Κυριακή, 22 Απριλίου 2018

Μετρώντας τη Γη: Ο μεγαλοφυής υπολογισμός του Ερατοσθένη

Η πρώτη φορά στην ιστορία κατά την οποία έγινε πραγματική μέτρηση για τον υπολογισμό της περιμέτρου της Γης, ήταν από τον Ερατοσθένη τον Κυρηναίο (276 πΧ – 194 πΧ), ο οποίος υπολόγισε με εκπληκτική ακρίβεια την περίμετρο της Γης από... ένα πηγάδι. Για τη μέτρηση αυτή ο Ερατοσθένης είχε γράψει ιδιαίτερη πραγματεία, όπως πληροφορούμαστε από την «Διόπτρα» του Ήρωνος του Αλεξανδρέως, ο οποίος αναφερόμενος στο μέγεθος της περιμέτρου της Γης σημειώνει: «Ερατοσθένης εν τω επιγραφομένω περί αναμετρήσεως της Γης».

Ο Ερατοσθένης γεννήθηκε στην ελληνική αποικία της Βόρειας Αφρικής, Κυρήνη και ήταν φίλος με τον Αρχιμήδη. Λέγεται ότι είχε ζήσει στην Αθήνα για αρκετά χρόνια, ώσπου έγινε βιβλιοθηκάριος στην περίφημη βιβλιοθήκη της Αλεξάνδρειας, όπου και μελετούσε.
Πώς ένα πηγάδι βοήθησε τον Ερατοσθένη να αποδείξει ότι η Γη είναι στρογγυλή...
Η άποψη ότι η Γη ήταν σφαιρική ήταν αποδεκτή στην αρχαία Ελλάδα. Ο Ερατοσθένης ήταν εκείνος που απέδειξε μαθηματικά αυτή την πεποίθηση και μάλιστα υπολόγισε με αξιοθαύμαστη ακρίβεια την ακτίνα και την περίμετρο της σφαιρικής Γης.



Την εποχή που βρισκόταν στη βιβλιοθήκη, ο Ερατοσθένης πληροφορήθηκε για ένα πολύ περίεργο πηγάδι, το οποίο βρισκόταν κοντά στη Συήνη (σημερινό Ασουάν της νότιας Αιγύπτου). Κάθε χρόνο, το μεσημέρι της 21ης Ιουνίου - τη μέρα του θερινού ηλιοστασίου, δηλαδή τη μεγαλύτερη μέρα του έτους - ο Ήλιος καθρεφτιζόταν ολόκληρος μέσα στο πηγάδι και το φώτιζε μέχρι τον πυθμένα του, χωρίς να δημιουργείται σκιά γύρω από αυτό. Ο Ερατοσθένης συμπέρανε ότι για να συμβαίνει κάτι τέτοιο, τη συγκεκριμένη μέρα ο Ήλιος έπρεπε να βρίσκεται ακριβώς κατακόρυφα πάνω από το πηγάδι.


Ο ήλιος όμως δεν συμπεριφερόταν το ίδιο και στα βόρεια της Αιγύπτου. Στην Αλεξάνδρεια, η οποία απέχει 800 χλμ από το Ασουάν, την ίδια εκείνη μέρα, ο ήλιος δημιουργούσε μια μικρή σκιά σε μια ψηλή κολώνα. Αυτό σήμαινε ότι οι δύο πόλεις σίγουρα δεν έβλεπαν τον ήλιο υπό την ίδια γωνία. Ο Ερατοσθένης γνώριζε ήδη από προγενέστερες αστρολογικές μετρήσεις που διάβασε στη βιβλιοθήκη ή από δικούς του υπολογισμούς, ότι η Συήνη και η Αλεξάνδρεια ανήκαν στον ίδιο μεσημβρινό. Επομένως ο λόγος που ο Ήλιος δεν μπορούσε να μεσουρανεί ταυτόχρονα στη Συήνη και στην Αλεξάνδρεια οφειλόταν στο ότι η Γη ήταν στρογγυλή και όχι επίπεδη. 


Πώς ο Ερατοσθένης υπολόγισε την περίμετρο της Γης...

Το πείραμα του Ερατοσθένη βασίστηκε στη μέτρηση της γωνίας υπό την οποία ο Ήλιος έστελνε τις ακτίνες του σε δύο διαφορετικές τοποθεσίες (Αλεξάνδρεια και Συήνη), την ίδια χρονική στιγμή.  Ο Ερατοσθένης πραγματοποίησε το πείραμα στις 21 Ιουνίου, την ημέρα του θερινού ηλιοστασίου, όταν η Γη παρουσιάζει τη μέγιστη κλίση της ως προς τον Ήλιο. Αυτό σημαίνει ότι ο Ήλιος το μεσημέρι βρισκόταν ακριβώς πάνω από τις δύο πόλεις.


Στο σχήμα βλέπουμε παράλληλες ακτίνες να φτάνουν από τον Ήλιο στη Γη. Το μεσημέρι της 21ης Ιουνίου, οι ηλιακές ακτίνες βυθίζονται στο πηγάδι της Συήνης, χωρίς να δημιουργούν καμία σκιά, επομένως «κατευθύνονται» προς το κέντρο της Γης. 

Την ίδια χρονική στιγμή στην Αλεξάνδρεια, μία ψηλή κολώνα (κάθετη στο έδαφος) σχηματίζει μια μικρή σκιά. Ο Ερατοσθένης μέτρησε το ύψος της κολώνας και το μήκος της σκιάς της. Έτσι δημιούργησε ένα ορθογώνιο τρίγωνο και, χρησιμοποιώντας την τριγωνομετρία, υπολόγισε τη γωνία που σχηματιζόταν ανάμεσα στην κολώνα και στις ακτίνες του Ήλιου. Το αποτέλεσμα ήταν ότι η γωνία ήταν φ = 7,2˚ , δηλαδή το 1/50 της περιφέρειας του κύκλου που είναι 360˚.



Εδώ έχει μεγάλη σημασία το ότι η γωνία φ ισούται με τη γωνία που σχηματίζεται ανάμεσα στις δύο ακτίνες που συνδέουν το κέντρο της Γης με την Αλεξάνδρεια και τη Συήνη αντίστοιχα (εντός εναλλάξ γωνίες).

Στη συνέχεια, με την βοήθεια του βασιλιά Πτολεμαίου, ο οποίος διέθεσε ένα είδος οδομέτρου με γρανάζια, μέτρησε την απόσταση των δύο πόλεων, που ήταν 5.040 στάδια. Στο πείραμα του, τα 5.040 στάδια αντιστοιχούσαν στο 1/50 της περιφέρειας του κύκλου.

Τέλος, πολλαπλασίασε το 5.040 με το 100% του κύκλου, δηλαδή το 50, και έτσι υπολόγισε την περίμετρο της Γης στα 252.000 στάδια, ή με τη σύγχρονη μονάδα μέτρησης, 39.690 χιλιόμετρα. Ο υπολογισμός που έκανε ο Ερατοσθένης 2.200 χρόνια πριν ήταν αρκετά ακριβής. Σήμερα η περίμετρος της Γης υπολογίζεται σύμφωνα με δορυφορικές μετρήσεις σε 40.048 χιλιόμετρα, άρα στην ουσία έπεσε έξω μόλις 358 χιλιόμετρα!


Πηγες:
Τζόνι Μπολ, Μαθημαγικά, Εκδόσεις Polaris, 2011
wikipedia.org