Οι συμβουλές του Ιπποκράτη, πατέρα της Ιατρικής, για τη μελέτη των μαθηματικών

 

Ο Ιπποκράτης (Κως, 460 π.Χ. - Λάρισα, 377 π.Χ.), πατέρας της σύγχρονης Ιατρικής, 2.500 χρόνια πριν, έγραφε στον γιο του, Θεσσαλό:

"Να μελετάς, γιε μου, τη Γεωμετρία και την Αριθμητική. Τούτο δεν θα κάνει μόνο τη ζωή σου δοξασμένη και χρήσιμη στους ανθρώπους, αλλά θα σου δώσει μεγαλύτερη οξύνοια και διορατικότητα, για να ωφεληθείς από την Ιατρική όλα όσα χρειάζονται. Πράγματι, η Γεωμετρία, όντας πολύμορφη και πολυειδής, καθώς φτάνει στο κάθε της συμπέρασμα με αποδείξεις, θα σου είναι χρήσιμη για τη θέση των οστών, τις εξαρθρώσεις, στη διάταξη των μελών, στην ανάταξη των αρθρώσεων, τη διέκπριση και τα άλλα είδη θεραπείας. Το μάθημα της Αριθμητικής, από την άλλη, θα σου φανεί χρήσιμο στις περιόδους και στις κανονικές μεταβολές των πυρετών, τις κρίσεις των αρρώστων και την ασφάλεια στις ασθένειες. Γιατί είναι πολύ σημαντικό να έχεις στην Ιατρική μια μέθοδο που να σε βοηθά να αναγνωρίζεις χωρίς κίνδυνο να πέσεις έξω από τα όρια της όξυνσης και της υποχώρησης της ασθένειας, που δεν είναι ίσα. Γι' αυτό πρέπει να αποκτήσεις τη δύναμη αυτής της γνώσης". 

Πηγή: Σακαλής, Δ. Θ. (1989) Ιπποκράτους Επιστολαί.  Ιωάννινα: Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Ανακτήθηκε από: https://olympias.lib.uoi.gr/jspui/handle/123456789/6492

Αντιλαμβάνεται, λοιπόν, κανείς, πόσο χρήσιμο "όπλο" ήταν για τον Ιπποκράτη και τους συναδέλφους του εκείνη την εποχή η γνώση των Μαθηματικών. Σήμερα, που η επιστήμη της Ιατρικής κάνει χρήση σύγχρονων τεχνολογικών μέσων βασισμένων στα Μαθηματικά, αυτή η αξία παραμένει σε ισχύ.

Ο μαθηματικός Θανάσης Φωκάς εξηγεί τα «Μονοπάτια Κατανόησης»...

 

Ο νοητός περίπατος στα «Μονοπάτια Κατανόησης» του εγκεφάλου με «ξεναγό» έναν από τους σπουδαιότερους μαθηματικούς διεθνώς, που είναι επίσης αεροναυπηγός, φιλόσοφος και γιατρός, πρόκειται να είναι σίγουρα μια σπάνια εμπειρία.

Ο Θανάσης Φωκάς, γεννημένος το 1952 στην Κεφαλονιά, είναι ο πρώτος κάτοχος της Έδρας Μη Γραμμικών Μαθηματικών στο πανεπιστήμιο του Κέμπριτζ και τώρα διευθυντής του προγράμματος «Ελλάδα 2001, Μαθηματική κληρονομιά» (εντός του πλαισίου του προγράμματος  Γιάννα Αγγελοπούλου, Επιστήμη, Τεχνολογία και Καινοτομία). Είναι, επίσης καθηγητής του Πανεπιστημίου της Νότιας Καλιφόρνιας και μέλος της Ακαδημίας Αθηνών. Σε  λίγες ημέρες κυκλοφορεί στα ελληνικά ο πρώτος τόμος της τριλογίας με τίτλο «Μονοπάτια Κατανόησης» (εκδόσεις Broken Hill) με την οποία ο Φωκάς παρουσιάζει μια ολιστική προσέγγιση σχετικά με το βασικό ερώτημα "πώς κατανοούμε;".

Σε αυτήν την άκρως διεπιστημονική προσπάθεια, καθοριστικό ρόλο διαδραματίζει η διαλεύκανση θεμελιωδών νευρωνικών μηχανισμών, από το συνεχές των ασυνειδήτων-συνειδητών διαδικασιών, μέχρι τις διαδικασίες μνήμης και μάθησης σε μοριακό επίπεδο.

Βασικό συστατικό στοιχείο αυτής της καινοτόμου προσέγγισης αποτελεί η εισαγωγή της έννοιας των μεταναπαραστάσεων, στην οποία εντοπίζεται το κύριο χαρακτηριστικό της νοητικής μας υπεροχής  σε σχέση με τους εξελικτικούς μας προγόνους.

Για την υποστήριξη και επεξήγηση των ανωτέρω χρησιμοποιούνται μια πληθώρα παραδειγμάτων από τις περιοχές των Μαθηματικών, της Φυσικής, των Επιστημών του Μηχανικού, της Τεχνολογίας, της Βιολογίας, της Ιατρικής, της Φιλοσοφίας και της Ζωγραφικής.

Με βάση την σύνθεση των παραπάνω γνωστικών αντικειμένων, αναλύονται μία σειρά σημαντικών ερωτημάτων συμπεριλαμβανομένων των ακολούθων:

• Ποια είναι η σχέση ανάμεσα στην εγγενή και την επίκτητη γνώση;
• Γιατί είναι δυνατό να κατανοούμε το σύμπαν;
• Ποια είναι η επίδραση της πολιτιστικής εξέλιξης στον εγκέφαλό μας;
• Ποια είναι η νευρωνική προέλευση των διεργασιών που διέπουν τις τέχνες και τα γράμματα;
• Γιατί οι μαθηματικές εξισώσεις που χαρακτηρίζουν βασικά φυσικά φαινόμενα είναι κομψές;
• Μπορεί το πρόβλημα της συνείδησης να επιλυθεί;
•  Θα είναι η επίδραση των μαθηματικών στη βιολογία εξίσου σημαντική όσο στη φυσική;

Η συζήτηση όμως ξεκίνησε από το επιστημονικό του έργο, που έχει αποσπάσει διεθνή αναγνώριση. Ιδιαίτερα, θα μείνει για πάντα στην ιστορία των επιστημών ως εκείνος που εφηύρε την «Μέθοδο Φωκά».  

– Τι είναι η «Μέθοδος Φωκά»;

– Ο κορυφαίος μαθηματικός του 18^ου αιώνα Φουριέ, παρήγαγε την εξίσωση που διέπει την μετάδοση της θερμότητας και συγχρόνως εισήγαγε μια καινοτόμο μέθοδο για την λύση της. Αυτή η μέθοδος στηρίζεται στην περίφημη σειρά Φουριέ. Δεν υπάρχει μαθηματικός που να μην γνωρίζει αυτόν τον φορμαλισμό. Για 200 χρόνια η μέθοδος αυτή αποτελούσε τον αναμφισβήτητο τρόπο με τον οποίο λύναμε εξισώσεις. Η μέθοδός μου, την οποία εκατοντάδες ερευνητές ονομάζουν «Μέθοδο Φωκά», όχι μόνο λύνει πολύ μεγάλο αριθμό προβλημάτων που είναι αδύνατον να λυθούν με την σειρά του Φουριέ, αλλά ακόμη και για προβλήματα που λύνονται με τον παραδοσιακό τρόπο, προσφέρει έναν εντελώς καινούργιο φορμαλισμό με αδιαφιλονίκητα αναλυτικά και υπολογιστικά πλεονεκτήματα.

– Είστε ο πρώτος κάτοχος της έδρας των μη γραμμικών μαθηματικών στο Κέμπριτζ. Μάλιστα η έδρα δημιουργήθηκε για εσάς. Τα μη γραμμικά μαθηματικά περιγράφουν τα μη γραμμικά φαινόμενα, δηλαδή τον ίδιο τον κόσμο. Σωστά;

– Όντως, τα περισσότερα φαινόμενα είναι μη γραμμικά. Για παράδειγμα, οι εξισώσεις της Θεωρίας της Σχετικότητας είναι μη γραμμικές. Μία προσπάθεια λύσεως των μη γραμμικών εξισώσεων είναι η προσέγγισή τους με γραμμικές εξισώσεις. Συνήθως όμως αυτές οι προσεγγίσεις δεν εκφράζουν πλήρως την πραγματικότητα η οποία εμπεριέχεται στις μη γραμμικές εξισώσεις. Ευτυχώς, τα τελευταία 50 χρόνια έχουν αναπτυχθεί εντυπωσιακά τα μη γραμμικά μαθηματικά, τα οποία συμπεριλαμβάνουν και την «θεωρία του χάους».

– Σε 500 χρόνια θα μπορούμε να παρακολουθούμε «Δελτία Μέλλοντος» όπως σήμερα παρακολουθούμε «Δελτία Καιρού»;

– Ακούστε. Το συνειδητό ήταν ένα μεγάλο δημιούργημα της εξέλιξης. Συγχρόνως όμως έχει περιορισμούς. Ιδιαίτερα το συνειδητό ζητά απολυτότητα και  πληρότητα. Η πραγματικότητα είναι πολύ πιο πολύπλοκη από αυτή που εκφράζει το συνειδητό. Η ερώτησή σας, σε συνέπεια με τα βασικά χαρακτηριστικά του συνειδητού, απολυτοποιεί την ισχύ των μαθηματικών και δεν μπορεί να απαντηθεί. Παρεμπιπτόντως, το ασυνείδητο κατανοεί την πραγματικότητα πληρέστερα από το συνειδητό και σε αντίθεση με το συνειδητό αποδέχεται  την σπουδαιότητα των μεταφορών κα της αμφισημίας. Για παράδειγμα, το ασυνείδητο είναι καθοριστικής σημασίας για την εκτίμηση της  τέχνης και για αυτό στις τέχνες δεχόμαστε την σπουδαιότητα της αμφισημίας.

– Πώς θα εξηγήσουμε, πώς θα απλοποιήσουμε αυτή τη σύνθετη πραγματικότητα;

– Δεν μπορούμε να την απλοποιήσουμε. Μπορούμε όμως να αναπτύξουμε καλύτερους τρόπους να πλησιάσουμε την κατανόησή της. Προς αυτή την κατεύθυνση, είναι ανάγκη να διαλευκάνουμε και κατόπιν να αποδεχθούμε τους μηχανισμούς που χρησιμοποιεί ο εγκέφαλος. Ιδιαίτερα να βυθιστούμε στο ασυνείδητο. Εκεί υπάρχει πολύ περισσότερη πληροφορία η οποία χάνεται καθώς ταξιδεύει προς το συνειδητό. Αυτό αναλύεται διεξοδικά στο βιβλίο μου.

– Στο βιβλίο σας εκφράζετε διαφωνίες με τον Πλάτωνα. Πού ακριβώς διαφωνείτε;

– Ο κύριος εκφραστής του συνειδητού στη φιλοσοφία ήταν ο Πλάτωνας. Για τον Πλάτωνα σημαντικό ήταν ό,τι ήταν πλήρες, ό,τι ήταν ακριβές, ό,τι εκφράζεται με κανόνες. Όμως, η πραγματικότητα είναι πολύ πιο σύνθετη. Ο Πλάτωνας αγνόησε τον καθοριστικό ρόλο του ασυνείδητου. Από την άλλη μεριά, κατά την γνώμη μου, η «θεωρία των Ιδεών» αποτελεί ένα εξαιρετικό παράδειγμα της προδιάθεσης του εγκεφάλου να δημιουργεί μεταναπαραστάσεις, δηλαδή να περνάει από μια νοητική εικόνα στην κατασκευή της.

– Τι εννοείτε;

– «Για παράδειγμα, πώς αντιλαμβάνομαι το πρόσωπό σας; Ο εγκέφαλός μου, χρησιμοποιώντας ασυνείδητους μηχανισμούς λύνει ένα δύσκολο αντίστροφο πρόβλημα: Από την γνώση της κατανομής των φωτονίων που εισέρχονται στον  αμφιβληστροειδή  δημιουργεί την νοητική εικόνα του προσώπου σας. Ονομάζω την ενεργοποίηση των νευρωνικών κυκλωμάτων υπεύθυνων για τους ανωτέρω ασυνείδητους μηχανισμούς την νοητική αναπαράσταση που προηγείται της νοητικής εικόνας. Προφανώς και τα ζώα κατασκευάζουν νοητικές εικόνες. Θεωρώ ότι η διαφορά μας από τα άλλα ζώα είναι η ικανότητα μας να υλοποιούμε τόσο τις νοητικές μας αναπαραστάσεις όσο και τις νοητικές μας εικόνες (όπως γίνεται στις τέχνες), ή να τους δίδουμε συμβολισμούς (όπως γίνεται στην γλώσσα και τα μαθηματικά). Ο Πλάτωνας  κατασκεύασε έναν, κατά αυτόν υπαρκτό κόσμο, όπου τοποθέτησε αυτές τις μεταναπαραστάσεις. Αυτός είναι ο περίφημος κόσμος των ιδεών.

– Μπορεί μέσω των μεταναπαραστάσεων ο εγκέφαλος να κατανοήσει τον εγκέφαλο;

– Ναι. Κατά την γνώμη μου, δύο ήταν τα θαύματα της εξέλιξης στο νοητικό επίπεδο. Το πρώτο  ήταν ότι το νευρικό σύστημα ενημέρωσε τον εαυτό του για αυτά που ήδη γνώριζε. Αυτή η «ενημερότητα», είναι η πεμπτουσία της συνείδησης. Το δεύτερο θαύμα είναι αυτό που διαφοροποιεί εμάς από τους εξελικτικούς μας προγόνους: η προδιάθεσή μας να δημιουργούμε μεταναπαραστάσεις.

– Μπορεί αυτή η καινοτόμος έννοια των μεταναπαραστάσεων που εισάγεται στο βιβλίο σας να μας βοηθήσει να κατανοήσουμε καλύτερα την γέννηση της πρωτοτυπίας στις τέχνες;

– Θεωρώ ότι όσο πιο προηγμένη είναι μια μορφή τέχνης, τόσο λιγότερο επηρεάζεται το πέρασμα από τις ασυνείδητες νοητικές αναπαραστάσεις στην υλοποίησή τους από συνειδητές διαδικασίες.

– Αυτό είναι το «κλειδί» της μεγάλης τέχνης; 

– Πιστεύω ναι. Είναι εξαιρετικά ενδιαφέρον ότι ο  Άρνολντ Σένμπεργκ  και ο Πάμπλο Πικάσο εξέφρασαν με σχεδόν τα ίδια λόγια την σπουδαιότητα του ασυνείδητου. Ο Σένμπεργκ είπε ότι «ένας συνθέτης θέλει να μάθει τους νόμους που διέπουν τη μουσική την οποία ο ίδιος συνέλαβε σαν όνειρο». Ο Πικάσο είχε πει ότι αποφάσισε να φωτογραφίζει τα έργα του σε διάφορα στάδια της δημιουργίας τους έτσι ώστε «να κατορθώσει να συλλάβει πώς το όνειρο γίνεται πραγματικότητα».

– Γιατί κατανοούμε τον κόσμο παρά το γεγονός ότι είναι πιο σύνθετος απ’ όσο νομίζουμε;

– Γιατί αφενός μεν είμαστε τυχεροί, αφετέρου δε ο εγκέφαλος μας έχει την ικανότητα να κατασκευάζει μεταναπαραστάσεις. Είμαστε τυχεροί γιατί οι βασικοί νόμοι της φύσης που διέπουν τον μακρόκοσμο είναι εξαιρετικά απλοί. Αυτό επέτρεψε στον Νεύτωνα να τους κατανοήσει και να τους εκφράσει με πολύ απλές εξισώσεις. Αν ίσχυε στον μακρόκοσμο η Γενική Θεωρία της Σχετικότητας δεν θα μπορούσαμε ποτέ να καταλάβουμε τίποτα. Πώς όμως περάσαμε από τη Νευτώνεια Φυσική στη Φυσική του Αϊνστάιν; Αυτό το άλμα οφείλεται στην ικανότητα του εγκεφάλου να δημιουργεί μεταναπαραστάσεις και στην συνεχή αλληλεπίδραση αυτών των κατασκευών με ασυνείδητες διαδικασίες. Αυτό οδηγεί σε αφαίρεση, σε γενίκευση, και στην παραγωγή όλο και πιο πολύπλοκων δομών. Αυτές οι δομές είναι απαραίτητες για την κατανόηση της αφανούς πραγματικότητας.

– Πώς κατανοούμε τον αφανή κόσμο;

– Πάρτε για παράδειγμα τη Ρημάνεια Γεωμετρία, η οποία αποτελεί μια γενίκευση της Ευκλείδειας γεωμετρίας. Αυτή η γεωμετρία, την οποία διατύπωσε ο Γερμανός Μαθηματικός του 19^ου αιώνα Μπέρναρντ Ρήμαν, είναι πολύ δύσκολο να κατανοηθεί διαισθητικά και κατά συνέπεια αποτελεί ένα παράδειγμα της γενεσιουργής ικανότητας το εγκεφάλου να δημιουργεί νέες μαθηματικές δομές δια μέσου της διαδικασίας της γενίκευσης. Είναι εξαιρετικά ενδιαφέρον ότι η Ρημάνεια γεωμετρία αποτελεί την βάση της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας. Δηλαδή εκφράζει την αφανή πραγματικότητα που υπάρχει στο σύμπαν με πολύ μεγαλύτερη ακρίβεια από την Ευκλείδεια γεωμετρία.

– Εσείς έχετε καλή σχέση με το υποσυνείδητό σας;

– Υπήρχαν περιπτώσεις που παρόλο που όλα στην οικογένειά μας ήταν καλά, ξύπναγα σε  κακή διάθεση. Τότε, έλεγα στη γυναίκα μου: «Δεν πάει καλά ο Ρήμαν», εννοώντας ότι δεν πήγαινε καλά μια προσπάθεια 13 ετών να αποδείξω μια υπόθεση που  συνδέεται άμεσα με την περίφημη υπόθεση Ρήμαν (το πιο σημαντικό ανοιχτό πρόβλημα στην ιστορία των μαθηματικών). Και πράγματι, λίγες ώρες αργότερα ανακάλυπτα κάποιο λάθος. Το ασυνείδητό μου ήδη το γνώριζε. Και επειδή το ασυνείδητο έχει γρηγορότερη πρόσβαση στα συναισθήματα, ξύπναγα με κακή διάθεση.

– Είχατε ένα προαίσθημα…

– Ναι, αυτή η κακή διάθεση είναι ένα προαίσθημα. Ο εγκέφαλος ήδη ξέρει, αλλά δεν έχει ακόμη πληροφορήσει το συνειδητό. Έχει συμβεί και το αντίθετο. Να ξυπνήσω με πολύ καλή διάθεση. Προαίσθημα ότι η έρευνα πάει καλά. Ένα κύριο κομμάτι του βιβλίου αποτελεί τη περιγραφή  νευρωνικών  μηχανισμών δια μέσω των οποίων το ασυνείδητο φτάνει στο συνειδητό. Κατά την γνώμη μου το κλειδί της δημιουργικότητας βρίσκεται  στην πρόσβαση στο ασυνείδητο.

– Έχετε πει ότι σας αρέσει η μουσική του Σένμπεργκ. Γιατί Σένμπεργκ και όχι Μότσαρτ;

– Βεβαίως και απολαμβάνω τον Μότσαρτ. Ας μην ξεχνάμε ότι ο Σένμπεργκ είπε πώς οτιδήποτε έγραψε ο Μότσαρτ είναι τέλειο. Ωστόσο, θαυμάζω τον Σένμπεργκ επειδή έφτασε στην ατονική μουσική, όχι γιατί δεν μπορούσε να γράψει τονική, αλλά επειδή κατανόησε τα όρια την τονικής μουσικής. Όντως, η Εξαϋλωμένη Νύχτα και τo Gurre–Lieder είναι τουλάχιστον επιπέδου Μάλερ και Βάγκνερ, αντίστοιχα. Παρεμπιπτόντως, θεωρώ τον Σένμπεργκ το πιο εφευρετικό καλλιτέχνη από την εποχή της Αναγέννησης: όχι μόνο πέτυχε αυτό το άλμα στην μουσική, αλλά και ήταν και ένας εξαιρετικός εξπρεσιονιστής ζωγράφος που έφτασε στην αφηρημένη ζωγραφική ένα χρόνο πριν από τον Καντίνσκι (γεγονός που παραμένει άγνωστο στο ευρύ κοινό)».  

– Τι εννοείτε με τα «όρια της τονικής μουσικής»;

– Όπως είναι γνωστόν, η εξέλιξη στην Φυσική και σε άλλες επιστήμες είναι αποτέλεσμα αποτυχίας. Νέα δεδομένα οδηγούν στο συμπέρασμα ότι μια συγκεκριμένη θεωρία είναι ελλιπής και αυτό τελικά οδηγεί στην αντικατάσταση αυτής της θεωρίας από μια νέα θεωρία που είναι συνεπής με τα καινούργια δεδομένα. Για παράδειγμα, έτσι γεννήθηκε η Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας, που αποτελεί γενίκευση του νόμου του Νεύτωνα στην περίπτωση που το υπό εξέταση αντικείμενο κινείται με μεγάλη ταχύτητα. Κατά την γνώμη μου, η πρόοδος στις τέχνες είναι αποτέλεσμα επιτυχίας. Για παράδειγμα, η συμφωνική μουσική έφθασε την τελειότητα με την Ενάτη του Μπετόβεν. Παρά τις ηρωικές προσπάθειες του Μπραμς και του Μπρούκνερ έγινε προφανές ότι ήταν πλέον ανάγκη να υπάρξει μια νέα μορφή έκφρασης, το οποίο επιτεύχθηκε από τον Μάλερ. Ο ίδιος ο μεγάλος αυτός συνθέτης, κατανοώντας ένα καινούργιο αδιέξοδο, έφθασε πολύ κοντά στην ατονική μουσική. Αυτό που δεν πρόλαβε να πετύχει ο Μάλερ, λόγω του πρόωρου θανάτου του, το πέτυχε ο μεγάλος θαυμαστής του, ο Σένμπεργκ.

– Μα η μουσική του Σένμπεργκ δίνει μια αίσθηση δυσαρμονίας.

– Ναι, αλλά όπως αναφέρει ο κορυφαίος αυτός συνθέτης, αποδεχόμενος πλήρως την σπουδαιότητα ασυνειδήτων μηχανισμών όπως αυτή εκφράστηκε από τους Σοπενχάουερ και Νίτσε, η δυσαρμονία της ατονικής μουσικής δεν είναι τίποτε άλλο παρά προχωρημένη μορφή αρμονίας.

Πηγή συνέντευξης

Τα μαθηματικά και ο... κορωνοϊός!

Στο παρακάτω βίντεο που δημοσιεύτηκε στο YouTube από το κανάλι 3Blue1Brown, εξηγείται με πολύ κατανοητό τρόπο η εξάπλωση του νέου κορωνοϊού COVID-19 μέσω της εκθετικής συνάρτησης, της γραμμικής παλινδρόμησης και της λογιστικής (σιγμοειδούς) καμπύλης και αναλύεται πώς οι παράγοντες που επηρεάζουν την εξάπλωσή του τελικά μειώνονται.

Κλείνοντας, ο αφηγητής, έπειτα από τους μαθηματικούς υπολογισμούς συμπεραίνει: "Εάν οι άνθρωποι είναι ανήσυχοι όσο χρειάζεται, τότε θα είναι και λιγότεροι οι λόγοι ανησυχίας".