Μαθηματικό ροκ...

Το μαθηματικό ροκ (Math Rock) είναι ένα στυλ προοδευτικού και ανεξάρτητου ροκ, με βασικότερους εκπροσώπους συγκροτήματα όπως οι King Crimson, Rush και Battles, καθώς και συνθέτες του 20ου αιώνα, όπως οι Steve Reich και John Cage. Χαρακτηρίζεται από πολύπλοκες, άτυπες ρυθμικές δομές -συμπεριλαμβανομένης της ακανόνιστης διακοπής και εκκίνησης, συνεχείς αλλαγές στους χρονοδείκτες (κλάσματα στην αρχή του πενταγράμμου) και εκτεταμένες συγχορδίες. Έχει ομοιότητες με το post-rock.

Η ρυθμική του πολυπλοκότητα ήταν ο λόγος που ονομάστηκε «μαθηματικό» από ακροατές και μουσικούς. Ενώ η περισσότερη ροκ μουσική χρησιμοποιεί μέτρο 4/4, το μαθηματικό ροκ κάνει χρήση λιγότερο τυπικών μέτρων, όπως 5/4, 7/8, 11/8 ή 13/8. Όπως στο παραδοσιακό ροκ, ο ήχος κυριαρχείται συχνά από κιθάρες και ντραμς. Ωστόσο, τα ντραμς παίζουν μεγαλύτερο ρόλο στο μαθηματικό ροκ για την παροχή πολύπλοκων ρυθμών.

 

H φωνή αντιμετωπίζεται ως ένα ακόμη μουσικό όργανο, ενώ συχνά τα φωνητικά δεν είναι υπερβολικά και τοποθετούνται λιγότερο εμφανώς, όπως στο στυλ ηχογράφησης του Steve Albini. Πολλά από τα πιο γνωστά math rock συγκροτήματα είναι εντελώς ορχηστρικά, όπως οι Don Caballero ή οι Hella.

Τα άλμπουμ “In the Court of the Crimson King” (1969), “Red” (1974) και “Discipline” (1981) των King Crimson και “Spiderland” (1991) των Slint θεωρούνται γενικά πρόδρομοι, ή και δημιουργοί του μαθηματικού ροκ, επιδεικνύοντας τεχνικές που θα υιοθετούσαν αργότερα κι άλλα συγκροτήματα. Καλλιτέχνες όπως οι Frank Zappa, Captain Beefheart και John Zorn επίσης επηρέασαν  σημαντικά πολλές math rock μπάντες. Ένα ακόμη πιο avant-garde συγκρότημα της δεκαετίας του '80, οι Massacre, με επιρροές από την πανκ, χρησιμοποίησε περίπλοκα ρυθμικά χαρακτηριστικά. Ο Scott Miller, τραγουδιστής των Game Theory και The Loud Family, λεγόταν ότι «πειραματιζόταν με τη μουσική όπως ένας γεννημένος μαθηματικός πειραματίζεται με τους αριθμούς». Ακόμη και η προέλευση του ονόματος Game Theory είναι μαθηματική, υποδηλώνοντας έναν «σχεδόν μαθηματικό ήχο» του συγκροτήματος, που συχνά το ανέφεραν και ως IQ rock. Μια άλλη επιρροή αποτελεί ο Καναδός μουσικός Dan Snaith, ο οποίος έχει αποκτήσει διδακτορικό στα μαθηματικά από το Imperial College London.

Φτάνοντας στη δεκαετία του '90 και συνεχίζοντας μέχρι και σήμερα, ο μουσικός κόσμος υποδέχεται τους Tool, που χαρακτηρίστηκαν ως «διάδοχοι των King Crimson ως οι βασιλιάδες του progressive rock». Χαρακτηριστικό το τραγούδι τους "Lateralus", στο οποίο μέσα στο tempo των ντραμς και στους στίχους «κρύβεται» η ακολουθία Fibonacci, που συνδέεται με τη χρυσή τομή. 

Η ακολουθία Fibonacci είναι η ακολουθία αριθμών 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... στην οποία οι δύο πρώτοι όροι είναι το 1 και, από τον τρίτο όρο και μετά, κάθε όρος της είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων.

Στο "Lateralus", το πλήθος των συλλαβών σε κάθε στίχο «κινείται» μέσα στην ακολουθία Fibonacci. Για παράδειγμα οι στίχοι της πρώτης στροφής έχουν διαδοχικά: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 5, 3 συλλαβές.

Ο όρος «μαθηματικό ροκ» ξεκίνησε ως αστείο στη σκηνή του Σικάγο από τους καλλιτέχνες που δούλευαν με τον Steve Albini, προσπαθώντας να περιγράψουν το νέο στυλ. Υποστηρικτής αυτού του όρου είναι και ο Matt Sweeney, τραγουδιστής των Chavez, μπάντα που συνδέεται με τη math rock σκηνή. Αν και έχει εξελιχθεί σε αποδεκτό όνομα για το μουσικό στυλ, παρόλα αυτά, δεν βλέπουν όλοι οι κριτικοί το μαθηματικό ροκ ως ένα επίσημο υπο-είδος του ροκ...

Παγκόσμια ημέρα του αριθμού π: 31,4 τρισεκατομμύρια ψηφία του π στα... "σύννεφα"!

Η 14η Μαρτίου, η οποία στην Αμερική αναγράφεται ως 3-14, έχει καθιερωθεί Παγκόσμια Ημέρα της σταθεράς π. Η μαθηματική σταθερά π ορίζεται ως ο λόγος της περιφέρειας ενός κύκλου προς την διάμετρό του. Συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα π (από τη λέξη "περιφέρεια"). Είναι μια ποσότητα που προσπαθούσαν οι άνθρωποι να υπολογίσουν από τα αρχαία χρόνια. Αυτό που καθιστά το π τόσο δύσκολο να υπολογιστεί, είναι ότι είναι ένας αριθμός άρρητος και υπερβατικός. Με απλά λόγια, τα δεκαδικά του ψηφία δεν σταματούν σε κάποιο σημείο, είναι άπειρα και δεν επαναλαμβάνονται με κάποιο μοτίβο.

Στον περισσότερο κόσμο είναι γνωστά μόνο τα αρχικά του ψηφία: 3,14. Από την αρχαιότητα μέχρι σήμερα, ο υπολογισμός της τιμής του π απασχολεί χιλιάδες χρόνια την ανθρωπότητα. Για την απομνημόνευση των πρώτων ψηφίων του π έχουν επινοηθεί διάφοροι μνημονικοί κανόνες. Ανάμεσά τους και αυτή η φράση, όπου κάθε ψηφίο της σταθεράς π αντιστοιχεί στον αριθμό των γραμμάτων κάθε λέξης.

  

Βέβαια, το 3,14 αλλά και το 3,141592653589793238462 δεν είναι παρά ρητές προσεγγίσεις του π. Πριν από τον 15ο αιώνα, μαθηματικοί όπως ο Πυθαγόρας, ο Αρχιμήδης και ο κινέζος Liu Hui, χρησιμοποίησαν γεωμετρικές τεχνικές βασισμένες σε πολύγωνα, για υπολογίσουν την τιμή του π. Η πιο συνηθισμένη ρητή προσέγγιση του π ήταν το \(\frac{22}{7}\). Από τον 15ο αιώνα κι έπειτα, μαθηματικοί όπως ο Madhava της Sangamagrama, ο Isaac Newton, o Leonhard Euler, o Carl Friedrich Gauss και ο Σρινιβάσα Ραμανουτζάν χρησιμοποίησαν νέους αλγόριθμους βασισμένους στις άπειρες σειρές και υπολόγιζαν ακριβέστερες προσεγγίσεις του π. 

Ένας από τους τύπους που χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό του π
(Αδελφοί Chudnovsky, 1988)

Μερικοί επιστήμονες προσπαθούν να επιστρατεύσουν άλλες υπολογιστικές μεθόδους, που θα τους δώσουν κάποια ικανοποιητική προσέγγιση, π.χ. \(\pi = 4 \cdot \arctan(1)\). Τον 20ο και 21ο αιώνα, μαθηματικοί και πληροφορικοί συνδυάζουν τους αλγορίθμους με την αυξημένη υπολογιστική ισχύ και διαρκώς επεκτείνουν την δεκαδική απεικόνιση του π. Καθώς οι επιστημονικές εφαρμογές δεν απαιτούν κατά κανόνα περισσότερα από 40 δεκαδικά ψηφία του π, θα λέγαμε ότι βασικό κίνητρο για αυτούς τους υπολογισμούς είναι η επιθυμία του ανθρώπου να σπάει ρεκόρ... 

 

Στη "μάχη" της ακριβέστερης προσέγγισης του π, ήρθε αρχικά να καταρρίψει τα -μέχρι το 2019 δεδομένα- η Emma Haruka Iwao της Google. Με τη βοήθεια του Google Compute Engine, που ανήκει στο Google Cloud, κατάφερε να μας δώσει την ακριβέστερη μέχρι τότε ρητή προσέγγιση του π, υπολογίζοντας 31.415.926.535.897  (ή \( \pi\cdot 10^{13} \) ) ψηφία του αριθμού αυτού! Η Emma ήταν η πρώτη που χρησιμοποίησε τις δυνατότητες του Cloud για τον υπολογισμό του αριθμού αυτού σε τέτοια τεράστια κλίμακα.

Tον Αύγουστο του 2021, το βιβλίο καταγραφής παγκόσμιων ρεκόρ Guinness ανακοίνωσε πως μια ομάδα μαθηματικών από το Πανεπιστήμιο Εφαρμοσμένης Επιστήμης του Grisnos στην Ελβετία κατάφερε να υπολογίσει την τιμή του π με τη μεγαλύτερη μέχρι στιγμής ακρίβεια. Η νέα τιμή-ρεκόρ απαρτίζεται από 62.831.853.071.796 ψηφία, όπως επιβεβαίωσε ο επικεφαλής της εργασίας, Thomas Keller. Για να ολοκληρωθεί ο υπολογισμός, χρειάστηκαν 108 ημέρες και 9 ώρες , ενώ χρησιμοποιήθηκε ένα σύστημα με δύο AMD EPYC επεξεργαστές των 32 πυρήνων ο καθένας, οι οποίοι ήταν εξοπλισμένοι με 1 TB μνήμης RAM και 510 TB αποθηκευτικού χώρου!  

Οι προσπάθειες των σύγχρονων επιστημόνων είναι κάτι παραπάνω από εντυπωσιακές. Αλλά, όπως υπενθυμίζει και το παραπάνω αρχαιοελληνικό ποίημα, "ουδέποτε όλον θνητοί θα εύρωσι"...

 

Σας αφήνω με ένα ολοκαίνουργιο... μουσικομαθηματικό βίντεο αφιερωμένο στο π, από την αγαπημένη Vihart.

 

Trigodance: Ο χορός της... τριγωνομετρίας

Το Movemathics είναι μια νέα, καινοτόμα προσέγγιση της διδασκαλίας των Μαθηματικών. Βασίζεται στην κιναισθητική μάθηση, σύμφωνα με την οποία ο άνθρωπος μαθαίνει και απομνημονεύει τις πληροφορίες μέσα από την κίνηση, τις χειρονομίες και την αφή. 

Συγκεκριμένα, το Movemathics χρησιμοποιεί τον χορό ως κιναισθητική μέθοδο διδασκαλίας της Τριγωνομετρίας του Γυμνασίου και παροτρύνει τους μαθητές να χορέψουν Trigodance: τον τριγωνομετρικό χορό!    

Θα ήθελα πολύ να μάθω τη γνώμη των μαθητών της χώρας μας. Εσείς, ως καθηγητές, θα διδάσκατε αυτόν τον χορό στους μαθητές σας;