Γεωμετρικός γρίφος: Κομμάτια του κύκλου

Ποιο μέρος του κύκλου είναι χρωματισμένο; 

Facebook | Math is visual

Ημέρα τετραγωνικής ρίζας!

Σήμερα, 5/5/25 είναι η "Ημέρα Τετραγωνικής Ρίζας" (5×5=25). Ξεκίνησε από τον Ron Gordon, έναν καθηγητή Γυμνασίου στην Καλιφόρνια στις 9/9/81 και έκτοτε καθιερώθηκε. Μια τέτοια ημερομηνία εμφανίζεται μόνο 9 φορές ανά αιώνα!

Η επόμενη ημέρα τετραγωνικής ρίζας θα είναι στις 6/6/36 και η μεθεπόμενη στις 7/7/49.

Μαθηματικά και παιχνίδι: Παίζοντας με την προπαίδεια - Μέρος 2º

 

Με δύο μικρούς μαθητές είπαμε να αφήσουμε τα τετράδια και να παίξουμε... έλα όμως που στο παιχνίδι αυτό εξασκηθήκαμε ταυτόχρονα και  στην προπαίδεια! Πρόκειται για "Το Τσαμπί της Προπαίδειας", όπως το ονομάσαμε. Την ιδέα την είχα δει παλιότερα στη σελίδα της ειδικής παιδαγωγού Κώτη Αφροδίτης και την υλοποίησα με πολύ μεράκι...

Προετοιμασία παιχνιδιού:

1. Σε ένα χαρτόνι ζωγράφισα ένα τσαμπί σταφύλι, με 21 ρώγες-κύκλους συνολικά. 

2. Σε κάθε κύκλο, έγραψα ένα γινόμενο από την προπαίδεια.

3. Συνέλεξα 21 καπάκια από μπουκάλια νερού, πάνω στα οποία έγραψα με ανεξίτηλο μαρκαδόρο τα αποτελέσματα των παραπάνω πολλαπλασιασμών.

4. Το επιτραπέζιο παιχνίδι είναι έτοιμο! Σκοπός του παιχνιδιού είναι να συμπληρώσουν τα παιδιά το τσαμπί σταφύλι. Πρέπει να τοποθετήσουν κάθε καπάκι πάνω στον κατάλληλο κύκλο, ώστε τα αποτελέσματα των πολλαπλασιασμών να είναι όλα σωστά.

Ώρα για μάθημα! Ε... συγγνώμη, για παιχνίδι εννοούσα...

Σύμφωνα με πολλές έρευνες στο χώρο της Διδακτικής των Μαθηματικών, τα παιδιά μαθαίνουν ευκολότερα και αναπτύσσουν θετική στάση απέναντι στα Μαθηματικά όταν χρησιμοποιούν χειραπτικό υλικό. Το παιχνίδι αυτό είναι κατάλληλο για παιδιά με ή χωρίς μαθησιακές δυσκολίες και μπορείτε να το προσαρμόσετε ανάλογα με την ηλικία και τη μαθηματική ετοιμότητα των μαθητών. Για παράδειγμα, μπορείτε να βάλετε μικρότερα γινόμενα, όπως 2⨯2=4, ή ακόμη και... ποικιλία με τις τέσσερεις πράξεις. Δεν υπάρχει πιο διασκεδαστικός τρόπος να μάθουν τα παιδιά μαθηματικά!

"Μαθηματικά: Μια συνοπτική εισαγωγή" του Timothy Gowers

Στις 23 Απριλίου γιορτάζεται και η Παγκόσμια Ημέρα Βιβλίου, που καθιερώθηκε από την Unesco. Το "εις το άπειρον" για σήμερα προτείνει ένα μικρούλι αλλά τόσο περιεκτικό βιβλίο... "Μαθηματικά: Μια συνοπτική εισαγωγή" του Timothy Gowers...

Το βιβλίο αυτό εξηγεί, προσεκτικά αλλά σε μη τεχνικό επίπεδο, τις διαφορές ανάμεσα στα προχωρημένα μαθηματικά ερευνητικού επιπέδου και στο είδος των μαθηματικών που μαθαίνουμε στο σχολείο. Στο πλαί­σιο αυτό, παρουσιάζονται και επεξηγούνται κάποιες σημαντικές, φαινομενικά παράδοξες, έννοιες όπως το άπειρο, οι φανταστικοί αριθμοί και ο καμπύλος χώρος. Τα πρώτα κεφάλαια πραγματεύ­ονται γενικές πλευρές της μαθηματικής σκέψης, ενώ εκείνα που ακολουθούν αφορούν πιο ειδικά ζητήματα, όπως τα όρια και το άπειρο, η διάσταση, η γεωμετρία, οι εκτιμήσεις και οι προσεγγίσεις. Το βιβλίο ολοκληρώνεται με απαντήσεις σε ορισμένα συνηθισμένα κοινωνιολογικά ερωτήματα για την κοινότητα των μαθηματικών.

Γρίφοι: Τα πέντε πασχαλινά αβγά

 

Γρίφος #1

Έχουμε ένα καλάθι με 5 πασχαλινά αβγά και θέλουμε να τα μοιράσουμε σε 5 παιδιά. Πώς γίνεται να πάρει 1 αβγό το κάθε παιδί και να μείνει και 1 αβγό στο καλάθι;

Γρίφος #2

Καθώς ζυγίζετε κάθε ένα από τα πέντε πασχαλινά αβγά, το μέσο βάρος αυξάνεται κάθε φορά κατά 1 γραμμάριο. Αν το πρώτο αβγό ζυγίζει 50 γραμμάρια, ποιο είναι το βάρος του τελευταίου αβγού;

Καλό Πάσχα σε όλους και Καλή Ανάσταση! 

Τα "Πανταζάρια": Πώς να κερδίζετε πάντα στα ζάρια!

Σας αρέσει ο τζόγος; Με τα "Πανταζάρια-6" θα τρελάνετε τον συμπαίκτη σας...

 

Τα "Πανταζάρια-6" από το Μουσείο Γρίφων Μεγίστης

Τα "Πανταζάρια-6" είναι ιδιαίτερα. Πρόκειται για μη μεταβατικά ζάρια, μια εφαρμογή της Θεωρίας Πιθανοτήτων. Τα μη μεταβατικά ζάρια είναι γνωστά στο χώρο των ψυχαγωγικών μαθηματικών για το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό τους, ότι δεν είναι "δίκαια"... Χρησιμοποιήθηκαν για πρώτη φορά από τον Μπράντλεϋ Έφρον (1970) με τέσσερα ζάρια, ενώ πρόσφατα ακολούθησαν άλλες εκδόσεις με διαφορετικό αριθμό ζαριών.  Περιέργως, κάνεις δεν χρησιμοποίησε έξι ζάρια που είναι πιο αποτελεσματικά και τα οποία, σε μια ριξιά, δίνουν μέσο όρο πιθανότητας νίκης πάνω από 74%. Έτσι, τα δημιούργησε ο κ. Πανταζής Χούλης στο Μουσείο Γρίφων Μεγίστης...

Στο παρακάτω βίντεο εξηγείται η ιδέα των μη μεταβατικών ζαριών:

Οι μαθηματικοί κανόνες στη ζωή!

~★~★~★~★~★~

"Η ζωή είναι σαν μια μαθηματική εξίσωση... Είναι στο χέρι σου να βρεις την πιο όμορφη λύση".

Florian Armas 

1...2...3 προτάσεις για την Παγκόσμια Ημέρα παιδικού βιβλίου!

Για την Παγκόσμια Ημέρα παιδικού βιβλίου που γιορτάζεται στις 2 Απριλίου, το μαθηματικό μπλογκ "εις το άπειρον" σας προτείνει τρία βιβλία παιδικής λογοτεχνίας με μαθηματικό περιεχόμενο...

Το Παραμύθι της Τετράγωνης Λογικής

Για παιδιά ηλικίας 10 ετών και άνω

Τετραγώνισε πλατείες, πίτσες, νομίσματα, πινακίδες και ονόματα. Εξαφάνισε κουλούρια, καλλιτεχνικά κυκλώματα, κυκλάμινα, υδρόγειους σφαίρες και καθετί στρογγυλό ή σφαιρικό. Πάντα χρησιμοποιώντας με το χειρότερο τρόπο την ευφυΐα του. Το παραμύθι της τετράγωνης λογικής, αφηγείται τις περιπέτειες ενός πρίγκιπα που αγαπούσε τα αινίγματα και χάρη στην εξυπνάδα του κατάφερε να γίνει βασιλιάς...

Ο τετραγωνισμός του κύκλου ήταν μόνο η αφορμή για να έρθει αντιμέτωπος με τη μοίρα του και να την προκαλέσει σε μια μάχη μέχρι εσχάτων. Ο άλυτος γρίφος άφησε να αναδειχθούν οι πιο σκοτεινές πλευρές του χαρακτήρα του. Από καλοκάγαθος ηγεμόνας μεταλλάχθηκε σε ανθρωπόμορφο τέρας, επιβάλλοντας σκληρούς νόμους στο λαό του προσπαθώντας να εξαφανίσει οτιδήποτε του θύμιζε την αδυναμία του να βρει λύση στο αίνιγμα.

Η βασίλισσα, υποφέροντας από την αλλαγή του αγαπημένου της, σε συνεργασία με δυο ερωτευμένους έφηβους, με μοναδικό όπλο τους την αγάπη, κατάφεραν να αποδείξουν πώς για να νικήσεις τα τέρατα το μόνο μυστικό είναι να παραμείνεις άνθρωπος. Τότε μόνο ακόμα και η φύση μπορεί να σου υποκλιθεί και να σε οδηγήσει με τα μαγικά της κόλπα στην ευτυχία…

Οι υπέροχοι δέκα

Για παιδιά ηλικίας 10 ετών και άνω

Ο Φίλιππος είναι ένα πολύ τυχερό παιδί. Ο παππούς του, συνταξιούχος μαθηματικός, νοσταλγεί την παλιά δουλειά του και τους αγαπημένους του μαθητές. Έτσι ο περίεργος εγγονός του, που πηγαίνει στο Δημοτικό, γίνεται ο καλύτερος του μαθητής. Τον βοηθάει να κατανοήσει έννοιες που του φαίνονται δύσκολες, με τον πιο απλό τρόπο, δίνοντάς του παραδείγματα που βγαίνουν από την καθημερινή ζωή. Με χαριτωμένα ανέκδοτα και ιστορικές αναφορές, απαντά στα συνεχή ερωτήματα του μικρού Φίλιππου. Τί σχέση έχουν τα Μαθηματικά με το κόψιμο μιας τούρτας; Τί σχέση έχουν τα κουνέλια με τα Μαθηματικά και τον Φιμπονάτσι; Ιστορίες για γέλια που απομυθοποιούν ότι τα Μαθηματικά είναι δύσκολα και ακαταλαβίστικα.

Περιεχόμενα:

1. Οι Φυσικοί Αριθμοί
2. Ο άβαξ
3. Τα ψηφία παραγκωνίζουν τον άβακα
4. Προσοχή στις παρενθέσεις
5. Αλίμονο εάν διαιρέσεις με το Μηδέν!
6. Τα κουνέλια του Φιμπονάτσι
7. Ο κύριος Μορς και το δυαδικό σύστημα
8. Υπολογίζοντας, υπολογίζοντας
9. Οι ασύμμετροι (άρρητοι) αριθμοί
10. Αναζητώντας τον άγνωστο χ
11. Οι σκιές του Θαλή
12. Οριστικό, αόριστο και αόριστα μικρό
13. Οι σοκολάτες του Πυθαγόρα
14. Ο Χρυσός αριθμός
15. Ο παίκτης ζαριών
16. Οι φύλακες του ελληνικού π
17. Η μέθοδος του Αρχιμήδη
18. Η έλικα του Ναυτίλου
19. Οι ναυμαχίες του Καρτέσιου
20. Σαν μια νιφάδα χιονιού

Σ’ αγαπώ κι ας είσαι κλάσμα

Για παιδιά της Γ΄ Δημοτικού και άνω

Η ιστορία διαδραματίζεται στο δεκαδικό χωριό... Ο ήρωάς της είναι ένας δεκαδικός αριθμός, που, στην προσπάθειά του να μικρύνει, μπλέκει σε μια περιπέτεια με τις πράξεις του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης με το 10, το 100 και το 1000. Μέσα από την ιστορία μαθαίνουμε για την αξία του αριθμού και πώς αυτή μπορεί να αλλάξει. Το βιβλίο συνοδεύεται από οδηγίες και προτάσεις του συγγραφέα για τη διδακτική αξιοποίησή του. 

👩🏻‍🏫Οι ηλικίες που αναγράφονται στην παρουσίαση κάθε βιβλίου είναι ενδεικτικές και μπορούν να προσαρμοστούν ανάλογα με τη μαθησιακή ωριμότητα και την ετοιμότητα του κάθε παιδιού.

🧮Γιατί όχι; Τα βιβλία αυτά είναι κατάλληλα και για μεγάλους!

🌐Δείτε εδώ περισσότερες προτάσεις του "εις το άπειρον" για παιδικά βιβλία με μαθηματικό περιεχόμενο.

💬Υπάρχει κάποιο βιβλίο που νομίζετε ότι πρέπει να συμπεριληφθεί στις προτάσεις; Γράψτε το στα σχόλια!

Πώς μπορούμε να ελέγξουμε αν ένας αριθμός είναι πρώτος;

 

📚Αν θέλεις να θυμηθείς πότε ένας αριθμός λέγεται πρώτος, μπορείς να το διαβάσεις εδώ...

 

Image credit: Michael Jay Berlin via Shutterstock

Πολλές φορές, χρειάζεται να ελέγξουμε αν ένας αριθμός n είναι πρώτος. Μια βασική διαδικασία είναι η δοκιμαστική διαίρεση, δηλαδή να ελέγξουμε αν ο αριθμός n είναι πολλαπλάσιο κάποιου αριθμού από το 2 έως και το \(\sqrt{n}\). Απαραίτητα εδώ είναι τα κριτήρια διαιρετότητας.

 

Παραδείγματα:

✅Θέλουμε να εξετάσουμε αν ο αριθμός 169 είναι πρώτος. Αρκεί να ελέγξουμε αν το 169 είναι πολλαπλάσιο κάποιου αριθμού από το 2 έως και το \(\sqrt{169}=13\).

Το 2 δεν διαιρεί το 169.

Το 3 δεν διαιρεί το 169.

Ομοίως, το 4, το 5, το 6, το 7, το 8, το 9, το 10, το 11 και το 12 δεν διαιρούν το 169.

Το 13 διαιρεί το 169.

Άρα το 169 δεν είναι πρώτος αριθμός.

 

✅Θέλουμε να εξετάσουμε αν ο αριθμός 51 είναι πρώτος. Επειδή 49<51 δηλαδή \(7<\sqrt{51}\),  αρκεί να ελέγξουμε αν το 51 είναι πολλαπλάσιο κάποιου αριθμού από το 2  έως και το 7.

Το 2 δεν διαιρεί το 51.

Το 3 διαιρεί το 51.

Άρα το 51 δεν είναι πρώτος αριθμός.

 

✅Θέλουμε να εξετάσουμε αν ο αριθμός 113 είναι πρώτος. Επειδή 100<113 δηλαδή \(10<\sqrt{113}\),  αρκεί να ελέγξουμε αν το 113 είναι πολλαπλάσιο κάποιου αριθμού από το 2 έως και το 10.

Βρίσκουμε ότι κανένας από τους αριθμούς 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 δεν διαιρεί το 113.

Άρα το 113 είναι πρώτος αριθμός.

 

💡Η μέθοδος της δοκιμαστικής διαίρεσης μπορεί να εφαρμοστεί πιο αποτελεσματικά αν είναι γνωστοί όλοι οι πρώτοι αριθμοί μέχρι και το \(\sqrt{n}\). Για παράδειγμα, για να ελέγξουμε αν ο 113 είναι πρώτος, αρκεί να ελέγξουμε αν διαιρείται μόνο από το 2, το 3, το 5 και το 7.

 

🚩Για πολύ μεγάλους αριθμούς, η μέθοδος αυτή γίνεται πολύ αργή και μη πρακτική, γιατί το πλήθος των πιθανών παραγόντων του n αυξάνεται ραγδαία καθώς αυξάνεται ο n. Για την ακρίβεια, το πλήθος των πρώτων αριθμών μικρότερων του \(\sqrt{n}\) είναι της τάξης \(\frac{\sqrt{n}}{ln(\sqrt{n})}\).  Για τον έλεγχο πολύ μεγάλων αριθμών, έχουν αναπτυχθεί διάφοροι αλγόριθμοι που τρέχουν σε υπολογιστικά συστήματα.

🔍Διάβασε εδώ περισσότερα γύρω από τους πρώτους αριθμούς.

"Μαγικά Μαθηματικά"... Κάρτες για την εκμάθηση των τεσσάρων πράξεων!

🔮Τα μαθηματικά είναι μαγικά, γι' αυτό είναι τόσο διασκεδαστικά! Οι κάρτες με τις τέσσερις βασικές πράξεις (Πρόσθεση-Αφαίρεση-Πολλαπλασιασμός-Διαίρεση) ενθαρρύνουν τους μικρούς μαθητές να παίξουν με τα μαθηματικά. 

🪄Τοποθετούμε την κάρτα στην ειδική εσοχή και εμφανίζεται η λύση της άσκησης... 

🧮Κυκλοφορούν από τις εκδόσεις Τζιαμπίρης-Πυραμίδα και είναι ιδανικές από την Α' Δημοτικού, σύμφωνα πάντα και με τον βαθμό ετοιμότητας του κάθε παιδιού. 

💬Ποια αντίστοιχα μαθηματικά παιχνίδια γνωρίζετε και θα θέλατε να μας προτείνετε; Μπορείτε να το γράψετε στα σχόλια!