Η τελευταία διάλεξη του Gilbert Strang

Στις προπτυχιακές τους σπουδές, όχι μόνο στο Μαθηματικό, αλλά και σε πάρα πολλά τμήματα θετικών επιστημών ή μηχανικών, οι φοιτητές διδάσκονται το μάθημα της Γραμμικής Άλγεβρας.

Ο Gilbert Strang (γεν. 1934) δίδαξε Γραμμική Άλγεβρα για 61 χρόνια και εκατομμύρια άνθρωποι στον κόσμο έμαθαν από αυτόν τον σπουδαίο καθηγητή, είτε μέσω των όμορφων διαλέξεών του, ή μελετώντας τα βιβλία του. Οι βιντεοσκοπημένες διαλέξεις του είναι πολύ δημοφιλείς στο YouTube και το κανάλι MIT OpenCourseWare. Αυτή είναι η τελευταία διάλεξη που δίνει (Μάιος 2023), στο MIT της Μασαχουσέτης, σε ηλικία 88(!) ετών.

Το βιβλίο του Gilbert Strang "Γραμμική Άλγεβρα και εφαρμογές", σε μετάφραση Π. Πάμφιλου από τις Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης

Μπορείτε να παρακολουθήσετε μια πλήρη playlist διαλέξεων του Gilbert Strang πάνω σε όλη σχεδόν τη Γραμμική Άλγεβρα εδώ... 

 

GIVEAWAY #2... Κερδίστε ένα βιβλίο Μαθηματικών για τη Γ΄ Λυκείου!

Για την επανάληψη στα Μαθηματικά πριν τις Πανελλήνιες Εξετάσεις, κυκλοφόρησε από τον εξαίρετο μαθηματικό και συγγραφέα, Βασίλη Γατσινάρη, το βιβλίο "Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επαναληπτικά Θέματα". Πρόκειται για ένα βιβλίο αξιόλογο, όπως και τα προηγούμενα βιβλία του! Μπορείτε να δείτε την πλήρη δουλειά του συγγραφέα εδώ.

Λίγα λόγια για το βιβλίο από τον συγγραφέα...

"Μετά από πολύχρονη ενασχόληση με τα μαθηματικά, επειδή το σημερινό ύφος των θεμάτων εξετάσεων απαιτεί καλή γνώση όλης της ύλης μαθηματικών του λυκείου, ολοκληρώσαμε το παρόν βοήθημα στα πρότυπα των εξετάσεων. Το βιβλίο είναι χωρισμένο στα: Θέματα Α, Θέματα Β, Θέματα Γ, Θέματα Δ. Τα θέματα είναι δομημένα στο νέο πνεύμα των εξετάσεων. Εύχομαι να γίνει απαραίτητο σε κάθε υποψήφιο μαθητή".

Ένας τυχερός/τυχερή μπορεί τώρα να αποκτήσει δωρεάν ένα αντίτυπο του βιβλίου του Βασίλη Γατσινάρη, "Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επαναληπτικά Θέματα", προσφορά του συγγραφέα, μέσα από το 2ο giveaway που διοργανώνει το "εις το άπειρον"...

Για να πάρετε μέρος στην κλήρωση πρέπει και αρκεί:

1. Να είστε ακόλουθοι του blog "εις το άπειρον" (η εγγραφή γίνεται με χρήση gmail)
2. Να αφήσετε ένα σχόλιο σ' αυτή την ανάρτηση, δηλώνοντας ότι συμμετέχετε στο giveaway και γράφοντας το e-mail σας.
3. Προσοχή: αν στο σχόλιο φαίνεστε ως ανώνυμοι, φροντίστε να γράψετε το όνομά σας (δυστυχώς ανώνυμα σχόλια δεν μπορούν να ληφθούν υπόψη).

Ο διαγωνισμός λήγει την Παρασκευή 19 Μαΐου 2023 στις 23:59. Το Σάββατο 20 Μαΐου 2023 θα ανακοινωθεί στην παρούσα ανάρτηση ο τυχερός/τυχερή που θα αναδείξει η κλήρωση μέσω του random name picker από το commentpicker.com και θα ειδοποιηθεί μέσω e-mail (στο e-mail που έχει δηλώσει)! Το δώρο θα σταλεί από τον συγγραφέα στο νικητή μόλις έχω τη διεύθυνσή του. Αν δεν επικοινωνήσει εντός μιας εβδομάδας, η κλήρωση θα επαναληφθεί.

Καλή επιτυχία σε όλους!!!

____________________________

EDIT (20/5/2023): Σας ευχαριστούμε όλους/όλες για τη συμμετοχή σας! Μετά από κλήρωση των έγκυρων συμμετοχών μέσω του random name picker από το commentpicker.com, ο νικητής που κερδίζει το βιβλίο του Βασίλη Γατσινάρη, "Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου - Επαναληπτικά Θέματα" είναι ο Γιαννάκαρος Σπύρος. Συγχαρητήρια! Ευχόμαστε να είσαι πάντα τυχερός!

Το Θεμελιώδες Θεώρημα του Απειροστικού Λογισμού

Τα ολοκληρώματα έχουν κάνει αισθητή την απουσία τους στα χρόνια του covid-19. To 2020 βγήκαν από την εξεταστέα ύλη των Πανελλαδικών, αν και πολλοί τυχεροί μαθητές είχαν προλάβει να τα διδαχθούν. Φέτος όμως βγήκαν πολύ νωρίς εκτός της διδακτέας ύλης. Λίγο πριν αρχίσουν λοιπόν οι φετινές Πανελλαδικές εξετάσεις, θέλω να αποτίσω έναν μικρό φόρο τιμής σε αυτά τα όμορφα μαθηματικά αντικείμενα και να παρουσιάσω το Θεμελιώδες Θεώρημα του Απειροστικού Λογισμού, μέσα από ένα βιβλίο που, όσο και να το μελετήσεις, ποτέ δεν είναι αρκετό!

Πηγή: Απειροστικός Λογισμός II, Σ.Κ. Ντούγιας, Leader Books, 2005

Ο τύπος ⭑ είναι γνωστός ως τύπος των Newton-Leibniz και δείχνει τη σχέση που υπάρχει μεταξύ του ορισμένου και του αόριστου ολοκληρώματος. 

Με το παρακάτω πόρισμα, που είναι άμεση συνέπεια του Θεμελιώδους Θεωρήματος του Απειροστικού Λογισμού, παίρνουμε μια μέθοδο υπολογισμού του ορισμένου ολοκληρώματος.

Πηγή: Απειροστικός Λογισμός II, Σ.Κ. Ντούγιας, Leader Books, 2005

*~∞~*~∞~*~∞~*

Αφιερωμένο στους μαθητές μου.

Εύχομαι καλή επιτυχία σε όλα τα παιδιά!!!

*~∞~*~∞~*~∞~*

"Amat victoria curam" ("Η νίκη αγαπά την προετοιμασία").

Gaius Victorius Catullus (1ος αιώνας π.Χ.) 

Το 1º μας μαθηματικό GIVEAWAY!

Έφτασε η ώρα για το πρώτο επίσημο giveaway, που συνδιοργανώνεται από το blog "eis to apeiron" και τη μαθηματικό και συγγραφέα Κωνσταντίνα Πάνου! Ένας τυχερός/τυχερή μπορεί τώρα να κερδίσει ένα αντίτυπο του βιβλίου "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΑΥΡΟΛΕΞΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ" από τις Εκδόσεις Bookstars! Το βιβλίο περιέχει 19 μαθηματικά σταυρόλεξα γεωμετρίας, βασισμένα στην ύλη των Μαθηματικών Α΄, Β΄ & Γ΄ Γυμνασίου, που έχει επιμεληθεί η εξαίρετη συνάδελφος και φίλη, Κωνσταντίνα Πάνου. Τα σταυρόλεξα είναι κατανεμημένα ανά τάξη και ανά κεφάλαιο και είναι ιδανικά για μια διασκεδαστική επανάληψη της θεωρίας. Το βιβλίο δραστηριοτήτων προορίζεται για όσους αγαπούν τα Μαθηματικά και μπορείτε να το βρείτε σε διάφορα ηλεκτρονικά βιβλιοπωλεία (bookstars, bibliotopia κ.ά) αλλά και στα site eshop.gr και plus4u.gr στην τιμή των €8.10!

Λίγα λόγια για τη συγγραφέα:

• Γεννήθηκε και μεγάλωσε στο Βόλο
• Ολοκλήρωσε τις προπτυχιακές σπουδές πάνω στα Μαθηματικά στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
• Μεταπτυχιακές σπουδές στο Πανεπιστήμιο Marconi της Ιταλίας στη Διοίκηση και Οργάνωση της Εκπαίδευσης και στο Πανεπιστήμιο Αιγαίου στα Καθαρά Μαθηματικά
• Κάτοχος διπλωμάτων στην Ειδική Αγωγή
• Έχει εργαστεί σε ελληνικά φροντιστήρια και σε αμερικάνικο κολλέγιο του εξωτερικού

Η συγγραφέας χαρίζει σε έναν τυχερό/τυχερή ένα αντίτυπο του βιβλίου αυτού, μαζί με το Μαθηματικό Ημερολόγιο 2021 που έχει επιμεληθεί η ίδια!

Για να πάρετε μέρος στην κλήρωση, πρέπει και αρκεί:

1. Να είστε ακόλουθοι του blog "eis to apeiron" (η εγγραφή γίνεται με χρήση gmail).
2. Για έξτρα συμμετοχές, διπλασιάστε ή τριπλασιάστε τις πιθανότητες επιτυχίας κάνοντας like στη σελίδα "Peira Mathcourses" στο facebook, αλλά και ακολουθώντας το λογαριασμό "@peira_mathcourses" στο instagram.
3. Να αφήσετε ένα σχόλιο σε αυτή την ανάρτηση, δηλώνοντας ότι συμμετέχετε στο διαγωνισμό και αναφέροντας το e-mail σας.
4. Προσοχή, φροντίστε να γράψετε το όνομά σας πριν υποβάλετε το σχόλιο, γιατί τα ανώνυμα σχόλια δεν λαμβάνονται υπόψιν!
5. Αν διεκδικείτε έξτρα συμμετοχές μέσω facebook/instagram, μην ξεχάσετε να γράψετε επίσης και το όνομα που χρησιμοποιείτε σε facebook/instagram, ώστε να διασταυρωθούν οι συμμετοχές.

Ο διαγωνισμός λήγει την Παρασκευή 21 Μαΐου 2021 στις 12:00 τα μεσάνυχτα. Το Σάββατο 22 Μαΐου 2021 θα ανακοινωθεί στην παρούσα ανάρτηση ο τυχερός, ο οποίος θα αναδειχθεί με κλήρωση μέσω randomizer και θα ειδοποιηθεί μέσω e-mail (στο e-mail που έχει δηλώσει)! Τα δώρα θα σταλούν από τη συγγραφέα στο νικητή μόλις έχω τη διεύθυνσή του. Αν δεν επικοινωνήσει εντός μιας εβδομάδας, η κλήρωση θα επαναληφθεί.

KEEP CALM AND CROSS THE MATH!

Καλή επιτυχία σε όλους!!!

_______________________________________________________________________________

EDIT (22/5/2021): Η ώρα ανάδειξης του νικητή έφτασε! Κατόπιν κληρώσεως των έγκυρων συμμετοχών μέσω του random name picker από το commentpicker.com, ο νικητής που κερδίζει τα "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΑΥΡΟΛΕΞΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ", συνοδευόμενα από το Μαθηματικό Ημερολόγιο 2021, είναι ο Βασίλης Χαλκιόπουλος! Ευχόμαστε να είναι πάντα τυχερός και να απολαύσει τα δώρα του!!! 

Πώς προέκυψαν τα Κριτήρια Διαιρετότητας σύνθετων αριθμών;

Διαβάσαμε στα Κριτήρια Διαιρετότητας των αριθμών από το 1 ως το 18 και των αριθμών από το 19 ως το 32 πώς ελέγχουμε αν ένας αριθμός διαιρείται με καθέναν από τους αριθμούς 1 έως και 32. Για αρκετούς από αυτούς τους αριθμούς, το κριτήριο διαιρετότητας προέκυψε άμεσα και αβίαστα, καθώς από πίσω "κρύβεται" το παρακάτω θεώρημα της Θεωρίας Αριθμών, μαζί με το πόρισμά του:

Θεώρημα

Αν Μ.Κ.Δ.(b,c)=1, τότε Μ.Κ.Δ.(a,bc) = Μ.Κ.Δ.(a,b)*Μ.Κ.Δ.(a,c)

Πόρισμα
Αν οι αριθμοί b και c, με Μ.Κ.Δ.(b,c)=1, διαιρούν τον a, τότε και  το γινόμενό τους bc διαιρεί επίσης τον a.

Δηλαδή, αν ένας αριθμός a διαιρείται από δύο αριθμούς b και c οι οποίοι είναι πρώτοι μεταξύ τους, τότε διαιρείται και από το γινόμενο των b και c.

Σελίδα από το χειρόγραφο βιβλίο του Φυραρίδη Ανέστη (1998), Θεωρία Αριθμών, Πανεπιστημιακό Τυπογραφείο Ιωαννίνων (Επανέκδοση 2007)

Το παραπάνω πόρισμα γενικεύεται και για περισσότερους από δύο αριθμούς:

Αν οι ακέραιοι b₁, b₂, ... b_n είναι πρώτοι μεταξύ τους ανά δύο και ο καθένας τους διαιρεί τον a, τότε και το γινόμενό τους  

b₁b₂…b_n  

διαιρεί επίσης τον a.   


Από το παραπάνω πόρισμα προκύπτει ένα σημαντικό και εύχρηστο Κριτήριο Διαιρετότητας για σύνθετους αριθμούς. Αρκεί ο σύνθετος αριθμός να μπορεί να γραφεί ως γινόμενο δύο ή περισσότερων αριθμών που είναι πρώτοι μεταξύ τους ανά δύο.


Παραδείγματα

1. Είδαμε εδώ ότι ένας αριθμός διαιρείται με το 6 αν διαιρείται ταυτόχρονα με το 2 και το 3. Αυτό ισχύει σύμφωνα με το παραπάνω πόρισμα, αφού 6 = 2*3 και Μ.Κ.Δ.(2,3)=1.

2. Για να εξετάσουμε αν ένας αριθμός διαιρείται με το 12, αρκεί να εξετάσουμε αν διαιρείται ταυτόχρονα με το 3 και το 4. Αυτό ισχύει σύμφωνα με το παραπάνω πόρισμα, αφού 12 = 3*4 και Μ.Κ.Δ.(3,4)=1.
Προσοχή! Για να εξετάσουμε αν ένας αριθμός διαιρείται με το 12, γράφουμε το 12 ως 12 = 3*4 γιατί οι αριθμοί 3 και 4 είναι πρώτοι μεταξύ τους και όχι 12 = 2*6, αφού οι αριθμοί 2 και 6 δεν είναι πρώτοι μεταξύ τους. Για παράδειγμα, ο αριθμός 18 διαιρείται ταυτόχρονα από το 2 και από το 6. Δεν διαιρείται όμως και από το 12.

3. Είδαμε εδώ ότι ένας αριθμός διαιρείται με το 30 αν διαιρείται ταυτόχρονα με το 3 και το 10, δηλαδή αν τελειώνει σε 0 και το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 3. Αυτό επίσης βασίζεται στο ανωτέρω πόρισμα, καθώς 30=3*10 και Μ.Κ.Δ.(3,10)=1. Εναλλακτικά, θα μπορούσαμε να πούμε ότι 30=5*6 και Μ.Κ.Δ.(5,6)=1. Επομένως, για να εξετάσουμε αν ένας αριθμός διαιρείται με το 30, αρκεί να εξετάσουμε αν διαιρείται ταυτόχρονα με το 5 και το 6. Ο έλεγχος αυτός όμως θα ήταν λίγο πιο χρονοβόρος, μιας και το κριτήριο διαιρετότητας του 6 απαιτεί να ελέγξουμε αν ο αριθμός διαιρείται ταυτόχρονα με το 2 και το 3.

Και δηλαδή αυτό το πόρισμα μας έχει λύσει τα χέρια; Ισχύει για κάθε σύνθετο αριθμό;

• Για το 8, το 16, το 27 ή το 32 δεν μπορεί να εφαρμοστεί αυτή η μέθοδος, αφού κανένας τους δεν μπορεί να γραφεί ως γινόμενο δύο ή περισσότερων αριθμών που είναι πρώτοι μεταξύ τους ανά δύο. Για την εύρεση των Κριτηρίων Διαιρετότητας των αριθμών αυτών, ακολουθήθηκε άλλο μονοπάτι...