Οι πιο σύντομες εργασίες στην ιστορία των Μαθηματικών!

Μπορεί μια επιστημονική εργασία να αποτελείται από μόλις δύο προτάσεις; Ή ακόμη και από δύο λέξεις; Κι όμως, στην ιστορία των Μαθηματικών υπάρχουν δημοσιεύσεις που καταλαμβάνουν ελάχιστο χώρο στο χαρτί, αλλά το περιεχόμενό τους είναι πολύ σημαντικότερο από την έκτασή τους.

Μια τέτοια εργασία κατάφερε το 1966 να καταρρίψει μια εικασία που είχε διατυπώσει ο μεγάλος μαθηματικός Leonhard Euler σχεδόν 200 χρόνια νωρίτερα!

1. Δύο προτάσεις που κατέρριψαν μια εικασία 200 ετών (1966)

Το 1966, οι μαθηματικοί L. J. Lander και T. R. Parkin δημοσίευσαν στο περιοδικό Bulletin of the AmericanMathematical Society μια εργασία με τίτλο “Counterexample to Euler's Conjecture on Sums of Like Powers” («Αντιπαράδειγμα στην εικασία του Euler για αθροίσματα ομοίων δυνάμεων»). Η δημοσίευσή τους καταλαμβάνει ένα μικρό μόνο μέρος μιας σελίδας και το κυρίως κείμενό της αποτελείται από μόλις δύο προτάσεις και μία βιβλιογραφική αναφορά!

Τι ακριβώς είχαν ανακαλύψει, ώστε να μη χρειάζονται περισσότερες εξηγήσεις;

Η εικασία του Euler

Το 1769, ο Leonhard Euler διατύπωσε μια εικασία που αποτελούσε γενίκευση του περίφημου Τελευταίου Θεωρήματος του Fermat.

Σύμφωνα με το τελευταίο, για κάθε φυσικό αριθμό $n>2$, δεν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι αριθμοί $a,b,c$ που να ικανοποιούν την εξίσωση:

$$a^n+b^n=c^n$$

Με άλλα λόγια, το άθροισμα δύο κύβων θετικών ακεραίων δεν μπορεί να ισούται με έναν τρίτο κύβο, το άθροισμα δύο τέταρτων δυνάμεων δεν μπορεί να ισούται με μια άλλη τέταρτη δύναμη κ.ο.κ.

Ο Euler προχώρησε ένα βήμα παραπέρα και διατύπωσε την ακόλουθη εικασία:

Για να εκφραστεί μια $n$-οστή δύναμη θετικού ακεραίου ως άθροισμα άλλων $n$-οστών δυνάμεων θετικών ακεραίων, απαιτούνται τουλάχιστον $n$ προσθετέοι, για $n>2$.

Για παράδειγμα, σύμφωνα με την εικασία:

• Για $n=3$, απαιτούνται τουλάχιστον τρεις κύβοι για να προκύψει ένας άλλος κύβος.
• Για $n=4$, απαιτούνται τουλάχιστον τέσσερις τέταρτες δυνάμεις για να προκύψει μια άλλη τέταρτη δύναμη.
• Για $n=5$, απαιτούνται τουλάχιστον πέντε πέμπτες δυνάμεις για να προκύψει μια άλλη πέμπτη δύναμη.

Η εικασία φαινόταν εύλογη. Άλλωστε, δεν είχε βρεθεί κάποιο αντιπαράδειγμα που να την καταρρίπτει.

Το αντιπαράδειγμα που ανέτρεψε την εικασία

Το 1966, σχεδόν δύο αιώνες αργότερα, οι Lander και Parkin χρησιμοποίησαν τον υπολογιστή CDC 6600 για να αναζητήσουν αριθμητικές λύσεις.

Και ανακάλυψαν την ακόλουθη ισότητα:

$$\boxed{27^5+84^5+110^5+133^5=144^5}$$

Δηλαδή, το άθροισμα τεσσάρων πέμπτων δυνάμεων ισούται με μία πέμπτη δύναμη!

Όμως, σύμφωνα με την εικασία του Euler, θα χρειάζονταν τουλάχιστον πέντε προσθετέοι. Η ισότητα αυτή ήταν αρκετή για να καταρρίψει την εικασία.

Οι δύο μαθηματικοί δημοσίευσαν το αποτέλεσμα χωρίς εκτενή εισαγωγή, αναλυτικούς υπολογισμούς ή μακροσκελή απόδειξη. Ανέφεραν απλώς ότι μια αναζήτηση στον CDC 6600 έδωσε το συγκεκριμένο αποτέλεσμα και ότι αυτό αποτελεί αντιπαράδειγμα στην εικασία του Euler.

Η μικροσκοπική αυτή δημοσίευση μας θυμίζει κάτι πολύ σημαντικό για τον τρόπο με τον οποίο λειτουργούν τα Μαθηματικά. Μπορούμε να εξετάσουμε εκατοντάδες, χιλιάδες ή ακόμη και εκατομμύρια περιπτώσεις μιας μαθηματικής πρότασης και να διαπιστώσουμε ότι επαληθεύεται σε όλες. Αυτό, όμως, δεν αποτελεί απόδειξη ότι η πρόταση ισχύει γενικά. Αντίθετα, ένα και μόνο αντιπαράδειγμα αρκεί για να αποδείξουμε ότι μια γενική πρόταση είναι λανθασμένη. Αυτό ακριβώς έκαναν οι Lander και Parkin το 1966.

2. Μια μαθηματική εργασία με μόλις δύο λέξεις! (2005)

Αν η εργασία των Lander και Parkin σάς φάνηκε υπερβολικά σύντομη, υπάρχει και κάτι ακόμη πιο εντυπωσιακό!

Το 2005, οι μαθηματικοί J. H. Conway και A. Soifer δημοσίευσαν στο American Mathematical Monthly μια εργασία με τίτλο “Covering a Triangle with Triangles” («Καλύπτοντας ένα τρίγωνο με τρίγωνα»). Το κυρίως κείμενο που είχαν αρχικά υποβάλει αποτελούνταν από δύο μόνο αγγλικές λέξεις, λίγα μαθηματικά σύμβολα και δύο σχήματα!

Το πρόβλημα που τους απασχολούσε ήταν γεωμετρικό: πόσα μικρά ισόπλευρα τρίγωνα πλευράς 1 χρειάζονται για να καλύψουμε πλήρως ένα μεγαλύτερο ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς λίγο μεγαλύτερης από έναν φυσικό αριθμό $n$;

Γνωρίζουμε ότι ένα ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς $n$ μπορεί να χωριστεί σε $n^2$ μικρά ισόπλευρα τρίγωνα πλευράς 1. Τι γίνεται όμως αν αυξήσουμε ελάχιστα την πλευρά του μεγάλου τριγώνου, ώστε να γίνει $n+\varepsilon$, όπου $\varepsilon>0$ είναι πολύ μικρό;

Οι Conway και Soifer παρουσίασαν δύο διαφορετικές γεωμετρικές κατασκευές που έδειχναν ότι, για κατάλληλα μικρό $\varepsilon$, αρκούν $n^2+2$ μικρά ισόπλευρα τρίγωνα. Και πώς παρουσίασαν το αποτέλεσμά τους; Με την απίστευτα λιτή φράση:

$$\boxed{n^2+2\ \text{can}}$$

Δηλαδή, «$n^2+2$ μπορούν»! Ακολουθούσαν δύο σχήματα που έδειχναν πώς μπορούσε να γίνει η κάλυψη.

Η ιστορία της δημοσίευσης έχει και μια αστεία λεπτομέρεια. Οι εκδότες του περιοδικού θεώρησαν ότι η εργασία ήταν υπερβολικά σύντομη και ζήτησαν από τους συγγραφείς να προσθέσουν μερικές επεξηγηματικές γραμμές. Εκείνοι, όμως, επέμειναν ότι τα σχήματα ήταν αρκετά για να παρουσιάσουν το αποτέλεσμά τους.

Τελικά, η εργασία δημοσιεύτηκε τον Ιανουάριο του 2005, αν και οι εκδότες πρόσθεσαν τίτλο και μετέφεραν το αρχικό ερώτημα στο κυρίως κείμενο, κάνοντας τη δημοσιευμένη εκδοχή λίγο μεγαλύτερη από εκείνη που είχαν αρχικά υποβάλει οι μαθηματικοί.

3. Δύο σελίδες που άλλαξαν τη θεωρία παιγνίων (1949)

Η τρίτη εργασία δεν είναι τόσο μικρή όσο οι προηγούμενες. Καταλαμβάνει σχεδόν δύο  σελίδες! Ωστόσο, η επίδρασή της στα Μαθηματικά και σε άλλες επιστήμες υπήρξε τεράστια.

Το 1950, ο νεαρός τότε μαθηματικός John Nash δημοσίευσε την εργασία “Equilibrium Points in n-Person Games” («Σημεία ισορροπίας σε παίγνια $n$ παικτών»).

Στις δύο αυτές σελίδες παρουσίασε ένα αποτέλεσμα που συνδέεται με την έννοια της ισορροπίας Nash, η οποία αποτελεί σήμερα μία από τις βασικές έννοιες της θεωρίας παιγνίων.

Με απλά λόγια, σε μια ισορροπία Nash, κάθε παίκτης έχει επιλέξει μια στρατηγική τέτοια, ώστε να μην τον συμφέρει να την αλλάξει μόνος του, εφόσον οι υπόλοιποι παίκτες διατηρούν τις δικές τους στρατηγικές. Η ιδέα αυτή βρήκε εφαρμογές όχι μόνο στα Μαθηματικά, αλλά και στα Οικονομικά, στην Πολιτική Επιστήμη, στη Βιολογία και σε πολλούς άλλους τομείς.

Το 1994, ο Nash τιμήθηκε με το Βραβείο Οικονομικών Επιστημών στη Μνήμη του Alfred Nobel, μαζί με τους John Harsanyi και Reinhard Selten, για τη συμβολή τους στη θεωρία παιγνίων. Δύο σελίδες αποδείχθηκαν αρκετές για να παρουσιαστεί μια ιδέα που επηρέασε ολόκληρους επιστημονικούς κλάδους.

Τελικά, η αξία μιας μαθηματικής εργασίας δεν μετριέται με τον αριθμό των σελίδων της!

Διαβάστε περισσότερα εδώ:

IMPA: The shortest articles in the history of mathematics

Πασχαλινά και... γεωμετρικά αβγά!

 

Το "εις το άπειρον", οι μαθητές μου και εγώ σας ευχόμαστε Καλό Πάσχα και Καλή Ανάσταση! 🎀🐣 

Σχεδιάσαμε και κόκκινα αβγά που αρμόζουν στην περίσταση, αξιοποιώντας εφαρμογές δυναμικής γεωμετρίας και συγκεκριμένα το "Geometer's Sketchpad" και το "desmos"... 

Πασχαλινό αβγό με Ευκλείδεια Γεωμετρία στο Geometer's Sketchpad 

Πασχαλινό αβγό με γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων στο desmos - 1ο ΓΕΛ Καλύμνου 

Γεωμετρικός γρίφος!

 

Μαθηματική Δράση: «Ανακαλύπτοντας το π στην καθημερινή ζωή»

Με αφορμή την Παγκόσμια Ημέρα του π (14 Μαρτίου) και ανταποκρινόμενοι στο κάλεσμα της Διεθνούς Μαθηματικής Ένωσης για τη Διεθνή Ημέρα Μαθηματικών (IDM), πραγματοποιήσαμε στο ΕΠΑΛ Καλύμνου μια διερευνητική δραστηριότητα με στόχο οι μαθητές να «ανακαλύψουν» πειραματικά τον αριθμό π.

Οι μαθητές/τριες χωρίστηκαν σε ομάδες των τριών ατόμων και τους δόθηκαν διάφορα κυκλικά αντικείμενα της καθημερινότητας, όπως μολυβοθήκες, συσκευασίες, δοχεία, καπάκια και άλλα. Κάθε ομάδα έπρεπε να μετρήσει δύο μεγέθη για κάθε αντικείμενο:

• τη διάμετρο Δ του κύκλου
• την περιφέρειά του, L.

Για τις μετρήσεις χρησιμοποίησαν διάφορα εργαλεία: χάρακα, μεζούρα αλλά και κορδόνι, το οποίο τύλιγαν γύρω από την περιφέρεια του αντικειμένου και στη συνέχεια μετρούσαν το μήκος του με τον χάρακα.

Αφού κατέγραψαν τις μετρήσεις τους στο φύλλο εργασίας, οι μαθητές υπολόγισαν για κάθε αντικείμενο τον λόγο \( \frac{L}{Δ} \).

Παρατήρησαν ότι, παρά τις μικρές διαφορές λόγω των μετρήσεων, το αποτέλεσμα ήταν κάθε φορά περίπου 3,14. Μέσα από αυτή τη διαδικασία οδηγήθηκαν στο συμπέρασμα ότι ο λόγος της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του είναι σταθερός και ισούται με τον αριθμό π.

Στη συνέχεια συζητήσαμε ότι οι τιμές που υπολόγισαν οι μαθητές ήταν προσεγγίσεις του π. Ο αριθμός π είναι άρρητος, δηλαδή έχει άπειρα δεκαδικά ψηφία χωρίς να επαναλαμβάνονται περιοδικά. Για τον λόγο αυτό δεν μπορούμε ποτέ να τον γράψουμε ακριβώς σε δεκαδική μορφή· ακόμη και οι πιο σύγχρονοι υπολογιστές δεν μπορούν να υπολογίσουν όλα τα ψηφία του!

Η δραστηριότητα βοήθησε τους μαθητές να κατανοήσουν ότι τα μαθηματικά δεν είναι μόνο εφαρμογή έτοιμων τύπων, αλλά μπορούν να προκύψουν μέσα από παρατήρηση, μέτρηση και πειραματισμό.

Για τη δράση αυτή συνεργάστηκαν όλες οι μαθηματικοί του σχολείου:

Γαβαλά Μαρία

Καλαφάτη-Ματθαίου Καλλιόπη

Κιρκή Καλλιόπη

Κουζούμη Φωτεινή

Παπαβαρνάβα Όλγα

Η "Επιπεδοχώρα" στον κινηματογράφο

Από το πειραματικό animation των 60’s στο εκπαιδευτικό animation του 21ου αιώνα

 

Η «Επιπεδοχώρα (Flatland: A Romance of Many Dimensions, 1884)» του Edwin A. Abbott είναι ένα από τα ελάχιστα λογοτεχνικά έργα που κατάφεραν να γεφυρώσουν με τόση επιτυχία τα μαθηματικά, τη φιλοσοφία και την κοινωνική σάτιρα. Δεν είναι τυχαίο ότι, παρά τη δυσκολία του θέματος, το έργο ενέπνευσε και τον κινηματογράφο...

Στη συνέχεια παρουσιάζονται τρεις βασικές animated κινηματογραφικές μεταφορές της «Επιπεδοχώρας», που καλύπτουν σχεδόν μισό αιώνα.

Σκηνή από την ταινία animation Flatland: The Movie (2007)

 

1. Flatland (1965) – Ταινία μικρού μήκους

Πρόκειται για μια πειραματική ταινία κινουμένων σχεδίων μικρού μήκους (περίπου 10–11 λεπτά. Η ταινία αποδίδεται σε δημιουργούς του χώρου του εκπαιδευτικού και καλλιτεχνικού animation της εποχής (John Hubley, Eric Martin) και εντάσσεται στο πνεύμα των οπτικοακουστικών πειραματισμών των ’60s.

Η αφήγηση είναι λιτή και αφαιρετική, με έμφαση:

• στη δισδιάστατη φύση της Επιπεδοχώρας,
• στη δυσκολία των κατοίκων να συλλάβουν την έννοια της τρίτης διάστασης,
• και λιγότερο στην κοινωνική σάτιρα του πρωτότυπου έργου.

Αποτελεί περισσότερο ένα οπτικό φιλοσοφικό σχόλιο παρά μια πλήρη αφήγηση της ιστορίας.

 

2. Flatland: The Movie (2007)

Η ταινία του 2007 είναι η πιο ολοκληρωμένη κινηματογραφική μεταφορά της «Επιπεδοχώρας». Πρόκειται για μεγάλου μήκους animation, σκηνοθετημένο από τον Ladd Ehlinger Jr., με στόχο κυρίως την εκπαιδευτική χρήση.

Η ταινία:

• ακολουθεί πιο πιστά την πλοκή του βιβλίου,
• παρουσιάζει καθαρά την κοινωνική ιεραρχία των σχημάτων,
• δίνει έμφαση στη σύγκρουση ανάμεσα στην εμπειρική γνώση και τη νέα, «αδιανόητη» ιδέα της τρίτης διάστασης.

 

3. Flatland 2: Sphereland (2012)

Η ταινία Flatland 2: Sphereland (2012), επίσης σε σκηνοθεσία του Ladd Ehlinger Jr., βασίζεται στο «Sphereland: A Fantasy About Curved Spaces and an Expanding Universe, (1957)» τη συνέχεια του έργου του Abbott.

Σε αυτήν την εκδοχή:

• η κοινωνική αλληγορία υποχωρεί,
• το βάρος μετατοπίζεται στις ανώτερες διαστάσεις,
• και αναδεικνύεται η δυσκολία κατανόησης αφηρημένων μαθηματικών εννοιών, ακόμη και από εκείνους που έχουν ήδη βιώσει μια «αποκάλυψη».

Η ταινία λειτουργεί περισσότερο ως φιλοσοφικό και μαθηματικό συμπλήρωμα της πρώτης.

 

Διδακτική αξιοποίηση των ταινιών

Οι κινηματογραφικές μεταφορές της «Επιπεδοχώρας» μπορούν, πέρα από ψυχαγωγικούς σκοπούς, να ιδωθούν και ως διδακτικά εργαλεία, που επιτρέπουν στους μαθητές να προσεγγίσουν τα μαθηματικά ως τρόπο σκέψης και όχι μόνο ως σύνολο τύπων. Εκπαιδευτικοί και γονείς μπορούν να τις αξιοποιήσουν με πολλούς τρόπους, ανάλογα με την κρίση τους και, φυσικά, τις ηλικίες των παιδιών:

Εισαγωγή στην έννοια των διαστάσεων

Μαθηματικά και κοινωνία

Γεωμετρία και Bauhaus

Μαθηματικά και Σύγχρονη Τέχνη

 

Γνωρίζετε άλλες ταινίες βασισμένες στην «Επιπεδοχώρα»; Εσείς πώς θα αξιοποιούσατε κάποια από αυτές τις ταινίες (ή το μυθιστόρημα) στη διδασκαλία σας/στη δημιουργική απασχόληση των παιδιών;

 

Μαθηματικός έλυσε το «πρόβλημα της μετακίνησης του καναπέ» από τα «Φιλαράκια»

 

Από την κλασική σκηνή της μετακίνησης του καναπέ στη σειρά "Φιλαράκια", με τον Ρος να φωνάζει "Pivot!"
(Warner Bros. Television)

Το «πρόβλημα της μετακίνησης του καναπέ» (Moving Sofa Problem) είναι ένα κλασικό ανοιχτό πρόβλημα της γεωμετρίας, που διατυπώθηκε το 1966 από τον Leo Moser.

Η διατύπωση του προβλήματος:

Φανταζόμαστε έναν καναπέ (ένα επίπεδο σχήμα στο επίπεδο) που πρέπει να μετακινηθεί:

• μέσα από έναν διάδρομο σχήματος Γ με σταθερό πλάτος 1,
• χωρίς να ανασηκωθεί, να παραμορφωθεί ή να περάσει μέσα από τους τοίχους (επιτρέπεται μόνο μεταφορά και περιστροφή στο επίπεδο).

 

Το ερώτημα είναι:

Ποιο είναι το μέγιστο δυνατό εμβαδόν ενός καναπέ που μπορεί να μετακινηθεί επιτυχώς μέσα από έναν τέτοιο διάδρομο;

Εκτός από τη μαθηματική κοινότητα, το πρόβλημα αυτό έχει βρει θέση και στην ποπ κουλτούρα, χάρη στην γνωστή σκηνή από την κωμική σειρά «Τα φιλαράκια», όπου ο Ρος, η Ρέιτσελ και ο Τσάντλερ πασχίζουν να μεταφέρουν έναν καναπέ από τις σκάλες της πολυκατοικίας τους.

Λύνοντας το πρόβλημα...

Ο 31χρονος μαθηματικός δρ. Baek Jineon, ερευνητής στο Κορεατικό Ινστιτούτο Προηγμένων Σπουδών, έδωσε τα τέλη του 2024 οριστική λύση στο πρόβλημα, δημοσιεύοντας μία εργασία 119 σελίδων στη βάση arXiv και κερδίζοντας παγκόσμια αναγνώριση για μια απόδειξη που επιτεύχθηκε χωρίς τη χρήση υπολογιστών. Πώς ξεκίνησαν όμως οι προσπάθειες επίλυσης του Moving Sofa Problem?

 

Ο «καναπές του Gerver»

Το 1992, ο μαθηματικός Joseph Gerver πρότεινε ένα καμπυλόγραμμο σχήμα, γνωστό ως «καναπές του Gerver», με εμβαδόν περίπου 2.2195 τετραγωνικών μονάδων, ως πιθανή λύση. Ωστόσο, μέχρι πρότινος, κανείς δεν είχε καταφέρει να αποδείξει ότι δεν μπορούσε να υπάρχει κάποιο άλλο σχήμα με μεγαλύτερο εμβαδόν.

Ο "καναπές του Gerver"

Σχετικά πρόσφατα, λοιπόν, και έπειτα από επτά χρόνια συστηματικής εργασίας, ο δρ. Baek απέδειξε ότι ο σχεδιασμός του Gerver είναι πράγματι ο βέλτιστος. Κατέληξε στο συμπέρασμα ότι «δεν μπορεί να υπάρξει καναπές μεγαλύτερος από τον καναπέ του Gerver». Σε αντίθεση με πολλές προηγούμενες προσπάθειες, η δουλειά του βασίστηκε αποκλειστικά στη λογική μαθηματική συλλογιστική και όχι σε εκτεταμένες υπολογιστικές προσομοιώσεις.

 

Η έρευνα συμπεριλήφθηκε από το περιοδικό Scientific American στις «10 κορυφαίες μαθηματικές ανακαλύψεις του 2025».

Το περιοδικό σημείωσε ότι «ενώ πολλοί ερευνητές είχαν στηριχθεί σε μεγάλης κλίμακας προσομοιώσεις υπολογιστών για να προσεγγίσουν το μέγιστο μέγεθος του καναπέ, προκαλεί έκπληξη το γεγονός ότι η τελική λύση του Baek Jin Eon δεν εξαρτάται καθόλου από υπολογιστές».

Ο Κορεάτης μαθηματικός δρ. Baek Jineon
(Photo Courtesy of KIAS)

Ο δρ. Baek ξεκίνησε να ασχολείται με το "πρόβλημα μετακίνησης του καναπέ" κατά τη διάρκεια της στρατιωτικής του θητείας και συνέχισε τόσο στις διδακτορικές του σπουδές στις Ηνωμένες Πολιτείες Αμερικής, όσο και αργότερα ως μεταδιδακτορικός ερευνητής στη Νότια Κορέα. Σήμερα συνεχίζει να εργάζεται πάνω σε προβλήματα βελτιστοποίησης και προκλήσεις της συνδυαστικής γεωμετρίας. Παρόλο που ακόμη δεν έχει ολοκληρωθεί η διαδικασία peer review και δεν έχει γίνει επίσημη δημοσίευση σε επιστημονικό περιοδικό, πολλοί μαθηματικοί εκφράζουν ήδη υψηλή εμπιστοσύνη στην ορθότητα του αποτελέσματος…

Καλή χρονιά!

Ευχόμαστε το 2026 να είναι γεμάτο με δημιουργική σκέψη, μαθηματική ομορφιά και ιδέες που μας πάνε ένα βήμα πιο πέρα -ίσως και εις το άπειρον! 

Πηγή εικόνας: Μαθημαγικά 

Πηγή εικόνας: Lisari blogspot 

Πηγή εικόνας: Facebook|Matemáticas 

Δείτε εδώ και εδώ όλες τις ιδιότητες του αριθμού 2026.

POV: Όταν με μια στροφή χάνεις τον προσανατολισμό - Η ταινία του Möbius

Το βίντεο από το κανάλι Numberphile παρουσιάζει νέους τρόπους οπτικοποίησης της ταινίας του Möbius ως ένα βασικό αντικείμενο της τοπολογίας. Η ταινία του Möbius έχει εκπληκτικές ιδιότητες που δεν είναι αυτονόητες με την πρώτη ματιά. Αν την κόψεις κατά μήκος, δεν θα πάρεις δύο νέα κομμάτια, αλλά μια μακρύτερη ταινία με περισσότερες στροφές. Κι αν προσπαθήσεις να την κόψεις σε τρία κομμάτια; Μικρές αλλαγές στην κατασκευή οδηγούν σε απρόσμενα αποτελέσματα...

 

Το ChatGPT προσπάθησε να λύσει μαθηματικό πρόβλημα που είχε καταγράψει ο Πλάτωνας – Αυτά ήταν τα αποτελέσματα

 

Το πρόβλημα του διπλασιασμού του τετραγώνου παρουσιάζεται στον «Μένωνα» του Πλάτωνα γύρω στο 385 π.Χ., ως μέρος της φιλοσοφικής συζήτησης για την προέλευση της γνώσης. Εδώ και πάνω από 2.400 χρόνια, το πρόβλημα αυτό χρησιμοποιείται ως παράδειγμα στη διδασκαλία των μαθηματικών και συνεχίζει να πυροδοτεί φιλοσοφικές συζητήσεις για το αν η γνώση είναι έμφυτη ή αποκτάται με εμπειρία.

 

Στον διάλογο «Μένων», ο Πλάτωνας περιγράφει για το πώς ο Σωκράτης προσκαλεί έναν από τους δούλους που τον συνοδεύουν, ο οποίος γνωρίζει ελληνικά αλλά όχι μαθηματικά, να εξετάσει μαζί του το εξής γεωμετρικό πρόβλημα: Με ποιον τρόπο μπορεί να διπλασιαστεί ένα τετράγωνο; Δηλαδή να βρούμε την πλευρά τετραγώνου το οποίο να έχει διπλάσιο εμβαδόν από το αρχικό. Το αγόρι στην αρχή έκανε λάθος λέγοντας ότι διπλασιάζοντας το μήκος των πλευρών, διπλασιάζεται και το εμβαδόν του. Ωστόσο, μέσω μιας σειράς ερωτήσεων, ο Σωκράτης το καθοδήγησε ώστε να βρει τη σωστή λύση: οι πλευρές του νέου τετραγώνου πρέπει να έχουν ίδιο μήκος με τη διαγώνιο του αρχικού τετραγώνου.

Η αλγεβρική λύση και η... άποψη του ChatGPT

Οι ερευνητές Δρ. Nadav Marco και Καθηγητής Ανδρέας Στυλιανίδης έθεσαν το ίδιο πρόβλημα στο ChatGPT-4. Εξέτασαν την ικανότητα του chatbot να βρίσκει λύσεις, θέτοντας μια σειρά ερωτήσεων στην ίδια λογική με αυτή του Σωκράτη. Το κεντρικό ζητούμενο ήταν κατά πόσο το chatbot θα κατόρθωνε να λύσει το πρόβλημα, είτε αντλώντας πληροφορίες από την τεράστια βάση δεδομένων με την οποία εκπαιδεύεται, είτε αναπτύσσοντας λύσεις. «Όταν ερχόμαστε αντιμέτωποι με ένα νέο πρόβλημα, το ένστικτό μας συχνά είναι να δοκιμάζουμε πράγματα βασισμένα σε προηγούμενη εμπειρία μας. Στο πείραμά μας, το ChatGPT φάνηκε να κάνει κάτι παρόμοιο», δήλωσε ο Δρ. Marco. 

Συγκεκριμένα, οι ερευνητές ζήτησαν από το ChatGPT-4 να βρει την πλευρά του τετραγώνου που θα έχει διπλάσιο εμβαδόν από το τετράγωνο πλευράς 2. Το chatbot, έπειτα από αλγεβρικούς υπολογισμούς, έδωσε την απάντηση \(\sqrt{8}\). Όταν οι ερευνητές προσπάθησαν να το «παγιδεύσουν» να κάνει το ίδιο λάθος με το αγόρι από το «Μένωνα», ρωτώντας το μήπως πρέπει να διπλασιαστεί η πλευρά του αρχικού τετραγώνου, αυτό δεν έκανε λάθος. Εκεί, όμως, που φάνηκε να δυσκολεύεται ήταν η γεωμετρική λύση του προβλήματος. Καθώς ο άρρητος \(\sqrt{8}\) δεν είναι ακριβώς ίσος ούτε με 2,82 ούτε με 2,83, αν σχεδιάζαμε ένα τετράγωνο με πλευρά 2,82 ή 2,83, το νέο τετράγωνο δεν θα είχε ακριβώς το διπλάσιο εμβαδόν, αλλά λίγο μικρότερο ή λίγο μεγαλύτερο από 8. Το ChatGPT όμως επέμενε ότι πρακτικά θα ήταν αποδεκτή μια στρογγυλοποίηση  όπως το 2,8 ή εναλλακτικά πρότεινε τη μέτρηση με χρήση οργάνων ακριβείας! 

 

Η γεωμετρία δεν είναι το δυνατό σημείο των LLM

Το ChatGPT σε γενικές γραμμές δυσκολεύεται να αποδώσει καλά σε γεωμετρικούς συλλογισμούς, δεδομένου ότι πρόκειται για μεγάλο γλωσσικό μοντέλο (LLM) που εκπαιδεύεται σε κείμενα και η πρόσβαση σε γεωμετρικές αναπαραστάσεις χρειάζεται υποβοήθηση. Παρ’ όλα αυτά, οι ερευνητές ανέμεναν ότι θα κατόρθωνε να αναγνωρίσει ένα ευρέως γνωστό πρόβλημα και θα αναπαρήγαγε την κλασική γεωμετρική λύση του Σωκράτη.

«Αν απλώς ανακαλούσε από μνήμης, θα ήταν σχεδόν βέβαιο ότι θα ανέφερε κατευθείαν την κλασική λύση της δημιουργίας του νέου τετραγώνου από τη διαγώνιο του αρχικού», εξηγεί ο Καθηγητής Στυλιανίδης. «Αντιθέτως, φαίνεται ότι η συμπεριφορά του LLM εξαρτάται από τα συμφραζόμενα». 

Παραδόξως, το chatbot αρχικά επέλεξε την αλγεβρική μέθοδο επίλυσης εξίσωσης δευτέρου βαθμού, που ήταν άγνωστη στην εποχή του Πλάτωνα, και δεν προσέφερε αυθόρμητα τη γεωμετρική λύση. Μόνο όταν οι ερευνητές εξέφρασαν την «απογοήτευσή» τους, το chatbot έδωσε την γεωμετρική λύση της διαγωνίου.

Οι ερευνητές στη συνέχεια του έθεσαν δύο νέες προκλήσεις: τον διπλασιασμό του εμβαδού ενός ορθογώνιου παραλληλόγραμμου και ενός τριγώνου, διατηρώντας τις αρχικές αναλογίες. Και στις δύο περιπτώσεις, το ChatGPT επέλεξε ξανά την αλγεβρική λύση, αγνοώντας την προτίμηση των ερευνητών για τη γεωμετρική.

Όταν, δε, ρωτήθηκε για το πρόβλημα του ορθογώνιου, υποστήριξε λανθασμένα ότι η διαγώνιος προσφέρει άμεση γεωμετρική λύση. Οι ερευνητές πιστεύουν ότι το λάθος δεν προερχόταν από τη βάση δεδομένων του, αλλά ότι ήταν μία εικασία βασισμένη στην προηγούμενη συζήτησή τους για τη διαγώνιο του τετραγώνου. Δηλαδή το ChatGPT παρήγαγε ένα λάθος, όχι επειδή «θυμόταν» λάθος, αλλά επειδή κατασκεύασε μια νέα, λανθασμένη λύση (το λεγόμενο genetic error). Ωστόσο, ύστερα από περαιτέρω καθοδήγηση, βρήκε εντέλει τη σωστή γεωμετρική λύση.

Οι ερευνητές συμπέραναν ότι, από την οπτική του χρήστη, η συμπεριφορά του ChatGPT ανακατεύει ανάκληση δεδομένων με συλλογιστική… της στιγμής. Την συνέκριναν με τη «ζώνη επικείμενης ανάπτυξης», την απόσταση δηλαδή ανάμεσα σε αυτά που γνωρίζει ήδη κάποιος και σε αυτά που θα μπορούσε να μάθει με καθοδήγηση.

Όμως αυτοί οι περιορισμοί της ΤΝ, σύμφωνα με την ερευνητική ομάδα, θα μπορούσαν να αποδειχθούν ευκαιρία μάθησης για τους σπουδαστές, τους οποίους συμβουλεύουν να δίνουν στο chatbot εντολές που ενθαρρύνουν τη συνεργατική επίλυση προβλημάτων αντί απλώς να ζητούν την απάντηση. Με αυτόν τον τρόπο, θα εξασκήσουν τη δική τους κριτική σκέψη και συλλογιστική ικανότητα.

Η έρευνα δημοσιεύθηκε στο ακαδημαϊκό περιοδικό International Journal of Mathematical Education in Science and Technology.

Από τον Απολλώνιο στα... αραβικά χειρόγραφα και τελικά στην... Ολλανδία!

Μια εμπεριστατωμένη έρευνα «κόντρα» στις ανακριβείς και παραπλανητικές αντιγραφές του διαδικτύου

Κρυμμένοι… θησαυροί

Ο Απολλώνιος ο Περγεύς  (262 π.Χ.–190 π.Χ.) είναι γνωστός για το πρωτοποριακό του έργο στην Γεωμετρία. Υπήρξε ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς και γεωμέτρες της αρχαιότητας. Γεννήθηκε στην αρχαία ελληνική πόλη Πέργη της Μικράς Ασίας. Σπούδασε και δίδαξε στην Αλεξάνδρεια και, μεταξύ των άλλων, συνέγραψε το έργο «Κωνικά». Σε αυτό, ανέπτυξε συστηματικά τις έννοιες της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής (ο κύκλος μελετάται στα Κωνικά ως ειδική περίπτωση της έλλειψης), επηρεάζοντας βαθιά τα μαθηματικά και την αστρονομία τόσο της ελληνιστικής περιόδου όσο και των μεταγενέστερων πολιτισμών.

Ο Απολλώνιος ο Περγεύς, γνωστός κυρίως για το έργο του "Κωνικά" που μελετά τις κωνικές τομές. Πηγή εικόνας: Wikipedia

Από τα οκτώ βιβλία που αποτελούσαν τα «Κωνικά», τα πρώτα τέσσερα διασώζονται στα ελληνικά, ενώ τα πέμπτο έως έβδομο είναι γνωστά μόνο από μεσαιωνικές αραβικές μεταφράσεις, που αποδίδονται πιθανώς στον Θαμπίτ Ιμπν Κούρρα και μεταγενέστερους λογίους της ισλαμικής Χρυσής Εποχής. Το όγδοο βιβλίο θεωρείται χαμένο.

Τα αραβικά χειρόγραφα με τα βιβλία 5–7 είχαν αποκτηθεί τον 17^ο αιώνα από τον Ολλανδό ανατολιστή και μαθηματικό Jacob Golius, ο οποίος, κατά τη διάρκεια των ταξιδιών του στη Μέση Ανατολή, τα μετέφερε στο Πανεπιστήμιο του Leiden στην Ολλανδία, σε μια τεράστια συλλογή σχεδόν 200 χειρογράφων. Τα χειρόγραφα αυτά είχαν ταξινομηθεί και μελετηθεί από τους επιστήμονες της εποχής και δεν παρέμεναν ξεχασμένα (όπως λανθασμένα αναφέρεται σε πολλά άρθρα στο διαδίκτυο). Η αξία τους όμως αναδεικνύεται ξανά μέσα από σύγχρονες μελέτες, οι οποίες προβάλλουν όχι μόνο το έργο του Απολλώνιου, αλλά και τον ρόλο του ισλαμικού πολιτισμού στη διάσωση και μετάδοση της αρχαίας ελληνικής γνώσης.

Η πρόσφατη επανεξέταση των αραβικών χειρογράφων συνοδεύεται από μελέτη της καλλιγραφίας και των γεωμετρικών διαγραμμάτων που περιέχουν, προσφέροντας μια μοναδική εικόνα για τη μαθηματική παράδοση της ισλαμικής περιόδου. Ο Ολλανδός μαθηματικός και ιστορικός της επιστήμης Jan Pieter Hogendijk τόνισε τη σημασία αυτών των τεκμηρίων ως απόδειξη της πνευματικής ακμής και επιστημονικής πειθαρχίας των μουσουλμάνων λογίων του Μεσαίωνα.

Τμήμα από την αραβική μετάφραση των "Κωνικών" του Απολλώνιου. Πηγή εικόνας και πνευματικά δικαιώματα: Leiden University Libraries

Η επιρροή της επιστημονικής παράδοσης του Ισλάμ και η σημασία της σήμερα

Η επιστημονική γνώση της αρχαιότητας, και ιδιαίτερα των Ελλήνων, δεν χάθηκε, αλλά διασώθηκε και μεταδόθηκε μέσω της ισλαμικής επιστημονικής παράδοσης από τον 8^ο έως τον 13^ο αιώνα. Πλήθος ελληνικών έργων μεταφράστηκαν στα αραβικά, επεκτάθηκαν και εν τέλει διοχετεύτηκαν στην Ευρώπη, συμβάλλοντας καθοριστικά στην ευρωπαϊκή Αναγέννηση.

Σε αυτό το πλαίσιο, ο καθηγητής Mostafa Zahri του Πανεπιστημίου Sharjah υπογράμμισε τη σημασία της συντήρησης και μελέτης των αραβικών χειρογράφων, τα οποία συχνά παραμένουν αναξιοποίητα σε βιβλιοθήκες της Δύσης. Τον Ιανουάριο του 2025, στο Πανεπιστήμιο Sharjah διοργανώθηκε υπό την αιγίδα του SIFHAMS (Sharjah International Foundation for the History of Arab and Muslim Sciences), διεπιστημονικό εργαστήριο (workshop), όπου συνεργάστηκαν ερευνητές από τον αραβικό και δυτικό κόσμο, με σκοπό την εμβάθυνση στη μελέτη αυτών των πηγών.

Λεπτομέρεια από την αραβική μετάφραση των "Κωνικών" του Απολλώνιου, όπου διακρίνονται οι κωνικές τομές. Πηγή εικόνας και πνευματικά δικαιώματα: Leiden University Libraries 

Στο πλαίσιο της εκδήλωσης μελετήθηκε και το αριθμητικό σύστημα Abjad, στο οποίο τα γράμματα του αραβικού αλφαβήτου αντιστοιχούν σε αριθμούς (π.χ. alif = 1, baa = 2,…) και εμφανίζεται αλφαβητική-αλγεβρική χρήση αριθμών. Αν και δεν φέρεται να χρησιμοποιήθηκε ως κύριο αριθμητικό σύστημα σε επιστημονικά όργανα όπως ο αστρολάβος, όπως λανθασμένα διαβάζουμε σε αρκετά άρθρα, το Abjad παρουσιάζει ενδιαφέρον για την κατανόηση της συμβολικής και μαθηματικής σκέψης της εποχής.

Εκτός από τα βιβλία 5-7 των «Κωνικών» του Απολλώνιου, στο παραπάνω εργαστήριο επαναξιολογήθηκαν και άλλες γνώσεις των Αρχαίων Ελλήνων που διασώθηκαν χάρη στις αραβικές μεταφράσεις, όπως το «Περί Ύλης Ιατρικής» του Διοσκουρίδη, τρόποι κατασκευής ενός αστρολάβου σε χειρόγραφο του Al-Biruni, καθώς και χάρτες της εποχής εκείνης και δόθηκε ώθηση στην ανάδειξη αυτών των τεκμηρίων. Μάλιστα, από την Amsterdam University Press εκδόθηκε το Σεπτέμβριο του 2024 το βιβλίο “Prophets, Poets and Scholars:  The Collections of the Middle Eastern Library of Leiden University”, το οποίο καλύπτει την ιστορία, τη συλλογή και την εικονογράφηση των αραβικών χειρογράφων — ανάμεσά τους και όσα περιέχουν μέρος του έργου του Απολλώνιου.

Παρά την τεράστια σημασία τους, πολλά χειρόγραφα παραμένουν ανεξερεύνητα. Η συνεχιζόμενη προσπάθεια ψηφιοποίησης και η διαπολιτισμική συνεργασία, όπως αυτή στο Πανεπιστήμιο Sharjah, αποτελούν πολύτιμα εργαλεία για τη μελέτη της ιστορίας της επιστήμης και για την ανάδειξη της παγκόσμιας συνεισφοράς του ισλαμικού και αρχαιοελληνικού πνεύματος στην εξέλιξη των μαθηματικών και των φυσικών επιστημών.

 

Πηγές:

Amsterdam University Press|“Prophets, Poets and Scholars:  The Collections of the Middle Eastern Library of Leiden University”

EurekAlert.org

Ksnt.com

Leiden University Libraries

Wikipedia.org|Απολλώνιος ο Περγεύς