Καλώς ήρθατε! Μην περιμένετε να βρείτε φυλλάδια με ασκήσεις μαθηματικών εδώ... Σκοπός του blog "εις το άπειρον" είναι να προσεγγίσει τη μαθηματική γνώση ελεύθερα και με διασκεδαστικό τρόπο, χωρίς τα όρια των σχολικών τάξεων.
Τέσσερις αθλητές, οι Α, Β, Γ και Δ έτρεξαν σε έναν αγώνα δρόμου. Μετά από κάποιο μπέρδεμα στη γραμμή τερματισμού, δεν ήταν ξεκάθαρο ποιος ήταν ο νικητής.
Γρίφος #1
Γνωρίζουμε μόνο ότι ο Δ τερμάτισε πριν τον Α, με διαφορά περισσότερες θέσεις από όσες τερμάτισε ο Β πριν τον Γ. Βρείτε τη σειρά με την οποία τερμάτισαν οι τέσσερις αθλητές.
Γρίφος #2
Γνωρίζουμε τα εξής:
Ο Δ τερμάτισε πριν από τον Α
Ο Β δεν ήταν τρίτος.
Υπήρχαν δύο αθλητές μεταξύ του Α και του Γ.
Βρείτε τη σειρά με την οποία τερμάτισαν οι τέσσερις αθλητές.
Το πλοίο "Αίολος" κάνει το δρομολόγιο Πειραιάς-Ικαρία. Στο πλοίο επιβαίνουν και τρία άτομα που έχουν τα επώνυμα Αντωνίου, Βασιλείου και Γεωργίου. Κατά σύμπτωση, ο καπετάνιος, ο μηχανικός και ο σερβιτόρος στο μπαρ του πλοίου έχουν και αυτοί τα επώνυμα Αντωνίου, Βασιλείου και Γεωργίου, όχι απαραίτητα με αυτή τη σειρά. Είναι γνωστό ότι:
1. Ο επιβάτης Αντωνίου διαμένει στον Πειραιά.
2. Ο καπετάνιος διαμένει σε νησί μεταξύ Πειραιά και Ικαρίας.
3. Ο επιβάτης με το ίδιο επώνυμο με τον καπετάνιο διαμένει στην Ικαρία.
4. Ο επιβάτης που είναι γείτονας με τον καπετάνιο κερδίζει ακριβώς τριπλάσια χρήματα το μήνα από τον καπετάνιο.
5. Ο επιβάτης Βασιλείου κερδίζει 2.800€ το μήνα.
6. Ο υπάλληλος του πλοίου με το επώνυμο Γεωργίου πρόσφατα κέρδισε τον σερβιτόρο στο τάβλι.
Έχουμε ένα καλάθι με 5 πασχαλινά αβγά και θέλουμε να τα
μοιράσουμε σε 5 παιδιά. Πώς γίνεται να πάρει 1 αβγό το κάθε παιδί και να μείνει
και 1 αβγό στο καλάθι;
Γρίφος #2
Καθώς ζυγίζετε κάθε ένα από τα πέντε πασχαλινά αβγά, το μέσο
βάρος αυξάνεται κάθε φορά κατά 1 γραμμάριο. Αν το πρώτο αβγό
ζυγίζει 50 γραμμάρια, ποιο είναι το βάρος του τελευταίου αβγού;
Σας αρέσει ο τζόγος; Με τα "Πανταζάρια-6" θα τρελάνετε τον συμπαίκτη σας...
Τα "Πανταζάρια-6" από το Μουσείο Γρίφων Μεγίστης
Τα "Πανταζάρια-6" είναι ιδιαίτερα. Πρόκειται για μη μεταβατικά ζάρια, μια εφαρμογή της Θεωρίας Πιθανοτήτων. Τα μη μεταβατικά ζάρια είναι γνωστά στο χώρο των ψυχαγωγικών μαθηματικών για το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό τους, ότι δεν είναι "δίκαια"... Χρησιμοποιήθηκαν για πρώτη φορά από τον Μπράντλεϋ Έφρον (1970) με τέσσερα ζάρια, ενώ πρόσφατα ακολούθησαν άλλες εκδόσεις με διαφορετικό αριθμό ζαριών. Περιέργως, κάνεις δεν χρησιμοποίησε έξι ζάρια που είναι πιο αποτελεσματικά και τα οποία, σε μια ριξιά, δίνουν μέσο όρο πιθανότητας νίκης πάνω από 74%. Έτσι, τα δημιούργησε ο κ. Πανταζής Χούλης στο Μουσείο Γρίφων Μεγίστης...
Στο παρακάτω βίντεο εξηγείται η ιδέα των μη μεταβατικών ζαριών:
📚Στη βιολογία και στη μικροβιολογία, ο όρος αύξηση ή ανάπτυξη αναφέρεται στον πολλαπλασιασμό (αφυλετική αναπαραγωγή) ενός μικροβιακού κυττάρου. Τα βακτήρια αναπαράγονται μέσω μιας διαδικασίας που ονομάζεται δυαδική διάσπαση ή διχοτόμηση. Ένα κύτταρο διαιρείται σε δύο κύτταρα και κάθε νέο κύτταρο είναι ίδιο με το αρχικό.
Το1 βακτήριο, λοιπόν, γίνεται 2.
Μετά από συγκεκριμένο χρονικό διάστημα (που εξαρτάται από το είδος του μικροοργανισμού και τις περιβαλλοντικές συνθήκες) το κάθε βακτήριο διαιρείται ξανά σε δύο βακτήρια. Έτσι τα 2 βακτήρια γίνονται 4.
Στη συνέχεια, αφού περάσει το ίδιο χρονικό διάστημα, τα 4 βακτήρια διχοτομούνται κι αυτά και γίνονται 8.
Με νέα διχοτόμηση, τα 8 βακτήρια γίνονται 16.
Τα 16 βακτήρια γίνονται 32.
Τα 32 βακτήρια γίνονται 64 και ούτω καθεξής.
👉Οι αριθμοί των βακτηρίων που είναι σημειωμένοι έντονα είναι οι δυνάμεις του 2.
\(1=2^0\)
\(2=2^1\)
\(4=2^2\)
\(8=2^3\)
\(16=2^4\)
\(32=2^5\)
\(64=2^6\)
\(128=2^7\)
\(256=2^8\)
\(512=2^9\)
\(1.024=2^{10}\)
και ούτω καθεξής.
ℹ️Κάθε φορά ο αριθμός στον εκθέτη δείχνει πόσες διχοτομήσεις έχουν γίνει στα βακτήρια. Γι' αυτό και αυτή η διαδικασία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση.
❓Με βάση αυτές τις γνώσεις, μπορείτε να λύσετε τους παρακάτω γρίφους-προβλήματα βιολογίας;
🥇Γρίφος #1
Ένας πληθυσμός μικροοργανισμών (αμοιβάδας) διπλασιάζεται κάθε 24 ώρες. Μέσα σε 8 ημέρες, ο πληθυσμός έχει φτάσει στα 100 εκατομμύρια. Μετά από πόσες ακόμη μέρες θα έχει φτάσει ο πληθυσμός στα 800 εκατομμύρια; (Υποθέτουμε ότι οι συνθήκες είναι ιδανικές).
Ένα βακτήριο E.coli διπλασιάζεται κάθε 20 λεπτά. Από 1 μόνο βακτήριο και αν υποθέσουμε ότι οι συνθήκες είναι ιδανικές, πόσα θα είναι τα βακτήρια μετά από 10 ώρες;
🥉Γρίφος #3
Μια βακτηριακή καλλιέργεια που ξεκίνησε από 2 βακτήρια, μέσα σε χρόνο 60 λεπτών οκταπλασίασε τον πληθυσμό της. Κάθε πόσα λεπτά αναπαράγονται τα βακτήρια που την αποτελούν;
Πηγή: Βιολογία Β΄ Γενικού Λυκείου, ΙΤΥΕ Διοφαντος, 2023 (Πρώην βιβλίο Βιολογίας Γενικής Παιδείας Γ΄ Γενικού Λυκείου, ΟΕΔΒ, 2004)
ℹ️Οι βιολόγοι, οι μικροβιολόγοι, οι επιδημιολόγοι και γενικά οι επιστήμονες υγείας χρησιμοποιούν έναν τύπο που υπολογίζει την εκθετική αύξηση των βακτηρίων:
🔬Ευχαριστώ τους βιολόγους του σχολείου μου, που έλεγξαν τις παραπάνω πληροφορίες!
Εκατό άτομα -χημικοί και αλχημιστές- συμμετείχαν σε ένα επιστημονικό συνέδριο. Τους ετέθη το εξής ερώτημα: Ποια ομάδα είναι πολυπληθέστερη σε αυτή τη συνάντηση (χωρίς να συμπεριλάβετε τον εαυτό σας), οι χημικοί ή οι αλχημιστές; Οι πρώτοι πενήντα απάντησαν ότι περισσότεροι ήταν οι αλχημιστές. Γνωρίζουμε ότι οι αλχημιστές λένε πάντα ψέματα, ενώ οι χημικοί πάντα αλήθεια.
Σε ένα σεντούκι θησαυρού
υπάρχουν 4 χάλκινα νομίσματα, 4 ασημένια νομίσματα
και 5 χρυσά νομίσματα. Όταν ο Μίδας αγγίζει τυχαία οποιοδήποτε νόμισμα
οποιουδήποτε χρώματος, αυτό εξαφανίζεται μαγικά και αντικαθίσταται από δύο νέα
νομίσματα που έχουν τα άλλα δύο χρώματα. Για παράδειγμα, αν ο Μίδας
αγγίξει ένα ασημένιο νόμισμα, αυτό μεταμορφώνεται σε ένα χάλκινο νόμισμα και
ένα χρυσό νόμισμα.
Μετά από δύο διαδοχικά τυχαία αγγίγματα του
Μίδα, ποια είναι η πιθανότητα τα χρυσά νομίσματα να εξακολουθούν να είναι
περισσότερα από οποιοδήποτε από τα άλλα δύο χρώματα;
Σημείωση: Ευχαριστώ τον φίλτατο Carlo De Grandi που μου έστειλε το γρίφο.
Κάποιος οδηγός χρειάζεται κέρματα, για να ρίξει στο μηχάνημα του parking. Ζητάει, λοιπόν, από τον περιπτερά να του ανταλλάξει ένα χαρτονόμισμα των 10€, με κέρματα του 1€ και των 50 λεπτών. Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει η ανταλλαγή, αν ο οδηγός θέλει οπωσδήποτε κέρματα και του 1€ και των 50 λεπτών;
Το blog "εις το άπειρον" εύχεται θερμά στους αναγνώστες του Καλά Χριστούγεννα και Καλές Γιορτές! Το Πανάγιο βρέφος της Βηθλεέμ να σας χαρίσει όλες τις ευλογίες Του!
Βρείτε πόσο κοστίζει η αγορά ενός Άη Βασίλη, ενός χιονάνθρωπου και ενός ταράνδου για τη χριστουγεννιάτικη διακόσμησή μας:
Στην ψαραγορά της πόλης μου, τα ψάρια προσφέρονται σε δύο μεγέθη: μεγάλα και μικρά. Σήμερα μπορείτε να αγοράσετε τρία μεγάλα ψάρια και ενα μικρό με τα ίδια χρήματα που θα δίνατε χθες για να αγοράσετε πέντε μεγάλα. Από την άλλη πλευρά, δύο μεγάλα ψάρια και ένα μικρό κοστίζουν σήμερα όσο κόστιζαν χθες τρία μεγάλα και ένα μικρό. Ποια είναι πιο οικονομικά, ένα μεγάλο και δύο μικρά ψάρια σήμερα ή πέντε μικρά ψάρια χθες;
Έχουμε 3 κουτιά, καθένα από τα οποία περιέχει 2 νομίσματα: Ένα κουτί περιέχει δύο χρυσά, ένα κουτί περιέχει δύο ασημένια και το τρίτο ένα χρυσό και ένα ασημένιο.
Επιλέξαμε ένα κουτί στην τύχη. Χωρίς να κοιτάξουμε μέσα, βγάλαμε έξω το ένα νόμισμα και αυτό ήταν ασημένιο. Αν βγάλουμε έξω και το δεύτερο νόμισμα, ποια είναι η πιθανότητα να είναι και αυτό ασημένιο;
Γρίφος #2
Έχουμε 4 κουτιά, καθένα από τα οποία περιέχει 3 νομίσματα: Ένα κουτί περιέχει τρία χρυσά, ένα κουτί περιέχει τρία ασημένια, ένα κουτί περιέχει δύο χρυσά και ένα ασημένιο και το τελευταίο ένα χρυσό και δύο ασημένια.
Επιλέξαμε ένα κουτί στην τύχη. Χωρίς να κοιτάξουμε μέσα, βγάλαμε έξω το ένα νόμισμα και αυτό ήταν ασημένιο. Αν βγάλουμε έξω και ένα δεύτερο νόμισμα από το ίδιο κουτί, ποια είναι η πιθανότητα να είναι και αυτό ασημένιο;
Γρίφος #3
Έχουμε 4 κουτιά, καθένα από τα οποία περιέχει 3 νομίσματα: Ένα κουτί περιέχει τρία χρυσά, ένα κουτί περιέχει τρία ασημένια, ένα κουτί περιέχει δύο χρυσά και ένα ασημένιο και το τελευταίο ένα χρυσό και δύο ασημένια.
Επιλέξαμε ένα κουτί στην τύχη. Χωρίς να κοιτάξουμε μέσα, βγάλαμε έξω δύο νομίσματα και ήταν και τα δύο ασημένια. Αν βγάλουμε έξω και το τρίτο νόμισμα από το κουτί, ποια είναι η πιθανότητα να είναι και αυτό ασημένιο;
Παλινδρομικοί
ή παλίνδρομοι αριθμοί είναι αυτοί που διαβάζονται το ίδιο είτε ευθέως είτε
αντίστροφα. Για παράδειγμα, οι αριθμοί 11, 363, 5225, 13931, 1234321, 20300302
είναι παλινδρομικοί. Τους παλινδρομικούς αριθμούς τους συναντάμε συχνά στα
ψυχαγωγικά μαθηματικά, με εφαρμογές στα μαγικά τετράγωνα, τους κύβους του
Ρούμπικ και σε σκακιστικά προβλήματα.
Κατασκευή παλινδρομικών αριθμών
Πώς
μπορούμε να κατασκευάσουμε τέτοιους αριθμούς; Ας επιλέξουμε έναν τυχαίο αριθμό,
για παράδειγμα το 83. Αντιστρέφουμε τη σειρά των ψηφίων, δηλαδή παίρνουμε το 38
και τον προσθέτουμε στον αρχικό μας αριθμό. Προκύπτει έτσι: 83+38=121, έχουμε δηλαδή
έναν παλινδρομικό αριθμό.
Επιλέγουμε
έναν άλλο τυχαίο αριθμό, για παράδειγμα το 67. Αντιστρέφουμε τη σειρά των
ψηφίων του, δηλαδή παίρνουμε το 76 και τον προσθέτουμε στον αρχικό μας αριθμό.
Έχουμε δηλαδή 67+76=143, που όμως δεν είναι παλινδρομικός. Τότε επαναλαμβάνουμε
την ίδια διαδικασία κι έχουμε 143+341=484. Προέκυψε, δηλαδή, ένας παλινδρομικός
αριθμός.
Η
ιδιότητα αυτή που έχουν οι αριθμοί, να καταλήγουν σε παλινδρομικούς μετά από
μερικές προσθέσεις με τον αντεστραμμένο εαυτό τους φαίνεται να ισχύει για
όλους... Υπάρχουν όμως μερικοί αριθμοί για τους οποίους ακόμα δεν έχουμε
καταλήξει σε παλίνδρομο παράγωγό τους. Ο μικρότερος από αυτούς, είναι το 196.
Κατόπιν πολλών πράξεων, φτάσαμε σε αριθμό με 263.000.000 ψηφία, ο οποίος όμως
συνέχιζε να μην είναι παλινδρομικός! Για αριθμούς μικρότερους του 10.000
απαιτούνται το πολύ 24 προσθέσεις και το ρεκόρ αυτό κατέχει ο αριθμός 89.
💥Μπορείτε να υπολογίσετε πόσοι είναι οι τετραψήφιοι παλινδρομικοί αριθμοί;
Ο πρώτος αριθμός της… κολάσεως
Ο Clifford A. Pickover,
διάσημος Αμερικανός συγγραφέας και αρθρογράφος, ερευνητής της IBM για πολλά χρόνια,
έχει ασχοληθεί ιδιαίτερα με τους αριθμούς και την γοητεία που ασκούν στους
ανθρώπους. Έχει συγγράψει δεκάδες βιβλία με ποικίλα θέματα, από τα
μαθηματικά, τη φυσική, τους υπολογιστές και την ιατρική, μέχρι τις τέχνες, τους γρίφους και το θάνατο. Στόχος των
βιβλίων του, που έχουν μεταφραστεί σε δεκάδες γλώσσες, είναι, όπως λέει ο
ίδιος, η έκθεση σε ένα ευρύ κοινό των θαυμάτων της επιστήμης και των
μαθηματικών, χρησιμοποιώντας όμως «παιχνιδιάρικες» έννοιες που θα τραβήξουν το
ενδιαφέρον του κόσμου.
Ο ίδιος «βάφτισε» και έναν παλινδρομικό πρώτο αριθμό, τον 1.000.000.000.000.066.600.000.000.000.001 (\(10^{30} + 666 \cdot 10^{14} + 1\)), ο
οποίος ανακαλύφθηκε από τον μαθηματικό Harvey Dubner, γνωστό για την συμβολή
του στην πολύ δύσκολη διαδικασία εύρεσης μεγάλων πρώτων αριθμών. Ο
συγκεκριμένος αυτός αριθμός έχει πολλές ιδιότητες και ως πρώτος, αλλά και ως
παλινδρομικός. Αυτό, όμως, που κέντρισε το ενδιαφέρον στον Pickover είναι ότι
έχει 13 μηδενικά αριστερά και 13 δεξιά του 666. Επιπλέον, το πλήθος των ψηφίων του είναι 31 (ο αριθμός 13 αντεστραμμένος).
Τον ονόμασε πρώτο αριθμό του Βηλφεγώρ(Belphegor's prime), ενός από τους επτά πρίγκιπες της κόλασης, ο οποίος δελεάζει τους
θνητούς με το δώρο της ανακάλυψης και των εφευρέσεων. Προειδοποίησε τον κόσμο ότι ο αριθμός αυτός
είναι απειλητικός και πως δεν πρέπει να τον κοιτάζουμε για πολλή ώρα, αλλά φυσικά
στο τέλος εξηγεί ότι αυτά που γράφει δεν πρέπει να λαμβάνονται και πολύ στα
σοβαρά!
Ο συμβολισμός του πρώτου αριθμού του Βηλφεγώρ με τον αριθμό π, ανάποδα!
Ο Pickover ήταν εκείνος που όρισε και τους βαμπιρικούς αριθμούς, για τους οποίους είχαμε μιλήσει (σε παλιότερο Halloween) εδώ…
"Κακοί" πρώτοι
αριθμοί
Ο πρώτος αριθμός του Βηλφεγώρ
ανήκει και στην κατηγορία των "κακών" πρώτων αριθμών, δηλαδή των πρώτων
αριθμών που περιέχουν το 666 στα ψηφία τους. Στο παρακάτω βίντεο από το κανάλι
Numberphile, παρουσιάζονται πολλοί από αυτούς τους... σατανικούς αριθμούς!
Σας έχουν απαγάγει, είστε δεμένοι σε μια καρέκλα και ο απαγωγέας σας αναγκάζει να παίξετε ρώσικη ρουλέτα. Παίρνει ένα περίστροφο, ανοίγει τον κύλινδρο και σας δείχνει τις έξι άδειες θαλάμες του κυλίνδρου του πιστολιού. Βάζει δύο σφαίρες σε δύο θαλάμες στο περίστροφο. Κλείνει το όπλο και περιστρέφει τον κύλινδρο. Σας βάζει το όπλο στο κεφάλι και πατάει τη σκανδάλη. Ακούτε μόνο το κλικ και καταλαβαίνετε ότι σταθήκατε πολύ τυχερός. "Θα πυροβολήσω ξανά", λέει, "θα ήθελες να τραβήξω τη σκανδάλη τώρα, ή προτιμάς να γυρίσω πρώτα τον κύλινδρο του περιστρόφου";
Ποια είναι η καλύτερη επιλογή επιβίωσης:
1. αν ξέρετε ότι οι σφαίρες βρίσκονταν σε διαδοχικές θαλάμες;
2. αν ξέρετε ότι οι σφαίρες δεν βρίσκονταν σε διαδοχικές θαλάμες;
📚Πηγή γρίφου: Θανάσης Δρούγας: "Πώς να επιβιώνετε σε ερημονήσια και... άλλοι μαθηματικοί γρίφοι". Bookstars, 2024.
Έχουμε δύο κλεψύδρες άμμου, μία που μετράει ακριβώς 4 λεπτά και μία που μετράει ακριβώς 7 λεπτά. Θέλουμε να μετρήσουμε ακριβώς 2 λεπτά, για να βράσουμε ένα αβγό. Χρησιμοποιώντας μόνο αυτές τις δύο κλεψύδρες, πώς θα μετρήσουμε 2 λεπτά ακριβώς;
