Σάββατο, 3 Αυγούστου 2019

Κουίζ σε πίνακα


Σ' αυτόν τον πίνακα, κάθε σχήμα έχει μία συγκεκριμένη τιμή. Οι αριθμοί δίπλα σε κάθε γραμμή και κάτω από κάθε στήλη είναι το άθροισμα των τιμών στη γραμμή ή τη στήλη αντίστοιχα.

Ποιος αριθμός πρέπει να αντικαταστήσει το ερωτηματικό?


(Πηγή)

Τρίτη, 30 Ιουλίου 2019

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Μέρος 17º - Αρχιμήδεια στερεά και διάφορα κυρτά πολύεδρα


Στην προηγούμενη ανάρτηση του πρότζεκτ "Τα Μαθηματικά στην Τέχνη" είδαμε τα πέντε κανονικά πολύεδρα, που ονομάστηκαν και πλατωνικά στερεά. Αυτό που τα καθιστά ξεχωριστά είναι το γεγονός ότι οι έδρες τους είναι όλες κανονικά πολύγωνα του ίδιου τύπου. Η επόμενη κατηγορία πολυέδρων είναι τα ημι-κανονικά πολύεδρα ή αλλιώς αρχιμήδεια στερεά...

Σχέδια διαφόρων πολυέδρων. Από το βιβλίο του Max Brückner "Πολύγωνα και Πολύεδρα: Θεωρία και Ιστορία", 1900.


Τα βιβλία γράφουν...

Τα αρχιμήδεια στερεά (ή στερεά του Αρχιμήδη) είναι ημι-κανονικά κυρτά πολύεδρα, οι έδρες των οποίων είναι κανονικά πολύγωνα, αλλά όχι όλες του ίδιου τύπου. Τα κανονικά πολύγωνα που αποτελούν τις έδρες έχουν όλα ίσες τις πλευρές τους, δηλαδή οι ακμές κάθε αρχιμήδειου πολυέδρου είναι όλες ίσες. Οι έδρες ενώνονται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο σε όλες τις κορυφές του πολυέδρου, διαμορφώνοντας ίσες πολυεδρικές γωνίες. Υπάρχουν 13 αρχιμήδεια στερεά:


Κόλουρο Τετράεδρο

Έχει 8 έδρες: 4 τρίγωνα και 4 εξάγωνα.
Ο όρος "κόλουρο" αναφέρεται στη διαδικασία της αποκοπής των κορυφών από ένα αρχικό πολύεδρο. Έτσι, κατασκευαστικά, το κόλουρο τετράεδρο προέρχεται από ένα τετράεδρο, από το οποίο έχουμε αποκόψει τις 4 κορυφές.


Σχέδιο του Leonardo da Vinci  για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" (1509)


Kυβοκτάεδρο

Έχει 14 έδρες: 8 τρίγωνα και 6 τετράγωνα.

Σχέδιο του Leonardo da Vinci  για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" (1509)


Ana Conde (Σύγχρονη ζωγράφος και tattoo artist) - "Cuboctahedron Full of Dust Bunnies" (2018)


James Sawyer (Σύγχρονος καλλιτέχνης) -  "Octahedron Inside a Cuboctahedron" (2010)


Κόλουρος Κύβος


Έχει 14 έδρες: 8 τρίγωνα και 6 οκτάγωνα.


Άγνωστος καλλιτέχνης από τις Η.Π.Α. - "Truncated Cube, Possibly a Zodiac Instrument"



Κόλουρο Οκτάεδρο

Έχει 14 έδρες: 6 τετράγωνα και 8 κανονικά εξάγωνα.
Κατασκευαστικά, προέρχεται από το οκτάεδρο, αν αποκοπούν όλες οι κορυφές του στο 1/3 της ακμής, έτσι ώστε από τις έδρες του αρχικού οκτάεδρου να προκύψουν εξάγωνα και στη θέση των αποκομμένων κορυφών του να σχηματιστούν τετράγωνα.

Σχέδιο του Leonardo da Vinci  για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" (1509)



Ρομβοκυβοκτάεδρο (ή μικρό ρομβοκυβοκτάεδρο)

Έχει 26 έδρες: 8 τρίγωνα και 18 τετράγωνα.

Σχέδιο του Leonardo da Vinci  για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" (1509)


Η πρώτη τυπωμένη απεικόνιση ενός ρομβοκυβοκτάεδρου. Έργο του Leonardo da Vinci, στο βιβλίο του Luca Paccioli, "De Divina Proportione" (1509)


Jacopo de Barbari (1460 - 1516). Ο πίνακας απεικονίζει τον Luca Paccioli και τον μαθητή του Guidobaldo, δούκα του Urbino. Στην πάνω αριστερή γωνία είναι κρεμασμένο ένα ρομβοκυβοκτάεδρο, γεμάτο με νερό μέχρι τη μέση. Στο τραπέζι θα παρατηρήσει κανείς ένα δωδεκάεδρο πάνω σ' ένα αντίγραφο των στοιχείων του Ευκλείδη, έναν διαβήτη, μια πυξίδα, ενώ ο Paccioli παρουσιάζει ένα θεώρημα του Ευκλείδη. 


Κόλουρο Κυβοκτάεδρο (ή μέγα ρομβοκυβοκτάεδρο)

Έχει 26 έδρες: 12 τετράγωνα, 8 εξάγωνα και 6 οκτάγωνα.

Jim Wrenholt (Σύγχρονος graphic designer) - "Truncated Cuboctahedron" (2014)


Πεπλατυσμένος κύβος (ή πεπλατυσμένο εξάεδρο)

Έχει 38 έδρες: 32 τρίγωνα και 6 τετράγωνα.
Ο όρος "πεπλατυσμένος" αναφέρεται στη διαδικασία της "επέκτασης" του αρχικού σχήματος. Κατασκευαστικά, ο πεπλατυσμένος κύβος μπορεί να προέλθει από τον κύβο, αν απομακρύνουμε όλες τις έδρες του προς τα έξω, κατά ορισμένη απόσταση και τις περιστρέψουμε ως προς το κέντρο τους έτσι, ώστε τα κενά που δημιουργούνται να μπορούν να καλυφθούν από ισόπλευρα τρίγωνα.

Γλυπτό-συντριβάνι σε σχήμα πεπλατυσμένου κύβου. Διακοσμεί τον εξωτερικό χώρο του Caltech στην Καλιφόρνια.



Εικοσιδωδεκάεδρο

Έχει 32 έδρες: 20 τρίγωνα και 12 πεντάγωνα.

Η πρώτη τυπωμένη απεικόνιση ενός εικοσιδωδεκάεδρου. Έργο του Leonardo da Vinci, στο βιβλίο του Luca Paccioli, "De Divina Proportione" (1509)

P.S. (Σύγχρονος graphic designer) - "Icosidodecahedron 2"


Κόλουρο δωδεκάεδρο

Έχει 32 έδρες: 20 τρίγωνα και 12 δεκάγωνα.

Jim Wrenholt (Σύγχρονος graphic designer) - "Truncated Dodecahedron" (2014)


Κόλουρο εικοσάεδρο

Έχει 32 έδρες: 12 πεντάγωνα και 20 εξάγωνα. Το μοτίβο του κόλουρου εικοσάεδρου χρησιμοποιείται στην κατασκευή της συνηθισμένης μπάλας ποδοσφαίρου.

Σχέδιο του Leonardo da Vinci  για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" (1509)

Απόκρυφη Γεωμετρία της Αναγέννησης: Ένα ζευγάρι χέρια στηρίζει ένα κόλουρο εικοσάεδρο. Γλυπτό που διακοσμεί το ταφικό μνημείο του Sir Anthony Ashley, σε έναν ενοριακό ναό κοντά στο Salisbury, Αγγλία.


Ρομβοεικοσιδωδεκάεδρο (ή μικρό ρομβοεικοσιδωδεκάεδρο)

Έχει 62 έδρες: 20 τρίγωνα, 30 τετράγωνα και 12 πεντάγωνα.

Jim Wrenholt (Σύγχρονος graphic designer) - "Rhombicosidodecahedron" (2014)


Κόλουρο εικοσιδωδεκάεδρο (ή μέγα ρομβοεικοσιδωδεκάεδρο )

Έχει 62 έδρες: 30 τετράγωνα, 20 εξάγωνα και 12 δεκάγωνα.

Lindsey Carr (Σύγχρονη ζωγράφος) - "Jacques Great Rhombicosidodecahedron"


Πεπλατυσμένο δωδεκάεδρο (ή πεπλατυσμένο εικοσιδωδεκάεδρο)

Έχει 92 έδρες: 80 τρίγωνα και 12 πεντάγωνα.
Κατασκευαστικά, το πεπλατυσμένο δωδεκάεδρο μπορεί να προέλθει με διαδικασία παρόμοια με εκείνη του πεπλατυσμένου κύβου, μόνο που τώρα το αρχικό στερεό είναι ένα δωδεκάεδρο.

Jim Wrenholt (Σύγχρονος graphic designer) - "Snub Dodecahedron" (2014)


Τα βιβλία γράφουν...

Ο πρώτος που ασχολήθηκε με την κατασκευή αρχιμήδειων στερεών φαίνεται να ήταν ο Αρχιμήδης, ο οποίος τα διαπραγματευόταν στο (μη σωζόμενο) έργο του "Περί 13 ημικανονικών πολυέδρων" και γι' αυτό φέρουν το όνομά του. Ωστόσο, το όνομα κάθε αρχιμήδειου στερεού οφείλεται στον Kepler, που τα μελέτησε εκτενώς στο βιβλίο του "Αρμονικός Κόσμος" (Harmonices Mundi, 1619) και σήμερα έχουμε τη μεταφρασμένη, από τα λατινικά, ορολογία.



Διάφορα άλλα κυρτά πολύεδρα



Εννεάεδρο: Επιμήκης τετραγωνική πυραμίδα

Οι μικροί μαθητές πολύ ορθά το παρομοιάζουν με σπίτι!

Sabrina Barrio (Σύγχρονη καλλιτέχνιδα) - "Enneahedron" (2019)


72εδρη σφαίρα

Το πολύεδρο αυτό αποτελεί τη βάση για την κατασκευή αρχιτεκτονικών θόλων

Σχέδιο του Leonardo da Vinci  για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" (1509)

Σχέδιο του Leonardo da Vinci  για το βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" (1509)


Τα βιβλία γράφουν...


Για κάθε κυρτό πολύεδρο ισχύει ο τύπος του Euler:

K + E = A + 2,
όπου Κ το πλήθος των κορυφών του, Ε το πλήθος των εδρών του και Α το πλήθος των ακμών του.


Τα αρχιμήδεια στερεά, αλλά και πολλά άλλα πολύεδρα, παρουσιάζουν ποικίλες συμμετρίες και ομάδες συμμετρίας, οι οποίες μελετώνται από τη σύγχρονη Θεωρία Ομάδων. Εικάζεται ότι οι συμμετρίες αυτές είναι ο κύριος λόγος που ενέπνευσαν τόσο έντονα τους καλλιτέχνες, ειδικά κατά την Αναγέννηση. Ο καλλιτέχνης της Αναγέννησης που ασχολήθηκε διεξοδικότερα με τα πολύεδρα ήταν ο Leonardo da Vinci. Ειδικότερα, η τεχνοτροπία αναπαράστασης πολυέδρων που πρώτος χρησιμοποίησε, απεικονίζοντάς τα στέρεα και κοίλα, σαν ξύλινα μοντέλα (που πιθανότατα είχε κατασκευάσει για το σκοπό αυτό ο Luca Paccioli), ώστε να φαίνονται και οι "πίσω" ακμές, επηρέασε καθοριστικά όσους μεταγενέστερους ασχολήθηκαν με τα πολύεδρα στη ζωγραφική και γενικότερα στις εικαστικές τέχνες.  


Αναγεννησιακό ξυλόγλυπτο (Intarsia), έργο του Fra Giovanni da Verona (1457 - 1525). Ναός της Σάντα Μαρία στο Organo της Βερόνα (περ. 1494 - 1499). Απεικονίζει, μεταξύ άλλων, ένα κόλουρο εικοσάεδρο και μια 72-εδρη σφαίρα.
Σελίδα από το βιβλίο του Lorenzo Sirigatti (1561 - 1614), "Η Πρακτική της Προοπτικής" (La Pratica di Perspettiva, Βενετία, 1596), ένα βιβλίο για καλλιτέχνες και αρχιτέκτονες. Απεικονίζονται δύο εικοσιδωδεκάεδρα, δύο κόλουρα εικοσάεδρα (με και χωρίς τις έδρες τους), καθώς και ένα αστροειδές πολύεδρο.


.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.

"Τα βασικά στοιχεία των μαθηματικών, οι αριθμοί και η μέτρηση, που ονομάστηκαν αριθμητική και γεωμετρία, χρησιμοποιούνται με υπέρτατη αλήθεια σε διακριτές αλλά και συνεχείς ποσότητες. Εδώ δε συναντάμε διαφωνίες, λόγου χάρη ότι 2 φορές το 3 μας κάνει περισσότερο ή λιγότερο  από 6, ή ότι ένα τρίγωνο έχει άθροισμα γωνιών μικρότερο ή μεγαλύτερο από 2 ορθές, αλλά με αιώνια σιωπή, κάθε διαφωνία παύει να υφίσταται και, με ηρεμία, αυτές οι επιστήμες όπως τα μαθηματικά απολαμβάνονται από τους αφοσιωμένους τους ακολούθους".
Leonardo da Vinci

.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.




Πηγές:

Δευτέρα, 1 Ιουλίου 2019

Γρίφος: Το βαρύτερο μήλο


Έχουμε 6 μήλα, 5 από τα οποία έχουν ακριβώς το ίδιο βάρος, ενώ το 1 είναι ελαφρώς βαρύτερο από τα υπόλοιπα. Θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε έναν πολύ ευαίσθητο ζυγό, για να βρούμε ποιο μήλο έχει διαφορετικό βάρος από τα υπόλοιπα. 

Ποιο είναι το ελάχιστο πλήθος ζυγίσεων που πρέπει να γίνουν, ώστε να εντοπίσουμε το βαρύτερο μήλο;

Αν συγκρίνουμε τα μήλα σε δύο τριάδες, ο ζυγός θα γείρει.
(Πηγή)

Παρασκευή, 21 Ιουνίου 2019

Καλοκαιρινό κουίζ


Αφού μπήκε και αστρονομικά πλέον το καλοκαίρι (θερινό ηλιοστάσιο, σήμερα)
είπα να ετοιμάσω ένα... άκρως καλοκαιρινό κουίζ για όλους εσάς που ασχολείστε!

Ποιος αριθμός πρέπει να αντικαταστήσει το ερωτηματικό?

Ένα σοκαλατένιο παγωτό και δύο παγωτά φράουλα ίσον δεκαοχτώ. Ένα παγωτό φράουλα μείον ένα σοκολατένιο παγωτό ίσον έξι. Σοκολατένιο παγωτό ίσον ερωτηματικό.

Κυριακή, 16 Ιουνίου 2019

Ο Τολστόι και τα κλάσματα


Ο Λέων Τολστόι (1828 - 1910) ήταν Ρώσος συγγραφέας και θεωρείται ένας από τους μεγαλύτερους συγγραφείς όλων των εποχών. Αν και καταγόταν από πολύ πλούσια οικογένεια, προσπάθησε να απελευθερώσει τον άνθρωπο και να αποκαταστήσει την ανθρώπινη αξιοπρέπεια. 

Λέων Τολστόι

Μια γνωστή αγαπημένη ρήση του για τον εγωισμό έχει χαρακτηριστικά μαθηματικού τύπου:

"Ο άνθρωπος μοιάζει με κλάσμα όπου ο αριθμητής είναι ο πραγματικός του εαυτός και ο παρονομαστής είναι η ιδέα που έχει για τον εαυτό του. Όσο μεγαλύτερος είναι ο παρονομαστής, τόσο μικρότερη η αξία του κλάσματος. Και όσο ο παρονομαστής διογκώνεται προς το άπειρο, τόσο το κλάσμα τείνει στο μηδέν".

Μια ρήση η οποία "στέκει" μαθηματικά...

Παρασκευή, 14 Ιουνίου 2019

Το παράδοξο του Monty Hall, το "DEAL", η ταινία "21" και οι πιθανότητες της σωστής επιλογής


Ο Monty Hall (1921 - 2017) ήταν παρουσιαστής του περίφημου τηλεπαιχνιδιού "Let's Make a Deal" στο ABC από το 1963 έως το 1977 και σε μερικές ακόμη σεζόν μέχρι και το 1991. Το τηλεπαιχνίδι αυτό είναι από τα πλέον ιστορικά που έχουν περάσει από την τηλεόραση και έχει επηρεάσει πολλά τηλεπαιχνίδια μέχρι και σήμερα, όπως και το ελληνικό "DEAL"...

Όμως, όταν κάποιος ακούει "Monty Hall", το μυαλό του δεν πάει στον παρουσιαστή, αλλά στο "παράδοξο του Monty Hall", ένα από τα μεγαλύτερα παράδοξα της επιστήμης των μαθηματικών και συγκεκριμένα των πιθανοτήτων. Όλα ξεκίνησαν το 1975, όταν ο στατιστικολόγος Steve Selvin δημοσίευσε ένα πρόβλημα βασισμένο στο συγκεκριμένο τηλεπαιχνίδι, το οποίο ονόμασε "Monty Hall Problem". Το παράδοξο (ή πρόβλημα) του Monty Hall έχει ως εξής:


Ας υποθέσουμε ότι βρίσκεσαι σε ένα τηλεπαιχνίδι. Εκεί υπάρχουν 3 πόρτες, η μία εκ των οποίων κρύβει ένα πολυτελές αυτοκίνητο, ενώ πίσω από τις δύο άλλες κρύβονται δύο κατσίκες.


τρεις πόρτες


Ο παρουσιαστής σου ζητά να επιλέξεις μία πόρτα. Το αυτοκίνητο μπορεί εξίσου να βρίσκεται πίσω από οποιαδήποτε πόρτα, έτσι κάθε πόρτα έχει πιθανότητα 1 στις 3 να κρύβει το αυτοκίνητο, δηλαδή 1/3.

κάθε πόρτα έχει πιθανότητα 1 στις 3 να κρύβει το αυτοκίνητο


Η πιθανότητα να επιλέξεις την πόρτα με το αυτοκίνητο (σωστή επιλογή) είναι 1/3, ενώ η πιθανότητα να κάνεις λανθασμένη επιλογή είναι 2/3.

Η πιθανότητα να επιλέξεις την πόρτα με το αυτοκίνητο (σωστή επιλογή) είναι μία στις τρεις, ενώ η πιθανότητα να κάνεις λανθασμένη επιλογή είναι δύο στις τρεις.


Έστω ότι επιλέγεις την 1η πόρτα. Η πιθανότητα να βρίσκεται το αυτοκίνητο πίσω από την 1η πόρτα είναι 1/3. Η πιθανότητα να βρίσκεται το αυτοκίνητο πίσω από τη 2η ή την 3η πόρτα είναι 2/3. Ο παρουσιαστής, που γνωρίζει πού βρίσκεται το αυτοκίνητο, δεν θα ανοίξει αμέσως την πόρτα που διάλεξες, αλλά θα καθυστερήσει λίγο, ανοίγοντας μια από τις άλλες δύο πόρτες,  π.χ. την 3η, η οποία, φυσικά, θα κρύβει μια κατσίκα.

Πίσω από την τρίτη πόρτα κρύβεται μια κατσίκα.

Εκείνη τη στιγμή σε ρωτάει αν θέλεις να παραμείνεις στην αρχική σου επιλογή ή να την αλλάξεις. Εσύ τι θα έκανες; Νομίζεις ότι τώρα οι πιθανότητές σου είναι 50-50; Πάντως η θεωρία των πιθανοτήτων αποδεικνύει ότι αν αλλάξεις την επιλογή σου έχεις διπλάσιες πιθανότητες να κερδίσεις!


Για να κατανοήσουμε το γιατί, πρέπει να σκεφτούμε ποιες είναι οι δυνατές στρατηγικές που μπορεί να ακολουθηθούν. Υπάρχουν 2 επιλογές:


  1. Εμμένεις στην αρχική σου επιλογή, ό,τι κι αν σου πει ο παρουσιαστής (στο παράδειγμά μας, επιλέγεις ξανά την 1η πόρτα). Η πιθανότητα της σωστής επιλογής παραμένει η ίδια, που είναι 1/3.
  2. Αλλάζεις και επιλέγεις την πόρτα που έχει απομείνει (στο παράδειγμα, την 2η πόρτα). Τώρα, αφού η 3η πόρτα είναι σίγουρο ότι ΔΕΝ κρύβει το αυτοκίνητο, η πιθανότητα να βρίσκεται το αυτοκίνητο πίσω από τη 2η πόρτα ταυτίζεται με την πιθανότητα να βρίσκεται πίσω από τη 2η ή την 3η πόρτα, επομένως 2/3.


Το αποτέλεσμα αυτό φυσικά εξαρτάται από το γεγονός ότι ο Monty πάντα γνωρίζει πού βρίσκεται το αυτοκίνητο και ανοίγει μια πόρτα με κατσίκα, ανεξάρτητα από τη δική σου αρχική επιλογή.


Ένας άλλος τρόπος για να κατανοήσουμε τη λύση του προβλήματος είναι μέσα από το ακόλουθο διάγραμμα:

Οι πιθανότητες να βρεις το αυτοκίνητο διπλασιάζονται, αν αλλάξεις την αρχική σου επιλογή.


Αναφορά του εν λόγω προβλήματος γίνεται και στην κινηματογραφική ταινία "21". Ο καθηγητής του M.I.T. Micky Rosa (Kevin Spacey) θέτει το πρόβλημα του Monty Hall στον ευφυή φοιτητή του Ben Campbell (Jim Sturgess), ο οποίος το λύνει σωστά εντυπωσιάζοντας τον καθηγητή του:



Για να διαβάσεις την αυστηρή μαθηματική απόδειξη του παραδόξου του Monty Hall, η οποία βασίζεται στο Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας του Bayes, κάνε κλικ εδώ.


Ο Ron Clarke εξηγεί το "Monty Hall Problem" και την απάντηση στο πρόβλημα σε ένα πολύ ενδιαφέρον βίντεο, που είναι στα αγγλικά:



Αν θέλεις να δοκιμάσεις την τύχη σου και να παίξεις, κάνε κλικ εδώ...

Πέμπτη, 6 Ιουνίου 2019

Μακάβριος γρίφος... φυσικομαθηματικής λογικής!


Ανακαλύψτε πόσο λογικά σκέφτεστε με έναν διασκεδαστικό γρίφο... φυσικομαθηματικής λογικής...

Έχοντας υπόψη σας όλους τους νόμους της Φυσικής και τις μαθηματικές έννοιες, απαντήστε στο ερώτημα: 

Ποιος πεθαίνει αν το άτομο "Ε" σπρώξει την πέτρα;


Το άτομο Ε ετοιμάζεται να σπρώξει μια πέτρα. Ποιος θα σκοτωθεί;
(Πηγή)

Σάββατο, 1 Ιουνίου 2019

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Μέρος 16º - Τα Πλατωνικά Στερεά

 

ΤΑ ΠΛΑΤΩΝΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ

Sylvie Donmoyer (σύγχρονη ζωγράφος, που ασχολείται κυρίως με την καλλιτεχνική αναπαράσταση γεωμετρικών εννοιών) - "Les Solides de Platon"

Τα βιβλία γράφουν...

Πλατωνικό στερεό λέγεται ένα κανονικό κυρτό πολύεδρο, του οποίου όλες οι έδρες είναι ίσα κανονικά πολύγωνα και όλες οι πολυεδρικές γωνίες του είναι ίσες. Επομένως όλες οι ακμές του είναι ίσα ευθύγραμμα τμήματα, καθώς επίσης και όλες οι επίπεδες γωνίες των εδρών του είναι ίσες.

Miriam Escofet (γεν. 1967) - "The Five Platonic Solids"


Υπάρχουν μόνο πέντε πλατωνικά στερεά:

ΤΕΤΡΑΕΔΡΟ

Το τετράεδρο ανήκει στις τριγωνικές πυραμίδες. Οι έδρες του είναι 4 ισόπλευρα τρίγωνα.

Leonardo da Vinci (1452 - 1519) - "Tetracedron" (1509)

Jason Lincoln Jeffers (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Tetrahedron 2"

Jason Lincoln Jeffers (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Tetrahedron 6"

Jason Lincoln Jeffers (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Tetrahedron 8"

Jason Lincoln Jeffers (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Tetrahedron 10"

Alan Parker (1916 - 1993) - "Tetrahedron" (1967)
Ο καλλιτέχνης εδώ θέλει να αναδείξει την κάτοψη ενός τετραέδρου, που δεν είναι παρά τέσσερα τρίγωνα. 

Florin Birjoveanu (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Over Pyramids"

Sabrina Barrio (Σύγχρονη καλλιτέχνιδα) - "Tetrahedron" (2019)


ΚΥΒΟΣ (Ή ΚΑΝΟΝΙΚΟ ΕΞΑΕΔΡΟ)

Οι έδρες του κύβου είναι 6 τετράγωνα. Για τον κύβο είχαμε μιλήσει εκτεταμένα και εδώ...

Leonardo da Vinci (1452 - 1519) - "Exacedron" (1509)

Όπυ Ζούνη (1941-2008) - "Κόκκινος κύβος στο χώρο" (2007)


ΟΚΤΑΕΔΡΟ

Οι έδρες του οκτάεδρου είναι 8 ισόπλευρα τρίγωνα.

Leonardo da Vinci (1452 - 1519) - "Octocedron" (1509)

Archan Nair (Σύγχρονος graphic designer) - "Taqueira" art print

Patrick Kelly - "Octahedron"

Vincent Fink (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "New Geometry Sunset"

Vincent Fink (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Inspiration"

Jason Lincoln Jeffers (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Octahedron 2"

Katy Lynton (γεν. 1968) - "My Inner Landscape"

Walter Tandy Murch (1907 - 1967) - "Study for Octahedron" (1949)

Karen Caruana (Σύγχρονη ζωγράφος) - "Okta" (2014)

Sabrina Barrio (Σύγχρονη καλλιτέχνιδα) - "Octahedron" (2019)


ΔΩΔΕΚΑΕΔΡΟ

Το δωδεκάεδρο αποτελείται από 12 κανονικά πεντάγωνα.

Leonardo da Vinci (1452 - 1519) - "Duodecedron" (1509)

Leonardo da Vinci (1452 - 1519) - "Duodecedron" (1509)
Εδώ ο da Vinci έχει "αφαιρέσει" τις έδρες, ώστε να φανεί η πλήρης δομή του πολυέδρου.

Kristin Reed  (Σύγχρονη ζωγράφος)  - "The Elements of Astrology Series: Ether"

Jason Lincoln Jeffers (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Dodecahedron 3"

Jason Lincoln Jeffers (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Dodecahedron 4"

Jason Lincoln Jeffers (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Dodecahedron 9"

Annie Kyla Bennet (Σύγχρονη ζωγράφος) - "The painter" (2014)

Jeremy J. Quinn (Σύγχρονος αρχιτέκτονας και graphic designer)

Iona Miller - "Pythagoras & Plato" (2017)

Heather Marshall Bruglia (Σύγχρονη ζωγράφος) - "Ether (Dodecahedron)" (2018)

Mark Ryden (Σύγχρονος γλύπτης) - "Dodecahedron" (2015)


ΕΙΚΟΣΑΕΔΡΟ 

Οι έδρες του εικοσαέδρου είναι 20 ισόπλευρα τρίγωνα.

Leonardo da Vinci (1452 - 1519) - "Ycocedron" (1509)

Leonardo da Vinci (1452 - 1519) - "Ycocedron" (1509)
Εδώ ο da Vinci έχει "αφαιρέσει" τις έδρες, ώστε να φανεί η πλήρης δομή του πολυέδρου.

Vincent Fink (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Icosahedron"

Kristin Reed  (Σύγχρονη ζωγράφος)  - "The Elements of Astrology Series: Water"

John A. Hiigli (γεν. 1943) - "Icosahedron" (1997)

John A. Hiigli (γεν. 1943) - "Three Icosahedra" (1997)

Jason Lincoln Jeffers (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Icosahedron 2"

Jason Lincoln Jeffers (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Icosahedron 3"

Travis Crisp (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Icosahedron Face" (2016)

Nyssa Juneau (Σύγχρονη ζωγράφος) - "Icosahedron: Built From Congruent Rectangles"

Lucasz Chwalek  (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "Icosahedra" (2018)

Anthony James (Σύγχρονος γλύπτης) - "Portal Icosahedron"
(Γλυπτό από τιτάνιο, γυαλί και φώτα LED, 2017)


Τα πλατωνικά στερεά ονομάστηκαν έτσι, επειδή μελετήθηκαν στην Ακαδημία του Πλάτωνα. Στη φιλοσοφία του Πλάτωνα, τα στερεά αυτά συμβόλιζαν τα δομικά στοιχεία του σύμπαντος. Τέσσερα από αυτά συμβόλιζαν τα τέσσερα στοιχεία της φύσης: Το τετράεδρο συμβόλιζε τη φωτιά, ο κύβος τη γη, το εικοσάεδρο το νερό, ενώ το οκτάεδρο τον αέρα. Το πέμπτο από αυτά, το δωδεκάεδρο, συμβόλιζε τον αιθέρα, ή αλλιώς την "πεμπτουσία". Οι συνηθισμένοι άνθρωποι δεν έπρεπε να γνωρίζουν για το δωδεκάεδρο και η γνώση για αυτό θεωρούνταν πολύ επικίνδυνη.


Kat Caric (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "The Platonic Solids" (2016)
Εδώ, ο ζωγράφος επικαλείται τη συσχέτιση κάθε πλατωνικού στερεού με κάποιο από τα δομικά στοιχεία του σύμπαντος, αλλά και του ανθρώπινου σώματος.

Salvador Dali - "Ο Μυστικός Δείπνος" (1955)
Στον πίνακα αυτό, οι μορφές βρίσκονται μέσα σε ένα τεράστιο διαφανές δωδεκάεδρο, ενώ μια μορφή ανυψώνεται προς τον ουρανό. Ο Dali εδώ συνδέει το θρησκευτικό περιεχόμενο του πίνακά του με τη "θεϊκή υπόσταση" του δωδεκαέδρου.



Ο αστρονόμος Johannes Kepler (1571 - 1630) στο βιβλίο του "Το Κοσμογραφικό Μυστήριο" (Mysterium Cosmographicum, 1597) συσχετίζει τα πλατωνικά στερεά με τις τροχιές των πλανητών του ηλιακού μας συστήματος.

Το μοντέλο του ηλιακού μας συστήματος από τον Kepler, βασισμένο στα πλατωνικά στερεά (1597)

Τα πλατωνικά στερεά και οι τροχιές των πλανητών

Τα πλατωνικά στερεά και τα δομικά στοιχεία του σύμπαντος. Από το βιβλίο του Kepler, "Harmonices Mundi" (1619). 


Τα πλατωνικά στερεά παρουσιάζουν πολλές συμμετρίες και ομάδες συμμετρίας, οι οποίες μελετώνται από τη σύγχρονη Θεωρία Ομάδων. Εικάζεται ότι οι συμμετρίες αυτές είναι ο κύριος λόγος που ενέπνευσαν τόσο τους καλλιτέχνες, ειδικά κατά την Αναγέννηση.


.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.


"Η Γεωμετρία προϋπήρχε της Δημιουργίας. Είναι εξίσου αιώνια με το μυαλό του Θεού...
Η Γεωμετρία παρείχε στο Θεό ένα μοντέλο για τη Δημιουργία".
Johannes Kepler

.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.





Πηγές: