Loading [MathJax]/extensions/TeX/AMSsymbols.js
Εμφάνιση αναρτήσεων με ετικέτα αριθμοί. Εμφάνιση όλων των αναρτήσεων
Εμφάνιση αναρτήσεων με ετικέτα αριθμοί. Εμφάνιση όλων των αναρτήσεων

Παρασκευή 14 Μαρτίου 2025

14/3...Ημέρα του π: Λίγη τέχνη, λίγη ιστορία και λίγα μαθηματικά!

 

Η Ημέρα του «π», που γιορτάζεται στις 14/3, είναι ένας ετήσιος εορτασμός της μαθηματικής σταθεράς π. Καθιερώθηκε το 1988 από τον Larry Shaw, υπάλληλο του επιστημονικού μουσείου του Σαν Φρανσίσκο της Καλιφόρνια, του Exploratorium.

 

Ο Jonathan J Fuller δημιουργεί έργα μαθηματικής τέχνης βασιζόμενος στα ψηφία του π. Δείτε εδώ πώς…


π και συμμετρία


Το σύμβολο για τον αριθμό «π» χρησιμοποιείται εδώ και πάνω από 250 χρόνια. Εισήχθη το 1706 από τον Ουαλό μαθηματικό William Jones, φίλο του Sir Isaac Newton, ενώ έγινε δημοφιλές από τον Ελβετό μαθηματικό Leonhard Euler. Επιλέχθηκε το ελληνικό γράμμα «π», που είναι το πρώτο γράμμα της λέξης «περιφέρεια» και «περίμετρος». (Θυμηθείτε ότι το π είναι ο λόγος της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του! Ο λόγος αυτός είναι σταθερός και ανεξάρτητος από το μέγεθος του κύκλου). Πριν από το 1700, οι μαθηματικοί αναφέρονταν στον αριθμό που γνωρίζουμε ως «π» ως «το μέγεθος που όταν η διάμετρος ενός κύκλου πολλαπλασιάζεται με αυτό, δίνει την περιφέρειά του». Δεν αποτελεί έκπληξη το γεγονός ότι οι άνθρωποι κουράστηκαν να λένε τόσο πολλά κάθε φορά που ήθελαν να αναφερθούν στο π…


Προσπαθώντας να προσεγγίσουμε το άπειρο…

Ποτέ δεν θα μπορέσουμε να βρούμε όλα τα ψηφία του π, επειδή είναι άρρητος αριθμός, δηλαδή έχει άπειρα δεκαδικά ψηφία τα οποία δεν επαναλαμβάνονται περιοδικά. Ο βαβυλωνιακός πολιτισμός χρησιμοποιούσε το κλάσμα 3⅛, ενώ οι αρχαίοι Κινέζοι χρησιμοποιούσαν τον ακέραιο αριθμό 3. Οι Αρχαίοι Αιγύπτιοι, όπως γνωρίζουμε από τον Πάπυρο του Ριντ (περίπου 1650 π.Χ.), προσέγγιζαν το π ως 3,1605 μέσω του τύπου για το εμβαδόν του κύκλου. Ο Αρχιμήδης (3ος αιώνας π.Χ.), στο έργο του «Κύκλου Μέτρησις», χρησιμοποιεί την αρκετά καλή προσέγγιση \( \frac{223}{71} < \pi <  \frac{22}{7} \). Ο Πτολεμαίος (2ος αιώνας μ.Χ.), στο έργο του «Αλμαγέστη», χρησιμοποίησε την προσέγγιση 3,1416.

 

Μέχρι το 1665, ο Ισαάκ Νεύτων υπολόγισε μια ρητή προσέγγιση του π με 16 δεκαδικά ψηφία. Οι υπολογιστές δεν είχαν εφευρεθεί ακόμα, οπότε αυτό ήταν μια πολύ μεγάλη υπόθεση. Στις αρχές της δεκαετίας του 1700 ο Τόμας Λάγκνεϊ υπολόγισε τα πρώτα 127 δεκαδικά ψηφία του π. Το 1767 ο Γιόχαν Χάινριχ Λάμπερτ απέδειξε ότι ο π είναι άρρητος αριθμός. Στο δεύτερο μισό του εικοστού αιώνα, ο αριθμός των γνωστών ψηφίων του π αυξήθηκε από περίπου 2000 σε 500.000 χάρη στον CDC 6600, έναν από τους πρώτους υπολογιστές που κατασκευάστηκαν ποτέ. Το ρεκόρ αυτό καταρρίφθηκε το 2017, όταν ένας Ελβετός επιστήμονας υπολόγισε περισσότερα από 22 τρισεκατομμύρια ψηφία του π. Στη «μάχη» της ακριβέστερης προσέγγισης του π, κατέρριψε το 2019 το ρεκόρ η Emma Haruka Iwao της Google. Χρησιμοποιώντας το Google Cloud, υπολόγισε 31,4 τρισεκατομμύρια ψηφία του π. Το 2021, μια ομάδα μαθηματικών από το Πανεπιστήμιο Εφαρμοσμένης Επιστήμης του Grisnos στην Ελβετία, υπολόγισε περισσότερα από 62 τρισεκατομμύρια ψηφία του π. Σήμερα είναι γνωστά 105 τρισεκατομμύρια ψηφία του π, καθώς το 2024 μια αμερικάνικη εταιρεία υπολογιστών κατέχει το νέο ρεκόρ!

 


Πηγές και παραπομπές:

Imaginary.org|Pi Sacred Geometry

LiveScience|Pi Calculated to 105 Trillion Digits,smashing world record

Piday.org 

Wikipedia|π (μαθηματική σταθερά)


Τρίτη 25 Φεβρουαρίου 2025

Τριγωνικοί, τετραγωνικοί και εξαγωνικοί αριθμοί!

 

Στην αρχαιότητα, οι Πυθαγόρειοι θεωρούσαν πως τα πάντα στο σύμπαν μπορούσαν να εξηγηθούν με τη βοήθεια των αριθμών. Γι’ αυτό έφτιαχναν διάφορες ακολουθίες αριθμών με βάση γεωμετρικά σχήματα. Οι βασικότεροι είναι οι τριγωνικοί, οι τετραγωνικοί και οι εξαγωνικοί αριθμοί.

  

Τριγωνικός λέγεται κάθε αριθμός, ο οποίος, αν συμβολιστεί με σημεία –τόσα σημεία όσα υποδηλώνει ο αριθμός– σχηματίζεται τρίγωνο. Για να βρούμε τους τριγωνικούς αριθμούς, αρχίζουμε από το 1. Κάθε φορά προσθέτουμε και τον επόμενο φυσικό αριθμό. Δηλαδή:

1

1+2=3

1+2+3=6

1+2+3+4=10

1+2+3+4+5=15

1+2+3+4+5+6=21


Το άθροισμα που προκύπτει κάθε φορά (σημειωμένο με έντονο) είναι και ένας τριγωνικός αριθμός.

 

Μπορούμε να αναπαραστήσουμε τους τριγωνικούς αριθμούς με ισόπλευρα τρίγωνα, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

 

τριγωνικοί αριθμοί


Ο n-οστός τριγωνικός αριθμός είναι το άθροισμα των n πρώτων θετικών ακεραίων. Συμβολίζεται με \(T_n\) και ισούται με

\(T_n=1+2+…+n=\frac{n(n+1)}{2}\)

π.χ. \(T_4=\frac{4 \cdot 5)}{2}=10\)

 

Για την ακολουθία των τριγωνικών αριθμών ισχύει και ο αναδρομικός τύπος:

\(T_1=1\)

\(T_n=T_{n-1}+n, n>1\)



Τετραγωνικός αριθμός, ή αλλιώς τέλειο τετράγωνο, λέγεται ένας θετικός ακέραιος αριθμός που είναι το τετράγωνο ενός άλλου ακέραιου αριθμού, δηλαδή ισούται με το γινόμενο του αριθμού εκείνου με τον εαυτό του.

Ένας τετραγωνικός αριθμός \(n\) αντιπροσωπεύεται από \(n\) σημεία (κουκκίδες), τα οποία σχηματίζουν τετράγωνο, με την κάθε πλευρά του να έχει \(\sqrt{n}\) σημεία.


τετραγωνικοί αριθμοί


Ο αριθμός \(n\) είναι τετραγωνικός, αν και μόνο αν μπορούμε να συνθέσουμε ένα τετράγωνο από \(n\) ίσα μεταξύ τους τετράγωνα.

π.χ. 

\(n=1=1^2\)


\(n=4=2^2\)


\(n=9=3^2\)


\(n=16=4^2\)


\(n=25=5^2\)



Οι πρώτοι τετραγωνικοί αριθμοί (τέλεια τετράγωνα) είναι:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ...

 

Για έναν θετικό ακέραιο \(n\), ο n-οστός τετραγωνικός αριθμός είναι ο \(n^2\).


Κάποιοι τύποι που χρησιμεύουν για τον υπολογισμό ενός τετραγωνικού αριθμού όταν είναι γνωστός ο προηγούμενός του (αναδρομικοί τύποι), είναι:

\(n^2=(n-1)^2+(n-1)+n=(n-1)^2+(2n-1)\)


Το άθροισμα δύο διαδοχικών τριγωνικών αριθμών είναι τετραγωνικός αριθμός.

π.χ. \(T_3+T_4=6+10=16\), που είναι τετραγωνικός αριθμός.



Εξαγωνικός αριθμός λέγεται ένας πολυγωνικός αριθμός που παριστάνεται με ένα εξάγωνο.


εξαγωνικοί αριθμοί

 

Ο n-οστός εξαγωνικός αριθμός \(h_n\) είναι το πλήθος των κουκκίδων που «δημιουργούν» το εξαγωνικό σχήμα του. Στο μοτίβο αυτό, τα εξάγωνα δεν περιέχονται το ένα στο εσωτερικό του άλλου, αλλά έχουν όλα μία κοινή «κορυφή».

 

Οι πρώτοι εξαγωνικοί αριθμοί είναι:

1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, …


Ο τύπος που δίνει τον n-οστό εξαγωνικό αριθμό είναι:

\(h_n=2n^2-n=n(2n-1)=\frac{2n(2n-1)}{2} \)

 

Κάθε εξαγωνικός αριθμός είναι και τριγωνικός αριθμός.

Κάθε τριγωνικός αριθμός με περιττό πλήθος «πλευρών» (δηλαδή ο \(T_n\) με n περιττό) είναι εξαγωνικός αριθμός.

Κάθε άρτιος τέλειος αριθμός είναι εξαγωνικός. Καθώς δεν είναι γνωστός κανένας τέλειος αριθμός που να είναι περιττός, όλοι οι γνωστοί τέλειοι αριθμοί είναι εξαγωνικοί.


Για να ελέγξουμε αν ένας θετικός ακέραιος \(x\) είναι εξαγωνικός, μπορούμε να υπολογίσουμε τον αριθμό

\(n=\frac{\sqrt{8x+1}+1}{4}\).

Αν ο \(n\) είναι ακέραιος, τότε ο \(x\) είναι ο n-οστός εξαγωνικός αριθμός. Αλλιώς ο \(x\) δεν είναι εξαγωνικός.



👉Ανακαλύψτε περισσότερα στην "Online Εγκυκλοπαίδεια Ακολουθιών Ακέραιων Αριθμών" (OEIS).


Κυριακή 2 Φεβρουαρίου 2025

Αριθμοί Friedman

 

Αριθμοί Friedman


📖Ένας αριθμός Friedman είναι ένας θετικός ακέραιος που μπορεί να προκύψει χρησιμοποιώντας τα δικά του ψηφία, μαζί με ένα τουλάχιστον από τα σύμβολα +, -, ·, /, ^, (, ). 

  • Τα ψηφία του χρησιμοποιούνται ακριβώς μία φορά το καθένα.
  • Επιτρέπεται να συγκολληθούν δύο ή περισσότερα ψηφία.

Οι αριθμοί Friedman στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης, ξεκινώντας από τον μικρότερο, είναι:

\(25=5^2\)

\(121=11^2\)

\(125=5^{1+2}\)

\(126=6 \cdot 21\)

\(127=2^7-1\)

\(128=2^{8-1}\)

\(153=3 \cdot 51\)

\(216=6^{2+1}\)

\(289=(8+9)^2\)

\(343=(3+4)^3\)

\(347=7^3+4\)

\(625=5^{6-2}\)

\(688=8 \cdot 86\)

\(736=7+3^6\)

\(1022=2^{10}-2\)

\(1024=(4-2)^{10}\)

\(1206=6 \cdot 201\)

\(1255=5 \cdot 251\)

\(1260=6 \cdot 210 = 21 \cdot 60\)

\(1258=(1+2^8) \cdot 5\)

\(1296=6^{(9-1)/2}\)

\(1395=15 \cdot 93\)

\(1435=35 \cdot 41\)

\(1503=3 \cdot 501\)

\(1530=3 \cdot 510\)

\(1792=7 \cdot 2^{9-1}\)

\(1827=21 \cdot 87\)

\(2048=\frac{8^4}{2}+0=\frac{8^4}{2+0}\)

\(2187=(2+1^8)^7\)

\(2349=29 \cdot 3^4\)

 ...


📖Ένας πρώτος αριθμός Friedman είναι ένας αριθμός Friedman που επιπλέον είναι πρώτος.

Οι πρώτοι αριθμοί Friedman στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης είναι:

127, 347, 2503, 12101, 12107, 12109, 15629, 15641, 15661, 15667, 15679, 16381, 16447, 16759, 16879, 19739, 21943, 27653, 28547, 28559, 29527, 29531, 32771, 32783, 35933, 36457, 39313, 39343, 43691, 45361, 46619, 46633, 46643, 46649, 46663, 46691, 48751, 48757, 49277, 58921, 59051, 59053, 59263, 59273, 64513, 74353, 74897, 78163, 83357, ... 

 

📖Ένας αριθμός Friedman λέγεται ωραίος, όταν η μαθηματική έκφραση που τον συνθέτει, μπορεί να γραφεί έτσι, ώστε να περιέχει τα ψηφία με την ίδια σειρά που περιέχονται στον αριθμό.

Για παράδειγμα:

\(127=2^7-1=-1+2^7\)

\(343=(3+4)^3\)

Αν, μάλιστα, τυχαίνει να είναι και πρώτος, τότε λέγεται ωραίος πρώτος αριθμός Friedman. To 127 είναι ένας ωραίος πρώτος αριθμός Friedman.

Από την άλλη, το 121 και το 343 είναι παλινδρομικοί αριθμοί Friedman, αφού διαβάζονται το ίδιο είτε ευθέως είτε ανάποδα.

 

🧛🏻‍♂️Μια ειδική περίπτωση των αριθμών Friedman είναι οι βαμπιρικοί αριθμοί, όπως ο 1260 και ο 1395, τους οποίους είχαμε γνωρίσει σε παλιότερη ανάρτηση.



🖥️Μερικοί αριθμοί Friedman στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης είναι: 11001, 11011111111, 1001111, 1010001, ...

(Αυτοί που σημειώνονται έντονα είναι ωραίοι αριθμοί Friedman, αλλά και παλινδρομικοί).


🌐Για περισσότερα, σας παραπέμπω:

Numbers Aplenty, Friedman Numbers 

Online Encyclopedia of Integer Sequences, Erich Friedman 


Σάββατο 11 Ιανουαρίου 2025

Νάρκισσοι... αριθμοί!


Νάρκισσοι αριθμοί


Σύμφωνα με τη μυθολογία, ο ωραίος νεαρός Νάρκισσος, καθισμένος κοντά σε μια πηγή, είδε μια μέρα το πρόσωπό του στα νερά της πηγής. Γοητεύτηκε από την εικόνα του που καθρεφτιζόταν στο νερό και θέλησε, βυθίζοντας το βραχίονα του στο νερό να την αιχμαλωτίσει. Επειδή, όμως, παρά τις προσπάθειές του, δεν το κατόρθωνε, παρέμεινε στη θέση αυτή αυτοθαυμαζόμενος, μέχρι που πέθανε. Στη θέση εκείνη μετά από λίγο φύτρωσε το ομώνυμο λουλούδι.

Στα μαθηματικά, νάρκισσος αριθμός ονομάζεται ένας ν-ψήφιος αριθμός, του οποίου το άθροισμα των ψηφίων, υψωμένα στη νιοστή δύναμη, δίνει τον αριθμό αυτόν.

 

Για παράδειγμα:

\(153=1^3+5^3+3^3\)

\(1634=1^4+6^4+3^4+4^4\)

\(54748=5^5+4^5+7^5+4^5+8^5\)

 

Στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης, υπάρχουν μόνο 88 νάρκισσοι αριθμοί, οι οποίοι είναι οι παρακάτω:


Πλήθος ψηφίων

Αριθμοί

1

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

3

153, 370, 371, 407

4

1634, 8208, 9474

5

54748, 92727, 93084

6

548834

7

1741725, 4210818, 9800817, 9926315

8

24678050, 24678051, 88593477

9

146511208, 472335975, 534494836, 912985153

10

4679307774

11

32164049650, 32164049651, 40028394225, 42678290603, 44708635679, 49388550606, 82693916578, 94204591914

14

28116440335967

16

4338281769391370, 4338281769391371

17

21897142587612075, 35641594208964132, 35875699062250035

19

1517841543307505039, 3289582984443187032, 4498128791164624869, 4929273885928088826

20

63105425988599693916

21

128468643043731391252, 449177399146038697307

23

21887696841122916288858, 27879694893054074471405, 27907865009977052567814, 28361281321319229463398, 35452590104031691935943

24

174088005938065293023722, 188451485447897896036875, 239313664430041569350093

25

1550475334214501539088894, 1553242162893771850669378, 3706907995955475988644380, 3706907995955475988644381, 4422095118095899619457938

27

121204998563613372405438066, 121270696006801314328439376, 128851796696487777842012787, 174650464499531377631639254, 177265453171792792366489765

29

14607640612971980372614873089, 19008174136254279995012734740, 19008174136254279995012734741, 23866716435523975980390369295

31

1145037275765491025924292050346, 1927890457142960697580636236639, 2309092682616190307509695338915

32

17333509997782249308725103962772

33

186709961001538790100634132976990, 186709961001538790100634132976991

34

1122763285329372541592822900204593

35

12639369517103790328947807201478392, 12679937780272278566303885594196922

37

1219167219625434121569735803609966019

38

12815792078366059955099770545296129367

39

115132219018763992565095597973971522400, 115132219018763992565095597973971522401