«Τα μαθηματικά έχουν ένα σύστημα λογικής, το ΑΙ όχι»

Ο ερευνητής στο πανεπιστήμιο της Βαρσοβίας, Βαγγέλης Πρωτόπαπας, με κύριο αντικείμενο τα θεωρητικά μαθηματικά, εξηγεί και... απομυθοποιεί τα συστήματα τεχνητής νοημοσύνης

Τι είναι, άραγε, τα θεωρητικά μαθηματικά και σε τι χρησιμεύουν; Μπορεί να αποτελέσει το ΑΙ (Τεχνητή Νοημοσύνη) ένα πολύτιμο εργαλείο στις επιστήμες και, ειδικότερα, στα μαθηματικά ή θα αποδειχθεί ο δυνάστης τους; Τι μήνυμα έστειλε η Μαθηματική Ολυμπιάδα του 2025, γιατί υπάρχουν χώρες που πρωτοπορούν σε αυτόν τον τομέα (όπως η Πολωνία) και ποιες είναι οι ευκαιρίες των «φωτισμένων» μυαλών του κλάδου στην Ελλάδα;

Αυτά και άλλα ερωτήματα προσπαθήσαμε να διερευνήσουμε με τον Βαγγέλη Πρωτόπαπα, που στα 29 του χρόνια έχει ήδη πτυχίο πληροφορικής και τηλεπικοινωνιών από το Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο, μεταπτυχιακό στους αλγόριθμους λογικής και διακριτών μαθηματικών, διδακτορικό στη θεωρητική πληροφορική και πλέον εργάζεται ως μεταδιδακτορικός ερευνητής στο πανεπιστήμιο της Βαρσοβίας, με κύριο αντικείμενο τα θεωρητικά μαθηματικά. Η συζήτηση βρήκε γρήγορα τους ρυθμούς της και ο Βαγγέλης ξεδίπλωσε τις γνώσεις του όχι στην περίπλοκη – και ακατανόητη στους περισσότερους «κοινούς θνητούς» – επιστημονική γλώσσα, αλλά απλά και «λαϊκά».

«Ο κλάδος της θεωρητικής πληροφορικής είναι τεράστιος και πάει πίσω αιώνες ολόκληρους, ωστόσο τα τελευταία 100 χρόνια οι άνθρωποι δίνουν μεγάλη προσοχή σε αυτόν. Υπάρχουν εκατοντάδες πράγματα που μπορείς να κάνεις με τη θεωρητική πληροφορική και τα θεωρητικά μαθηματικά. Εγώ πριν έκανα έρευνα στη θεωρία γραφημάτων και στη συνδυαστική δομική θεωρία γραφημάτων. Αυτές οι έρευνες μπορούν να σε βοηθήσουν να βρεις πιο έξυπνους, πιο γρήγορους, πιο καλούς αλγόριθμους, γιατί γενικά στη θεωρία της πληροφορικής, ένα μεγάλο κομμάτι έχει να κάνει με την κατηγοριοποίηση των προβλημάτων. Παραδείγματος χάριν, διαλέγεις ένα σαφώς ορισμένο μαθηματικό αλγοριθμικό πρόβλημα, το οποίο έχει μία είσοδο και του δίνεις κάποιες κατευθύνσεις ώστε να μπορέσει να κατηγοριοποιηθεί», λέει ο Βαγγέλης. «Η έρευνά μου συνεχίζει να έχει αυτόν τον χαρακτήρα με το βασικό ερώτημα που προσπαθεί να απαντήσει, να επικεντρώνεται στο πώς μπορούμε να εκμεταλλευτούμε κάποια δομικά χαρακτηριστικά, ώστε να μπορέσουμε να κάνουμε καλύτερους αλγόριθμους. Σε μέσες άκρες αυτό που κάνει και το Machine Learning σήμερα με την τεχνητή νοημοσύνη».

Για το ΑΙ τα ερωτήματα ήταν πολλά και ένα-ένα ξεδιπλώθηκαν στη συζήτησή μας. «Ο κόσμος είναι λίγο μπερδεμένος με το τι σημαίνει ακριβώς και τι κάνουν αυτά τα μοντέλα που έχουμε σήμερα στα χέρια μας, όπως το Chat GPT, το Gemini και άλλα παρόμοια εργαλεία. Νομίζω ο κόσμος πιστεύει ότι έχουμε φτάσει σε ένα σημείο στο οποίο τα μοντέλα αυτά έχουν πραγματική νοημοσύνη, ωστόσο αυτό δεν ισχύει. Υπάρχει μια γενική σύγχυση, καθώς βλέπουμε αυτά που καταφέρνουν να κάνουν και πιστεύουμε ότι έχουν φτάσει σε σημείο που μπορούν να ανταγωνιστούν την ανθρώπινη δραστηριότητα και με την ανθρώπινη διανόηση. Για να καταρρίψουμε αυτές τις αβάσιμες – για την ώρα τουλάχιστον – θεωρίες πρέπει πρώτα να κατανοήσουμε τι ακριβώς είναι το ΑΙ», σημειώνει ο Βαγγέλης.

Αλγόριθμοι που μιμούνται

«Τι είναι, λοιπόν;», είναι το ερώτημα που έρχεται απολύτως φυσικά. Για να μου απαντήσει αβίαστα: «Δεν είναι κάτι περισσότερο από έναν αλγόριθμο, απλά όχι στην παραδοσιακή μορφή που τον βρίσκαμε τόσα χρόνια. Με αυτήν την παραδοσιακή μορφή, ένας αλγόριθμος έχει ένα πολύ ορισμένο πρόβλημα το οποίο καλείται να επιλύσει. Για την επίλυση του παρέχονται κάποια συγκεκριμένα δεδομένα. Σκοπός του δε είναι να δημιουργήσει ένα γράφημα δίνοντας λύση στο πρόβλημα. Επί της ουσίας έχω μία είσοδο, ένα πολύ σαφές πρόβλημα, παρέχω τις απαραίτητες πληροφορίες και περιμένω μία έξοδο. Το ΑΙ κάνει κάτι διαφορετικό καθώς δεν έχει στόχο να λύσει κάτι συγκεκριμένο. Έτσι, η έννοια του αλγόριθμου χάνει αυτόν τον σαφή ορισμό, παραλαμβάνει οποιοδήποτε πρόβλημα και αντλεί πληροφορίες από όλο το Διαδίκτυο ώστε να παραδώσει μια πιθανώς επιθυμητή απάντηση. Το ΑΙ είναι ένας αλγόριθμος που προσπαθεί με διάφορους τεχνικούς τρόπους να μιμηθεί κάποιες συμπεριφορές. Μέσω αυτού φτιάχνουμε αλγόριθμους που προσπαθούν να μιμηθούν τον συλλογισμό ενός ανθρώπου. Να μπορούν να συμπεράνουν, με λογική συνέχεια, όπως ο ανθρώπινος εγκέφαλος».

Υπάρχει όμως και μία ακόμη βασική διαφορά των παραδοσιακών αλγορίθμων με το ΑΙ και έχει να κάνει με το αποτέλεσμα – την απάντηση που δίνει. Να πώς το εξήγησε ο Βαγγέλης: «Δεν υπάρχει κάτι στο οποίο να μπορεί η τεχνητή νοημοσύνη να απαντήσει εγγυημένα. Βασίζεται στον τεράστιο όγκο πληροφοριών που έχει στην κατοχή της και καταλήγει σε ένα πιθανό συμπέρασμα. Επί της ουσίας, βλέπει μια σειρά από λέξεις και… μαντεύει, με βάση αυτό που της έχεις γράψει, ποια είναι η πιο πιθανή επόμενη λέξη. Για το ΑΙ, η πιθανότητα βασίζεται στην πλειοψηφία των ίδιων λέξεων που μπορεί να διαβάσει». Ξεκαθαρίζει δε ότι «η διαφορά με τους κλασικούς αλγορίθμους βασίζεται και στο ότι στα μαθηματικά υπάρχει σωστό και όχι μόνο πιθανώς σωστό. Όταν αναφερόμαστε σε σαφή και ορισμένη γνώση, εννοούμε κάτι το οποίο είναι αντικειμενικό και δεν αμφισβητείται. Αυτό γιατί τα κλασικά μαθηματικά δουλεύουν αξιωματικά, έχουν ένα σύστημα λογικής από πίσω, ενώ η τεχνητή νοημοσύνη δεν έχει. Ο τρόπος με τον οποίο λειτουργούν τα αξιωματικά συστήματα στα μαθηματικά είναι πολύ αυστηρός. Τα αξιώματα τα θεωρείς με τρόπο που ικανοποιούν κάποιες συνθήκες συνέπειας, δηλαδή δεν μπορείς, με αυτό που έχεις υποθέσει, να αποδείξεις δυο πράγματα που αντικρούονται».

Μήπως όμως τα παραπάνω διαψεύστηκαν στη φετινή Μαθηματική Ολυμπιάδα, η οποία διεξήχθη στην Αυστραλία και στη συμμετοχή μοντέλων ΑΙ όπως αυτά της Google και της OpenAI, τα οποία κατέκτησαν για πρώτη φορά χρυσό μετάλλιο; Και σε αυτό το θέμα, ο Βαγγέλης βάζει τα πράγματα σε… σειρά: «Το μοντέλο της Google που κέρδισε χρυσό μετάλλιο δεν είναι σαν αυτά που μπορεί να χρησιμοποιήσει ο καθένας καθημερινά. Εκπαιδεύεται αποκλειστικά πάνω σε πληροφορίες που του παρέχονται για την Ολυμπιάδα. Καταπιάστηκε με προβλήματα προηγούμενων και έτσι έμαθε να δουλεύει με πολύ συγκεκριμένο τρόπο, έχοντας και προκαθορισμένο σκοπό. Το αποτέλεσμα είναι, βεβαίως, φοβερό έως και τρομακτικό, λαμβάνοντας υπόψη ότι πέρυσι συμμετείχε για πρώτη φορά στον διαγωνισμό και είχε κατακτήσει το ασημένιο μετάλλιο».

«Πρέπει να ανησυχείτε και να ανησυχούμε, λοιπόν;», τον ρωτάω. «Πρέπει να καταλάβουμε πως τα παραπάνω δεν σημαίνουν ότι ξαφνικά ο άνθρωπος είναι πλέον άχρηστος. Τα μοντέλα αυτά έχουν τέτοια επιτυχία γιατί τους παρέχονται πάρα πολλά δεδομένα ώστε να εκπληρώσουν έναν και μοναδικό σκοπό. Χωρίς τον άνθρωπο, αυτό δεν θα μπορούσε να επιτευχθεί, καθώς ούτε πληροφορία θα είχε να καταναλώσει το μοντέλο ούτε κάποιον να το προγραμματίσει ώστε να υπάρχει. Μέσω της εκπαίδευσής τους δεν δημιουργούν κάποια δική τους εικόνα για τον κόσμο, δεν κάνουν world building. Είναι τελείως επιφανειακό γιατί απλά λαμβάνουν κάποια πληροφορία και αποφασίζουν πώς με βάση την κατανομή θα απαντήσουν ανάλογα. Το ΑΙ δεν διαθέτει καμία πραγματική γνώση».

Ελλάδα και Πολωνία

Στο πλαίσιο της συζήτησης για την 66η Μαθηματική Ολυμπιάδα στο τραπέζι μας βρέθηκε και η Πολωνία – στην οποία ο Βαγγέλης εργάζεται σήμερα – καθώς οι εκπρόσωποί της κατέγραψαν την καλύτερη επίδοση από όλους τους ευρωπαίους συναδέλφους τους και κατέκτησαν την 4η θέση παγκοσμίως (μαζί με την Ιαπωνία), τη στιγμή που η Ελλάδα βρίσκεται στην 34η. «Αυτό δεν σημαίνει πως οι Πολωνοί είναι πιο έξυπνοι μαθητές από τους Έλληνες», λέει ο Βαγγέλης. «Για μένα έχει να κάνει με δύο παράγοντες. Αφενός, η Πολωνία ανέκαθεν ήταν μία μαθηματική δύναμη, ακόμα και από τον Μεσαίωνα με τον Κοπέρνικο και άλλους πάρα πολύ διάσημους επιστήμονες αλλά και αργότερα, μεταξύ Α’ και Β’ Παγκοσμίου Πολέμου, όπου είδε τεράστια άνθηση στα μαθηματικά. Οι Πολωνοί έχουν μαθηματική κουλτούρα και αυτό τους αρέσει και δεν νομίζω ότι σταματάει μόνο εκεί – δεν είναι ότι παραδοσιακά ασχολούνται μόνο με τα μαθηματικά αλλά ευρύτερα με τις επιστήμες.

«Χωρίς να το γνωρίζω εμπεριστατωμένα – προσθέτει, με αρκετή δόση πικρίας για τη χώρα μας – πιστεύω επίσης ότι έχουν και πολύ καλύτερο σύστημα εκπαίδευσης από εμάς. Γνωρίζω ότι υπάρχει μέριμνα καθώς οργανώνονται πάρα πολλές δράσεις από το κράτος για μαθητές, από το δημοτικό μέχρι και το λύκειο. Υπάρχει μια ξεκάθαρη διαφορά ευκαιριών μεταξύ της Ελλάδας και της Πολωνίας. Στην Ελλάδα δεν δίνονται τα απαραίτητα στην παιδεία ώστε να “ανθίσει”, όπως γίνεται στις περισσότερες ευρωπαϊκές χώρες. Προφανώς αυτό δεν ισχύει μόνο για τους μαθητές και για τους φοιτητές, αλλά και για όλο το ακαδημαϊκό προσωπικό. Στην Πολωνία είναι υπερήφανοι για την παιδεία που έχουν και έτσι θα έπρεπε να ήταν και εδώ. Άλλωστε μόνο κέρδος και υπερηφάνεια φέρνει μια πεπαιδευμένη κοινωνία».

Δύο ώρες μετά τη συνάντησή μας, ένα ερώτημα με «πολιορκούσε» ακόμη: Πώς γίνεται ένας τόσο μικρός άνθρωπος – ηλικιακά – να έχει φτάσει τόσο ψηλά στην ακαδημαϊκή του πορεία; Ιδιαίτερα ταπεινός, ο Βαγγέλης μού είχε πει: «Υπήρχε μια σημαντική επιρροή από το σπίτι, καθώς ο πατέρας μου είναι προγραμματιστής και ασχολείται από παλιά με υπολογιστές, οπότε είχα αυτή την έκθεση από μικρός και σε έναν βαθμό ήμουν καλός σε ό,τι είχε να κάνει με τεχνολογία. Μου άρεσαν επίσης τα μαθηματικά και η φυσική πάρα πολύ, αλλά δεν μου ήταν σαφές από μικρός ότι θα ασχολούμουν με αυτά και στο μέλλον. Θεωρώ πως είναι πολύ δύσκολο ένα παιδί να πρέπει να αποφασίσει τι θέλει να κάνει εφ’ όρου ζωής από τα 17. Έτσι και εγώ διάλεξα τον δρόμο μου με βάση τα κυριότερα ερεθίσματα και τα ενδιαφέροντά μου».  Και κατέληξε, στους ίδιους χαμηλούς τόνους: «Πολλά πράγματα με ενέπνευσαν, όπως καθηγητές και διαλέξεις που μου κέντρισαν το ενδιαφέρον στη σχολή. Μετά ακολούθησε το μεταπτυχιακό, πάλι εδώ στην Αθήνα, το οποίο μάλιστα ήταν δια-ιδρυματικό, δηλαδή μεταξύ του ΕΚΠΑ και του ΕΜΠ. Εκεί μελέτησα εκτενέστερα την επιστήμη των διακριτών μαθηματικών και όταν το τελείωσα μου παρουσιάστηκε η ευκαιρία και πήγα στη Γαλλία για να κάνω το διδακτορικό μου. Έτσι λοιπόν, “βούτηξα” στον πολύ θεωρητικό κόσμο των μαθηματικών. Στην ίδια ροή συνεχίζω τις σπουδές και την έρευνά μου μέχρι σήμερα».

 

Πηγή: Τα Νέα

Καλή επιτυχία σε όλους τους μαθητές!

Ευχόμαστε ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ στους μαθητές μας που ξεκινούν τις Ενδοσχολικές, τις Απολυτήριες και τις Πανελλαδικές Εξετάσεις! Τα "θετικά μυαλά" σκέφτονται... θετικά!!!

Από τα φετινά μας διαγωνίσματα...

"Τα Μαθηματικά φαίνονται στους περισσότερους πολύπλοκα, όμως αυτό που είναι πολύπλοκο είναι ο κόσμος".

(Απόστολος Γιαννόπουλος - Διαβάστε τη συνέντευξη του Καθηγητή Μαθηματικής Ανάλυσης της ΣΕΜΦΕ, Απ. Γιαννόπουλου εδώ).

Ο δεκάλογος του δασκάλου από τον Bertrand Russell

 

Οι δέκα εντολές για έναν καλό δάσκαλο από τον, γεννημένο σαν σήμερα, Bertrand Russell (1872–1970). 

Ο Μπέρτραντ Ράσελ ήταν Βρετανός φιλόσοφος, μαθηματικός και ιστορικός. Ο "δεκάλογος" του δασκάλου δημοσιεύτηκε το Δεκέμβριο του 1951 στο The New York Times Magazine στο τέλος του άρθρου  “The best answer to fanaticism: Liberalism.”

1. Μην αισθάνεσαι απόλυτα σίγουρος για τίποτα .

2. Μην σκέπτεσαι ότι αξίζει να προχωράς κρύβοντας τις αποδείξεις, διότι είναι βέβαιο ότι οι αποδείξεις θα έρθουν στο φως .

3. Μην προσπαθείς  πότε να αποθαρρύνεις την σκέψη, αν το κάνεις  είναι σίγουρο ότι θα το πετύχεις .

4. Όταν συναντάς αντίδραση, ακόμη και αν αυτή προέρχεται  από τον σύζυγο ή από τα παιδιά σου, να πασχίζεις  να την ξεπεράσεις με επιχειρήματα και όχι μέσω της εξουσίας, διότι η νίκη η όποια εξαρτάται από την εξουσία είναι απατηλή.

5. Να μην δείχνεις σεβασμό στην αυθεντία των άλλων, διότι είναι δυνατόν να βρει κάνεις αντίθετες  αυθεντίες.

6. Να μην χρησιμοποιείς ισχύ για να φιμώσεις  απόψεις τις οποίες θεωρείς επιβλαβείς, διότι αν το κάνεις οι απόψεις θα καταπνίξουν τελικά εσένα.

7. Να μην φοβάσαι να είσαι εκκεντρικός στις απόψεις σου, διότι κάθε άποψη η οποία είναι αποδεκτή σήμερα κάποτε υπήρξε εκκεντρική.

8. Να βρίσκεις περισσότερη απόλαυση όταν ευφυείς συνομιλητές διαφωνούν μαζί σου από ότι αν παθητικοί συνομιλητές  συμφωνούν μαζί σου, διότι αν αξιολογείς την νόηση όπως θα όφειλες, η πρώτη περίπτωση υποδηλώνει μια βαθύτερη συμφωνία από την δεύτερη

9. Να είσαι ενσυνείδητα ειλικρινής, ακόμη και αν η αλήθεια είναι άβολη, διότι είναι περισσότερο άβολη όταν προσπαθείς να την αποκρύψεις .

10. Να μην ζηλεύεις την ευτυχία  εκείνων οι οποίοι βλακωδώς θεωρούν ότι ζουν στον παράδεισο, διότι μόνο ένας βλάκας θα πιστέψει ότι αυτή είναι η ευτυχία.

Μαζί με τη γυναίκα του, Ντόρα Μπλακ, ο Ράσελ ίδρυσε το 1927 στην Αγγλία ένα πειραματικό σχολείο (Beacon Hill School).

Οι μαθηματικοί κανόνες στη ζωή!

~★~★~★~★~★~

"Η ζωή είναι σαν μια μαθηματική εξίσωση... Είναι στο χέρι σου να βρεις την πιο όμορφη λύση".

Florian Armas 

"Η απολογία ενός μαθηματικού"

Ένας εκκεντρικός κορυφαίος μαθηματικός, κλεισμένος διά βίου στον περίγυρο του Cambridge, με τη δύση της καριέρας του στα 1940, αισθάνεται την ανάγκη να απολογηθεί. Πρόκειται για τον Godfrey Harold Hardy (1877-1947), γνωστό για τα επιτεύγματά του στη θεωρία αριθμών και στη μαθηματική ανάλυση. Ένας φυσικός, ο C.P. Snow, φίλος του πρώτου, προσπαθεί να φωτίσει την ιδιόρρυθμη προσωπικότητα του απολογούμενου. Χωρίς ίχνος σεμνοτυφίας, ο καθηγητής G.H. Hardy υπερασπίζεται με πάθος αλλά χωρίς φανατισμό τη μαθηματική δημιουργία. Το δοκίμιο «Η απολογία ενός μαθηματικού» είναι μία από τις πιο προσιτές αναλύσεις γύρω από τον τρόπο σκέψης ενός μαθηματικού. Αν και εκκεντρικό συχνά στις απόψεις του, με διάθεση κάποτε μελαγχολική και κάποτε δηκτική, μυεί μυημένους και αμύητους, φίλους και μη της επιστήμης, στον παράξενο κόσμο των καθαρών μαθηματικών και στις αξίες και αντιλήψεις μιας εποχής που φαίνεται ότι σβήνει. H ελληνική μετάφραση συνοδεύεται από εκτενή σχόλια που εισάγουν τον αναγνώστη στον τρόπο ζωής και τις συνήθειες του κοινωνικού και επιστημονικού περίγυρου της Aγγλίας του μεσοπολέμου.

Το βιβλίο από τις Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης

«Ο μαθηματικός δε χρειάζεται σοβαρά να φοβάται ότι το μέλλον θα τον αδικήσει. Η αθανασία είναι συχνά γελοία ή βάρβαρη: λίγοι από εμάς θα διάλεγαν να είναι ο Ωγ ή ο Ανανίας ή ο Γαλλίων. Ακόμη και στα Μαθηματικά, η ιστορία παίζει καμιά φορά περίεργες φάρσες. Ο Rolle ποζάρει στα βιβλία του Στοιχειώδους Λογισμού σαν να ήταν ένας μαθηματικός του διαμετρήματος του Νεύτωνα. Ο Farey είναι αθάνατος επειδή απέτυχε να κατανοήσει ένα θεώρημα που ο Haros είχε ήδη αποδείξει πριν από 14 χρόνια. Τα ονόματα πέντε άξιων Νορβηγών βρίσκονται ακόμη στον Βίο του Abel, μόνο εξ αιτίας μιας ενέργειας ενσυνείδητης βλακείας που συνετελέσθη, από τυπολατρεία, εις βάρος του μεγαλύτερου άνδρα της χώρας τους. Αλλά, συνολικά, η ιστορία της επιστήμης είναι δίκαιη, και αυτό ισχύει ιδιαίτερα στα Μαθηματικά. Κανένα άλλο αντικείμενο μελέτης δεν έχει τόσο καθαρά οριοθετημένα ή ομόφωνα αποδεκτά υψηλά κριτήρια, και οι μαθηματικοί που θυμόμαστε είναι σχεδόν πάντα αυτοί που το αξίζουν. Η μαθηματική δόξα, αν μπορούσε να εξαγοραστεί, θα ήταν μια από τις πιο υγιείς και σταθερές επενδύσεις».

(G.H.Hardy - «Η απολογία ενός μαθηματικού»)

 

📖Διαβάστε εδώ περισσότερες όμορφες ρήσεις του Hardy.

Καλή σχολική χρονιά!

Έργα μαθηματικής τέχνης από μαθητές του 1ου Γενικού Λυκείου Καλύμνου 

 “Τι είναι λοιπόν τα Μαθηματικά; Φαίνεται ότι έχουμε τρεις επιλογές:

– Τα Μαθηματικά είναι η ανθρωπιστική επιστήμη που υμνεί την αιώνια λογική.

– Είναι η φυσική επιστήμη που μελετά το φαινόμενο λογική.

– Είναι η τέχνη που πλάθει μορφές αιθέριας ομορφιάς από την πρώτη ύλη που ονομάζεται λογική.

Είναι όλα αυτά και άλλα. Πάνω απ’ όλα, όμως, μπορώ να σας διαβεβαιώσω ότι τα Μαθηματικά είναι ευχαρίστηση.”

– W. T. TUTTE

Καλή και δημιουργική σχολική χρονιά!!!

Καλή επιτυχία!!!

Καλή επιτυχία σε όλους τους μαθητές! Ευχόμαστε οι κόποι σας να ανταμειφθούν στο πολλαπλάσιο! 

"Amat victoria curam" ~ "Η νίκη αγαπά την προετοιμασία"

Ευτυχισμένο το 2024...!

🎇Καλή Χρονιά, με υγεία και χαμόγελα!!! Το 2024 να είναι μια ξεχωριστή χρονιά!

(Πηγή εικόνας)

🧮Σας παραπέμπω να διαβάσετε για τις ιδιότητες του αριθμού 2024, στο πολύ ενδιαφέρον ινδικό ιστολόγιο Math1089

📜"Μια επιστήμη είναι ζωντανή μόνο όσο έχει ανοιχτά προβλήματα να λύσει, αλλιώς το τέλος της είναι βέβαιο",

έλεγε ο Χίλμπερτ. Αναφερόταν στα Μαθηματικά, αλλά και η ίδια η ζωή δεν διαφέρει.

Εύχομαι, λοιπόν, τα προβλήματα που μας κρατούν σε εγρήγορση να είναι επιλύσιμα και στο τέλος να καταφέρουμε να διδαχθούμε κάτι από αυτά!

Γιατί δεν μπορούμε να διαιρέσουμε με το 0;

Στον κόσμο των Μαθηματικών, πολλά παράξενα συμπεράσματα είναι δυνατά όταν αλλάζουμε τους κανόνες. Υπάρχει όμως ένας κανόνας που είναι απαράβατος: μην διαιρέσεις με το μηδέν!

Γιατί, όμως, απαγορεύεται να διαιρούμε με το 0; Πού είναι το πρόβλημα; Κι αν ορίζαμε το πηλίκο ενός αριθμού με το μηδέν να ισούται με το άπειρο; Είναι σαν να ακούω τους μαθητές μου...

 Στο παρακάτω βίντεο που δημοσιεύτηκε από το TED-Ed υπάρχουν όλες οι απαντήσεις!

Μπορείτε να γράψετε, όπως πάντα, την άποψη ή την απορία σας στα σχόλια!

*~*~*~*~*

"Οι μαύρες τρύπες υπάρχουν εκεί όπου ο Θεός διαίρεσε με το μηδέν".

Steven Wright

Καλή επιτυχία στους μαθητές μας!

 

Έτος 2013. Ερώτηση της 8χρονης, τότε, κόρης μου, που είχε τύχει να μείνει μαζί μου εν ώρα μαθήματος: "Μαμά, τι είναι παράγωγος"; 

"Θα σου το μάθω όταν μεγαλώσεις", της υποσχέθηκα, λες και ήταν δεδομένο ότι θα είχε Μαθηματικά Προσανατολισμού στη Γ' Λυκείου ή ότι θα κάναμε μαζί την προετοιμασία των Μαθηματικών για τις Πανελλήνιες... 

10 χρόνια μετά και... εδώ είμαστε! Τώρα που το σκέφτομαι, θα μπορούσα να είχα χρησιμοποιήσει ένα απλό παράδειγμα από την καθημερινή ζωή για να εξηγήσω με πολύ-πολύ απλά λόγια την έννοια του ρυθμού μεταβολής. Πάντως, μπορώ να πω ότι την υπόσχεσή μου την τήρησα! 

Θέλω να ευχηθώ καλή επιτυχία σε όλα τα παιδιά που ολοκληρώνουν το ετήσιο ταξίδι των Πανελλαδικών Εξετάσεων! Καλή επιτυχία και στους μαθητές/μαθήτριές μου, που με κάνουν να αγαπώ το επάγγελμα που έχω επιλέξει! Να θυμάστε ότι ευτυχισμένος είναι αυτός που πάει με χαρά στη δουλειά του, όποια κι αν είναι αυτή! 

Εικαστική... παρέμβαση μαθήτριας σε διαγώνισμα

✨

Σελίδα από το βιβλίο του Charlie Mackesy, "Το αγόρι, ο τυφλοποντικας, η αλεπού και το άλογο", 2019.

✨

"Βάλε ως στόχο το φεγγάρι... ακόμη κι αν αποτύχεις, θα έχεις βρεθεί κάπου ανάμεσα στ' αστέρια!"

Οι συμβουλές του Ιπποκράτη, πατέρα της Ιατρικής, για τη μελέτη των μαθηματικών

 

Ο Ιπποκράτης (Κως, 460 π.Χ. - Λάρισα, 377 π.Χ.), πατέρας της σύγχρονης Ιατρικής, 2.500 χρόνια πριν, έγραφε στον γιο του, Θεσσαλό:

"Να μελετάς, γιε μου, τη Γεωμετρία και την Αριθμητική. Τούτο δεν θα κάνει μόνο τη ζωή σου δοξασμένη και χρήσιμη στους ανθρώπους, αλλά θα σου δώσει μεγαλύτερη οξύνοια και διορατικότητα, για να ωφεληθείς από την Ιατρική όλα όσα χρειάζονται. Πράγματι, η Γεωμετρία, όντας πολύμορφη και πολυειδής, καθώς φτάνει στο κάθε της συμπέρασμα με αποδείξεις, θα σου είναι χρήσιμη για τη θέση των οστών, τις εξαρθρώσεις, στη διάταξη των μελών, στην ανάταξη των αρθρώσεων, τη διέκπριση και τα άλλα είδη θεραπείας. Το μάθημα της Αριθμητικής, από την άλλη, θα σου φανεί χρήσιμο στις περιόδους και στις κανονικές μεταβολές των πυρετών, τις κρίσεις των αρρώστων και την ασφάλεια στις ασθένειες. Γιατί είναι πολύ σημαντικό να έχεις στην Ιατρική μια μέθοδο που να σε βοηθά να αναγνωρίζεις χωρίς κίνδυνο να πέσεις έξω από τα όρια της όξυνσης και της υποχώρησης της ασθένειας, που δεν είναι ίσα. Γι' αυτό πρέπει να αποκτήσεις τη δύναμη αυτής της γνώσης". 

Πηγή: Σακαλής, Δ. Θ. (1989) Ιπποκράτους Επιστολαί.  Ιωάννινα: Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Ανακτήθηκε από: https://olympias.lib.uoi.gr/jspui/handle/123456789/6492

Αντιλαμβάνεται, λοιπόν, κανείς, πόσο χρήσιμο "όπλο" ήταν για τον Ιπποκράτη και τους συναδέλφους του εκείνη την εποχή η γνώση των Μαθηματικών. Σήμερα, που η επιστήμη της Ιατρικής κάνει χρήση σύγχρονων τεχνολογικών μέσων βασισμένων στα Μαθηματικά, αυτή η αξία παραμένει σε ισχύ.

Καλά Χριστούγεννα!

Αν τα Χριστούγεννα σε βρίσκουν με τα αγαπημένα σου πρόσωπα, σε ένα ζεστό σπίτι, με νόστιμο φαγητό, αν έχεις σε ποιον να χαρίσεις δώρα, τότε είσαι πολύ τυχερός, γιατί περνάς καλύτερα από την πλειοψηφία των ανθρώπων σ' αυτόν τον κόσμο!
Καλά Χριστούγεννα!!!🎅🎇

Για τη μεθοδολογία στη διδασκαλία των Μαθηματικών

✅ Η μεθοδολογία απορρέει από την καλή γνώση της θεωρίας. 

✅ Η ασκησιολογία οδηγεί στη μαθηματικοφοβία. 

💬 "Αν υπήρχε μέθοδος για το πώς να πίνουμε νερό, θα πνιγόμαστε συνεχώς..." (Άλφρεντ Άντλερ) 

Από την ημερίδα Μαθηματικών την Πέμπτη 8/12/22 στη Λάρισα

Καλή επιτυχία στους μαθητές μας!

 

Η διδασκαλία των Μαθηματικών δεν αφορά απλώς μερικούς υπολογισμούς, αλλά κάτι πολύ βαθύτερο: τη μαθηματική σκέψη και τη μαθηματική λογική, η οποία μας βοηθά στην εξαγωγή ασφαλών συμπερασμάτων. Αυτό είναι που θέλω οι μαθητές μου να κρατήσουν από τα μαθήματά μας, όποια πορεία κι αν ακολουθήσουν στις σπουδές τους και στη μετέπειτα ζωή τους! Ακόμη κι αν το εκπαιδευτικό σύστημα είναι αυτό που είναι! Όπως είχε πει ο Laurent Schwartz, "αυτό που είναι σημαντικό, είναι η εμβάθυνση στις έννοιες και η αντίληψη των δεσμών μεταξύ τους. Εκεί βρίσκεται η μαθηματική ευφυΐα. Το γεγονός της γρήγορης ή αργής προόδου είναι δευτερεύον".

Καλή επιτυχία σε όλα τα παιδιά που δίνουν εξετάσεις!

ΚΑΛΗ ΧΡΟΝΙΑ!

 

Ευχές για ένα όμορφο και δημιουργικό 2022!

Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο Θεώρημα, το \(2022 = \sqrt{1050^2 + 1728^2} \) είναι το μήκος της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου με κάθετες πλευρές 1050 και 1728.

Όπως κάθε ακέραιος, έτσι και ο 2022 έχει τις δικές του, μοναδικές ιδιότητες. Σας παραπέμπω να διαβάσετε τις ιδιότητες του αριθμού 2022 στους ακόλουθους συνδέσμους:

• Στη σελίδα Number Empire αναφέρονται οι βασικές αριθμητικές και αλγεβρικές ιδιότητες του αριθμού 2022.
• Στη σελίδα Numbermatics: The Number Explorer θα βρείτε πολλές ακόμη ιδιότητες του αριθμού αυτού.
• Στη σελίδα Numbers Aplenty καταγράφονται ιδιαίτερες λεπτομέρειες, ενδιαφέρουσες από τη σκοπιά της Θεωρίας Αριθμών.

"Μια επιστήμη είναι ζωντανή μόνο όσο έχει ανοιχτά προβλήματα να λύσει, αλλιώς το τέλος της είναι βέβαιο", έλεγε ο Χίλμπερτ. Αναφερόταν στα Μαθηματικά, αλλά και η ίδια η ζωή δεν διαφέρει.

Εύχομαι, λοιπόν, τα προβλήματα που μας κρατούν σε εγρήγορση να είναι επιλύσιμα και στο τέλος να καταφέρουμε να διδαχθούμε κάτι από αυτά!

"Φονικό στη Μεγάλη Εκκλησία" του Τεύκρου Μιχαηλίδη

 

Κωνσταντινούπολη, 27 Δεκεμβρίου 537, ημέρα των εγκαινίων της Μεγάλης Εκκλησίας. Ο Ιωάννης, στενός συνεργάτης των αρχιτεκτόνων της, βρίσκεται δολοφονημένος. Όλες οι ενδείξεις οδηγούν στη Θεανώ, πρώην σπουδάστρια στην Ακαδημία του Πλάτωνος και στενή φίλη του θύματος. Ο Ευτόκιος ο Ασκαλωνίτης, ένας άνθρωπος που έχει αφιερώσει τη ζωή του στη συγκέντρωση και διάσωση των έργων του Αρχιμήδη, αναλαμβάνει να εξιχνιάσει την υπόθεση: είναι πράγματι ένοχη η νεαρή μαθηματικός, ή μήπως έχει πέσει θύμα μιας καλοστημένης συνωμοσίας;

Το βιβλίο του Τεύκρου Μιχαηλίδη από τις εκδόσεις "Πόλις"

Ιστορικά πρόσωπα, όπως η Θεοδώρα και ο Ιουστινιανός, αλλά και μυθοπλαστικοί ήρωες συναντιούνται και αλληλεπιδρούν σε αυτό το μοναδικό μυθιστόρημα για να ζωντανέψουν το κλίμα της μετάβασης από την 'Υστερη Αρχαιότητα στον πρώτο βυζαντινό χρυσό αιώνα. Η αρχαία φιλοσοφία πεθαίνει, κληροδοτώντας όμως στον καινούργιο κόσμο την κατακτημένη σοφία της: τη γεωμετρία και τη μηχανική της. Χωρίς αυτές, θαύματα όπως ο Ναός της Αγίας του Θεού Σοφίας δεν θα έπαιρναν ποτέ σάρκα και οστά. Στο προσκήνιο αυτής της ιδιόμορφης σύγκρουσης, ο μύθος εκτυλίσσεται μέσα από σκάνδαλα, καταχρήσεις, μισαλλοδοξία και, κυρίως, μέσα από την αιώνια πάλη για εξουσία. 

Το προτείνω ανεπιφύλακτα για λάτρεις -και μη- των Μαθηματικών!

"Όλοι όσοι εξάγουν συμπεράσματα δια του αδυνάτου, οδηγούνται μέσω συλλογισμών σ' ένα λανθασμένο συμπέρασμα και έτσι αποδεικνύουν την αρχική υπόθεση, καταλήγοντας σε κάτι ψευδές έχοντας υποθέσει το αντίθετο".

(Αριστοτέλης - Απόσπασμα από το βιβλίο)

Περί του αριθμού 31721 (η σημερινή ημερομηνία!)

 

31/7/21 σήμερα... 

Στην εικόνα μπορείτε να διαβάσετε τις ιδιότητες που "κρύβει" η σημερινή ημερομηνία, δηλαδή ο αριθμός 31721.

Πρόκειται για μια πραγματικά ενδιαφέρουσα και αξιόλογη δουλειά του συναδέλφου Rushik Dharaiya, τον οποίο ευχαριστώ θερμά! 

©Rushik Dharaiya Ka Pitaara

"Τα μαθηματικά είναι το αλφάβητο με το οποίο ο Θεός περιέγραψε το Σύμπαν".

Γαλιλαίος

Περί του αριθμού 29721 (η σημερινή ημερομηνία!)

29/7/21

Στην εικόνα μπορείτε να διαβάσετε τις ιδιότητες του αριθμού της σημερινής ημερομηνίας: 29721 

Πρόκειται για μια πραγματικά ενδιαφέρουσα και αξιόλογη δουλειά! 

©Rushik Dharaiya Ka Pitaara

"Πάντα κατ' αριθμόν γίνονται"

(Τα πάντα γίνονται κατά τους αριθμούς)

Πυθαγόρας

Περί του αριθμού 27721 (η σημερινή ημερομηνία!)

 

27/7/21 σήμερα...

Στην εικόνα βλέπουμε τις ιδιότητες που "κρύβονται" στη σημερινή ημερομηνία, δηλαδή κάποιες ενδιαφέρουσες ιδιότητες του αριθμού: 29721 

Πρόκειται για μια πραγματικά αξιόλογη δουλειά του συναδέλφου Rushik Dharaiya, τον οποίο ευχαριστώ θερμά! 

©Rushik Dharaiya Ka Pitaara

"Η μαθηματική γλώσσα, εκτός του ότι είναι η μοναδική γλώσσα που μπορούμε να μιλήσουμε, είναι στην πραγματικότητα η σωστή γλώσσα".

E.P. Wigner

Μια απάντηση με... μαθηματικό χιούμορ!

Ο σπουδαίος Γερμανός μαθηματικός Richard Dedekind (1831-1916) είδε με έκπληξή του δώδεκα χρόνια πριν πεθάνει ότι το "Ημερολόγιο για Μαθηματικούς" του εκδοτικού οίκου Teubner τον κατέτασσε στους θανόντες μαθηματικούς, με ημερομηνία θανάτου 4 Σεπτεμβρίου 1899! Τότε ο Dedekind, που ήταν γνωστός για το χιούμορ του, έστειλε στον εκδοτικό οίκο την παρακάτω επιστολή:

 

«Για την ημέρα του θανάτου μου, την 4η Σεπτεμβρίου, μπορεί τελικά να αποδειχθεί ότι είναι ορθή, αλλά για το έτος έχετε σίγουρα λάθος. Σύμφωνα με το προσωπικό μου ημερολόγιο, την ημέρα εκείνη ήμουν απολύτως υγιής και απολάμβανα μια απολύτως ενδιαφέρουσα συζήτηση για το "Σύστημα και Θεωρία" με τον ομοτράπεζο και αγαπητό μου φίλο Georg Cantor».