Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Πρίσματα

Υπάρχουν πολλά είδη πολυέδρων, αλλά τα απλούστερα είναι τα πρίσματα.

ΠΡΙΣΜΑΤΑ

Τα βιβλία γράφουν...

Το στερεό σχήμα που περικλείεται μεταξύ δύο παράλληλων επιπέδων και μιας πρισματικής επιφάνειας, συμπεριλαμβανομένων των επίπεδων τομών, λέγεται πρίσμα. Οι δύο ίσες και παράλληλες τομές λέγονται βάσεις του πρίσματος. Τα τμήματα των εδρών της πρισματικής επιφάνειας που περικλείονται μεταξύ των επιπέδων των βάσεων είναι παραλληλόγραμμα και λέγονται παράπλευρες έδρες του πρίσματος.

Αν οι βάσεις του πρίσματος είναι τρίγωνα, τετράπλευρα, πεντάγωνα κλπ., τότε το πρίσμα λέγεται τριγωνικό, τετραγωνικό, πενταγωνικό κλπ.

Τα βασικά τετραγωνικά πρίσματα είναι ο κύβος και το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, που έχουμε ήδη δει.

ΑΛΛΑ ΠΡΙΣΜΑΤΑ

Τριγωνικό πρίσμα

Storm Thorgerson (1944-2013) - "Dark Side of the Moon"
(Εξώφυλλο του ομώνυμου δίσκου των Pink Floyd, 1973)

Scott Budgell (a.k.a. Jazzberry Blue) (Σύγχρονος graphic artist) - "Trisection of the triangular prism"

Scott Budgell (a.k.a. Jazzberry Blue) (Σύγχρονος graphic artist) - "Trisection of the triangular prism"

Scott Budgell (a.k.a. Jazzberry Blue) (Σύγχρονος graphic artist) - "Trisection of the triangular prism"

Πενταγωνικό πρίσμα

Art Kosekoma - "Pentagonal Prism"
(γλυπτό με την τεχνική της 3D εκτύπωσης)

Taff Goch (Σύγχρονος graphic designer) - "Pentagonal Prism Study"

Εξαγωνικό πρίσμα

Dacai (Σύγχρονος graphic designer) - "Neon Hexagonal Prism" Wallpaper (2013)

Science Photo Library Art - "Hexagonal Prism Art" (2018)

Άγνωστος καλλιτέχνης (1900)

Vivi Huang (Σύγχρονη καλλιτέχνιδα) - "Pot, hexagonal prism and an apple" (2011)

Στην επόμενη ανάρτηση θα μιλήσουμε για μια ειδική κατηγορία πολυέδρων που έχει μελετηθεί εκτενώς από τους αρχαίους Έλληνες: Τα πλατωνικά στερεά.

.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.

"Η ζωή είναι σαν ένα πρίσμα. Ό,τι βλέπουμε εξαρτάται από το πώς στρέφουμε το γυαλί".
Jonathan Kellerman, συγγραφέας.

.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.

Πηγές:

• Ευκλείδεια Γεωμετρία Α' και Β' Γενικού Λυκείου, Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών και Εκδόσεων "Διόφαντος", 2015
• E.H. Gombrich, Το Χρονικό της Τέχνης, Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, 1995
• H.L.C Jaffe, Η ζωγραφική στον 20ό αιώνα, Εκδόσεις Νεφέλη, 1984
• Adding Shadows and Graduation: Shading to a Hexagonal Prism
• Desktop Wallpapers 4 Me: Dacai
• Jazzberry Blue
• Red Bubble: JazzberryBlue
• Science Photo Library Art
• "The Dark Side of the Moon": How an Album Cover Became an Icon
• Wolfram Math World: Triangular Prism
• Wolfram Math World: Triangular Prism

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Πυραμίδα

ΠΥΡΑΜΙΔΑ 

Έχουμε γνωρίσει, μέσω του του project "Τα Μαθηματικά στην Τέχνη", τα
πολύεδρα. Στην ανάρτηση αυτή, παρουσιάζεται μέσα από πίνακες ζωγραφικής, μοντέρνα γλυπτά, από τη σύγχρονη αρχιτεκτονική, αλλά και από την αρχιτεκτονική της αρχαιότητας, ένα ακόμη είδος πολύεδρου, η πυραμίδα.

Τα βιβλία γράφουν...

Πυραμίδα λέγεται το πολύεδρο που έχει έδρες ν τρίγωνα και ένα ν-γωνο. Το ν-γωνο λέγεται βάση της πυραμίδας.
π.χ. για ν = 3, έχουμε την τριγωνική πυραμίδα,
για ν = 4, έχουμε την τετραγωνική πυραμίδα,
για ν = 5, έχουμε την πενταγωνική πυραμίδα κλπ.

William Brown (1953 - 2008) - "The Great Pyramids"

Enki Art - "Egyptian Pyramids" (2017)

James Marshall (Σύγχρονος καλλιτέχνης)

Sara Mondo (Σύγχρονη ζωγράφος) - "City of Inverted Pyramids"

Robbie Allen (Σύγχρονος καλλιτέχνης) - "We are not lost" (2016)

"Pyramis Laterata Quadrangulavasa"
Σχέδιο του Leonardo da Vinci στο βιβλίο του Luca Paccioli "De Divina Proportione" ("Περί της Θείας Αναλογίας", τρίτο βιβλίο, 1509)

Don Barrett (Σύγχρονος γραφίστας) - "Pentagonal Pyramid" 

Παρακάτω βλέπουμε όμορφα γλυπτά σε σχήμα τριγωνικής πυραμίδας...

Anila Quayyum Agha (Σύγχρονη γλύπτρια) - Γλυπτά με την τεχνική της 3D-εκτύπωσης, με εσωτερικό φωτισμό, εγκατεστημένα στο Μουσείο Peabody Essex, Σάλεμ, Μασαχουσέτη

Όπυ Ζούνη (1941-2008) - "Πυραμίδα" (γλυπτό του 1999)

Το σχήμα τετραγωνικής πυραμίδας είχαν οι περίφημοι τάφοι των Φαραώ στην αρχαία Αίγυπτο...

Οι Πυραμίδες της Αιγύπτου:
Σύμφωνα με τους αρχαιολόγους, η επιλογή του σχήματος της πυραμίδας συμβόλιζε τις ακτίνες του ήλιου, ή ακόμα και μια σκάλα προς τον ουρανό.

Η Πυραμίδα του Λούβρου, μια πυραμίδα από γυαλί και μέταλλο, αποτελεί την κύρια είσοδο του μουσείου του Λούβρου. Η τετραγωνική βάση της έχει πλευρές 35 μέτρων και φτάνει σε ύψος 21,6 μέτρων, ενώ περιστοιχίζεται και από τρεις μικρότερες πυραμίδες.
Σχεδιάστηκε από τον αρχιτέκτονα I.M. Pei και η κατασκευή της ολοκληρώθηκε το 1989. 

Πηγές:

• Ευκλείδεια Γεωμετρία Α' και Β' Γενικού Λυκείου, Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών και Εκδόσεων "Διόφαντος", 2015
• E.H. Gombrich, Το Χρονικό της Τέχνης, Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, 1995
• Pixels: Don Barrett art
• I.M. Pei and the Louvre Museum
• Όπυ Ζούνη: Γεωμετρική λογική και εικαστική ευαισθησία
• Peabody Essex Museum
• Beautiful Decay: Four Artists Paint the Rainbow
• wikipedia.org

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Ορθογώνιο Παραλληλεπίπεδο

ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΠΙΠΕΔΟ 

Sol LeWitt (1928 - 2007) - "Παραλληλεπίπεδα" (Τοιχογραφία)

Όπυ Ζούνη (1941-2008) 

Όπυ Ζούνη (1941-2008) 

Wanda Koop (γεν. 1951) - "Nature Preserve" (2011) 

Salvador Dali (1904 - 1989) - "The Disintegration of the Persistence of Memory" (1954)

Carl Andre (γεν. 1935) - "Still Blue Range"
(Μινιμαλιστικό γλυπτό του 1989)

Τα βιβλία γράφουν...

Ορθογώνιο Παραλληλεπίπεδο ονομάζεται το στερεό εξάεδρο σχήμα που έχει τρία ζεύγη παράλληλων εδρών, οι οποίες είναι ορθογώνια παραλληλόγραμμα.

.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.

"Η επιστήμη σημαίνει την έρευνα της πραγματικότητας,

ενώ η τέχνη την έκφραση της ομορφιάς".

Όπυ Ζούνη (1941-2008)

.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.

Πηγές:

• Ευκλείδεια Γεωμετρία Α' και Β' Γενικού Λυκείου, Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών και Εκδόσεων "Διόφαντος", 2015
• E.H. Gombrich, Το Χρονικό της Τέχνης, Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, 1995
• H.L.C Jaffe, Η ζωγραφική στον 20ό αιώνα, Εκδόσεις Νεφέλη, 1984
• Όπυ Ζούνη: Γεωμετρική λογική και εικαστική ευαισθησία
• wikipedia.org

Τα Μαθηματικά στην Τέχνη: Πολύεδρα - Κύβος

Στην παρούσα και στις επόμενες αναρτήσεις του project "Μαθηματικά και Τέχνη" θα γνωρίσουμε τη γεωμετρία του χώρου και τα θεμελιώδη γεωμετρικά στερεά σχήματα.

Ο γεωμετρικός χώρος έχει 3 διαστάσεις: μήκος, πλάτος και ύψος και εκτείνεται απεριόριστα σε κάθε κατεύθυνση. Μέσα στον γεωμετρικό χώρο "ζουν" όλα τα στερεά σχήματα. Υπάρχουν δύο "οικογένειες" στερεών σχημάτων: τα πολύεδρα και τα στερεά εκ περιστροφής.

ΠΟΛΥΕΔΡΑ

Τα βιβλία γράφουν...

Τα πολύεδρα αποτελούνται από επίπεδα πολυγωνικά σχήματα, κατάλληλα τοποθετημένα, ώστε να σχηματίζουν ένα κλειστό στερεό σχήμα. Τα πολυγωνικά σχήματα λέγονται έδρες του πολυγώνου. Οι έδρες ενώνονται σε ακμές και οι ακμές συνδέονται σε σημεία που ονομάζονται κορυφές του πολυγώνου.

Το πιο γνωστό πολύεδρο είναι ο κύβος, που αποτελείται από 6 τετράγωνα (έδρες του κύβου).


ΚΥΒΟΣ

Sol LeWitt (1928 - 2007) - "Cubic Rectangle" (Τοιχογραφία του 1989)

Sara Mondo (Σύγχρονη ζωγράφος) - "Invasion of floating cubes"

Όπυ Ζούνη (1941-2008) - "Κόκκινος κύβος στο χώρο" (2007)

Όπυ Ζούνη (1941-2008) - "Κύβοι"

Susie Callahan (Σύγχρονη ζωγράφος) - "Cool cubes"

Joseph Hawa (Σύγχρονος ζωγράφος) - "The Cube" (2012)

Chris Bancroft (Σύγχρονος ζωγράφος) - "Painting of things on my desk: Rubik's"

John Picking (γεν. 1939) - "Ambiguity I" (2011)

John Picking (γεν. 1939) - "Causeway" (2011)

John Picking (γεν. 1939) - "Triad I" (2011)

John Picking (γεν. 1939)  - "Triad II" (2011)

John Picking (γεν. 1939)  - "Cube Vertigo" (2008)

John Picking (γεν. 1939)  - "Four-Cube" (2011)

John Picking (γεν. 1939)  - "Five-Cube" (2011)

John Picking (γεν. 1939)  - "Six-Cube" (2011)

John Picking (γεν. 1939)  - "Study for Clouds in a Four-Dimensional Sky" (2011)

Για να δούμε καλύτερα το σχήμα του κύβου μέσα στο χώρο, ας γνωρίσουμε τον κύβο μέσα από όμορφα γλυπτά.

Anila Quayyum Agha (Σύγχρονη γλύπτρια) - "Intersections" (Γλυπτό με την τεχνική της 3D-εκτύπωσης, εγκατεστημένο στο Μουσείο Peabody Essex, Σάλεμ, Μασαχουσέτη)

Anila Quayyum Agha (Σύγχρονη γλύπτρια) - "All the flowers are for me: Red" (Γλυπτό με την τεχνική της 3D-εκτύπωσης. Φωτισμένο από το εσωτερικό του, δημιουργεί καταπληκτικές σκιές στους τοίχους. Είναι εγκατεστημένο στο Μουσείο Peabody Essex, Σάλεμ, Μασαχουσέτη)

Rasheed Araeen (γεν. 1935) - "One Summer Afternoon" (1968)

Rasheed Araeen (γεν. 1935) - "One Summer Afternoon" (1968)

Jake Weigel (Σύγχρονος γλύπτης) - Γλυπτό από γυαλί και ξύλο (2014)

Ο μεγαλύτερος κύβος του κόσμου είναι το Atomium, ένα οικοδόμημα που κατασκευάστηκε το 1958 από τους αρχιτέκτονες J. Polak και A. Polak, για την Παγκόσμια Έκθεση των Βρυξελλών. Έχει ύψος 103 μ. και αναπαριστά την κυψελίδα ενός κρυστάλλου σιδήρου, η οποία έχει κυβικό σχήμα.

 "Atomium Illustration" (Copyright 2006, Art Creation (ASBL); Artists Rights Society (ARS), New York; SABAM, Belgium)

Τα βιβλία γράφουν...

Ο χώρος μπορεί να καλυφθεί, δηλαδή να "γεμίσει" χωρίς κενά ή επικαλύψεις, μόνο με κύβους.

Maurits Cornelis Escher (1898 - 1972) - "Κυβική Διαίρεση Χώρου"

(Συνεχίζεται με περισσότερα γεωμετρικά στερεά...)

.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.

"Το ενδιαφέρον μου για τον κύβο, περισσότερο από τον Κυβισμό, αφορά αυτό το συγκεκριμένο γεωμετρικό στερεό. Προσφέρει τόσες πολλές δυνατότητες. Σε αντίθεση με τον Albers που είχε επιλέξει το τετράγωνο για την αδυναμία του, επέλεξα τον κύβο σαν ένα δυνατό στερεό που ξεπερνά τα όρια ενός επίπεδου καμβά".
John Picking (Homage to the Cube)

.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.〰.*.

Πηγές:

• Ευκλείδεια Γεωμετρία Α' και Β' Γενικού Λυκείου, Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών και Εκδόσεων "Διόφαντος", 2015
• E.H. Gombrich, Το Χρονικό της Τέχνης, Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, 1995
• H.L.C Jaffe, Η ζωγραφική στον 20ό αιώνα, Εκδόσεις Νεφέλη, 1984
• John Picking, Homage to the Cube, 2011
• Wolfram Math World: Cube
• wikipedia.org