Σάββατο 27 Ιουνίου 2020

Τα μαθηματικά μας διδάσκουν να είμαστε ειλικρινείς...


μαθηματικά

   "Δεν μπορείτε να μάθετε μαθηματικά βλέποντας κάποιον άλλο να ασχολείται με αυτά. Μια ενεργή διαδικασία μάθησης εμπεριέχει την επίλυση προβλημάτων αυξανόμενης δυσκολίας, αν λύνετε συνεχώς προβλήματα της ίδιας πάντα δυσκολίας αυτά καταλήγουν απλώς ασκήσεις ρουτίνας. Αν ένα συγκεκριμένο πρόβλημα σας αντιστέκεται επίμονα, μπορείτε μεν να κοιτάτε το ταβάνι ή να συνοφρυώνεστε (δεν υπάρχει κανείς νόμος να το απαγορεύει), αλλά το καλύτερο που έχετε να κάνετε είναι να πάρετε  χαρτί και μολύβι και να αρχίσετε να πειραματίζεστε: προβείτε σε κάποιες εκτιμήσεις, θεωρήστε ειδικές περιπτώσεις, περιγράψτε τις ιδέες σας και ούτω καθεξής. Ο Leonard Euler είπε κάποτε: «Το μολύβι μου  μερικές φόρες κατεβάζει καλύτερες ιδέες από το κεφάλι μου».
  Για να αντιμετωπίσετε το πρόβλημα, πρέπει να συγκεντρώσετε την προσοχή σας στις συνθήκες του και στην διατύπωση του έως ότου εμφανιστεί η πρώτη αναλαμπή μιας ιδέας και η ελπίδα της επιτυχίας. Η επίλυση ενός προβλήματος δεν αποτελεί μόνο διανοητική πρόκληση αλλά και δοκιμασία της θέλησης, απαιτεί «μαχητικό πνεύμα».
  Δεν είναι απαραίτητο (ούτε καν  εφικτό) να λύσετε όλα τα γνωστά μαθηματικά προβλήματα. Πρέπει, επομένως, να διαλέξετε ό,τι θεωρείτε ευχάριστο, διδακτικό ενδιαφέρον και στα πλαίσια των δυνατοτήτων σας. Μέσα από αυτήν την διαδικασία  θα καλλιεργήσετε τα κριτήρια σας  και θα αποκτήσετε ευρύτερη μαθηματική «κουλτούρα».
  Τα μαθηματικά, έκτος των άλλων, σας διδάσκουν να είστε ειλικρινείς και με τον εαυτό σας και με τους άλλους. Όταν απαντάτε σε ένα  μαθηματικό πρόβλημα δεν είναι δυνατές οι υπεκφυγές. Και επιπλέον, η ειλικρίνεια αποτελεί απαραίτητη προϋπόθεση του συνεπούς τρόπου σκέψης. Έκτος αυτού, όταν λύνουμε προβλήματα δεν μαθαίνουμε μόνο πώς να αποδεικνύουμε αληθείς προτάσεις, αλλά και πώς να μαντεύουμε ποιες είναι οι αληθείς. Και η ικανότητα  να μαντεύουμε αποτελεί αναπόσπαστο κομμάτι της παραγωγικής σκέψης.
   Ο όμορφος κόσμος των μαθηματικών προβλημάτων αυξάνεται και πληθύνεται συνεχώς, γεγονός που αποδεικνύει ότι τα μαθηματικά είναι πράγματι μια ζωντανή επιστήμη".


V. Proizvolov



Τρίτη 23 Ιουνίου 2020

Γρίφος: Αλήθειες και ψέματα...


Ο Πέτρος λέει την αλήθεια μόνο κάθε Κυριακή, ενώ όλες τις άλλες ημέρες λέει μόνο ψέματα. Η γυναίκα του, Μαρία, λέει ψέματα την Παρασκευή και την Κυριακή, ενώ όλες τις υπόλοιπες ημέρες λέει αλήθεια.

γρίφος...


1. Μια μέρα, τηλεφωνήσαμε στη Μαρία και τη ρωτήσαμε "τι μέρα είναι σήμερα;" και εκείνη μας απάντησε: "Σήμερα είναι Παρασκευή".
Τι μέρα την τηλεφωνήσαμε;

2. Μετά από λίγες μέρες, συναντήσαμε τη Μαρία μαζί με τον Πέτρο έξω και τους ρωτήσαμε: "Τι μέρα είναι σήμερα"; Η Μαρία απάντησε: "Σήμερα είναι Σάββατο" και ο Πέτρος συμφώνησε μαζί της, απαντώντας "ναι, σήμερα είναι Σάββατο". 
Τι μέρα τους συναντήσαμε;

Τετάρτη 17 Ιουνίου 2020

"Η νίκη αγαπά την προετοιμασία"


Μία ακόμη σχολική χρονιά, ίσως λίγο πιο... περιπετειώδης από τις προηγούμενες, έφτασε στο τέλος της. Τα παιδιά είναι οι μικροί μου μεγάλοι ήρωες.

Άπειρη εξάσκηση, αυτοπεποίθηση και πίστη στον εαυτό σας... Αυτό είναι το τρίπτυχο της επιτυχίας!
Καλή επιτυχία σε όλους τους μαθητές που δίνουν Πανελλαδικές Εξετάσεις!



*~∞~*~∞~*~∞~*

"Amat victoria curam" ("Η νίκη αγαπά την προετοιμασία").
Gaius Victorius Catullus (1ος αιώνας π.Χ.) 

Πέμπτη 11 Ιουνίου 2020

Πώς να λύσουμε ένα πρόβλημα;


"Μια μεγάλη ανακάλυψη λύνει ίσως ένα μεγάλο πρόβλημα, μπορούμε να πούμε όμως ότι πίσω από τη λύση κάθε προβλήματος κρύβεται και μια μικρή ανακάλυψη. Το πρόβλημά σας μπορεί να είναι απλό. Αλλά αν προκαλεί την περιέργειά σας και ενεργοποιεί τις εφευρετικές σας ικανότητες και, αν το λύσετε μόνοι σας, τότε ίσως να δοκιμάσετε την ένταση και να απολαύσετε τον θρίαμβο της ανακάλυψης..."

Ο George Polya έφερε στο φως αγνοημένες αντιλήψεις, μοντέλα και στρατηγικές και, απευθυνόμενος ταυτόχρονα στο δάσκαλο και τον μαθητή, περιέγραψε τα στάδια επίλυσης ενός προβλήματος και έδωσε μεγάλο πλήθος μεθόδων επίλυσης προβλημάτων.




Τα 4 στάδια επίλυσης προβλήματος κατά τον Polya είναι:

1. Κατανόηση προβλήματος
Καθορίζονται τα δεδομένα, οι συνθήκες και ο άγνωστος του προβλήματος.

2. Κατάστρωση σχεδίου επίλυσης
Το στάδιο αυτό είναι ιδιαίτερα κρίσιμο, καθώς η κατάστρωση ενός σχεδίου ενδέχεται να είναι μια χρονοβόρα διαδικασία. Συχνά οι προσπάθειες μπορεί να αποτύχουν και θα χρειαστεί οι μαθητές να δοκιμάσουν αρκετά διαφορετικά σχέδια επίλυσης μέχρι να καταλήξουν σε μια αποτελεσματική μέθοδο.

3. Εφαρμογή του σχεδίου
Το στάδιο αυτό θεωρείται από τον Polya πιο εύκολο από τα προηγούμενα. Οι μαθητές χρειάζονται κυρίως υπομονή, ώστε να εφαρμόσουν σωστά το σχέδιό τους.

4. Κοιτάζοντας πίσω
Το τελευταίο στάδιο θεωρείται πολύ σημαντικό, καθώς συμβάλλει στην ικανότητα επίλυσης προβλημάτων και δεν πρέπει να παραλείπεται.



Αναστοχαστικές δράσεις των μαθητών ανά στάδιο επίλυσης προβλήματος

1.
  • Ξέρω ποιος είναι ο άγνωστος του προβλήματος;
  • Ξέρω ποια είναι τα δεδομένα και οι συνθήκες που εμπλέκονται στο πρόβλημα;

2.
  • Μπορώ να κάνω ένα σχήμα ή κάποιο σχέδιο;
  • Έχω ξαναδεί το ίδιο ή παρόμοιο ή σχετικό πρόβλημα προηγουμένως;
  • Ξέρω ένα σχετικό θεώρημα/μαθηματικό τύπο που μπορώ να χρησιμοποιήσω;
  • Θα μπορούσα να λύσω ένα ανάλογο απλούστερο πρόβλημα;

3.
  • Είναι η σωστή η πορεία μου μέχρι τώρα;
  • Πώς μπορώ να ελέγξω αν αυτό που έκανα είναι σωστό;

4.
  • Τι έμαθα λύνοντας αυτό το πρόβλημα;



Αναστοχαστικές δράσεις του εκπαιδευτικού ανά στάδιο επίλυσης προβλήματος

1.
  • Κατανόησε ο μαθητής τα δεδομένα και τα ζητούμενα του προβλήματος;
  • Μπορεί ο μαθητής να επαναδιατυπώσει το πρόβλημα με δικά του λόγια;
  • Υπάρχουν παρερμηνείες ή αδυναμίες σχετικά με το περιεχόμενο του προβλήματος;

2.
  • Έχει αναπτύξει ο μαθητής κάποιο σχέδιο;
  • Πώς μπορώ να τον συμβουλεύσω χωρίς να του δώσω την απάντηση;
  • Υπάρχουν πληροφορίες που θα μπορούσα να του συστήσω να αναζητήσει;
  • Πώς θα μπορούσα να τον βοηθήσω να κάνει συνδέσεις με ένα παρόμοιο ή σχετικό πρόβλημα;
  • Πώς θα μπορούσα να τον βοηθήσω να λάβει υπόψη του όλα τα δεδομένα αλλά και τις βασικές έννοιες που εμπλέκονται;
  • Μπορώ να τον βοηθήσω να κάνει εικασίες σχετικά με τη λύση;
  • Μπορώ να του ζητήσω να σχεδιάσει μια πορεία λύσης;

3.
  • Τι ερωτήσεις θα μπορούσα να του απευθύνω κατά την εκτέλεση του σχεδίου, ώστε να βεβαιωθώ ότι το σχέδιό του μπορεί να τον οδηγήσει στη λύση;
  • Έχει ελέγξει ο μαθητής το αποτέλεσμα που βρήκε με έναν κατάλληλο και πειστικό τρόπο;

4.
  • Πώς θα μπορούσε να χρησιμοποιήσει το αποτέλεσμα, την κεντρική ιδέα, τη μέθοδο ή τη στρατηγική για ένα μελλοντικό πρόβλημα;
  • Πώς μπορώ να κάνω το πρόβλημα πιο γενικό;
  • Πώς μπορώ να κάνω το πρόβλημα πιο ρεαλιστικό;
  • Μπορεί ο μαθητής να βρει και άλλους τρόπους λύσης;
  • Τι έμαθε ο μαθητής λύνοντας αυτό το πρόβλημα;



Μερικές από τις στρατηγικές επίλυσης προβλημάτων, σύμφωνα με τη διδασκαλία του Polya, είναι οι παρακάτω:




Στο βίντεο που ακολουθεί, που τραβήχτηκε γύρω στο 1975 με 1980, ο Polya εξηγεί στους φοιτητές τις παραπάνω στρατηγικές μέσα από την προσπάθεια επίλυσης ενός γεωμετρικού προβλήματος στον τρισδιάστατο χώρο. Μας παροτρύνει να προσπαθούμε να απλουστεύσουμε το πρόβλημα, να παρατηρούμε, να φτιάχνουμε σχήματα, να εντοπίζουμε αναλογίες, να βρίσκουμε μοτίβα και να κάνουμε αιτιολογημένες εικασίες, έπειτα να ελέγχουμε αν οι εικασίες μας είναι ορθές και αν δεν είναι να συνεχίζουμε με άλλο τρόπο... Αξίζει να το παρακολουθήσει κάθε εκπαιδευτικός που διδάσκει Μαθηματικά!




.~*~.~*~.~*~.~*~.~*~.~*~
"Διδασκαλία είναι το να δίνεις την ευκαιρία στους μαθητές να ανακαλύπτουν πράγματα μόνοι τους".
George Polya (1887-1985)
.~*~.~*~.~*~.~*~.~*~.~*~


Πηγές
Polya, G. (1998). Πώς να το λύσω; (3η έκδ.) Αθήνα: Καρδαμίτσα (Το πρωτότυπο έργο δημοσιεύθηκε το 1945).
Schoenfeld, H. (1992). Learning to think mathematically: Problem-solving, metacognition and sense making in mathematics. Handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 334-368). New York: MacMillan.

Σάββατο 6 Ιουνίου 2020

Κουίζ... 3 σε 1!


Αφού λύσετε και τα τρία κουίζ, βρείτε ποιος αριθμός πρέπει να μπει στη θέση του ερωτηματικού.

Να βρείτε τον αριθμό στη θέση του ερωτηματικού.
(Πηγή)

Περιμένω στα σχόλια τη λύση που βρήκατε!

Δευτέρα 1 Ιουνίου 2020

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Ελλειψοειδές


Τα βιβλία γράφουν...

Το ελλειψοειδές είναι μια τετραγωνική επιφάνεια, δηλαδή αλγεβρική επιφάνεια 2ου βαθμού. Είναι κλειστή και πεπερασμένη επιφάνεια, με τρία επίπεδα συμμετρίας, που είναι ανά δύο κάθετα μεταξύ τους. Στη γενική περίπτωση, κάθε επίπεδο συμμετρίας τέμνει την επιφάνεια σε έλλειψη, γεγονός που δικαιολογεί και το όνομα "ελλειψοειδές". Στην περίπτωση που ένα από τα επίπεδα συμμετρίας τέμνει την επιφάνεια κατά κύκλο, τότε η επιφάνεια λέγεται ελλειψοειδές εκ περιστροφής, δηλαδή προκύπτει από την περιστροφή μιας έλλειψης γύρω από άξονα. Ο άξονας περιστροφής του ελλειψοειδούς θα είναι ευθεία κάθετη στο επίπεδο του κύκλου και θα διέρχεται από το κέντρο του. Όταν και τα τρία επίπεδα συμμετρίας τέμνουν το ελλειψοειδές κατά κύκλους, τότε το ελλειψοειδές είναι η σφαίρα.

Το ελλειψοειδές εκ περιστροφής είναι το σχήμα της Γης, με άξονα περιστροφής τον άξονα Βορρά-Νότου και μέγιστο κύκλο τον Ισημερινό.


Το κτίριο "αβγό του δεινοσαύρου
Το κτίριο "αβγό του δεινοσαύρου", σχεδιασμένο από τον αρχιτέκτονα Kisho Kurokawa αποτελεί μέρος του Μουσείου Δεινοσαύρων στο Fukui της Ιαπωνίας. 

Το κτίριο "αβγό του δεινοσαύρου
Το "αβγό του δεινοσαύρου" έχει σχήμα ελλειψοειδούς και το όνομα που του δόθηκε είναι απόλυτα εύστοχο!

ο "Fuefukigawa Fruits Park Museum" στην Ιαπωνία, σχεδιάστηκε από τους αρχιτέκτονες Itsuko Hasegawa και Kenchiku Keikaku Kobo
Το "Fuefukigawa Fruits Park Museum" στην Ιαπωνία, σχεδιάστηκε από τους αρχιτέκτονες Itsuko Hasegawa και Kenchiku Keikaku Kobo και χτίστηκε το 1995.


.*.~.*.~.*.~.*.~.*.~.*

"Τα μοτίβα των μαθηματικών, όπως των ζωγράφων ή των ποιητών, πρέπει να είναι όμορφα. Οι ιδέες, όπως τα χρώματα και οι λέξεις, πρέπει να συνδέονται μεταξύ τους με έναν αρμονικό τρόπο".
G.H. Hardy

.*.~.*.~.*.~.*.~.*.~.*


Πηγές:
  • Θ. Κουφογιώργος, Μαθήματα Αναλυτικής Γεωμετρίας, Τυπογραφείο Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, 2004
  • E.H. Gombrich, Το Χρονικό της Τέχνης, Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, 1995
  • Wassily Kandinsky, Σημείο-Γραμμή-Επίπεδο, Εκδόσεις Δωδώνη, 2013
  • Wassily Kandinsky, Για το πνευματικό στην Τέχνη, Εκδόσεις Νεφέλη, 1981
  • H.L.C Jaffe, Η ζωγραφική στον 20ό αιώνα, Εκδόσεις Νεφέλη, 1984
  • ALOSS: Fuefukigawa Fruits Park Museum
  • Wikipedia: Ellipsoid
  • Wolfram Mathworld: Ellipsoid
  • World Architecture