Καλή και δημιουργική χρονιά με υγεία, χαρά και επιτυχίες!
Κυριακή 1 Ιανουαρίου 2023
Δευτέρα 26 Ιουλίου 2021
Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Η Σάλπιγγα του Γαβριήλ & ένα παράδοξο!
Γλυπτό όπου απεικονίζεται ο Αρχάγγελος Γαβριήλ φυσώντας τη σάλπιγγά του για να αναγγείλει την Ημέρα της Κρίσης |
Η Σάλπιγγα (ή κέρας) του Γαβριήλ που απεικονίζεται στο παραπάνω γλυπτό έδωσε (δικαιολογημένα) το όνομά της σε μια επιφάνεια, με την οποία ασχολήθηκε διεξοδικά ο Evangelista Torricelli (1608-1647), μαθητής του Γαλιλαίου, προσπαθώντας να λύσει ένα παράδοξο. Η λέξη "παράδοξο" σημαίνει ότι αν επιχειρήσουμε να χρησιμοποιήσουμε τη διαίσθησή μας για να το ερμηνεύσουμε, αυτό φαίνεται παράλογο. Στον φυσικό κόσμο ίσως και να είναι όντως αδύνατο να συμβεί. Όμως, μαθηματικά, όλα είναι σωστά! Και δεν μπορείς να φέρεις αντίρρηση στα μαθηματικά...
Lady Lindsay Blanche (1844-1912) - "Angel Playing a Flageolet" |
Η Σάλπιγγα του Γαβριήλ (Gabriel's horn, ή Torricelli's trumpet) είναι μια επιφάνεια εκ περιστροφής που προκύπτει αν πάρουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης \(y=\frac{1}{x} \), με \( x \geq 1\) και την περιστρέψουμε στις τρεις διαστάσεις γύρω από τον άξονα των \(x\).
Περισσότερα γύρω από τις επιφάνειες εκ περιστροφής, μπορείτε να διαβάσετε εδώ...
Russell Kightley (σύγχρονος επιστημονικός γραφίστας) - "Gabriel's Horn" |
Για τη συγκεκριμένη επιφάνεια, ο Torricelli παρατήρησε το 1641 το εξής παράδοξο, γνωστό πλέον και ως το παράδοξο του ελαιοχρωματιστή:
- Αρχικά υπολόγισε τον όγκο που περιέχεται από την επιφάνεια της σάλπιγγας του Γαβριήλ. Ουσιαστικά, για να βρούμε τον όγκο που περιέχεται από την επιφάνεια εκ περιστροφής, αρκεί να προσθέσουμε τα εμβαδά όλων των κύκλων της επιφάνειας. Δεδομένου ότι το εμβαδόν ενός κύκλου με ακτίνα \(r\) είναι \(A=\pi r^2\) και η ακτίνα \(r\) στη θέση \(x\) ισούται με \( r=y=\frac{1}{x} \), προκύπτει ότι
Επομένως ο όγκος της σάλπιγγας του Γαβριήλ βρίσκεται αν υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα
Δηλαδή ο όγκος που περικλείεται από τη σάλπιγγα του Γαβριήλ είναι \( \pi\) κυβικές μονάδες.
- Μετά τον υπολογισμό του όγκου, ο Torricelli θέλησε να βρει και το εμβαδόν της επιφάνειας εκ περιστροφής. Δεδομένου ότι η περίμετρος ενός κύκλου με ακτίνα \(r\) είναι \(L=2 \pi r\) και η ακτίνα \(r\) στη θέση \(x\) ισούται με \( r=y=\frac{1}{x} \), προκύπτει τελικά το επιφανειακό ολοκλήρωμα
Δηλαδή το εμβαδόν της επιφάνειας είναι άπειρο! Με άλλα λόγια, έχουμε περιστρέψει μια άπειρη περιοχή γύρω από μια ευθεία και πήραμε έναν πεπερασμένο όγκο! Το παράδοξο του ελαιοχρωματιστή, λοιπόν, μας λέει ότι μπορούμε να γεμίσουμε τη σάλπιγγα του Γαβριήλ με \( \pi \simeq 3,14\) κυβικές μονάδες χρώματος, αλλά δεν υπάρχει αρκετή μπογιά στον κόσμο για να χρωματίσουμε το εξωτερικό της!
Να σημειώσουμε ότι ο Evangelista Torricelli δεν έκανε τους υπολογισμούς του με τη χρήση ολοκληρωμάτων, αφού ο ολοκληρωτικός λογισμός δεν είχε ακόμη επινοηθεί. Στην πραγματικότητα, χρησιμοποίησε μια τεχνική που ονομάζεται μέθοδος του Cavalieri. Αλλά δεν μπορούσε να βγάλει άκρη! Πώς είναι δυνατόν μια επιφάνεια με άπειρο εμβαδόν να περικλείει έναν πεπερασμένο όγκο;
"Gabriel's Horn" |
Πού οφείλεται λοιπόν το παράδοξο αυτό; Έχετε στο νου σας ότι εδώ κάνουμε Μαθηματικά, όχι Φυσική ή άλλες επιστήμες που επιχειρούν να εξηγήσουν το σύμπαν... Η απάντηση είναι πως δεν είναι έγκυρο να υποθέσουμε ότι μπορούμε να εκτελέσουμε διαδικασίες μόνο και μόνο επειδή αυτές συσχετίζονται με πεπερασμένα μεγέθη. H σάλπιγγα του Γαβριήλ είναι μια άπειρη επιφάνεια. Έτσι, είναι δεκτό ότι δεν μπορούμε να βάψουμε την επιφάνεια αυτή, επειδή δεν έχουμε άπειρη μπογιά. Όμως είναι λάθος να συμπεράνουμε ότι μπορούμε να γεμίσουμε το εσωτερικό της, απλώς επειδή υπάρχει η συνολική ποσότητα χρώματος που απαιτείται. Η διαδικασία γεμίσματος δεν θα μπορούσε να γίνει σε πεπερασμένο χρόνο, αφού πρόκειται για μια άπειρη επιφάνεια, δηλαδή δεν έχει τέλος...
Πηγές:
That's Maths: Torricelli's Trumpet & The Painter's Paradox
Κυριακή 13 Ιουνίου 2021
Το Θεμελιώδες Θεώρημα του Απειροστικού Λογισμού
Πηγή: Απειροστικός Λογισμός II, Σ.Κ. Ντούγιας, Leader Books, 2005 |
Πηγή: Απειροστικός Λογισμός II, Σ.Κ. Ντούγιας, Leader Books, 2005 |
"Amat victoria curam" ("Η νίκη αγαπά την προετοιμασία").Gaius Victorius Catullus (1ος αιώνας π.Χ.)
Σάββατο 11 Ιουλίου 2020
Αν οι βαθμολογητές των Πανελλαδικών 2020 βαθμολογούσαν τα γραπτά των Μαθηματικών με αντιδράσεις του facebook
- Σωστή απάντηση / Παράθεση σωστού αντιπαραδείγματος στη Θεωρία:
- Ευφυής απόδειξη του ζητούμενου:
- Υπολογισμός ορίου με Κριτήριο Παρεμβολής:
- Λανθασμένη παραγώγιση:
- Απόδειξη ανισότητας με χρήση Θεωρήματος Μέσης Τιμής και μονοτονίας:
- Λάθος στην εύρεση προσήμων, με αποτέλεσμα να μην μπορεί ο μαθητής να εφαρμόσει Θεώρημα Bolzano:
- Ανεπίτρεπτα / Θανάσιμα λάθη:
Σάββατο 16 Μαΐου 2020
Ξενοδοχείο "Το Άπειρον"
Θα ζητήσει από αυτόν που μένει στο δωμάτιο 1 να μεταφερθεί στο δωμάτιο 2.
Αυτός που μένει στο δωμάτιο 2 θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 3.
Αυτός που μένει στο δωμάτιο 3 θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 4 κ.ο.κ.
...
Αυτός που μένει στο δωμάτιο ν θα μεταφερθεί στο δωμάτιο ν+1.
Έτσι όλοι οι πελάτες έχουν βολευτεί και το δωμάτιο 1 είναι ελεύθερο για τον νέο πελάτη.
Θα ζητήσει από αυτόν που μένει στο δωμάτιο 1 να μεταφερθεί στο δωμάτιο 51.
...
Αυτός που μένει στο δωμάτιο ν θα μεταφερθεί στο δωμάτιο ν+50.
Έτσι θα μείνουν ελεύθερα τα 50 πρώτα δωμάτια.
Αφού υπάρχουν άπειρα δωμάτια, υπάρχουν πάντα δωμάτια για νέους φιλοξενούμενους. Αλλά το επόμενο βράδυ, και ενώ όλα τα δωμάτια είναι ακόμη κατειλημμένα, φτάνει στο ξενοδοχείο "Το Άπειρο" ένα λεωφορείο με άπειρους επιβάτες, που θέλουν να διανυκτερεύσουν στο ξενοδοχείο. Ο ρεσεψιονίστας τα χάνει.
Ο Hilbert προτείνει τώρα το εξής:
Αυτός που μένει στο δωμάτιο 1 θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 2.
Αυτός που μένει στο δωμάτιο 2 θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 4.
Αυτός που μένει στο δωμάτιο 3 θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 6 κ.ο.κ.
...
Έτσι, οι άπειροι ένοικοι του ξενοδοχείου γεμίζουν μόνο τα δωμάτια με άρτιο αριθμό (που είναι άπειρα σε πλήθος), ενώ τα δωμάτια με περιττό αριθμό (επίσης άπειρα) μένουν ελεύθερα για τους νέους, άπειρους πελάτες.
Ένα βράδυ, ενώ τα δωμάτια του ξενοδοχείου είναι ακόμη όλα κατειλημμένα, φτάνει στην είσοδο μια άπειρη ουρά με απείρως μεγάλα τουριστικά λεωφορεία, με άπειρους επιβάτες στο καθένα. Ο ρεσεψιονίστας προς στιγμήν απελπίζεται.
Ξεκινάμε με τις δυνάμεις του μικρότερου πρώτου αριθμού, του 2.
Αυτός που μένει στο δωμάτιο 1 θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 21 = 2.
Αυτός που μένει στο δωμάτιο 2 θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 22 = 4.
Αυτός που μένει στο δωμάτιο 3 θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 23 = 8 κ.ο.κ.
...
Αυτός που μένει στο δωμάτιο ν θα μεταφερθεί στο δωμάτιο 2ν.
Έπειτα ο ρεσεψιονίστας φωνάζει τους επιβάτες του πρώτου λεωφορείου και τους τοποθετεί στα δωμάτια που είναι δυνάμεις του επόμενου πρώτου αριθμού, του 3.
Αυτός που καθόταν στη θέση 1 του λεωφορείου, θα μείνει στο δωμάτιο 31 = 3.
Αυτός που καθόταν στη θέση 2 του λεωφορείου, θα μείνει στο δωμάτιο 32 = 9 κ.ο.κ.
..
Αυτός που καθόταν στη θέση ν του λεωφορείου, θα μείνει στο δωμάτιο 3ν.
Αυτός που καθόταν στη θέση 2 του λεωφορείου, θα μείνει στο δωμάτιο 52 = 25 κ.ο.κ.
..
Αυτός που καθόταν στη θέση ν του λεωφορείου, θα μείνει στο δωμάτιο 5ν.
Οι επιβάτες του επόμενου λεωφορείου θα διαμείνουν στα δωμάτια που είναι δυνάμεις του 11.
Συνεχίζουμε με τις δυνάμεις του 13, τις δυνάμεις του 17 κ.ο.κ.
Αυτό που χρειάζεται να κατανοήσουμε εδώ, είναι πως οι φυσικοί αριθμοί είναι άπειροι σε πλήθος, όπως άπειροι σε πλήθος είναι και οι πρώτοι αριθμοί, παρόλο που αποτελούν γνήσιο υποσύνολο των φυσικών. Όμως τα σύνολα των φυσικών, των πρώτων, αλλά και των αρτίων και των περιττών αριθμών, αν και άπειρα, είναι αριθμήσιμα. Αυτό σημαίνει ότι μπορεί να γίνει κάποιου είδους "καταμέτρηση" των φυσικών αριθμών. Αυτό είναι το πιο "απλό" άπειρο. Έτσι ο ρεσεψιονίστας μπορεί να διαχειριστεί τα άπειρα δωμάτια.
Αν κάποτε μείνετε στο ξενοδοχείο "Το Άπειρον", θα μπορέσετε να βγάλετε άκρη με το παράδοξο αυτό. Αλλά ίσως σας ξυπνήσει ο ρεσεψιονίστας τα ξημερώματα για να σας αλλάξει δωμάτιο...
- Πανεπιστημιακές σημειώσεις "Θεωρίας Συνόλων" καθηγητή Θ.Βιδάλη, 2011
- TED Ed: The Infinite Hotel Paradox by Jeff Dekofsky
- Wikipedia: Hilbert's paradox of the Grand Hotel
Πέμπτη 12 Μαρτίου 2020
Τα μαθηματικά και ο... κορωνοϊός!
Τρίτη 18 Φεβρουαρίου 2020
Εφαρμογές παραγώγισης συναρτήσεων για κινητά!
Σε αντίθεση με την εφαρμογή "Derivatives" για android, η "Math Derivatives" για συσκευές iOS δεν υποστηρίζει την εισαγωγή οποιασδήποτε συνάρτησης από τον χρήστη. Περιλαμβάνει, όμως, τις παραγώγους όλων των βασικών συναρτήσεων και τους κανόνες παραγώγισης.
Ελπίζω να σας φάνηκε χρήσιμο το άρθρο! Υπάρχουν άλλες σχετικές εφαρμογές που εσείς προτιμάτε περισσότερο ή τις βρίσκετε πιο αποτελεσματικές; Γράψτε τό μου κάτω στα σχόλια!
Δευτέρα 27 Ιανουαρίου 2020
Γρίφος: Χρωματίζοντας ένα τετράγωνο επ' άπειρον...
(Πηγή) |
Τετάρτη 9 Οκτωβρίου 2019
Τουλάχιστον μία λύση...
- η f είναι συνεχής στο [α, β] και
- f(α)⋅f(β) < 0,
Παρασκευή 1 Ιουνίου 2018
1/6/2018: Παγκόσμια ημέρα του χρυσού αριθμού «φ»... (Μέρος 1º - Γνωριμία με τον αριθμό «φ»)
ΤΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ
Ο Ευκλείδης παίρνει ένα ευθύγραμμο τμήμα και το διαιρεί σε δύο τμήματα. Η χρυσή τομή είναι εκείνο το σημείο που χωρίζει το ευθύγραμμο τμήμα στα δυο τμήματα a, b, έτσι ώστε ο λόγος του αθροίσματος τους a+b προς τη μεγαλύτερη ποσότητα είναι ίσος με το λόγο της μεγαλύτερης ποσότητας προς τη μικρότερη.
ΧΡΥΣΟ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΚΑΙ ΧΡΥΣΗ ΕΛΙΚΑ
Αν ενώσει κανείς με μια καμπύλη τις κορυφές όλων αυτών των ορθογωνίων, που είναι και χρυσές τομές, σχηματίζεται μια λογαριθμική έλικα, η «χρυσή έλικα».
ΧΡΥΣΟ ΤΡΙΓΩΝΟ
ΤΟ ΣΥΜΒΟΛΟ ΤΩΝ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΩΝ
ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΑΝΑΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΤΩΝ ΚΟΥΝΕΛΙΩΝ
1. Αρχικά υπάρχει ένα ζευγάρι κουνελιών.
2. Στο τέλος του 1ου μήνα το αρχικό ζευγάρι είναι έτοιμο να ζευγαρώσει, αλλά υπάρχει μόνο αυτό.
3. Στο τέλος του 2ου μήνα έχουμε το αρχικό ζευγάρι και το πρώτο ζευγάρι παιδιών του. Συνολικά 2 ζευγάρια κουνελιών.
4. Στο τέλος του 3ου μήνα έχουμε το αρχικό ζευγάρι, το πρώτο ζευγάρι παιδιών του, (που είναι έτοιμα κι αυτά να τεκνοποιήσουν) και ένα δεύτερο ζευγάρι παιδιών του. Συνολικά 3 ζευγάρια κουνελιών.
5. Στο τέλος του 4ου μήνα έχουμε το αρχικό ζευγάρι, το πρώτο ζευγάρι παιδιών και το πρώτο δικό του ζευγάρι παιδιών, το δεύτερο ζευγάρι παιδιών, που είναι έτοιμα να τεκνοποιήσουν, και ένα νέο, τρίτο ζευγάρι παιδιών. Συνολικά 5 ζευγάρια κουνελιών.
Με βάση αυτή την υπόθεση, ο Fibonacci ανακάλυψε ότι τα ζευγάρια των κουνελιών αυξάνονταν κάθε μήνα σύμφωνα με μια άπειρη ακολουθία αριθμών:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 114, 233, 377, 610...
Μπορείτε να εντοπίσετε το μοτίβο που κρύβεται πίσω από αυτή την αλληλουχία;
Οι αριθμοί αυτοί ονομάστηκαν «αριθμοί Fibonacci» και αποτελούν τη λεγόμενη «Ακολουθία Fibonacci». Εκτός από τους δύο πρώτους αριθμούς που είναι το 1, κάθε αριθμός της ακολουθίας Fibonacci ισούται με το άθροισμα των δύο προηγουμένων:
Αν και υπάρχουν αναφορές ότι αυτή η ακολουθία είχε αναφερθεί περίπου μισό αιώνα πριν, από τους Ινδούς Gospala και Hemachandra, ο Fibonacci συνάντησε αυτή την ακολουθία μελετώντας την Μεγάλη Πυραμίδα του Χέοπα στην Αίγυπτο, η οποία και είναι χτισμένη με βάση τον αριθμό φ.
Κατασκευάζουμε μια ακολουθία με τους λόγους των διαδοχικών όρων της ακολουθίας Fibonacci.
π.χ.
5/3=1,66666666...
89/55=1,6181818...
377/233=1,618025751
987/610=1,618032787
46368/28657=1,618033988
Ο φ ΚΑΙ Η ΑΛΓΕΒΡΑ
- Υπολογισμός του φ:
- Ιδιότητες:
- φ = 1φ
- φ2 = 1φ + 1
- φ3 = 2φ + 1
- φ4 = 3φ + 2
- φ5 = 5φ + 3
- φ6 = 8φ + 5 …
4) Μια άλλη έκφραση του αριθμού φ βασισμένη μόνο στο ψηφίο του 5 είναι η παρακάτω και οφείλεται στον Erol Karazincir:
ΠΑΝΤΑΧΟΥ ΠΑΡΩΝ…
Πανεπιστημιακές σημειώσεις "Ευκλείδεια και μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες" καθηγητή Χρ.Μπαϊκούση, 2011