίσουμε να κατανοούμε πώς αυτά τα κομμάτια τού παζλ ταιριάζουν στο κοσμικό σχέδιο, αποτελεί για το είδος μας μια ιδιαίτερη ευχαρίστηση, ίσως την υπέρτατη. […] Η έρευνά μας για βαθύτερες αλήθειες συνεχίζεται. Οφείλουμε ευγνωμοσύνη στον Ευκλείδη και στις μεγαλοφυΐες που ακολούθησαν, στον Καρτέσιο, στον Gauss στον Αϊνστάιν και —ίσως, ο χρόνος θα δείξει— στον Witten, καθώς και σε όλους εκείνους επάνω στους ώμους των οποίων αυτοί στάθηκαν. Εκείνοι δοκίμασαν τη χαρά της ανακάλυψης. Σε εμάς τους υπόλοιπους πρόσφεραν μια εξίσου σημαντική χαρά, τη χαρά της κατανόησης.»

—Από τον Επίλογο του βιβλίου.

Γρίφος... τετράγωνης λογικής

Βρείτε το μήκος x της πλευράς του τετραγώνου.

Πηγή: mathematicsart.com 

Η οδός "Ευκλείδειας Γεωμετρίας" στο ιστορικό κέντρο της Καλαμάτας!

Σε δημιουργικό οίστρο βρίσκεται για μια ακόμα φορά τους τελευταίους μήνες ο εμπνευστής και δημιουργός της “οδού Ευκλείδειας Γεωμετρίας” στο Ιστορικό Κέντρο Καλαμάτας, Γιάννης Τσιμόγιαννης.

Εχοντας μεταφέρει την αγάπη του για τη Γεωμετρία εκτός των τεσσάρων τοίχων από το 2021, όταν και ξεκίνησε η μετατροπή της οδού Ηφαίστου σε «δρόμο θεωρημάτων» ώστε να αξιοποιηθεί, όπως είχε πει, ο ελεύθερος χρόνος του λόγω του εγκλεισμού της πανδημίας, ο νομικός στο επάγγελμα και κάτοικος της περιοχής κ. Τσιμόγιαννης δεν έχει επαναπαυθεί στην αρχική του πρωτοβουλία πριν 2,5 χρόνια, κρίνοντας κανείς από την εξαίρετη δουλειά του στο 5ο ΓΕΛ Καλαμάτας, μέσω του προγράμματος «Ο τοίχος διδάσκει» αλλά και από τα νέα θεωρήματα και σχήματα που σχεδίασε πρόσφατα κατά μήκος του πεζόδρομου της Γερμανού, ανανεώνοντας παράλληλα τις αρχικές του δημιουργίες μιας και αλλοιώθηκαν λόγω έκθεσης τους στις καιρικές συνθήκες.

Μέσα, έτσι, από το ταλέντο ενός ανθρώπου και από την εθελοντική του προσφορά, έχει δημιουργηθεί μια άτυπη τουριστική ατραξιόν στην Καλαμάτα, που όμοια της δεν υπάρχει, όχι μόνο στην Ελλάδα, αλλά ευρύτερα στον κόσμο, κάτι που έχει σχολιαστεί πολλάκις από ανθρώπους που αγαπούν τον συγκεκριμένο κλάδο αλλά και από επισκέπτες της πόλης οι οποίοι δείχνουν εντυπωσιασμένοι διασχίζοντας το Ιστορικό Κέντρο, αναρτώντας τις αντίστοιχες λήψεις στα social media.

Από το αισθητικό στο... μαθηματικό σκέλος

«Ως επέκταση της Ηφαίστου και δεδομένου πως το οδόστρωμα σε αυτή δεν ήταν ιδανικό για να βάψει κανείς, ξεκίνησα να δημιουργώ και στη Γερμανού όπου το έδαφος είναι σαφώς πιο ιδανικό για να καθίσει καλά το χρώμα πάνω και να σχεδιαστούν τα σχήματα» ανέφερε στην “Ε” ο Γιάννης Τσιμόγιαννης, λέγοντας πως μετά την ολοκλήρωση των δημιουργιών στο 5ο ΓΕΛ, μπήκε στη διαδικασία να ανανεώσει τα πρώτα του θεωρήματα, αλλά και να φτιάξει νέα κατά μήκος των δύο προαναφερόμενων δρόμων. Σχετικά με τα εγκωμιαστικά σχόλια χρηστών που συνοδεύουν τις αναρτήσεις τους σε facebook και instagram για τις καλλιτεχνικές του παρεμβάσεις, δήλωσε πως, εφόσον δείχνουν τον θαυμασμό τους ντόπιοι και επισκέπτες, προφανώς τους προσελκύουν αισθητικά σε πρώτη φάση, κάτι που δείχνει πως το εγχείρημα είναι επιτυχημένο. «Σε δεύτερη φάση, δεν ξέρω αν το μαθηματικό σκέλος τους ενδιαφέρει, για να αφιερώσουν περαιτέρω χρόνο ως προς το τι αποτυπώνουν, παρότι προσωπικά είμαι λεπτομερής ως προς την απόδειξη, διαγράφοντας γωνίες και καθετότητες, ώστε να διευκολύνω τους περαστικούς να σκεφτούν επαγωγικά, με κεντρικό στόχο φυσικά τα παιδιά» σημείωσε, τονίζοντας πως κάποιες από τις νέες δημιουργίες επί της Γερμανού περιστρέφονται γύρω από τη χρυσή τομή της γεωμετρίας, τις οποίες για να αποτυπώσει σωστά, χρησιμοποιεί ακόμα και σκάλα ώστε να πετύχει με ακρίβεια της ευθείες.   

Έρχονται 17 νέες δημιουργίες

Αν χαρακτηρίζει κάτι την προσωπικότητα του κ. Γιάννη Τσιμόγιαννη, αυτό είναι πως δεν επαναπαύεται ποτέ παρά τις δεκάδες δημιουργίες του, θέτοντας στόχους για νέες… γεωμετρικές πινελιές. «Με τον καιρό να συμβαδίζει σιγά – σιγά με την εποχή, δεν μπορώ να συνεχίσω με τους ίδιους ρυθμούς. Στην Ηφαίστου δε, αναγκάζομαι να φτιάχνω τα θεωρήματα νύχτα, καθώς τη μέρα η διέλευση οχημάτων δεν αφήνει περιθώρια ώστε να στεγνώσει η μπογιά. Πλέον, έχοντας περισσότερο ελεύθερο χώρο σκέφτομαι να κινηθώ ευρύτερα στη Γερμανού, με ανοιχτό το ενδεχόμενο η γεωμετρία να επεκταθεί και σε άλλα στενά, καθώς δεν είναι λίγοι οι επιχειρηματίες της περιοχής που μου ζητούν να δημιουργήσω μπροστά από τα μαγαζιά τους. Για να γίνει δε αυτή η επέκταση, απαιτούνται χονδρικά 17 νέα “κομμάτια”, μέσα από μια εναλλαγή εύκολων και δύσκολων θεωρημάτων ώστε να αυξάνεται το ενδιαφέρον» συμπλήρωσε, πληροφορώντας πως κάποιες φορές μπορεί να χρειαστεί να δουλέψει ακόμα και εφτά ώρες κατά τη διάρκεια της μέρας αλλά και πολλές φορές της νύχτας, μέσα από μια επίπονη διαδικασία, απ’ τη στιγμή που τα σχέδια αφορούν το έδαφος.

Με το... βλέμμα στο Ρεκόρ Γκίνες

Ένα αξιοσημείωτο γεγονός, εν αντιθέσει με τα όσα παρατηρούνται με τις ακαλαίσθητες φιγούρες και τα σύμβολα στους δρόμους της πόλης, είναι πως ο κόσμος έχει σεβαστεί τις δημιουργίες του κ. Τσιμόγιαννη στο Ιστορικό Κέντρο, κάτι που ισχύει όπως ενημέρωσε και στο 5ο ΓΕΛ από πλευράς μαθητών. Μάλιστα, μια μαθήτρια του σχολείου όταν τον είδε να σχεδιάζει ένα βράδυ στο Ιστορικό Κέντρο, αντιλήφθηκε πως ήταν ο δημιουργός των δεκάδων σχημάτων στο σχολείο της, εκφράζοντας τον θαυμασμό της, μιας και τα περισσότερα παιδιά δεν γνωρίζουν τον άνθρωπο πίσω από τη “μεταφόρτωση” του σχολείου τους. «Γενικότερα έχω λάβει κολακευτικά σχόλια από πολλές μεριές, ξεχωρίζοντας το σχόλιο ενός φίλου πως πέρα από την πρωτοτυπία που διακρίνει τα σχέδια είναι πάνω απ’ όλα επιμορφωτικά» συνέχισε, λέγοντας πως βάση έρευνας που έχει κάνει σχετικά με τα Ρεκόρ Γκίνες, έχει ψάξει αν υπάρχει άλλο μεγάλο γεωμετρικό σχήμα σαν αυτό του προαυλίου στο 5ο ΓΕΛ Καλαμάτας που έχει αποτυπώσει, δίχως να προκύπτει κάποιο παρόμοιο, με αποτέλεσμα να είναι υπό σκέψεις για το αν θα καταθέσει υποψηφιότητα για τέτοιου τύπου ρεκόρ. Στο ίδιο πεδίο, εκτίμησε πως ο Δήμος Καλαμάτας θα εκμεταλλευτεί την “οδό Ευκλείδειας Γεωμετρίας” μέσω κάποιων δρώμενων, επικαλούμενος σχετικά μηνύματα που έχει λάβει.

Σειρά για το 1ο Λύκειο

Για το αν έχει δεχτεί κάποια κρούση από άλλο σχολείο της Καλαμάτας, έπειτα από την ολοκλήρωση της άρτιας δουλειάς του στο 5ο Γενικό Λύκειο, ο κ. Τσιμόγιαννης γνωστοποίησε πως τού έχει μεταφερθεί η επιθυμία ώστε να δημιουργήσει στο 1ο ΓΕΛ, κάτι που είναι και δική του φιλοδοξία όπως είπε, καθώς είχε θητεύσει ως μαθητής στο τότε 1ο Γυμνάσιο, στον ίδιο σχολικό χώρο. «Για την ώρα θα ολοκληρώσω τις δημιουργίες μου στο Ιστορικό Κέντρο και από το καλοκαίρι του 2024 εφόσον πάρω το “πράσινο φως” από το σχολείο θα ήταν χαρά μου να φτιάξω αντίστοιχα σχέδια και στο 1ο Λύκειο» ανέφερε, επισημαίνοντας πως αν δεν ανανεώνονται χρωματικά τα σχέδια που βρίσκονται σε εξωτερικούς χώρους είναι λογικό και επόμενο με το πέρας του χρόνου να χαθούν, ωστόσο τον ικανοποιεί το γεγονός πως όλα έχουν αποτυπωθεί σε ηλεκτρονική μορφή, ώστε να μην ξεχαστούν. «Για το σκοπό αυτό πέρα των φωτογραφιών, προσπαθώ σε κάθε ανάρτηση που κάνω στο Facebook να τοποθετώ και την ανάλογη επιγραφή μέσα από έρευνα σε εγκυκλοπαίδειες και διαδίκτυο, ούτως ώστε να αρχειοθετηθούν και να μπορεί ο κόσμος να αντιλαμβάνεται περί τίνος πρόκειται, προσθέτοντας τα ανάλογα ρητά και αποφθέγματα» συμπλήρωσε, κλείνοντας ως εξής με βάση τη φράση του Ανδρέα Εμπειρίκου, “Πάρε την λέξη μου. Δώσε μου το χέρι σου”: «Η επιδίωξή μου είναι από τη σκόνη των σπουδαστηρίων, να εμφανίσω τη γεωμετρία στο δημόσιο χώρο. Από την πλευρά μου δίνω το σύνθημα μετάβασης στο δημόσιο χώρο με σκοπό να επωφεληθεί η πλειοψηφία από την πρωτοβουλία αυτή».

Πηγές: eleftheria online, facebook

Μέτρηση απόστασης πλοίου από την ακτή!

🚢Έχετε ποτέ αναρωτηθεί, όταν είστε στην παραλία και βλέπετε ένα καράβι στα ανοιχτά, πόσο μακριά από την ακτή βρίσκεται;

👨‍🏫Ο Θαλής ο Μιλήσιος τον 6ο αιώνα π.Χ. χρησιμοποίησε μια μέθοδο υπολογισμού της απόστασης ενός πλοίου από την ακτή. Αυτή η μέθοδος βασίζεται στην ισότητα ορθογωνίων τριγώνων της Ευκλείδειας Γεωμετρίας.  

🎞️Ο μαθηματικός Φώτης Καραμπουτάκης από το κανάλι του YouTube, Math Me Up, εξηγεί τη μέθοδο αυτή με τη βοήθεια κινουμένων σχεδίων!

 

Το αρχαιότερο δείγμα εφαρμοσμένης γεωμετρίας στον κόσμο!

 

Ο δρ Ντάνιελ Μάνσφιλντ από το Πανεπιστήμιο της Νέας Νότιας Ουαλίας στο Σίδνεϋ αποκάλυψε την προέλευση της εφαρμοσμένης γεωμετρίας σε μία πήλινη βαβυλωνιακή πλάκα ηλικίας περίπου 3.700 ετών. Η πλάκα, που χρονολογείται από την Παλαιο-Βαβυλωνιακή περίοδο (μεταξύ του 1900 και 1600 π.Χ.), είχε ανακαλυφθεί στο κεντρικό Ιράκ το 1894. Τα τελευταία χρόνια βρισκόταν στο Αρχαιολογικό Μουσείο της Κωνσταντινούπολης, χωρίς να έχει γίνει αντιληπτή η σημασία της για την ιστορία των μαθηματικών.

Credit: UNSW Sydney

Η πλάκα με την ονομασία Si.427, η οποία δημιουργήθηκε από Βαβυλώνιους «τοπογράφους», μελετήθηκε από τον Ντάνιελ Μάνσφιλντ, ο οποίος έκανε και τη σχετική δημοσίευση στο επιστημονικό περιοδικό «Foundations of Science». Σύμφωνα με τον ίδιο, «πρόκειται για το μοναδικό γνωστό παράδειγμα κτηματολογικού «εγγράφου» από την Παλαιο-Βαβυλωνιακή περίοδο του 1900-1600 π.Χ. και αφορά ένα σχέδιο που χρησιμοποιούσαν οι «τοπογράφοι» για να καθορίζουν τα χερσαία όρια. Στη συγκεκριμένη περίπτωση, περιέχει νομικές και γεωμετρικές λεπτομέρειες σχετικά με ένα κτήμα που χωρίστηκε μετά την πώληση ενός τμήματός του».

Θεωρείται σημαντικό ότι ο «τοπογράφος» χρησιμοποιεί τις πυθαγόρειες τριάδες για να δημιουργήσει ακριβείς ορθές γωνίες. «Η ανακάλυψη και η ανάλυση της πλάκας έχουν σημαντικές επιπτώσεις για την ιστορία των μαθηματικών. Για παράδειγμα, η πλάκα δημιουργήθηκε πάνω από 1000 χρόνια προτού γεννηθεί ο Πυθαγόρας», επισημαίνει ο Μάνσφιλντ.

 

Άλλη μία παγκόσμια πρωτιά

Το 2017, ο ίδιος μαθηματικός είχε εικάσει ότι μία άλλη πλάκα της ίδιας περιόδου, γνωστή ως «Πλίμπτον 322», αποτελεί μοναδικό δείγμα τριγωνομετρικού πίνακα. Όπως ανέφερε, «είναι γενικά αποδεκτό ότι η τριγωνομετρία -ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με τη μελέτη των τριγώνων- αναπτύχθηκε από τους αρχαίους Έλληνες που μελετούσαν τον νυχτερινό ουρανό κατά τον 2ο αιώνα π.Χ. Όμως οι Βαβυλώνιοι είχαν αναπτύξει τη δική τους εναλλακτική “πρωτο-τριγωνομετρία” για να λύνουν προβλήματα σχετικά με μετρήσεις επί του εδάφους και όχι στον ουρανό».

Credit: UNSW Sydney

 

Η αποκάλυψη του σκοπού της πλάκας: Τοπογραφία

Η πλάκα Si.427 θεωρείται ότι υπήρξε πριν και από την «Πλίμπτον 322». Το 2017, η ομάδα του Μάνσφιλντ είχε διατυπώσει την εικασία της σχετικά με το σκοπό της πλάκας «Πλίμπτον 322», υποθέτοντας ότι πιθανότατα είχε κάποια πρακτική χρήση όπως η κατασκευή παλατιών και ναών, δημιουργία καναλιών ή ο καθορισμός ορίων κτημάτων.

«Με τη νέα πλάκα μπορούμε, πράγματι, να δούμε για πρώτη φορά γιατί (οι Βαβυλώνιοι) ενδιαφέρονταν για τη γεωμετρία: Ήθελαν να χαράζουν ακριβή όρια στο έδαφος. Ήταν μία περίοδος που η γη άρχιζε να γίνεται ιδιωτική και οι άνθρωποι άρχισαν να σκέφτονται με όρους “η γη μου και η γη σου”. Ήθελαν, έτσι, να χαράζουν ξεκάθαρα όρια, προκειμένου να έχουν καλές σχέσεις με τους γείτονές τους. Ακριβώς αυτό αφορά και η εν λόγω πλάκα: Ένα χωράφι διαχωρίστηκε και νέα όρια χαράχτηκαν», σημείωσε ο Μάνσφιλντ.

Άλλες πλάκες, που έχουν ήδη βρεθεί από εκείνη την περίοδο στη Βαβυλώνα, αποκαλύπτουν όντως ότι υπήρχαν διαφωνίες σχετικά με τα σύνορα των κτημάτων και για το ποιος ήταν π.χ. ο ιδιοκτήτης πολύτιμων δέντρων όπως οι φοίνικες, που βρίσκονταν κοντά στο όριο των γειτνιαζόντων κτημάτων. Σε τέτοιες περιπτώσεις, επιθεωρητές-τοπογράφοι καλούνταν να διευθετήσουν τη διαφωνία και η εφαρμοσμένη γεωμετρία ήταν ένα πολύ χρήσιμο εργαλείο.

 

Κατασκευάζοντας ορθές γωνίες: Εύκολο να το πεις, δύσκολο να το κάνεις

Ένας απλός τρόπος να κατασκευάσεις μια ορθή γωνία με απόλυτη ακρίβεια, είναι να φτιάξεις ένα τρίγωνο με πλευρές 3, 4 και 5. Αυτοί οι ειδικοί αριθμοί αποτελούν την πυθαγόρεια τριάδα 3-4-5. Έχει χρησιμοποιηθεί από αρχαίους τοπογράφους και χτίστες και χρησιμοποιείται μέχρι σήμερα.

«Οι αρχαίοι τοπογράφοι που δημιούργησαν την πλάκα Si.427 έκαναν κάτι διαφορετικό: Χρησιμοποίησαν μια ποικιλία διαφορετικών πυθαγόρειων τριάδων και ως πλευρές ορθογωνίων τριγώνων και ως πλευρές και διαγώνιο ορθογωνίου, προκειμένου να κατασκευάζονται ορθές γωνίες με ακρίβεια», δηλώνει ο Μάνσφιλντ.

Ωστόσο, είναι δύσκολο να δουλέψεις με πρώτους αριθμούς μεγαλύτερους του 5 στο εξηκονταδικό σύστημα των Βαβυλωνίων.

 

Credit: UNSW Sydney

Τα άγνωστα –μέχρι τώρα- μυστικά του Si.427

Ο δρ Μάνσφιλντ ελπίζει να ανακαλύψει άλλες εφαρμογές της “πρωτο-τριγωνομετρίας” των Βαβυλωνίων. Στο πίσω μέρος της πλάκας, αναγράφεται ο εξηκονταδικός αριθμός 25:29, δηλαδή 25 εξηντάδες και 29 μονάδες (σκεφτείτε το σαν 25 λεπτά και 29 δευτερόλεπτα).

«Δεν μπορώ να βρω τι σημαίνουν αυτοί οι αριθμοί – είναι το απόλυτο αίνιγμα», αναφέρει ο δρ Μάνσφιλντ. «Είμαι πρόθυμος να το συζητήσω με ιστορικούς ή μαθηματικούς που μπορεί να έχουν μια ιδέα τι θέλουν να μας πουν οι αριθμοί αυτοί!»

Πηγή:

Phys.org

Διαβάστε επίσης σχετικά με την έρευνα του δρ Ντάνιελ Μάνσφιλντ:

• Foundations of Science | Plimpton 322: A study of rectangles 
• The conversation: How ancient Babylonian land surveyors developed a unique form of trigonometry - 1,000 years before the Greeks (Άρθρο του δρ Ντάνιελ Μάνσφιλντ)

Το 1º μας μαθηματικό GIVEAWAY!

Έφτασε η ώρα για το πρώτο επίσημο giveaway, που συνδιοργανώνεται από το blog "eis to apeiron" και τη μαθηματικό και συγγραφέα Κωνσταντίνα Πάνου! Ένας τυχερός/τυχερή μπορεί τώρα να κερδίσει ένα αντίτυπο του βιβλίου "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΑΥΡΟΛΕΞΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ" από τις Εκδόσεις Bookstars! Το βιβλίο περιέχει 19 μαθηματικά σταυρόλεξα γεωμετρίας, βασισμένα στην ύλη των Μαθηματικών Α΄, Β΄ & Γ΄ Γυμνασίου, που έχει επιμεληθεί η εξαίρετη συνάδελφος και φίλη, Κωνσταντίνα Πάνου. Τα σταυρόλεξα είναι κατανεμημένα ανά τάξη και ανά κεφάλαιο και είναι ιδανικά για μια διασκεδαστική επανάληψη της θεωρίας. Το βιβλίο δραστηριοτήτων προορίζεται για όσους αγαπούν τα Μαθηματικά και μπορείτε να το βρείτε σε διάφορα ηλεκτρονικά βιβλιοπωλεία (bookstars, bibliotopia κ.ά) αλλά και στα site eshop.gr και plus4u.gr στην τιμή των €8.10!

Λίγα λόγια για τη συγγραφέα:

• Γεννήθηκε και μεγάλωσε στο Βόλο
• Ολοκλήρωσε τις προπτυχιακές σπουδές πάνω στα Μαθηματικά στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
• Μεταπτυχιακές σπουδές στο Πανεπιστήμιο Marconi της Ιταλίας στη Διοίκηση και Οργάνωση της Εκπαίδευσης και στο Πανεπιστήμιο Αιγαίου στα Καθαρά Μαθηματικά
• Κάτοχος διπλωμάτων στην Ειδική Αγωγή
• Έχει εργαστεί σε ελληνικά φροντιστήρια και σε αμερικάνικο κολλέγιο του εξωτερικού

Η συγγραφέας χαρίζει σε έναν τυχερό/τυχερή ένα αντίτυπο του βιβλίου αυτού, μαζί με το Μαθηματικό Ημερολόγιο 2021 που έχει επιμεληθεί η ίδια!

Για να πάρετε μέρος στην κλήρωση, πρέπει και αρκεί:

1. Να είστε ακόλουθοι του blog "eis to apeiron" (η εγγραφή γίνεται με χρήση gmail).
2. Για έξτρα συμμετοχές, διπλασιάστε ή τριπλασιάστε τις πιθανότητες επιτυχίας κάνοντας like στη σελίδα "Peira Mathcourses" στο facebook, αλλά και ακολουθώντας το λογαριασμό "@peira_mathcourses" στο instagram.
3. Να αφήσετε ένα σχόλιο σε αυτή την ανάρτηση, δηλώνοντας ότι συμμετέχετε στο διαγωνισμό και αναφέροντας το e-mail σας.
4. Προσοχή, φροντίστε να γράψετε το όνομά σας πριν υποβάλετε το σχόλιο, γιατί τα ανώνυμα σχόλια δεν λαμβάνονται υπόψιν!
5. Αν διεκδικείτε έξτρα συμμετοχές μέσω facebook/instagram, μην ξεχάσετε να γράψετε επίσης και το όνομα που χρησιμοποιείτε σε facebook/instagram, ώστε να διασταυρωθούν οι συμμετοχές.

Ο διαγωνισμός λήγει την Παρασκευή 21 Μαΐου 2021 στις 12:00 τα μεσάνυχτα. Το Σάββατο 22 Μαΐου 2021 θα ανακοινωθεί στην παρούσα ανάρτηση ο τυχερός, ο οποίος θα αναδειχθεί με κλήρωση μέσω randomizer και θα ειδοποιηθεί μέσω e-mail (στο e-mail που έχει δηλώσει)! Τα δώρα θα σταλούν από τη συγγραφέα στο νικητή μόλις έχω τη διεύθυνσή του. Αν δεν επικοινωνήσει εντός μιας εβδομάδας, η κλήρωση θα επαναληφθεί.

KEEP CALM AND CROSS THE MATH!

Καλή επιτυχία σε όλους!!!

_______________________________________________________________________________

EDIT (22/5/2021): Η ώρα ανάδειξης του νικητή έφτασε! Κατόπιν κληρώσεως των έγκυρων συμμετοχών μέσω του random name picker από το commentpicker.com, ο νικητής που κερδίζει τα "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΑΥΡΟΛΕΞΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ", συνοδευόμενα από το Μαθηματικό Ημερολόγιο 2021, είναι ο Βασίλης Χαλκιόπουλος! Ευχόμαστε να είναι πάντα τυχερός και να απολαύσει τα δώρα του!!! 

"Θέλω τον ζωγράφο να γνωρίζει γεωμετρία..."

 

Ο Λέον Μπαττίστα Αλμπερτι (1404-1472) ήταν Ιταλός καλλιτέχνης, αρχιτέκτονας, ποιητής και φιλόσοφος. Διακρίθηκε στα μαθηματικά, τη μηχανική, την αρχιτεκτονική, τη ζωγραφική, τη γλυπτική και σε άλλους τομείς. Στο σύγγραμμά του "Περί Ζωγραφικής" (De Pictura, 1435) γράφει χαρακτηριστικά:

«Θέλω τον ζωγράφο να έχει σπουδάσει τις ελεύθερες τέχνες, μα πάνω απ’ όλα, τον θέλω να γνωρίζει γεωμετρία. Συμφωνώ με τον αρχαίο ζωγράφο Πάμφιλο που δίδασκε ζωγραφική στους νέους και συνήθιζε να λέει πως κανένας δεν μπορούσε να γίνει καλός ζωγράφος χωρίς να ξέρει γεωμετρία. Οι αρχές που αναπτύξαμε και αποτελούν τα θεμέλια μιας ολοκληρωμένης ζωγραφικής μπορούν κατανοηθούν εύκολα από ένα γεωμέτρη. Αντίθετα, όσοι είναι ανίδεοι στην γεωμετρία δεν μπορούν να καταλάβουν ούτε τις στοιχειώδεις γνώσεις, ούτε οποιεσδήποτε άλλες αρχές της ζωγραφικής».

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Υπερβολικό παραβολοειδές

Τα βιβλία γράφουν...

Το υπερβολικό παραβολοειδές είναι μια τετραγωνική επιφάνεια, δηλαδή επιφάνεια 2^ου βαθμού. 

Η επιφάνεια του υπερβολικού παραβολοειδούς είναι απεριόριστη και παράγεται από την κίνηση ευθείας, είναι επομένως ευθειογενής επιφάνεια.

Το υπερβολικό παραβολοειδές έχει δύο επίπεδα συμμετρίας, τα οποία είναι κάθετα μεταξύ τους. Η τομή των δύο αυτών επιπέδων είναι ο άξονας συμμετρίας της επιφάνειας, ο οποίος τέμνει την επιφάνεια σε ένα μοναδικό σημείο, που λέγεται κορυφή του υπερβολικού παραβολοειδούς.

Τα επίπεδα συμμετρίας τέμνουν την επιφάνεια σε δύο παραβολές, που έχουν κοινό σημείο την κορυφή της επιφάνειας.

Κάθε επίπεδο παράλληλο σε ένα από τα επίπεδα συμμετρίας επίσης τέμνει την επιφάνεια κατά παραβολή.

Κάθε επίπεδο κάθετο και στα δύο επίπεδα συμμετρίας τέμνει την επιφάνεια σε υπερβολή, εκτός από το επίπεδο που διέρχεται από την κορυφή της επιφάνειας, το οποίο την τέμνει σε δύο ευθείες.

Τα παραπάνω δικαιολογούν και το όνομα της επιφάνειας, καθώς και το ότι το υπερβολικό παραβολοειδές δεν είναι φραγμένο.

Σύγχρονοι ζωγράφοι, γραφίστες, αλλά και γλύπτες έχουν χρησιμοποιήσει το υπερβολικό παραβολοειδές στα έργα τέχνης τους.

Don Barrett (Σύγχρονος γραφίστας) - "Back In The Saddle Again" 

Don Barrett (Σύγχρονος γραφίστας) - "Gravity Well"

Aaron Lee (Σύγχρονος ζωγράφος) - "Hyperbolic Paraboloid" 

Joe Orlando (γεν. 1949) - "Υπερβολική Παραβολοειδής Στήλη" (γλυπτό που ολοκληρώθηκε το 1985)

Η γεωμετρία του υπερβολικού παραβολοειδούς έχει χρησιμοποιηθεί πολύ συχνά στη σύγχρονη αρχιτεκτονική, αποτελώντας έμπνευση για τη δημιουργία ξεχωριστών κτηρίων. Μετά τη σφαίρα και τον κύλινδρο, είναι η πλέον εφαρμοσμένη επιφάνεια 2^ου βαθμού στην αρχιτεκτονική, δημιουργώντας εντυπωσιακές καμπυλωτές φόρμες.

Arseniusz Romanowicz & Piotr Szymaniak - Σιδηροδρομικός Σταθμός Warszawa Ochota, Βαρσοβία
(ολοκληρώθηκε το 1962)

Le Corbusier - Ι. Ξενάκης, Philips Pavilion, Διεθνής Έκθεση Βρυξελλών, 1958

Le Corbusier - Ι. Ξενάκης, Philips Pavilion, Διεθνής Έκθεση Βρυξελλών

Santiago Calatrava (γεν. 1951) - Ολυμπιακό Στάδιο Αθηνών, στέγαστρο του ΟΑΚΑ (2004)

Santiago Calatrava (γεν. 1951) - Ολυμπιακό Στάδιο Αθηνών, στέγαστρο του ΟΑΚΑ (2004)

Félix Candela - Restaurante "Los Manantiales", Xochimilco, México

(σχεδιάστηκε το 1958)

Félix Candela - L'Oceanographic, Valencia
(σχεδιάστηκε το 1997)

.*.~.*.~.*.~.*.~.*.~.*

"Άρχισα να ενδιαφέρομαι για τη γεωμετρία του υπερβολικού παραβολοειδούς. Η ιδέα μιας απεριόριστης καμπύλης, η οποία δεν έχει στοιχεία καμπύλης, ήταν η έμπνευση που προκάλεσε 11 χρόνια δουλειάς. Ο πειραματισμός πάνω στην κατασκευή αυτών των επιφανειών οδήγησε τελικά στη δημιουργία της υπερβολικής παραβολοειδούς στήλης το 1985".
Joe Orlando

.*.~.*.~.*.~.*.~.*.~.*

Πηγές:

• Θ. Κουφογιώργος, Μαθήματα Αναλυτικής Γεωμετρίας, Τυπογραφείο Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, 2004
• E.H. Gombrich, Το Χρονικό της Τέχνης, Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, 1995
• Wassily Kandinsky, Σημείο-Γραμμή-Επίπεδο, Εκδόσεις Δωδώνη, 2013
• Wassily Kandinsky, Για το πνευματικό στην Τέχνη, Εκδόσεις Νεφέλη, 1981
• Aaron Lee Art
• Behance.net: Hyperbolic Paraboloid
• Oceanographic.org
• Pixels: Don Barrett art
• Wolfram Mathworld: Hyperbolic Paraboloid

Oh Geome-tree! Καλά Χριστούγεννα!

Καλά Χριστούγεννα και Καλές Γιορτές σε όλο τον κόσμο!

Μείνετε ασφαλείς και υγιείς💝🎄🎅

Γεωμετρικές... οροφές στη Μέση Ανατολή

 

Την ομορφιά της γεωμετρικής διακόσμησης και εντυπωσιακά σχέδια οροφής σε μουσουλμανικά παλάτια, μαυσωλεία και τζαμιά απαθανατίζει ο Christofer Wilton-Steer και μας ταξιδεύει στη Μέση Ανατολή...

Η πρώτη συλλογή φωτογραφιών, με τίτλο "Ceilings of Uzbekistan" αναδεικνύει με μοναδικό τρόπο την πολύχρωμη γεωμετρία σε ιερά μέρη και παλάτια του Ουζμπεκιστάν.

Δείτε την πλήρη συλλογή φωτογραφιών εδώ.

Η δεύτερη συλλογή του ίδιου φωτογράφου, με τίτλο "Ceilings of Iran", προσφέρει μια virtual ξενάγηση στους ιερούς χώρους του Ιράν.

Δείτε την πλήρη συλλογή φωτογραφιών εδώ.

Η ισλαμική τέχνη αποτελεί κεφάλαιο τεράστιας αξίας για την παγκόσμια πολιτιστική κληρονομιά. Χαρακτηριστικό της είναι τα γεωμετρικά μοτίβα και η φανταστική αναπαράσταση, στυλ γνωστό ως arabesque. Η απόλυτη συμμετρία των έργων, νοητά τα διχοτομεί, ώστε οι πλευρές να καθρεφτίζονται η μία μέσα στην άλλη. Το arabesque στην ισλαμική τέχνη χρησιμοποιείται συχνά για τον συμβολισμό της υπερβατικής, αόρατης και αιώνιας φύσης του Θεού.

Πηγές:

Christofer Wilton-Steer Photography

The Guardian: Iran's Beautiful Palaces and Holy Sites  - in Pictures

Wikipedia: Arabesque

Γρίφος: Το σιντριβάνι της Επιπεδούπολης

 

Στην πλατεία της Επιπεδούπολης, υπάρχει αυτό το σιντριβάνι, σε σχήμα κυκλικού δακτυλίου, ο οποίος αποτελείται από δύο ομόκεντρους κύκλους. Αν το μήκος του ΑΒ = 12 μ., να βρείτε το εμβαδόν της επιφάνειας του νερού (σημειώνεται στο σχήμα με γαλάζιο).

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Ελλειπτικό παραβολοειδές

Τα βιβλία γράφουν...

Ελλειπτικό παραβολοειδές είναι μια τετραγωνική επιφάνεια, δηλαδή επιφάνεια 2^ου βαθμού.

Η επιφάνεια του ελλειπτικού παραβολοειδούς είναι απεριόριστη και έχει δύο κάθετα μεταξύ τους επίπεδα συμμετρίας. Η τομή των επιπέδων συμμετρίας είναι ο άξονας συμμετρίας της επιφάνειας, ο οποίος την τέμνει σε ένα σημείο που ονομάζεται κορυφή της επιφάνειας.

Κάθε τομή της επιφάνειας με επίπεδο κάθετο στον άξονά της είναι μια έλλειψη. Κάθε τομή της επιφάνειας με επίπεδο παράλληλο στα επίπεδα συμμετρίας είναι μια παραβολή. Αυτό δικαιολογεί και την ονομασία της επιφάνειας αυτής.

Αν η τομή της επιφάνειας με επίπεδο κάθετο στον άξονά της είναι κύκλος, τότε η επιφάνεια είναι εκ περιστροφής, γιατί μπορεί να προκύψει δια περιστροφής μιας παραβολής περί τον άξονα αυτόν.

Σύγχρονοι ζωγράφοι, γραφίστες, αλλά και γλύπτες έχουν χρησιμοποιήσει το ελλειπτικό παραβολοειδές στα έργα τέχνης τους.

Don Barrett (Σύγχρονος γραφίστας) - "3D Parabola" 

Mia McLean (Σύγχρονη ζωγράφος) - "Jellyfish Ice Cream Cone" (2020)

Maureen Bell (Σύγχρονη γλύπτρια) - "Parabola" 

Το ελλειπτικό παραβολοειδές έχει χρησιμοποιηθεί και στη σύγχρονη αρχιτεκτονική, δημιουργώντας ενδιαφέρουσες δομές, όπως είναι οι τρούλοι.

Reichstag Dome, ο τρούλος στο κτίριο της γερμανικής Βουλής, Βερολίνο, Γερμανία. Σχεδιασμένο από τον αρχιτέκτονα Norman Foster.

Το Πλανητάριο Carl Zeiss στο Bochum της Γερμανίας. Ο τρούλος του, σε σχήμα ελλειπτικού παραβολοειδούς, έχει διάμετρο 20 μέτρα 

Το κτίριο του Κογκρέσου, Μπραζίλια, Βραζιλία. Σχεδιάστηκε από τον αρχιτέκτονα Oscar Niemeyer.

"The Congress IV", λεπτομέρεια από το κτίριο του Κογκρέσου στη Μπραζίλια. Φωτογραφία: Todd Eberle 

.*.~.*.~.*.~.*.~.*.~.*

"Είναι κάτι που οι μη μαθηματικοί δεν μπορούν να αντιληφθούν πλήρως. Τα μαθηματικά στην πραγματικότητα είναι σχεδόν εξ ολοκλήρου ζήτημα αισθητικής".
J.H. Conway

.*.~.*.~.*.~.*.~.*.~.*

Πηγές:

• Θ. Κουφογιώργος, Μαθήματα Αναλυτικής Γεωμετρίας, Τυπογραφείο Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, 2004
• E.H. Gombrich, Το Χρονικό της Τέχνης, Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, 1995
• Wassily Kandinsky, Σημείο-Γραμμή-Επίπεδο, Εκδόσεις Δωδώνη, 2013
• Wassily Kandinsky, Για το πνευματικό στην Τέχνη, Εκδόσεις Νεφέλη, 1981
• H.L.C Jaffe, Η ζωγραφική στον 20ό αιώνα, Εκδόσεις Νεφέλη, 1984
• Bahai Art Gallery: Maureen Bell
• BlueThumb: Mia McLean
• Flickr: Daniel Mennerich
• Pixels: Don Barrett art
• Robert Harding: Oscar Niemeyer
• Sankaart: Berlin Norman Foster Reichstag
• Todd Eberle: Brazilia
• Wolfram Mathworld: Elliptic Paraboloid