Το Θεμελιώδες Θεώρημα του Απειροστικού Λογισμού

Τα ολοκληρώματα έχουν κάνει αισθητή την απουσία τους στα χρόνια του covid-19. To 2020 βγήκαν από την εξεταστέα ύλη των Πανελλαδικών, αν και πολλοί τυχεροί μαθητές είχαν προλάβει να τα διδαχθούν. Φέτος όμως βγήκαν πολύ νωρίς εκτός της διδακτέας ύλης. Λίγο πριν αρχίσουν λοιπόν οι φετινές Πανελλαδικές εξετάσεις, θέλω να αποτίσω έναν μικρό φόρο τιμής σε αυτά τα όμορφα μαθηματικά αντικείμενα και να παρουσιάσω το Θεμελιώδες Θεώρημα του Απειροστικού Λογισμού, μέσα από ένα βιβλίο που, όσο και να το μελετήσεις, ποτέ δεν είναι αρκετό!

Πηγή: Απειροστικός Λογισμός II, Σ.Κ. Ντούγιας, Leader Books, 2005

Ο τύπος ⭑ είναι γνωστός ως τύπος των Newton-Leibniz και δείχνει τη σχέση που υπάρχει μεταξύ του ορισμένου και του αόριστου ολοκληρώματος. 

Με το παρακάτω πόρισμα, που είναι άμεση συνέπεια του Θεμελιώδους Θεωρήματος του Απειροστικού Λογισμού, παίρνουμε μια μέθοδο υπολογισμού του ορισμένου ολοκληρώματος.

Πηγή: Απειροστικός Λογισμός II, Σ.Κ. Ντούγιας, Leader Books, 2005

*~∞~*~∞~*~∞~*

Αφιερωμένο στους μαθητές μου.

Εύχομαι καλή επιτυχία σε όλα τα παιδιά!!!

*~∞~*~∞~*~∞~*

"Amat victoria curam" ("Η νίκη αγαπά την προετοιμασία").

Gaius Victorius Catullus (1ος αιώνας π.Χ.) 

Πώς προέκυψαν τα Κριτήρια Διαιρετότητας σύνθετων αριθμών;

Διαβάσαμε στα Κριτήρια Διαιρετότητας των αριθμών από το 1 ως το 18 και των αριθμών από το 19 ως το 32 πώς ελέγχουμε αν ένας αριθμός διαιρείται με καθέναν από τους αριθμούς 1 έως και 32. Για αρκετούς από αυτούς τους αριθμούς, το κριτήριο διαιρετότητας προέκυψε άμεσα και αβίαστα, καθώς από πίσω "κρύβεται" το παρακάτω θεώρημα της Θεωρίας Αριθμών, μαζί με το πόρισμά του:

Θεώρημα

Αν Μ.Κ.Δ.(b,c)=1, τότε Μ.Κ.Δ.(a,bc) = Μ.Κ.Δ.(a,b)*Μ.Κ.Δ.(a,c)

Πόρισμα
Αν οι αριθμοί b και c, με Μ.Κ.Δ.(b,c)=1, διαιρούν τον a, τότε και  το γινόμενό τους bc διαιρεί επίσης τον a.

Δηλαδή, αν ένας αριθμός a διαιρείται από δύο αριθμούς b και c οι οποίοι είναι πρώτοι μεταξύ τους, τότε διαιρείται και από το γινόμενο των b και c.

Σελίδα από το χειρόγραφο βιβλίο του Φυραρίδη Ανέστη (1998), Θεωρία Αριθμών, Πανεπιστημιακό Τυπογραφείο Ιωαννίνων (Επανέκδοση 2007)

Το παραπάνω πόρισμα γενικεύεται και για περισσότερους από δύο αριθμούς:

Αν οι ακέραιοι b₁, b₂, ... b_n είναι πρώτοι μεταξύ τους ανά δύο και ο καθένας τους διαιρεί τον a, τότε και το γινόμενό τους  

b₁b₂…b_n  

διαιρεί επίσης τον a.   


Από το παραπάνω πόρισμα προκύπτει ένα σημαντικό και εύχρηστο Κριτήριο Διαιρετότητας για σύνθετους αριθμούς. Αρκεί ο σύνθετος αριθμός να μπορεί να γραφεί ως γινόμενο δύο ή περισσότερων αριθμών που είναι πρώτοι μεταξύ τους ανά δύο.


Παραδείγματα

1. Είδαμε εδώ ότι ένας αριθμός διαιρείται με το 6 αν διαιρείται ταυτόχρονα με το 2 και το 3. Αυτό ισχύει σύμφωνα με το παραπάνω πόρισμα, αφού 6 = 2*3 και Μ.Κ.Δ.(2,3)=1.

2. Για να εξετάσουμε αν ένας αριθμός διαιρείται με το 12, αρκεί να εξετάσουμε αν διαιρείται ταυτόχρονα με το 3 και το 4. Αυτό ισχύει σύμφωνα με το παραπάνω πόρισμα, αφού 12 = 3*4 και Μ.Κ.Δ.(3,4)=1.
Προσοχή! Για να εξετάσουμε αν ένας αριθμός διαιρείται με το 12, γράφουμε το 12 ως 12 = 3*4 γιατί οι αριθμοί 3 και 4 είναι πρώτοι μεταξύ τους και όχι 12 = 2*6, αφού οι αριθμοί 2 και 6 δεν είναι πρώτοι μεταξύ τους. Για παράδειγμα, ο αριθμός 18 διαιρείται ταυτόχρονα από το 2 και από το 6. Δεν διαιρείται όμως και από το 12.

3. Είδαμε εδώ ότι ένας αριθμός διαιρείται με το 30 αν διαιρείται ταυτόχρονα με το 3 και το 10, δηλαδή αν τελειώνει σε 0 και το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 3. Αυτό επίσης βασίζεται στο ανωτέρω πόρισμα, καθώς 30=3*10 και Μ.Κ.Δ.(3,10)=1. Εναλλακτικά, θα μπορούσαμε να πούμε ότι 30=5*6 και Μ.Κ.Δ.(5,6)=1. Επομένως, για να εξετάσουμε αν ένας αριθμός διαιρείται με το 30, αρκεί να εξετάσουμε αν διαιρείται ταυτόχρονα με το 5 και το 6. Ο έλεγχος αυτός όμως θα ήταν λίγο πιο χρονοβόρος, μιας και το κριτήριο διαιρετότητας του 6 απαιτεί να ελέγξουμε αν ο αριθμός διαιρείται ταυτόχρονα με το 2 και το 3.

Και δηλαδή αυτό το πόρισμα μας έχει λύσει τα χέρια; Ισχύει για κάθε σύνθετο αριθμό;

• Για το 8, το 16, το 27 ή το 32 δεν μπορεί να εφαρμοστεί αυτή η μέθοδος, αφού κανένας τους δεν μπορεί να γραφεί ως γινόμενο δύο ή περισσότερων αριθμών που είναι πρώτοι μεταξύ τους ανά δύο. Για την εύρεση των Κριτηρίων Διαιρετότητας των αριθμών αυτών, ακολουθήθηκε άλλο μονοπάτι...

Ο Gowers χρωματίζει αριθμούς...

Ο Timothy Gowers είναι ένας από τους σπουδαιότερους εν ζωή μαθηματικούς, ο οποίος για την έρευνά του που συνέδεσε τη Συναρτησιακή Ανάλυση με τη Συνδυαστική, κέρδισε το 1998 το μετάλιο Fields. Στο βίντεο που ανέβηκε σήμερα στο YouTube από το κανάλι Numberphile, o Gowers εξηγεί το Θεώρημα Van der Waerden από τη Θεωρία Ramsey της Συνδυαστικής, χρωματίζοντας αριθμούς... Αξίζει να το δείτε!

Το Θεώρημα Van der Waerden

Για οποιουσδήποτε θετικούς ακεραίους r και k υπάρχει θετικός ακέραιος Ν τέτοιος, ώστε αν οι ακέραιοι {1, 2, ... , Ν} χρωματιστούν, ο καθένας με r διαφορετικά χρώματα, τότε θα υπάρχουν τουλάχιστον k ακέραιοι, όροι αριθμητικής προόδου, της οποίας οι όροι είναι του ίδιου χρώματος.
Ο ελάχιστος τέτοιος Ν ονομάζεται αριθμός Van der Waerden.

Τουλάχιστον μία λύση...

Το Θεώρημα του Bolzano

Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σ' ένα κλειστό διάστημα [α, β]. Αν ισχύουν τα εξής:

• η f είναι συνεχής στο [α, β] και
• f(α)⋅f(β) < 0,

τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον x₀ στο ανοιχτό διάστημα (α, β) τέτοιο, ώστε

f(x₀) = 0  

Δηλαδή το Θεώρημα Bolzano μας εξασφαλίζει ότι υπάρχει μία τουλάχιστον λύση της εξίσωσης f(x) = 0 στο ανοιχτό διάστημα (α, β).