Καλώς ήρθατε! Μην περιμένετε να βρείτε φυλλάδια με ασκήσεις μαθηματικών εδώ... Σκοπός του blog "εις το άπειρον" είναι να προσεγγίσει τη μαθηματική γνώση ελεύθερα και με διασκεδαστικό τρόπο, χωρίς τα όρια των σχολικών τάξεων.
Ο αριθμός S παρακάτω, είναι το άθροισμα των δυνάμεων των πρώτων αριθμών από το 2 μέχρι το 89, με εκθέτη τον εαυτό τους.
Τι είναι οι παλινδρομικοί αριθμοί;
Παλινδρομικοί
ή παλίνδρομοι αριθμοί είναι αυτοί που διαβάζονται το ίδιο είτε ευθέως είτε
αντίστροφα. Για παράδειγμα, οι αριθμοί 11, 363, 5225, 13931, 1234321, 20300302
είναι παλινδρομικοί. Τους παλινδρομικούς αριθμούς τους συναντάμε συχνά στα
ψυχαγωγικά μαθηματικά, με εφαρμογές στα μαγικά τετράγωνα, τους κύβους του
Ρούμπικ και σε σκακιστικά προβλήματα.
Κατασκευή παλινδρομικών αριθμών
Πώς
μπορούμε να κατασκευάσουμε τέτοιους αριθμούς; Ας επιλέξουμε έναν τυχαίο αριθμό,
για παράδειγμα το 83. Αντιστρέφουμε τη σειρά των ψηφίων, δηλαδή παίρνουμε το 38
και τον προσθέτουμε στον αρχικό μας αριθμό. Προκύπτει έτσι: 83+38=121, έχουμε δηλαδή
έναν παλινδρομικό αριθμό.
Επιλέγουμε
έναν άλλο τυχαίο αριθμό, για παράδειγμα το 67. Αντιστρέφουμε τη σειρά των
ψηφίων του, δηλαδή παίρνουμε το 76 και τον προσθέτουμε στον αρχικό μας αριθμό.
Έχουμε δηλαδή 67+76=143, που όμως δεν είναι παλινδρομικός. Τότε επαναλαμβάνουμε
την ίδια διαδικασία κι έχουμε 143+341=484. Προέκυψε, δηλαδή, ένας παλινδρομικός
αριθμός.
Η
ιδιότητα αυτή που έχουν οι αριθμοί, να καταλήγουν σε παλινδρομικούς μετά από
μερικές προσθέσεις με τον αντεστραμμένο εαυτό τους φαίνεται να ισχύει για
όλους... Υπάρχουν όμως μερικοί αριθμοί για τους οποίους ακόμα δεν έχουμε
καταλήξει σε παλίνδρομο παράγωγό τους. Ο μικρότερος από αυτούς, είναι το 196.
Κατόπιν πολλών πράξεων, φτάσαμε σε αριθμό με 263.000.000 ψηφία, ο οποίος όμως
συνέχιζε να μην είναι παλινδρομικός! Για αριθμούς μικρότερους του 10.000
απαιτούνται το πολύ 24 προσθέσεις και το ρεκόρ αυτό κατέχει ο αριθμός 89.
Πόσοι είναι οι παλινδρομικοί αριθμοί;
Γνωρίζουμε από τον Ευκλείδη ότι οι πρώτοι αριθμοί είναι άπειροι σε πλήθος. Ακόμη. όμως, δεν γνωρίζουμε με βεβαιότητα αν είναι άπειροι και οι παλινδρομικοί αριθμοί.
💥Μπορείτε να υπολογίσετε πόσοι είναι οι τετραψήφιοι παλινδρομικοί αριθμοί;
Ο πρώτος αριθμός της… κολάσεως
Ο Clifford A. Pickover,
διάσημος Αμερικανός συγγραφέας και αρθρογράφος, ερευνητής της IBM για πολλά χρόνια,
έχει ασχοληθεί ιδιαίτερα με τους αριθμούς και την γοητεία που ασκούν στους
ανθρώπους. Έχει συγγράψει δεκάδες βιβλία με ποικίλα θέματα, από τα
μαθηματικά, τη φυσική, τους υπολογιστές και την ιατρική, μέχρι τις τέχνες, τους γρίφους και το θάνατο. Στόχος των
βιβλίων του, που έχουν μεταφραστεί σε δεκάδες γλώσσες, είναι, όπως λέει ο
ίδιος, η έκθεση σε ένα ευρύ κοινό των θαυμάτων της επιστήμης και των
μαθηματικών, χρησιμοποιώντας όμως «παιχνιδιάρικες» έννοιες που θα τραβήξουν το
ενδιαφέρον του κόσμου.
Ο ίδιος «βάφτισε» και έναν παλινδρομικό πρώτο αριθμό, τον 1.000.000.000.000.066.600.000.000.000.001 (\(10^{30} + 666 \cdot 10^{14} + 1\)), ο οποίος ανακαλύφθηκε από τον μαθηματικό Harvey Dubner, γνωστό για την συμβολή του στην πολύ δύσκολη διαδικασία εύρεσης μεγάλων πρώτων αριθμών. Ο συγκεκριμένος αυτός αριθμός έχει πολλές ιδιότητες και ως πρώτος, αλλά και ως παλινδρομικός. Αυτό, όμως, που κέντρισε το ενδιαφέρον στον Pickover είναι ότι έχει 13 μηδενικά αριστερά και 13 δεξιά του 666. Επιπλέον, το πλήθος των ψηφίων του είναι 31 (ο αριθμός 13 αντεστραμμένος).
Τον ονόμασε πρώτο αριθμό του Βηλφεγώρ (Belphegor's prime), ενός από τους επτά πρίγκιπες της κόλασης, ο οποίος δελεάζει τους
θνητούς με το δώρο της ανακάλυψης και των εφευρέσεων. Προειδοποίησε τον κόσμο ότι ο αριθμός αυτός
είναι απειλητικός και πως δεν πρέπει να τον κοιτάζουμε για πολλή ώρα, αλλά φυσικά
στο τέλος εξηγεί ότι αυτά που γράφει δεν πρέπει να λαμβάνονται και πολύ στα
σοβαρά!
 |
| Ο συμβολισμός του πρώτου αριθμού του Βηλφεγώρ με τον αριθμό π, ανάποδα! |
Ο Pickover ήταν εκείνος που όρισε και τους βαμπιρικούς αριθμούς, για τους οποίους είχαμε μιλήσει (σε παλιότερο Halloween) εδώ…
"Κακοί" πρώτοι αριθμοί
Ο πρώτος αριθμός του Βηλφεγώρ
ανήκει και στην κατηγορία των "κακών" πρώτων αριθμών, δηλαδή των πρώτων
αριθμών που περιέχουν το 666 στα ψηφία τους. Στο παρακάτω βίντεο από το κανάλι
Numberphile, παρουσιάζονται πολλοί από αυτούς τους... σατανικούς αριθμούς!
=========================================
Πηγές - Παραπομπές
Belphegor's prime: 1000000000000066600000000000001, by Dr. Cliff Pickover
Curioustem.org: Belphegor's prime
Googology Wiki: Belphegor's prime
Thesspress.gr|Θανάσης Κοπάδης: Παλίνδρομοι αριθμοί, αριθμοί βαμπίρ και ο πρώτος αριθμός της κολάσεως
Wikipedia.org|Παλινδρομικός αριθμός
Wolfram Mathworld|Belphegor's prime
YouTube|Numberphile: The most evil number
 |
| Πηγή εικόνας: iStock |
Υπάρχουν άπειροι σε πλήθος πρώτοι αριθμοί, αλλά ο μεγαλύτερος που ξέρουμε μέχρι σήμερα έχει το "ψευδώνυμο" Μ136279841 και ισούται με \(2^{136.279.841}-1\). Έχοντας 41.024.320 ψηφία, πλέον κατέχει το ρεκόρ του μεγαλύτερου γνωστού πρώτου αριθμού. Έχει πάνω από 16 εκατομμύρια ψηφία περισσότερα από τον "προκάτοχό" του, τον αριθμό Μ82589933. Να σημειωθεί ότι δεν είναι γνωστό αν μεταξύ των δύο αυτών πρώτων αριθμών δεν υπάρχει και άλλος πρώτος. Και οι δύο αυτοί πρώτοι αριθμοί είναι αριθμοί Mersenne, μια ειδική κατηγορία πρώτων αριθμών που ονομάστηκαν έτσι από τον Γάλλο μοναχό Marin Mersenne και για τους οποίους θα μιλήσουμε αναλυτικά σε μελλοντική ανάρτηση.
Ο νέος μεγαλύτερος πρώτος αριθμός ανακαλύφθηκε πρόσφατα από έναν ερασιτέχνη ερευνητή, ονόματι Luke Durant, ο οποίος χρησιμοποίησε ελεύθερο λογισμικό σε ένα δίκτυο υπολογιστών σε 17 χώρες. Μάλιστα, ο Durant δήλωσε πως η Τεχνητή Νοημοσύνη δεν πρόκειται να ανακαλύψει τον επόμενο πρώτο αριθμό...
Πηγή: LiveScience | Which is the largest known prime number? 24/10/2024
Στην ταινία γερμανικής παραγωγής "Στο γραφείο των καθηγητών" (Das Lehrerzimmer, 2023), η δασκάλα θέτει το εξής πρόβλημα στους δωδεκάχρονους μαθητές της:
Ο περιοδικός δεκαδικός αριθμός \(0,\bar{9}=0,999...\) (άπειρα εννιάρια) ισούται ή όχι με το \(1\);
Οι περισσότεροι μαθητές πιστεύουν ότι υπάρχει αριθμός μεταξύ του 0,999... και του 1. Μετά από συζήτηση, ο Όσκαρ γράφει στον πίνακα την εξής απάντηση:
Γνωρίζω ότι
\[ \frac{1}{9} = 1:9 = 0,111... \]
Έτσι,
\[0,\bar{1}=\frac{1}{9}\]
Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη της ισότητας με 9, παίρνουμε:
\[ 0,\bar{9}=9 \cdot \frac{1}{9}\]
άρα
\[ 0,\bar{9}=1\]
Η εξήγηση βασίζεται στο ότι τα εννιάρια στον περιοδικό δεκαδικό 0,999... είναι άπειρα. Δείτε παρακάτω τη μαθηματική απόδειξη.
Θέτουμε \( x=0,999... (1) \)
Πολλαπλασιάζουμε τα δύο μέλη της ισότητας με 10, οπότε \( 10x=9,999... (2) \)
Αφαιρούμε κατά μέλη τις ισότητες, \( (2)-(1) \) και έχουμε
\( 10x - x = 9,999... - 0,999... \Leftrightarrow \)
\( 9x = 9 \Leftrightarrow \)
\( x = 1 \)
Άρα \( 0,999... = 1 \).
🎇Καλή Χρονιά, με υγεία και χαμόγελα!!! Το 2024 να είναι μια ξεχωριστή χρονιά!
 |
| (Πηγή εικόνας) |
🧮Σας παραπέμπω να διαβάσετε για τις ιδιότητες του αριθμού 2024, στο πολύ ενδιαφέρον ινδικό ιστολόγιο Math1089
Ο Ουμπαΐντ απομάκρυνε το στρώμα του αργίλου. Φάνηκε το πρόσωπο -ένα πρόσωπο εκπληκτικά ήρεμο. Χαρακτηριστικά λεπτά, μύτη ίσια και καλογραμμένη... Η Αεμέρ διέκρινε μόνο μια σκοτεινή μάζα, πλαισιωμένη από μια φωτεινή άλω, που της έκρυβε τον ήλιο. Ένας άντρας με αόρατο πρόσωπο της πασπάτευε το μέτωπο.
Ο εκκωφαντικός ήχος του αεροπλάνου, το τρέξιμο, το κάψιμο στο στήθος, η ανάσα με το πρόσωπο στο χώμα, η αίσθηση ότι είχε εκσφενδονιστεί. Πέρα απ' αυτά, τίποτε. Δε θυμόταν ούτε από πού ερχόταν, ούτε πού πήγαινε. Γύρισε το κεφάλι, είδε τον μικρό κώνο από άργιλο στη χούφτα της. Το χαμόγελο, που είχε μείνει μετέωρο στα χείλη της, ξέσπασε πλατύ. Χρωστούσε τη ζωή της σε έναν σουμεριακό λίθο, ένα αρχαίο πήλινο νόμισμα ηλικίας πενήντα αιώνων.
Μεσοποταμία-Ιράκ: η ίδια γη που φιλοξένησε το παρελθόν μας κλονίζει το παρόν μας. Εκεί, και για πέντε χιλιάδες χρόνια, ξετυλίγονται οι πέντε ζωές της Αεμέρ, η οποία προσπαθεί να καλύψει το κενό μιας απουσίας που τη σημάδεψε.
Το βιβλίο του Ντενί Γκετζ αφηγείται την Ιστορία των αριθμών μέσα στον περσικό - ιρακικό πολιτισμό και την ανακάλυψη/εφεύρεση του μηδενός, μέσω πέντε γυναικών, ή, καλύτερα μέσω πέντε μετενσαρκώσεων της ίδιας γυναίκας, για περισσότερο από 5000 χρόνια: από το Ουρούκ και τη Βαβυλώνα μέχρι την αμερικανική εισβολή το 2003.
Στον κόσμο των Μαθηματικών, πολλά παράξενα συμπεράσματα είναι δυνατά όταν αλλάζουμε τους κανόνες. Υπάρχει όμως ένας κανόνας που είναι απαράβατος: μην διαιρέσεις με το μηδέν!
Γιατί, όμως, απαγορεύεται να διαιρούμε με το 0; Πού είναι το πρόβλημα; Κι αν ορίζαμε το πηλίκο ενός αριθμού με το μηδέν να ισούται με το άπειρο; Είναι σαν να ακούω τους μαθητές μου...
Στο παρακάτω βίντεο που δημοσιεύτηκε από το TED-Ed υπάρχουν όλες οι απαντήσεις!
Μπορείτε να γράψετε, όπως πάντα, την άποψη ή την απορία σας στα σχόλια!
*~*~*~*~*
"Οι μαύρες τρύπες υπάρχουν εκεί όπου ο Θεός διαίρεσε με το μηδέν".
Steven Wright
Οι παραπάνω είναι λίγοι μόνο τρόποι να γράψουμε "κομψά" τον αριθμό \( \pi\), ο οποίος έχει σήμερα την τιμητική του. (Ok, μάλλον εκτός από τον τελευταίο...!)
Έχουμε δει εδώ τις προσπάθειες των επιστημόνων να βρουν όσο περισσότερα δεκαδικά ψηφία του \( \pi\) είναι εφικτό και να σπάνε διαρκώς τα παγκόσμια ρεκόρ.
Έχουμε, ακόμη, δει εδώ ότι οποιαδήποτε πεπερασμένη ακολουθία φυσικών αριθμών μπορούμε να σκεφτούμε, εντοπίζεται κάπου μέσα στα δεκαδικά ψηφία του \( \pi\). Ωστόσο, ποτέ δεν μπορούμε να "προβλέψουμε" ποιο θα είναι το επόμενο δεκαδικό ψηφίο του \( \pi\).
Κι όμως, πλέον υπάρχει τρόπος να μάθουμε το n-οστό (νιοστό) δεκαδικό ψηφίο του \( \pi\), για όποιον φυσικό αριθμό n θελήσουμε...
"Ο τύπος όχι μόνο ισχύει, αλλά είναι απλός και κομψός", λέει ο Simon Plouffe, o μαθηματικός ο οποίος ανέβασε ήσυχα-ήσυχα τον τύπο του πέρσι στο ArXiv. Χρησιμοποιώντας γνωστούς ασυμπτωτικούς τύπους που εμπλέκουν το \( \pi\) με τους αριθμούς Bernoulli και τους αριθμούς Euler και λύνοντας ως προς \( \pi\), καθιστά δυνατό τον υπολογισμό του νιοστού ψηφίου του \( \pi\) και του \( \pi^n\).
Σύμφωνα με τον Plouffe, ο νέος αυτός τύπος βασίζεται σε αποτελέσματα που ήταν γνωστά για αιώνες. Στην εργασία του δεν περιέχονται αποδείξεις ή μακροσκελείς υπολογισμοί. Τα αποτελέσματα του Plouffe βασίζονται στην ικανότητα να κοιτάξουμε σε κάτι παλιό, με έναν νέο τρόπο! Βέβαια, ο τύπος βασίζεται σε προσεγγίσεις για τον υπολογισμό των αριθμών Bernoulli και Euler: Και οι δύο είναι ακολουθίες αριθμών, που είναι ταχέως αύξουσες (Rapidly Increasing Sequences) και χρονοβόρο να υπολογιστούν, ακόμη και με σύγχρονους ηλεκτρονικούς υπολογιστές...
Η 14η Μαρτίου, η οποία στην Αμερική
αναγράφεται ως 3-14, έχει καθιερωθεί Παγκόσμια Ημέρα της σταθεράς π. Η μαθηματική σταθερά π ορίζεται
ως ο λόγος της περιφέρειας ενός κύκλου προς την διάμετρό του. Συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα π (από τη λέξη "περιφέρεια"). Είναι μια
ποσότητα που προσπαθούσαν οι άνθρωποι να υπολογίσουν από τα αρχαία χρόνια. Αυτό
που καθιστά το π τόσο δύσκολο να υπολογιστεί, είναι ότι είναι ένας αριθμός άρρητος και υπερβατικός. Με απλά λόγια, τα δεκαδικά του ψηφία
δεν σταματούν σε κάποιο σημείο, είναι άπειρα και δεν επαναλαμβάνονται με κάποιο
μοτίβο.
Στον περισσότερο κόσμο είναι γνωστά μόνο τα αρχικά του ψηφία: 3,14. Από την αρχαιότητα μέχρι σήμερα, ο υπολογισμός
της τιμής του π απασχολεί χιλιάδες χρόνια την ανθρωπότητα. Για
την απομνημόνευση των πρώτων ψηφίων του π έχουν επινοηθεί
διάφοροι μνημονικοί κανόνες. Ανάμεσά τους και αυτή η φράση, όπου κάθε ψηφίο της
σταθεράς π αντιστοιχεί στον αριθμό των γραμμάτων κάθε λέξης.
Βέβαια, το 3,14 αλλά και το 3,141592653589793238462 δεν είναι παρά ρητές προσεγγίσεις του π. Πριν από τον 15ο αιώνα, μαθηματικοί όπως ο Πυθαγόρας, ο Αρχιμήδης και ο κινέζος Liu Hui, χρησιμοποίησαν γεωμετρικές τεχνικές βασισμένες σε πολύγωνα, για υπολογίσουν την τιμή του π. Η πιο συνηθισμένη ρητή προσέγγιση του π ήταν το \(\frac{22}{7}\). Από τον 15ο αιώνα κι έπειτα, μαθηματικοί όπως ο Madhava της Sangamagrama, ο Isaac Newton, o Leonhard Euler, o Carl Friedrich Gauss και ο Σρινιβάσα Ραμανουτζάν χρησιμοποίησαν νέους αλγόριθμους βασισμένους στις άπειρες σειρές και υπολόγιζαν ακριβέστερες προσεγγίσεις του π.
 |
| Ένας από τους τύπους που χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό του π (Αδελφοί Chudnovsky, 1988) |
Μερικοί επιστήμονες προσπαθούν να επιστρατεύσουν άλλες υπολογιστικές μεθόδους,
που θα τους δώσουν κάποια ικανοποιητική προσέγγιση, π.χ. \(\pi = 4 \cdot
\arctan(1)\).
Στη "μάχη" της ακριβέστερης
προσέγγισης του π, ήρθε αρχικά να καταρρίψει τα -μέχρι το 2019 δεδομένα- η
Emma Haruka Iwao της Google. Με τη βοήθεια του Google Compute Engine, που
ανήκει στο Google Cloud, κατάφερε να μας δώσει την ακριβέστερη μέχρι τότε ρητή προσέγγιση του π, υπολογίζοντας 31.415.926.535.897
(ή \( \pi\cdot 10^{13} \) ) ψηφία του αριθμού αυτού! Η Emma ήταν
η πρώτη που χρησιμοποίησε τις δυνατότητες του Cloud για τον υπολογισμό του
αριθμού αυτού σε τέτοια τεράστια κλίμακα.
Tον Αύγουστο του 2021, το βιβλίο καταγραφής παγκόσμιων ρεκόρ Guinness ανακοίνωσε πως μια ομάδα μαθηματικών από το Πανεπιστήμιο Εφαρμοσμένης Επιστήμης του Grisnos στην Ελβετία κατάφερε να υπολογίσει την τιμή του π με τη μεγαλύτερη μέχρι στιγμής ακρίβεια. Η νέα τιμή-ρεκόρ απαρτίζεται από 62.831.853.071.796 ψηφία, όπως επιβεβαίωσε ο επικεφαλής της εργασίας, Thomas Keller. Για να ολοκληρωθεί ο υπολογισμός, χρειάστηκαν 108 ημέρες και 9 ώρες , ενώ χρησιμοποιήθηκε ένα σύστημα με δύο AMD EPYC επεξεργαστές των 32 πυρήνων ο καθένας, οι οποίοι ήταν εξοπλισμένοι με 1 TB μνήμης RAM και 510 TB αποθηκευτικού χώρου!
Οι προσπάθειες των σύγχρονων επιστημόνων είναι κάτι παραπάνω από εντυπωσιακές. Αλλά, όπως υπενθυμίζει και το παραπάνω αρχαιοελληνικό ποίημα, "ουδέποτε όλον θνητοί θα εύρωσι"...
Σας
αφήνω με ένα ολοκαίνουργιο... μουσικομαθηματικό βίντεο αφιερωμένο στο π, από την
αγαπημένη Vihart.
Ευχές για ένα όμορφο και δημιουργικό 2022!
Καλό μήνα σε όλους!
1/8/21 σήμερα! Ή αλλιώς... 1821!
Το έτος της ελληνικής επανάστασης.
Δείτε όμως περισσότερες ιδιότητες του αριθμού της σημερινής ημερομηνίας, από τον εξαιρετικό συνάδελφο που μου έστειλε την παραπάνω εικόνα...
©Rushik Dharaiya Ka Pitaara
31/7/21 σήμερα...
Στην εικόνα μπορείτε να διαβάσετε τις ιδιότητες που "κρύβει" η σημερινή ημερομηνία, δηλαδή ο αριθμός 31721.
Πρόκειται για μια πραγματικά ενδιαφέρουσα και αξιόλογη δουλειά του συναδέλφου Rushik Dharaiya, τον οποίο ευχαριστώ θερμά!
©Rushik Dharaiya Ka Pitaara
"Τα μαθηματικά είναι το αλφάβητο με το οποίο ο Θεός περιέγραψε το Σύμπαν".
Γαλιλαίος
30/7/21 σήμερα...
Στην εικόνα μπορείτε να διαβάσετε τις αξιοσημείωτες ιδιότητες που "κρύβει" η σημερινή ημερομηνία, δηλαδή ο αριθμός 30721.
Πρόκειται για μια αξιόλογη δουλειά. 30721 ευχαριστώ στον εξαιρετικό συνάδελφο που δημιούργησε και μου έστειλε την εικόνα!
©Rushik Dharaiya Ka Pitaara
29/7/21
Στην εικόνα μπορείτε να διαβάσετε τις ιδιότητες του αριθμού της σημερινής ημερομηνίας: 29721
Πρόκειται για μια πραγματικά ενδιαφέρουσα και αξιόλογη δουλειά!
©Rushik Dharaiya Ka Pitaara
"Πάντα κατ' αριθμόν γίνονται"
(Τα πάντα γίνονται κατά τους αριθμούς)
Πυθαγόρας
28/7/21
Στην εικόνα μπορείτε να διαβάσετε τις ιδιότητες του αριθμού της σημερινής ημερομηνίας: 28721
©Rushik Dharaiya Ka Pitaara
27/7/21 σήμερα...
Στην εικόνα βλέπουμε τις ιδιότητες που "κρύβονται" στη σημερινή ημερομηνία, δηλαδή κάποιες ενδιαφέρουσες ιδιότητες του αριθμού: 29721
Πρόκειται για μια πραγματικά αξιόλογη δουλειά του συναδέλφου Rushik Dharaiya, τον οποίο ευχαριστώ θερμά!
©Rushik Dharaiya Ka Pitaara
"Η μαθηματική γλώσσα, εκτός του ότι είναι η μοναδική γλώσσα που μπορούμε να μιλήσουμε, είναι στην πραγματικότητα η σωστή γλώσσα".
E.P. Wigner
26/7/21 σήμερα!
Στην εικόνα μπορείτε να διαβάσετε τις αξιοσημείωτες ιδιότητες που "κρύβει" ο αριθμός της σημερινής ημερομηνίας: 26721...
©Rushik Dharaiya Ka Pitaara
25/7/21
Στην εικόνα μπορείτε να διαβάσετε τις ιδιότητες που "κρύβει" η σημερινή ημερομηνία, δηλαδή ο αριθμός 25721...
25721 ευχαριστώ στον εξαιρετικό συνάδελφο που δημιούργησε και μου έστειλε την εικόνα.
©Rushik Dharaiya Ka Pitaara
Στην εικόνα μπορείτε να διαβάσετε τις ιδιότητες που "κρύβει" ο αριθμός της σημερινής ημερομηνίας: 24721...
Μου εστάλη σήμερα το πρωί μέσω του LinkedIn και μου φάνηκε τόσο ενδιαφέρον και εμπνευσμένο, που δεν άντεξα να μην το αναδημοσιεύσω!
©Rushik Dharaiya Ka Pitaara
