Εξισώσεις Navier–Stokes: Πώς η ΤΝ έφτασε στη λύση ενός από τα Προβλήματα της Χιλιετίας

 

Στις 8 Σεπτεμβρίου 2026, η OpenAI ανακοίνωσε μια λύση στο περίφημο πρόβλημα ύπαρξης και ομαλότητας των εξισώσεων Navier–Stokes, ένα από τα επτά Προβλήματα της Χιλιετίας του Clay Mathematics Institute.

Πηγή εικόνας: Wikimedia Commons, C. Fukushima and J. Westerweel, Technical University of Delft, The Netherlands

Για τις εξισώσεις Navier–Stokes και τη σημασία τους έχουμε μιλήσει αναλυτικά εδώ. Το πρόβλημα, σε πολύ συμπυκνωμένη μορφή, ήταν αν μια ομαλή τρισδιάστατη ροή μπορεί να χάσει την ομαλότητά της σε πεπερασμένο χρόνο. Η OpenAI κατασκεύασε μια λύση που αναπτύσσει singularity σε πεπερασμένο χρόνο.

Υπάρχει εδώ μια σημαντική λεπτομέρεια. Η κατασκευή αφορά τις forced Navier–Stokes, δηλαδή επιτρέπεται η παρουσία μιας εξωτερικής δύναμης \(f\). Για κάθε \(\nu >0\) κατασκευάζεται μια δύναμη \(f \in C_c^{\infty} \) λεία και με συμπαγή φορέα στο χώρο και στο χρόνο, καθώς και μια λύση που ξεκινά από ακινησία, \(u(x,0)=0 \), έχει πεπερασμένη κινητική ενέργεια, \( \sup_{0 \leq t <1} \| u(t)\|_{L^2} < \infty\), αλλά ταυτόχρονα \( \limsup_{t \to 1^{-}} \|u(t)\|_{L^{\infty}}=\infty \).

Με άλλα λόγια, η μέγιστη ταχύτητα γίνεται απεριόριστη σε πεπερασμένο χρόνο, ενώ η συνολική ενέργεια παραμένει πεπερασμένη. Η περίπτωση αυτή περιλαμβάνεται στην επίσημη διατύπωση του Προβλήματος της Χιλιετίας.

 

Μια δίνη που καταρρέει σε όλο και μικρότερες κλίμακες

Η βασική κατασκευή είναι μια δίνη συμμετρική ως προς έναν άξονα και η οποία, όσο πλησιάζει ο χρόνος της ανωμαλίας, γίνεται ολοένα στενότερη και περιστρέφεται ολοένα ταχύτερα.

Αν θέσουμε \(\tau = 1-t \), δηλαδή τον χρόνο που απομένει μέχρι το blow-up, τότε στον πυρήνα της δίνης εμφανίζονται διαφορετικές χωρικές κλίμακες:

\( \ell_r \sim \tau^{1/2}, \qquad \ell_z \sim \tau^{1/2-h}\), 

ενώ η χαρακτηριστική ταχύτητα αυξάνεται ως \(U \sim \tau^{-1/2-h}\).

Καθώς λοιπόν ο χρόνος \(\tau\) τείνει στο 0, η ταχύτητα τείνει στο άπειρο. Ταυτόχρονα, όμως, η περιοχή όπου συμβαίνει αυτό συρρικνώνεται τόσο γρήγορα, ώστε η ενέργειά της παραμένει πεπερασμένη και μάλιστα, για κατάλληλα μικρό \(h\), τείνει στο μηδέν.

Έτσι προκύπτει το φαινομενικά παράδοξο: Η μέγιστη ταχύτητα τείνει στο άπειρο, ενώ η ενέργεια του πυρήνα τείνει στο μηδέν. Δεν «εκρήγνυται» λοιπόν η ενέργεια. Αυτό που καταρρέει είναι η ομαλότητα της λύσης, καθώς η κίνηση συγκεντρώνεται σε όλο και μικρότερη περιοχή.

 

Γιατί η εξωτερική δύναμη είναι το δύσκολο σημείο

Θα μπορούσε κάποιος να αναρωτηθεί: αφού επιτρέπεται μια εξωτερική δύναμη \(f\), γιατί να μην επιλέξουμε απλώς μια ταχύτητα \(u\) που γίνεται άπειρη και κατόπιν να ορίσουμε την \(f\) ώστε να ικανοποιείται η εξίσωση;

Το πρόβλημα είναι ότι, αν η επιλεγμένη \(u\) γίνεται singular, συνήθως singular γίνεται και η απαιτούμενη δύναμη. Τότε ουσιαστικά θα είχαμε «κρύψει» την ανωμαλία μέσα στην ίδια την εξωτερική δύναμη.

Εδώ βρίσκεται ένα από τα βασικά τεχνικά επιτεύγματα της απόδειξης: η ταχύτητα απειρίζεται, αλλά η εξωτερική δύναμη παραμένει απολύτως λεία. Για να επιτευχθεί αυτό, η κατασκευή χρησιμοποιεί, μεταξύ άλλων, μικρούς ταλαντωτικούς παλμούς υψηλής συχνότητας. Η ιδέα τους μπορεί να φανεί σε ένα απλό παράδειγμα. Αν \(u_r = a sin (kx) \) και \(u_{\theta}=b sin (kx)\), τότε οι δύο ταλαντώσεις έχουν μηδενικό μέσο όρο, \(\langle u_r \rangle = \langle u_{\theta}\rangle =0\), αλλά το εσωτερικό γινόμενό τους όχι:\(\langle u_r , u_{\theta}\rangle = \frac{ab}{2}\).

Έτσι, μια ταλάντωση μπορεί να έχει μηδενική μέση ταχύτητα και παρ' όλα αυτά να παράγει μη μηδενική μέση ροή ορμής. Η κατασκευή εκμεταλλεύεται αυτή την ιδιότητα για να διορθώνει τους όρους που διαφορετικά θα έκαναν την εξωτερική δύναμη singular.

 

Τι ακριβώς έκανε η Τεχνητή Νοημοσύνη;

Εξίσου ενδιαφέρον με το αποτέλεσμα είναι ο τρόπος με τον οποίο βρέθηκε. Η OpenAI δημιούργησε ένα σύστημα με περίπου 10.000 AI agents, οι οποίοι εργάζονταν παράλληλα πάνω σε διαφορετικές μαθηματικές προσεγγίσεις, αντάλλασσαν ενδιάμεσα αποτελέσματα και αξιοποιούσαν τις πιο υποσχόμενες ιδέες άλλων ομάδων. Προηγήθηκε μάλιστα εργασία σε ένα συγγενικό πρόβλημα για τις εξισώσεις Euler. Ιδέες που προέκυψαν εκεί μεταφέρθηκαν στη συνέχεια στις Navier–Stokes.

Σύμφωνα με την OpenAI, η λύση προέκυψε έπειτα από περίπου 88 ώρες. Στο διάστημα αυτό οι agents αντάλλαξαν περίπου 2,7 εκατομμύρια μηνύματα και παρήγαγαν περίπου 130 δισεκατομμύρια tokens. Ακολούθησε διαδικασία τυπικής επαλήθευσης με το Lean. Το τελικό αποτέλεσμα είναι μια μαθηματική εργασία 166 σελίδων.

Έχει λυθεί οριστικά το πρόβλημα;

Μια απόδειξη τέτοιου μεγέθους και σημασίας δεν γίνεται, φυσικά, αποδεκτή απλώς και μόνο επειδή ανακοινώθηκε από μια μεγάλη εταιρεία. Χρειάζεται να μελετηθεί προσεκτικά, να ελεγχθεί ανεξάρτητα και τελικά να γίνει αποδεκτή από τη μαθηματική κοινότητα.

Η διαδικασία αυτή βρίσκεται ήδη σε εξέλιξη και οι πρώτες αντιδράσεις είναι ιδιαίτερα θετικές. Το Clay Mathematics Institute δεν έχει ακόμη ολοκληρώσει την επίσημη διαδικασία αναγνώρισης της λύσης ούτε έχει απονείμει το προβλεπόμενο έπαθλο του 1 εκατομμυρίου δολαρίων —το οποίο, άλλωστε, η OpenAI έχει δηλώσει ότι δεν προτίθεται να διεκδικήσει. Στις 11 Σεπτεμβρίου, ωστόσο, το Ινστιτούτο ανέφερε ότι το πρόβλημα «φαίνεται ότι έχει επιλυθεί», επισημαίνοντας παράλληλα ότι η αξιολόγηση και η απόδοση της επιστημονικής αναγνώρισης θα γίνουν χωρίς βιασύνη.

Για την ώρα, λοιπόν, βρισκόμαστε μπροστά σε μια πολύ ισχυρή υποψήφια λύση ενός Προβλήματος της Χιλιετίας, η οποία έχει ήδη περάσει σημαντικούς ελέγχους, αλλά αναμένει ακόμη την οριστική αποδοχή της μαθηματικής κοινότητας. Αν αυτή έρθει, οι Navier–Stokes θα γίνουν το δεύτερο από τα επτά Προβλήματα της Χιλιετίας που βρίσκει τη λύση του —και το πρώτο στο οποίο η ΤΝ είχε πρωταγωνιστικό ρόλο.

Ο Ρώσος μαθηματικός που έλυσε ένα πρόβλημα μέσα από τη φυλακή

 

Μπορεί άραγε να γίνει σοβαρή μαθηματική έρευνα μέσα σε μια φυλακή, χωρίς internet, χωρίς πρόσβαση σε επιστημονικά βιβλία και με ελάχιστη δυνατότητα επικοινωνίας με άλλους μαθηματικούς; Θυμόμαστε όλοι τον Αλέξανδρο Γιωτόπουλο, καταδικασμένο ως αρχηγό της «17 Νοέμβρη», που είχε αποκτήσει διδακτορικό στα Μαθηματικά το 2021 ενώ βρισκόταν στη φυλακή. Η πρόσφατη ιστορία του αναρχικού Ρώσου μαθηματικού Azat Miftakhov δείχνει πως η απάντηση μάλλον είναι «ναι».

Πηγή εικόνας: Solidarité FreeAzat

Ο Miftakhov, μαθηματικός και υποψήφιος διδάκτορας του Τμήματος Μηχανικής και Μαθηματικών του Κρατικού Πανεπιστημίου της Μόσχας, βρίσκεται φυλακισμένος στη Ρωσία. Στα τέλη του 2025 ο Γάλλος μαθηματικός Bernard Randé τού έστειλε ένα άλυτο πρόβλημα που σχετιζόταν με την περίφημη εικασία του Chui. Προσπάθησε μάλιστα να διατυπώσει τις μαθηματικές αποδείξεις και τους τύπους με τρόπο που να μπορούν να περάσουν από τη λογοκρισία των φυλακών. Ο Miftakhov εργάστηκε πάνω σε αυτό για περίπου τέσσερις μήνες και τον Μάρτιο του 2026 έστειλε στον Randé τη λύση του, γραμμένη σε χειρόγραφες σελίδες! Μάλιστα, σύμφωνα με τον Randé, ο Ρώσος μαθηματικός δεν περιορίστηκε στην επίλυση του προβλήματος που του είχε τεθεί, αλλά διαπίστωσε ότι η μέθοδός του μπορούσε να οδηγήσει σε ένα γενικότερο αποτέλεσμα.

Ας δούμε, όμως, παρακάτω περί τίνος πρόκειται…

Η εικασία του Chui, που διατυπώθηκε το 1971 από τον μαθηματικό Charles Chui, αφορά την ελαχιστοποίηση της μέσης ισχύος πεδίου ή της νόρμας απλών κλασμάτων στον μοναδιαίο δίσκο. Έστω \(n\) σημεία \(z_1, z_2, \cdots, z_n\) πάνω στον μοναδιαίο κύκλο \(T={z \in \mathbb{C}:|z|=1}\). Εξετάζουμε το ολοκλήρωμα \[\int_{\mathbb{D}}\left|\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{z-z_k}\right|\,dm(z)\] όπου \(\mathbb{D}\) είναι ο μοναδιαίος δίσκος. Η ερώτηση είναι: Ποια διάταξη των \(n\) σημείων πάνω στον κύκλο ελαχιστοποιεί αυτή την ποσότητα;

Η εικασία του Chui υποστηρίζει ότι το ελάχιστο επιτυγχάνεται όταν τα σημεία είναι ομοιόμορφα κατανεμημένα στον κύκλο: \(z_k=e^{2\pi ik/n}\). Με άλλα λόγια, δηλώνει ότι το άθροισμα πυρήνων Cauchy με μοναδιαίους συντελεστές και \(n\) πόλους στον μοναδιαίο κύκλο επιτυγχάνει ελάχιστη νόρμα αν και μόνο αν οι πόλοι ισαπέχουν μεταξύ τους. 

Δηλαδή, αν φανταστούμε τα σημεία ως ίσες σημειακές πηγές πάνω σε έναν κύκλο, η εικασία υποστηρίζει ότι η «πιο ομοιόμορφη» κατανομή τους είναι αυτή που ελαχιστοποιεί ένα συγκεκριμένο μέτρο του συνολικού πεδίου που δημιουργούν.

Η χειρόγραφη λύση του Miftakhov δεν ήταν, φυσικά, έτοιμη για δημοσίευση. Ο Randé συνεργάστηκε με τον Miftakhov για την επεξεργασία της και τη μετατροπή της σε επιστημονικό άρθρο. Το αποτέλεσμα δημοσιεύθηκε τελικά το 2026 στο γαλλικό μαθηματικό περιοδικό RMS, στο τεύχος 136-4, με τίτλο «La conjecture de Chui dans un cadre hilbertien», δηλαδή «Η εικασία του Chui σε ένα πλαίσιο Hilbert».

Η φράση «σε πλαίσιο Hilbert» αναφέρεται στη διατύπωση και μελέτη του προβλήματος μέσα στο πλαίσιο των χώρων Hilbert, οι οποίοι αποτελούν βασικό αντικείμενο της Συναρτησιακής Ανάλυσης. Το πρόβλημα συνδέεται επίσης με τη Μιγαδική Ανάλυση και τη Θεωρία Προσέγγισης.

Η ποσότητα \(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{z-z_k}\) είναι ουσιαστικά μια λογαριθμική παράγωγος: αν \(P(z)= \prod_{k=1}^{n}( z-z_k)\), τότε \(\frac{P'(z)}{P(z)}= \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{z-z_k}\). Άρα το πρόβλημα συνδέει τη διάταξη των ριζών ενός πολυωνύμου με το μέγεθος της λογαριθμικής παραγώγου του. Και αυτό εξηγεί γιατί η εικασία του Chui έχει συνδέσεις με τη Θεωρία Προσέγγισης και τη μελέτη ρητών συναρτήσεων.

Εδώ όμως χρειάζεται μια σημαντική διευκρίνιση. Ο Miftakhov δεν έλυσε την αρχική εικασία του Chui. Η εικασία, στην πλήρη γενικότητά της, παραμένει μέχρι σήμερα ανοικτό πρόβλημα. Αυτό που απέδειξε ο Miftakhov ήταν μια τροποποιημένη εκδοχή ενός σχετικού ανοικτού προβλήματος, σε ένα πλαίσιο χώρων Hilbert.

Η ιστορία είναι εντυπωσιακή όχι επειδή ένας φυλακισμένος μαθηματικός «έλυσε» ένα διάσημο άλυτο πρόβλημα, όπως θα μπορούσε να αφήσει να εννοηθεί ένας δημοσιογραφικός τίτλος. Είναι εντυπωσιακή επειδή δείχνει κάτι βαθύτερο: Η μαθηματική σκέψη μπορεί να συνεχίζεται ακόμη και όταν οι συνθήκες εργασίας είναι εξαιρετικά δύσκολες. Τα Μαθηματικά δεν απαιτούν εργαστήριο, ακριβό εξοπλισμό ή υπολογιστές. Μερικές φορές απαιτούν μόνο χαρτί και μολύβι και, πάνω απ’ όλα, την ελευθερία της σκέψης.

"Τα Μαθηματικά στην εποχή της Τεχνητής Νοημοσύνης" - Η δημόσια διάλεξη του Terence Tao στο International Congress of Mathematicians 2026

 

Τι σημαίνει να μελετάμε μαθηματικά στην εποχή της Τεχνητής Νοημοσύνης;

Μπορεί μια μηχανή να ανακαλύψει νέα μαθηματικά; Μπορεί να αποδείξει ένα θεώρημα; Μπορεί να καταλάβει μια μαθηματική ιδέα; Και, κυρίως, αν οι μηχανές μπορούν όλο και περισσότερο να λύνουν μαθηματικά προβλήματα, τι θα σημαίνει στο μέλλον να μαθαίνει και να κάνει μαθηματικά ένας άνθρωπος;

Αυτά είναι μερικά από τα ερωτήματα που βρίσκονται στο επίκεντρο της δημόσιας διάλεξης “Mathematics in the Age of AI” του Terence Tao, η οποία πραγματοποιήθηκε στις 24 Ιουλίου 2026, στο πλαίσιο του International Congress of Mathematicians (ICM 2026) στη Φιλαδέλφεια. Το ICM είναι το μεγαλύτερο διεθνές συνέδριο μαθηματικών και πραγματοποιείται κάθε τέσσερα χρόνια.

Η διάλεξη έχει πλέον ανέβει ολόκληρη στο YouTube:

 

Ο Tao έχει επίσης δημοσιεύσει τις επίσημες διαφάνειες της διάλεξης, οι οποίες είναι διαθέσιμες ελεύθερα και αποτελούν ένα εξαιρετικό συνοδευτικό υλικό για την παρακολούθηση του βίντεο.

Στη διάλεξή του, ο Terence Tao, ένας από τους σημαντικότερους μαθηματικούς της εποχής μας και κάτοχος του Μεταλλίου Fields, δεν επιχειρεί να προβλέψει απλώς αν η Τεχνητή Νοημοσύνη (ΤΝ) θα «αντικαταστήσει» τους μαθηματικούς. Θέτει ένα πολύ ευρύτερο ερώτημα: πώς πρέπει να ανταποκριθεί συνολικά η μαθηματική κοινότητα στην εμφάνιση των σύγχρονων συστημάτων ΤΝ και στις πραγματικές -αλλά και στις υποτιθέμενες- ικανότητές τους να εκτελούν μαθηματικές εργασίες;

 

Μια νέα «κρίση των θεμελίων»;

Στην αρχή της ομιλίας του ο Tao κάνει μια ιστορική αναδρομή. Για αιώνες, τα μαθηματικά λειτουργούσαν πάνω σε θεμέλια τα οποία οι ίδιοι οι μαθηματικοί δεν χρειαζόταν να εξετάζουν συνεχώς. Ερωτήματα όπως «Τι είναι ένα σύνολο;», «Τι είναι ένας αριθμός;», «Τι είναι το άπειρο;» ή «Ποια είναι τα αξιώματα των μαθηματικών;» είχαν σε μεγάλο βαθμό παραμείνει στο περιθώριο της καθημερινής μαθηματικής πρακτικής.

Στις αρχές, όμως, του 20^ού αιώνα, η εμφάνιση παραδόξων, όπως το παράδοξο του Russell, και αργότερα τα θεωρήματα μη πληρότητας του Gödel, προκάλεσαν μια βαθιά κρίση. Οι μαθηματικοί αναγκάστηκαν να εξετάσουν πολύ πιο προσεκτικά τις ίδιες τις βάσεις πάνω στις οποίες οικοδομούσαν τα μαθηματικά.

Το αποτέλεσμα αυτής της κρίσης ήταν, τελικά, θετικό: δημιουργήθηκε ένα ρητό, αυστηρό και τυποποιημένο θεμελιακό πλαίσιο, μέσα στο οποίο τα σύγχρονα μαθηματικά μπορούν να αναπτύσσονται με μεγάλη ασφάλεια.

Ο Tao θεωρεί ότι ίσως σήμερα βρισκόμαστε μπροστά σε μια ανάλογη περίοδο αναστάτωσης, καθώς η ΤΝ μας αναγκάζει να ξανασκεφτούμε τι θεωρούμε καλή μαθηματική εργασία, πώς παράγεται η μαθηματική γνώση, πώς ελέγχεται, πώς μοιράζεται και ποια είναι τελικά η αξία της ανθρώπινης συμβολής στα μαθηματικά.

Ο ίδιος ο Tao μιλά χαρακτηριστικά για μια «κρίση στα θεμέλια των μαθηματικών αξιών και πρακτικών». Και εκτιμά ότι, αν εξετάσουμε και κωδικοποιήσουμε προσεκτικά τις νέες αυτές πρακτικές, η μαθηματική κοινότητα μπορεί να βγει από αυτή την περίοδο ισχυρότερη και πιο ανθεκτική.

 

Απόδειξη που φαίνεται σωστή ή απόδειξη που είναι ελεγμένη;

Ένα άλλο κεντρικό θέμα της διάλεξης είναι το formal verification, η τυπική επαλήθευση των μαθηματικών αποδείξεων.

Η παραδοσιακή μαθηματική απόδειξη είναι γραμμένη για ανθρώπους. Περιέχει συχνά βήματα που ο συγγραφέας θεωρεί προφανή και τα οποία ο αναγνώστης καλείται να συμπληρώσει νοητά. Αυτό λειτουργεί επειδή οι μαθηματικοί είναι εκπαιδευμένοι να ελέγχουν τέτοιες αποδείξεις.

Όμως η ΤΝ δημιουργεί ένα νέο πρόβλημα: μπορεί να παράξει μια εξαιρετικά πειστική μαθηματική εξήγηση που περιέχει ένα λάθος. Εδώ τα συστήματα τυπικής απόδειξης, όπως το Lean, αποκτούν ιδιαίτερη σημασία. Η βασική ιδέα είναι απλή: δεν αρκεί μια απόδειξη να φαίνεται σωστή, πρέπει να μπορεί να ελεγχθεί μηχανικά.

Έτσι δημιουργείται ένα πολύ ενδιαφέρον σχήμα:

AI: προτείνει μια απόδειξη → Σύστημα formal verification: ελέγχει την απόδειξη.

Η ΤΝ μπορεί, επομένως, να αναλάβει ολοένα μεγαλύτερο μέρος της παραγωγής μαθηματικού υλικού, ενώ ένα ανεξάρτητο τυπικό σύστημα μπορεί να ελέγχει αν το τελικό αποτέλεσμα είναι πράγματι έγκυρο. Αυτό δεν κάνει τα μαθηματικά λιγότερο αυστηρά. Ίσως, αντίθετα, να τα κάνει αυστηρότερα από ποτέ.

 

Προς ένα νέο μοντέλο μαθηματικής συνεργασίας

Εδώ βρίσκεται μία από τις πιο ενδιαφέρουσες ιδέες του Tao. Για μεγάλο μέρος της ιστορίας τους, τα μαθηματικά είχαν ως βασική μονάδα τον άνθρωπο: ένας μαθηματικός ή μια μικρή ομάδα μαθηματικών σκεφτόταν ένα πρόβλημα, έγραφε μια απόδειξη και δημοσίευε τα αποτελέσματα.

Σήμερα αυτό το μοντέλο αρχίζει να αλλάζει. Μπορούμε να φανταστούμε ένα τεράστιο συνεργατικό οικοσύστημα στο οποίο συμμετέχουν:

μαθηματικοί + AI + βάσεις μαθηματικής γνώσης + συστήματα τυπικής απόδειξης + διαδικτυακές κοινότητες.

Η ΤΝ μπορεί να δημιουργεί και να εξετάζει τεράστιο αριθμό πιθανών διαδρομών. Τα formal systems μπορούν να ελέγχουν τις αποδείξεις. Οι μαθηματικοί μπορούν να επιλέγουν τις ενδιαφέρουσες ιδέες και να δίνουν νόημα στα αποτελέσματα.

 

Τι μένει λοιπόν για τον μαθηματικό;

Αν η ΤΝ αναλάβει όλο και περισσότερες τεχνικές εργασίες, θα μπορούσε κάποιος να ρωτήσει: Τι θα κάνει τότε ο μαθηματικός;

Ίσως ακριβώς τα πράγματα που είναι δυσκολότερο να αυτοματοποιηθούν...

• Να επιλέγει τα σημαντικά προβλήματα.
• Να αναγνωρίζει μια ενδιαφέρουσα ιδέα.
• Να δημιουργεί νέες έννοιες.
• Να αποφασίζει ποια από τις πολλές πιθανές διαδρομές αξίζει να ακολουθηθεί.
• Να κατανοεί τη σημασία ενός αποτελέσματος.
• Να συνδέει διαφορετικούς κλάδους των μαθηματικών.
• Και, πάνω απ' όλα, να κρίνει.

Γιατί όταν μια μηχανή μπορεί να παράγει εκατοντάδες πιθανές λύσεις, το σημαντικό ερώτημα θα είναι πλέον: «Ποια λύση αξίζει να κρατήσουμε και γιατί;».

 

Και τι σημαίνουν όλα αυτά για την εκπαίδευση;

Ίσως εδώ να βρίσκεται το πιο ενδιαφέρον ερώτημα για όλους όσοι διδάσκουμε μαθηματικά. Αν μια εφαρμογή ΤΝ μπορεί να λύσει μια άσκηση, να γράψει μια απόδειξη ή να εξηγήσει ένα θεώρημα, τότε πρέπει να επανεξετάσουμε τι ακριβώς θέλουμε να μάθει ο μαθητής.

Για δεκαετίες έχουμε συνδέσει τη μαθηματική μάθηση με την ικανότητα να παράγουμε τη σωστή απάντηση. Όμως η ΤΝ κάνει αυτή την ικανότητα όλο και λιγότερο αποκλειστικά ανθρώπινη. Ίσως, επομένως, χρειάζεται να δώσουμε ακόμη μεγαλύτερη έμφαση σε ερωτήματα όπως:

• Γιατί επιλέξαμε αυτή τη μέθοδο;
• Πώς ξέρουμε ότι η απάντηση είναι σωστή;
• Μπορούμε να διατυπώσουμε μια εικασία;
• Μπορούμε να εξηγήσουμε μια απόδειξη με δικά μας λόγια;
• Μπορούμε να εντοπίσουμε το λάθος σε μια φαινομενικά σωστή λύση;
• Μπορούμε να συγκρίνουμε δύο διαφορετικές λύσεις και να κρίνουμε ποια είναι καλύτερη;

Με άλλα λόγια, η πρόκληση της ΤΝ ίσως μας αναγκάζει να μετακινηθούμε από το: «Μπορώ να λύσω την άσκηση;» στο: «Μπορώ να σκεφτώ μαθηματικά;». Και αυτό μπορεί να είναι μια ευκαιρία να ξανασκεφτούμε τι ακριβώς σημαίνει μαθηματική σκέψη.

Η διάλεξη του Terence Tao είναι, κατά τη γνώμη μας, μια πρόσκληση για να σκεφτούμε σε βάθος και να αναρωτηθούμε: «Σε μια εποχή όπου οι μηχανές μπορούν να κάνουν ολοένα περισσότερα μαθηματικά, τι είναι αυτό που κάνει τα μαθηματικά ανθρώπινα;».

Η Εικασία του Ιακωβιανού: ένα άλυτο πρόβλημα 87 ετών που λύγισε από την Τεχνητή Νοημοσύνη

 

Για σχεδόν έναν αιώνα, η Εικασία του Ιακωβιανού (Jacobian Conjecture) αποτελούσε ένα από τα πιο διάσημα άλυτα προβλήματα της Αλγεβρικής Γεωμετρίας. Από το 1939, οι μαθηματικοί προσπάθησαν να την αποδείξουν είτε να την καταρρίψουν, χωρίς επιτυχία.

Πριν από λίγες μέρες, όμως, μια είδηση προκάλεσε τεράστια αίσθηση στον μαθηματικό κόσμο. Ο 34χρονος μαθηματικός Levent Alpöge, ερευνητής της εταιρίας Τεχνητής Νοημοσύνης Anthropic και πρώην μέλος του Society of Fellows του Harvard, ανακοίνωσε ότι, με τη βοήθεια του μοντέλου τεχνητής νοημοσύνης Claude Fable 5, βρήκε ένα αντιπαράδειγμα που δείχνει ότι η περίφημη εικασία είναι λανθασμένη. Πρόκειται πλέον για μία από τις σημαντικότερες στιγμές στην ιστορία της αλληλεπίδρασης μεταξύ Μαθηματικών και Τεχνητής Νοημοσύνης.

 

Τι είναι η Εικασία του Ιακωβιανού;

Η εικασία πήρε το όνομα του Γερμανού μαθηματικού Carl Gustav Jacob Jacobi και αρχικά είχε διατυπωθεί στις 2 διαστάσεις, από τον Ludwig Krauss το 1884. Η σύγχρονη εκδοχή που αφορά τις \(n\) διαστάσεις διατυπώθηκε το 1939 από τον Γερμανό μαθηματικό Ott-Heinrich Keller και αφορά πολυωνυμικές συναρτήσεις πολλών μεταβλητών. Με πολύ απλά λόγια, εξετάζει το εξής ερώτημα:

Αν μια πολυωνυμική απεικόνιση \(F:\mathbb{C}^n\rightarrow\mathbb{C}^n\)
έχει σταθερή μη μηδενική Ιακωβιανή ορίζουσα, τότε είναι αντιστρέψιμη με πολυωνυμική αντίστροφη;

Ισχύει ότι αν η Ιακωβιανή ορίζουσα μιας πολυωνυμικής συνάρτησης είναι μια μη μηδενική σταθερά, τότε, σύμφωνα με το θεώρημα της αντίστροφης απεικόνισης του λογισμού πολλών μεταβλητών, η συνάρτηση διαθέτει τοπική ομαλή αντίστροφη γύρω από κάθε σημείο. Η Εικασία του Ιακωβιανού ισχυριζόταν ότι αυτή η τοπική αντιστρεψιμότητα αρκεί ώστε η απεικόνιση να διαθέτει μια καθολική αντίστροφη (σε ολόκληρο το χώρο), η οποία μάλιστα να είναι πολυωνυμική.

Η πρόταση αυτή φαίνεται εξαιρετικά φυσική, όμως αποδείχθηκε εντυπωσιακά δύσκολο να επαληθευτεί. Για παράδειγμα, το 1980 ο Stuart Sui-Sheng Wang απέδειξε ότι η εικασία του Ιακωβιανού ισχύει για πολυώνυμα βαθμού 2.

 

Ένα απλό παράδειγμα

Η συνάρτηση

\(u=x^2+y+x, \qquad v=x^2+y\) έχει Ιακωβιανή ορίζουσα

\( J_F= \begin{vmatrix} 1+2x && 1\\ 2x && 1 \end{vmatrix} =1 \). Η αντίστροφή της είναι

\( x=u-v,\qquad y=v-(u-v)^2, \) η οποία είναι επίσης πολυωνυμική.

Αυτό ακριβώς το είδος των παραδειγμάτων είναι που έκανε την εικασία να φαίνεται εύλογη.

Αντίθετα, η συνάρτηση

\( u=2x^2+y,\qquad v=x^2+y \) έχει Ιακωβιανή

\(
J_F=2x,
\)

η οποία δεν είναι σταθερή, και η αντίστροφη περιέχει τετραγωνική ρίζα, άρα δεν είναι πολυώνυμο.

 

Γιατί ήταν τόσο σημαντική;

Η Εικασία του Ιακωβιανού δεν ήταν απλώς ένα ακόμη ανοιχτό πρόβλημα. Ήταν ένας κόμβος που συνέδεε την αλγεβρική γεωμετρία με τη θεωρία πολυωνύμων, τη μεταθετική άλγεβρα και τη θεωρία δυναμικών συστημάτων. Το 1998, ο διάσημος μαθηματικός Stephen Smale την συμπεριέλαβε στον περίφημο κατάλογο με τα σημαντικότερα μαθηματικά προβλήματα του 21^ου αιώνα.

 

Η ανακοίνωση που αιφνιδίασε τους πάντες

Στις 20 Ιουλίου 2026, λίγο μετά τον τελικό του Παγκοσμίου Κυπέλλου, ο Levent Alpöge δημοσίευσε στο X ένα λιτό μήνυμα ότι η Εικασία του Ιακωβιανού δεν ισχύει, συνοδευόμενο από μία πολυωνυμική συνάρτηση ως αντιπαράδειγμα.

Η συνάρτηση αυτή έχει σταθερή Ιακωβιανή ορίζουσα, ίση με \(-2 \neq 0\), αλλά «στέλνει» τρία διαφορετικά σημεία στο ίδιο σημείο. Επομένως δεν είναι “1-1” και συνεπώς δεν έχει αντίστροφη συνάρτηση.

Η ανάρτηση του Alpöge στο X

Στα Μαθηματικά, ένα μόνο σωστό αντιπαράδειγμα αρκεί για να καταρρίψει μια γενική εικασία. Το εντυπωσιακό είναι ότι ο Alpöge δήλωσε ότι το αντιπαράδειγμά του βρέθηκε με τη βοήθεια του Claude Fable 5.

 

Έχει αποδειχθεί οριστικά ότι η εικασία είναι ψευδής;

Η ανακοίνωση του Alpöge δεν πέρασε πρώτα από την κλασική διαδικασία δημοσίευσης σε επιστημονικό περιοδικό, αλλά παρουσιάστηκε δημόσια μέσω ανάρτησης στο X. Ωστόσο, από τότε αρκετοί μαθηματικοί επαλήθευσαν τους υπολογισμούς, δημιουργήθηκαν επίσημες τυπικές επαληθεύσεις (formal verification) σε συστήματα όπως το Lean και το Isabelle/HOL και εμφανίστηκαν ήδη νέες ερευνητικές εργασίες που βασίζονται στο συγκεκριμένο αντιπαράδειγμα και επεκτείνουν τα αποτελέσματά του. Αξιοσημείωτη είναι η εργασία του Terence Tao. Αν και η τυπική διαδικασία δημοσίευσης σε επιστημονικό περιοδικό βρίσκεται ακόμη σε εξέλιξη, η μαθηματική κοινότητα αντιμετωπίζει πλέον την Εικασία του Ιακωβιανού ως καταρριφθείσα για όλες τις διαστάσεις \(n \geq 3\). Το πρόβλημα παραμένει ανοιχτό στις 2 διαστάσεις!

Ένα εντυπωσιακό αποτέλεσμα είναι ότι η συγκεκριμένη απεικόνιση δεν αποτυγχάνει να είναι αντιστρέψιμη μόνο σε ένα «τυχαίο» παράδειγμα. Μεταγενέστερες αναλύσεις έδειξαν ότι πρόκειται για μια απεικόνιση γεωμετρικού βαθμού 3, δηλαδή είναι generically 3-to-1: για ένα γενικό (generic) σημείο της εικόνας (δηλαδή για όλα τα σημεία εκτός από ένα ειδικό αλγεβρικό υποσύνολο εξαιρέσεων) υπάρχουν τρία διαφορετικά στοιχεία τα οποία απεικονίζονται στο σημείο αυτό. Τα τρία σημεία που παρουσίασε ο Alpöge στην αρχική του ανακοίνωση αποτελούν απλώς ένα συγκεκριμένο παράδειγμα αυτής της πολύ βαθύτερης ιδιότητας.

Ένα άλλο άμεσο μαθηματικό συμπέρασμα είναι ότι καταρρέει και η Εικασία του Dixmier της μη μεταθετικής Άλγεβρας. Ήταν ήδη γνωστό ότι η Εικασία του Dixmier συνεπάγεται την Εικασία του Ιακωβιανού. Επομένως, αφού η δεύτερη αποδείχθηκε ψευδής μέσω του αντιπαραδείγματος του Alpöge, δεν μπορεί να ισχύει ούτε η πρώτη.

 

Η Τεχνητή Νοημοσύνη «έκανε μαθηματικά»;

Ίσως αυτό να είναι το πιο ενδιαφέρον ερώτημα. Ο καθηγητής Andrew Blumberg (Columbia University) επισήμανε ότι υπάρχει διαφορά ανάμεσα σε μια βαθιά θεωρητική απόδειξη που εξηγεί γιατί ισχύει κάτι και σε ένα αντιπαράδειγμα που απλώς δείχνει ότι μια πρόταση είναι λανθασμένη.

Η TN φαίνεται να είναι εξαιρετικά αποτελεσματική στην εξερεύνηση τεράστιων χώρων πιθανών πολυωνυμικών κατασκευών, κάτι που για έναν άνθρωπο θα απαιτούσε ίσως δεκαετίες δοκιμών. Το πώς ακριβώς οδηγήθηκε στο συγκεκριμένο αντιπαράδειγμα παραμένει αντικείμενο ενδιαφέροντος και μελέτης.

 

Τι σημαίνει αυτό για τα Μαθηματικά;

Η ιστορία αυτή δεν σημαίνει ότι οι μαθηματικοί αντικαθίστανται από τις μηχανές. Αντίθετα, δείχνει ότι η σχέση ανθρώπου και TN αλλάζει. Ο άνθρωπος θέτει τα ερωτήματα, διατυπώνει τις θεωρίες, ελέγχει την εγκυρότητα των αποτελεσμάτων και κατανοεί τις βαθύτερες μαθηματικές ιδέες. Η TN μπορεί πλέον να λειτουργήσει ως ένας εξαιρετικά ισχυρός συνεργάτης στην αναζήτηση νέων παραδειγμάτων, αντιπαραδειγμάτων και πιθανών αποδείξεων.

Είναι πολύ πιθανό ότι τα επόμενα χρόνια θα δούμε ολοένα και περισσότερες σημαντικές μαθηματικές ανακαλύψεις να προκύπτουν από αυτή τη συνεργασία. Πράγματι, φαίνεται ότι τα Μαθηματικά εισέρχονται σε μια νέα εποχή, όπου η δημιουργική σκέψη των ανθρώπων και η υπολογιστική ισχύς της ΤΝ θα πορεύονται όλο και πιο στενά μαζί. Αλλά αυτό είναι μια άλλη συζήτηση…

Τέσσερις νέοι μαθηματικοί βραβεύτηκαν με το Μετάλλιο Fields 2026

 

Το σπουδαίο βραβείο, που θεωρείται το Νόμπελ των Μαθηματικών, απονεμήθηκε φέτος σε τέσσερις ακαδημαϊκούς, μεταξύ των οποίων για πρώτη φορά δύο Κινέζοι.

Χθες το βράδυ, η Χονγκ Γουάνγκ έλαβε ένα τηλεφώνημα από τον Γάλλο πρόεδρο, Εμανουέλ Μακρόν. Η Γουάνγκ, μαζί με τον συνάδελφό της μαθηματικό, Γιου Ντενγκ, έγιναν από τους ελάχιστους Κινέζους ακαδημαϊκούς (και οι πρώτοι με προπτυχιακές σπουδές στην Λαϊκή Δημοκρατία της Κίνας μετά τον Σινγκ-Τουνγκ Γιάου το 1982) που κέρδισαν το περίβλεπτο Μετάλλιο Φιλντς, ή αλλιώς «Νόμπελ των Μαθηματικών», που απονέμεται κάθε τέσσερα χρόνια σε δύο, τρεις ή τέσσερις μαθηματικούς κάτω των 40 ετών ως αναγνώριση σπουδαίων επιτευγμάτων τους στη μαθηματική επιστήμη.

Οι άλλοι δύο συνάδελφοί τους που βραβεύτηκαν φέτος, είναι ο Τζον Πάρντον από τις ΗΠΑ και ο Τζέικον Τσίμερμαν από τον Καναδά, με καθέναν από τους τέσσερις να κερδίζει 15.000 καναδικά δολάρια (10.500 δολάρια ΗΠΑ). Ο Πάρντον βραβεύθηκε για την συνεισφορά του στη συμπλεκτική γεωμετρία, την τοπολογία και την θεωρία κόμβων, ενώ ο Τσίμερμαν για τη σημαντική συνεισφορά του στη γεωμετρία και τη θεωρία αριθμών, συμπεριλαμβανομένης της Εικασίας André–Oort.

Ο Τσίμερμαν έχει συνεισφέρει επίσης στην Εικασία του Χοτζ, έναν τομέα που σχετίζεται με ένα από τα Επτά Προβλήματα της Χιλιετίας, για τα οποία προσφέρονται 1 εκατομμύριο δολάρια σε όποιον καταφέρει να λύσει κάποιο από αυτά.

Μαζί με τον συνάδελφό της, Τζος Τσαλ, η Γουάνγκ απάντησε σε προεκτάσεις ενός προβλήματος που έθεσε αρχικά ο Ιάπωνας μαθηματικός Σοΐτσι Κακέγια το 1917 και είναι γνωστό ως «το πρόβλημα του Kakeya»: Αν περιστρέψεις ένα μολύβι έτσι ώστε να κάνει μια πλήρη περιστροφή, ποιο είναι το μικρότερο εμβαδόν που καταλαμβάνει; Αν και το αρχικό δισδιάστατο ερώτημα απαντήθηκε το 1928, η Γουάνγκ και ο Τσαλ απέδειξαν την τρισδιάστατη εικασία Kakeya, σε μία μελέτη που δημοσίευσαν πέρυσι. «Αν αυτή η υπόθεση συναρπάζει τόσο πολύ τον κόσμο, είναι επειδή αυτό το είδος φαινομένου εμφανίζεται φυσικά σε προβλήματα από πολύ διαφορετικούς τομείς», δήλωσε η Γουάνγκ. H ίδια, μόλις η τρίτη γυναίκα στην ιστορία που κερδίζει το συγκεκριμένο βραβείο (μετά την Μαριάμ Μιρζαχανί και την Μαρίνα Βιαζόφσκα), προέτρεψε τους πάντες να κυνηγούν με θάρρος αυτό που αγαπούν.

Από την πλευρά του ο Ντενγκ, ένας 37χρονος καθηγητής Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο του Σικάγο, τιμήθηκε για το έργο του στην επίλυση ενός άλλου προβλήματος, επίσης ενός και πλέον αιώνα. Το 1900, ο Γερμανός μαθηματικός Ντέιβιντ Χίλμπερτ έθεσε αυτό που θα γινόταν γνωστό ως το 6^ο Πρόβλημα του Χίλμπερτ: την ανάγκη για μαθηματική αξιωματική θεμελίωση της Φυσικής. Ένα κεντρικό κομμάτι αυτού του προβλήματος ήταν το πώς μπορεί να υπολογιστεί η μακροσκοπική συμπεριφορά ενός συστήματος (όπως ένα ρευστό ή αέριο) με βάση την μικροσκοπική κίνηση μεμονωμένων σωματιδίων. Ο Ντενγκ έλυσε αυτό το σκέλος του προβλήματος μελετώντας τη συμπεριφορά των αερίων. Συγκεκριμένα, απέδειξε την εξίσωση Boltzmann μέσα από την δυναμική των συγκρούσεων των μεμονωμένων μορίων ως σκληρές σφαίρες: 

\( \frac{\partial f}{\partial t+v \cdot {\nabla}_x f = Q(f,f) \)

Ο Ντενγκ απέδειξε πώς η μακροσκοπική εξίσωση Boltzmann, που θεωρεί τα μόρια στατιστικά, προκύπτει ως το αναπόφευκτο αποτέλεσμα της νευτώνειας φυσικής που περιγράφει δισεκατομμύρια μεμονωμένα μόρια που συγκρούονται μεταξύ τους. «Είναι πραγματικά μεγάλη τιμή να βρίσκεται το όνομά μου στη λίστα, έπειτα από όλους αυτούς τους σπουδαίους μαθηματικούς που πάντα θαύμαζα», ανέφερε ο ίδιος για τη βράβευσή του.

 

Διαβάστε σχετικά: Four young mathematicians awarded the 2026 Fields Medals

"Unit Distance Problem": Το μεγαλύτερο μέχρι σήμερα επίτευγμα της ΤΝ στα Μαθηματικά!

 

Η OpenAI προκάλεσε παγκόσμιο θαυμασμό, προσφέροντας πολύτιμη βοήθεια για να απαντηθεί το περίφημο πρόβλημα της μοναδιαίας απόστασης (Unit Distance Problem), ένας γρίφος που είχε μείνει άλυτος για 80 χρόνια. Πάμε όμως να δούμε αναλυτικά περί τίνος πρόκειται.

 

Η λύση ενός… «μαθηματικού μυστηρίου»

Το 1946, ο Paul Erdös, ένας από τους σημαντικότερους μαθηματικούς του 20ού αιώνα διατύπωσε το εξής ερώτημα: Αν τοποθετήσουμε οποιονδήποτε αριθμό κουκκίδων σε μια επίπεδη επιφάνεια, ποιος είναι ο μέγιστος δυνατός αριθμός ζευγών που θα μπορούσαν να απέχουν μεταξύ τους μια συγκεκριμένη μοναδιαία απόσταση (π.χ. 1 cm);

Για παράδειγμα, αν διαθέτουμε n=3 κουκκίδες, μπορούμε να τις τοποθετήσουμε στις κορυφές ενός ισοπλεύρου τριγώνου ώστε να σχηματίζονται u(3)=3 ζεύγη που απέχουν μοναδιαία απόσταση. Αν έχουμε n=4 κουκκίδες, τότε η καλύτερη διάταξη είναι όπως στο παρακάτω σχήμα, όπου προκύπτουν u(4)=5 τέτοια ζεύγη, ενώ αν διαθέτουμε n=5 κουκκίδες, στην καλύτερη διάταξη επιτυγχάνονται u(5)=7 ζεύγη, κ.ο.κ.

Βέβαια, καθώς αυξάνεται ο αριθμός των κουκκίδων, τα σχήματα -στα οποία ζητείται να απέχουν μεταξύ τους μοναδιαία απόσταση όσο το δυνατόν περισσότερα ζεύγη- ξεφεύγουν από την παραπάνω συμμετρία και γίνονται όλο και πιο περίπλοκα:

Μια κατασκευή μοναδιαίων αποστάσεων σε τετραγωνικό πλέγμα πολλών κουκκίδων.
Τι συμβαίνει στο παραπάνω σχήμα: αν θεωρήστε π.χ. την κάτω αριστερή γωνία ως αρχή των αξόνων (0,0), τότε η "μοναδιαία απόσταση" (με την οποία θέλουμε να ισαπέχουν οι περισσότερες κουκκίδες, όχι δύο διαδοχικές) ισούται με την απόσταση των κουκκίδων (8,1) ή (1,8) ή (4,7) ή (7,4) από το (0,0).

Ο Erdös υπέθεσε ένα συγκεκριμένο, δισδιάστατο πλέγμα ως την απόλυτα καλύτερη διάταξη που απαντά στο ερώτημα. Οι περισσότεροι μαθηματικοί συμφωνούσαν με την εικασία του Erdös, θεωρώντας ότι ο μέγιστος αριθμός u(n) των ζευγών που ισαπέχουν, διαθέτει ένα κάτω και ένα άνω όριο σύμφωνα με την εξής ανισότητα:

\(c_1 \cdot n^{1+\epsilon(n)} \leq u(n) \leq c_2 \cdot n^{\frac{4}{3}} \)

Η \( \epsilon(n)\) είναι τέτοια, ώστε καθώς το \(n\) αυξάνεται απεριόριστα, το \( \epsilon(n)\) τείνει στο 0. Κανένας μαθηματικός δεν μπόρεσε να βρει μια καλύτερη διάταξη, αλλά ούτε και να αποδείξει ότι ο Erdös είχε όντως δίκιο…

Τι πέτυχε η Τεχνητή Νοημοσύνη

Πριν από μερικές ημέρες, ανακοινώθηκε από την OpenAI ότι το μοντέλο τεχνητής νοημοσύνης της εταιρείας διέψευσε την εικασία του Erdös, ανακαλύπτοντας μια νέα κλάση κατασκευών. Αντί να προσπαθήσει να βελτιώσει τα δισδιάστατα πλέγματα, η ΤΝ έκανε το εξής: Κατασκεύασε ένα εξαιρετικά πολύπλοκο πλέγμα σε πολυδιάστατο χώρο, όπου ειδικές συμμετρίες επέτρεψαν τη δημιουργία πολύ περισσότερων ζευγών στη ζητούμενη απόσταση. Στη συνέχεια, βρήκε έναν μαθηματικό τρόπο να προβάλει αυτό το πολυδιάστατο σχήμα πίσω στις δύο διαστάσεις. Η τελική διάταξη είναι τόσο περίπλοκη, που είναι αδύνατον να σχεδιαστεί με το χέρι.

Eκείνο που κατάφερε η Τεχνητή Νοημοσύνη τελικά ήταν να ανεβάσει το κάτω όριο ώστε: \(c_1 \cdot n^{1,014} \leq u(n) \leq c_2 \cdot n^{\frac{4}{3}} \)

Έτσι, ενώ η εικασία του Erdös έλεγε ότι «δεν μπορεί στο κάτω όριο, \( c_1 \cdot n^{1+\epsilon(n)}\), να υπάρχει σταθερός εκθέτης μεγαλύτερος από το 1», ο υπολογισμός της Τεχνητής Νοημοσύνης έδειξε ότι αυτό δεν ισχύει, αφού μπορεί να πάρει την τιμή 1,014, καταρρίπτοντας έτσι οριστικά την ιστορική εικασία.

Πώς ανταποκρίθηκε η διεθνής επιστημονική κοινότητα

Το αποτέλεσμα αυτό είναι η πρώτη απόδειξη Τεχνητής Νοημοσύνης που πιθανότατα θα δημοσιευόταν σε κορυφαίο μαθηματικό περιοδικό, αν είχε επιτευχθεί αποκλειστικά από ανθρώπους. Οι μαθηματικοί χαρακτήρισαν τη μέθοδο της τεχνητής νοημοσύνης «έξυπνη» και «κομψή» και δημοσίευσαν εδώ την εργασία τους.

«Καμία προηγούμενη απόδειξη που έχει δημιουργηθεί από ΤΝ δεν έχει πλησιάσει στο να ικανοποιεί αυτά τα υψηλά πρότυπα», έγραψε ο Timothy Gowers, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο του Cambridge και κάτοχος Μετάλλιου Fields, σε σχόλιο που ζητήθηκε από την OpenAI. «Αυτό είναι το μοναδικό ενδιαφέρον αποτέλεσμα που έχει παραχθεί αυτόνομα από την ΤΝ μέχρι στιγμής», λέει ο Daniel Litt, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο του Τορόντο, ο οποίος κλήθηκε από την OpenAI να επαληθεύσει την απόδειξη, χωρίς να έχει σχέση με την εταιρεία.

 

Το μέλλον εξακολουθεί να εξαρτάται από τον άνθρωπο

Ωστόσο, η ΤΝ δεν απέδειξε ότι η προσέγγισή της είναι η καλύτερη που μπορεί να επιτευχθεί. Μάλιστα, ο μαθηματικός Will Sawin έχει ήδη βελτιώσει το πλέγμα της ΤΝ (Διαβάστε εδώ: An explicit lower bound for the unit distance problem). Δηλαδή στην πραγματικότητα η OpenAI δεν έλυσε πλήρως το πρόβλημα, αφού το πρόβλημα παραμένει ανοιχτό στα Μαθηματικά.

Αρκετοί από τους ειδικούς που συμβουλεύτηκε η OpenAI σημείωσαν ότι, αν και το πρόβλημα ήταν ευρέως γνωστό, μια απόδειξη ότι ο Erdős είχε δίκιο θα ήταν μαθηματικά πολύ πιο πλούσια από ένα αντιπαράδειγμα. «Το μοντέλο της ΤΝ δεν εφηύρε κάτι ριζικά νέο, που κανείς δεν είχε προβλέψει», λέει ο Sébastien Bubeck, μαθηματικός που ηγείται των μαθηματικών ερευνών της OpenAI. «Απλώς εκτέλεσε (το πρόβλημα) σαν ένας εκπληκτικός μαθηματικός».

Οι ειδικοί έσπευσαν επίσης να προσθέσουν ότι, χωρίς την παρέμβαση των ανθρώπων για να «συμμαζέψουν» τη δουλειά της ΤΝ, το αποτέλεσμα δεν θα ήταν τόσο πειστικό. «Ο άνθρωπος εξακολουθεί να διαδραματίζει ζωτικό ρόλο στην συζήτηση, την κατανόηση και τη βελτίωση αυτής της απόδειξης, καθώς και στη διερεύνηση των συνεπειών της», έγραψε ο μαθηματικός Thomas Bloom.

Η μαθηματικός του Πανεπιστημίου Harvard, Melanie Matchett Wood, λέει ότι η πρόοδος των ανθρώπων πιθανότατα περιοριζόταν από την πεποίθησή τους ότι η εικασία ήταν αληθής. «Αν όλοι οι ειδικοί είχαν αφιερώσει τον ίδιο χρόνο αναζητώντας ένα αντιπαράδειγμα», σχολιάζει, «θα το είχαν βρει».

Αυτό είναι εύλογο, διότι η λύση της ΤΝ ήταν, εκ των υστέρων, μια άμεση προσέγγιση που κανένας άνθρωπος δεν είχε προσπαθήσει ποτέ να βρει, παρόλο που τα εργαλεία υπήρχαν ήδη. Πραγματικά νέες, πρωτοποριακές ιδέες παραμένουν πέρα από τις δυνατότητες της σημερινής ΤΝ, αφήνοντας αντ’ αυτού τις μηχανές να ερευνήσουν τη βιβλιογραφία για σπάνια «διαμάντια», όπου οι άνθρωποι αγνόησαν μια σχετικά απλή προσέγγιση. Ακόμα κι έτσι, ο Litt προσθέτει, «η μαντεψιά μου είναι ότι σύντομα θα διαπιστώσουμε πως τελικά δεν είναι και τόσο σπάνια».

'Εκθεση Μαθηματικής Τέχνης 2026

Η Έκθεση Μαθηματικής Τέχνης 2026 διεξήχθη και φέτος στο Joint Mathematics Meetings 2026, τη μεγάλη ετήσια συνάντηση στα Μαθηματικά, στην οποία συμμετέχουν επιστήμονες, καλλιτέχνες και εκπαιδευτικοί από όλο τον κόσμο. Η έκθεση ήταν μέρος του συνεδρίου στην Ουάσινγκτον, με αξιόλογα έργα τέχνης εμπνευσμένα από μαθηματικές ιδέες και δομές.  

Adam Rowe - "Rana Viam (Radial)"

Randall Morgan - "Seven Stars (After Dürer, 1521)"

Rafael - "IGP Dodecahedron"

Colin Adams - "5-colored difference carpet"

Ellie Baker - "Crystallographic Napkin Ring Series"

Πολλοί κατανοούν τα μαθηματικά μέσω της τέχνης, αλλά και πολλοί άλλοι βλέπουν την τέχνη που υπάρχει σε μια μαθηματική έννοια... Μαθηματικοί και καλλιτέχνες συνεχίζουν να δημιουργούν δυνατά, εντυπωσιακά έργα με ποικίλα μέσα και τεχνικές, εξερευνώντας την οπτικοποίηση των μαθηματικών.

Δείτε εδώ περισσότερα έργα από την Έκθεση Μαθηματικής Τέχνης 2026.

Μαθηματικός έλυσε το «πρόβλημα της μετακίνησης του καναπέ» από τα «Φιλαράκια»

 

Από την κλασική σκηνή της μετακίνησης του καναπέ στη σειρά "Φιλαράκια", με τον Ρος να φωνάζει "Pivot!"
(Warner Bros. Television)

Το «πρόβλημα της μετακίνησης του καναπέ» (Moving Sofa Problem) είναι ένα κλασικό ανοιχτό πρόβλημα της γεωμετρίας, που διατυπώθηκε το 1966 από τον Leo Moser.

Η διατύπωση του προβλήματος:

Φανταζόμαστε έναν καναπέ (ένα επίπεδο σχήμα στο επίπεδο) που πρέπει να μετακινηθεί:

• μέσα από έναν διάδρομο σχήματος Γ με σταθερό πλάτος 1,
• χωρίς να ανασηκωθεί, να παραμορφωθεί ή να περάσει μέσα από τους τοίχους (επιτρέπεται μόνο μεταφορά και περιστροφή στο επίπεδο).

 

Το ερώτημα είναι:

Ποιο είναι το μέγιστο δυνατό εμβαδόν ενός καναπέ που μπορεί να μετακινηθεί επιτυχώς μέσα από έναν τέτοιο διάδρομο;

Εκτός από τη μαθηματική κοινότητα, το πρόβλημα αυτό έχει βρει θέση και στην ποπ κουλτούρα, χάρη στην γνωστή σκηνή από την κωμική σειρά «Τα φιλαράκια», όπου ο Ρος, η Ρέιτσελ και ο Τσάντλερ πασχίζουν να μεταφέρουν έναν καναπέ από τις σκάλες της πολυκατοικίας τους.

Λύνοντας το πρόβλημα...

Ο 31χρονος μαθηματικός δρ. Baek Jineon, ερευνητής στο Κορεατικό Ινστιτούτο Προηγμένων Σπουδών, έδωσε τα τέλη του 2024 οριστική λύση στο πρόβλημα, δημοσιεύοντας μία εργασία 119 σελίδων στη βάση arXiv και κερδίζοντας παγκόσμια αναγνώριση για μια απόδειξη που επιτεύχθηκε χωρίς τη χρήση υπολογιστών. Πώς ξεκίνησαν όμως οι προσπάθειες επίλυσης του Moving Sofa Problem?

 

Ο «καναπές του Gerver»

Το 1992, ο μαθηματικός Joseph Gerver πρότεινε ένα καμπυλόγραμμο σχήμα, γνωστό ως «καναπές του Gerver», με εμβαδόν περίπου 2.2195 τετραγωνικών μονάδων, ως πιθανή λύση. Ωστόσο, μέχρι πρότινος, κανείς δεν είχε καταφέρει να αποδείξει ότι δεν μπορούσε να υπάρχει κάποιο άλλο σχήμα με μεγαλύτερο εμβαδόν.

Ο "καναπές του Gerver"

Σχετικά πρόσφατα, λοιπόν, και έπειτα από επτά χρόνια συστηματικής εργασίας, ο δρ. Baek απέδειξε ότι ο σχεδιασμός του Gerver είναι πράγματι ο βέλτιστος. Κατέληξε στο συμπέρασμα ότι «δεν μπορεί να υπάρξει καναπές μεγαλύτερος από τον καναπέ του Gerver». Σε αντίθεση με πολλές προηγούμενες προσπάθειες, η δουλειά του βασίστηκε αποκλειστικά στη λογική μαθηματική συλλογιστική και όχι σε εκτεταμένες υπολογιστικές προσομοιώσεις.

 

Η έρευνα συμπεριλήφθηκε από το περιοδικό Scientific American στις «10 κορυφαίες μαθηματικές ανακαλύψεις του 2025».

Το περιοδικό σημείωσε ότι «ενώ πολλοί ερευνητές είχαν στηριχθεί σε μεγάλης κλίμακας προσομοιώσεις υπολογιστών για να προσεγγίσουν το μέγιστο μέγεθος του καναπέ, προκαλεί έκπληξη το γεγονός ότι η τελική λύση του Baek Jin Eon δεν εξαρτάται καθόλου από υπολογιστές».

Ο Κορεάτης μαθηματικός δρ. Baek Jineon
(Photo Courtesy of KIAS)

Ο δρ. Baek ξεκίνησε να ασχολείται με το "πρόβλημα μετακίνησης του καναπέ" κατά τη διάρκεια της στρατιωτικής του θητείας και συνέχισε τόσο στις διδακτορικές του σπουδές στις Ηνωμένες Πολιτείες Αμερικής, όσο και αργότερα ως μεταδιδακτορικός ερευνητής στη Νότια Κορέα. Σήμερα συνεχίζει να εργάζεται πάνω σε προβλήματα βελτιστοποίησης και προκλήσεις της συνδυαστικής γεωμετρίας. Παρόλο που ακόμη δεν έχει ολοκληρωθεί η διαδικασία peer review και δεν έχει γίνει επίσημη δημοσίευση σε επιστημονικό περιοδικό, πολλοί μαθηματικοί εκφράζουν ήδη υψηλή εμπιστοσύνη στην ορθότητα του αποτελέσματος…