"Τα Μαθηματικά στην εποχή της Τεχνητής Νοημοσύνης" - Η δημόσια διάλεξη του Terence Tao στο International Congress of Mathematicians 2026

 

Τι σημαίνει να μελετάμε μαθηματικά στην εποχή της Τεχνητής Νοημοσύνης;

Μπορεί μια μηχανή να ανακαλύψει νέα μαθηματικά; Μπορεί να αποδείξει ένα θεώρημα; Μπορεί να καταλάβει μια μαθηματική ιδέα; Και, κυρίως, αν οι μηχανές μπορούν όλο και περισσότερο να λύνουν μαθηματικά προβλήματα, τι θα σημαίνει στο μέλλον να μαθαίνει και να κάνει μαθηματικά ένας άνθρωπος;

Αυτά είναι μερικά από τα ερωτήματα που βρίσκονται στο επίκεντρο της δημόσιας διάλεξης “Mathematics in the Age of AI” του Terence Tao, η οποία πραγματοποιήθηκε στις 24 Ιουλίου 2026, στο πλαίσιο του International Congress of Mathematicians (ICM 2026) στη Φιλαδέλφεια. Το ICM είναι το μεγαλύτερο διεθνές συνέδριο μαθηματικών και πραγματοποιείται κάθε τέσσερα χρόνια.

Η διάλεξη έχει πλέον ανέβει ολόκληρη στο YouTube:

 

Ο Tao έχει επίσης δημοσιεύσει τις επίσημες διαφάνειες της διάλεξης, οι οποίες είναι διαθέσιμες ελεύθερα και αποτελούν ένα εξαιρετικό συνοδευτικό υλικό για την παρακολούθηση του βίντεο.

Στη διάλεξή του, ο Terence Tao, ένας από τους σημαντικότερους μαθηματικούς της εποχής μας και κάτοχος του Μεταλλίου Fields, δεν επιχειρεί να προβλέψει απλώς αν η Τεχνητή Νοημοσύνη (ΤΝ) θα «αντικαταστήσει» τους μαθηματικούς. Θέτει ένα πολύ ευρύτερο ερώτημα: πώς πρέπει να ανταποκριθεί συνολικά η μαθηματική κοινότητα στην εμφάνιση των σύγχρονων συστημάτων ΤΝ και στις πραγματικές -αλλά και στις υποτιθέμενες- ικανότητές τους να εκτελούν μαθηματικές εργασίες;

 

Μια νέα «κρίση των θεμελίων»;

Στην αρχή της ομιλίας του ο Tao κάνει μια ιστορική αναδρομή. Για αιώνες, τα μαθηματικά λειτουργούσαν πάνω σε θεμέλια τα οποία οι ίδιοι οι μαθηματικοί δεν χρειαζόταν να εξετάζουν συνεχώς. Ερωτήματα όπως «Τι είναι ένα σύνολο;», «Τι είναι ένας αριθμός;», «Τι είναι το άπειρο;» ή «Ποια είναι τα αξιώματα των μαθηματικών;» είχαν σε μεγάλο βαθμό παραμείνει στο περιθώριο της καθημερινής μαθηματικής πρακτικής.

Στις αρχές, όμως, του 20^ού αιώνα, η εμφάνιση παραδόξων, όπως το παράδοξο του Russell, και αργότερα τα θεωρήματα μη πληρότητας του Gödel, προκάλεσαν μια βαθιά κρίση. Οι μαθηματικοί αναγκάστηκαν να εξετάσουν πολύ πιο προσεκτικά τις ίδιες τις βάσεις πάνω στις οποίες οικοδομούσαν τα μαθηματικά.

Το αποτέλεσμα αυτής της κρίσης ήταν, τελικά, θετικό: δημιουργήθηκε ένα ρητό, αυστηρό και τυποποιημένο θεμελιακό πλαίσιο, μέσα στο οποίο τα σύγχρονα μαθηματικά μπορούν να αναπτύσσονται με μεγάλη ασφάλεια.

Ο Tao θεωρεί ότι ίσως σήμερα βρισκόμαστε μπροστά σε μια ανάλογη περίοδο αναστάτωσης, καθώς η ΤΝ μας αναγκάζει να ξανασκεφτούμε τι θεωρούμε καλή μαθηματική εργασία, πώς παράγεται η μαθηματική γνώση, πώς ελέγχεται, πώς μοιράζεται και ποια είναι τελικά η αξία της ανθρώπινης συμβολής στα μαθηματικά.

Ο ίδιος ο Tao μιλά χαρακτηριστικά για μια «κρίση στα θεμέλια των μαθηματικών αξιών και πρακτικών». Και εκτιμά ότι, αν εξετάσουμε και κωδικοποιήσουμε προσεκτικά τις νέες αυτές πρακτικές, η μαθηματική κοινότητα μπορεί να βγει από αυτή την περίοδο ισχυρότερη και πιο ανθεκτική.

 

Απόδειξη που φαίνεται σωστή ή απόδειξη που είναι ελεγμένη;

Ένα άλλο κεντρικό θέμα της διάλεξης είναι το formal verification, η τυπική επαλήθευση των μαθηματικών αποδείξεων.

Η παραδοσιακή μαθηματική απόδειξη είναι γραμμένη για ανθρώπους. Περιέχει συχνά βήματα που ο συγγραφέας θεωρεί προφανή και τα οποία ο αναγνώστης καλείται να συμπληρώσει νοητά. Αυτό λειτουργεί επειδή οι μαθηματικοί είναι εκπαιδευμένοι να ελέγχουν τέτοιες αποδείξεις.

Όμως η ΤΝ δημιουργεί ένα νέο πρόβλημα: μπορεί να παράξει μια εξαιρετικά πειστική μαθηματική εξήγηση που περιέχει ένα λάθος. Εδώ τα συστήματα τυπικής απόδειξης, όπως το Lean, αποκτούν ιδιαίτερη σημασία. Η βασική ιδέα είναι απλή: δεν αρκεί μια απόδειξη να φαίνεται σωστή, πρέπει να μπορεί να ελεγχθεί μηχανικά.

Έτσι δημιουργείται ένα πολύ ενδιαφέρον σχήμα:

AI: προτείνει μια απόδειξη → Σύστημα formal verification: ελέγχει την απόδειξη.

Η ΤΝ μπορεί, επομένως, να αναλάβει ολοένα μεγαλύτερο μέρος της παραγωγής μαθηματικού υλικού, ενώ ένα ανεξάρτητο τυπικό σύστημα μπορεί να ελέγχει αν το τελικό αποτέλεσμα είναι πράγματι έγκυρο. Αυτό δεν κάνει τα μαθηματικά λιγότερο αυστηρά. Ίσως, αντίθετα, να τα κάνει αυστηρότερα από ποτέ.

 

Προς ένα νέο μοντέλο μαθηματικής συνεργασίας

Εδώ βρίσκεται μία από τις πιο ενδιαφέρουσες ιδέες του Tao. Για μεγάλο μέρος της ιστορίας τους, τα μαθηματικά είχαν ως βασική μονάδα τον άνθρωπο: ένας μαθηματικός ή μια μικρή ομάδα μαθηματικών σκεφτόταν ένα πρόβλημα, έγραφε μια απόδειξη και δημοσίευε τα αποτελέσματα.

Σήμερα αυτό το μοντέλο αρχίζει να αλλάζει. Μπορούμε να φανταστούμε ένα τεράστιο συνεργατικό οικοσύστημα στο οποίο συμμετέχουν:

μαθηματικοί + AI + βάσεις μαθηματικής γνώσης + συστήματα τυπικής απόδειξης + διαδικτυακές κοινότητες.

Η ΤΝ μπορεί να δημιουργεί και να εξετάζει τεράστιο αριθμό πιθανών διαδρομών. Τα formal systems μπορούν να ελέγχουν τις αποδείξεις. Οι μαθηματικοί μπορούν να επιλέγουν τις ενδιαφέρουσες ιδέες και να δίνουν νόημα στα αποτελέσματα.

 

Τι μένει λοιπόν για τον μαθηματικό;

Αν η ΤΝ αναλάβει όλο και περισσότερες τεχνικές εργασίες, θα μπορούσε κάποιος να ρωτήσει: Τι θα κάνει τότε ο μαθηματικός;

Ίσως ακριβώς τα πράγματα που είναι δυσκολότερο να αυτοματοποιηθούν...

• Να επιλέγει τα σημαντικά προβλήματα.
• Να αναγνωρίζει μια ενδιαφέρουσα ιδέα.
• Να δημιουργεί νέες έννοιες.
• Να αποφασίζει ποια από τις πολλές πιθανές διαδρομές αξίζει να ακολουθηθεί.
• Να κατανοεί τη σημασία ενός αποτελέσματος.
• Να συνδέει διαφορετικούς κλάδους των μαθηματικών.
• Και, πάνω απ' όλα, να κρίνει.

Γιατί όταν μια μηχανή μπορεί να παράγει εκατοντάδες πιθανές λύσεις, το σημαντικό ερώτημα θα είναι πλέον: «Ποια λύση αξίζει να κρατήσουμε και γιατί;».

 

Και τι σημαίνουν όλα αυτά για την εκπαίδευση;

Ίσως εδώ να βρίσκεται το πιο ενδιαφέρον ερώτημα για όλους όσοι διδάσκουμε μαθηματικά. Αν μια εφαρμογή ΤΝ μπορεί να λύσει μια άσκηση, να γράψει μια απόδειξη ή να εξηγήσει ένα θεώρημα, τότε πρέπει να επανεξετάσουμε τι ακριβώς θέλουμε να μάθει ο μαθητής.

Για δεκαετίες έχουμε συνδέσει τη μαθηματική μάθηση με την ικανότητα να παράγουμε τη σωστή απάντηση. Όμως η ΤΝ κάνει αυτή την ικανότητα όλο και λιγότερο αποκλειστικά ανθρώπινη. Ίσως, επομένως, χρειάζεται να δώσουμε ακόμη μεγαλύτερη έμφαση σε ερωτήματα όπως:

• Γιατί επιλέξαμε αυτή τη μέθοδο;
• Πώς ξέρουμε ότι η απάντηση είναι σωστή;
• Μπορούμε να διατυπώσουμε μια εικασία;
• Μπορούμε να εξηγήσουμε μια απόδειξη με δικά μας λόγια;
• Μπορούμε να εντοπίσουμε το λάθος σε μια φαινομενικά σωστή λύση;
• Μπορούμε να συγκρίνουμε δύο διαφορετικές λύσεις και να κρίνουμε ποια είναι καλύτερη;

Με άλλα λόγια, η πρόκληση της ΤΝ ίσως μας αναγκάζει να μετακινηθούμε από το: «Μπορώ να λύσω την άσκηση;» στο: «Μπορώ να σκεφτώ μαθηματικά;». Και αυτό μπορεί να είναι μια ευκαιρία να ξανασκεφτούμε τι ακριβώς σημαίνει μαθηματική σκέψη.

Η διάλεξη του Terence Tao είναι, κατά τη γνώμη μας, μια πρόσκληση για να σκεφτούμε σε βάθος και να αναρωτηθούμε: «Σε μια εποχή όπου οι μηχανές μπορούν να κάνουν ολοένα περισσότερα μαθηματικά, τι είναι αυτό που κάνει τα μαθηματικά ανθρώπινα;».

"Κόντρα μάθημα" ή μάθημα με νόημα; Μια βιωματική προσέγγιση στη Στατιστική της Γ΄ Λυκείου

Στα Μαθηματικά της Γ΄ Λυκείου της ομάδας προσανατολισμού Ανθρωπιστικών Σπουδών, το οποίο συχνά αποκαλείται ως «κόντρα μάθημα» μιας και θεωρείται «κόντρα» προς τα ενδιαφέροντά τους, επιχειρήθηκε μια εναλλακτική διδακτική προσέγγιση με στόχο να κεντρίσει το ενδιαφέρον τους.

Η παρέμβαση στηρίχθηκε στις αρχές της βιωματικής μάθησης και της ομαδοσυνεργατικής διδασκαλίας, με έμφαση στην ενεργό εμπλοκή των μαθητών και στη σύνδεση της μαθηματικής γνώσης με αυθεντικά δεδομένα της καθημερινότητάς τους.

Μαθηματικά στη Γ΄ Ανθρωπιστικών Σπουδών του 1ου ΓΕΛ Καλύμνου

🔎Οι μαθητές, οργανωμένοι σε ομάδες των 3-4 ατόμων, συμμετείχαν σε όλα τα στάδια μιας αυθεντικής στατιστικής διερεύνησης. Συγκεκριμένα:

• σχεδίασαν ερωτηματολόγιο γύρω από τη χρήση των μέσων κοινωνικής δικτύωσης από μαθητές της ηλικίας τους.
• συνέλεξαν δεδομένα από δείγμα 50 συμμαθητών τους
• οργάνωσαν τα δεδομένα σε πίνακες κατανομής συχνοτήτων
• υπολόγισαν βασικά στατιστικά μέτρα (μέση τιμή, διάμεσος κ.λπ.)

Η έμφαση δεν δόθηκε τόσο στην εκτέλεση αλγοριθμικών διαδικασιών, αλλά στη μαθηματικοποίηση της κατάστασης και στην ερμηνεία των αποτελεσμάτων.

📈Μέσα από τη δραστηριότητα, οι μαθητές δεν περιορίστηκαν στην εφαρμογή τύπων, αλλά κλήθηκαν να:

• αποδώσουν νόημα σε στατιστικές έννοιες (π.χ. τι εκφράζει η σχετική συχνότητα ή η μέση τιμή σε ένα πραγματικό πλαίσιο, ή τι εκφράζει η επικρατούσα τιμή όσον αφορά το δημοφιλέστερο μέσο κοινωνικής δικτύωσης)
• συνδέσουν διαφορετικές αναπαραστάσεις (πίνακες, γραφήματα, αριθμητικά μεγέθη)
• εξασκηθούν στις διαφορετικές αναπαραστάσεις των ρητών αριθμών (κλάσματα, δεκαδικοί, ή ποσοστά %)
• διατυπώσουν και να τεκμηριώσουν συμπεράσματα
• συγκρίνουν τα ευρήματά τους (π.χ. για να διαπιστώσουν αν υπάρχει ή όχι διαφοροποίηση των ποσοστών ως προς το φύλο)
• αναπτύξουν κριτική στάση απέναντι στα δεδομένα και στα αποτελέσματα (αντιπροσωπευτικότητα δείγματος, εγκυρότητα συμπερασμάτων)

Η προσέγγιση αυτή ενίσχυσε τη μετάβαση από τη διαδικαστική εκτέλεση στην εννοιολογική κατανόηση της Στατιστικής.

👪Η εργασία σε ομάδες λειτούργησε ως βασικός μηχανισμός οικοδόμησης της γνώσης. Μέσα από τη συνεργασία, οι μαθητές:

• διαπραγματεύτηκαν έννοιες και ερμηνείες
• ανέπτυξαν επιχειρηματολογία
• μοιράστηκαν στρατηγικές επίλυσης
• συμμετείχαν σε διαδικασίες κοινωνικής κατασκευής της γνώσης

Η μαθησιακή διαδικασία απέκτησε έτσι διαλογικό χαρακτήρα, ενισχύοντας τη μαθηματική επικοινωνία.

📊Η δραστηριότητα συνέβαλε ουσιαστικά στην ανάπτυξη στατιστικού γραμματισμού, καθώς οι μαθητές:

• εργάστηκαν με αυθεντικά δεδομένα
• εξήγαγαν συμπεράσματα με βάση πραγματικά ερωτήματα
• συνέδεσαν τα μαθηματικά με κοινωνικά και προσωπικά ζητήματα

Τα ευρήματα, όπως ο μέσος χρόνος χρήσης των social media, η ικανότητα των παιδιών να κρίνουν αν το περιεχόμενο που προβάλλεται στα social media είναι AI generated, ή ο βαθμός συναισθηματικής επιρροής ανάλογα με το πλήθος των likes που παίρνουν, αποτέλεσαν αφετηρία για περαιτέρω συζήτηση και προβληματισμό.

📚Η διδακτική αυτή παρέμβαση ανέδειξε ότι είναι δυνατόν να προκληθεί ουσιαστική μαθηματική εμπλοκή των μαθητών, όταν:

• αξιοποιούνται αρχές της βιωματικής μάθησης
• δίνεται έμφαση στην εννοιολογική κατανόηση
• ενισχύεται η ενεργός συμμετοχή των μαθητών
• χρησιμοποιούνται αυθεντικά και νοηματοδοτημένα πλαίσια

Η Στατιστική, μέσα από αυτή τη διαδικασία, μετασχηματίστηκε από ένα σύνολο τεχνικών σε ένα δυναμικό εργαλείο κατανόησης της πραγματικότητας και οι μαθητές-μελλοντικοί φοιτητές των Ανθρωπιστικών Επιστημών πήραν μια μικρή «γεύση» από το μάθημα της Στατιστικής που (πιθανόν αναπόφευκτα) πρόκειται να συναντήσουν στις σπουδές τους.

Τελικά, το «κόντρα μάθημα» μπορεί να πάψει να είναι κόντρα, όταν η διδασκαλία μετατοπίζεται από τη μετάδοση γνώσης στην οικοδόμηση νοήματος.

Τα κλάσματα αλλιώς: Οπτικοποίηση με το Polypad

 

Το Polypad είναι ένα εξαιρετικό διαδραστικό εργαλείο για τη διδασκαλία των βασικών μαθηματικών εννοιών μέσα από διερεύνηση και πειραματισμό. Προσφέρει μια μεγάλη ποικιλία από ψηφιακά "χειραπτικά" υλικά που επιτρέπουν στους μαθητές να πειραματιστούν, να κάνουν υποθέσεις και να οικοδομήσουν τη μαθηματική γνώση με ενεργητικό τρόπο.

Οπτική αναπαράσταση του κλάσματος \(\frac{3}{5}\) με διαφορετικούς τρόπους

Οπτική αναπαράσταση του κλάσματος \(\frac{7}{5}\) με διαφορετικούς τρόπους

Ιδιαίτερα στην ενότητα των κλασμάτων οι εκπαιδευτικοί έχουν τη δυνατότητα να χρησιμοποιήσουν πολλαπλές οπτικές αναπαραστάσεις των κλασματικών αριθμών και οι μαθητές έχουν την ευκαιρία να συγκρίνουν μεγέθη, να δημιουργούν ισοδύναμα κλάσματα ή να ανακαλύψουν τις πράξεις μεταξύ κλασμάτων με οπτικό και διαισθητικό τρόπο.

Οπτική σύγκριση των κλασμάτων \(\frac{4}{5}\) και  \(\frac{5}{6}\) 

Οπτική αναπαράσταση της πρόσθεσης \(\frac{2}{6}+\frac{3}{6} \)

Οπτική αναπαράσταση της αφαίρεσης \(\frac{6}{7}-\frac{2}{7} \)

Οπτική αναπαράσταση της πρόσθεσης \(\frac{3}{4}+\frac{5}{6} \) με τις κλασματικές λωρίδες πάνω στην αριθμογραμμή: Η ακέραιη μονάδα πρέπει να υποδιαιρεθεί σε 12 ίσα μέρη, εφόσον Ε.Κ.Π.(4,6)=12, εξηγώντας έτσι γιατί τα κλάσματα πρέπει να γίνουν ομώνυμα για να τα προσθέσουμε. 

Οπτική αναπαράσταση του πολλαπλασιασμού  \(\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{4} \)

Οπτική αναπαράσταση της διαίρεσης \(2:\frac{1}{5} \)

Το περιβάλλον του Polypad είναι απλό, δωρεάν και λειτουργεί online, γεγονός που το καθιστά ιδανικό τόσο για την τάξη, όσο και για εξ αποστάσεως διδασκαλία. Τα σχήματα μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε φύλλα εργασίας που θα δημιουργήσει ο εκπαιδευτικός, αλλά είναι και ιδανικά σε διαδραστικό μάθημα στην οθόνη.

Μαθηματική Δράση: «Ανακαλύπτοντας το π στην καθημερινή ζωή»

Με αφορμή την Παγκόσμια Ημέρα του π (14 Μαρτίου) και ανταποκρινόμενοι στο κάλεσμα της Διεθνούς Μαθηματικής Ένωσης για τη Διεθνή Ημέρα Μαθηματικών (IDM), πραγματοποιήσαμε στο ΕΠΑΛ Καλύμνου μια διερευνητική δραστηριότητα με στόχο οι μαθητές να «ανακαλύψουν» πειραματικά τον αριθμό π.

Οι μαθητές/τριες χωρίστηκαν σε ομάδες των τριών ατόμων και τους δόθηκαν διάφορα κυκλικά αντικείμενα της καθημερινότητας, όπως μολυβοθήκες, συσκευασίες, δοχεία, καπάκια και άλλα. Κάθε ομάδα έπρεπε να μετρήσει δύο μεγέθη για κάθε αντικείμενο:

• τη διάμετρο Δ του κύκλου
• την περιφέρειά του, L.

Για τις μετρήσεις χρησιμοποίησαν διάφορα εργαλεία: χάρακα, μεζούρα αλλά και κορδόνι, το οποίο τύλιγαν γύρω από την περιφέρεια του αντικειμένου και στη συνέχεια μετρούσαν το μήκος του με τον χάρακα.

Αφού κατέγραψαν τις μετρήσεις τους στο φύλλο εργασίας, οι μαθητές υπολόγισαν για κάθε αντικείμενο τον λόγο \( \frac{L}{Δ} \).

Παρατήρησαν ότι, παρά τις μικρές διαφορές λόγω των μετρήσεων, το αποτέλεσμα ήταν κάθε φορά περίπου 3,14. Μέσα από αυτή τη διαδικασία οδηγήθηκαν στο συμπέρασμα ότι ο λόγος της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του είναι σταθερός και ισούται με τον αριθμό π.

Στη συνέχεια συζητήσαμε ότι οι τιμές που υπολόγισαν οι μαθητές ήταν προσεγγίσεις του π. Ο αριθμός π είναι άρρητος, δηλαδή έχει άπειρα δεκαδικά ψηφία χωρίς να επαναλαμβάνονται περιοδικά. Για τον λόγο αυτό δεν μπορούμε ποτέ να τον γράψουμε ακριβώς σε δεκαδική μορφή· ακόμη και οι πιο σύγχρονοι υπολογιστές δεν μπορούν να υπολογίσουν όλα τα ψηφία του!

Η δραστηριότητα βοήθησε τους μαθητές να κατανοήσουν ότι τα μαθηματικά δεν είναι μόνο εφαρμογή έτοιμων τύπων, αλλά μπορούν να προκύψουν μέσα από παρατήρηση, μέτρηση και πειραματισμό.

Για τη δράση αυτή συνεργάστηκαν όλες οι μαθηματικοί του σχολείου:

Γαβαλά Μαρία

Καλαφάτη-Ματθαίου Καλλιόπη

Κιρκή Καλλιόπη

Κουζούμη Φωτεινή

Παπαβαρνάβα Όλγα

Η "Επιπεδοχώρα" στον κινηματογράφο

Από το πειραματικό animation των 60’s στο εκπαιδευτικό animation του 21ου αιώνα

 

Η «Επιπεδοχώρα (Flatland: A Romance of Many Dimensions, 1884)» του Edwin A. Abbott είναι ένα από τα ελάχιστα λογοτεχνικά έργα που κατάφεραν να γεφυρώσουν με τόση επιτυχία τα μαθηματικά, τη φιλοσοφία και την κοινωνική σάτιρα. Δεν είναι τυχαίο ότι, παρά τη δυσκολία του θέματος, το έργο ενέπνευσε και τον κινηματογράφο...

Στη συνέχεια παρουσιάζονται τρεις βασικές animated κινηματογραφικές μεταφορές της «Επιπεδοχώρας», που καλύπτουν σχεδόν μισό αιώνα.

Σκηνή από την ταινία animation Flatland: The Movie (2007)

 

1. Flatland (1965) – Ταινία μικρού μήκους

Πρόκειται για μια πειραματική ταινία κινουμένων σχεδίων μικρού μήκους (περίπου 10–11 λεπτά. Η ταινία αποδίδεται σε δημιουργούς του χώρου του εκπαιδευτικού και καλλιτεχνικού animation της εποχής (John Hubley, Eric Martin) και εντάσσεται στο πνεύμα των οπτικοακουστικών πειραματισμών των ’60s.

Η αφήγηση είναι λιτή και αφαιρετική, με έμφαση:

• στη δισδιάστατη φύση της Επιπεδοχώρας,
• στη δυσκολία των κατοίκων να συλλάβουν την έννοια της τρίτης διάστασης,
• και λιγότερο στην κοινωνική σάτιρα του πρωτότυπου έργου.

Αποτελεί περισσότερο ένα οπτικό φιλοσοφικό σχόλιο παρά μια πλήρη αφήγηση της ιστορίας.

 

2. Flatland: The Movie (2007)

Η ταινία του 2007 είναι η πιο ολοκληρωμένη κινηματογραφική μεταφορά της «Επιπεδοχώρας». Πρόκειται για μεγάλου μήκους animation, σκηνοθετημένο από τον Ladd Ehlinger Jr., με στόχο κυρίως την εκπαιδευτική χρήση.

Η ταινία:

• ακολουθεί πιο πιστά την πλοκή του βιβλίου,
• παρουσιάζει καθαρά την κοινωνική ιεραρχία των σχημάτων,
• δίνει έμφαση στη σύγκρουση ανάμεσα στην εμπειρική γνώση και τη νέα, «αδιανόητη» ιδέα της τρίτης διάστασης.

 

3. Flatland 2: Sphereland (2012)

Η ταινία Flatland 2: Sphereland (2012), επίσης σε σκηνοθεσία του Ladd Ehlinger Jr., βασίζεται στο «Sphereland: A Fantasy About Curved Spaces and an Expanding Universe, (1957)» τη συνέχεια του έργου του Abbott.

Σε αυτήν την εκδοχή:

• η κοινωνική αλληγορία υποχωρεί,
• το βάρος μετατοπίζεται στις ανώτερες διαστάσεις,
• και αναδεικνύεται η δυσκολία κατανόησης αφηρημένων μαθηματικών εννοιών, ακόμη και από εκείνους που έχουν ήδη βιώσει μια «αποκάλυψη».

Η ταινία λειτουργεί περισσότερο ως φιλοσοφικό και μαθηματικό συμπλήρωμα της πρώτης.

 

Διδακτική αξιοποίηση των ταινιών

Οι κινηματογραφικές μεταφορές της «Επιπεδοχώρας» μπορούν, πέρα από ψυχαγωγικούς σκοπούς, να ιδωθούν και ως διδακτικά εργαλεία, που επιτρέπουν στους μαθητές να προσεγγίσουν τα μαθηματικά ως τρόπο σκέψης και όχι μόνο ως σύνολο τύπων. Εκπαιδευτικοί και γονείς μπορούν να τις αξιοποιήσουν με πολλούς τρόπους, ανάλογα με την κρίση τους και, φυσικά, τις ηλικίες των παιδιών:

Εισαγωγή στην έννοια των διαστάσεων

Μαθηματικά και κοινωνία

Γεωμετρία και Bauhaus

Μαθηματικά και Σύγχρονη Τέχνη

 

Γνωρίζετε άλλες ταινίες βασισμένες στην «Επιπεδοχώρα»; Εσείς πώς θα αξιοποιούσατε κάποια από αυτές τις ταινίες (ή το μυθιστόρημα) στη διδασκαλία σας/στη δημιουργική απασχόληση των παιδιών;

 

"Πώς να το λύσω"

Ο George Polya (1887-1985), γνωστός στους μαθηματικούς ως ο «δάσκαλος των δασκάλων», υπήρξε ταυτόχρονα μια μεγάλη φυσιογνωμία στα ζητήματα της Μαθηματικής Παιδείας και ένας σημαντικός ερευνητής στα Μαθηματικά, ένας από τους εκπροσώπους της Ουγγρικής Μαθηματικής Σχολής, που διακρίθηκε ιδιαίτερα τον 20^ο  αιώνα. Το έργο του Polya στη Μαθηματική Παιδεία αντανακλά τη διαδικασία συνειδητοποίησης, από τον ίδιο, της πορείας προς την ανακάλυψη που πραγματοποιούσε στις μαθηματικές του εργασίες.

Το βιβλίο του «Πώς να το λύσω» (1945) παραμένει και σήμερα, 80 χρόνια μετά την πρώτη γραφή του, ένα πολύ σημαντικό έργο, που επηρεάζει βαθιά όποιον το διαβάζει - και γράφτηκε ακριβώς γι' αυτό: για να αλλάξει στάσεις, συνήθειες και απόψεις, να συζητήσει σε νέα βάση παλιές ιδέες, να φέρει στο φως αγνοημένες αντιλήψεις, μοντέλα και στρατηγικές, που διαμορφώθηκαν «υπόγεια» μέσα σε χιλιάδες χρόνια εξέλιξης της ανθρώπινης κοινωνίας. Οι «μέθοδοι ανακάλυψης» που προτείνει στο «Πώς να το λύσω» έχουν μακρά ιστορία, από τον Πάππο μέχρι τον Descartes και τον Euler, που ο Polya αξιοποιεί διδακτικά.

Πρόκειται, λοιπόν, για μια Διδακτική προερχόμενη από τις ίδιες τις ρίζες των Μαθηματικών, από τη συνειδητοποίηση της πορείας προς την ανακάλυψη. Σαν κείμενο διατηρεί τη ζωντάνια και τη δροσιά ενός ιδιότυπου στυλ. Μοιάζει να απευθύνεται ταυτόχρονα στο δάσκαλο και στο μαθητή στην πραγματικότητα διαβάζεται από κάθε άνθρωπο με στοιχειώδεις γνώσεις λυκείου. Είναι ίσως το πιο γνωστό βιβλίο που γράφτηκε για να δώσει πνοή, να φυσήξει ζωή σ' αυτές τις, απελπιστικά μονότονες και πληκτικές, σχολικές γνώσεις, δείχνοντάς μας έναν τρόπο να τις «δούμε» διαφορετικά.

Διαβάστε ακόμη στο "εις το άπειρον":

Πώς να λύσουμε ένα πρόβλημα;

Ο χαρταετός!

 

Γράφει ο Αθ. Δ. Γκίκας, Μαθηματικός

Δημήτρης Μυταράς (1934-2017) - "Χαρταετοί"

 

Κάποιες ατέλειωτες νύχτες φέρνω πίσω από τα πέλαγα του χρόνου τα βιώματά μου τα παλιά και ακούραστα. Τα βιώματά μου είναι η μαγιά για το κείμενο που ακολουθεί. Λες πάντα καλύτερα την ιστορία που έχεις κατακτήσει. Αν δεν έχεις τα βιώματα δεν έχεις τίποτα. Τα αληθινότερα κείμενα είναι εκείνα που έχουν αφετηρία τον εαυτό μας. Θα επιχειρήσω να εξισορροπήσω την αλήθεια με την αναγνωσιμότητα.
Έθιμο της Καθαράς Δευτέρας είναι το πέταγμα του χαρταετού. Η οικογένεια αφού επιβιβαστεί στο αυτοκίνητό της, πάρει και τα απαραίτητα φαγώσιμα, θα σταματήσει στο κοντινό περίπτερο ν’ αγοράσει το χαρταετό, έτσι για να διατηρηθεί το έθιμο. Ποιο χαρταετό θα μου πείτε; Αυτόν με τις φιγούρες από σύγχρονα κόμικς στην επιφάνειά του ή με σήμα κάποιας ποδοσφαιρικής ομάδας. Και αφού πάνε στην εξοχή θ’ αρχίσει η διαδικασία το πετάγματος πλην ματαίως, τις περισσότερες φορές.

Η σκηνή σαν και τούτη:

-  Ο μικρός θα γκρινιάζει γιατί ο δικός του δεν «σηκώθηκε».
- Ο πατέρας μπλεγμένος μες στους σπάγγους και το ξερόχορτο θα ρίχνει τις ευθύνες στη μητέρα γιατί δεν του έκανε καλό «κεφάλι».
-     Όταν ξεμπλέξει με το λιγοστό σπάγγο που θα του έχει απομείνει θα τρέχει σαν τρελλός στα χωράφια για να πάρει λίγο ύψος ο αετός. Ύστερα περήφανος θα εξομολογείται:  Τον «σήκωσα» και φέτος !

Σπύρος Βασιλείου (1903-1985) - "Τα σαρακοστιανά" (1950)

Η ημέρα θα κυλίσει με άριστες επιδόσεις στην κατανάλωση λαγάνας, ταραμοσαλάτας, καλαμαριών καβουριών και άλλων «σαρακοστιανών» και περιχαρείς θα επιστρέψουν στο σπίτι. Περιχαρείς; Όλο και κάποιοι θα νοιώθουν εκείνο το κενό μέσα τους, το ονομαζόμενο «μεθεόρτιο σύνδρομο» από τους ψυχολόγους, που προέρχεται από τις πολλές ελπίδες που είχαν στηρίξει στην Καθαροδευτεριάτικη έξοδο και δεν επαληθεύτηκαν.
Και πώς να μην γίνει έτσι. Πόσο κοπίασαν για τον αετό; Τί ξέρουν για το σκελετό του με τα «ψυχοκάλαμα» ; Πόσο κοπίασαν για τα ζύγια του; Ας είναι καλά οι πήχες από το ξυλουργείο κι η βιοτεχνία που φτιάχνει αετούς χωρίς «ψυχή»; Πώς ν’ ασχοληθείς με το πέταγμα, αφού δεν καταπιάστηκες ποτέ με την κατασκευή του και μέσα από αυτή, διδάσκοντας την στα παιδιά σου, να δίνεις και να παίρνεις και συ χαρά; Χωρίς περιστροφές θα πω ότι τα πράγματα στις ημέρες μου ήταν καλύτερα. Τούτο όχι από συνήθεια που έχουμε οι παλιότεροι να ωραιοποιούμε καταστάσεις που ζήσαμε… και τότε δεν ήταν όλα ωραία. Άλλα πράγματα ήταν χειρότερα από σήμερα.
Όμως επειδή ο λόγος πρέπει να είναι «ορθός αποδεικτικός», όπως στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, θα επιχειρήσω τη σύγκριση κι ας βγάλει ο αναγνώστης τα συμπεράσματά του.

Πρώτα πρώτα για μας το πέταγμα του αετού δεν ήταν σαν το «στιγμιαίο αδίκημα» δηλ. αγοράζω την Κ. Δευτέρα το πρωί, κάνω προσπάθεια για πέταγμα και τελείωσα. Ήταν ολόκληρη ιεροτελεστία που άρχιζε μια δυο εβδομάδες πριν. Όταν είσαι νέος έχεις το χρόνο στο πλευρό σου ανεξάντλητο κα όλα είναι συναρπαστικά.

- Πρώτα τα καλάμια για το σκελετό. Ας ήταν καλά τα μαντριά προβάτων. Και σήμερα αν θέλει κάποιος μπορεί να βρει δίπλα σε  αυλάκια.
- Μετά τη φροντίδα για τις κόλλες, το ζυμάρι που θα τις κολλούσε.
- Ο σπάγγος ο κερωμένος για να κρατάει καλύτερα.
- Κουρέλια ή φύλλα από το κιντρινόχρωμο πρόχειρο σχολικό τετράδιο, για την ουρά. Βλέπεις δεν έφτανε η «δραχμή» ν’ αγοράσεις και δεύτερη κόλλα για τις φούντες της ουράς.

Τα δύσκολα άρχιζαν στην συναρμολόγηση. Πώς θα κατορθώσεις να φτιάξεις το κανονικό εξάγωνο. Το μυστικό πήγαινε από τα μεγαλύτερα παιδιά της παρέας στα μικρότερα έτσι εμπειρικά. Εγώ το διδάχτηκα από τον ξαδελφό μου Κ. Γκίκα γεωπόνο, που με τα μακριά και επιδέξια δάκτυλά του έκανε τους καλύτερους χαρταετούς. Θαύμαζα τους αετούς του. Σήμερα δε θαυμάζουμε αλλά θαμπωνόμαστε από ένα συμβάν επιτυχίας. Παλαιά υπήρχαν πρότυπα σε γειτονιές, στο σχολείο, στα αθλήματα, σε εργασιακούς χώρους, όπου μια δεξιότητα μας κέντριζε σε άμιλλα. Θαυμασμός εσωτερικός . ήταν αναμέτρηση με τους εαυτούς μας. Γιατί ο Κώστας φτιάχνει αετό και να μη μπορώ και γω! Έτσι όχι μόνο μαθαίναμε, αλλά συγχρόνως γινόμασταν καράβι που μετέφερε τη γνώση στο επόμενο λιμάνι της αρχέγονης αλυσίδας ζωής. Αν το φορτίο το παραδώσαμε σωστά, τότε η ζωή μας έχει νόημα.

Στην παρουσίαση της κατασκευής θα ακολουθήσω την αρχή της εποπτικότητας, με σκοπό διδακτικό, αισθητικό και κύρια τεκμηριωτικό. Αφού και τα τρία καλάμια ΑΔ, ΓΖ, ΒΕ κεντραριζόντουσαν στο μέσο Ο με καρφίτσα αρχικά για να μπορεί να περιστρέφονται, με την αρχή του σπάγγου στο σημείο Α μετρούσαμε μέχρι το Ο και δέναμε στο Β. Πάλι από το Β μετρούσαμε μέχρι το Ο και δέναμε στο Γ κ.λ.π. Έτσι το εξάγωνο ήταν έτοιμο. Έπρεπε να γίνω Μαθηματικός για να δώσω τη θεωρητική εξήγηση στην κατασκευή του κανονικού εξαγώνου μ’ αυτόν τον τρόπο που περιέγραψα.

 

 

Σχήμα του Αθ.Δ. Γκίκα με τα μαθηματικά του χαρταετού

 

Η εμπειρική κατασκευή στηρίζεται στην Μαθηματική αλήθεια ότι:
Η πλευρά του κανονικού εξαγώνου ΑΒ = ΑΟ = R = ακτίνα περιγεγραμμένου κύκλου.

Από την κατασκευή του αετού ξεκινούσα στη Β΄ Λυκείου την διδασκαλία του κανονικού εξαγώνου, έτσι όπως απαιτεί η διδακτική των Μαθηματικών από την εμπειρία στο θεωρητικό μοντέλο και αντίστροφα.

 

Στα πρώτα χρόνια υπήρχαν μαθητές, που βοηθούσαν στο πέρασμα από την εμπειρία στη θεωρία. Σιγά σιγά, όλο και λιγόστευαν, αφού κανένας γονιός δεν δίδαξε το παιδί του πώς να φτιάχνει αετό. Αν το είχε κάμει θα του είχε μάθει χωρίς καλά καλά να το καταλαβαίνει ο ίδιος και τις ιδιότητες του κανονικού εξαγώνου – θα φανεί παρακάτω του λόγου το ασφαλές. Ας έλθουμε στα ζύγια που πετάγματος ΚΑ, ΚΒ, ΚΟ και της ουράς ΛΕ, ΛΔ.

Σχεδόν πάντοτε όλα είχαν το ίδιο μήκος με την πλευρά (ακτίνα). Όμως, αν ήθελε κάποιος να παίρνει ύψος ο αετός του, κρατούσε το μεσιανό, το ΚΟ μικρότερο, όχι όσο αυτός ήθελε. Τα Μαθηματικά έχουν και πάλι το λόγο, όσο δηλ. το απόστημα ΟΘ του κανονικού εξαγώνου. Εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο ΟΓΘ θα βρείτε:

 \(ΟΘ=\frac{R \sqrt{3}}{2} \simeq 0,86R\)

 

Και επειδή η πλευρά του κανονικού εξαγώνου είναι όσο και η ακτίνα, το μεσαίο ζύγι είναι τα 0,86 πλευράς. Κατ’ αυτό τον τρόπο, ο αετός υψωνόταν σχεδόν κατακόρυφα, ο σπάγγος του δεν έκανε «κοιλιά», που δεν ήταν τίποτα άλλο από την αλυσοειδή καμπύλη της Θεωρητικής Μηχανικής.

Περιέγραψα την κατασκευή για να είναι η σύγκριση ευχερής. Εμάς μας γέμιζε πριν απ’ όλα η προετοιμασία. Το πέταγμα ήταν η κορύφωση. Νοιώθαμε έρωτα γι’ αυτόν. Τον μαθαίναμε και τον χορταίναμε κατασκευάζοντάς τον. Και όταν τον βλέπαμε να σηκώνεται στα ύψη νοιώθαμε περισσότερο ελεύθεροι. Νικούσαμε την βαρύτητα της Γής που μας κρατά καθηλωμένους χιλιάδες χρόνια πάνω της. Λίκνο του ανθρώπινου γένους και του πολιτισμού του η γη, αλλά και τα δεσμά του. Σαν τον υψώναμε ψηλά και η καλούμπα είχε φτάσει στο τέλος, του στέλναμε και ένα «μήνυμα» του αετού ! Τι ήταν το μήνυμα; Ένα στρογγυλό χαρτί με μια τρύπα στη μέση, συνήθως από το πακέτο τσιγάρων των θεριακλήδων της παρέας, που το περνούσαμε στο σπάγγο και ο αέρας το προχωρούσε μέχρι τον αετό! Έτσι με το πέταγμα το αετού περνούσαμε τις ελεύθερες ώρες σχεδόν όλο το σαρανταήμερο. Όσο κρατούσε το ανοιξιάτικο βοριαδάκι και μας το επέτρεπε. Μετά τον κρεμούσαμε στο υπόγειο, εφόσον δεν είχε καρφωθεί σε κανένα δένδρο. Σύρματα της Δ.Ε.Η. δεν υπήρχαν για εμπόδια και ηλεκτροπληξίες. Έφτιαξα αετούς για τα παιδιά μου, τα ανίψια μου και τον εγγονό μου.
Θα πει κάποιος: Αφού δίδαξες τα παιδιά σου, συ κατασκευάζεις και για το εγγόνι;
-  Ε! λοιπόν, ναι. Τα παιδιά δεν τα είδα αποφασισμένα να γονατίσουν στο πάτωμα και ν’ ανακατευτούν με κόλλες, ψαλίδια και σπάγγους. Τα είδα να κατευθύνονται στο γειτονικό περίπτερο!! Εγώ πάντως κάτι κερδίζω. Γίνομαι πάλι παιδί. Μόνο δυο φορές στη ζωή μας γινόμαστε παιδιά. Όταν είμαστε πραγματικά παιδιά και όντας μεγάλοι, να μπορούμε να κατακτήσουμε πάλι όσα μας έκαναν εντύπωση ως παιδιά. Η παιδική μνήμη είναι παντοδύναμη. Παραμένουμε ζωντανοί χάρη στην αυταξία ορισμένων στιγμών, που επιλέγουμε, δημιουργώντας μια δεύτερη ροή παράλληλη με τις ρυτίδες μας. 

 

Πηγή: Λαμιακός Τύπος

Αλέκος Φασιανός (1935-2022) - "Χαρταετός"

 

🌐Ένα αναλυτικό tutorial για την κατασκευή χαρταετού, καθώς και τη Φυσική που χρησιμεύει για το πέταγμα του χαρταετού, θα βρείτε στο ιστολόγιο Πειράματα Φυσικής με Απλά Υλικά.