Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Η ταινία του Möbius

 

Αν είχαμε μια κενή σφαίρα με ένα μυρμήγκι στο εσωτερικό της, εύκολα θα αντιλαμβανόμασταν ότι η σφαίρα διαθέτει δύο διακεκριμένες όψεις. Ένα μυρμήγκι που περπατά στο εσωτερικό της σφαίρας δεν θα φτάσει ποτέ στην εξωτερική επιφάνεια. Επίσης, ένα μυρμήγκι που περπατά στο εξωτερικό της δεν πρόκειται να περάσει στο εσωτερικό.

Μια επίπεδη επιφάνεια που εκτείνεται ως το άπειρο προς όλες τις κατευθύνσεις διαθέτει, επίσης, δύο όψεις. Ένα μυρμήγκι που περπατά στη μία όψη δεν πρόκειται να βρεθεί ποτέ στην άλλη. Ακόμη και μια πεπερασμένη επίπεδη επιφάνεια, όπως μια σελίδα χαρτιού, θεωρείται δύο όψεων αν το μυρμήγκι δεν καταφέρει να "καβαλήσει" τις αιχμηρές ακμές του συνόρου της. Ομοίως, ένα κοίλο αντικείμενο τοροειδούς σχήματος σαν τον λουκουμά έχει δύο όψεις. 

Η πρώτη επιφάνεια μίας όψης που ανακαλύφθηκε και μελετήθηκε είναι η ταινία του Möbius.

Seth Bareiss (γεν. 1964) - "Forever Fish" (2005)

Τα βιβλία γράφουν... 

Η ταινία του Möbius είναι μια επιφάνεια με μία μόνο όψη και μόνο ένα σύνορο (συνοριακή γραμμή), ενώ δεν έχει προσανατολισμό.

M.C Escher (1898-1972) - "Möbius Strip I" (1961)

M.C Escher (1898-1972) - "Möbius Strip II - Red Ants" (1963)

Για να κατασκευάσει κανείς μια ταινία Möbius, αρκεί απλώς να ενώσει τα δύο άκρα μιας μακριάς ανοιχτής λωρίδας, αφού πρώτα περιστρέψει το ένα από αυτά κατά 180º ως προς το άλλο. Σε μια τέτοια επιφάνεια, ένα μυρμήγκι μπορεί να περπατήσει από ένα σημείο σε ένα άλλο, χωρίς ποτέ να διασχίσει μια ακμή.

M.C Escher (1898-1972) - "Möbius Horsemen" (1946)

Joachim Eriksen (σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Möbius"

Joachim Eriksen (σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Intermediate Dimension"

Προσπαθήστε να χρωματίσετε μια ταινία Möbius. Είναι αδύνατο να βάψετε τη μια πλευρά κόκκινη και την άλλη πράσινη, καθώς διαθέτει μια μόνο όψη. Αυτό σημαίνει ότι αν πάρουμε δύο οποιαδήποτε σημεία πάνω στην ταινία του Möbius, μπορούμε να σχεδιάσουμε μια συνεχή γραμμή, χωρίς ποτέ να διασχίσουμε ένα σύνορο (ακμή).  

Joachim Eriksen (σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Über die Einfachheit der Dinge"

Η ταινία του Μέμπιους είναι μια μη προσανατολιζόμενη επιφάνεια. Παρατηρήστε ότι ο κάβουρας που κινείται πάνω σε αυτήν αντιστρέφεται (η μεγάλη του δαγκάνα από αριστερά πάει δεξιά) κάθε φορά που κάνει έναν πλήρη κύκλο. Αυτό δεν θα συνέβαινε αν ο κάβουρας κινούταν πάνω σε έναν τόρο.

Η ταινία του Möbius με τις ενδιαφέρουσες ιδιότητές της έχει αποτελέσει -και συνεχίζει να αποτελεί- έμπνευση για πολλούς καλλιτέχνες...

"Möbius" - Γλυπτό των Jennifer Macklem & Kip Jones 
που διακοσμεί το εξωτερικό της δημόσιας βιβλιοθήκης της Κελόουνα στον Καναδά.

"Möbius Ship" (2006) - Γλυπτό του Tim Hawkinson
που παριστάνει τον αέναο κύκλο της ταινίας του Möbius.
(Μουσείο Τέχνης της Ινδιανάπολης)

Joachim Eriksen (σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Simplicity (Möbius band)", γλυπτό από αλάβαστρο

Η ανακάλυψή της αποδίδεται στους Γερμανούς μαθηματικούς August Ferdinand Möbius και Johann Benedict Listing το 19ο αιώνα, αν και μια δομή παρόμοια με την ταινία του Möbius φαίνεται στα ρωμαϊκά μωσαϊκά που χρονολογούνται γύρω στο 200-250 μ.Χ.  

Αρχαίο ρωμαϊκό μωσαϊκό, όπου απεικονίζεται μια δομή παρόμοια με την ταινία του Möbius  

Πηγές:

• Clifford Pickover (2006). Η Λωρίδα του Μέμπιους. Εκδόσεις Τραυλός, Αθήνα.
• DiscoverNewFields
• The Moebius Strip: Dr August Moebius's marvellous band in Mathematics, games, literature, art, technology and cosmology
• Wikipedia | Λωρίδα του Μέμπιους
• Zeichnungen von Joachim Eriksen

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Τόρος και τοροειδή πολύεδρα

ΤΟΡΟΣ

Τα βιβλία γράφουν...

Τόρος είναι η επιφάνεια που παράγεται από την περιστροφή ενός κύκλου γύρω από έναν άξονα συνεπίπεδο με τον κύκλο.

Αντίστοιχα, στερεός τόρος είναι το στερεό που παράγεται από την περιστροφή ενός κυκλικού δίσκου γύρω από έναν άξονα συνεπίπεδο με τον κυκλικό δίσκο.

π.χ. Ένα φουσκωτό σωσίβιο είναι τόρος, ενώ ένα ντόνατ είναι στερεός τόρος.

Δεν ήταν λίγοι οι καλλιτέχνες που εμπνεύστηκαν και από τον τόρο...

Σελίδα από το βιβλίο του Johannes Lencker "Perspectiva Literaria" ("Λογοτεχνική Προοπτική", Νυρεμβέργη, 1567) 

Wayne Ferrebee (Σύγχρονος ζωγράφος) - "Donut Universe with Centaur and Mummy" (2010)

Wayne Ferrebee (Σύγχρονος ζωγράφος) - "Torus with Spearman, Bagpipes and Barnacle" (2011)

Seth Bareiss (γεν. 1964) - "Torus, Fish, Hawks and Horses" (2007)

Don Barrett (Σύγχρονος γραφίστας) - "Torus"

Marta Banaszak (γεν. 1975) - "Kamasutra Torus Black" (2014)

Marta Banaszak (γεν. 1975) -
"Kamasutra Torus Black" (2014)

Amer Kobaslija (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Lowe's Tubes, Ichetucknee" (2018)

Terry Romero Paul (Σύγχρονη ζωγράφος) - "Penny Lane"

DAN (Κοσμολόγος και ζωγράφος, γεν. 1968) - "Double Torus Universe" (2010)
Σύμφωνα με πολλούς μελετητές, το σύμπαν μας έχει σχήμα τόρου. Δεν έχει λοιπόν αρχή και τέλος, υπακούοντας στην Αρχή Διατήρησης της Ενέργειας.

Ο τόρος εισάγει μια νέα κατηγορία επιφανειών, αυτών που έχουν "τρύπα". Το πλήθος των τρυπών της επιφάνειας ονομάζεται γένος της επιφάνειας. Από τοπολογική άποψη, οι επιφάνειες του ίδιου γένους θεωρούνται ομοιομορφικοί, δηλαδή "ίδιοι".

ΤΟΡΟΕΙΔΗ ΠΟΛΥΕΔΡΑ

Τα βιβλία γράφουν...

Τα πολύεδρα με τοπολογικό τύπο τόρου λέγονται τοροειδή πολύεδρα και έχουν χαρακτηριστική Euler χ = Κ - Α + Ε = 0.

Leonardo da Vinci (1452 - 1519) - Σχέδιο του Mazzocchio (αρχές 
16^ου αιώνα)

Paolo Uccello (1397 - 1475) - Σχέδιο του Mazzocchio (μέσα
15^ου αιώνα)

Paolo Uccello (1397 - 1475) -  Σχέδιο του Mazzocchio (μέσα
15^ου αιώνα)

Εκτός από τα πλατωνικά στερεά, ένα άλλο αγαπημένο γεωμετρικό στερεό των Αναγεννησιακών ζωγράφων ήταν ένα τοροειδές πολύεδρο, το οποίο αποκαλούσαν Μαζζόκιο (Mazzocchio). Το συγκεκριμένο στερεό αντιπροσώπευε το υψηλότερο επίπεδο δεξιοτεχνίας στην εξάσκηση της προοπτικής για γεωμετρικά στερεά.

Wentzel Jamnitzer (1508 - 1585) - Σχέδιο του Mazzocchio (μέσα
16^ου αιώνα)

Peter Halt - Σχέδιο του Mazzocchio (αρχές 17^ου αιώνα)

Αναγεννησιακό ξυλόγλυπτο (Intarsia), έργο του Fra Giovanni da Verona (1457 - 1525). Μοναστήρι του Monte Olivetto, κοντά στη Siena (περ. 1503 - 1506). Απεικονίζει μια 72-εδρη σφαίρα (σφαίρα του Κάμπανου) και ένα τοροειδές πολύεδρο (Mazzocchio)

Mimmo Paladino (γεν. 1948) - Γλυπτό στο Μουσείο Βωμός της Ειρήνης, Ρώμη

Πηγές:

• E.H. Gombrich, Το Χρονικό της Τέχνης, Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, 1995
• Πανεπιστημιακές σημειώσεις "Ολικής Διαφορικής Γεωμετρίας" καθηγητή Θ. Χασάνη, 2010
• Wassily Kandinsky, Για το πνευματικό στην Τέχνη, Εκδόσεις Νεφέλη, 1981
• David Wade: Renaissance Geometricism
• George Adams Gallery: Amer Kobaslija
• Pixels: Don Barrett art
• Il Mazzocchio di Leonardo
• Marta Banaszak
• Terry Romero Paul
• Tessellations.org
• Wayne Ferebee
• Wolfram Math World: Torus
• wikipedia.org