Σειρές και σύγκλιση... Μια... οπτική απόδειξη

Στα μαθηματικά, όταν λέμε πως μια σειρά συγκλίνει, αυτό με πολύ απλά λόγια σημαίνει ότι αν προσθέτουμε άπειρους αριθμούς (οι οποίοι λέγονται οι όροι της σειράς), το αποτέλεσμα "βγαίνει" πραγματικός αριθμός. Αν το αποτέλεσμα "βγαίνει" άπειρο, τότε λέμε ότι η σειρά αποκλίνει.

Για παράδειγμα, θέλουμε να υπολογίσουμε το "άπειρο άθροισμα" (δηλαδή τη σειρά) \( \frac{1}{2} \cdot \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n} = \frac{1}{4} + \frac{2}{8} + \frac{3}{16} + \frac{4}{32} + \frac{5}{64} + ...\).

 Εδώ δεν θα δούμε κανέναν υπολογισμό, αλλά μια όμορφη... οπτική "απόδειξη":

Πηγή εικόνας: Facebook | Math is visual 

2023... ευχές!

Καλή και δημιουργική χρονιά με υγεία, χαρά και επιτυχίες!

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Η Σάλπιγγα του Γαβριήλ & ένα παράδοξο!

 

Γλυπτό όπου απεικονίζεται ο Αρχάγγελος Γαβριήλ φυσώντας τη σάλπιγγά του για να αναγγείλει την Ημέρα της Κρίσης

Η Σάλπιγγα (ή κέρας) του Γαβριήλ που απεικονίζεται στο παραπάνω γλυπτό έδωσε (δικαιολογημένα) το όνομά της σε μια επιφάνεια, με την οποία ασχολήθηκε διεξοδικά ο Evangelista Torricelli (1608-1647), μαθητής του Γαλιλαίου, προσπαθώντας να λύσει ένα παράδοξο. Η λέξη "παράδοξο" σημαίνει ότι αν επιχειρήσουμε να χρησιμοποιήσουμε τη διαίσθησή μας για να το ερμηνεύσουμε, αυτό φαίνεται παράλογο. Στον φυσικό κόσμο ίσως και να είναι όντως αδύνατο να συμβεί. Όμως, μαθηματικά, όλα είναι σωστά! Και δεν μπορείς να φέρεις αντίρρηση στα μαθηματικά...

Lady Lindsay Blanche (1844-1912) - "Angel Playing a Flageolet"

Τα βιβλία γράφουν...

Η Σάλπιγγα του Γαβριήλ (Gabriel's horn, ή Torricelli's trumpet) είναι μια επιφάνεια εκ περιστροφής που προκύπτει αν πάρουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης  \(y=\frac{1}{x} \), με \( x \geq 1\) και την περιστρέψουμε στις τρεις διαστάσεις γύρω από τον άξονα των \(x\).

Περισσότερα γύρω από τις επιφάνειες εκ περιστροφής, μπορείτε να διαβάσετε εδώ...

Russell Kightley (σύγχρονος επιστημονικός γραφίστας) - "Gabriel's Horn"

Για τη συγκεκριμένη επιφάνεια, ο Torricelli παρατήρησε το 1641 το εξής παράδοξο, γνωστό πλέον και ως το παράδοξο του ελαιοχρωματιστή:

• Αρχικά υπολόγισε τον όγκο που περιέχεται από την επιφάνεια της σάλπιγγας του Γαβριήλ. Ουσιαστικά, για να βρούμε τον όγκο που περιέχεται από την επιφάνεια εκ περιστροφής, αρκεί να προσθέσουμε τα εμβαδά όλων των κύκλων της επιφάνειας. Δεδομένου ότι το εμβαδόν ενός κύκλου με ακτίνα \(r\) είναι \(A=\pi r^2\) και η ακτίνα \(r\) στη θέση \(x\) ισούται με \( r=y=\frac{1}{x} \), προκύπτει ότι 

Επομένως ο όγκος της σάλπιγγας του Γαβριήλ βρίσκεται αν υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα

Δηλαδή ο όγκος που περικλείεται από τη σάλπιγγα του Γαβριήλ είναι \( \pi\) κυβικές μονάδες.

• Μετά τον υπολογισμό του όγκου, ο Torricelli θέλησε να βρει και το εμβαδόν της επιφάνειας εκ περιστροφής. Δεδομένου ότι η περίμετρος ενός κύκλου με ακτίνα \(r\) είναι \(L=2 \pi r\) και η ακτίνα \(r\) στη θέση \(x\) ισούται με \( r=y=\frac{1}{x} \), προκύπτει τελικά το επιφανειακό ολοκλήρωμα 

Δηλαδή το εμβαδόν της επιφάνειας είναι άπειρο! Με άλλα λόγια, έχουμε περιστρέψει μια άπειρη περιοχή γύρω από μια ευθεία και πήραμε έναν πεπερασμένο όγκο! Το παράδοξο του ελαιοχρωματιστή, λοιπόν, μας λέει ότι μπορούμε να γεμίσουμε τη σάλπιγγα του Γαβριήλ με \( \pi \simeq 3,14\) κυβικές μονάδες χρώματος, αλλά δεν υπάρχει αρκετή μπογιά στον κόσμο για να χρωματίσουμε το εξωτερικό της!

Να σημειώσουμε ότι ο Evangelista Torricelli δεν έκανε τους υπολογισμούς του με τη χρήση ολοκληρωμάτων, αφού ο ολοκληρωτικός λογισμός δεν είχε ακόμη επινοηθεί. Στην πραγματικότητα, χρησιμοποίησε μια τεχνική που ονομάζεται μέθοδος του Cavalieri. Αλλά δεν μπορούσε να βγάλει άκρη! Πώς είναι δυνατόν μια επιφάνεια με άπειρο εμβαδόν να περικλείει έναν πεπερασμένο όγκο;

"Gabriel's Horn"

Πού οφείλεται λοιπόν το παράδοξο αυτό; Έχετε στο νου σας ότι εδώ κάνουμε Μαθηματικά, όχι Φυσική ή άλλες επιστήμες που επιχειρούν να εξηγήσουν το σύμπαν... Η απάντηση είναι πως δεν είναι έγκυρο να υποθέσουμε ότι μπορούμε να εκτελέσουμε διαδικασίες μόνο και μόνο επειδή αυτές συσχετίζονται με πεπερασμένα μεγέθη. H σάλπιγγα του Γαβριήλ είναι μια άπειρη επιφάνεια. Έτσι, είναι δεκτό ότι δεν μπορούμε να βάψουμε την επιφάνεια αυτή, επειδή δεν έχουμε άπειρη μπογιά. Όμως είναι λάθος να συμπεράνουμε ότι μπορούμε να γεμίσουμε το εσωτερικό της, απλώς επειδή υπάρχει η συνολική ποσότητα χρώματος που απαιτείται. Η διαδικασία γεμίσματος δεν θα μπορούσε να γίνει σε πεπερασμένο χρόνο, αφού πρόκειται για μια άπειρη επιφάνεια, δηλαδή δεν έχει τέλος...

Πηγές:

Mathemania: Gabriel's Horn

Russell Kightley

Sarah Colegrave Fine Art

That's Maths: Torricelli's Trumpet & The Painter's Paradox

Wikipedia | Gabriel's Horn

YouTube | Gabriel's Horn Paradox - Numberphile

YouTube | Gabriel's Horn (extra) - Numberphile

Το Θεμελιώδες Θεώρημα του Απειροστικού Λογισμού

Τα ολοκληρώματα έχουν κάνει αισθητή την απουσία τους στα χρόνια του covid-19. To 2020 βγήκαν από την εξεταστέα ύλη των Πανελλαδικών, αν και πολλοί τυχεροί μαθητές είχαν προλάβει να τα διδαχθούν. Φέτος όμως βγήκαν πολύ νωρίς εκτός της διδακτέας ύλης. Λίγο πριν αρχίσουν λοιπόν οι φετινές Πανελλαδικές εξετάσεις, θέλω να αποτίσω έναν μικρό φόρο τιμής σε αυτά τα όμορφα μαθηματικά αντικείμενα και να παρουσιάσω το Θεμελιώδες Θεώρημα του Απειροστικού Λογισμού, μέσα από ένα βιβλίο που, όσο και να το μελετήσεις, ποτέ δεν είναι αρκετό!

Πηγή: Απειροστικός Λογισμός II, Σ.Κ. Ντούγιας, Leader Books, 2005

Ο τύπος ⭑ είναι γνωστός ως τύπος των Newton-Leibniz και δείχνει τη σχέση που υπάρχει μεταξύ του ορισμένου και του αόριστου ολοκληρώματος. 

Με το παρακάτω πόρισμα, που είναι άμεση συνέπεια του Θεμελιώδους Θεωρήματος του Απειροστικού Λογισμού, παίρνουμε μια μέθοδο υπολογισμού του ορισμένου ολοκληρώματος.

Πηγή: Απειροστικός Λογισμός II, Σ.Κ. Ντούγιας, Leader Books, 2005

*~∞~*~∞~*~∞~*

Αφιερωμένο στους μαθητές μου.

Εύχομαι καλή επιτυχία σε όλα τα παιδιά!!!

*~∞~*~∞~*~∞~*

"Amat victoria curam" ("Η νίκη αγαπά την προετοιμασία").

Gaius Victorius Catullus (1ος αιώνας π.Χ.) 

Αν οι βαθμολογητές των Πανελλαδικών 2020 βαθμολογούσαν τα γραπτά των Μαθηματικών με αντιδράσεις του facebook

Αν φέτος οι βαθμολογητές των Πανελλαδικών Εξετάσεων αποφάσιζαν να μη βάλουν βαθμούς, αλλά να αξιολογήσουν τα γραπτά στα Μαθηματικά με αντιδράσεις του facebook... τα αποτελέσματα θα ήταν κάπως έτσι: 

• Σωστή απάντηση / Παράθεση σωστού αντιπαραδείγματος στη Θεωρία:

Μου αρέσει!

• Ευφυής απόδειξη του ζητούμενου:

Τέλειο!

• Υπολογισμός ορίου με Κριτήριο Παρεμβολής:

Νοιάζομαι

• Λανθασμένη παραγώγιση:

Χαχα

• Απόδειξη ανισότητας με χρήση Θεωρήματος Μέσης Τιμής και μονοτονίας:

Ουάου!

• Λάθος στην εύρεση προσήμων, με αποτέλεσμα να μην μπορεί ο μαθητής να εφαρμόσει Θεώρημα Bolzano:

Λυπάμαι...

• Ανεπίτρεπτα / Θανάσιμα λάθη:

Έλεος!

Ξενοδοχείο "Το Άπειρον"

Το 1924, ο David Hilbert εισήγαγε ένα νοητικό πείραμα που αναδεικνύει τις παράδοξες ιδιότητες του απείρου, καθιστώντας φανερό το πόσο δύσκολο είναι για το... πεπερασμένων δυνατοτήτων μυαλό των ανθρώπων να συλλάβει την έννοια του απείρου.

Φανταστείτε ότι είστε ρεσεψιονίστας στο ξενοδοχείο "Το Άπειρον", ένα ξενοδοχείο με άπειρα δωμάτια. Ένα βράδυ, και ενώ όλα τα δωμάτια είναι κατειλημμένα, ένας πελάτης μπαίνει στο ξενοδοχείο. Μπορείτε να του βρείτε δωμάτιο; 

Σύμφωνα με τον Hilbert, ο ρεσεψιονίστας μπορεί να βρει δωμάτιο στον νέο πελάτη! Πώς;

Θα ζητήσει από αυτόν που μένει στο δωμάτιο 1 να μεταφερθεί στο δωμάτιο 2.
Αυτός που μένει στο δωμάτιο 2 θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 3.
Αυτός που μένει στο δωμάτιο 3 θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 4 κ.ο.κ.
...
Αυτός που μένει στο δωμάτιο ν θα μεταφερθεί στο δωμάτιο ν+1.
Έτσι όλοι οι πελάτες έχουν βολευτεί και το δωμάτιο 1 είναι ελεύθερο για τον νέο πελάτη.

Το επόμενο βράδυ, και ενώ όλα τα δωμάτια είναι ακόμη κατειλημμένα, φτάνει στο ξενοδοχείο "Το Άπειρον" ένα λεωφορείο με 50 επιβάτες, που θέλουν να διανυκτερεύσουν στο ξενοδοχείο. Τι θα κάνει ο ρεσεψιονίστας;

Θα ζητήσει από αυτόν που μένει στο δωμάτιο 1 να μεταφερθεί στο δωμάτιο 51.

Αυτός που μένει στο δωμάτιο 2 θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 52 κ.ο.κ.
...
Αυτός που μένει στο δωμάτιο ν θα μεταφερθεί στο δωμάτιο ν+50.
Έτσι θα μείνουν ελεύθερα τα 50 πρώτα δωμάτια.


Αφού υπάρχουν άπειρα δωμάτια, υπάρχουν πάντα δωμάτια για νέους φιλοξενούμενους. Αλλά το επόμενο βράδυ, και ενώ όλα τα δωμάτια είναι ακόμη κατειλημμένα, φτάνει στο ξενοδοχείο "Το Άπειρο" ένα λεωφορείο με άπειρους επιβάτες, που θέλουν να διανυκτερεύσουν στο ξενοδοχείο. Ο ρεσεψιονίστας τα χάνει.

Ο Hilbert προτείνει τώρα το εξής:
Αυτός που μένει στο δωμάτιο 1 θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 2.
Αυτός που μένει στο δωμάτιο 2 θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 4.
Αυτός που μένει στο δωμάτιο 3 θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 6 κ.ο.κ.
...

Αυτός που μένει στο δωμάτιο ν θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 2ν.

Έτσι, οι άπειροι ένοικοι του ξενοδοχείου γεμίζουν μόνο τα δωμάτια με άρτιο αριθμό (που είναι άπειρα σε πλήθος), ενώ τα δωμάτια με περιττό αριθμό (επίσης άπειρα) μένουν ελεύθερα για τους νέους, άπειρους πελάτες.

Το κλειδί για την κατανόηση αυτού του παραδόξου είναι πως οι φυσικοί αριθμοί είναι άπειροι σε πλήθος, όπως άπειροι είναι και οι άρτιοι και περιττοί αριθμοί, οι οποίοι μαζί απαρτίζουν τους φυσικούς.


Ένα βράδυ, ενώ τα δωμάτια του ξενοδοχείου είναι ακόμη όλα κατειλημμένα, φτάνει στην είσοδο μια άπειρη ουρά με απείρως μεγάλα τουριστικά λεωφορεία, με άπειρους επιβάτες στο καθένα. Ο ρεσεψιονίστας προς στιγμήν απελπίζεται.

Ευτυχώς, ο Ευκλείδης γύρω στο 300 π.Χ. είχε αποδείξει πως υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί. Οι πρώτοι αριθμοί είναι: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ... και είναι άπειροι σε πλήθος. Έτσι, χρησιμοποιώντας τους πρώτους αριθμούς, ο ρεσεψιονίστας μπορεί πάλι να βρει δωμάτιο στους νέους πελάτες:

Ξεκινάμε με τις δυνάμεις του μικρότερου πρώτου αριθμού, του 2.
Αυτός που μένει στο δωμάτιο 1 θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 2¹ = 2.
Αυτός που μένει στο δωμάτιο 2 θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 2² = 4.
Αυτός που μένει στο δωμάτιο 3 θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 2³ = 8 κ.ο.κ.
...
Αυτός που μένει στο δωμάτιο ν θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 2^ν.

Έπειτα ο ρεσεψιονίστας φωνάζει τους επιβάτες του πρώτου λεωφορείου και τους τοποθετεί στα δωμάτια που είναι δυνάμεις του επόμενου πρώτου αριθμού, του 3.
Αυτός που καθόταν στη θέση 1 του λεωφορείου, θα μείνει στο δωμάτιο 3¹ = 3.
Αυτός που καθόταν στη θέση 2 του λεωφορείου, θα μείνει στο δωμάτιο 3² = 9 κ.ο.κ.
..
Αυτός που καθόταν στη θέση ν του λεωφορείου, θα μείνει  στο δωμάτιο 3^ν.

Για τους επιβάτες του δεύτερου λεωφορείου, θα χρησιμοποιήσουμε τις δυνάμεις του 5.

Αυτός που καθόταν στη θέση 1 του λεωφορείου, θα μείνει στο δωμάτιο 5¹ = 5.
Αυτός που καθόταν στη θέση 2 του λεωφορείου, θα μείνει στο δωμάτιο 5² = 25 κ.ο.κ.
..
Αυτός που καθόταν στη θέση ν του λεωφορείου, θα μείνει  στο δωμάτιο 5^ν.

Όμοια, οι επιβάτες του τρίτου λεωφορείου θα διαμείνουν στα δωμάτια που είναι δυνάμεις του 7.
Οι επιβάτες του επόμενου λεωφορείου θα διαμείνουν στα δωμάτια που είναι δυνάμεις του 11.
Συνεχίζουμε με τις δυνάμεις του 13, τις δυνάμεις του 17 κ.ο.κ.

Αφού καθένας από τους προηγούμενους αριθμούς είναι δύναμη με βάση έναν πρώτο αριθμό και εκθέτη έναν φυσικό αριθμό, είναι όλοι διαφορετικοί μεταξύ τους. Επομένως, δεν θα βρεθούν δύο διαφορετικοί ένοικοι στο ίδιο δωμάτιο. (Αν και πολλά δωμάτια, όπως το 1, το 6 ή το 10 θα μείνουν άδεια έτσι!!!)

Αυτό που χρειάζεται να κατανοήσουμε εδώ, είναι πως οι φυσικοί αριθμοί είναι άπειροι σε πλήθος, όπως άπειροι σε πλήθος είναι και οι πρώτοι αριθμοί, παρόλο που αποτελούν γνήσιο υποσύνολο των φυσικών. Όμως τα σύνολα των φυσικών, των πρώτων, αλλά και των αρτίων και των περιττών αριθμών, αν και άπειρα, είναι αριθμήσιμα. Αυτό σημαίνει ότι μπορεί να γίνει κάποιου είδους "καταμέτρηση" των φυσικών αριθμών. Αυτό είναι το πιο "απλό" άπειρο. Έτσι ο ρεσεψιονίστας μπορεί να διαχειριστεί τα άπειρα δωμάτια.

Αν κάποτε μείνετε στο ξενοδοχείο "Το Άπειρον", θα μπορέσετε να βγάλετε άκρη με το παράδοξο αυτό. Αλλά ίσως σας ξυπνήσει ο ρεσεψιονίστας τα ξημερώματα για να σας αλλάξει δωμάτιο...

Πηγές:

• Πανεπιστημιακές σημειώσεις "Θεωρίας Συνόλων" καθηγητή Θ.Βιδάλη, 2011
• TED Ed: The Infinite Hotel Paradox by Jeff Dekofsky
• Wikipedia: Hilbert's paradox of the Grand Hotel

Τα μαθηματικά και ο... κορωνοϊός!

Στο παρακάτω βίντεο που δημοσιεύτηκε στο YouTube από το κανάλι 3Blue1Brown, εξηγείται με πολύ κατανοητό τρόπο η εξάπλωση του νέου κορωνοϊού COVID-19 μέσω της εκθετικής συνάρτησης, της γραμμικής παλινδρόμησης και της λογιστικής (σιγμοειδούς) καμπύλης και αναλύεται πώς οι παράγοντες που επηρεάζουν την εξάπλωσή του τελικά μειώνονται.

Κλείνοντας, ο αφηγητής, έπειτα από τους μαθηματικούς υπολογισμούς συμπεραίνει: "Εάν οι άνθρωποι είναι ανήσυχοι όσο χρειάζεται, τότε θα είναι και λιγότεροι οι λόγοι ανησυχίας".

Εφαρμογές παραγώγισης συναρτήσεων για κινητά!

Οι Νέες Τεχνολογίες είναι αναπόσπαστο κομμάτι της σύγχρονης σχολικής πραγματικότητας και της καθημερινότητας των παιδιών, γενικότερα. Στο πλαίσιο του m-Learning, του εκπαιδευτικού εργαλείου  που προάγει τη μάθηση μέσω κινητών τηλεφώνων, πληθώρα μαθηματικών εφαρμογών είναι διαθέσιμη δωρεάν στο ίντερνετ και, αν χρησιμοποιηθεί σωστά, μπορεί να συνοδεύσει αποτελεσματικά τη διδασκαλία.

Για σήμερα, έχω συγκεντρώσει τις καλύτερες εφαρμογές παραγώγισης συναρτήσεων για συσκευές android και iOS. Θα πρότεινα να τις χρησιμοποιούν οι μαθητές του Λυκείου μόλις διδαχθούν την παράγωγο συνάρτησης, προς επιβεβαίωση των πράξεών τους. Και αυτό για μικρό χρονικό διάστημα, μέχρι να μάθουν να παραγωγίζουν σωστά. 

Μια αρκετά καλή δωρεάν εφαρμογή παραγώγισης συναρτήσεων είναι η "Derivatives". Λειτουργεί σε android κινητά και tablet. Μπορείτε να την κατεβάσετε δωρεάν από εδώ.

Εισάγετε τη συνάρτηση που θέλετε και η εφαρμογή εμφανίζει την παράγωγό της. Το μόνο που χρειάζεται λίγη προσοχή, είναι ο τρόπος γραφής του τύπου μιας συνάρτησης. Παρακάτω έχω παραθέσει μερικά παραδείγματα.

  

Ακόμη καλύτερη εφαρμογή είναι η "Derivatives Calculator", που όμως δεν είναι δωρεάν. Μπορείτε να την κατεβάσετε από εδώ.

Για iPhone και iPad, είναι πολύ εύχρηστη η εφαρμογή "Math Derivatives". Μπορείτε να την κατεβάσετε δωρεάν από εδώ.

Σε αντίθεση με την εφαρμογή "Derivatives" για android, η "Math Derivatives" για συσκευές iOS δεν υποστηρίζει την εισαγωγή οποιασδήποτε συνάρτησης από τον χρήστη. Περιλαμβάνει, όμως, τις παραγώγους όλων των βασικών συναρτήσεων και τους κανόνες παραγώγισης.

Ελπίζω να σας φάνηκε χρήσιμο το άρθρο! Υπάρχουν άλλες σχετικές εφαρμογές που εσείς προτιμάτε περισσότερο ή τις βρίσκετε πιο αποτελεσματικές; Γράψτε τό μου κάτω στα σχόλια!

Γρίφος: Χρωματίζοντας ένα τετράγωνο επ' άπειρον...

(Πηγή)

Διαιρούμε ένα τετράγωνο σε τέσσερα ίσα τετράγωνα και χρωματίζουμε το ένα από αυτά. Ένα από τα τρία που δεν χρωματίσαμε το ξαναδιαιρούμε σε τέσσερα ίσα τετράγωνα και χρωματίζουμε το ένα, σύμφωνα με το παραπάνω μοτίβο. 

Αν συνεχίσουμε αυτή τη διαδικασία επ' άπειρον, ποιο μέρος του αρχικού τετραγώνου θα έχει χρωματιστεί τελικά;

Τουλάχιστον μία λύση...

Το Θεώρημα του Bolzano

Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σ' ένα κλειστό διάστημα [α, β]. Αν ισχύουν τα εξής:

• η f είναι συνεχής στο [α, β] και
• f(α)⋅f(β) < 0,

τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον x₀ στο ανοιχτό διάστημα (α, β) τέτοιο, ώστε

f(x₀) = 0  

Δηλαδή το Θεώρημα Bolzano μας εξασφαλίζει ότι υπάρχει μία τουλάχιστον λύση της εξίσωσης f(x) = 0 στο ανοιχτό διάστημα (α, β).

Ο Πόε για τη μαθηματική ανάλυση

Ο Έντγκαρ Άλλαν Πόε (1809 - 1849) ήταν Αμερικανός ποιητής και πεζογράφος και, προσωπικά, ένας από τους αγαπημένους μου. Το έργο του είχε σημαντική επιρροή στην παγκόσμια λογοτεχνία, αποτελώντας θεμέλιο λίθο για την εξέλιξη της αστυνομικής λογοτεχνίας, αλλά και τη λογοτεχνία τρόμου και φαντασίας.

Στο διήγημα μυστηρίου "Οι φόνοι στην οδό Νεκροτομείου" (Murders in the Rue Morgue, 1841) διαβάζει κανείς:

"Η αναλυτική ικανότητα ενισχύεται σημαντικά με τη μελέτη των μαθηματικών και ειδικά του υψηλότερου κλάδου τους που, αδίκως πάντως, μόνο και μόνο λόγω της παλινδρομικής του λειτουργίας ονομάζεται ανάλυση. Μια πράξη υπολογισμού δεν συνιστά ανάλυση..."

1/6/2018: Παγκόσμια ημέρα του χρυσού αριθμού «φ»... (Μέρος 1º - Γνωριμία με τον αριθμό «φ»)

Τι κοινό έχουν οι ζωγραφικοί πίνακες της Αναγέννησης, το κουνουπίδι, η αναπαραγωγή των κουνελιών και μια πιστωτική κάρτα; Η απάντηση είναι ο αριθμός 1,61803398874989484..., ο "χρυσός αριθμός", ή "χρυσή αναλογία". Τα δεκαδικά του ψηφία είναι άπειρα και η ακολουθία τους δεν επαναλαμβάνεται. Μάθετε τι τον καθιστά τόσο μαγικό!

Όπως ο π (3,14) εκφράζει το πιο τέλειο γεωμετρικό σχήμα, τη σφαίρα, έτσι και ο φ (1,618) είναι ο αριθμός της «ομορφιάς». Ο μοναχός του 15^ου αιώνα Luca Pacioli, επηρεασμένος από την αντίληψη της εποχής ότι οι νέες γνώσεις της επιστήμης έπρεπε να ενταχθούν στο εκκλησιαστικό δόγμα, τον ονόμασε «Θεία Αναλογία» («Divina Proportione»). Ο Leonardo DaVinci τον ονόμασε «Χρυσό Αριθμό». Αιώνες αργότερα, ο μαθηματικός Mark Barr θα τον συμβόλιζε με το ελληνικό γράμμα φ, προς τιμήν του γλύπτη Φειδία, ο οποίος ήταν από τους πρώτους που δημιουργούσαν έργα με βάση τον αριθμό αυτό.

ΤΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ

Η αφετηρία είναι γεωμετρική. Ο Ευκλείδης στα «Στοιχεία» έδωσε τον πρώτο γραπτό ορισμό της χρυσής τομής, την οποία ονόμασε «άκρος και μέσος λόγος».

Ο Ευκλείδης παίρνει ένα ευθύγραμμο τμήμα και το διαιρεί σε δύο τμήματα. Η χρυσή τομή είναι εκείνο το σημείο που χωρίζει το ευθύγραμμο τμήμα στα δυο τμήματα a, b, έτσι ώστε  ο λόγος του αθροίσματος τους a+b προς τη μεγαλύτερη ποσότητα είναι ίσος με το λόγο της μεγαλύτερης ποσότητας προς τη μικρότερη.

Ο λόγος αυτός λέγεται «χρυσός λόγος» και σύμφωνα με τον ορισμό του Ευκλείδη, υπολογίζεται ότι έχει αριθμητική τιμή 1,618..., δηλαδή ότι το μεγαλύτερο τμήμα θα έχει πάντα 1,618... φορές μεγαλύτερο μήκος από το μικρότερο. 

ΧΡΥΣΟ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΚΑΙ ΧΡΥΣΗ ΕΛΙΚΑ

Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο λέγεται «χρυσό», όταν το πηλίκο της μεγαλύτερης προς τη μικρότερη πλευρά του ισούται με φ. 

Αυτό το ορθογώνιο έχει μια ιδιότητα που το ξεχωρίζει από όλα τα άλλα: αν αφαιρέσουμε από τη μια πλευρά το μεγαλύτερο δυνατό τετράγωνο, απομένει ένα καινούργιο ορθογώνιο, που είναι επίσης χρυσό, και αυτό μπορεί να συνεχιστεί επ’ άπειρον. 

Αν ενώσει κανείς με μια καμπύλη τις κορυφές όλων αυτών των ορθογωνίων, που είναι και χρυσές τομές, σχηματίζεται μια λογαριθμική έλικα, η «χρυσή έλικα».

Αν θέλει κανείς να δει ένα χρυσό ορθογώνιο αρκεί να κοιτάξει μια πιστωτική κάρτα, το σχήμα της οποίας είναι ακριβώς αυτό. 

ΧΡΥΣΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

Χρυσό λέγεται κάθε ισοσκελές  τρίγωνο στο οποίο ο λόγος της μεγάλης πλευράς προς τη μικρή θα είναι ίσος με φ. Κάθε ισοσκελές με γωνία κορυφής 36˚ είναι χρυσό.

ΤΟ ΣΥΜΒΟΛΟ ΤΩΝ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΩΝ

Η χρυσή αναλογία ήταν γνωστή στους Πυθαγορείους. Το σύμβολο της αδελφότητας των Πυθαγορείων ήταν το «πεντάγραμμο» ή «πεντάλφα», το αστέρι δηλαδή που σχηματίζεται από τις πέντε διαγωνίους του κανονικού πενταγώνου. Η χρυσή αναλογία εμφανίζεται στις πλευρές του αστεριού. 

Αποδεικνύεται ότι κάθε πλευρά του «πενταγράμμου» διαιρεί τις δύο άλλες σε χρυσή τομή.

Ακόμη, το πηλίκο του εμβαδού του κανονικού πενταγώνου με κορυφές τις άκρες της πεντάλφα προς το εμβαδόν του κανονικού πενταγώνου που σχηματίζεται εντός του αστεριού ισούται με φ.

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΑΝΑΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΤΩΝ ΚΟΥΝΕΛΙΩΝ

Ο Leonardo Pisano Fibonacci (1170-1240) γεννήθηκε στην Πίζα. Ο πατέρας του Leonardo, Guilielmo Bonacci, ήταν γραμματέας της Δημοκρατίας της Πίζας στη Βορειοαφρικανική πόλη Bugia. Ο Fibonacci μεγάλωσε εκεί και η εκπαίδευσή του επηρεάστηκε σημαντικά από τους Μαυριτανούς αλλά και από τα ταξίδια που έκανε αργότερα κατά μήκος της Μεσογειακής ακτής (Αίγυπτο, Συρία, Ελλάδα, Σικελία και Προβηγκία). Έτσι, μελέτησε και έμαθε τις μαθηματικές τεχνικές και τα αριθμητικά συστήματα που είχαν υιοθετηθεί σε εκείνες τις περιοχές.

Γύρω στο 1200, ο Fibonacci επέστρεψε στην Πίζα, όπου για τα επόμενα 25 χρόνια επεξεργαζόταν τις δικές του μαθηματικές συνθέσεις. Στο βιβλίο του με τίτλο "Liber Abaci",  εισήγαγε την έννοια της ακολουθίας στα Μαθηματικά της Δυτικής Ευρώπης. Σ’ έναν περίφημο, πλέον, συλλογισμό, προσπάθησε να υπολογίσει την ταχύτητα αναπαραγωγής των κουνελιών στη γη, κάτω από ιδανικές συνθήκες. Ο Fibonacci υπέθεσε ότι έχουμε 1 ζευγάρι κουνελιών, το οποίο αρχίζει να αναπαράγεται από τον πρώτο μήνα και μετά από κάθε μήνα κύησης, φέρνει στον κόσμο ένα ακόμη ζευγάρι. Κάθε νέο ζευγάρι είναι έτοιμο να τεκνοποιήσει 1 μήνα μετά τη γέννησή του, γεννά 1 μήνα μετά και συνεχίζει να αναπαράγεται με τον ίδιο ρυθμό. Πόσα ζευγάρια κουνελιών θα έχουμε στο τέλος του πρώτου χρόνου;

1. Αρχικά υπάρχει ένα ζευγάρι κουνελιών.
2. Στο τέλος του 1ου μήνα το αρχικό ζευγάρι είναι έτοιμο να ζευγαρώσει, αλλά υπάρχει μόνο αυτό.
3. Στο τέλος του 2ου μήνα έχουμε το αρχικό ζευγάρι και το πρώτο ζευγάρι παιδιών του. Συνολικά 2 ζευγάρια κουνελιών. 
4. Στο τέλος του 3ου μήνα έχουμε το αρχικό ζευγάρι, το πρώτο ζευγάρι παιδιών του, (που είναι έτοιμα κι αυτά να τεκνοποιήσουν) και ένα δεύτερο ζευγάρι παιδιών του. Συνολικά 3 ζευγάρια κουνελιών. 
5. Στο τέλος του 4ου μήνα έχουμε το αρχικό ζευγάρι, το πρώτο ζευγάρι παιδιών και το πρώτο δικό του ζευγάρι παιδιών, το δεύτερο ζευγάρι παιδιών, που είναι έτοιμα να τεκνοποιήσουν, και ένα νέο, τρίτο ζευγάρι παιδιών. Συνολικά 5 ζευγάρια κουνελιών. 

Με βάση αυτή την υπόθεση, ο Fibonacci ανακάλυψε ότι τα ζευγάρια των κουνελιών αυξάνονταν κάθε μήνα σύμφωνα με μια άπειρη ακολουθία αριθμών: 
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 114, 233, 377, 610...

Μπορείτε να εντοπίσετε το μοτίβο που κρύβεται πίσω από αυτή την αλληλουχία; 

Οι αριθμοί αυτοί ονομάστηκαν «αριθμοί Fibonacci» και αποτελούν τη λεγόμενη «Ακολουθία Fibonacci». Εκτός από τους δύο πρώτους αριθμούς που είναι το 1, κάθε αριθμός της ακολουθίας Fibonacci ισούται με το άθροισμα των δύο προηγουμένων: 

α_ν+2 = α_ν+1 + α_ν

Αν και υπάρχουν αναφορές ότι αυτή η ακολουθία είχε αναφερθεί περίπου μισό αιώνα πριν, από τους Ινδούς Gospala και Hemachandra, ο Fibonacci συνάντησε αυτή την ακολουθία μελετώντας την Μεγάλη Πυραμίδα του Χέοπα στην Αίγυπτο, η οποία και είναι χτισμένη με βάση τον αριθμό  φ.

Όμως, τι σχέση έχει η ακολουθία Fibonacci με το χρυσό αριθμό; 

Κατασκευάζουμε μια ακολουθία με τους λόγους των διαδοχικών όρων της ακολουθίας Fibonacci.

Μπορούμε να πάρουμε ένα κομπιουτεράκι και να κάνουμε τις διαιρέσεις. Θα διαπιστώσουμε πως όσο προχωράμε στην ακολουθία, το πηλίκο θα προσεγγίζει όλο και περισσότερο τον αριθμό φ.

π.χ.
5/3=1,66666666...
89/55=1,6181818...
377/233=1,618025751
987/610=1,618032787
46368/28657=1,618033988

Σε μαθηματικούς όρους, αυτό σημαίνει πως η ακολουθία των λόγων δύο διαδοχικών αριθμών Fibonacci έχει ως όριο τον αριθμό φ. Το συμπέρασμα αυτό αποδείχτηκε από τον μαθηματικό Robert Simpson το 1753, δηλαδή πεντέμιση αιώνες αργότερα από τον ορισμό της ακολουθίας από τον Fibonacci!

Εμβαθύνοντας λίγο στην Ανάλυση...

Όπως κάθε ακολουθία που προσδιορίζεται από αναδρομική σχέση, έτσι και η ακολουθία Fibonacci έχει έναν τύπο κλειστής μορφής, δηλαδή έναν γενικό τύπο που δίνει τον ν-οστό όρο. Αυτός είναι γνωστός ως τύπος του Binet:

Υπολογίζεται το όριο της ακολουθίας των λόγων δύο διαδοχικών όρων της F(n):

Παρόμοια, οι αριθμοί Fibonacci προσεγγίζουν εντυπωσιακά και τη χρυσή έλικα. Παρακάτω βλέπουμε μια κάλυψη του επιπέδου με τετράγωνα, οι πλευρές των οποίων είναι διαδοχικοί αριθμοί Fibonacci.

Ενώνουμε κάθε φορά δύο απέναντι κορυφές των τετραγώνων γράφοντας τόξα κύκλων. Σχηματίζεται η έλικα (ή σπείρα) Fibonacci, η οποία αποτελεί προσέγγιση της χρυσής έλικας. 

Η χρυσή αναλογία συνδέεται, δηλαδή, με τον πολλαπλασιασμό των κουνελιών, παρόλο που η Ακολουθία Fibonacci σχηματίστηκε ανεξάρτητα από την ευκλείδεια γεωμετρία. 

Ο φ ΚΑΙ Η ΑΛΓΕΒΡΑ

• Υπολογισμός του φ:

Για να υπολογίσουμε την τιμή του φ, ξεκινάμε από τον ορισμό:

Απλοποιώντας το αριστερό κλάσμα και αντικαθιστώντας το b/a = 1/φ, παίρνουμε

άρα,

Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη με φ, παίρνουμε: φ + 1 = φ²

επομένως προκύπτει η εξίσωση: φ² – φ – 1 = 0

Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο επίλυσης εξισώσεων 2^ου βαθμού, με διακρίνουσα, βρίσκουμε:

Επειδή το φ εκφράζει αναλογία μεταξύ θετικών ποσοτήτων, το φ είναι αναγκαστικά θετικό:

• Ιδιότητες:

1) Αν ελαττώσουμε τον φ κατά 1 μονάδα, αντιστρέφεται!

Επειδή φ = 1 + 1/φ , προκύπτει ότι 

2) Αν υψώσουμε τον φ στο τετράγωνο, αυξάνεται κατά 1 μονάδα!

Επειδή φ² = 1 + φ, παίρνουμε 

και αυτό μπορεί να συνεχιστεί επ’ άπειρον.

3) Ακόμα, για τον αριθμό φ ισχύει ότι:

• φ = 1φ
• φ² = 1φ + 1
• φ³ = 2φ + 1
• φ⁴ = 3φ + 2
• φ⁵ = 5φ + 3
• φ⁶ = 8φ + 5 …

Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι στις δυνάμεις του φ «κρύβεται» η ακολουθία Fibonacci!

Η παραπάνω έκφραση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την ανάλυση μεγάλων δυνάμεων φⁿ σε έναν γραμμικό συνδυασμό του φ και του 1. Η σχέση που προκύπτει παράγει αριθμούς Fibonacci ως γραμμικούς συντελεστές:

φⁿ =  F(n) φ + F(n-1)

4) Μια άλλη έκφραση του αριθμού φ βασισμένη μόνο στο ψηφίο του 5 είναι η παρακάτω και οφείλεται στον Erol Karazincir:

ΠΑΝΤΑΧΟΥ ΠΑΡΩΝ…

Το Σύμπαν δείχνει να τρέφει μια ιδιαίτερη αδυναμία για τον αριθμό φ με τα άπειρα δεκαδικά ψηφία. 

(Συνεχίζεται...)

Πηγές:

Περιοδικό Focus

goldennumber.net

wikipedia.org
Πανεπιστημιακές σημειώσεις "Ευκλείδεια και μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες" καθηγητή Χρ.Μπαϊκούση, 2011